資源簡介

6.2　平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解向量方法在解決簡單的幾何問題、力學(xué)問題等實(shí)際問題中的應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的核心素養(yǎng).
2.通過運(yùn)用向量知識解決實(shí)際問題和物理問題的過程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
探究點(diǎn)一　向量在幾何證明中的應(yīng)用
[例1] 已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,M為CE的中點(diǎn),用向量的方法證明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三點(diǎn)共線.
證明:法一　由已知得四邊形AECD為正方形,設(shè)=a,=b.
(1)因?yàn)?-=a-b,=-=a-b,所以=,
所以∥,即DE∥BC.
(2)連接DM,MB(圖略),
=+=a-b,
=+=-b+a,所以=,
又與有公共點(diǎn)M,
所以D,M,B三點(diǎn)共線.
法二　如圖,
以E為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(在建立平面直角坐標(biāo)系時,要盡可能使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,使更多的線與x軸、y軸平行或重合),連接MB,MD.
令||=1,則||=1,||=2.
因?yàn)镃E⊥AB,且AD=DC,
所以四邊形AECD為正方形.
所以可求得各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).
(1)因?yàn)?(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
所以=,所以∥,即DE∥BC.
(2)因?yàn)镸為EC的中點(diǎn),所以M(0,),
所以=(-1,1)-(0,)=(-1,),=(1,0)-(0,)=(1,-).
所以=-,所以∥.
又與有公共點(diǎn)M,所以D,M,B三點(diǎn)共線.
用向量法解決平面幾何問題的兩種方法
(1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)囊唤M基(基中的向量盡量已知模或夾角),將題中涉及的向量用基向量表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算.
(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
[針對訓(xùn)練] 如圖所示,若D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且-=-.利用向量法證明:AD⊥BC.
證明:由題可知-=-,
則(-)·(+)=(-)·(+),
即(+)·=(+)·,整理得·(+++)=0,所以·2=0,即⊥,從而AD⊥BC.
探究點(diǎn)二　向量在物理中的應(yīng)用舉例
角度1　向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用
[例2] 如圖,已知一條河的兩岸平行,河的寬度為d,某人從河的北岸出發(fā)到河對岸,河水自西向東流速為|v0|=1 m/s,設(shè)某人在靜水中游泳的速度為v1,在流水中實(shí)際速度為v2.
(1)如果要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向與水流方向的夾角α和 v2的大小.
(2)如果要使此人游的時間最短,且|v2|=2 m/s,求他實(shí)際前進(jìn)的方向與水流方向的夾角β和v1的大小.
解:(1)如果要使此人游的路程最短,
只需此人的游泳速度和水流速度的和速度與對岸垂直,如圖(a)所示,
此人游泳的方向與水流方向的夾角α=∠ACB,
此時|v2|==1 m/s,α=∠ACB=.
(2)如圖(b)所示,設(shè)v0與v1的夾角為θ,實(shí)際游泳的距離為s,
所以=,
sin β=,
所以==,
故當(dāng)v0與v1的夾角為θ=時,此人游到對岸用時最短.
如圖(c),|v2|=2 m/s,
由于|v0|=1 m/s,
故|v1|== m/s,
此時tan β=,
所以β=.
向量在物理中的應(yīng)用
(1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量幾何化,借助向量求和的平行四邊形法則求解.
(2)用向量方法解決物理問題的步驟:
①把物理問題中的相關(guān)量用向量表示;
②轉(zhuǎn)化為向量問題的模型,通過向量運(yùn)算解決問題;
③結(jié)果還原為物理問題.
[針對訓(xùn)練] 在風(fēng)速大小為75(-)km/h的西風(fēng)中,飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風(fēng)時飛機(jī)的航速和航向.
解:設(shè)ω為風(fēng)速大小為75(-) km/h的西風(fēng),va為有風(fēng)時飛機(jī)的航行速度,vb為無風(fēng)時飛機(jī)的航行速度,如圖所示,因?yàn)関b=va-ω,
所以vb,va,ω對應(yīng)線段構(gòu)成三角形.
設(shè)||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,
作AD∥BC,CD⊥AD于點(diǎn)D,
BE⊥AD于點(diǎn)E,
則∠BAD=45°.
由題意知||=150,||=75(-),
所以||=||=||=75,
||=75.
從而||=150,
∠CAD=30°.
所以|vb|=150 km/h,
方向?yàn)槲髌?0°.
角度2　向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用
[例3] 已知兩恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點(diǎn),使之由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0),求F1,F2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功.
解:設(shè)物體在力F作用下的位移為s,
則所做的功為W=F·s.
因?yàn)?(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
所以W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J),
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J).
[變式探究] 本例條件不變,求F1,F2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功.
解:W=F·=(F1+F2)·=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J).
向量在物理學(xué)中的應(yīng)用一般涉及力與速度的合成與分解,充分借助向量的平行四邊形法則把物理問題抽象為數(shù)學(xué)問題,物理上的功實(shí)質(zhì)上就是力與位移兩向量的數(shù)量積.
當(dāng)堂檢測
1.若向量=(2,2),=(-2,3)分別表示兩個力F1,F2,則|F1+F2|為(　D　)
A.(0,5) B.(4,-1)
C.2 D.5
解析:由=(2,2),=(-2,3),可知+=(2,2)+(-2,3)=(0,5),則|F1+F2|=5.故選D.
2.河水的流速為2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?則小船在靜水中的速度大小為(　B　)
A.10 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.12 m/s
解析:由題意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意圖如圖所示,
所以小船在靜水中的速度大小|v|===2(m/s).
故選B.
3.正方形OABC的邊長為1,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),則cos∠DOE的值為　　　　.
解析:以O(shè)A,OC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,
由題意知,=(1,),=(,1),
故cos∠DOE===,即cos∠DOE的值為.
答案:
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
向量在幾何中的應(yīng)用 1,2,4,7,9,12,13,14
向量在物理中的應(yīng)用 3,5,6,8,10,11
基礎(chǔ)鞏固
1.在四邊形ABCD中,若+=0,·=0,則四邊形ABCD為(　D　)
A.平行四邊形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析:因?yàn)?=0,所以=,所以四邊形ABCD為平行四邊形.因?yàn)椤?0,所以⊥,即平行四邊形的對角線互相垂直,
所以平行四邊形ABCD為菱形.故選D.
2.△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足++=,則△PBC與
△ABC的面積之比是(　C　)
A. B. C. D.
解析:由++=,
得+++=0,即=2,
所以點(diǎn)P是CA邊上的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),
故==.故選C.
3.物體受到一個水平向右的力F1及與它成60°角的另一個力F2的作用.已知F1的大小為2 N,它們的合力F與水平方向成30°角,則F2的大小為(　C　)
A.3 N B. N C.2 N D. N
解析:由題得∠AOB=60°,∠AOC=30°,
所以∠BOC=∠BCO=30°,
所以O(shè)B=BC,
所以||=||,
所以F2和F1大小相等,都為2 N.故選C.
4.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足·=·=
·,則點(diǎn)O是△ABC的(　D　)
A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)
B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C.三條中線的交點(diǎn)
D.三條高線的交點(diǎn)
解析:因?yàn)椤?·,
所以(-)·=0,所以·=0,
所以O(shè)B⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,
所以O(shè)為三條高線的交點(diǎn).故選D.
5.(多選題)在水流速度為10 km/h的自西向東的河中,如果要使船以10 km/h的速度由河的南岸垂直到達(dá)北岸,則船出發(fā)時行駛速度的大小與方向?yàn)?　AC　)
A.北偏西30° B.北偏西60°
C.20 km/h D.30 km/h
解析:如圖所示,
設(shè)||=10,||=10,所以||==20,
而tan ∠CBA=,所以∠CBA=60°,
即船出發(fā)時行駛速度的大小為20 km/h,方向?yàn)楸逼?0°.故選AC.
6.已知作用在點(diǎn)A的三個力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),則合力f=f1+f2+f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為　　 .
解析:f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),
設(shè)終點(diǎn)為B(x,y),則(x-1,y-1)=(8,0),所以所以所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1).
答案:(9,1)
7.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)(不是端點(diǎn)),AD⊥BC,且·=2-.則||∶||的值為　　 ;若2||2+||2=3||2+6,則||=　　　　.
解析:因?yàn)椤?2-,且AD⊥BC,
所以(+)·(+)=
2(||2+||2)-(||2+||2),
所以||2-||·||=
2(||2+||2)-(||2+||2),
即2||2+||·||-||2=0,
即(2||-||)·(||+||)=0,
解得||=2||,
所以||∶||的值為.
因?yàn)?||2+||2=3||2+6,
所以2||2+2||2+||2+||2=3||2+6,即2||2+||2=6,因?yàn)閨|=||,所以||=1,||=2,||=3.
答案:　3
8.一艘船從南岸出發(fā),向北岸橫渡.根據(jù)測量,這一天水流速度為
3 km/h,方向正東,風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0°,受風(fēng)力影響,靜水中船的漂行速度為3 km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以
2 km/h 的速度橫渡,則船本身的速度大小為　　　　,船航行的方向?yàn)椤　　　　　?
解析:如圖,設(shè)水流的速度為v1,風(fēng)的速度為v2,且|v1|=|v2|=3,v1+v2=a.可求得a的方向是北偏東30°,a的大小為3 km/h.設(shè)船的實(shí)際航行速度為v,方向由南向北,大小為2 km/h.船本身的速度為v3,則a+v3=v,即v3=v-a,由數(shù)形結(jié)合知,v3的方向是北偏西60°,大小是
km/h.
答案: km/h　北偏西60°
能力提升
9.在△ABC中,若·(2-)=0,則△ABC一定是(　D　)
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.正三角形 D.等腰三角形
解析:·(2-)=·(+-)
=·(++)=·(+)=-·(+)=0.
由向量加法的平行四邊形法則知,以CA,CB為鄰邊的平行四邊形的對角線互相垂直,所以△ABC一定是等腰三角形.故選D.
10.(多選題)在保證公平的情況下,兩個人共同手提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為F1,F2,且|F1|=|F2|,F1與F2的夾角為θ,下列結(jié)論正確的為(　ABD　)
A.θ越大越費(fèi)力,θ越小越省力
B.|F1|2=
C.當(dāng)θ=時,|F1|=|G|
D.當(dāng)θ=時,|F1|=|G|
解析:根據(jù)題意,得|G|=|F1+F2|,
所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=(1+cos θ),
解得|F1|2=.
因?yàn)棣取?0,π)時,y=cos θ單調(diào)遞減,
且1+cos θ>0,所以θ越大越費(fèi)力,
θ越小越省力,故A,B正確;
當(dāng)θ=時,|F1|2=,
所以|F1|=|G|,故C錯誤;
當(dāng)θ=時,|F1|2=|G|2,
所以|F1|=|G|,故D正確.故選ABD.
11.如圖,用三根細(xì)繩OA,OB,OC懸掛重物G處于靜止?fàn)顟B(tài),現(xiàn)測得∠AOB=120°,細(xì)繩OC所受的拉力大小為 N,細(xì)繩OA所受的拉力大小為2 N,則細(xì)繩OB所受的拉力大小為　　　　N.
解析:令OA,OB,OC的拉力分別為,,,因?yàn)槿?xì)繩OA,OB,OC懸掛重物G處于靜止?fàn)顟B(tài),所以合力為零,即++=0,
即=-(+),則=(+)2,
即=++2||·||·cos 120°.
設(shè)OB所受的拉力大小為x N,
所以7=4+x2-2×2x·,
所以x=3或x=-1(舍去),
即OB所受的拉力大小為3 N.
答案:3
12.已知在平面四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=1,BC=,∠ABC=
150°,則cos ∠CBD=　　　　.
解析:如圖,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
則B(1,0),C(,).設(shè)D(0,t),所以=(,),=(,-t).
由BC⊥CD知⊥,
所以·=×+×(-t)=0,
解得t=3,即D(0,3),
所以=(,),=(-1,3),
所以cos ∠CBD===.
答案:
13.用向量法證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).
證明:如圖,設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊BC,AC,AB的中點(diǎn),
以=a,=b為一組基,
則=a-b,=a-b,=-a+b.
設(shè)AD與BE交于點(diǎn)G,且=λ,=μ,
則=λa-b,=-a+μb.
又=+=(1-)a+(μ-1)b,
所以解得λ=μ=.
所以=a-b,=+=-a+a-b=-a-b=×(-a-b),
而=(-a-b),所以=.
所以點(diǎn)G在CF上,
所以三角形三條中線交于一點(diǎn).
14.如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,點(diǎn)D在線段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的長;
(2)∠DAC的大小.
解:(1)設(shè)=a,=b,
則=+=+=+(-)=+=a+b,
所以=(a+b)2=a2+2×a·b+b2
=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,故AD=.
(2)設(shè)∠DAC=θ,則θ為向量與的夾角.
因?yàn)閏os θ=====0,
所以θ=90°,即∠DAC=90°.6.2　平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解向量方法在解決簡單的幾何問題、力學(xué)問題等實(shí)際問題中的應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的核心素養(yǎng).
2.通過運(yùn)用向量知識解決實(shí)際問題和物理問題的過程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
探究點(diǎn)一　向量在幾何證明中的應(yīng)用
[例1] 已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,M為CE的中點(diǎn),用向量的方法證明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三點(diǎn)共線.
用向量法解決平面幾何問題的兩種方法
(1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)囊唤M基(基中的向量盡量已知模或夾角),將題中涉及的向量用基向量表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算.
(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
[針對訓(xùn)練] 如圖所示,若D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且-=-.利用向量法證明:AD⊥BC.
探究點(diǎn)二　向量在物理中的應(yīng)用舉例
角度1　向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用
[例2] 如圖,已知一條河的兩岸平行,河的寬度為d,某人從河的北岸出發(fā)到河對岸,河水自西向東流速為|v0|=1 m/s,設(shè)某人在靜水中游泳的速度為v1,在流水中實(shí)際速度為v2.
(1)如果要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向與水流方向的夾角α和 v2的大小.
(2)如果要使此人游的時間最短,且|v2|=2 m/s,求他實(shí)際前進(jìn)的方向與水流方向的夾角β和v1的大小.
向量在物理中的應(yīng)用
(1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量幾何化,借助向量求和的平行四邊形法則求解.
(2)用向量方法解決物理問題的步驟:
①把物理問題中的相關(guān)量用向量表示;
②轉(zhuǎn)化為向量問題的模型,通過向量運(yùn)算解決問題;
③結(jié)果還原為物理問題.
[針對訓(xùn)練] 在風(fēng)速大小為75(-)km/h的西風(fēng)中,飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風(fēng)時飛機(jī)的航速和航向.
角度2　向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用
[例3] 已知兩恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點(diǎn),使之由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0),求F1,F2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功.
向量在物理學(xué)中的應(yīng)用一般涉及力與速度的合成與分解,充分借助向量的平行四邊形法則把物理問題抽象為數(shù)學(xué)問題,物理上的功實(shí)質(zhì)上就是力與位移兩向量的數(shù)量積.
當(dāng)堂檢測
1.若向量=(2,2),=(-2,3)分別表示兩個力F1,F2,則|F1+F2|為(　　)
A.(0,5) B.(4,-1)
C.2 D.5
2.河水的流速為2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?則小船在靜水中的速度大小為(　　)
A.10 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.12 m/s
3.正方形OABC的邊長為1,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),則cos∠DOE的值為　　　　.
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
向量在幾何中的應(yīng)用 1,2,4,7,9,12,13,14
向量在物理中的應(yīng)用 3,5,6,8,10,11
基礎(chǔ)鞏固
1.在四邊形ABCD中,若+=0,·=0,則四邊形ABCD為(　　)
A.平行四邊形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
2.△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足++=,則△PBC與
△ABC的面積之比是(　　)
A. B. C. D.
3.物體受到一個水平向右的力F1及與它成60°角的另一個力F2的作用.已知F1的大小為2 N,它們的合力F與水平方向成30°角,則F2的大小為(　　)
A.3 N B. N C.2 N D. N
4.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足·=·=
·,則點(diǎn)O是△ABC的(　　)
A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)
B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
C.三條中線的交點(diǎn)
D.三條高線的交點(diǎn)
5.(多選題)在水流速度為10 km/h的自西向東的河中,如果要使船以10 km/h的速度由河的南岸垂直到達(dá)北岸,則船出發(fā)時行駛速度的大小與方向?yàn)?　　)
A.北偏西30° B.北偏西60°
C.20 km/h D.30 km/h
6.已知作用在點(diǎn)A的三個力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),則合力f=f1+f2+f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為　　 .
7.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)(不是端點(diǎn)),AD⊥BC,且·=2-.則||∶||的值為　　 ;若2||2+||2=3||2+6,則||=　　　　.
8.一艘船從南岸出發(fā),向北岸橫渡.根據(jù)測量,這一天水流速度為
3 km/h,方向正東,風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0°,受風(fēng)力影響,靜水中船的漂行速度為3 km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以
2 km/h 的速度橫渡,則船本身的速度大小為　　　　,船航行的方向?yàn)椤　　　　　?
能力提升
9.在△ABC中,若·(2-)=0,則△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.正三角形 D.等腰三角形
10.(多選題)在保證公平的情況下,兩個人共同手提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為F1,F2,且|F1|=|F2|,F1與F2的夾角為θ,下列結(jié)論正確的為(　　)
A.θ越大越費(fèi)力,θ越小越省力
B.|F1|2=
C.當(dāng)θ=時,|F1|=|G|
D.當(dāng)θ=時,|F1|=|G|
11.如圖,用三根細(xì)繩OA,OB,OC懸掛重物G處于靜止?fàn)顟B(tài),現(xiàn)測得∠AOB=120°,細(xì)繩OC所受的拉力大小為 N,細(xì)繩OA所受的拉力大小為2 N,則細(xì)繩OB所受的拉力大小為　　　　N.
12.已知在平面四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=1,BC=,∠ABC=
150°,則cos ∠CBD=　　　　.
13.用向量法證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).
14.如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,點(diǎn)D在線段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的長;
(2)∠DAC的大小.

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