資源簡介

§6　平面向量的應(yīng)用
6.1　余弦定理與正弦定理
學習目標
1.會用向量方法推導余弦、正弦定理,通過余弦、正弦定理的推導過程提高邏輯推理、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.掌握用余弦、正弦定理解三角形問題,培養(yǎng)數(shù)學運算、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
3.通過用余弦、正弦定理求解與距離、高度、角度有關(guān)的實際應(yīng)用問題,增強數(shù)學建模與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
第1課時　余弦定理
知識探究
知識點1　余弦定理
條件 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c
文字表述 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍
公式表達 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C
變形 cos A=, cos B=, cos C=
[思考1] 余弦定理與勾股定理的關(guān)系是什么
提示:余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.
[思考2] 在△ABC中,若a2>b2+c2,則△ABC是鈍角三角形嗎 請簡要說明.
提示:在△ABC中,由a2>b2+c2可得cos A<0,因此角A一定是鈍角,所以△ABC是鈍角三角形.
知識點2　三角形的面積公式
任意三角形的面積等于其兩邊及其夾角正弦乘積的二分之一,即S=bcsin A=acsin B=absin C.
(1)余弦定理的特點.
①適用范圍:余弦定理對任意的三角形都成立.
②揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系,它含有四個不同的量,知道其中的三個量,就可求得第四個量.
(2)解三角形.
①一般地,三角形的三個內(nèi)角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫作三角形的元素.
②已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.
(3)判斷三角形的形狀時經(jīng)常用到以下結(jié)論.
①△ABC為直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC為銳角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC為鈍角三角形 a2+b2(4)三角形的其他面積公式.
①S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分別表示邊a,b,c上的高).
②S=(a+b+c)·r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑).
說明:三角形的面積公式S=absin C與原來的面積公式S=ah(h為a邊上的高)的關(guān)系為h=bsin C,實質(zhì)上bsin C就是△ABC中邊a上的高.
探究點一　余弦定理的應(yīng)用
角度1　利用余弦定理解三角形
[例1] (1)在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和邊a.
解:(1)根據(jù)余弦定理得,cos A===,
又A∈(0,π),故A=.
cos C===.
又C∈(0,π),故C=,故B=π--=.
所以A=,B=,C=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.
當a=3時,A=30°,C=120°;
當a=6時,由余弦定理,得cos A===0,
所以A=90°,
所以C=60°.
(1)若已知角是兩邊的夾角,則直接運用余弦定理求出另外一邊.
(2)若已知角是其中一邊的對角,主要是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解.
(3)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系,常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì),轉(zhuǎn)化為已知三邊結(jié)合余弦定理的變形求角.
[針對訓練] 在△ABC中,已知a2+c2+bc-6b=2accos B,a=4,則三角形的周長是(　　)
A.2 B.6
C.8 D.10
解析:a2+c2+bc-6b=2accos B=2ac·=a2+c2-b2 b(b+c-6)=0.因為b>0,所以b+c=6.又a=4,所以a+b+c=10.
故選D.
角度2　利用余弦定理判斷三角形的形狀
[例2] (1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則“=”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)在△ABC中,若-=·,則△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
解析:(1)在△ABC中,由=,結(jié)合余弦定理,得a·=b·,整理得a2c2-a4=b2c2-b4,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,則a=b或a2+b2=c2,△ABC為等腰三角形或直角三角形,即“=”不能推出“△ABC是等腰三角形”,而△ABC為等腰三角形,不能確定哪兩條邊相等,不能保證有=成立,所以“=”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要條件.故選D.
(2)在△ABC中,記角A,B,C的對邊分別為a,b,c.因為-=·,所以c2-a2=bccos A=bc·,化簡可得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.故選B.
利用余弦定理判斷三角形的形狀:首先根據(jù)給定的三邊找到三角形的最大角,然后判斷最大角的余弦值的大小.假設(shè)最大角為C,那么當cos C=<0,即a2+b2c2.
[針對訓練] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若cos B=,則△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:因為cos B=,
所以b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-2ac·=c2,即b2=c2,則b=c,所以△ABC是等腰三角形.故選A.
探究點二　三角形的面積
角度1　求三角形的面積
[例3] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=3,a=2c,則當C取最大值時,△ABC的面積是　(　　)
A. B.
C. D.
解析:因為cos C===(c+)≥×2=,當且僅當c=時取等號,所以C的最大值為,此時b=3,a=2c=2,△ABC的面積是absin C=×2×3×=.
故選D.
涉及與余弦定理有關(guān)的三角形面積問題的解法,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B進行求解,可分為以下兩種情況:
(1)若所給條件為邊角關(guān)系,則需要運用余弦定理求出某兩邊及夾角,再利用三角形面積公式進行求解.
(2)若所求面積為多邊形,可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.
[針對訓練] 在銳角三角形ABC中,已知a=3,c=,C=60°,則△ABC的面積為(　　)
A. B.或
C. D.
解析:在銳角三角形ABC中,
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
即7=9+b2-3b,
解得b=1或b=2.
若b=1,則由b2+c2-a2=-1<0,
得A>90°,不符合題意,
所以b=2,
所以△ABC的面積為
S=absin C=×3×2×sin 60°=.
故選C.
角度2　三角形面積的最值
[例4] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的周長為6,求△ABC的面積S的最大值.
解:(1)由余弦定理得=,
即a2+b2-c2=2b2-bc,則b2+c2-a2=bc,
所以cos A==,
又0(2)由題意得a+b+c=6,
根據(jù)余弦定理得a2=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc,
則6=a+b+c=+b+c≥+2=3,
所以bc≤4,當且僅當b=c=2時,取等號.
所以△ABC的面積S=bcsin A=bc≤,故△ABC的面積S的最大值為.
已知三角形的一邊(如a)及其對角(如A)求三角形面積的最大值的方法:主要是先利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccos A,再結(jié)合基本不等式b2+c2≥2bc,求出bc的最值后求面積的最值.
[針對訓練] △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=,且△ABC的面積的最大值為,求b的值.
解:由B=及余弦定理得b2=a2+c2-2ac×(-)=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac(當且僅當a=c時,取等號),
所以ac≤,
所以S△ABC=acsin B≤××=.
由題意可知=,解得b=4.
當堂檢測
1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=,b=3,A=60°,則c等于(　C　)
A.1 B.2 C.4 D.6
解析:由余弦定理,得a2=c2+b2-2cbcos A,
所以13=c2+9-2c·3·cos 60°,
整理得c2-3c-4=0,
解得c=4或c=-1(舍去).
故選C.
2.已知△ABC的邊長分別為2,3,4,則它的最大內(nèi)角的余弦值是(　B　)
A. B.- C. D.-
解析:設(shè)△ABC三邊a,b,c分別為2,3,4,則C最大,
所以cos C===-.故選B.
3.在△ABC中,若S△ABC=(b2+c2-a2),則A等于(　C　)
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:S△ABC=(b2+c2-a2)=bcsin A,
即sin A=,
得cos A=sin A,
即tan A=1,又A∈(0°,180°),
所以A=45°.
故選C.
4.已知在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),則△ABC中最小角的大小為　　　.
解析:已知a∶b∶c=2∶∶(+1),令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),因此邊a所對的角最小.
由余弦定理的變形,
得cos A=
==,
因為0°答案:45°
課時作業(yè)
選題明細表
知識點、方法 題號
余弦定理及其應(yīng)用 1,2,5,6,9,10,11
三角形面積 7,8,12,14
綜合應(yīng)用 3,4,13,15
基礎(chǔ)鞏固
1.在△ABC中,若AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC的大小為(　A　)
A. B. C. D.
解析:由題意知cos ∠BAC==-,
因為0<∠BAC<π,所以∠BAC=.故選A.
2.在△ABC中,A=60°,a2=bc,則△ABC一定是(　D　)
A.等腰直角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等邊三角形
解析:在△ABC中,因為A=60°,a2=bc,所以由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,所以b=c,結(jié)合A=60°,得△ABC一定是等邊三角形.故選D.
3.在△ABC中,a=7,b=4,c=,則△ABC的最小角為(　C　)
A. B. C. D.
解析:由已知,在△ABC中,a=7,b=4,c=,因為a>b>c,所以△ABC的最小角為C,所以cos C===.又因為C∈(0,π),所以C=.故選C.
4.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學名著,其中《方田》章給出了弧田面積的計算方法.弧田是由圓弧和其對弦AB圍成的圖形,如圖中陰影部分所示.若弧田所在圓的半徑為,O為圓心,弦AB的長是3,則弧田的面積是(　D　)
A. B.2π-
C.- D.π-
解析:依題意,AO=BO=,AB=3,所以由余弦定理得cos∠AOB===-.因為0<∠AOB<π,所以∠AOB=,故的弧長為×=,則扇形AOB的面積為××=π,△AOB的面積為×××=,所以弧田的面積為π-.故選D.
5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+c2-b2=ac,則角B的值為　　　　.
解析:由余弦定理知cos B===,又0答案:
6.已知△ABC中,a=1,b=2,若△ABC為鈍角三角形,則c的取值范圍是 　　　　　　.
解析:在△ABC中,a=1,b=2,則b-a答案:(1,)∪(,3)
7.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=60°,則△ABC的面積為　　　　.
解析:在△ABC中,因為C=60°,
所以由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab.
因為(a+b)2-c2=4,
所以(a+b)2-(a2+b2-ab)=4,化簡得3ab=4,
所以ab=,
所以△ABC的面積為absin C=××=.
答案:
能力提升
8.已知鈍角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若A=,a=,c=3,則△ABC的面積為(　C　)
A. B.
C. D.或
解析:因為A=,a=,c=3,由余弦定理可知,cos A===,整理得b2-3b+2=0,解得b=1或b=2.又△ABC是鈍角三角形,比較a,b,c三邊大小可知,c為最大邊,所以角C為最大角,即C為鈍角.當b=1時,cos C==<0,符合題意,此時△ABC的面積為S=bcsin A=×1×3×=;當b=2時,cos C==>0,不符合題意.綜上可知,△ABC的面積為.故選C.
9.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=,a=c,則=　　　　.
解析:由余弦定理得,cos A=,
又A=,a=c,
則=-,即=-1,
即-=-1.令=t(t>0),得t-+1=0,
即t2+t-2=0,解得t=-2(舍去)或t=1.
即=1.
答案:1
10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S△ABC=,a=1,b=4,則c=　　　　.
解析:由三角形的面積公式可得S△ABC=absin C=×1×4×sin C=2sin C=,則sin C=.因為0=;當C=時,由余弦定理可得c==
=.
答案:或
11.已知鈍角三角形的三邊分別為a=k,b=k+2,c=k+4(k>0),則實數(shù)k的取值范圍是　　　　.
解析:因為c>b>a,且△ABC為鈍角三角形,
所以C為鈍角.
所以cos C===<0,
所以k2-4k-12<0,解得0由兩邊之和大于第三邊得k+k+2>k+4,
所以k>2.
所以2答案:(2,6)
12.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊.若△ABC同時滿足下列四個條件中的三個:①sin =;②a2+b2-c2-ab=0;③b=3;④c=2.
(1)請指出符合題意的三個條件,并說明理由;
(2)求△ABC的面積.
解:(1)符合題意的三個條件是②③④.理由如下:
條件①:0<<,sin =,
則=,所以B=.
條件②:a2+b2-c2-ab=0,
由余弦定理知cos C===.
因為C∈(0,π),所以C=.
因為B+C<π,所以①②只能選擇一個.
若選①③④,因為b=3,c=2,即c>b,
所以C>B=,與B+C<π相矛盾,
故①③④不能同時選,所以符合題意的三個條件是②③④.
(2)因為a2+b2-c2-ab=0,b=3,c=2,
所以a2+9-12-3a=0,即a2-3a-3=0,
解得a=或(舍去),
所以△ABC的面積S=absin C=××3×sin =.
13.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sin(+B)=.
(1)求A;
(2)若b+c=3,求BC邊中線AM的取值范圍.
解:(1)由已知可得cos B=,由余弦定理,可得=,整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理,可得cos A==.
又A∈(0,π),所以A=.
(2)因為M為BC的中點,所以=(+),
則=(+)2=(++2·),
即AM2=(c2+b2+2bccos )=[(b+c)2-bc].
因為b+c=3,所以AM2=[9-b(3-b)]=(b2-3b+9)=(b-)2+,
所以AM2∈[,),
所以AM∈[,).
應(yīng)用創(chuàng)新
14.在銳角三角形ABC中,點D為BC延長線上一點,且=2,AB=5,AC=10,B=,則三角形ABD的面積為(　C　)
A. B.
C. D.
解析:設(shè)CD=x,則BC=2x,x>0.
在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BCcos B,
得100=150+4x2-20x,
即2x2-10x+25=0,
解得x=.
當x=時,BC=5(-1),
cos∠ACB===-<0,
∠ACB是一個鈍角,不合題意,舍去.
當x=時,BC=5(+1),
cos∠ACB===,
所以∠ACB=,又B=,則∠BAC=,符合題意.
在△ABD中,BD=3x=,
則△ABD的面積S=·AB·BD·sin B=×5××=.
故選C.
15.(2022·全國甲卷)已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB=120°,
AD=2,CD=2BD.當取得最小值時,BD=　　　　.
解析:設(shè)BD=k(k>0),則CD=2k.根據(jù)題意作出大致圖形如圖.
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=
22+k2-2×2k·(-)=k2+2k+4.
在△ACD中,由余弦定理得
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·=4k2-4k+4,
則===4-=4-=4-,
因為k+1+≥2(當且僅當k+1=,即k=-1時,等號成立),
所以≥4-=4-2=(-1)2,
所以當取得最小值-1時,BD=k=-1.
答案:-1§6　平面向量的應(yīng)用
6.1　余弦定理與正弦定理
學習目標
1.會用向量方法推導余弦、正弦定理,通過余弦、正弦定理的推導過程提高邏輯推理、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.掌握用余弦、正弦定理解三角形問題,培養(yǎng)數(shù)學運算、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
3.通過用余弦、正弦定理求解與距離、高度、角度有關(guān)的實際應(yīng)用問題,增強數(shù)學建模與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
第1課時　余弦定理
知識探究
知識點1　余弦定理
條件 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c
文字表述 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍
公式表達 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C
變形 cos A=, cos B=, cos C=
[思考1] 余弦定理與勾股定理的關(guān)系是什么
提示:余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.
[思考2] 在△ABC中,若a2>b2+c2,則△ABC是鈍角三角形嗎 請簡要說明.
提示:在△ABC中,由a2>b2+c2可得cos A<0,因此角A一定是鈍角,所以△ABC是鈍角三角形.
知識點2　三角形的面積公式
任意三角形的面積等于其兩邊及其夾角正弦乘積的二分之一,即S=bcsin A=acsin B=absin C.
(1)余弦定理的特點.
①適用范圍:余弦定理對任意的三角形都成立.
②揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系,它含有四個不同的量,知道其中的三個量,就可求得第四個量.
(2)解三角形.
①一般地,三角形的三個內(nèi)角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫作三角形的元素.
②已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.
(3)判斷三角形的形狀時經(jīng)常用到以下結(jié)論.
①△ABC為直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC為銳角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC為鈍角三角形 a2+b2(4)三角形的其他面積公式.
①S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分別表示邊a,b,c上的高).
②S=(a+b+c)·r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑).
說明:三角形的面積公式S=absin C與原來的面積公式S=ah(h為a邊上的高)的關(guān)系為h=bsin C,實質(zhì)上bsin C就是△ABC中邊a上的高.
探究點一　余弦定理的應(yīng)用
角度1　利用余弦定理解三角形
[例1] (1)在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和邊a.
(1)若已知角是兩邊的夾角,則直接運用余弦定理求出另外一邊.
(2)若已知角是其中一邊的對角,主要是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解.
(3)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系,常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì),轉(zhuǎn)化為已知三邊結(jié)合余弦定理的變形求角.
[針對訓練] 在△ABC中,已知a2+c2+bc-6b=2accos B,a=4,則三角形的周長是(　　)
A.2 B.6
C.8 D.10
角度2　利用余弦定理判斷三角形的形狀
[例2] (1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則“=”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)在△ABC中,若-=·,則△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
利用余弦定理判斷三角形的形狀:首先根據(jù)給定的三邊找到三角形的最大角,然后判斷最大角的余弦值的大小.假設(shè)最大角為C,那么當cos C=<0,即a2+b2c2.
[針對訓練] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若cos B=,則△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
探究點二　三角形的面積
角度1　求三角形的面積
[例3] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=3,a=2c,則當C取最大值時,△ABC的面積是　(　　)
A. B.
C. D.
涉及與余弦定理有關(guān)的三角形面積問題的解法,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B進行求解,可分為以下兩種情況:
(1)若所給條件為邊角關(guān)系,則需要運用余弦定理求出某兩邊及夾角,再利用三角形面積公式進行求解.
(2)若所求面積為多邊形,可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.
[針對訓練] 在銳角三角形ABC中,已知a=3,c=,C=60°,則△ABC的面積為(　　)
A. B.或
C. D.
角度2　三角形面積的最值
[例4] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的周長為6,求△ABC的面積S的最大值.
已知三角形的一邊(如a)及其對角(如A)求三角形面積的最大值的方法:主要是先利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccos A,再結(jié)合基本不等式b2+c2≥2bc,求出bc的最值后求面積的最值.
[針對訓練] △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=,且△ABC的面積的最大值為,求b的值.
當堂檢測
1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=,b=3,A=60°,則c等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.6
2.已知△ABC的邊長分別為2,3,4,則它的最大內(nèi)角的余弦值是(　　)
A. B.- C. D.-
3.在△ABC中,若S△ABC=(b2+c2-a2),則A等于(　　)
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.已知在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),則△ABC中最小角的大小為　　　.
課時作業(yè)
選題明細表
知識點、方法 題號
余弦定理及其應(yīng)用 1,2,5,6,9,10,11
三角形面積 7,8,12,14
綜合應(yīng)用 3,4,13,15
基礎(chǔ)鞏固
1.在△ABC中,若AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC的大小為(　　)
A. B. C. D.
2.在△ABC中,A=60°,a2=bc,則△ABC一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等邊三角形
3.在△ABC中,a=7,b=4,c=,則△ABC的最小角為(　　)
A. B. C. D.
4.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學名著,其中《方田》章給出了弧田面積的計算方法.弧田是由圓弧和其對弦AB圍成的圖形,如圖中陰影部分所示.若弧田所在圓的半徑為,O為圓心,弦AB的長是3,則弧田的面積是(　　)
A. B.2π-
C.- D.π-
5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+c2-b2=ac,則角B的值為　　　　.
6.已知△ABC中,a=1,b=2,若△ABC為鈍角三角形,則c的取值范圍是 　　　　　　.
7.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=60°,則△ABC的面積為　　　　.
能力提升
8.已知鈍角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若A=,a=,c=3,則△ABC的面積為(　　)
A. B.
C. D.或
9.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=,a=c,則=　　　　.
10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S△ABC=,a=1,b=4,則c=　　　　.
11.已知鈍角三角形的三邊分別為a=k,b=k+2,c=k+4(k>0),則實數(shù)k的取值范圍是　　　　.
12.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊.若△ABC同時滿足下列四個條件中的三個:①sin =;②a2+b2-c2-ab=0;③b=3;④c=2.
(1)請指出符合題意的三個條件,并說明理由;
(2)求△ABC的面積.
13.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sin(+B)=.
(1)求A;
(2)若b+c=3,求BC邊中線AM的取值范圍.
應(yīng)用創(chuàng)新
14.在銳角三角形ABC中,點D為BC延長線上一點,且=2,AB=5,AC=10,B=,則三角形ABD的面積為(　　)
A. B.
C. D.
15.(2022·全國甲卷)已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB=120°,
AD=2,CD=2BD.當取得最小值時,BD=　　　　.

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