資源簡介

§1　復數的概念及其幾何意義
1.1　復數的概念
學習目標
1.了解引進虛數單位i的必要性,了解數系的擴充過程以及由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念,發展數學抽象的核心素養.
2.掌握復數代數形式的表示方法,理解復數相等的充要條件,發展數學抽象的核心素養.
知識探究
知識點1　復數的概念
(1)虛數單位的引入.
為了使方程x2=-1有解,人們引入一個新數i,叫作虛數單位,并規定:
①它的平方等于-1,即i2=-1;
②實數與它進行四則運算時,原有的加法、乘法運算律仍然成立.
(2)復數的有關概念.
①復數的定義:形如a+bi(其中a,b∈R)的數叫作復數,通常用字母z表示.
②復數集:全體復數構成的集合稱為復數集,記作C.
③復數的代數形式:z=a+bi(a,b∈R),其中a稱為復數z的實部,記作Re z,b稱為復數z的虛部,記作Im z.
[思考1] 方程x2+2=0,x∈C的解集是什么
提示:{-i,i}.
[思考2] 復數m+ni的實部、虛部一定是m,n嗎 請簡要說明.
提示:不一定.只有當m∈R,n∈R時,m,n才是該復數的實部、虛部.
[思考3] 對于復數z=a+bi(a,b∈R),它的虛部是b還是bi
提示:虛部是b.
知識點2　復數的分類
(1)對于復數a+bi(a,b∈R),當且僅當b=0時,它是實數;當且僅當a=b=0時,它是實數0;當b≠0時,叫作虛數;當a=0且b≠0時,叫作純虛數.
根據復數中a,b的取值不同,復數可以有以下的分類:
(2)集合表示如下圖.
知識點3　復數相等
兩個復數a+bi與c+di(a,b,c,d∈R)相等定義為:它們的實部相等且虛部相等,即a+bi=c+di當且僅當a=c且b=d.
[思考4] 兩個向量沒有大小之分,兩個復數一定沒有大小之分嗎 請簡要說明.
提示:如果兩個復數都是實數,那么這兩個復數具有大小關系;但兩個復數,如果不全是實數,那么就不能比較大小,只能說相等或不相等.
[思考5] “因為3>2,所以3+i>2+i,3i>2i,i是虛數單位”,你認為這個推理正確嗎
提示:不正確.
探究點一　復數概念的理解
[例1] 下列命題正確的是(　　)
A.若z∈C,則z2≥0
B.復數a+bi的虛部是b
C.復數2i的實部是0
D.設a,b∈R,若復數a2-(2-b)i的實部和虛部分別是4和3,則a+b=4
解析:由于復數的平方不一定大于0,故A錯誤;復數z=a+bi中沒有a,b∈R,故B錯誤;2i的實部是0,C正確;由題意,得a2=4,-(2-b)=3,所以a=±2,b=5,因此a+b=7或3,故D錯誤.故選C.
(1)一個數的平方非負在實數范圍內是真命題,在復數范圍內是假命題,所以在判定數的性質和結論時,一定要關注在哪個數集上 .
(2)對于復數實部、虛部的確定,不但要把復數化為a+bi的形式,更要注意a,b均為實數時,才能確定復數的實部、虛部.
(3)復數a+bi(a,b∈R)的虛部是實數b而非bi.
[針對訓練] (多選題)下列說法正確的是(　　)
A.復數0的實部和虛部均為0
B.若a∈R,則(a+1)i是純虛數
C.-(2-i)的虛部是
D.方程x2+4=0的解是x=2i
解析:由于復數z=0=0+0i,因此A正確;在B中,若a=-1,則(a+1)i不是純虛數,故B錯誤;由-(2-i)=-2+i,可知其虛部是,故C正確;方程x2+4=0的解是x=±2i,故D錯誤.故選AC.
探究點二　復數的分類
[例2] 已知復數z=+(a2-5a-6)i(a∈R).
(1)若復數z為實數,求a的值.
(2)若復數z為虛數,求a的取值范圍.
(3)復數z能否為純虛數 若能,求a的值;若不能,請說明理由.
解:(1)若復數z為實數,則
解得a=6.
(2)若復數z為虛數,則
解得a≠±1且a≠6,
所以a的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞).
(3)復數z不能為純虛數,理由如下:
若復數z為純虛數,則此不等式組無解,所以復數z不能為純虛數.
判斷一個復數在什么情況下是實數、虛數或者純虛數,應首先保證復數的實部、虛部均有意義,其次根據分類的標準,列出實部、虛部應滿足的關系式再求解.
[針對訓練] 已知復數z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,試求實數m分別取什么值時,z為下列數.
(1)實數;(2)虛數;(3)純虛數.
解:(1)由得m=-2,
所以當m=-2時,z是實數.
(2)由得m≠-1且m≠-2,
所以當m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)時,z是虛數.
(3)由題意得
即解得m=0.
所以當m=0時,z是純虛數.
探究點三　復數相等
[例3] 求滿足下列條件的實數x,y的值.
(1)(x-3y)+(2x+3y)i=5+i;
(2)2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0.
解:(1)由(x-3y)+(2x+3y)i=5+i可得
解得
(2)由2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0可得
解得x=或x=1,y=2或y=-3.
(1)復數z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,則z1=z2 a=c且b=d.
(2)復數問題實數化是解決復數相等問題最基本的也是最重要的思想方法,轉化過程主要依據復數相等的充要條件.基本思路是:
①等式兩邊整理為a+bi(a,b∈R)的形式;
②由復數相等的充要條件可以得到由兩個實數等式所組成的方程組;
③解方程組,求出相應的參數.
[針對訓練] 若a,b∈R,i是虛數單位,a+2 023i=2-bi,則a2+bi等于　　　　　　.
解析:因為a,b∈R且a+2 023i=2-bi,
所以解得
所以a2+bi=22-2 023i=4-2 023i.
答案:4-2 023i
學海拾貝
含有復數的不等式
[典例探究] 使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10(i是虛數單位)成立的實數m為(　　)
A.1 B.0
C.3 D.m不存在
解析:由題意得
解①,得m=0或m=3;解②,得m=1或m=3;
解③,得-[應用探究] (1)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,則實數x的值為　　　　.
(2)求滿足條件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的實數a,b的值.
(1)解析:因為log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
所以
所以
所以所以x=-2.
答案:-2
(2)解:由-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i知,不等號左右兩邊均為實數,
所以解得a=b=2.
當堂檢測
1.已知復數(x+y)+(2-x)i的實部和虛部分別為3和 4,則實數x和y的值分別是(　D　)
A.2,-4 B.2,5 C.-2,4 D.-2,5
解析:由題意得解得故選D.
2.已知x,y∈R,若2+yi=x-i(i為虛數單位),則y-x的值為(　B　)
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解析:因為2+yi=x-i,x,y∈R,則x=2,y=-1,所以y-x=-3.故選B.
3.若復數z=(x2-100)+(x-10)i為純虛數,則實數x的值為(　A　)
A.-10 B.10
C.100 D.-10或10
解析:因為z為純虛數,所以x2-100=0,同時x-10≠0,所以x=-10.故選A.
4.若實數x,y滿足x+y+(x-y)i=2,則xy=　　　　.
解析:由題意,得解得
所以xy=1.
答案:1
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數的概念 1,2,7,11
復數相等 3,6,9
復數概念的綜合應用 4,5,8,10,12
基礎鞏固
1.設復數z=3-4i,則z的實部與虛部的和為(　A　)
A.-1 B.1 C.5 D.7
解析:由z=3-4i知,實部為3,虛部為-4,故實部與虛部的和為-1.
故選A.
2.若復數z=a2-1+(a+1)i(a∈R)為純虛數,則a的值為(　B　)
A.-1 B.1 C.0或1 D.-1或1
解析:由題意可知解得a=1.故選B.
3.若-3+ai=b-2i,其中a,b∈R,i是虛數單位,則等于(　B　)
A.- B. C. D.-
解析:因為-3+ai=b-2i,
所以a=-2,b=-3,得=.故選B.
4.(多選題)對于復數a+bi (a,b∈R),下列說法正確的是(　BC　)
A.若a=0,則a+bi為純虛數
B.若a+(b-1)i=3-2i,則a=3,b=-1
C.若b=0,則a+bi為實數
D.i的平方等于1
解析:當a=b=0時,a+bi=0為實數,故A錯誤;
若a+(b-1)i=3-2i,則解得故B正確;
若b=0,則a+bi=a為實數,故C正確;
i的平方為-1,故D錯誤.故選BC.
5.若復數m-3+(m2-9)i≥0,則實數m的值為　　　　.
解析:依題意知解得m=3.
答案:3
6.已知i為虛數單位,a,b∈R,集合A={z|z=a+(2a-1)i},B={z|z=b-2+bi},則A∩B=　　　　　　.
解析:由題得a+(2a-1)i=b-2+bi,
所以解得所以A∩B={3+5i}.
答案:{3+5i}
7.一個實部與虛部的平方和為10的虛數是　　 　　.(寫出一個即可)
解析:在z=a+bi(a,b∈R)中,只要a2+b2=10就滿足題意,所以z=3-i符合題意.
答案:3-i(答案不唯一)
能力提升
8.設m∈R,則“m=-1”是“復數z=(m2-2m-3)+(m-1)i為純虛數”的(　A　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:若復數z=(m2-2m-3)+(m-1)i為純虛數,則解得m=3或m=-1,
所以“m=-1”是“復數z=(m2-2m-3)+(m-1)i為純虛數”的充分不必要條件.故選A.
9.設m∈R,i為虛數單位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,則m=　 .
解析:集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,
則有2m+(m-1)i=-2i或2m+(m-1)i=2,解得m=1.
答案:1
10.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,則a的取值集合為　　　　.
解析:由z1>z2,得解得a=0,
故a的取值集合為{0}.
答案:{0}
11.已知復數z=(2m2-7m+3)+(m2-m-6)i(m∈R),根據下列條件求實數m的取值范圍.
(1)若z∈R;(2)z是純虛數;(3)Re z>Im z+2.
解:(1)若z∈R,則m2-m-6=0,得m=3或m=-2,即m的取值范圍為{-2,3}.
(2)若z是純虛數,則
即得m=,即m的取值范圍為{}.
(3)若Re z>Im z+2,則2m2-7m+3>(m2-m-6)+2,即m2-6m+7>0,
解得m>3+或m<3-,即m的取值范圍為(-∞,3-)∪(3+,+∞).
應用創新
12.若復數z=(cos θ-)+(sin θ-)i是純虛數(i為虛數單位),則tan(θ-)的值為(　C　)
A.7 B.-
C.-7 D.-7或-
解析:因為復數z=(cos θ-)+(sin θ-)i是純虛數,所以cos θ-=0,sin θ-≠0.
又cos2θ+sin2θ=1,
所以cos θ=,sin θ=-,所以tan θ=-,
所以tan(θ-)===-7.故選C.§1　復數的概念及其幾何意義
1.1　復數的概念
學習目標
1.了解引進虛數單位i的必要性,了解數系的擴充過程以及由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念,發展數學抽象的核心素養.
2.掌握復數代數形式的表示方法,理解復數相等的充要條件,發展數學抽象的核心素養.
知識探究
知識點1　復數的概念
(1)虛數單位的引入.
為了使方程x2=-1有解,人們引入一個新數i,叫作虛數單位,并規定:
①它的平方等于-1,即i2=-1;
②實數與它進行四則運算時,原有的加法、乘法運算律仍然成立.
(2)復數的有關概念.
①復數的定義:形如a+bi(其中a,b∈R)的數叫作復數,通常用字母z表示.
②復數集:全體復數構成的集合稱為復數集,記作C.
③復數的代數形式:z=a+bi(a,b∈R),其中a稱為復數z的實部,記作Re z,b稱為復數z的虛部,記作Im z.
[思考1] 方程x2+2=0,x∈C的解集是什么
提示:{-i,i}.
[思考2] 復數m+ni的實部、虛部一定是m,n嗎 請簡要說明.
提示:不一定.只有當m∈R,n∈R時,m,n才是該復數的實部、虛部.
[思考3] 對于復數z=a+bi(a,b∈R),它的虛部是b還是bi
提示:虛部是b.
知識點2　復數的分類
(1)對于復數a+bi(a,b∈R),當且僅當b=0時,它是實數;當且僅當a=b=0時,它是實數0;當b≠0時,叫作虛數;當a=0且b≠0時,叫作純虛數.
根據復數中a,b的取值不同,復數可以有以下的分類:
(2)集合表示如下圖.
知識點3　復數相等
兩個復數a+bi與c+di(a,b,c,d∈R)相等定義為:它們的實部相等且虛部相等,即a+bi=c+di當且僅當a=c且b=d.
[思考4] 兩個向量沒有大小之分,兩個復數一定沒有大小之分嗎 請簡要說明.
提示:如果兩個復數都是實數,那么這兩個復數具有大小關系;但兩個復數,如果不全是實數,那么就不能比較大小,只能說相等或不相等.
[思考5] “因為3>2,所以3+i>2+i,3i>2i,i是虛數單位”,你認為這個推理正確嗎
提示:不正確.
探究點一　復數概念的理解
[例1] 下列命題正確的是(　　)
A.若z∈C,則z2≥0
B.復數a+bi的虛部是b
C.復數2i的實部是0
D.設a,b∈R,若復數a2-(2-b)i的實部和虛部分別是4和3,則a+b=4
(1)一個數的平方非負在實數范圍內是真命題,在復數范圍內是假命題,所以在判定數的性質和結論時,一定要關注在哪個數集上 .
(2)對于復數實部、虛部的確定,不但要把復數化為a+bi的形式,更要注意a,b均為實數時,才能確定復數的實部、虛部.
(3)復數a+bi(a,b∈R)的虛部是實數b而非bi.
[針對訓練] (多選題)下列說法正確的是(　　)
A.復數0的實部和虛部均為0
B.若a∈R,則(a+1)i是純虛數
C.-(2-i)的虛部是
D.方程x2+4=0的解是x=2i
探究點二　復數的分類
[例2] 已知復數z=+(a2-5a-6)i(a∈R).
(1)若復數z為實數,求a的值.
(2)若復數z為虛數,求a的取值范圍.
(3)復數z能否為純虛數 若能,求a的值;若不能,請說明理由.
判斷一個復數在什么情況下是實數、虛數或者純虛數,應首先保證復數的實部、虛部均有意義,其次根據分類的標準,列出實部、虛部應滿足的關系式再求解.
[針對訓練] 已知復數z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,試求實數m分別取什么值時,z為下列數.
(1)實數;(2)虛數;(3)純虛數.
探究點三　復數相等
[例3] 求滿足下列條件的實數x,y的值.
(1)(x-3y)+(2x+3y)i=5+i;
(2)2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0.
(1)復數z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,則z1=z2 a=c且b=d.
(2)復數問題實數化是解決復數相等問題最基本的也是最重要的思想方法,轉化過程主要依據復數相等的充要條件.基本思路是:
①等式兩邊整理為a+bi(a,b∈R)的形式;
②由復數相等的充要條件可以得到由兩個實數等式所組成的方程組;
③解方程組,求出相應的參數.
[針對訓練] 若a,b∈R,i是虛數單位,a+2 023i=2-bi,則a2+bi等于　　　　　　.
學海拾貝
含有復數的不等式
[典例探究] 使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10(i是虛數單位)成立的實數m為(　　)
A.1 B.0
C.3 D.m不存在
[應用探究] (1)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,則實數x的值為　　　　.
(2)求滿足條件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的實數a,b的值.
當堂檢測
1.已知復數(x+y)+(2-x)i的實部和虛部分別為3和 4,則實數x和y的值分別是(　　)
A.2,-4 B.2,5 C.-2,4 D.-2,5
2.已知x,y∈R,若2+yi=x-i(i為虛數單位),則y-x的值為(　　)
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.若復數z=(x2-100)+(x-10)i為純虛數,則實數x的值為(　　)
A.-10 B.10
C.100 D.-10或10
4.若實數x,y滿足x+y+(x-y)i=2,則xy=　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數的概念 1,2,7,11
復數相等 3,6,9
復數概念的綜合應用 4,5,8,10,12
基礎鞏固
1.設復數z=3-4i,則z的實部與虛部的和為(　　)
A.-1 B.1 C.5 D.7
2.若復數z=a2-1+(a+1)i(a∈R)為純虛數,則a的值為(　)
A.-1 B.1 C.0或1 D.-1或1
3.若-3+ai=b-2i,其中a,b∈R,i是虛數單位,則等于(　　)
A.- B. C. D.-
4.(多選題)對于復數a+bi (a,b∈R),下列說法正確的是(　)
A.若a=0,則a+bi為純虛數
B.若a+(b-1)i=3-2i,則a=3,b=-1
C.若b=0,則a+bi為實數
D.i的平方等于1
5.若復數m-3+(m2-9)i≥0,則實數m的值為　　　　.
6.已知i為虛數單位,a,b∈R,集合A={z|z=a+(2a-1)i},B={z|z=b-2+bi},則A∩B=　　　　　　.
7.一個實部與虛部的平方和為10的虛數是　　 　　.(寫出一個即可)
能力提升
8.設m∈R,則“m=-1”是“復數z=(m2-2m-3)+(m-1)i為純虛數”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
9.設m∈R,i為虛數單位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,則m=　 .
10.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,則a的取值集合為　　　　.
11.已知復數z=(2m2-7m+3)+(m2-m-6)i(m∈R),根據下列條件求實數m的取值范圍.
(1)若z∈R;(2)z是純虛數;(3)Re z>Im z+2.
應用創新
12.若復數z=(cos θ-)+(sin θ-)i是純虛數(i為虛數單位),則tan(θ-)的值為(　　)
A.7 B.-
C.-7 D.-7或-

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