資源簡介

第3課時　用余弦定理、正弦定理解三角形
探究點一　余弦定理、正弦定理的應用
角度1　正弦、余弦定理在幾何問題中的應用
[例1] 如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=,BC=,AB⊥AD,AC⊥CD.
(1)若sin ∠BAC=,求sin ∠BCA;
(2)若AD=3AC,求AC.
解:(1)在△ABC中,由正弦定理得=,即=,
解得sin ∠BCA=.
(2)設AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,CD==2x,
sin ∠CAD==.
在△ABC中,由余弦定理得
cos ∠BAC==.
又∠BAC+∠CAD=,
所以cos ∠BAC=sin ∠CAD,即=,
整理得3x2-8x-3=0,解得x=3或x=-(舍去),即AC=3.
求幾何圖形中線段的長度與角度的方法
(1)求幾何圖形中線段的長度主要是轉化為求三角形的邊長,解決此類問題要恰當地選擇或構造三角形,利用正弦、余弦定理求解.
(2)求角度時,首先選擇涉及該角的三角形,根據其余條件選擇三角形后利用正弦、余弦定理求解,有時也需要利用A+B+C=π求解.
[針對訓練] 如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,點D在邊BC上,∠ADC=45°,求AD的長度.
解:在△ABC中,由余弦定理,有
cos C===,因為0°在△ACD中,由正弦定理,有=,
所以AD===,即AD的長度為.
角度2　利用正弦、余弦定理進行邊角互化解三角形
[例2] △ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A為銳角,sin B-cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若b=c,且BC邊上的高為2,求△ABC的面積.
解:(1)由sin B-cos C=得2absin B-2abcos C=c2-a2,
由余弦定理得2absin B+c2-a2-b2=c2-a2,
所以2asin B=b,
由正弦定理得2sin Asin B=sin B,B是三角形內角,sin B≠0,
所以sin A=,又A為銳角,所以A=.
(2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=c2+c2-2×c·c·cos=c2,a=c,
所以S△ABC=bcsin A=a·2,
即×c2·=×c·2,
解得c=4,b=c=,
所以S△ABC=bcsin A=××4×=7.
利用正弦、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化,把條件化為邊的關系或化為角的關系.
[針對訓練] △ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=120°,sin C=,c=2,則△ABC的面積等于(　　)
A. B.2 C. D.
解析:因為B=120°,sin C=,c=2,
所以由正弦定理=,
可得b==,
所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得7=a2+4-2·a·2×(-),可得a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3(不合題意,舍去).
所以S△ABC=absin C=×1××=.故選A.
探究點二　正弦、余弦定理在實際問題中的應用
角度1　利用正弦、余弦定理求距離
[例3] 如圖,某漁船在湖面上A處捕魚時,天氣預報預測幾小時后會有惡劣天氣,該漁船的東偏北θ方向上有一個小島C可躲避惡劣天氣,在小島C的正北方向有一航標燈D距離小島25 km,漁船向小島行駛50 km 后到達B處,測得∠DBC=45°,BD=25(-) km.
(1)求A處距離航標燈D的距離AD;
(2)求cos θ的值.
解:(1)因為AB=50 km,BD=25(-) km,∠DBC=45°,所以在△ABD中由余弦定理得
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 135°
=502+[25(-)]2-2×50×25(-)×(-)=5 000,
所以AD=50 km.
(2)因為∠BCD=90°+θ,在△BDC中,
由正弦定理得=,
所以cos θ=sin(90°+θ)==-1.
實際問題中與距離有關的問題的求解策略
(1)解決與距離有關的實際問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊的問題,因此首先根據題意從實際問題中抽象出幾何圖形,根據圖形特征求解.
(2)若所求的線段在一個三角形中,則直接利用正弦、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個三角形中,要根據條件選擇適當的三角形,再利用正弦、余弦定理求解.
[針對訓練] (1)某地擬對該地某湖泊進行治理,在治理前,需測量該湖泊的相關數據.如圖所示,測得 A=23°,C=120°,AC=60 m,則A,B間的直線距離約為(參考數據:sin 37°≈0.6)(　　)
A.60 m B.120 m C.150 m D.300 m
(2)如圖,某山上原有一條筆直的山路BC,現在又新架設了一條索道AC,某人在山腳B處看索道AC,發現∠ABC=120°,從B處攀登400 m后到達D處,再看索道AC,發現∠ADC=150°,從D處再攀登 800 m 后到達C處,則索道AC的長為　 　　　m.
解析:(1)由題意知,B=180°-A-C=37°,在△ABC中,=,即=,所以AB=≈150(m).故選C.
(2)在△ABD中,BD=400 m,∠ABD=120°,
因為∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400 m,
在△ABD中,AD==400(m).
在△ADC中,DC=800 m,∠ADC=150°,
AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC
=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,
所以AC=400(m),
故索道AC的長為400 m.
答案:(1)C　(2)400
角度2　利用正弦、余弦定理求高度
[例4] 某校數學建模社團學生為了測量該校操場旗桿的高AB,先在旗桿底端的正西方點C處測得桿頂的仰角為45°,然后從點C處沿南偏東30°方向前進20 m到達點D處,在D處測得桿頂的仰角為30°,則旗桿的高為(　　)
A.20 m B.10 m C.10 m D. m
解析:如圖所示,AB表示旗桿,
由題意可知∠ACB=45°,∠ACD=60°,∠ADB=30°,
所以設AB=x,
則AD=x,AC=x.
在△ACD中,AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cos∠ACD,
即(x)2=x2+202-20x,
解得x=10(x=-20舍去).
故選B.
利用正弦、余弦定理求高度的方法
(1)處理有關高度問題時,要正確理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵.
(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉化為平面問題.
[針對訓練] 如圖,為測得某大橋的最高點到地面的距離,在地面上的A,B兩點測得最高點P的仰角分別為30°,60°(點A,B與P在地面上的投影O在同一條直線上),又測得AB=140 m,根據測量數據可得高度PO=　　　　 m.
解析:由題可得∠APB=∠PAB=30°,所以PB=140 m,在△BPO中,由正弦定理=,可得PO==140×=70(m).
答案:70
角度3　利用正弦、余弦定理求解與角度有關的問題
[例5] 甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距a km,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的 倍,問:甲船應向什么方向前進才能在最短時間內追上乙船 此時乙船行駛多少千米
解:如圖所示,
設到C點甲船追上乙船,乙到C點用的時間為t,乙船速度為v,
則BC=tv,AC=tv,B=120°.
在△ABC中,由正弦定理可知=,
即=,
所以sin ∠CAB=.
又B=120°>90°,所以∠CAB<90°,
所以∠CAB=30°,
所以∠ACB=30°,
可得BC=AB=a,
所以甲船沿著北偏東30°方向前進才能在最短時間內追到乙船,相遇時乙船已經行駛了a km.
(1)利用正弦、余弦定理求解與角度有關的問題的方法.
利用正弦、余弦定理求解與角度有關的問題首先是畫出滿足題意的幾何圖形,利用正弦、余弦定理求角.
(2)常見與角度有關的概念.
名稱 定義 圖示
仰角 與俯角 在視線和水平線所成角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角,如圖
方位角 從指北方向順時針轉到目標方向線所成的角,如圖,B點的方位角為α
方向角 從指定方向線到目標方向線所成的水平角,如南偏西60°,即以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉60°(如圖所示)
[針對訓練] 當太陽光與水平面的傾斜角為60°時,一根長為2 m的竹竿如圖所示放置,要使它的影子最長,則竹竿與地面所成的角是(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析:設竹竿與地面所成的角為α,影子長為x m,
由正弦定理得=,
所以x=sin(120°-α).
所以當120°-α=90°,即α=30°時,x有最大值,
即當竹竿與地面所成的角是30°時,影子最長.故選B.
當堂檢測
1.某大學校園內有一個湖,湖的兩側有一個音樂教室和一個圖書館,如圖,若設音樂教室在A處,圖書館在B處,為測量A,B兩地之間的距離,甲同學選定了與A,B不共線的C處,構成△ABC,以下是不同方案的測量數據:①測量∠A,∠B,∠C;②測量∠A,∠B,BC;③測量∠A,AC,BC;④測量∠C,AC,BC.其中要求能唯一確定A,B兩地之間的距離,甲同學應選擇的方案的序號為(　C　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
解析:①測量∠A,∠B,∠C,知道三個角度值,三角形有無數多組解,不能唯一確定A,B兩地之間的距離;②測量∠A,∠B,BC,已知兩角及一邊,由正弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一確定A,B兩地之間的距離;③測量∠A,AC,BC,已知兩邊及其一邊的對角,由正弦定理可知,三角形可能有2個解,不能唯一確定A,B兩地之間的距離;④測量∠C,AC,BC,已知兩邊及夾角,由余弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一確定A,B兩地之間的距離.綜上可得,一定能唯一確定A,B兩地之間的距離的所有方案的序號是②④.故選C.
2.某數學小組為測量某塔的高度,如圖,選取了與塔底部D在同一水平面上的A,B兩點,測得AB=30 m,在A,B兩點觀察塔頂C點,仰角分別為45°和30°,∠ADB=150°,則此塔的高度CD是(　C　)
A.25 m B.25 m
C.30 m D.30 m
解析:設CD=x m,在△ACD中,∠CDA=90°,∠CAD=45°,則AD=x m,在△BCD中,∠CDB=90°,∠CBD=30°,則BD=x m.在△ADB中,∠ADB=150°,所以由余弦定理得x2+3x2-2x·xcos 150°=(30)2,解得x=30.故選C.
3.張叔叔從自家小區樓下出發,向正北方向走了80 m,到達愛心小屋,隨后向南偏東60°方向走了30 m,到達健身器械處,則他回到自家小區樓下至少還需走　　　　m.
解析:由題意,設張叔叔的家為A,愛心小屋為B,健身器械處為C,則此人的行走路線如圖所示.
在△ABC中,因為AB=80,BC=30,B=60°,
由余弦定理可得AC=
==70,
即張叔叔回到自家小區樓下至少還需走70 m.
答案:70
4.如圖,在四邊形ABCD中,已知∠ADC=75°,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠BCD=135°,則BD的長為　　　　,CD的長為　　　　.
解析:在△ABD中,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,
由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA,
即49=25+BD2-2×5·BDcos 60°,則BD2-5BD-24=0,
解得BD=8(BD=-3舍去).
在△BCD中,
∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°,
又∠BCD=135°,
則∠CBD=180°-135°-15°=30°.
由正弦定理,得=,
即=,解得CD=4.
答案:8　4
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
正、余弦定理求解幾何問題 1,4,6,8
正、余弦定理在實際問題中的應用 2,3,5,7,9,10,13
正、余弦定理的綜合應用 11,12,14
基礎鞏固
1.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,則角B等于(　D　)
A.30° B.30°或150°
C.60° D.60°或120°
解析:根據正弦定理,得sin B===,因為b>a>bsin A,所以B>A=30°有兩解,所以B=60°或120°.故選D.
2.已知船甲在船乙的南偏東15°方向且與船乙的距離為12 km,船丙在船甲的正西方向,若測得船丙在船乙的南偏西45°方向,則船甲與船丙的距離為(　A　)
A.6 km B.6 km
C.4 km D.12 km
解析:如圖,設船甲、船丙、船乙所在位置分別為A,B,C,
則∠ACB=45°+15°=60°,∠BAC=90°-15°=75°,
∠ABC=180°-60°-75°=45°.
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,
解得AB=6,即船甲與船丙的距離為 6 km.故選A.
3.如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60°,再由點C沿北偏東15°方向走10 m到位置D,測得∠BDC=45°,則塔AB的高是(　D　)
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
解析:在△BCD中,CD=10 m,∠BDC=45°,
∠BCD=15°+90°=105°,所以∠DBC=30°,
由正弦定理,得=,
所以BC==10(m).
所以在Rt△ABC中,AB=BC·tan 60°=10(m).故選D.
4.如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,則sin C的值為(　D　)
A. B. C. D.
解析:設BD=2,則AB=AD=,BC=4.在△ABD中,由余弦定理,得cos A=
==,則sin A=.在△ABC中,由正弦定理,得=,即=,解得sin C=.故選D.
5.如圖,在離地面h的熱氣球M上觀察到山頂C處的仰角為θ,在山腳A處觀察到山頂C處的仰角為60°,若A到熱氣球的距離AM=400 m,山的高度BC=600 m,∠ACM=45°,則θ等于(　D　)
A.30° B.25° C.20° D.15°
解析:在Rt△ABC中,BC=600 m,∠CAB=60°,所以AC==400 m.
在△MAC中,由正弦定理知=,解得sin ∠AMC=,所以∠AMC=60°或120°.
當∠AMC=60°時,∠MAC=75°,∠MAD=45°,
所以θ=60°-45°=15°.
當∠AMC=120°時,∠MAC=15°,∠MAB=75°,
θ=120°-(180°-75°)=15°.
所以θ=15°.故選D.
6.一角槽的橫斷面如圖所示,四邊形ABED是矩形,已知∠DAC=50°,∠CBE=70°,AC=90,BC=150,則DE=　　　　.
解析:由題意知∠ACB=120°,
在△ACB中,由余弦定理,
得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠ACB
=902+1502-2×90×150×(-)=44 100,
所以AB=210,DE=210.
答案:210
7.如圖,現有一直徑AB=200 m的半圓形廣場,AB所在直線上存在兩點C,D,滿足OC=OD=200 m(O為AB的中點).市政規劃要求,從廣場的半圓弧AB上選取一點E,各修建一條地下管道EC和ED通往C,D兩點.
(1)設∠EOB=θ,試將管道總長(即線段EC+ED)表示為變量θ的函數;
(2)求管道總長的最大值.
解:(1)在△DOE中,由余弦定理得
ED2=OD2+OE2-2OD·OE·cos ∠EOD=40 000+10 000-2×20 000cos θ=50 000-40 000cos θ.在△COE中,由余弦定理得EC2=OC2+OE2-2·OC·OE·cos ∠EOC=40 000+10 000-2×20 000cos(π-θ)=50 000+40 000 cos θ,
所以管道總長f(θ)=EC+ED
=+
=100(+),θ∈[0,π].
(2)由(1)可得
[f(θ)]2=[100(+)]2
=10 000(10+2·)
=10 000(10+2),
因為θ∈[0,π],所以0≤cos2θ≤1,[f(θ)]2=10 000(10+2)≤10 000(10+2)=200 000,
當且僅當cos2 θ=0,即θ=時取等號.
因為f(θ)=100(+)>0,
所以f(θ)≤=200(m).
所以管道總長的最大值為200 m.
能力提升
8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且B=60°,a+c=2b,則△ABC的形狀為(　C　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
解析:由題意,在△ABC中,B=60°,a+c=2b,故cos B==,代入b=,可得a2+c2-2ac=(a-c)2=0,即a=c.即b==c,故a=b=c,故△ABC的形狀為正三角形.故選C.
9.(多選題)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°方向上,距離為12km;在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°方向上,距離8km.貨輪由A處向正北航行到D處時,再看燈塔B在南偏東60°方向上,則下列說法正確的是(　AC　)
A.A處與D處之間的距離是24 km
B.燈塔C與D處之間的距離是16 km
C.燈塔C在D處的南偏西30°方向上
D.D在燈塔B的北偏西30°方向上
解析:由題意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,
所以B=180°-60°-75°=45°,AB=12,AC=8.在△ABD中,由正弦定理得=,所以AD==24,故A正確;
在△ACD中,由余弦定理得
CD=,
即CD==8,故B錯誤;
因為CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以燈塔C在D處的南偏西30°方向上,故C正確;
由∠ADB=60°,D在燈塔B的北偏西60°方向上,故D錯誤.故選AC.
10.我國古代數學家劉徽在《九章算術》中指出:“凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差.”也就是說目標“極高”“絕深”等不能靠近進行測量時,必須用兩次(或兩次以上)測量的方法加以實現.為測量某山MN的高度,在A,B測得的數據如圖所示(單位:m),則山高MN=
　　　　m,A到山頂的距離AM=　 m.
解析:設MN=h,則BN=h,AN=h,AM=2h,
由題意得AN-BN=100,
即(-1)h=100,得h=50(+1),
則AM=2h=100(+1).
答案:50(+1)　100(+1)
11.如圖,四邊形ABCD的外接圓直徑為5,且cos A=,則四邊形ABCD周長的最大值為　　　　.
解析:如圖,連接BD,設AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD=m.由cos A=且0(m+n)2-mn≥(m+n)2-·=,即(m+n)2≤100,
即4所以該四邊形ABCD周長的最大值為30.
答案:30
12.(2022·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面積;
(2)若sin Asin C=,求b.
解:(1)由S1-S2+S3=,
得(a2-b2+c2)=,
即a2-b2+c2=2.
又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.
由sin B=,
得cos B=或cos B=-(舍去),
所以ac==,
則△ABC的面積S=acsin B=××=.
(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知===,
即b2=×=,得b=.
13.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20 km的A處,并正以30 km/h 的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v km/h的航行速度勻速行駛,經過t小時與輪船相遇.
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少
(2)假設小艇的最高航行速度大小只能達到30 km/h,試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇.
解:(1)設相遇時小艇航行的距離為s km,
則s==
=,
當t=時,smin=10,
此時v==30.
所以小艇以30 km/h的速度航行,
相遇時小艇的航行距離最小.
(2)設小艇與輪船在B處相遇,
則v2t2=400+900t2-2×20×30t·cos(90°-30°),故v2=900-+.
又0即-≤0,解得t≥.
又t=時,v=30,
即v=30時,t取得最小值為.
此時,如圖,在△OAB中,有OA=OB=AB=20 km,故可設計航行方案:航行方向為北偏東30°,航行速度大小為30 km/h,小艇能以最短時間與輪船相遇.
應用創新
14.如圖所示,為了分割麥田,將BD連接,經測量AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)若角C=60°,求角A的大小;
(2)研究發現無論BD多長,cos A-cos C為一個定值,請驗證該結論,并求出這個定值.
解:(1)由BC=CD=2,C=60°,
可知△BCD是等邊三角形,
所以BD=2,
cos A==.
因為0°所以A=30°.
(2)在△ABD中,由余弦定理得
BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=16-8cos A.
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=8-8cos C.
則16-8cos A=8-8cos C,
即cos A-cos C=1.
所以無論BD多長,cos A-cos C為定值1.第3課時　用余弦定理、正弦定理解三角形
探究點一　余弦定理、正弦定理的應用
角度1　正弦、余弦定理在幾何問題中的應用
[例1] 如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=,BC=,AB⊥AD,AC⊥CD.
(1)若sin ∠BAC=,求sin ∠BCA;
(2)若AD=3AC,求AC.
求幾何圖形中線段的長度與角度的方法
(1)求幾何圖形中線段的長度主要是轉化為求三角形的邊長,解決此類問題要恰當地選擇或構造三角形,利用正弦、余弦定理求解.
(2)求角度時,首先選擇涉及該角的三角形,根據其余條件選擇三角形后利用正弦、余弦定理求解,有時也需要利用A+B+C=π求解.
[針對訓練] 如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,點D在邊BC上,∠ADC=45°,求AD的長度.
角度2　利用正弦、余弦定理進行邊角互化解三角形
[例2] △ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A為銳角,sin B-cos C=.
(1)求角A的大小;
(2)若b=c,且BC邊上的高為2,求△ABC的面積.
利用正弦、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化,把條件化為邊的關系或化為角的關系.
[針對訓練] △ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=120°,sin C=,c=2,則△ABC的面積等于(　　)
A. B.2 C. D.
探究點二　正弦、余弦定理在實際問題中的應用
角度1　利用正弦、余弦定理求距離
[例3] 如圖,某漁船在湖面上A處捕魚時,天氣預報預測幾小時后會有惡劣天氣,該漁船的東偏北θ方向上有一個小島C可躲避惡劣天氣,在小島C的正北方向有一航標燈D距離小島25 km,漁船向小島行駛50 km 后到達B處,測得∠DBC=45°,BD=25(-) km.
(1)求A處距離航標燈D的距離AD;
(2)求cos θ的值.
實際問題中與距離有關的問題的求解策略
(1)解決與距離有關的實際問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊的問題,因此首先根據題意從實際問題中抽象出幾何圖形,根據圖形特征求解.
(2)若所求的線段在一個三角形中,則直接利用正弦、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個三角形中,要根據條件選擇適當的三角形,再利用正弦、余弦定理求解.
[針對訓練] (1)某地擬對該地某湖泊進行治理,在治理前,需測量該湖泊的相關數據.如圖所示,測得 A=23°,C=120°,AC=60 m,則A,B間的直線距離約為(參考數據:sin 37°≈0.6)(　　)
A.60 m B.120 m C.150 m D.300 m
(2)如圖,某山上原有一條筆直的山路BC,現在又新架設了一條索道AC,某人在山腳B處看索道AC,發現∠ABC=120°,從B處攀登400 m后到達D處,再看索道AC,發現∠ADC=150°,從D處再攀登 800 m 后到達C處,則索道AC的長為　 　　　m.
角度2　利用正弦、余弦定理求高度
[例4] 某校數學建模社團學生為了測量該校操場旗桿的高AB,先在旗桿底端的正西方點C處測得桿頂的仰角為45°,然后從點C處沿南偏東30°方向前進20 m到達點D處,在D處測得桿頂的仰角為30°,則旗桿的高為(　　)
A.20 m B.10 m C.10 m D. m
利用正弦、余弦定理求高度的方法
(1)處理有關高度問題時,要正確理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵.
(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉化為平面問題.
[針對訓練] 如圖,為測得某大橋的最高點到地面的距離,在地面上的A,B兩點測得最高點P的仰角分別為30°,60°(點A,B與P在地面上的投影O在同一條直線上),又測得AB=140 m,根據測量數據可得高度PO=　　　　 m.
角度3　利用正弦、余弦定理求解與角度有關的問題
[例5] 甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距a km,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的 倍,問:甲船應向什么方向前進才能在最短時間內追上乙船 此時乙船行駛多少千米
(1)利用正弦、余弦定理求解與角度有關的問題的方法.
利用正弦、余弦定理求解與角度有關的問題首先是畫出滿足題意的幾何圖形,利用正弦、余弦定理求角.
(2)常見與角度有關的概念.
名稱 定義 圖示
仰角 與俯角 在視線和水平線所成角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角,如圖
方位角 從指北方向順時針轉到目標方向線所成的角,如圖,B點的方位角為α
方向角 從指定方向線到目標方向線所成的水平角,如南偏西60°,即以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉60°(如圖所示)
[針對訓練] 當太陽光與水平面的傾斜角為60°時,一根長為2 m的竹竿如圖所示放置,要使它的影子最長,則竹竿與地面所成的角是(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
當堂檢測
1.某大學校園內有一個湖,湖的兩側有一個音樂教室和一個圖書館,如圖,若設音樂教室在A處,圖書館在B處,為測量A,B兩地之間的距離,甲同學選定了與A,B不共線的C處,構成△ABC,以下是不同方案的測量數據:①測量∠A,∠B,∠C;②測量∠A,∠B,BC;③測量∠A,AC,BC;④測量∠C,AC,BC.其中要求能唯一確定A,B兩地之間的距離,甲同學應選擇的方案的序號為(　C　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
2.某數學小組為測量某塔的高度,如圖,選取了與塔底部D在同一水平面上的A,B兩點,測得AB=30 m,在A,B兩點觀察塔頂C點,仰角分別為45°和30°,∠ADB=150°,則此塔的高度CD是(　C　)
A.25 m B.25 m
C.30 m D.30 m
3.張叔叔從自家小區樓下出發,向正北方向走了80 m,到達愛心小屋,隨后向南偏東60°方向走了30 m,到達健身器械處,則他回到自家小區樓下至少還需走　　　　m.
4.如圖,在四邊形ABCD中,已知∠ADC=75°,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠BCD=135°,則BD的長為　　　　,CD的長為　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
正、余弦定理求解幾何問題 1,4,6,8
正、余弦定理在實際問題中的應用 2,3,5,7,9,10,13
正、余弦定理的綜合應用 11,12,14
基礎鞏固
1.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,則角B等于(　　)
A.30° B.30°或150°
C.60° D.60°或120°
2.已知船甲在船乙的南偏東15°方向且與船乙的距離為12 km,船丙在船甲的正西方向,若測得船丙在船乙的南偏西45°方向,則船甲與船丙的距離為(　　)
A.6 km B.6 km
C.4 km D.12 km
3.如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60°,再由點C沿北偏東15°方向走10 m到位置D,測得∠BDC=45°,則塔AB的高是(　　)
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
4.如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,則sin C的值為(　　)
A. B. C. D.
5.如圖,在離地面h的熱氣球M上觀察到山頂C處的仰角為θ,在山腳A處觀察到山頂C處的仰角為60°,若A到熱氣球的距離AM=400 m,山的高度BC=600 m,∠ACM=45°,則θ等于(　　)
A.30° B.25° C.20° D.15°
6.一角槽的橫斷面如圖所示,四邊形ABED是矩形,已知∠DAC=50°,∠CBE=70°,AC=90,BC=150,則DE=　　　　.
7.如圖,現有一直徑AB=200 m的半圓形廣場,AB所在直線上存在兩點C,D,滿足OC=OD=200 m(O為AB的中點).市政規劃要求,從廣場的半圓弧AB上選取一點E,各修建一條地下管道EC和ED通往C,D兩點.
(1)設∠EOB=θ,試將管道總長(即線段EC+ED)表示為變量θ的函數;
(2)求管道總長的最大值.
能力提升
8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且B=60°,a+c=2b,則△ABC的形狀為(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
9.(多選題)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°方向上,距離為12km;在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°方向上,距離8km.貨輪由A處向正北航行到D處時,再看燈塔B在南偏東60°方向上,則下列說法正確的是(　　)
A.A處與D處之間的距離是24 km
B.燈塔C與D處之間的距離是16 km
C.燈塔C在D處的南偏西30°方向上
D.D在燈塔B的北偏西30°方向上
10.我國古代數學家劉徽在《九章算術》中指出:“凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差.”也就是說目標“極高”“絕深”等不能靠近進行測量時,必須用兩次(或兩次以上)測量的方法加以實現.為測量某山MN的高度,在A,B測得的數據如圖所示(單位:m),則山高MN=
　　　　m,A到山頂的距離AM=　 m.
11.如圖,四邊形ABCD的外接圓直徑為5,且cos A=,則四邊形ABCD周長的最大值為　　　　.
12.(2022·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面積;
(2)若sin Asin C=,求b.
13.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20 km的A處,并正以30 km/h 的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v km/h的航行速度勻速行駛,經過t小時與輪船相遇.
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少
(2)假設小艇的最高航行速度大小只能達到30 km/h,試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇.
應用創新
14.如圖所示,為了分割麥田,將BD連接,經測量AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)若角C=60°,求角A的大小;
(2)研究發現無論BD多長,cos A-cos C為一個定值,請驗證該結論,并求出這個定值.

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