資源簡介

5.2　向量數量積的坐標表示
5.3　利用數量積計算長度與角度
學習目標
1.掌握平面向量數量積的坐標表示及其運算,培養數學運算的核心素養.
2.能夠用向量的坐標表示及向量數量積的運算律求向量的夾角與長度,提高數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　向量數量積的坐標表示
如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:
數量積 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
[思考1] 已知向量a=(x,y),則與a垂直的向量的坐標是什么
提示:由向量垂直的關系式可得b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,因此λ(-y,x)=(-λy,λx)(λ∈R)是與a=(x,y)垂直的向量的坐標.
[做一做1] 已知a=(-1,3),b=(2,4),則a·b的值是　　　　.
解析:a·b=(-1)×2+3×4=10.
答案:10
知識點2　向量模的坐標表示
向量的模 設a=(x,y),則|a|2=x2+y2或 |a|=
兩點間的 距離公式 設點A(x1,y1),B(x2,y2),則 ||=
[思考2] 已知向量a=(x,y),則與a共線的單位向量的坐標是什么
提示:設與a共線的單位向量為a0,則a0=±a=±(,)=
±(,)(x2+y2≠0),其中正號、負號分別表示與a同向和反向.
[做一做2] 已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,則x=　　　　.
解析:由|a|=|b|得=,
解得x=±2.
答案:±2
知識點3　向量坐標表示的夾角公式
設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則cos θ==(|a||b|≠0).
知識點4　點到直線的距離公式
已知直線AB的方向向量m以及直線上一點A的坐標和直線外一點P的坐標,那么點P到直線AB的距離d為線段AP在直線的垂線方向上的投影數量.設直線AB的垂線方向向量為n,則d=|·|.
[做一做3] 已知點A(0,1),直線AB的方向向量為m=(2,-1),則點P(1,3)到直線AB的距離為　　　　.
解析:設直線AB的垂線方向向量為n,則n⊥m.設n=(x,y),則n·m=(x,y)·(2,-1)=0,
即2x-y=0,令x=1,得y=2,n=(1,2).由于A(0,1),P(1,3),
于是=(1,3)-(0,1)=(1,2),點P到直線AB的距離d=|·|=||==.
答案:
探究點一　向量數量積的坐標表示
[例1] (1)已知a=(1,-1),b=(2,4),則a·(a+b)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)已知向量a=(2,),b=(-1,),則向量a在向量b方向上的投影向量的坐標為(　　)
A.(-,) B.(,-)
C.(,-) D.(-,)
解析:(1)a·(a+b)=(1,-1)·(3,3)=3-3=0.故選B.
(2)因為向量a=(2,),b=(-1,),所以向量a在向量b方向上的投影數量為==,
所以向量a在向量b方向上的投影向量的坐標為
·=b=(-,).
故選A.
根據向量的坐標求向量數量積的方法
(1)一是先將各向量用坐標表示,直接進行數量積運算;二是先利用數量積的運算律將原式展開,再依據已知計算.
(2)利用數量積的條件求平面向量的坐標,一般來說應當先設出向量的坐標,然后根據題目中已知的條件找出向量坐標滿足的等量關系,利用數量積的坐標運算列出方程(組)進行求解.
[針對訓練] 已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,則x等于(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:由題意可得,8a-b=(6,3),又(8a-b)·c=30,c=(3,x),所以18+3x=30,解得x=4.故選C.
探究點二　向量垂直的坐標表示
[例2] (1)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),則“m=2”是“a⊥b”的　(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)已知向量a=(-1,2),b=(2,-4),若向量a+λb與a+b垂直,則λ的值為　　　　.
解析:(1)當m=2時,a=(1,1),b=(2,-2),
所以a·b=(1,1)·(2,-2)=2-2=0,
所以a⊥b,充分性成立;
當a⊥b時,a·b=(m-1,1)·(m,-2)=m(m-1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立.
所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要條件.故選A.
(2)因為a=(-1,2),b=(2,-4),
所以a+λb=(-1,2)+λ(2,-4)=(-1+2λ,2-4λ),a+b=(-1,2)+(2,-4)=(1,-2).
因為向量a+λb與a+b垂直,所以(a+λb)·(a+b)=(-1+2λ)×1-2(2-4λ)=10λ-5=0,解得λ=.
答案:(1)A　(2)
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b與a⊥b的坐標表示如下:
a∥b x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0.
a⊥b x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.
兩個結論不能混淆,可以對比學習,分別簡記為:縱橫交錯積相等,橫橫縱縱積相反.
[針對訓練] (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),則下列結論正確的是(　　)
A.a⊥b B.a⊥(a-b)
C.b⊥(a-b) D.a⊥(a+b)
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,1).若c⊥(2a+b),則實數m等于(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
解析:(1)因為a=(2,-1),b=(1,7),所以a·b=1×2+7×(-1)=-5,故A錯誤;a-b=(2,-1)-(1,7)=(1,-8),a+b=(2,-1)+(1,7)=(3,6),所以a·(a-b)=2×1+(-1)×(-8)=10,b·(a-b)=1×1+(-8)×7=-55,故B,C錯誤;a·(a+b)=2×3+(-1)×6=0,故a⊥(a+b),故D正確.故選D.
(2)由題意,向量a=(1,2),b=(2,-2),
可得2a+b=(4,2).
因為c⊥(2a+b),所以c·(2a+b)=0.
又因為c=(m,1),所以4m+2=0,
解得m=-.故選D.
探究點三　求向量的模
[例3] (1)
如圖,在△ABC中,M為BC的中點,若AB=1,AC=3,與的夾角為60°,則||=　　　　;
(2)設平面向量a=(1,2),若a∥b,且|b|=5,則|4a-b|=　　　　.
解析:(1)因為M為BC的中點,
所以=(+),
所以||2=(+)2
=(||2+||2+2·)
=×(1+9+2×1×3cos 60°)=,
所以||=.
(2)向量a=(1,2),由a∥b可設b=λa(λ∈R),則b=(λ,2λ),由|b|=5可知
=5,因此λ=±5.
當λ=5時,b=(5,10),此時4a-b=(-1,-2),則|4a-b|=;
當λ=-5時,b=(-5,-10),此時4a-b=(9,18),則|4a-b|=9.
答案:(1)　(2)或9
求向量的模的兩種基本策略
(1)基表示下的向量運算.
利用|a|2=a2,將向量模的運算轉化為向量的數量積的運算問題求解.
(2)坐標表示下的運算.
若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[針對訓練] 已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,則|a+b|的值是(　　)
A.2 B. C. D.
解析:因為a∥b,所以-2x-4=0,
解得x=-2.
所以b=(-2,4),所以a+b=(-1,2),
則|a+b|==.故選B.
探究點四　向量的夾角
[例4] (1)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(a+b)·c=,則a與c的夾角為(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)若向量a=(1,5),b=(1,-1),則向量a+2b與a-b的夾角等于(　　)
A.- B. C. D.
解析:(1)依題意,得a+b=(-1,-2),|a|=.設c=(x,y),a與c的夾角為θ,因為(a+b)·c=,所以x+2y=-.所以a·c=x+2y=-,所以cos θ===-.又θ∈[0°,180°],所以a與c的夾角為120°.故選C.
(2)向量a=(1,5),b=(1,-1),
則a+2b=(3,3),a-b=(0,6),
故(a+2b)·(a-b)=3×0+3×6=18,
|a+2b|=3,|a-b|=6,
則向量a+2b與a-b的夾角θ滿足cos θ===,
又θ∈[0,π],
故θ=.故選C.
利用向量法求夾角的方法技巧
(1)若已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),求向量a,b的夾角,利用公式cos=,當向量的夾角為特殊角時,再求出這個角.
(2)非坐標條件下求向量的夾角問題,可結合題意求出向量的數量積及模后利用cos=求夾角.
[針對訓練] (1)設向量a與b的夾角為θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),則cos θ等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知向量|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=1,則a與b的夾角為　　　　.
解析:(1)設b=(x,y),則a+3b=(2+3x,1+3y)=(5,4),
所以解得即b=(1,1),
所以cos θ===.故選C.
(2)由(a+2b)·(2a-b)=1,
得2a2+3a·b-2b2=1,
因為|a|=3,|b|=2,所以18+3a·b-8=1,
解得a·b=-3.
設a與b的夾角為θ,
則cos θ===-,
因為θ∈[0,π],所以θ=.
答案:(1)C　(2)
學海拾貝
坐標轉化法求解幾何圖形中的向量數量積問題
[典例探究] (1)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
(2)已知在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,點E為線段CD上一點,且CE=2ED,則∠AEB的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
解析:(1)
如圖,以等邊△ABC的底邊BC所在直線為x軸,以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,則A(0,),B(-1,0),C(1,0),設P(x,y),則=(-x,-y),=(-1-x,-y),
=(1-x,-y),
所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+2(y-)2-,
當x=0,y=時,·(+)取得最小值-.故選B.
(2)設AC與BD交于點O,以O為坐標原點,AC,BD所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系如圖所示,
則A(,0),B(0,1),E(-,-),
所以=(,),=(,),
則cos∠AEB===.故選D.
求解與平面幾何圖形中有關的向量數量積或夾角(模)等問題時,若已知平面幾何圖形中有明顯的建立平面直角坐標系的條件[如含有互相垂直的線段、等腰(正)三角形、矩形、正方形等],常常建立平面直角坐標系,將問題轉化為向量的坐標運算求解.
[應用探究] 在邊長為1的等邊三角形ABC中,D為線段BC上的動點(不與端點重合),DE⊥AB且交AB于點E,DF∥AB且交AC于點F,則|2+|的值為　　　　;(+)·的最小值為　　　　.
解析:如圖,過F作FG⊥AB,交AB于點G,易證得△BED≌△AGF,四邊形EDFG是矩形,
所以=,=,
則2+=++=,
所以|2+|=||=1.
連接DG,由題意知,+=,
則(+)·=·.
以B為坐標原點,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示.
設|BD|=2t(0則|BG|=1-t,D(2t,0),A(,),G(,).
所以=(,),=(-2t,),
所以·=5t2-3t+1=5(t-)2+,
所以當t=時,·取得最小值,
即(+)·的最小值為.
答案:1　
當堂檢測
1.向量a=(1,2),b=(-2,-1),那么向量a-b在a上的投影向量的坐標為(　A　)
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(-,-)
解析:因為a=(1,2),b=(-2,-1),所以a-b=(3,3),則a-b在a上的投影數量為cos·|a-b|===,則a-b在a
上的投影向量的坐標為·=(,).故選A.
2.(2022·全國乙卷)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,則a·b等于(　C　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1.故選C.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,則t等于(　C　)
A.-6 B.-5 C.5 D.6
解析:由題意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因為=,所以cos=cos,即=,即=3+t,
解得t=5.故選C.
4.如圖,在2×4的方格紙中,若向量a,b的起點和終點均在格點,則向量a+b,a-b的夾角的余弦值是　　　　.
解析:不妨設每個小正方形的邊長為1,建立如圖所示的平面直角坐標系,
則a=(2,-1),b=(3,2),
所以a+b=(5,1),a-b=(-1,-3),
所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8,
|a+b|=,|a-b|=,
所以向量a+b,a-b的夾角的余弦值為
cos==-.
答案:-
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量數量積的坐標運算 5
向量的模與夾角 1,2,6,8,11
向量數量積坐標 運算的綜合應用 3,4,7,9,10,12, 13,14,15
基礎鞏固
1.設x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),a⊥b,則|a|等于(　A　)
A. B.2 C.10 D.
解析:向量a=(x,1),b=(1,-2),a⊥b,則a·b=x-2=0,解得x=2,即a=(2,1),
所以|a|==.
故選A.
2.設向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-),若b∥c,則a-b與b的夾角為(　D　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:因為b∥c,所以-x=(-3)×1,所以x=,所以b=(,-3),a-b=(0,4).所以cos===-.又0°≤≤180°,所以a-b與b的夾角為150°.故選D.
3.(2023·新課標Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則(　D　)
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
解析:因為a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故選D.
4.已知向量a=(2,1),b=(-3,1),則以下說法正確的是(　D　)
A.(a+b)∥a
B.向量a在向量b上的投影向量為b
C.a與a-b夾角的余弦值為
D.若c=(,-),則a⊥c
解析:因為a=(2,1),b=(-3,1),所以a+b=(-1,2),因為2×2-1×(-1)=5≠0,故A不正確;
因為|a|=,|b|=,所以向量a在向量b上的投影向量為·=·=-b,故B不正確;因為a-b=(5,0),設a與a-b的夾角為β,則cos β===,故C不正確;a·c=2×+1×(-)=0,即a⊥c,故D正確.故選D.
5.(2021·北京卷)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),則(a+b)·c=　　　　,a·b=　　　　.
解析:因為a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),
所以a+b=(4,0),
所以(a+b)·c=4×0+0×1=0,
所以a·b=2×2+1×(-1)=3.
答案:0　3
6.已知|a|=2,b=(2,-3),若a⊥b,則|a+b|=　　　　.
解析:設a=(x,y),
則由|a|=2,得x2+y2=52,①
由a⊥b,得2x-3y=0,②
由①②,得或
所以a=(6,4)或a=(-6,-4).
所以a+b=(8,1)或a+b=(-4,-7),
所以|a+b|=.
答案:
7.若向量a的起點為A(-2,4),終點為B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)與a平行的單位向量的坐標;
(3)與a垂直的單位向量的坐標.
解:(1)因為a==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a|==5.
(2)與a平行的單位向量是±=±(4,-3),
即坐標為(,-)或(-,).
(3)設與a垂直的單位向量為e=(m,n),則a·e=4m-3n=0.
又因為|e|=1,所以m2+n2=1.
解得或所以e=(,)或e=(-,-).
能力提升
8.已知平面向量a,b滿足a=(-1,2),|b|=,|a-b|=,則a與b的夾角為(　B　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:設向量a,b的夾角為θ,因為a=(-1,2),
可得|a|=.又因為|b|=,|a-b|=,
可得|a-b|2=a2+b2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos θ=5+10-2××cos θ=15-10cos θ=5,
解得cos θ=.因為0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故選B.
9.(多選題)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,則下列選項正確的是(　AC　)
A.a,b能作為平面內所有向量的一組基
B.“m<3”是“a=(-1,3)與c=(m,1)夾角是銳角”的充要條件
C.向量a與向量b的夾角是45°
D.向量b在向量a上的投影向量坐標是(-1,3)
解析:因為a=(-1,3),b=(x,2),所以a-2b=(-1-2x,-1),
則(a-2b)·a=1+2x-3=0,解得x=1,所以b=(1,2),可得a,b不共線,
故A正確.因為向量a=(-1,3),c=(m,1),由a·c=-m+3>0,解得m<3;
又由當a,c共線時,可得-1×1-3×m=0,解得m=-,所以B錯誤.
由cos====,
因為0°≤≤180°,故向量a與向量b的夾角是45°,
所以C正確.
向量b在向量a上的投影向量為·=·=(-,),
所以D錯誤.故選AC.
10.(2023·新課標Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,則|b|=　　　　.
解析:因為|a+b|=|2a-b|,
即(a+b)2=(2a-b)2,
則a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,
整理得a2-2a·b=0.
又因為|a-b|=,即(a-b)2=3,
則a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=.
答案:
11.已知向量a,b滿足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,則向量a的坐標為　　　　　　　　　,向量a與b的夾角為　　　　.
解析:設a=(x,y),因為|a|=,
所以=.①
又因為b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,
2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),
所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0.②
由①②解得或
所以a=(1,2)或a=(-2,1).
設向量a與b的夾角為θ,
所以cos θ===- 或cos θ===-.
因為0≤θ≤π,所以向量a與b的夾角θ=.
答案:(1,2)或(-2,1)　
12.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.
(1)求|a+b|的值.
(2)求a與a-2b的夾角.
解:(1)由(a-3b)·(a+b)=3,
得a2-2a·b-3b2=3,
因為|a|=2,|b|=1,所以4-2a·b-3=3,
所以a·b=-1,
所以|a+b|===.
(2)設a與a-2b的夾角為θ,因為a·(a-2b)=a2-2a·b=4+2=6,
|a-2b|===2,
所以cos θ===.
因為θ∈[0,π],所以θ=.
13.在平面直角坐標系中,已知三點A(-1,0),B(t,2),C(2,t),t∈R,O為坐標原點.
(1)若△ABC是以∠B為直角的直角三角形,求t的值.
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形,求||的最小值.
解:(1)由題意得=(t+1,2),=(2-t,t-2),
若∠B=90°,則·=0,
即(t+1)(2-t)+2(t-2)=0,
解得t=2或t=1.
當t=2時,=0,不合題意;
當t=1時,=(1,-1),符合題意.
綜上所述,t=1.
(2)設點D(x,y),可得=(x+1,y),
若四邊形ABCD是平行四邊形,則=.
所以則
即D(1-t,t-2),
可得=(1-t,t-2),
則||===,
所以當t=時,||取得最小值.
應用創新
14.(多選題)如圖,設Ox,Oy是平面內相交成θ(θ≠)角的兩條數軸,e1,e2分別是與x,y軸正方向同向的單位向量,稱平面坐標系xOy為θ斜坐標系,若=xe1+ye2,則把有序數對(x,y)叫作向量的斜坐標,記為=(x,y).在θ=的斜坐標系中,a=(1,2),b=(2,-1),則下列結論中正確的是(　AB　)
A.a-b=(-1,3)
B.|a|=
C.a⊥b
D.b在a上的投影向量的坐標為(,-)
解析:由題意,可得a=e1+2e2,b=2e1-e2,
所以a-b=e1+2e2-(2e1-e2)=(1-2)e1+(2+1)e2=-e1+3e2,所以a-b=(-1,3),所以A正確;因為a=e1+2e2,
所以|a|=====,
所以B正確;
因為a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2)=2+(4-1)e1·e2-2=3cos =≠0,
所以C不正確;
因為b在a上的投影向量為()=()a=(1,2)=(,),
所以D不正確.故選AB.
15.在邊長為1的正方形ABCD中,M為BC的中點,點E在線段AB上
運動.
(1)求證:·為定值.
(2)求·的最大值.
(1)證明:以點A為坐標原點,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),C(1,1),D(0,1).設E(x,0),x∈[0,1],
·=(1-x,1)·(0,1)=1(定值).
(2)解:由(1)可知,C(1,1),M(1,),
則·=(1-x,1)·(1-x,)=(1-x)2+,令f(x)=(1-x)2+,
則f(x)=(1-x)2+在x∈[0,1]上單調遞減,
故當x=0時,·取得最大值.5.2　向量數量積的坐標表示
5.3　利用數量積計算長度與角度
學習目標
1.掌握平面向量數量積的坐標表示及其運算,培養數學運算的核心素養.
2.能夠用向量的坐標表示及向量數量積的運算律求向量的夾角與長度,提高數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　向量數量積的坐標表示
如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:
數量積 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
[思考1] 已知向量a=(x,y),則與a垂直的向量的坐標是什么
提示:由向量垂直的關系式可得b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,因此λ(-y,x)=(-λy,λx)(λ∈R)是與a=(x,y)垂直的向量的坐標.
[做一做1] 已知a=(-1,3),b=(2,4),則a·b的值是　　　　.
知識點2　向量模的坐標表示
向量的模 設a=(x,y),則|a|2=x2+y2或 |a|=
兩點間的 距離公式 設點A(x1,y1),B(x2,y2),則 ||=
[思考2] 已知向量a=(x,y),則與a共線的單位向量的坐標是什么
提示:設與a共線的單位向量為a0,則a0=±a=±(,)=
±(,)(x2+y2≠0),其中正號、負號分別表示與a同向和反向.
[做一做2] 已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,則x=　　　　.
知識點3　向量坐標表示的夾角公式
設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則cos θ==(|a||b|≠0).
知識點4　點到直線的距離公式
已知直線AB的方向向量m以及直線上一點A的坐標和直線外一點P的坐標,那么點P到直線AB的距離d為線段AP在直線的垂線方向上的投影數量.設直線AB的垂線方向向量為n,則d=|·|.
[做一做3] 已知點A(0,1),直線AB的方向向量為m=(2,-1),則點P(1,3)到直線AB的距離為　　　　.
探究點一　向量數量積的坐標表示
[例1] (1)已知a=(1,-1),b=(2,4),則a·(a+b)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)已知向量a=(2,),b=(-1,),則向量a在向量b方向上的投影向量的坐標為(　　)
A.(-,) B.(,-)
C.(,-) D.(-,)
根據向量的坐標求向量數量積的方法
(1)一是先將各向量用坐標表示,直接進行數量積運算;二是先利用數量積的運算律將原式展開,再依據已知計算.
(2)利用數量積的條件求平面向量的坐標,一般來說應當先設出向量的坐標,然后根據題目中已知的條件找出向量坐標滿足的等量關系,利用數量積的坐標運算列出方程(組)進行求解.
[針對訓練] 已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,則x等于(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
探究點二　向量垂直的坐標表示
[例2] (1)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),則“m=2”是“a⊥b”的　(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)已知向量a=(-1,2),b=(2,-4),若向量a+λb與a+b垂直,則λ的值為　　　　.
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b與a⊥b的坐標表示如下:
a∥b x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0.
a⊥b x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.
兩個結論不能混淆,可以對比學習,分別簡記為:縱橫交錯積相等,橫橫縱縱積相反.
[針對訓練] (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),則下列結論正確的是(　　)
A.a⊥b B.a⊥(a-b)
C.b⊥(a-b) D.a⊥(a+b)
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,1).若c⊥(2a+b),則實數m等于(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
探究點三　求向量的模
[例3] (1)
如圖,在△ABC中,M為BC的中點,若AB=1,AC=3,與的夾角為60°,則||=　　　　;
(2)設平面向量a=(1,2),若a∥b,且|b|=5,則|4a-b|=　　　　.
求向量的模的兩種基本策略
(1)基表示下的向量運算.
利用|a|2=a2,將向量模的運算轉化為向量的數量積的運算問題求解.
(2)坐標表示下的運算.
若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[針對訓練] 已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,則|a+b|的值是(　　)
A.2 B. C. D.
探究點四　向量的夾角
[例4] (1)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(a+b)·c=,則a與c的夾角為(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)若向量a=(1,5),b=(1,-1),則向量a+2b與a-b的夾角等于(　　)
A.- B. C. D.
利用向量法求夾角的方法技巧
(1)若已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),求向量a,b的夾角,利用公式cos=,當向量的夾角為特殊角時,再求出這個角.
(2)非坐標條件下求向量的夾角問題,可結合題意求出向量的數量積及模后利用cos=求夾角.
[針對訓練] (1)設向量a與b的夾角為θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),則cos θ等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知向量|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=1,則a與b的夾角為　　　　.
學海拾貝
坐標轉化法求解幾何圖形中的向量數量積問題
[典例探究] (1)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
(2)已知在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,點E為線段CD上一點,且CE=2ED,則∠AEB的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
求解與平面幾何圖形中有關的向量數量積或夾角(模)等問題時,若已知平面幾何圖形中有明顯的建立平面直角坐標系的條件[如含有互相垂直的線段、等腰(正)三角形、矩形、正方形等],常常建立平面直角坐標系,將問題轉化為向量的坐標運算求解.
[應用探究] 在邊長為1的等邊三角形ABC中,D為線段BC上的動點(不與端點重合),DE⊥AB且交AB于點E,DF∥AB且交AC于點F,則|2+|的值為　　　　;(+)·的最小值為　　　　.
當堂檢測
1.向量a=(1,2),b=(-2,-1),那么向量a-b在a上的投影向量的坐標為(　A　)
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(-,-)
2.(2022·全國乙卷)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,則a·b等于(　C　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,則t等于(　C　)
A.-6 B.-5 C.5 D.6
4.如圖,在2×4的方格紙中,若向量a,b的起點和終點均在格點,則向量a+b,a-b的夾角的余弦值是　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量數量積的坐標運算 5
向量的模與夾角 1,2,6,8,11
向量數量積坐標 運算的綜合應用 3,4,7,9,10,12, 13,14,15
基礎鞏固
1.設x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),a⊥b,則|a|等于(　　)
A. B.2 C.10 D.
2.設向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-),若b∥c,則a-b與b的夾角為(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.(2023·新課標Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則(　　)
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
4.已知向量a=(2,1),b=(-3,1),則以下說法正確的是(　)
A.(a+b)∥a
B.向量a在向量b上的投影向量為b
C.a與a-b夾角的余弦值為
D.若c=(,-),則a⊥c
5.(2021·北京卷)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),則(a+b)·c=　　　　,a·b=　　　　.
6.已知|a|=2,b=(2,-3),若a⊥b,則|a+b|=　　　　.
7.若向量a的起點為A(-2,4),終點為B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)與a平行的單位向量的坐標;
(3)與a垂直的單位向量的坐標.
能力提升
8.已知平面向量a,b滿足a=(-1,2),|b|=,|a-b|=,則a與b的夾角為(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
9.(多選題)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,則下列選項正確的是(　　)
A.a,b能作為平面內所有向量的一組基
B.“m<3”是“a=(-1,3)與c=(m,1)夾角是銳角”的充要條件
C.向量a與向量b的夾角是45°
D.向量b在向量a上的投影向量坐標是(-1,3)
10.(2023·新課標Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,則|b|=　　　　.
11.已知向量a,b滿足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,則向量a的坐標為　　　　　　　　　,向量a與b的夾角為　　　　.
12.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.
(1)求|a+b|的值.
(2)求a與a-2b的夾角.
13.在平面直角坐標系中,已知三點A(-1,0),B(t,2),C(2,t),t∈R,O為坐標原點.
(1)若△ABC是以∠B為直角的直角三角形,求t的值.
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形,求||的最小值.
應用創新
14.(多選題)如圖,設Ox,Oy是平面內相交成θ(θ≠)角的兩條數軸,e1,e2分別是與x,y軸正方向同向的單位向量,稱平面坐標系xOy為θ斜坐標系,若=xe1+ye2,則把有序數對(x,y)叫作向量的斜坐標,記為=(x,y).在θ=的斜坐標系中,a=(1,2),b=(2,-1),則下列結論中正確的是(　　)
A.a-b=(-1,3)
B.|a|=
C.a⊥b
D.b在a上的投影向量的坐標為(,-)
15.在邊長為1的正方形ABCD中,M為BC的中點,點E在線段AB上
運動.
(1)求證:·為定值.
(2)求·的最大值.

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