資源簡介

4.2　平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標(biāo)表示,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.掌握向量和、差、數(shù)乘以及向量平行的坐標(biāo)表示,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點(diǎn)1　平面向量的坐標(biāo)表示
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基.對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量a,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a(通常稱為位置向量).由平面向量基本定理可知,有且僅有一對實數(shù)x,y,使=xi+yj.因此,a=xi+yj.我們把(x,y)稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j}下的坐標(biāo),向量a可以表示為a=(x,y).
[思考1] 向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與此向量的坐標(biāo)完全相同嗎 請簡要說明.
提示:向量的坐標(biāo)和這個向量終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同,當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時,向量的坐標(biāo)和這個向量終點(diǎn)的坐標(biāo)才相同.
[思考2] 向量可以根據(jù)需要進(jìn)行平移,則平移后的向量坐標(biāo)變化嗎 變化的是什么
提示:當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變.變化的是向量的起點(diǎn)坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo).
知識點(diǎn)2　平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如表所示.
運(yùn)算 自然語言 坐標(biāo)表示
加法 兩個向量a,b的和的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 a+b=(x1+x2,y1+y2)
減法 兩個向量a,b的差的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 a-b=(x1-x2,y1-y2)
數(shù)乘 實數(shù)λ與向量a數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積 λa=(λx1,λy1),λ∈R
(2)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1).
(3)中點(diǎn)坐標(biāo)公式:若點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則此公式為線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
知識點(diǎn)3　平面向量平行的坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系中,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,則a,b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.
[思考3] 若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a∥b時一定有=成立嗎
提示:不一定.當(dāng)b1,b2均不為0時,=成立.
[做一做] 已知非零向量a=(m2-1,m+1)與向量b=(1,-2)平行,則實數(shù)m的值為(　　)
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別
(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中有雙重含義,既可以表示一個點(diǎn),也可以表示一個向量.為了區(qū)分,我們通常說點(diǎn)A(x,y),向量a=(x,y).
向量坐標(biāo)前帶“=”,而點(diǎn)的坐標(biāo)前不帶.
探究點(diǎn)一　平面向量的坐標(biāo)表示
[例1] 已知邊長為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊在x軸上,C在第一象限,D為AC的中點(diǎn),分別求向量,,,的坐標(biāo).
求點(diǎn)、向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個點(diǎn)的坐標(biāo):可利用已知條件,先求出該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo),該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求一個向量的坐標(biāo):首先求出這個向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).
[針對訓(xùn)練] 設(shè)點(diǎn)A(1,2),B(3,5),將向量平移后得到的的坐標(biāo)為(　　)
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,7)
探究點(diǎn)二　平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
[例2] 已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),若線段BC的中點(diǎn)為M,求,+,-的坐標(biāo).
平面向量坐標(biāo)(線性)運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
[針對訓(xùn)練] 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
探究點(diǎn)三　平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用
[例3] 已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ)(λ∈R).若=+,試求λ為何值時:
(1)點(diǎn)P在第一、第三象限的角平分線上;
(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi).
[變式探究] 本例條件不變,若點(diǎn)P在第二、第四象限的角平分線上呢
坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用
(1)條件:相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等.
(2)應(yīng)用:利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件,可以建立相等關(guān)系,由此可以求出某些參數(shù)的值或點(diǎn)的坐標(biāo).
探究點(diǎn)四　平面向量平行的坐標(biāo)表示
角度1　利用平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)
[例4] 已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若(a+λb)∥c,則實數(shù)λ等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
兩平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式的應(yīng)用方法
(1)已知兩個向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)、求參數(shù)的值,要注意利用兩個向量共線的坐標(biāo)表示列方程求解.
(2)求解與向量a,b的線性運(yùn)算有關(guān)的共線問題,應(yīng)先求線性運(yùn)算的向量的坐標(biāo)后再利用共線向量的坐標(biāo)表示求解.
[針對訓(xùn)練] 已知a=(3,m),b=(2m+1,1),則“m=1”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
角度2　利用共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解三點(diǎn)共線問題
[例5] 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判斷與是否共線.如果共線,它們的方向相同還是相反
根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)研究三點(diǎn)共線的方法
已知三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求解三點(diǎn)共線問題,可從三點(diǎn)中選定一個點(diǎn)作為起點(diǎn),另外兩點(diǎn)作為終點(diǎn)構(gòu)造向量,分別求出向量的坐標(biāo),利用平面向量平行的坐標(biāo)表示求解.
[針對訓(xùn)練] 設(shè)向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),其中k∈R.若A,B,C三點(diǎn)共線,則k=　　　 　.
當(dāng)堂檢測
1.設(shè)點(diǎn)A在30°角的終邊上,||=2(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則向量的坐標(biāo)為(　　)
A.(,) B.(,)
C.(-,-) D.(-,-)
2.已知向量=(1,-5),=(-2,1),則等于(　　)
A.(4,-6) B.(-1,-4)
C.(-2,4) D.(2,-4)
3.已知向量a=(x,1),b=(1,2),且a∥b,則x的值是(　　)
A. B.0 C.1 D.2
4.已知三點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(3,m)共線,則m的值為　　　　　.
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
平面向量的坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算 1,4,7
共線向量的坐標(biāo)表示 3,5,6,11
平面向量坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 2,8,9,10,12,13,14,15
基礎(chǔ)鞏固
1.在四邊形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分別為邊AB,CD的中點(diǎn),則等于(　　)
A.(4,2) B.(-4,-2)
C.(8,4) D.(-8,-4)
2.(多選題)下列各組向量中,不能作為基的是(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=(,-)
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
3.已知向量a=(1,1),b=(2,-1),若(λa+b)∥(a-2b),則實數(shù)λ等于(　)
A. B.- C.2 D.-2
4.若{a,b}是一組基,向量c=xa+yb(x,y∈R),則稱(x,y)為向量c在基{a,b}下的坐標(biāo).現(xiàn)已知向量t在基{p=(1,2),q=(-1,1)}下的坐標(biāo)為(-1,-3),則向量t在另一組基{m=(1,-1),n=(0,-1)}下的坐標(biāo)為(　　)
A.(-1,-3) B.(2,-3)
C.(2,-5) D.(2,3)
5.(多選題)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),則下列敘述不正確的是(　　)
A.存在實數(shù)x,使a∥b
B.存在實數(shù)x,使(a+b)∥a
C.存在實數(shù)x,m,使(ma+b)∥a
D.存在實數(shù)x,m,使(ma+b)∥b
6.(2021·全國乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=　　　　.
7.已知點(diǎn)A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=2,AC與BD交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為　.
8.設(shè)a=(1,2),b=(-1,1),c=(-5,-4).
(1)試用a,b表示c;
(2)若(a+kb)∥c,求k的值,說明此時(a+kb)與c是同向還是反向.
能力提升
9.(多選題)已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5),D是BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),點(diǎn)M是△ABC的重心,且=,則(　　)
A.M(,) B.D(,)
C.N(,) D.3-=(4,-2)
10.(多選題)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),則下列選項正確的是(　　)
A.+=(λ-1,1-μ)
B.若∥,則λ=2,μ=
C.若A是BD的中點(diǎn),則B,C兩點(diǎn)重合
D.若點(diǎn)B,C,D共線,則μ=1
11.已知a=(x,m),b=(3x-2,x+2).
(1)若a=b,則m=　　 　　;
(2)若存在實數(shù)x,使得a∥b,則實數(shù)m的取值范圍是　　　 　　.
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,-2),B(2,1),C(3,2).
(1)若點(diǎn)D(-2,3),=a,=b,試用基{a,b}表示++.
(2)若=+λ(λ∈R),且點(diǎn)P在第四象限,求λ的取值范圍.
13.已知平行四邊形 ABCD 的三個頂點(diǎn)分別為A(-2,-1),
B(2,2),C(1,3),且A,B,C,D按逆時針方向排列.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)在①b=,②b=這兩個條件中任選一個填序號補(bǔ)充在下面的橫線上,并解答.
已知a=(1,2),　　　　,且ka+b與平行,求k的值.
應(yīng)用創(chuàng)新
14.設(shè)=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三點(diǎn)共線,則+的最小值為　　 　　.
15.已知在平行四邊形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示 .
(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,求和的坐標(biāo).4.2　平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標(biāo)表示,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.掌握向量和、差、數(shù)乘以及向量平行的坐標(biāo)表示,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點(diǎn)1　平面向量的坐標(biāo)表示
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基.對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量a,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a(通常稱為位置向量).由平面向量基本定理可知,有且僅有一對實數(shù)x,y,使=xi+yj.因此,a=xi+yj.我們把(x,y)稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j}下的坐標(biāo),向量a可以表示為a=(x,y).
[思考1] 向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與此向量的坐標(biāo)完全相同嗎 請簡要說明.
提示:向量的坐標(biāo)和這個向量終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同,當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時,向量的坐標(biāo)和這個向量終點(diǎn)的坐標(biāo)才相同.
[思考2] 向量可以根據(jù)需要進(jìn)行平移,則平移后的向量坐標(biāo)變化嗎 變化的是什么
提示:當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變.變化的是向量的起點(diǎn)坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo).
知識點(diǎn)2　平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如表所示.
運(yùn)算 自然語言 坐標(biāo)表示
加法 兩個向量a,b的和的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 a+b=(x1+x2,y1+y2)
減法 兩個向量a,b的差的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 a-b=(x1-x2,y1-y2)
數(shù)乘 實數(shù)λ與向量a數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積 λa=(λx1,λy1),λ∈R
(2)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1).
(3)中點(diǎn)坐標(biāo)公式:若點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則此公式為線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
知識點(diǎn)3　平面向量平行的坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系中,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,則a,b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.
[思考3] 若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a∥b時一定有=成立嗎
提示:不一定.當(dāng)b1,b2均不為0時,=成立.
[做一做] 已知非零向量a=(m2-1,m+1)與向量b=(1,-2)平行,則實數(shù)m的值為(　D　)
A.-1或 B.1或-
C.-1 D.
解析:由題意得-2(m2-1)-1×(m+1)=0,且m≠-1,解得m=.
向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別
(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中有雙重含義,既可以表示一個點(diǎn),也可以表示一個向量.為了區(qū)分,我們通常說點(diǎn)A(x,y),向量a=(x,y).
向量坐標(biāo)前帶“=”,而點(diǎn)的坐標(biāo)前不帶.
探究點(diǎn)一　平面向量的坐標(biāo)表示
[例1] 已知邊長為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊在x軸上,C在第一象限,D為AC的中點(diǎn),分別求向量,,,的坐標(biāo).
解:如圖,正三角形ABC的邊長為2,
則頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),
所以C(1,),D(,),
所以=(2,0),=(1,),=(1-2,-0)=(-1,),
=(-2,-0)=(-,).
求點(diǎn)、向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個點(diǎn)的坐標(biāo):可利用已知條件,先求出該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo),該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求一個向量的坐標(biāo):首先求出這個向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).
[針對訓(xùn)練] 設(shè)點(diǎn)A(1,2),B(3,5),將向量平移后得到的的坐標(biāo)為(　　)
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,7)
解析:因為A(1,2),B(3,5),所以=(2,3),
由題意知與方向相同,大小也相等,只是位置不同,
于是==(2,3).
故選B.
探究點(diǎn)二　平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
[例2] 已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),若線段BC的中點(diǎn)為M,求,+,-的坐標(biāo).
解:由線段BC的中點(diǎn)為M可知M(,),即M(-4,8),
所以=(-6,12).因為=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
所以+=(-2,10)+(-8,4)=(-10,14),
-=(-8,4)-(-10,14)=(-3,-3).
平面向量坐標(biāo)(線性)運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
[針對訓(xùn)練] 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)
=(-2,4)+(6,3)
=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)
=(-1,2)-(6,3)
=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)
=(-,1)-(,)
=(-,).
探究點(diǎn)三　平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用
[例3] 已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ)(λ∈R).若=+,試求λ為何值時:
(1)點(diǎn)P在第一、第三象限的角平分線上;
(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi).
解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
則=(x-2,y-3),
+=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ).
因為=+,
所以則
(1)若點(diǎn)P在第一、第三象限角的平分線上,
則5+5λ=4+7λ,所以λ=.
(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi),則
所以λ<-1.
[變式探究] 本例條件不變,若點(diǎn)P在第二、第四象限的角平分線上呢
解:由本例解題過程可知,若點(diǎn)P在第二、第四象限的角平分線上,則5+5λ+4+7λ=0,
所以λ=-.
坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用
(1)條件:相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等.
(2)應(yīng)用:利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件,可以建立相等關(guān)系,由此可以求出某些參數(shù)的值或點(diǎn)的坐標(biāo).
探究點(diǎn)四　平面向量平行的坐標(biāo)表示
角度1　利用平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)
[例4] 已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若(a+λb)∥c,則實數(shù)λ等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
解析:因為a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),所以a+λb=(1+λ,2).因為(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-2×3=0,解得λ=.故選C.
兩平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式的應(yīng)用方法
(1)已知兩個向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)、求參數(shù)的值,要注意利用兩個向量共線的坐標(biāo)表示列方程求解.
(2)求解與向量a,b的線性運(yùn)算有關(guān)的共線問題,應(yīng)先求線性運(yùn)算的向量的坐標(biāo)后再利用共線向量的坐標(biāo)表示求解.
[針對訓(xùn)練] 已知a=(3,m),b=(2m+1,1),則“m=1”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:由a∥b可得m(2m+1)=3,解得m=-或m=1,所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要條件.故選A.
角度2　利用共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解三點(diǎn)共線問題
[例5] 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判斷與是否共線.如果共線,它們的方向相同還是相反
解:由題意,得=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
法一　因為(-2)×(-6)-3×4=0,且(-2)×4<0,所以與共線且方向相反.
法二　因為=-2,所以與共線且方向相反.
根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)研究三點(diǎn)共線的方法
已知三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求解三點(diǎn)共線問題,可從三點(diǎn)中選定一個點(diǎn)作為起點(diǎn),另外兩點(diǎn)作為終點(diǎn)構(gòu)造向量,分別求出向量的坐標(biāo),利用平面向量平行的坐標(biāo)表示求解.
[針對訓(xùn)練] 設(shè)向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),其中k∈R.若A,B,C三點(diǎn)共線,則k=　　　 　.
解析:由題意知,共線.
因為=-=(4-k,-7),
=-=(10-k,k-12),
所以(4-k)×(k-12)=(10-k)×(-7),
所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.
故若A,B,C三點(diǎn)共線,則k=-2或11.
答案:-2或11
當(dāng)堂檢測
1.設(shè)點(diǎn)A在30°角的終邊上,||=2(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則向量的坐標(biāo)為(　A　)
A.(,) B.(,)
C.(-,-) D.(-,-)
解析:因為點(diǎn)A在30°角的終邊上,||=2(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),所以點(diǎn)A在第一象限,且到原點(diǎn)的距離為2,則A的橫坐標(biāo)為x=2cos 30°=,縱坐標(biāo)為y=2sin 30°=,所以向量的坐標(biāo)為(,).故選A.
2.已知向量=(1,-5),=(-2,1),則等于(　B　)
A.(4,-6) B.(-1,-4)
C.(-2,4) D.(2,-4)
解析:=+=(-1,-4).故選B.
3.已知向量a=(x,1),b=(1,2),且a∥b,則x的值是(　A　)
A. B.0 C.1 D.2
解析:因為a∥b,所以2x-1=0 x=.
故選A.
4.已知三點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(3,m)共線,則m的值為　　　　　.
解析:由題知=(1,2),=(2,m-2).
因為A,B,C三點(diǎn)共線,所以與共線,
所以m-2-4=0,所以m=6.
答案:6
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
平面向量的坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算 1,4,7
共線向量的坐標(biāo)表示 3,5,6,11
平面向量坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 2,8,9,10,12,13,14,15
基礎(chǔ)鞏固
1.在四邊形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分別為邊AB,CD的中點(diǎn),則等于(　A　)
A.(4,2) B.(-4,-2)
C.(8,4) D.(-8,-4)
解析:由題意知E(-,),F(,),
所以=(,)-(-,)=(4,2).故選A.
2.(多選題)下列各組向量中,不能作為基的是(　ACD　)
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=(,-)
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
解析:對于A,e1=(0,0),e2=(1,1),由零向量與任意向量共線,可知兩個向量不能作為基;對于B,因為e1=(1,2),e2=(-2,1),所以1×1-2×(-2)=5≠0,所以兩個向量不共線,可以作為基;對于C,因為e1=(-3,4),e2=(,-),所以-3×(-)-4×=0,可知兩個向量共線,故不可以作為基;對于D,由e1=(2,6),e2=(-1,-3),得2×(-3)-6×(-1)=0,可知兩個向量共線,故不能作為基.故選ACD.
3.已知向量a=(1,1),b=(2,-1),若(λa+b)∥(a-2b),則實數(shù)λ等于(　B　)
A. B.- C.2 D.-2
解析:由已知得λa+b=(λ+2,λ-1),a-2b=(-3,3),又因為(λa+b)∥(a-2b),
所以3(λ+2)=-3(λ-1),解得λ=-.故選B.
4.若{a,b}是一組基,向量c=xa+yb(x,y∈R),則稱(x,y)為向量c在基{a,b}下的坐標(biāo).現(xiàn)已知向量t在基{p=(1,2),q=(-1,1)}下的坐標(biāo)為(-1,-3),則向量t在另一組基{m=(1,-1),n=(0,-1)}下的坐標(biāo)為(　D　)
A.(-1,-3) B.(2,-3)
C.(2,-5) D.(2,3)
解析:由已知條件知,t=-(1,2)-3(-1,1)=(2,-5),即t在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)為(2,-5).
設(shè)t=xm+yn,則t=x(1,-1)+y(0,-1)=(x,-x-y)=(2,-5),所以解得x=2,y=3,故向量t在基{m,n}下的坐標(biāo)為(2,3).故選D.
5.(多選題)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),則下列敘述不正確的是(　ABC　)
A.存在實數(shù)x,使a∥b
B.存在實數(shù)x,使(a+b)∥a
C.存在實數(shù)x,m,使(ma+b)∥a
D.存在實數(shù)x,m,使(ma+b)∥b
解析:只有D正確,可令m=0,則ma+b=b,無論x為何值,都有b∥b.故選ABC.
6.(2021·全國乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=　　　　.
解析:因為a∥b,所以a=kb(k∈R),
即(2,5)=k(λ,4),得解得
答案:
7.已知點(diǎn)A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=2,AC與BD交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為　.
解析:結(jié)合題意,如圖,設(shè)C(x,y),M(x1,y1),
易得=(x-3,y-2),=(1,4),
由=2,可得(x-3,y-2)=2(1,4),
解得即C(5,10).
因為=2,所以△DMA∽△BMC,
所以==,所以=,
即(x1+1,y1-1)=(6,9)=(2,3),
解得即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4).
答案:(1,4)
8.設(shè)a=(1,2),b=(-1,1),c=(-5,-4).
(1)試用a,b表示c;
(2)若(a+kb)∥c,求k的值,說明此時(a+kb)與c是同向還是反向.
解:(1)設(shè)c=xa+yb(x,y∈R),
依題意,(-5,-4)=x(1,2)+y(-1,1)=(x-y,2x+y),從而
解得所以c=-3a+2b.
(2)依題意,a+kb=(1-k,2+k),
而c=(-5,-4),由(a+kb)∥c,
得=,解得k=-,
此時a+kb=(,)與c反向.
能力提升
9.(多選題)已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5),D是BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),點(diǎn)M是△ABC的重心,且=,則(　ABD　)
A.M(,) B.D(,)
C.N(,) D.3-=(4,-2)
解析:設(shè)點(diǎn)M(x,y),則
A正確;D是BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),則3=,設(shè)D(a,b),則3(a-2,b-3)=(-4,2),即解得B正確;設(shè)N(c,d),則=(c-,d-),又=(1,1),=,所以解得C錯誤;3-=3(,)-(-3,3)=(4,-2),D正確.故選ABD.
10.(多選題)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),則下列選項正確的是(　AC　)
A.+=(λ-1,1-μ)
B.若∥,則λ=2,μ=
C.若A是BD的中點(diǎn),則B,C兩點(diǎn)重合
D.若點(diǎn)B,C,D共線,則μ=1
解析:A選項,+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=
(λ-1,1-μ),A選項正確;若∥,則λ·μ=1,故可取λ=3,
μ=,B選項錯誤;若A是BD的中點(diǎn),則=-,即(λ,1)=
(-1,-μ) λ=μ=-1,所以==(-1,1),所以B,C兩點(diǎn)重合,C選項正確;由于B,C,D三點(diǎn)共線,所以∥,
=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),
=-=(1-λ,μ-1),
則(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ) λ=-1或μ=1,所以D選項錯誤.
故選AC.
11.已知a=(x,m),b=(3x-2,x+2).
(1)若a=b,則m=　　 　　;
(2)若存在實數(shù)x,使得a∥b,則實數(shù)m的取值范圍是　　　 　　.
解析:(1)因為a=b,所以
即 m=3.
(2)因為a∥b,所以存在實數(shù)λ,使得a=λb成立,則有 x(x+2)=m(3x-2),因為該方程有實數(shù)解,所以x2+(2-3m)x+2m=0,于是有Δ=(2-3m)2-8m≥0 m≥2或m≤.
答案:(1)3　(2)(-∞,]∪[2,+∞)
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,-2),B(2,1),C(3,2).
(1)若點(diǎn)D(-2,3),=a,=b,試用基{a,b}表示++.
(2)若=+λ(λ∈R),且點(diǎn)P在第四象限,求λ的取值范圍.
解:(1)=(1,3),=(2,4),=(-3,5),=(-4,2),=(-5,1),
所以++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
由題意,知存在實數(shù)m,n,使得++=m+n,
則(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n),
可得解得
所以++=32-22,
即++=32a-22b.
(2)設(shè)P(x,y),則=(x-1,y+2),
又=+λ=(1,3)+λ(2,4)=(1+2λ,3+4λ),則即
又點(diǎn)P在第四象限,
所以解得-1<λ<-.
故λ的取值范圍是(-1,-).
13.已知平行四邊形 ABCD 的三個頂點(diǎn)分別為A(-2,-1),
B(2,2),C(1,3),且A,B,C,D按逆時針方向排列.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)在①b=,②b=這兩個條件中任選一個填序號補(bǔ)充在下面的橫線上,并解答.
已知a=(1,2),　　　　,且ka+b與平行,求k的值.
解:(1)設(shè)D(x,y),=(2,2)-(-2,-1)=(4,3),=(1,3)-(x,y)=(1-x,3-y),
因為=,
所以解得故D(-3,0).
(2)選擇①,a=(1,2),b=(4,3),ka+b=(k,2k)+(4,3)=(k+4,2k+3),=(-3,0)-(2,2)=(-5,-2),由題意得-2(k+4)=-5(2k+3),解得k=-.
選擇②,a=(1,2),b=(-1,1),ka+b=(k,2k)+(-1,1)=(k-1,2k+1),
=(-3,0)-(2,2)=(-5,-2),由題意得-2(k-1)=-5(2k+1),解得k=-.
應(yīng)用創(chuàng)新
14.設(shè)=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三點(diǎn)共線,則+的最小值為　　 　　.
解析:由題意,得=-=(-a+2,-2),=-=(b+2,-4).又A,B,C三點(diǎn)共線,則∥,所以-4(-a+2)=-2(b+2),整理得2a+b=2,
又a>0,b>0,所以+=(2a+b)(+)=(3++)≥(3+2)=
,當(dāng)且僅當(dāng)a=2-,b=2-2時,等號成立.
答案:
15.已知在平行四邊形ABCD中,=2,=2,=2.
(1)用,表示 .
(2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,求和的坐標(biāo).
解:(1)=+,=+,
又=2,所以-=2(-),
所以=+=+.
(2)過點(diǎn)D作AB的垂線交AB于點(diǎn)D′,如圖,
于是在Rt△ADD′中,由∠BAD=45°可知,AD′=3,根據(jù)題意得各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0),B(6,0),D(3,3),F(7,1),
=+=(6,0)+(3,3)=(,),
=-=(,-),=(4,-2).

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