資源簡介

§5　從力的做功到向量的數量積
5.1　向量的數量積
學習目標
1.通過物理中“功”等實例,理解平面向量數量積的含義及其物理意義,提高數學抽象的核心素養.
2.了解平面向量的數量積與投影向量的關系,增強直觀想象的核心素養.
3.掌握向量數量積的運算律及其應用,提升數學抽象與數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　向量的數量積的定義
(1)非零向量a與b的夾角記為或θ(0°≤θ≤180°),|a||b|cos θ稱為a與b的數量積(或內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ.
(2)規定:零向量與任一向量的數量積為0.
[做一做1] 已知|a|=,|b|=2,a與b的夾角是120°,則a·b等于(　B　)
A.3 B.-3 C.-3 D.3
解析:由數量積的定義,
得a·b=|a||b|cos 120°=×2×(-)=-3.故選B.
知識點2　投影向量和投影數量
(1)投影向量.
如圖,已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,過點A向直線OB作垂線,垂足為A′,得到向量γ=,γ稱為a在b上的投影向量.
(2)投影向量的數量.
|a|cos稱為投影向量γ的數量,也稱為向量a在向量b方向上的投影數量,可以表示為a·.
[思考] 兩個向量的數量積a·b的幾何意義是什么
提示:設a,b的夾角為θ,則a·b的幾何意義是b的長度|b|與a在b方向上的投影數量|a|cos θ的乘積;或a的長度|a|與b在a方向上的投影數量|b|cos θ的乘積.
[做一做2] 已知|a|=3,向量a與b的夾角θ為,則a在b方向上的投影數量為　　 　　.
解析:向量a在b方向上的投影數量為|a|cos θ=3×cos=.
答案:
知識點3　數量積的運算性質
(1)數量積的運算律.(對任意的向量a,b,c和實數λ)
①交換律:a·b=b·a.
②與數乘的結合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
③關于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
(2)數量積的性質.
①若e是單位向量,則a·e=e·a=|a|cos.
②若a,b是非零向量,則a·b=0 a⊥b.
③a·a=|a|2,即|a|=.
④cos=(|a||b|≠0).
⑤|a·b|≤|a||b|,當且僅當a∥b時等號成立.
[做一做3] 已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a·b=1,則向量a與a-b的夾角為　　　 　.
解析:|a-b|====,
設向量a與a-b的夾角為θ,
則cos θ===.
又θ∈[0,π],所以θ=.
答案:
探究點一　向量數量積的計算
[例1] 已知|a|=5,|b|=4,當a與b滿足下列條件時,分別求a·b.
(1)a與b的夾角為.
(2)a⊥b.
(3)a與b的夾角為.
(4)a∥b.
解:(1)a·b=|a||b|cos=5×4×(-)=-10.
(2)a·b=|a||b|cos=0.
(3)a·b=|a||b|cos=5×4×=10.
(4)因為a∥b,所以當a,b同向時,
a·b=|a||b|cos=5×4×1=20;
當a,b反向時,a·b=|a||b|cos=5×4×(-1)=-20.
求向量的數量積時,需明確兩個關鍵點:相關向量的模和夾角.若相關向量是兩個或兩個以上向量的線性運算,則需先利用向量數量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡.
[針對訓練] (多選題)已知向量a,b,c,下列選項中正確的有(　　)
A.|a|2=a2
B.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.|a·b|≤|a||b|
解析:選項A中,a2=a·a=|a|·|a|·cos 0=|a|2,A正確;選項B中,左邊=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右邊,所以B正確;選項C中,a·(b+c)=a·b+a·c滿足分配律,C正確;選項D中,|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|(其中θ為向量a與b的夾角),D正確.故選ABCD.
探究點二　投影向量和投影數量
[例2] (1)已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=4,(a+b)·(2a-3b)=12,則向量b在向量a上的投影向量為(　　)
A.a B.2b C.a D.2b
(2)已知a·b=16,若a在b方向上的投影數量為4,則|b|=　　　　.
解析:(1)a·b=|a|·|b|cos 45°=4|b|cos 45°=2|b|,又(a+b)·(2a-3b)=|a|2+a·b-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去).則向量b在向量a上的投影向量為
|b|cos 45°=1×=a.故選A.
(2)設a與b的夾角為θ,因為a·b=16,
所以|a||b|cos θ=16.
又因為a在b方向上的投影數量為4,
所以|a|cos θ=4,所以|b|=4.
答案:(1)A　(2)4
a在b方向上的投影數量是一個“數量”,其值為|a|cos=a·,而a在b上的投影是向量,這個向量等于(|a|cos)·=·b.
[針對訓練] (1)已知|a|=2,|b|=10,a與b的夾角為120°,與a同向的單位向量為e,則向量b在向量a上的投影向量為(　　)
A.e B.-e C.5e D.-5e
(2)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,則在方向上的投影數量為　　　　,在方向上的投影數量為　 .
解析:(1)向量b在向量a上的投影向量為
e=e=-5e.故選D.
(2)因為||=5,||=4,||=3,所以△ABC是直角三角形.
因為cos A=,所以在方向上的投影數量為||cos A=3×=.
因為cos B=,
所以在方向上的投影數量為||·(-cos B)=5×(-)=-4.
答案:(1)D　(2)　-4
探究點三　求向量的模和向量的夾角
[例3] 已知非零向量a,b滿足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)當a·b=-時,求向量a與a+2b的夾角θ.
解:(1)因為(a-b)·(a+b)=,即a2-b2=,
即|a|2-|b|2=,
所以|b|2=|a|2-=1-=,故|b|=.
(2)因為|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1.
又因為a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=,
所以cos θ==,
又θ∈[0,π],故θ=.
求向量的模與向量夾角的思路
(1)求解向量模的問題就是要靈活應用a2=|a|2,即|a|=.
(2)求向量的夾角,主要是利用公式cos=求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關系,然后代入求解.
[針對訓練] (1)若平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,則|2a+b|等于(　　)
A. B.2 C.2 D.8
(2)已知向量a,b,|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°,若a+b與ta-b的夾角為鈍角,則實數t的取值范圍是　　　　　　　　.
解析:(1)因為|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,所以a⊥b,所以a·b=0.故|2a+b|===2.故選B.
(2)因為a+b與ta-b的夾角為鈍角,所以(a+b)·(ta-b)=ta2-a·b+ta·b-b2<0.又|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°,所以ta2-a·b+ta·b-b2=t-+t-1<0,即t-<0,解得t<1.又a+b與ta-b不共線,所以t≠-1,所以實數t的取值范圍為(-∞,-1)∪(-1,1).
答案:(1)B　(2)(-∞,-1)∪(-1,1)
探究點四　與向量垂直有關的問題
[例4] (2024·新課標Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,則|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
解析:因為(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,
即b2=2a·b.
又因為|a|=1,|a+2b|=2,
所以(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+6b2=4,
從而|b|=.故選B.
對于非零向量a,b,a⊥b a·b=0是向量中非常重要的性質,其作用主要有:(1)證明兩向量垂直;(2)利用a·b=0列方程求未知數的值;(3)解決平面幾何圖形中的垂直問題.
[針對訓練] 在△ABC中,∠A=60°,AB=1,AC=2,=λ+(1-λ),且⊥,則實數λ的值為(　　)
A. B. C. D.
解析:因為=λ+(1-λ)=-λ+(1-λ)(-)=
(1-λ)-,又⊥,所以·=[(1-λ)-]·
=(1-λ)-·=0,所以4(1-λ)-1×2×=0.解得λ=.
故選D.
當堂檢測
1.若兩個單位向量的數量積等于-1,則這兩個單位向量的夾角為(　D　)
A.0 B. C. D.π
解析:設兩個單位向量分別為e1,e2,
則e1·e2=|e1|·|e2|cos=cos=-1,
因為∈[0,π],所以=π.故選D.
2.已知||=,||=1,且,的夾角為,則||等于(　D　)
A.1 B. C.2 D.
解析:由題意得=-,
所以||2==-2·+
=1-2××1×cos+2=5,故||=.
故選D.
3.已知|a|=2,且a與b的夾角為60°,e為與b方向相同的單位向量,則向量a在向量b上的投影向量為　　　　　.
解析:因為a與b的夾角為60°,所以a在向量b上的投影向量為|a|cos 60°e=2×e=e.
答案:e
4.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b與λa-b垂直,則λ=　　　　.
解析:因為a⊥b,所以a·b=0,所以(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0,所以λ=.
答案:
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量數量積的定義、投影向量 1,3
向量數量積的運算律 2,4,6,7
向量數量積的應用 5,8,9,10
基礎鞏固
1.已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=4,向量a與向量b的夾角的余弦值為,則向量a在向量b上的投影向量為(　D　)
A.a B.3a C.b D.b
解析:向量a在向量b上的投影向量為(|a|cos)=(3×) =b.故選D.
2.設a,b是單位向量,若a⊥b,則(a+b)·b的值為(　A　)
A.1 B.0 C.-1 D.-
解析:因為a⊥b,所以a·b=0,所以(a+b)·b=a·b+b2=0+1=1.故選A.
3.短邊與長邊的比為≈0.618的矩形叫作黃金矩形,它廣泛地出現在藝術、建筑、人體和自然界中.在黃金矩形ABCD中,BC=-1,AB>BC,那么·的值為(　C　)
A.-1 B.+1
C.4 D.2+2
解析:由黃金矩形的定義,可得AB=2.在矩形ABCD中,cos∠CAB=,則·=||||·cos∠CAB=||2=4.故選C.
4.已知平面向量a與b為單位向量,它們的夾角為,則|2a+b|等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:因為a·b=|a||b|cos=cos=,
所以|2a+b|====.故選D.
5.(多選題)下列說法正確的是(　ACD　)
A.已知a,b為平面內兩個不共線的向量,則{a+b,-a+3b}可作為平面的一組基
B.若a∥b,則存在唯一實數λ,使得a=λb
C.兩個非零向量a,b,若|2a+3b|=-2|a|+3|b|,則a與b共線且反向
D.在△ABC中,·=||||,(-)·(+)=0,
則△ABC為等邊三角形
解析:由a,b為平面內兩個不共線的向量,所以設a+b=λ(-a+3b)=
-λa+3λb(λ∈R),所以則λ不存在,所以a+b與-a+3b不共線,則{a+b,-a+3b}可作為平面的一組基,故A正確;只有當b≠0時,若a∥b,則存在唯一實數λ,使得a=λb,故B錯誤;因為兩個非零向量a,b,設a與b夾角為α,由|2a+3b|=-2|a|+3|b|,平方得4a2+12a·
b+9b2=4|a|2-12|a|·|b|+9|b|2,a·b=-|a|·|b|,所以cos α=-1,又α∈[0,π],所以α=π,則a與b共線且反向,故C正確;在△ABC中,·=||||,所以cos A=,A∈(0,π),所以A=,由(-)·(+)=0,得-=0,即||=||,則△ABC為等邊三角形,故D正確.故選ACD.
6.已知平面向量a,b滿足|a-2b|=,|a|=3,若cos=,則|b|=　　　 　.
解析:由題知,|a-2b|=,|a|=3,
cos=,
則|a-2b|====,
整理可得4|b|2-3|b|-10=0,
解得|b|=2或-(舍去),故|b|=2.
答案:2
7.若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|b|,則向量a+b與a的夾角為　　　　.
解析:設|b|=1,則|a+b|=|a-b|=2.
由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,
故以a,b為鄰邊的平行四邊形是矩形,且|a|=.
設向量a+b與a的夾角為θ,
則cos θ==
==,
又0≤θ≤π,所以θ=.
答案:
能力提升
8.如圖所示,在邊長為2的正三角形ABC中,= +,=+,則·等于(　D　)
A.-1 B.-2 C.1 D.2
解析:因為=+,=+,
所以=,=.
所以=+=-++
=-++ - =+.
所以·=(+)·
=+·
=+||·||cos 60°=2.故選D.
9.(多選題)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,D,E分別是AC,AB上的點,且=,=2,BD與CE交于點O,則下列說法正確的是(　ABD　)
A.=+
B.|++|=
C.·=-1
D.在上的投影向量為
解析:如圖,
因為BD與CE交于點O,則,共線,,共線,
設=λ(λ∈R),
因為=+=-,
所以=-=λ+
=-λ+ λ+-
=(λ-1)+(1-λ).
又=-=-+,且與共線,
所以 μ∈R,使得=μ,
即( λ-1)+(1-λ)=-μ+.因為,不共線,
所以解得
所以=×(-+)=-,
所以=+=+,故A正確.由A項分析可知,=-,=+,=-+,所以++=-+,所以|++|=|++|===,故B正確.由A項分析知,=-+,=-,所以·=(-+)·(-)=--+·=-×22-×22+×22×=-2,故C錯誤.因為=-=-+,=-+,所以·=(-+)·(-+)=+-·=×4+×4-×2=,又||=2,所以在上的投影向量為()=,故D正確.故選ABD.
10.單位向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-,且a與b不共線,若ka+b與a+3b的夾角為銳角,則實數k的取值范圍為　　　　 　　　　.
解析:因為ka+b與a+3b的夾角為銳角,
所以(ka+b)·(a+3b)>0,
且ka+b與a+3b不共線,當ka+b與a+3b共線時,有ka+b=λ(a+3b),λ∈R,即ka+b=λa+3λb.
又a與b不共線,所以解得k=,所以當ka+b與a+3b不共線時,k≠.
由(ka+b)·(a+3b)>0,
得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-,
所以k>-且k≠.
答案:(-,)∪(,+∞)§5　從力的做功到向量的數量積
5.1　向量的數量積
學習目標
1.通過物理中“功”等實例,理解平面向量數量積的含義及其物理意義,提高數學抽象的核心素養.
2.了解平面向量的數量積與投影向量的關系,增強直觀想象的核心素養.
3.掌握向量數量積的運算律及其應用,提升數學抽象與數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　向量的數量積的定義
(1)非零向量a與b的夾角記為或θ(0°≤θ≤180°),|a||b|cos θ稱為a與b的數量積(或內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ.
(2)規定:零向量與任一向量的數量積為0.
[做一做1] 已知|a|=,|b|=2,a與b的夾角是120°,則a·b等于(　　)
A.3 B.-3 C.-3 D.3
知識點2　投影向量和投影數量
(1)投影向量.
如圖,已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,過點A向直線OB作垂線,垂足為A′,得到向量γ=,γ稱為a在b上的投影向量.
(2)投影向量的數量.
|a|cos稱為投影向量γ的數量,也稱為向量a在向量b方向上的投影數量,可以表示為a·.
[思考] 兩個向量的數量積a·b的幾何意義是什么
提示:設a,b的夾角為θ,則a·b的幾何意義是b的長度|b|與a在b方向上的投影數量|a|cos θ的乘積;或a的長度|a|與b在a方向上的投影數量|b|cos θ的乘積.
[做一做2] 已知|a|=3,向量a與b的夾角θ為,則a在b方向上的投影數量為　　 　　.
知識點3　數量積的運算性質
(1)數量積的運算律.(對任意的向量a,b,c和實數λ)
①交換律:a·b=b·a.
②與數乘的結合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
③關于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
(2)數量積的性質.
①若e是單位向量,則a·e=e·a=|a|cos.
②若a,b是非零向量,則a·b=0 a⊥b.
③a·a=|a|2,即|a|=.
④cos=(|a||b|≠0).
⑤|a·b|≤|a||b|,當且僅當a∥b時等號成立.
[做一做3] 已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a·b=1,則向量a與a-b的夾角為　　　 　.
探究點一　向量數量積的計算
[例1] 已知|a|=5,|b|=4,當a與b滿足下列條件時,分別求a·b.
(1)a與b的夾角為.
(2)a⊥b.
(3)a與b的夾角為.
(4)a∥b.
求向量的數量積時,需明確兩個關鍵點:相關向量的模和夾角.若相關向量是兩個或兩個以上向量的線性運算,則需先利用向量數量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡.
[針對訓練] (多選題)已知向量a,b,c,下列選項中正確的有(　　)
A.|a|2=a2
B.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.|a·b|≤|a||b|
探究點二　投影向量和投影數量
[例2] (1)已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=4,(a+b)·(2a-3b)=12,則向量b在向量a上的投影向量為(　　)
A.a B.2b C.a D.2b
(2)已知a·b=16,若a在b方向上的投影數量為4,則|b|=　　　　.
a在b方向上的投影數量是一個“數量”,其值為|a|cos=a·,而a在b上的投影是向量,這個向量等于(|a|cos)·=·b.
[針對訓練] (1)已知|a|=2,|b|=10,a與b的夾角為120°,與a同向的單位向量為e,則向量b在向量a上的投影向量為(　　)
A.e B.-e C.5e D.-5e
(2)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,則在方向上的投影數量為　　　　,在方向上的投影數量為　 .
探究點三　求向量的模和向量的夾角
[例3] 已知非零向量a,b滿足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)當a·b=-時,求向量a與a+2b的夾角θ.
求向量的模與向量夾角的思路
(1)求解向量模的問題就是要靈活應用a2=|a|2,即|a|=.
(2)求向量的夾角,主要是利用公式cos=求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關系,然后代入求解.
[針對訓練] (1)若平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=|a-b|,則|2a+b|等于(　　)
A. B.2 C.2 D.8
(2)已知向量a,b,|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°,若a+b與ta-b的夾角為鈍角,則實數t的取值范圍是　　　　　　　　.
探究點四　與向量垂直有關的問題
[例4] (2024·新課標Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,則|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
對于非零向量a,b,a⊥b a·b=0是向量中非常重要的性質,其作用主要有:(1)證明兩向量垂直;(2)利用a·b=0列方程求未知數的值;(3)解決平面幾何圖形中的垂直問題.
[針對訓練] 在△ABC中,∠A=60°,AB=1,AC=2,=λ+(1-λ),且⊥,則實數λ的值為(　　)
A. B. C. D.
當堂檢測
1.若兩個單位向量的數量積等于-1,則這兩個單位向量的夾角為(　　)
A.0 B. C. D.π
2.已知||=,||=1,且,的夾角為,則||等于(　　)
A.1 B. C.2 D.
3.已知|a|=2,且a與b的夾角為60°,e為與b方向相同的單位向量,則向量a在向量b上的投影向量為　　　　　.
4.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b與λa-b垂直,則λ=　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量數量積的定義、投影向量 1,3
向量數量積的運算律 2,4,6,7
向量數量積的應用 5,8,9,10
基礎鞏固
1.已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=4,向量a與向量b的夾角的余弦值為,則向量a在向量b上的投影向量為(　　)
A.a B.3a C.b D.b
2.設a,b是單位向量,若a⊥b,則(a+b)·b的值為(　　)
A.1 B.0 C.-1 D.-
3.短邊與長邊的比為≈0.618的矩形叫作黃金矩形,它廣泛地出現在藝術、建筑、人體和自然界中.在黃金矩形ABCD中,BC=-1,AB>BC,那么·的值為(　　)
A.-1 B.+1
C.4 D.2+2
4.已知平面向量a與b為單位向量,它們的夾角為,則|2a+b|等于(　　)
A. B. C. D.
5.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.已知a,b為平面內兩個不共線的向量,則{a+b,-a+3b}可作為平面的一組基
B.若a∥b,則存在唯一實數λ,使得a=λb
C.兩個非零向量a,b,若|2a+3b|=-2|a|+3|b|,則a與b共線且反向
D.在△ABC中,·=||||,(-)·(+)=0,
則△ABC為等邊三角形
6.已知平面向量a,b滿足|a-2b|=,|a|=3,若cos=,則|b|=　　　 　.
7.若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|b|,則向量a+b與a的夾角為　　　　.
能力提升
8.如圖所示,在邊長為2的正三角形ABC中,= +,=+,則·等于(　　)
A.-1 B.-2 C.1 D.2
9.(多選題)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,D,E分別是AC,AB上的點,且=,=2,BD與CE交于點O,則下列說法正確的是(　　)
A.=+
B.|++|=
C.·=-1
D.在上的投影向量為
10.單位向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-,且a與b不共線,若ka+b與a+3b的夾角為銳角,則實數k的取值范圍為　　　　 　　　　.

展開更多......

收起↑