資源簡(jiǎn)介

§4　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
4.1　平面向量基本定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解平面向量基本定理的含義和基的含義,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).
2.能夠借助平面向量基本定理,用基表示向量,發(fā)展直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
知識(shí)探究
知識(shí)點(diǎn)　平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理.
如果e1和e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量a,存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基、正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基.
我們把不共線的向量e1和e2叫作表示這一平面向量的一組基,記為{e1,e2}.若基中的兩個(gè)向量互相垂直,則稱這組基為正交基.在正交基下向量的線性表示稱為正交分解.若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量,則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基.
[思考1] 設(shè)e1,e2是平面向量的一組基,則e1,e2中可能有零向量嗎
提示:由于零向量和任一向量共線,這不符合基中的向量特征,因此e1,e2中不能有零向量.
[思考2] 平面向量的基唯一嗎
提示:不唯一,平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量均可以作為基.
[思考3] 如何理解平面向量基本定理中實(shí)數(shù)對(duì)的唯一性
提示:設(shè)e1,e2是平面向量的一組基,假設(shè)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p有兩種表示p=x1e1+y1e2,且p=x2e1+y2e2,則兩式左右兩邊相減可得0=(x1-x2)·e1+(y1-y2)e2,由于e1,e2不共線,因此所以x1=x2,y1=y2,即平面向量基本定理中實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的.
探究點(diǎn)一　基的理解
[例1](多選題)已知向量a=2e1-e2,b=e1+2e2,c=e1-e2,e1與e2不共線,則下面各組向量能構(gòu)成基的是(　　)
A.a與b B.a與c
C.a-b與c D.a+b與c
判斷所給的兩個(gè)向量能否作為一組基的方法
由基的定義可知,要判斷兩個(gè)向量a,b能否作為一組基,只需判斷兩向量是否共線,而判斷向量是否共線就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作為基的向量必為非零向量.
[針對(duì)訓(xùn)練] 設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,則下列四組向量中,不能作為平面向量的一組基的是(　　)
A.e1+e2和e1-e2
B.e1+2e2和e2+2e1
C.3e1-2e2和4e2-6e1
D.e2和e2+e1
探究點(diǎn)二　用基表示向量
角度1　利用平面圖形中的基表示向量
[例2] 如圖,在平行四邊形ABCD中,=a,=b,H,M分別是AD,DC的中點(diǎn),BF=BC,以a,b為基表示向量與.
用幾何圖形中的基表示向量的方法
用幾何圖形中的基表示向量主要是利用三角形法則或平行四邊形法則,進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算,因此求解時(shí)要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形,利用已知向量表示未知向量.
[針對(duì)訓(xùn)練] 在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,E為CD的中點(diǎn),AE與BD交于點(diǎn)F,若=a,=b,則等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
角度2　用已知向量表示未知向量問(wèn)題
[例3] 設(shè)e1,e2是平面向量的一組基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基a,b的線性組合,即e1+e2=　　　　.
用已知不共線的向量表示未知向量主要是找到已知向量與未知向量的關(guān)系,結(jié)合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量.
[針對(duì)訓(xùn)練] 已知{e1,e2}是平面α內(nèi)所有向量的一組基,且a=e1+e2,
b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λ+μ=　　　　.
探究點(diǎn)三　共線(平行)向量基本定理、平
面向量基本定理的綜合運(yùn)用
[例4] 如圖所示,在△ABC中,=a,=b,D,F分別為線段BC,AC上一點(diǎn),且BD=2DC,CF=3FA,BF和AD相交于點(diǎn)E.
(1)用向量a,b表示;
(2)假設(shè)=λ+(1-λ)=μ,λ,μ∈R,用向量a,b表示,并求出實(shí)數(shù)μ的值.
選用基向量,根據(jù)向量加減法和數(shù)乘的運(yùn)算法則,表示其他向量,特別是從不同的側(cè)面表示同一個(gè)向量,利用平面向量基本定理中實(shí)數(shù)λ1,λ2的唯一性得出方程組,求解其中設(shè)定的參數(shù)值.
[針對(duì)訓(xùn)練] 如圖,在△ABC中,D是BC上一點(diǎn),G是AD上一點(diǎn),且==2,過(guò)點(diǎn)G作直線分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.
(1)用向量與表示;
(2)若=,求和的值.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.下列有關(guān)平面向量基本定理的四個(gè)命題錯(cuò)誤的是(　　)
A.一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面向量的基
B.一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行的向量可作為表示該平面向量的基
C.平面向量的一組基可能互相垂直
D.一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)兩個(gè)互不平行向量的線性組合
2.已知平行四邊形ABCD,則下列各組向量中,是該平面向量的一組基的是(　　)
A.{,} B.{,}
C.{,} D.{,}
3.如圖所示,已知=a,=b,=3,用a,b表示,則等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
4.如圖,在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ=　　　　　　.
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
基的理解 1,2,7
平面向量基本定理的理解 3,4,5,6,12,14
平面向量基本定理的應(yīng)用 8,9,10,11,13
基礎(chǔ)鞏固
1.如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心,則可作為該正六邊形所在平面向量的一組基的是(　　)
A.{,}
B.{,}
C.{,}
D.{,}
2.已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,下列向量中能作為平面向量的一組基的是(　　)
A.e1+e2,2e1+2e2
B.e1-2e2,-e1+e2
C.-e1+e2,-e1-e2
D.2e1+3e2,e1+e2
3.在平行四邊形ABCD中,=,=3,則等于(　　)
A.+ B.+
C.- D.-
4.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,=2,若EC與BD交于點(diǎn)O,且=λ+,則λ等于(　　)
A. B. C. D.
5.(多選題)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是線段CD的中點(diǎn),線段AE與線段BD交于點(diǎn)F,則(　)
A.=2 B.=-
C.=+ D.=
6.如圖所示,||=||=1,||=,∠AOB=60°,⊥.設(shè)=x+y,則x+y=　　　　.
7.已知e1,e2不共線,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作為平面向量的一組基,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為　　　　　　　　　.
8.在正八邊形ABCDEFGH中,若=x+y(x,y∈R),則x+y=
　　　　.
能力提升
9.已知非零向量,不共線,且2=x+y,若=λ(λ∈R),則x,y滿足的關(guān)系是(　　)
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
10.如圖所示,,是兩個(gè)不共線向量,N為線段OB的中點(diǎn),M為線段OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),點(diǎn)C在直線MN上,且=x+y
(x,y∈R),則x2+y2的最小值為(　　)
A. B. C. D.
11.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,
μ∈R),則等于(　　)
A.2 B.4 C.5 D.7
12.如圖,在四邊形ABCD中,AC和BD相交于點(diǎn)O,設(shè)=a,=b,若=2,則=　　　 　　　.(用a和b表示)
13.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)證明:向量a,b可以作為一組基.
(2)以{a,b}為一組基,求向量c=3e1-e2的分解式.
(3)若4e1-3e2=λa+μb(λ,μ∈R),求λ,μ的值.
14.如圖,在△ABC中,AQ為邊BC的中線,=,過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AB,AC于點(diǎn)M,N,且=λ,=μ,其中λ>0,μ>0.
(1)當(dāng)∥時(shí),用,線性表示.
(2)證明:+為定值.§4　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
4.1　平面向量基本定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解平面向量基本定理的含義和基的含義,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).
2.能夠借助平面向量基本定理,用基表示向量,發(fā)展直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
知識(shí)探究
知識(shí)點(diǎn)　平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理.
如果e1和e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量a,存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基、正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基.
我們把不共線的向量e1和e2叫作表示這一平面向量的一組基,記為{e1,e2}.若基中的兩個(gè)向量互相垂直,則稱這組基為正交基.在正交基下向量的線性表示稱為正交分解.若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量,則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基.
[思考1] 設(shè)e1,e2是平面向量的一組基,則e1,e2中可能有零向量嗎
提示:由于零向量和任一向量共線,這不符合基中的向量特征,因此e1,e2中不能有零向量.
[思考2] 平面向量的基唯一嗎
提示:不唯一,平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量均可以作為基.
[思考3] 如何理解平面向量基本定理中實(shí)數(shù)對(duì)的唯一性
提示:設(shè)e1,e2是平面向量的一組基,假設(shè)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p有兩種表示p=x1e1+y1e2,且p=x2e1+y2e2,則兩式左右兩邊相減可得0=(x1-x2)·e1+(y1-y2)e2,由于e1,e2不共線,因此所以x1=x2,y1=y2,即平面向量基本定理中實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的.
探究點(diǎn)一　基的理解
[例1](多選題)已知向量a=2e1-e2,b=e1+2e2,c=e1-e2,e1與e2不共線,則下面各組向量能構(gòu)成基的是(　　)
A.a與b B.a與c
C.a-b與c D.a+b與c
解析:設(shè)a=λb,即2e1-e2=λ(e1+2e2),則無(wú)解,故a與b不共線,能構(gòu)成基;同理可得,a與c,a+b與c均不共線,均能構(gòu)成基.
因?yàn)閍-b=(2e1-e2)-(e1+2e2)=e1-3e2=2(e1-e2)=2c,所以a-b與c共線,不能構(gòu)成基.故選ABD.
判斷所給的兩個(gè)向量能否作為一組基的方法
由基的定義可知,要判斷兩個(gè)向量a,b能否作為一組基,只需判斷兩向量是否共線,而判斷向量是否共線就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作為基的向量必為非零向量.
[針對(duì)訓(xùn)練] 設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,則下列四組向量中,不能作為平面向量的一組基的是(　　)
A.e1+e2和e1-e2
B.e1+2e2和e2+2e1
C.3e1-2e2和4e2-6e1
D.e2和e2+e1
解析:對(duì)于A,e1+e2和e1-e2沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系,二者不共線,可作為平面向量的一組基;
對(duì)于B,e1+2e2和e2+2e1沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系,二者不共線,可作為平面向量的一組基;
對(duì)于C,4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共線向量,不能作為平面向量的一組基;
對(duì)于D,e2和e2+e1不共線,可作為平面向量的一組基.故選C.
探究點(diǎn)二　用基表示向量
角度1　利用平面圖形中的基表示向量
[例2] 如圖,在平行四邊形ABCD中,=a,=b,H,M分別是AD,DC的中點(diǎn),BF=BC,以a,b為基表示向量與.
解:在平行四邊形ABCD中,=a,=b,
H,M分別是AD,DC的中點(diǎn),BF=BC,
所以=+=+=+=b+a,
=-=+-=a+b-b=a-b.
用幾何圖形中的基表示向量的方法
用幾何圖形中的基表示向量主要是利用三角形法則或平行四邊形法則,進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算,因此求解時(shí)要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形,利用已知向量表示未知向量.
[針對(duì)訓(xùn)練] 在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,E為CD的中點(diǎn),AE與BD交于點(diǎn)F,若=a,=b,則等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,如圖,
則==a,==b.
因?yàn)镋為CD的中點(diǎn),
所以==(-)=a-b.
由DE∥AB,得==,
則有==b,所以=+=b+a-b=a+b.故選C.
角度2　用已知向量表示未知向量問(wèn)題
[例3] 設(shè)e1,e2是平面向量的一組基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基a,b的線性組合,即e1+e2=　　　　.
解析:因?yàn)閍=e1+2e2,①
b=-e1+e2,②
顯然a與b不共線,①+②得a+b=3e2,
所以e2=,代入②得e1=e2-b=-b=a-b,故有e1+e2=a-b+a+b=a-b.
答案:a-b
用已知不共線的向量表示未知向量主要是找到已知向量與未知向量的關(guān)系,結(jié)合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量.
[針對(duì)訓(xùn)練] 已知{e1,e2}是平面α內(nèi)所有向量的一組基,且a=e1+e2,
b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λ+μ=　　　　.
解析:因?yàn)閏=λa+μb=λ(e1+e2)+μ(3e1-2e2)=(λ+3μ)e1+(λ-2μ)e2,c=2e1+3e2,
所以解得所以λ+μ=.
答案:
探究點(diǎn)三　共線(平行)向量基本定理、平
面向量基本定理的綜合運(yùn)用
[例4] 如圖所示,在△ABC中,=a,=b,D,F分別為線段BC,AC上一點(diǎn),且BD=2DC,CF=3FA,BF和AD相交于點(diǎn)E.
(1)用向量a,b表示;
(2)假設(shè)=λ+(1-λ)=μ,λ,μ∈R,用向量a,b表示,并求出實(shí)數(shù)μ的值.
解:由題意得=3,=2,
所以=,=.
(1)因?yàn)?+,=a,=b,
所以=+=+(-)=+=-a+b.
(2)由(1)知=-a+b,而==b,=λ+(1-λ)=μ =-λa+(1-λ)b=μ(-a+b).因?yàn)閍與b不共線,由平面向量基本定理得
解得所以=-a+b,μ=.
選用基向量,根據(jù)向量加減法和數(shù)乘的運(yùn)算法則,表示其他向量,特別是從不同的側(cè)面表示同一個(gè)向量,利用平面向量基本定理中實(shí)數(shù)λ1,λ2的唯一性得出方程組,求解其中設(shè)定的參數(shù)值.
[針對(duì)訓(xùn)練] 如圖,在△ABC中,D是BC上一點(diǎn),G是AD上一點(diǎn),且==2,過(guò)點(diǎn)G作直線分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.
(1)用向量與表示;
(2)若=,求和的值.
解:(1)=+=+=++=+.
(2)因?yàn)?,所以=.
設(shè)=μ,==(+)
=+=+,
因?yàn)镚,E,F三點(diǎn)共線,所以+=1,
解得μ=,所以=.
因?yàn)?+=-+,
=+=-++
=-+=(-+),
所以=,即=.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.下列有關(guān)平面向量基本定理的四個(gè)命題錯(cuò)誤的是(　A　)
A.一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面向量的基
B.一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行的向量可作為表示該平面向量的基
C.平面向量的一組基可能互相垂直
D.一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)兩個(gè)互不平行向量的線性組合
解析:根據(jù)平面向量基本定理知一個(gè)平面內(nèi)任意一對(duì)不平行的向量都可作為表示該平面向量的基,故A錯(cuò)誤;一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行的向量可作為表示該平面向量的基,故B正確;平面向量的一組基只要不共線,也可能互相垂直,故C正確;一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)兩個(gè)互不平行向量的線性組合,故D正確.故選A.
2.已知平行四邊形ABCD,則下列各組向量中,是該平面向量的一組基的是(　D　)
A.{,} B.{,}
C.{,} D.{,}
解析:由于,不共線,所以可作為一組基.故選D.
3.如圖所示,已知=a,=b,=3,用a,b表示,則等于(　B　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:=+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b.故選B.
4.如圖,在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ=　　　　　　.
解析:設(shè)=a,=b,
則=a+b,=a+b.
又因?yàn)?a+b,所以=(+),
即λ=μ=,所以λ+μ=.
答案:
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
基的理解 1,2,7
平面向量基本定理的理解 3,4,5,6,12,14
平面向量基本定理的應(yīng)用 8,9,10,11,13
基礎(chǔ)鞏固
1.如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心,則可作為該正六邊形所在平面向量的一組基的是(　B　)
A.{,}
B.{,}
C.{,}
D.{,}
解析:由題圖可知,與,與,與均共線,故{,},{,},{,}均不能作為該平面向量的一組基;與不共線,故{,}可作為該平面向量的一組基.故選B.
2.已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,下列向量中能作為平面向量的一組基的是(　C　)
A.e1+e2,2e1+2e2
B.e1-2e2,-e1+e2
C.-e1+e2,-e1-e2
D.2e1+3e2,e1+e2
解析:e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,
2e1+2e2=2(e1+e2),
即向量e1+e2,2e1+2e2共線,A不符合題意;
e1-2e2=-2(-e1+e2),
即向量e1-2e2,-e1+e2共線,B不符合題意;
2e1+3e2=(e1+e2),
即向量2e1+3e2,e1+e2共線,D不符合題意;
因?yàn)?1≠,
即向量-e1+e2與-e1-e2不共線,
則向量-e1+e2與-e1-e2能作為平面向量的一組基,C符合題意.故選C.
3.在平行四邊形ABCD中,=,=3,則等于(　B　)
A.+ B.+
C.- D.-
解析:=+=+=+.故選B.
4.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,=2,若EC與BD交于點(diǎn)O,且=λ+,則λ等于(　A　)
A. B. C. D.
解析:由四邊形ABCD是平行四邊形,且=2,可知△BOE∽△DOC,且==,
所以==(-)=+,
則λ=.故選A.
5.(多選題)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是線段CD的中點(diǎn),線段AE與線段BD交于點(diǎn)F,則(　ACD　)
A.=2 B.=-
C.=+ D.=
解析:對(duì)于選項(xiàng)A,由已知條件可知=2,則A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,=-,則B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C,如圖,連接AC,
因?yàn)镋是線段CD的中點(diǎn),
所以=+
=(+)+
=++
=+,則C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)=λ(λ∈R),點(diǎn)B,F,D三點(diǎn)共線,
則存在實(shí)數(shù)m,使得=m,
=+=+=+(-)=(1-)+,
λ=λ(+)=λ+λ,所以
消去m得1-λ=λ,解得λ=,所以=,則D正確.故選ACD.
6.如圖所示,||=||=1,||=,∠AOB=60°,⊥.設(shè)=x+y,則x+y=　　　　.
解析:過(guò)點(diǎn)C作CD∥OB交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接BC(圖略).
由||=1,||=,∠AOB=60°,⊥,知∠COD=30°,
∠OCD=90°,CD=1.所以在Rt△OCD中,可得OD=2CD=2,
則=+=-2+,所以x=-2,y=1,則x+y=-1.
答案:-1
7.已知e1,e2不共線,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作為平面向量的一組基,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為　　　　　　　　　.
解析:若a,b能作為平面向量的一組基,則a與b不共線,
則a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,所以λ≠4.
答案:(-∞,4)∪(4,+∞)
8.在正八邊形ABCDEFGH中,若=x+y(x,y∈R),則x+y=
　　　　.
解析:如圖,連接CH,
則AB∥CH.
不妨設(shè)AB=2,則CH=2+2,
即=(+1),
所以=+=(+1)+,
則x=+1,y=1,故x+y=+2.
答案:+2
能力提升
9.已知非零向量,不共線,且2=x+y,若=λ(λ∈R),則x,y滿足的關(guān)系是(　A　)
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
解析:由=λ,得-=λ(-),
即=(1+λ)-λ,又2=x+y,所以
消去λ得x+y=2,即x+y-2=0.故選A.
10.如圖所示,,是兩個(gè)不共線向量,N為線段OB的中點(diǎn),M為線段OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),點(diǎn)C在直線MN上,且=x+y
(x,y∈R),則x2+y2的最小值為(　A　)
A. B. C. D.
解析:因?yàn)镃,M,N三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,μ使=λ+μ=λ+μ,且λ+μ=1.又=x+y(x,y∈R),
所以x=λ,y=μ=(1-λ).
故x2+y2=(λ)2+(1-λ)2=λ2-+=(λ-)2+,易知當(dāng)λ=時(shí),x2+y2取得最小值,最小值為.故選A.
11.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,
μ∈R),則等于(　B　)
A.2 B.4 C.5 D.7
解析:根據(jù)題意不妨取如圖所示的兩個(gè)互相垂直的單位向量e1,e2,
則a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2.因?yàn)閏=λa+μb(λ,μ∈R),
所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,
所以解得
所以=4.故選B.
12.如圖,在四邊形ABCD中,AC和BD相交于點(diǎn)O,設(shè)=a,=b,若=2,則=　　　 　　　.(用a和b表示)
解析:設(shè)=λ,λ∈R,
則=λ(+)=λ(+)=λ+λ.
因?yàn)镈,O,B三點(diǎn)共線,所以λ+λ=1,
所以λ=,所以=+=a+b.
答案:a+b
13.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)證明:向量a,b可以作為一組基.
(2)以{a,b}為一組基,求向量c=3e1-e2的分解式.
(3)若4e1-3e2=λa+μb(λ,μ∈R),求λ,μ的值.
(1)證明:若a,b共線,則存在λ∈R,使a=λb,
即e1-2e2=λ(e1+3e2) (1-λ)e1-(2+3λ)e2=0,由e1和e2不共線,所以1-λ=0,且2+3λ=0,λ無(wú)解,所以a,b不共線,可以作為一組基.
(2)解:設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),
則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
因?yàn)閑1與e2不共線,
所以
所以c=2a+b.
(3)解:由4e1-3e2=λa+μb,
得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,
所以
故所求λ,μ的值分別為3和1.
14.如圖,在△ABC中,AQ為邊BC的中線,=,過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AB,AC于點(diǎn)M,N,且=λ,=μ,其中λ>0,μ>0.
(1)當(dāng)∥時(shí),用,線性表示.
(2)證明:+為定值.
(1)解:因?yàn)锳Q為邊BC的中線,
所以=+.
因?yàn)椤?=,
所以=,=,
所以=×+× =+.
(2)證明:由(1)可得==(+)=(+).
因?yàn)?λ,=μ,
所以=,=,
所以=+.
由M,P,N三點(diǎn)共線,
可得+=1,
即+=5(定值).

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