資源簡介

2.3　三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用
2.4　積化和差與和差化積公式
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握輔助角公式的原理及應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.了解三角函數(shù)的積化和差、和差化積公式的簡單應(yīng)用,增強(qiáng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
知識探究
問題1:由sin(30°+α)=cos α+sin α,cos α+sin α=sin(30°+α),你能概括出形如asin α+bcos α的三角函數(shù)式化為一個角的三角函數(shù)式的方法嗎
知識點(diǎn)1　輔助角公式
asin α+bcos α=sin(α+)(a,b不同時為0).其中角所在象限由a,b的符號確定,角的值由sin 和cos 的值確定,也就是由tan =來確定.
[做一做1] 函數(shù)y=3sin x+4cos x的最大值為(　C　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由輔助角公式得y=3sin x+4cos x=·sin(x+)
=5sin(x+),其中tan =,所以最大值為5.故選C.
問題2:根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的公式:
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;②
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;③
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.④
在上述公式的右端含有cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,
cos αsin β,從方程的觀點(diǎn)出發(fā),你能否把它們解出來
知識點(diǎn)2　三角函數(shù)的積化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
問題3:如何把sin 60°+sin 30°化為兩個三角函數(shù)乘積的形式 你能根據(jù)積化和差公式,得出把兩個三角函數(shù)和差的形式化為兩個三角函數(shù)乘積形式的公式嗎
知識點(diǎn)3　三角函數(shù)的和差化積公式
sin x+sin y=2sin cos ;
sin x-sin y=2cos sin ;
cos x+cos y=2cos cos ;
cos x-cos y=-2sin sin .
[做一做2] sin 105°+sin 15°等于(　C　)
A. B. C. D.
解析:sin 105°+sin 15°
=2sincos
=2sin 60°cos 45°
=2××
=.故選C.
常見的特殊角的式子化簡
sin x+cos x=sin(x+);
sin x-cos x=sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-).
探究點(diǎn)一　輔助角公式的應(yīng)用
[例1] (多選題)已知函數(shù)f(x)=2sin ωx+cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期為π,則(　　)
A.ω=2
B.f(x)的最大值為3
C.f(x)在區(qū)間(-,)上單調(diào)遞增
D.將f(x)的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱
解析:f(x)=2sin ωx+cos(ωx+)
=2sin ωx+cos ωx-sin ωx
=cos ωx+sin ωx
=(cos ωx+sin ωx)
=sin(ωx+).
因?yàn)閥=f(x)的最小正周期為π,所以=π,
又ω>0,所以ω=2,故A正確;
所以f(x)=sin(2x+),其最大值為,故B錯誤;
當(dāng)x∈(-,)時,2x+∈(-,),
由正弦曲線,有y=sin x在(-,)上單調(diào)遞增,
所以f(x)=sin(2x+)在(-,)上單調(diào)遞增,故C正確;
將f(x)的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)為y=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos 2x,
其圖象關(guān)于y軸對稱,故D正確.故選ACD.
公式asin x+bcos x=sin(x+)[或asin x+bcos x=
cos(x-)],將形如asin x+bcos x(a,b不同時為0)的三角函數(shù)式收縮為一個角的一種三角函數(shù)式,這樣做有利于三角函數(shù)的化簡,更是研究三角函數(shù)性質(zhì)的常用工具.
化為正弦還是余弦,要看具體條件而定,一般要求變形后角x的系數(shù)為正,這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì)(包括函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、定義域等).
[針對訓(xùn)練] 若0<θ≤,則sin θ+cos θ的取值范圍是　　　　.
解析:sin θ+cos θ=2(sin θ+cos θ)
=2(cossin θ+sincos θ)=2sin(θ+).
因?yàn)?<θ≤,所以<θ+≤,
所以≤sin(θ+)≤1,
即≤2sin(θ+)≤2,
則當(dāng)0<θ≤時,sin θ+cos θ的取值范圍為[,2].
答案:[,2]
探究點(diǎn)二　三角函數(shù)的積化和差公式
[例2] 利用積化和差公式,求下列各式的值.
(1)cos 15°cos 75°;
(2)sin 20°sin 40°sin 80°.
解:(1)由積化和差公式得cos 15°cos 75°
=[cos (15°+75°)+cos(15°-75°)]
=(cos 90°+cos 60°)=.
(2)由積化和差公式得sin 20°sin 40°sin 80°
=-[cos(20°+40°)-cos(20°-40°)]sin 80°
=-sin 80°+sin 80°cos 20°
=-sin 80°+×(sin 100°+sin 60°)
=-sin 80°+sin 80°+=.
積化和差公式實(shí)際上是兩角和與差的正弦公式、余弦公式的變形,在使用時注意四種形式,即sin αsin β,cos αcos β,sin αcos β,cos αsin β,特別是sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],不要忽視前面的負(fù)號.
[針對訓(xùn)練] 函數(shù)f(x)=sin(x+)cos x的最小正周期為　　　　.
解析:f(x)=sin(x+)cos x=[sin(2x+)+sin]=sin(2x+)+,
所以f(x)的最小正周期為π.
答案:π
探究點(diǎn)三　三角函數(shù)的和差化積公式
[例3] 求下列各式的值.
(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°;
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
解:(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sin 30°·cos 10°-cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°
=(cos 40°+cos 80°)+-cos 20°
=2cos 60°cos 20°+-cos 20°
=cos 20°+-cos 20°=.
和差化積時,兩個以和差連接的三角函數(shù)是同名的,形如sin α±sin β,cos α±cos β,如果兩個三角函數(shù)不同名,要根據(jù)誘導(dǎo)公式把其化為同名,再使用和差化積公式.
[針對訓(xùn)練] 已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,求tan 的值.
解:由sin α+sin β=,cos α+cos β=,
得2sin cos =,2cos cos =,
兩式相除得tan =.
當(dāng)堂檢測
1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°等于(　C　)
A. B. C. D.1
解析:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=2sin 30°·cos 10°+sin 60°-sin 80°=2××sin 80°+-sin 80°=.故選C.
2.(多選題)下列有關(guān)和差化積的轉(zhuǎn)化正確的是(　AB　)
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ
B.cos 3θ-cos 5θ=2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=2cos 4θsin θ
D.sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ
解析:由和差化積公式可知,
對于A,sin 5θ+sin 3θ=2sincos=2sin 4θcos θ,
故A正確;
對于B,cos 3θ-cos 5θ=-2sinsin=2sin 4θsin θ,
故B正確;
對于C,sin 3θ-sin 5θ=2cos ·sin=-2cos 4θsin θ,故C錯誤;對于D,sin 5θ+cos 3θ=sin 5θ+sin(3θ+)
=2sin·cos=2sin(4θ+)cos(θ-),故D錯誤.
故選AB.
3.化簡的結(jié)果為　　　　.
解析:原式=
=
==.
答案:
4.函數(shù)f(x)=5cos x+12sin x的最小值為　　　　.
解析:f(x)=13(cos x+sin x)=13sin(x+)(其中tan =),
所以f(x)min=-13.
答案:-13
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
輔助角公式及其應(yīng)用 1,8,12,13
和差化積與積化和差 2,4,7
綜合應(yīng)用 3,5,6,9,10,11
基礎(chǔ)鞏固
1.為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 3x的圖象(　A　)
A.向右平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向左平移個單位長度
解析:因?yàn)閥=sin 3x+cos 3x=cos(3x-)=cos[3(x-)],
所以將函數(shù)y=cos 3x的圖象向右平移個單位長度后可得到函數(shù)y=cos(3x-)的圖象.故選A.
2.已知sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),則α-β等于(　D　)
A.- B.- C. D.
解析:由已知得2sincos=·(-2sin sin ),
因?yàn)?<<π,-<<,所以sin >0,所以tan =,
所以=,所以α-β=.故選D.
3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=cos 2x-sin 2x,則(　ACD　)
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱
C.f(x-)是奇函數(shù)
D.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z
解析:根據(jù)題意可得f(x)=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期為T==π,即A正確;
將x=代入可得f()=cos(2×+)=cos =0,沒有取到最值,所以f(x)的圖象不關(guān)于直線x=對稱,即B錯誤;
易知f(x-)=cos[2(x-)+]=cos(2x-)=sin 2x,可得f(x-)是奇函數(shù),即C正確;
令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z,即D正確.故選ACD.
4.已知sin α-sin β=-,cos α+cos β=,則tan的值為(　D　)
A. B.
C.- D.-
解析:sin α-sin β=2cossin=-,
cos α+cos β=2coscos=,
兩式相除可得=tan==-.故選D.
5.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x在(0,m)上有且僅有3個零點(diǎn),則m的最大值為(　C　)
A. B. C. D.
解析:f(x)=sin x+cos x=2sin(x+),當(dāng)x∈(0,m)時,x+∈(,m+),因?yàn)閒(x)在(0,m)上有且僅有3個零點(diǎn),所以3π6.函數(shù)y=sin x+sin(x+)的最大值是　 .
解析:y=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x=sin(x+),
當(dāng)x+=2kπ+,k∈Z,即x=2kπ+,k∈Z時,sin(x+)取得最大值1,
所以y=sin x+sin(x+)的最大值是.
答案:
7.cos 20°+cos 100°+cos 140°=　　　　.
解析:原式=2coscos +cos 140°
=2cos 60°·cos 40°+cos(180°-40°)
=cos 40°-cos 40°=0.
答案:0
8.已知f(x)=sin x+2cos x,當(dāng)x=θ時,f(x)取得最大值,則tan θ=
　　　　.
解析:令cos α=,sin α=,其中α為銳角,
則f(x)=sin x+2cos x=(sin x+cos x)
=(sin xcos α+cos xsin α)=sin(x+α).
因?yàn)楫?dāng)x=θ時,f(x)取得最大值,則θ+α=2kπ+(k∈Z),
所以θ=2kπ+-α(k∈Z),
所以sin θ=sin(2kπ+-α)=cos α=,
cos θ=cos(2kπ+-α)=sin α=,故tan θ==×=.
答案:
能力提升
9.已知函數(shù)f(x)=cos 2x-sin 2x,下列結(jié)論錯誤的是(　D　)
A.f(x)在區(qū)間[-,]上單調(diào)遞減
B.(,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心
C.f(x)在[0,]上的值域?yàn)閇-,]
D.f(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)=
2cos(2x+)的圖象
解析:函數(shù)f(x)=cos 2x-sin 2x=2cos(2x+),由于x∈[-,],所以2x+∈[0,],所以函數(shù)f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減,故A正確;
當(dāng)x=時,f()=2cos =0,故B正確;
由于x∈[0,],所以2x+∈[,],cos(2x+)∈[-,],
f(x)∈[-,],故C正確;
函數(shù)f(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度后得到函數(shù)y=2cos[2(x-)+]=2cos 2x的圖象,故D錯誤.
故選D.
10.已知函數(shù)f(x)=asin x+cos x滿足:f(x)≤f().若函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上單調(diào),且f(x1)+f(x2)=0,則當(dāng)|x1+x2|取得最小值時,
sin(x1+x2)=　　　 　.
解析:易知a≠0,若a>0,由輔助角公式得
f(x)=asin x+cos x=sin(x+),
其中tan =,∈(0,).
因?yàn)閒(x)≤f(),
則f(x)max=f() sin(+)=1 =,
則tan = a=1,
所以f(x)=2sin(x+).
若a<0,則f(x)=-(-asin x-cos x)=-sin(x-),
其中tan =,∈(0,).
同上f(x)max=f() sin(-)=-1 =+2kπ,k∈Z與前提矛盾,舍去,
故f(x)=sin x+cos x=2sin(x+),
易知y=f(x)以(-+kπ,0),k∈Z為對稱中心.
根據(jù)題意函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上單調(diào),且f(x1)+f(x2)=0,
則x1+x2=2×(-+kπ),k∈Z,
則當(dāng)|x1+x2|取得最小值時,sin(x1+x2)=sin(-)=-.
答案:-
11.已知函數(shù)f(x)=cos xsin(x+)-.
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求f(x)=0在區(qū)間(0,)上的根.
解:(1)f(x)=cos xsin(x+)-=[sin(2x+)+sin]-=sin(2x+),
故f(x)的最小正周期T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z.
(2)f(x)=0,即sin(2x+)=0,
則2x+=kπ,k∈Z,
解得x=-+,k∈Z,
由x∈(0,),所以x=,故f(x)=0在區(qū)間(0,)上的根為x=.
12.已知函數(shù)f(x)=sin x-cos x-m.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)函數(shù)g(x)的圖象可以由f(x)的圖象向左平移個單位長度得到,若g(x)在[-,]上有兩個零點(diǎn),求m的取值范圍.
解:(1)f(x)=sin x-cos x-m=2sin(x-)-m,所以f(x)的最小正周期為2π.
(2)將f(x)的圖象向左平移個單位長度,
得到g(x)=2sin(x+-)-m=2sin x-m的圖象,令h(x)=2sin x,
則h(x)在[-,]上單調(diào)遞增,
在(,]上單調(diào)遞減,
且h(-)=-2sin=-1,h()=2sin=2,h()=2sin=1.
若g(x)在[-,]上有兩個零點(diǎn),則關(guān)于x的方程h(x)=m在[-,]上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,即h(x)與y=m的圖象有兩個交點(diǎn),所以m的取值范圍為[1,2)(如圖).
應(yīng)用創(chuàng)新
13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),對于函數(shù)f(x)=asin x+bcos x,稱向量=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量,同時稱函數(shù)f(x)為向量的相伴函數(shù).
(1)若向量m=(2,2)為h(x)=λsin(x+)的相伴特征向量,求實(shí)數(shù)λ
的值;
(2)記向量m=(5,12)的相伴函數(shù)是f(x),求f(x)在x∈[0,]的值域.
解:(1)因?yàn)橄蛄縨=(2,2)為h(x)=λsin(x+)的相伴特征向量,
則h(x)=λsin(x+)=2sin x+2cos x=2sin(x+),解得λ=2.
(2)由題意得向量m=(5,12)的相伴函數(shù)是
f(x)=5sin x+12cos x
=13×(sin x+cos x).
設(shè)cos θ=,sin θ=,
因?yàn)?sin θ<1,所以<θ<,
所以f(x)=13sin(x+θ).
當(dāng)x∈[0,]時,x+θ∈[θ,+θ],
當(dāng)x+θ=時,函數(shù)f(x)有最大值,為13;
當(dāng)x+θ=+θ,即x=時,函數(shù)f(x)有最小值,
為f()=5×sin+12×cos=,
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇,13].2.3　三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用
2.4　積化和差與和差化積公式
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握輔助角公式的原理及應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.了解三角函數(shù)的積化和差、和差化積公式的簡單應(yīng)用,增強(qiáng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
知識探究
問題1:由sin(30°+α)=cos α+sin α,cos α+sin α=sin(30°+α),你能概括出形如asin α+bcos α的三角函數(shù)式化為一個角的三角函數(shù)式的方法嗎
知識點(diǎn)1　輔助角公式
asin α+bcos α=sin(α+)(a,b不同時為0).其中角所在象限由a,b的符號確定,角的值由sin 和cos 的值確定,也就是由tan =來確定.
[做一做1] 函數(shù)y=3sin x+4cos x的最大值為(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
問題2:根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的公式:
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;②
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;③
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.④
在上述公式的右端含有cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,
cos αsin β,從方程的觀點(diǎn)出發(fā),你能否把它們解出來
知識點(diǎn)2　三角函數(shù)的積化和差公式
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
問題3:如何把sin 60°+sin 30°化為兩個三角函數(shù)乘積的形式 你能根據(jù)積化和差公式,得出把兩個三角函數(shù)和差的形式化為兩個三角函數(shù)乘積形式的公式嗎
知識點(diǎn)3　三角函數(shù)的和差化積公式
sin x+sin y=2sin cos ;
sin x-sin y=2cos sin ;
cos x+cos y=2cos cos ;
cos x-cos y=-2sin sin .
[做一做2] sin 105°+sin 15°等于(　　)
A. B. C. D.
常見的特殊角的式子化簡
sin x+cos x=sin(x+);
sin x-cos x=sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-);
sin x+cos x=2sin(x+);
sin x-cos x=2sin(x-).
探究點(diǎn)一　輔助角公式的應(yīng)用
[例1] (多選題)已知函數(shù)f(x)=2sin ωx+cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期為π,則(　　)
A.ω=2
B.f(x)的最大值為3
C.f(x)在區(qū)間(-,)上單調(diào)遞增
D.將f(x)的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱
公式asin x+bcos x=sin(x+)[或asin x+bcos x=
cos(x-)],將形如asin x+bcos x(a,b不同時為0)的三角函數(shù)式收縮為一個角的一種三角函數(shù)式,這樣做有利于三角函數(shù)的化簡,更是研究三角函數(shù)性質(zhì)的常用工具.
化為正弦還是余弦,要看具體條件而定,一般要求變形后角x的系數(shù)為正,這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì)(包括函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、定義域等).
[針對訓(xùn)練] 若0<θ≤,則sin θ+cos θ的取值范圍是　　　　.
探究點(diǎn)二　三角函數(shù)的積化和差公式
[例2] 利用積化和差公式,求下列各式的值.
(1)cos 15°cos 75°;
(2)sin 20°sin 40°sin 80°.
積化和差公式實(shí)際上是兩角和與差的正弦公式、余弦公式的變形,在使用時注意四種形式,即sin αsin β,cos αcos β,sin αcos β,cos αsin β,特別是sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],不要忽視前面的負(fù)號.
[針對訓(xùn)練] 函數(shù)f(x)=sin(x+)cos x的最小正周期為　　　　.
探究點(diǎn)三　三角函數(shù)的和差化積公式
[例3] 求下列各式的值.
(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°;
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
和差化積時,兩個以和差連接的三角函數(shù)是同名的,形如sin α±sin β,cos α±cos β,如果兩個三角函數(shù)不同名,要根據(jù)誘導(dǎo)公式把其化為同名,再使用和差化積公式.
[針對訓(xùn)練] 已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,求tan 的值.
當(dāng)堂檢測
1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°等于(　　)
A. B. C. D.1
2.(多選題)下列有關(guān)和差化積的轉(zhuǎn)化正確的是(　　)
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ
B.cos 3θ-cos 5θ=2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=2cos 4θsin θ
D.sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ
3.化簡的結(jié)果為　　　　.
4.函數(shù)f(x)=5cos x+12sin x的最小值為　　　　.
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
輔助角公式及其應(yīng)用 1,8,12,13
和差化積與積化和差 2,4,7
綜合應(yīng)用 3,5,6,9,10,11
基礎(chǔ)鞏固
1.為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 3x的圖象(　　)
A.向右平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向左平移個單位長度
2.已知sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),則α-β等于(　　)
A.- B.- C. D.
3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=cos 2x-sin 2x,則(　)
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱
C.f(x-)是奇函數(shù)
D.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-,kπ+],k∈Z
4.已知sin α-sin β=-,cos α+cos β=,則tan的值為(　　)
A. B.
C.- D.-
5.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x在(0,m)上有且僅有3個零點(diǎn),則m的最大值為(　　)
A. B. C. D.
6.函數(shù)y=sin x+sin(x+)的最大值是　 .
7.cos 20°+cos 100°+cos 140°=　　　　.
8.已知f(x)=sin x+2cos x,當(dāng)x=θ時,f(x)取得最大值,則tan θ=
　　　　.
能力提升
9.已知函數(shù)f(x)=cos 2x-sin 2x,下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A.f(x)在區(qū)間[-,]上單調(diào)遞減
B.(,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心
C.f(x)在[0,]上的值域?yàn)閇-,]
D.f(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)=
2cos(2x+)的圖象
10.已知函數(shù)f(x)=asin x+cos x滿足:f(x)≤f().若函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上單調(diào),且f(x1)+f(x2)=0,則當(dāng)|x1+x2|取得最小值時,
sin(x1+x2)=　　　 　.
11.已知函數(shù)f(x)=cos xsin(x+)-.
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求f(x)=0在區(qū)間(0,)上的根.
12.已知函數(shù)f(x)=sin x-cos x-m.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)函數(shù)g(x)的圖象可以由f(x)的圖象向左平移個單位長度得到,若g(x)在[-,]上有兩個零點(diǎn),求m的取值范圍.
應(yīng)用創(chuàng)新
13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),對于函數(shù)f(x)=asin x+bcos x,稱向量=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量,同時稱函數(shù)f(x)為向量的相伴函數(shù).
(1)若向量m=(2,2)為h(x)=λsin(x+)的相伴特征向量,求實(shí)數(shù)λ
的值;
(2)記向量m=(5,12)的相伴函數(shù)是f(x),求f(x)在x∈[0,]的值域.

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