資源簡(jiǎn)介

1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解復(fù)數(shù)的幾何意義,會(huì)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與向量表示復(fù)數(shù),提升數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng).
2.理解復(fù)數(shù)的模的概念及幾何意義,會(huì)求復(fù)數(shù)的模,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3.理解共軛復(fù)數(shù)的概念及意義.
知識(shí)探究
問(wèn)題:實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系
提示:任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)唯一確定.
知識(shí)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
(1)復(fù)平面.
①定義:通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面.
②實(shí)軸:在復(fù)平面內(nèi),x軸稱為實(shí)軸,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).
③虛軸:在復(fù)平面內(nèi),y軸稱為虛軸,除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).
④原點(diǎn):復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)(0,0)表示復(fù)數(shù)0.
(2)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi　復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).
[思考1] 虛軸上的點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的純虛數(shù)嗎
提示:不是.
[做一做1] 已知復(fù)數(shù)z=-i,在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(　A　)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
解析:復(fù)數(shù)z=-i的實(shí)部為0,虛部為-1,故在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(0,-1).
故選A.
知識(shí)點(diǎn)2　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系
復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量=(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi　平面向量.
[思考2] 復(fù)數(shù)與平面向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提條件是什么
提示:向量的起點(diǎn)是原點(diǎn).若起點(diǎn)不是原點(diǎn),則復(fù)數(shù)與向量就不能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
[做一做2] 向量a=(1,-2)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　B　)
A.1+2i　B.1-2i　C.-1+2i　D.-2+i
解析:因?yàn)閺?fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng),所以向量a=(1,-2)的復(fù)數(shù)形式為z=1-2i.故選B.
知識(shí)點(diǎn)3　復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)
(1)復(fù)數(shù)的模.
向量的模稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi|.由向量模的定義可知,|z|=|a+bi|=.如果b=0,那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a,它的模|z|===|a|(a的絕對(duì)值).
(2)共軛復(fù)數(shù).
①定義:若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,而虛部互為相反數(shù),則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).
②表示:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示.當(dāng)z=a+bi(a,b∈R)時(shí),=a-bi.
③性質(zhì):a.在復(fù)平面內(nèi),表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,并且它們的模相等.
b.任意一個(gè)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身,反之亦然.
[思考3] 復(fù)數(shù)不一定能比較大小,那么復(fù)數(shù)的模可以比較大小嗎
提示:由于復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù),因此復(fù)數(shù)的模可以比較大小.
[思考4] 若復(fù)數(shù)z的模滿足|z|=0,則復(fù)數(shù)z有何特征
提示:z=0.
[思考5] 若復(fù)數(shù)z滿足z=,則復(fù)數(shù)z有何特征
提示:z∈R.
[做一做3] 已知復(fù)數(shù)z=1+2i(i是虛數(shù)單位),則|z|=　　　　.
解析:因?yàn)閦=1+2i,
所以|z|==.
答案:　
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.
探究點(diǎn)一　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
[例1] 實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí),復(fù)數(shù)z=+(a2-2a-15)i(a∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z滿足下列條件
(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi);
(2)在復(fù)平面內(nèi)的實(shí)軸上方.
解:(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi),
則解得a<-3.
(2)點(diǎn)Z在實(shí)軸上方,則
即(a+3)(a-5)>0,
解得a>5或a<-3.
[變式探究] (1)本例中題設(shè)條件不變,求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí),實(shí)數(shù)a的值;
(2)本例中條件不變,如果點(diǎn)Z在直線y=-x-7上,求實(shí)數(shù)a的值.
解:(1)點(diǎn)Z在實(shí)軸上,a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.
故當(dāng)a=5時(shí),點(diǎn)Z在實(shí)軸上.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)Z在直線y=-x-7上,
所以a2-2a-15=--7,
即+(a-4)(a+2)=0,
整理得=0,
故a=-2或a=±.
所以當(dāng)a=-2或a=±時(shí),點(diǎn)Z在直線y=-x-7上.
求解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法
(1)將復(fù)數(shù)表示為z=a+bi(a,b∈R)的形式后,確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的x,y坐標(biāo).
(2)根據(jù)已知條件,確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系.
探究點(diǎn)二　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系
[例2] 已知在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a+i(a∈R).若向量與共線,求a的值.
解:因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a+i,
所以=(-3,4),=(2a,1).
因?yàn)橄蛄颗c共線,
所以存在實(shí)數(shù)k,使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以
即a的值為-.
(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí),向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后,從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段,即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.
(2)解決復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)的題目時(shí),一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系為工具,實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量之間的轉(zhuǎn)化.
[針對(duì)訓(xùn)練] (1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=-+i對(duì)應(yīng)的向量為,復(fù)數(shù)z+1對(duì)應(yīng)的向量為,那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C.若=x+y(x,y∈R),則x+y=　　　　.
解析:(1)由題意得A(-,),B(,),=(1,0),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1.故選A.
(2)由A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2),
得=(-1,2),=(1,-1),=(3,-2),
得(3,-2)=(-x,2x)+(y,-y)=(-x+y,2x-y),
所以所以
所以x+y=5.
答案:(1)A　(2)5
探究點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)
[例3] 已知復(fù)數(shù)z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|;
(2)設(shè)z∈C,且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形 作圖并計(jì)算其面積.
解:(1)由題意可得,|z1|==2,
|z2|==1.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因?yàn)閨z|的幾何意義就是復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離,
所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圓及其外部所有點(diǎn)組成的集合,
|z|≤2表示|z|=2所表示的圓及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合,
故符合題設(shè)條件的點(diǎn)Z的集合是以O(shè)為圓心,以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)(包含邊界),如圖所示.
圓環(huán)的面積為π×22-π×12=3π.
(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全為實(shí)數(shù)時(shí),不能比較大小,而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的模均可比較大小.
(2)復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,也可以類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來(lái)加深理解.
[針對(duì)訓(xùn)練] 已知復(fù)數(shù)z=3+ai(a∈R)的共軛復(fù)數(shù)是,若||<5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　.
解析:因?yàn)閨z|=||,且z=3+ai(a∈R),所以||=,由已知得<5,因此a2<16,所以a∈(-4,4).
答案:(-4,4)
當(dāng)堂檢測(cè)
1.設(shè)復(fù)數(shù)z=-1+i(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于(　B　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:復(fù)數(shù)z=-1+i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,1),即在復(fù)平面內(nèi)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限.故選B.
2.(多選題)已知復(fù)數(shù)z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,則實(shí)數(shù)m的值可以為(　AC　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:依題意可得=2,解得m=1或3.故選AC.
3.復(fù)數(shù)=1+i和z=1-i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于(　A　)
A.實(shí)軸對(duì)稱
B.第一、第三象限的角平分線對(duì)稱
C.虛軸對(duì)稱
D.第二、第四象限的角平分線對(duì)稱
解析:因?yàn)閺?fù)數(shù)=1+i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z1(1,),復(fù)數(shù)z=1-i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z2(1,-),所以點(diǎn)Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.故選A.
4.已知O為復(fù)平面中的坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(-1,2),則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　B　)
A.1+2i B.-1+2i
C.2-i D.2+i
解析:因?yàn)镺為復(fù)平面中的坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(-1,2),則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i.故選B.
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
復(fù)數(shù)的幾何意義與向量 2,3,5,6,9
復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù) 4
復(fù)數(shù)幾何意義的綜合 1,7,8,10,11
基礎(chǔ)鞏固
1.(多選題)若復(fù)數(shù)z=i-2,則下列結(jié)論正確的是(　BCD　)
A.z的虛部是-2
B.z的共軛復(fù)數(shù)是-i-2
C.z的模是
D.z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2,1)
解析:因?yàn)閦=i-2=-2+i,所以z的虛部是1,
共軛復(fù)數(shù)是-i-2,|z|==,
在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2,1).故選BCD.
2.已知復(fù)數(shù)z=1+m-mi(m∈R),且z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)m的值可以為(　B　)
A.2 B.-2 C.-1 D.0
解析:當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限時(shí),有可得m<-1,結(jié)合選項(xiàng)可知,B正確.故選B.
3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是(　A　)
A.1個(gè)圓 B.線段
C.2個(gè)點(diǎn) D.2個(gè)圓
解析:由題意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1.
因?yàn)閨z|≥0,所以|z|=3,
所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是1個(gè)圓.故選A.
4.已知復(fù)數(shù)z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　A　)
A.{x|-C.{x|x>-} D.{-,2}
解析:由題意,|z|==<,即5x2-6x-8<0,解得-5.已知復(fù)數(shù)z=-3+ai(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是a+1,則實(shí)數(shù)a=　　　　.
解析:復(fù)數(shù)z=-3+ai(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,a),
所以=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4.
答案:4
6.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=5,且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,寫出一個(gè)符合條件的復(fù)數(shù)z=　　　　.
解析:設(shè)z=a+bi,a,b∈R,因?yàn)閨z|=5,所以a2+b2=25,
因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,所以z可以為3-4i.
答案:3-4i(不唯一,符合題意即可)
能力提升
7.復(fù)數(shù)z=a+(3-a)i(a∈R,i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y=2x上,則|z|等于(　B　)
A. B. C. D.
解析:復(fù)數(shù)z=a+(3-a)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,3-a),
因?yàn)辄c(diǎn)(a,3-a)在直線y=2x上,所以3-a=2a,解得a=1,所以z=1+2i,
所以|z|==.故選B.
8.(多選題)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,原點(diǎn)為O,i為虛數(shù)單位,則下列說(shuō)法正確的是(　BD　)
A.若|z|=1,則z=±1或z=±i
B.若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(-1,1),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
C.若z=-2i,則z的模為7
D.若1≤|z|≤,則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π
解析:對(duì)A,由|z|=1,可得z=a+bi(a,b∈R),且a2+b2=1,故A錯(cuò)誤;
對(duì)B,若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(-1,1),則z=-1+i,=-1-i,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),在第三象限,故B正確;
對(duì)C,若z=-2i,則z的模為=,故C錯(cuò)誤;
對(duì)D,設(shè)z=c+di(c,d∈R),若1≤|z|≤,則1≤c2+d2≤2,
則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π×()2-π×12=π,故D正確.故選BD.
9.已知復(fù)數(shù)1+i與3i在復(fù)平面內(nèi)用向量 和 表示(其中i是虛數(shù)單位,O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則 與 的夾角為　　　　.
解析:根據(jù)題意,=(1,1),=(0,3),
設(shè) ,的夾角為θ,
所以cos θ===.又0≤θ≤π,
所以向量 與 的夾角為.
答案:
10.已知復(fù)數(shù)z=(m+1)+(2m-1)i(m∈R).
(1)若z為純虛數(shù),求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍及|z|的最小值.
解:(1)因?yàn)閦=(m+1)+(2m-1)i(m∈R)為純虛數(shù),所以m+1=0且2m-1≠0,所以m=-1.
(2)因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(m+1,2m-1),由題意得所以-1即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1,).
而|z|===,
當(dāng)m=∈(-1,)時(shí),|z|min==.
應(yīng)用創(chuàng)新
11.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈Z,b∈Z),則滿足|z-1|≤1的復(fù)數(shù)z有(　B　)
A.7個(gè) B.5個(gè)
C.4個(gè) D.3個(gè)
解析:由題意得≤1,
即(a-1)2+b2≤1,又a∈Z,b∈Z,
得b=±1或0.
當(dāng)b=±1時(shí),a=1,
當(dāng)b=0時(shí),a=0,1,2.
故選B.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解復(fù)數(shù)的幾何意義,會(huì)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與向量表示復(fù)數(shù),提升數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng).
2.理解復(fù)數(shù)的模的概念及幾何意義,會(huì)求復(fù)數(shù)的模,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3.理解共軛復(fù)數(shù)的概念及意義.
知識(shí)探究
問(wèn)題:實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系
提示:任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)唯一確定.
知識(shí)點(diǎn)1　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
(1)復(fù)平面.
①定義:通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面.
②實(shí)軸:在復(fù)平面內(nèi),x軸稱為實(shí)軸,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).
③虛軸:在復(fù)平面內(nèi),y軸稱為虛軸,除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).
④原點(diǎn):復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)(0,0)表示復(fù)數(shù)0.
(2)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi　復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).
[思考1] 虛軸上的點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的純虛數(shù)嗎
提示:不是.
[做一做1] 已知復(fù)數(shù)z=-i,在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(　　)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
知識(shí)點(diǎn)2　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系
復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量=(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi　平面向量.
[思考2] 復(fù)數(shù)與平面向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提條件是什么
提示:向量的起點(diǎn)是原點(diǎn).若起點(diǎn)不是原點(diǎn),則復(fù)數(shù)與向量就不能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
[做一做2] 向量a=(1,-2)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A.1+2i　B.1-2i　C.-1+2i　D.-2+i
知識(shí)點(diǎn)3　復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)
(1)復(fù)數(shù)的模.
向量的模稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi|.由向量模的定義可知,|z|=|a+bi|=.如果b=0,那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a,它的模|z|===|a|(a的絕對(duì)值).
(2)共軛復(fù)數(shù).
①定義:若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,而虛部互為相反數(shù),則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).
②表示:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示.當(dāng)z=a+bi(a,b∈R)時(shí),=a-bi.
③性質(zhì):a.在復(fù)平面內(nèi),表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,并且它們的模相等.
b.任意一個(gè)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身,反之亦然.
[思考3] 復(fù)數(shù)不一定能比較大小,那么復(fù)數(shù)的模可以比較大小嗎
提示:由于復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù),因此復(fù)數(shù)的模可以比較大小.
[思考4] 若復(fù)數(shù)z的模滿足|z|=0,則復(fù)數(shù)z有何特征
提示:z=0.
[思考5] 若復(fù)數(shù)z滿足z=,則復(fù)數(shù)z有何特征
提示:z∈R.
[做一做3] 已知復(fù)數(shù)z=1+2i(i是虛數(shù)單位),則|z|=　　　　.
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.
探究點(diǎn)一　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
[例1] 實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí),復(fù)數(shù)z=+(a2-2a-15)i(a∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z滿足下列條件
(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi);
(2)在復(fù)平面內(nèi)的實(shí)軸上方.
[變式探究] (1)本例中題設(shè)條件不變,求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí),實(shí)數(shù)a的值;
(2)本例中條件不變,如果點(diǎn)Z在直線y=-x-7上,求實(shí)數(shù)a的值.
求解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法
(1)將復(fù)數(shù)表示為z=a+bi(a,b∈R)的形式后,確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的x,y坐標(biāo).
(2)根據(jù)已知條件,確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系.
探究點(diǎn)二　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系
[例2] 已知在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a+i(a∈R).若向量與共線,求a的值.
(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí),向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后,從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段,即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.
(2)解決復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)的題目時(shí),一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系為工具,實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量之間的轉(zhuǎn)化.
[針對(duì)訓(xùn)練] (1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=-+i對(duì)應(yīng)的向量為,復(fù)數(shù)z+1對(duì)應(yīng)的向量為,那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C.若=x+y(x,y∈R),則x+y=　　　　.
探究點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)
[例3] 已知復(fù)數(shù)z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|;
(2)設(shè)z∈C,且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形 作圖并計(jì)算其面積.
(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全為實(shí)數(shù)時(shí),不能比較大小,而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的模均可比較大小.
(2)復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,也可以類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來(lái)加深理解.
[針對(duì)訓(xùn)練] 已知復(fù)數(shù)z=3+ai(a∈R)的共軛復(fù)數(shù)是,若||<5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.設(shè)復(fù)數(shù)z=-1+i(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(多選題)已知復(fù)數(shù)z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,則實(shí)數(shù)m的值可以為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.復(fù)數(shù)=1+i和z=1-i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于(　　)
A.實(shí)軸對(duì)稱
B.第一、第三象限的角平分線對(duì)稱
C.虛軸對(duì)稱
D.第二、第四象限的角平分線對(duì)稱
4.已知O為復(fù)平面中的坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(-1,2),則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　)
A.1+2i B.-1+2i
C.2-i D.2+i
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
復(fù)數(shù)的幾何意義與向量 2,3,5,6,9
復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù) 4
復(fù)數(shù)幾何意義的綜合 1,7,8,10,11
基礎(chǔ)鞏固
1.(多選題)若復(fù)數(shù)z=i-2,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.z的虛部是-2
B.z的共軛復(fù)數(shù)是-i-2
C.z的模是
D.z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2,1)
2.已知復(fù)數(shù)z=1+m-mi(m∈R),且z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)m的值可以為(　　)
A.2 B.-2 C.-1 D.0
3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是(　　)
A.1個(gè)圓 B.線段
C.2個(gè)點(diǎn) D.2個(gè)圓
4.已知復(fù)數(shù)z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　)
A.{x|-C.{x|x>-} D.{-,2}
5.已知復(fù)數(shù)z=-3+ai(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是a+1,則實(shí)數(shù)a=　　　　.
6.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=5,且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,寫出一個(gè)符合條件的復(fù)數(shù)z=　　　　.
能力提升
7.復(fù)數(shù)z=a+(3-a)i(a∈R,i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y=2x上,則|z|等于(　　)
A. B. C. D.
8.(多選題)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,原點(diǎn)為O,i為虛數(shù)單位,則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.若|z|=1,則z=±1或z=±i
B.若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(-1,1),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
C.若z=-2i,則z的模為7
D.若1≤|z|≤,則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π
9.已知復(fù)數(shù)1+i與3i在復(fù)平面內(nèi)用向量 和 表示(其中i是虛數(shù)單位,O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則 與 的夾角為　　　　.
10.已知復(fù)數(shù)z=(m+1)+(2m-1)i(m∈R).
(1)若z為純虛數(shù),求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍及|z|的最小值.
應(yīng)用創(chuàng)新
11.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈Z,b∈Z),則滿足|z-1|≤1的復(fù)數(shù)z有(　　)
A.7個(gè) B.5個(gè)
C.4個(gè) D.3個(gè)

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