資源簡介

§2　復數的四則運算
2.1　復數的加法與減法
學習目標
1.掌握復數的加減法運算法則,能熟練地進行復數的加減運算,提升數學運算的核心素養.
2.理解復數加減法運算的幾何意義,能解決相關的問題,提升直觀想象與數學運算的核心素養.
知識探究
問題1:我們知道,數系的每一次擴充之后,原有的數學運算法則仍然是成立的,那么將實數擴充到復數后,原有的實數的加減法運算法則還成立嗎
提示:成立.
知識點1　復數的加法與減法
(1)運算法則:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(2)加法運算律.
對于任意z1,z2,z3∈C,有:
結合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
交換律 z1+z2=z2+z1
[思考1] 復數的加減法運算法則可以推廣到多個復數的加減法運算中嗎
提示:可以.
[做一做] 已知復數z1=3+4i,z2=3-4i,則z1+z2等于(　B　)
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
解析:根據復數的加法法則得z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.故選B.
問題2:已知向量=(a,b),=(c,d),求+,-.
提示:(a+c,b+d),(a-c,b-d).
知識點2　復數加減法的幾何意義
(1)復數加法的幾何意義.
如圖,設復數z1,z2分別與向量,對應,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是.
(2)復數減法的幾何意義.
如圖,設向量,分別與復數z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應,且,不共線,則這兩個復數的差z1-z2與向量-(即)對應.
[思考2] 已知復數z1=a+bi(a,b∈R)和z2=c+di(c,d∈R)在復平面內的對應點分別是Z1,Z2,則線段Z1Z2的中點對應的復數是什么
提示:+i.
[思考3] 你能利用復數的幾何意義與復數的減法運算法則,求平面上兩點間的距離公式嗎
提示:設復數z1,z2分別對應復平面內的兩個點A(a,b),B(c,d)
(a,b,c,d∈R),
則z1=a+bi,z2=c+di,由于z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,
因此|z1-z2|=,根據復數的幾何意義可知=-(O為原點),即|BA|=|AB|=.
在復平面內,z1,z2對應的點分別為A,B,z1+z2對應的點為C,O為坐標原點,則:
(1)四邊形OACB為平行四邊形.
(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形.
(3)若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形.
(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.
(5)+=2(+).
探究點一　復數的加法與減法
[例1] 計算下列各式.
(1)(-i)+(-+i)+1;
(2)(--)-(-)+i;
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).
解:(1)原式=(-)+(-+)i+1=1-i.
(2)原式=(-+)+(--+1)i=+i.
(3)原式=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i=-11i.
(1)類比實數運算,若有括號,先計算括號內的;若沒有括號,可從左到右依次進行.
(2)算式中出現字母,首先要確定其是不是實數,再確定復數的實部和虛部,最后把實部、虛部分別相加.
[針對訓練] (1)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,則(　　)
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
(2)復數z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b為實數,若z1+z2為實數,z1-z2為純虛數,則a+b等于(　　)
A.-7 B.7 C.-1 D.1
解析:(1)由(a+3i)+(-1+bi)=(a-1)+(3+b)i=0,得解得故選A.
(2)因為z1+z2=a-4+(3+b)i為實數,所以3+b=0,即b=-3,
又z1-z2=a+4+(3-b)i為純虛數,所以即a=-4且b≠3,
綜上可知所以a+b=-7.故選A.
探究點二　復數加減法的幾何意義
[例2] 復數z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們在復平面內的對應點是一個正方形的三個頂點,求這個正方形的第四個頂點對應的復數.
解:設復數z1,z2,z3在復平面內的對應點分別為A,B,C,正方形的第四個頂點D對應的復數為x+yi(x,y∈R),如圖,
則=-,對應的復數為(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,=-,
對應的復數為(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
因為=,所以(x-1)+(y-2)i=1-3i,
所以解得
故點D對應的復數為2-i.
[變式探究] 若本例題條件不變,利用復數的幾何意義求正方形的邊長及對角線的長.
解:由題意可知,正方形的邊長為|AB|=||=|-|=|z2-z1|.因為z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i,所以|AB|==.
依題意,正方形的一條對角線為AC,結合=-,對應的復數為z3-z1=(-1-2i)-(1+2i)=-2-4i,因此正方形的對角線的長為|AC|=||==2.
求解與復數對應的點的坐標或向量問題的方法
由于復數的幾何意義包括三個方面:復數的表示(點和向量)、復數的模的幾何意義及復數運算的幾何意義,因此求解與復數對應的點的坐標或向量問題時可以根據題意正確地畫出圖形,然后根據三角形法則或平行四邊形法則借助復數相等即可求解.
探究點三　復數加減法的綜合應用
[例3] 設復數z滿足z-=-2i,|z|=,復數z所對應的點位于第四象限,則z等于(　　)
A.1-2i B.1-i
C.-1-i D.2-i
解析:設復數z=a+bi(a,b∈R),因為z-=(a+bi)-(a-bi)=2bi=-2i,
所以b=-1,又|z|==,解得a=±1,
因為復數z所對應的點位于第四象限,所以a=1,所以z=1-i.故選B.
求解復數方程的方法
若已知關系式中含有關于z,以及|z|,||的等式,求復數z時主要是設出z=a+bi(a,b∈R),利用復數的加減法運算法則及復數相等的充要條件轉化為實數方程(組)求解.
[針對訓練] (2022·全國乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b為實數,則(　　)
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
解析:由題意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,
所以解得故選A.
當堂檢測
1.復數(1-i)-(2+i)+3i等于(　A　)
A.-1+i B.1-i C.i D.-i
解析:(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故選A.
2.設z1=3-4i,z2=-2+5i,則z1+z2在復平面內的對應點位于(　 A　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因為z1=3-4i,z2=-2+5i,所以z1+z2=3-4i-2+5i=1+i,故z1+z2在復平面內的對應點位于第一象限.故選A.
3.已知復數z在復平面內的對應點的坐標為(2,-1),則|z-i|等于(　C　)
A. B.2 C.2 D.8
解析:由已知得z=2-i,所以|z-i|=|2-2i|==2.故選C.
4.已知復數z滿足|z|=1,則|z-2i|的取值范圍為　　　　.
解析:|z|=1表示z在復平面內的對應點是以原點為圓心的單位圓上的點.|z-2i|的幾何意義表示單位圓上的點和點(0,2)之間的距離,所以最小距離為2-1=1,最大距離為2+1=3.所以|z-2i|的取值范圍為[1,3].
答案:[1,3]
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數加減法的運算法則 1,4,5,7
復數加減法的幾何意義 2,6,8,13,15
復數加減法的綜合應用 3,9,10,11,12,14
基礎鞏固
1.已知復數z=2-i,則|2z-|等于(　D　)
A. B. C.2 D.
解析:因為=2+i,
所以2z-=(4-2i)-(2+i)=2-3i,
所以|2z-|==.故選D.
2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2在復平面內的對應點在實軸上,則a的值為(　D　)
A.3 B.2 C.1 D.-1
解析:z1+z2=2+i+3+ai=5+(1+a)i.
因為z1+z2在復平面內的對應點在實軸上,
所以1+a=0,所以a=-1.故選D.
3.設3(z+)+2(z-)=3-4i,則復數z在復平面內的對應點位于(　D　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:設z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,所以3(z+)+2(z-)=6a+4bi=3-4i,故a=,b=-1,則z=-i,因此復數z在復平面內的對應點位于第四象限.故選D.
4.已知復數z=a+bi(a,b∈R),i是虛數單位,若z-2=2+3i,則復數z的虛部為(　A　)
A. B.2 C.i D.2i
解析:z-2=a+bi-2(a-bi)=-a+3bi=2+3i,
則解得則復數z的虛部為.故選A.
5.(多選題)已知復數z滿足z+4-i=8+i,則下列命題是真命題的是(　AD　)
A.的虛部為-2
B.z-2為純虛數
C.若z與復數a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,則a=1
D.z在復平面內對應的點位于第一象限
解析:因為z+4-i=8+i,所以z=8+i-(4-i)=4+2i,所以=4-2i,則的虛部為-2,故A正確;
又z-2=2+2i,所以z-2不是純虛數,故B錯誤;
若z與復數a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,則
解得a=-4,故C錯誤;
復數z在復平面內對應的點為(4,2),位于第一象限,故D正確.
故選AD.
6.如圖,在復平面內,網格中的每個小正方形的邊長都為1,點A,B對應的復數分別是z1,z2,則z1+z2=　　　　.
解析:由題意可知,z1=i,z2=2-i,所以z1+z2=i+(2-i)=2.
答案:2
7.設f(z)=z-3i+|z|,若z1=-2+4i,z2=5-i,則f(z1+z2)=　　　　.
解析:z1+z2=3+3i,f(z1+z2)=f(3+3i)=3+|3+3i|=3+3.
答案:3+3　
8.已知四邊形OACB是復平面內的平行四邊形,O是原點,點A,B分別表示復數3+i,2+4i,M是OC與AB的交點,如圖所示,則點M表示的復數為　　　　　　.
解析:因為,分別表示復數3+i,2+4i,所以=+表示的復數為(3+i)+(2+4i)=5+5i,即點C表示的復數為5+5i,又=,所以表示的復數為+i,即點M表示的復數為+i.
答案:+i
能力提升
9.(多選題)若z-=-14i,||=5,則復數z可能為(　AC　)
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
解析:設z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,由題意可得
解得或
所以z=1-7i或-1-7i.故選AC.
10.(多選題)已知i為虛數單位,下列說法正確的是(　CD　)
A.若復數z滿足|z-i|=,則復數z在復平面內的對應點在以(1,0)為圓心,為半徑的圓上
B.若復數z滿足z+|z|=2+8i,則復數z=15+8i
C.復數的模實質上是復平面內復數對應的點到原點的距離,也就是復數對應的向量的模
D.非零復數z1對應的向量為,非零復數z2對應的向量為,若|z1+z2|=|z1-z2|,則⊥
解析:A中復數z在復平面內的對應點在以(0,1)為圓心,為半徑的圓上,A錯誤;
設z=a+bi(a,b∈R),則|z|=.
由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,
即解得
所以z=-15+8i,B錯誤;C正確;
由|z1+z2|=|z1-z2|的幾何意義知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,從而兩鄰邊垂直,D正確.故選CD.
11.若復數z=a+bi(a,b∈R,i為虛數單位)滿足|z-2i|=|z|,寫出一個滿足條件的復數z=　 .
解析:z=a+bi,z-2i=a+(b-2)i.
由|z-2i|=|z|知,=,化簡得b=1,
故只要b=1,即z=a+i(a可為任意實數)滿足題意,可取z=1+i.
答案:1+i(答案不唯一)
12.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y為實數,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
解:z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]
=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得y=0,x=1,
所以z1=3-2i,z2=-2+i,則z1+z2=1-i,
所以|z1+z2|==.
13.根據復數加法的幾何意義,證明:||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
證明:設復數z1所對應的向量是,復數z2所對應的向量是,
若復數z1,z2有一個為0,或者均為0,不等式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|顯然成立;
若向量,不是零向量且共線時,顯然||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|成立,
不等式左側在兩向量共線反向時等號成立,不等式右側在兩向量共線同向時等號成立;
若向量,不是零向量且不共線時,如圖,
由三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,可得||z1|-|z2||<|z1+z2|<|z1|+|z2|成立.
綜上,||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
14.已知m∈R,復數z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在復平面內對應的點位于第三象限,求m的取值范圍;
(2)設O為坐標原點,z1,z2在復平面內對應的點分別為A,B(不與O重合),若·=0,求|z1-|.
解:(1)依題意,z1-z2=(m2-m)+(m2-2)i,且z1-z2在復平面內對應的點位于第三象限,則解得0(2)依題意,=(m2+m,m2-1),=(2m,1),
由·=0,得2m(m2+m)+m2-1=(m+1)2·(2m-1)=0,解得m=或m=-1.
而m=-1時,A(0,0)為原點,不符合題意,因此m=,z1=-i,z2=1+i,=1-i,
所以|z1-|=|-+i|=.
應用創新
15.歐拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然對數的底數,i是虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉提出的,它將指數函數的定義域擴大到復數,建立了三角函數與指數函數的關系,則|eiθ-3|的最小值等于(　C　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:根據題意,eiθ-3=cos θ-3+isin θ,
故|eiθ-3|==.
又cos θ∈[-1,1],故∈[2,4],故|eiθ-3|的最小值為2.故選C.§2　復數的四則運算
2.1　復數的加法與減法
學習目標
1.掌握復數的加減法運算法則,能熟練地進行復數的加減運算,提升數學運算的核心素養.
2.理解復數加減法運算的幾何意義,能解決相關的問題,提升直觀想象與數學運算的核心素養.
知識探究
問題1:我們知道,數系的每一次擴充之后,原有的數學運算法則仍然是成立的,那么將實數擴充到復數后,原有的實數的加減法運算法則還成立嗎
提示:成立.
知識點1　復數的加法與減法
(1)運算法則:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(2)加法運算律.
對于任意z1,z2,z3∈C,有:
結合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
交換律 z1+z2=z2+z1
[思考1] 復數的加減法運算法則可以推廣到多個復數的加減法運算中嗎
提示:可以.
[做一做] 已知復數z1=3+4i,z2=3-4i,則z1+z2等于(　　)
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
問題2:已知向量=(a,b),=(c,d),求+,-.
提示:(a+c,b+d),(a-c,b-d).
知識點2　復數加減法的幾何意義
(1)復數加法的幾何意義.
如圖,設復數z1,z2分別與向量,對應,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是.
(2)復數減法的幾何意義.
如圖,設向量,分別與復數z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應,且,不共線,則這兩個復數的差z1-z2與向量-(即)對應.
[思考2] 已知復數z1=a+bi(a,b∈R)和z2=c+di(c,d∈R)在復平面內的對應點分別是Z1,Z2,則線段Z1Z2的中點對應的復數是什么
提示:+i.
[思考3] 你能利用復數的幾何意義與復數的減法運算法則,求平面上兩點間的距離公式嗎
提示:設復數z1,z2分別對應復平面內的兩個點A(a,b),B(c,d)
(a,b,c,d∈R),
則z1=a+bi,z2=c+di,由于z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,
因此|z1-z2|=,根據復數的幾何意義可知=-(O為原點),即|BA|=|AB|=.
在復平面內,z1,z2對應的點分別為A,B,z1+z2對應的點為C,O為坐標原點,則:
(1)四邊形OACB為平行四邊形.
(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形.
(3)若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形.
(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.
(5)+=2(+).
探究點一　復數的加法與減法
[例1] 計算下列各式.
(1)(-i)+(-+i)+1;
(2)(--)-(-)+i;
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).
(1)類比實數運算,若有括號,先計算括號內的;若沒有括號,可從左到右依次進行.
(2)算式中出現字母,首先要確定其是不是實數,再確定復數的實部和虛部,最后把實部、虛部分別相加.
[針對訓練] (1)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,則(　　)
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
(2)復數z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b為實數,若z1+z2為實數,z1-z2為純虛數,則a+b等于(　　)
A.-7 B.7 C.-1 D.1
探究點二　復數加減法的幾何意義
[例2] 復數z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們在復平面內的對應點是一個正方形的三個頂點,求這個正方形的第四個頂點對應的復數.
[變式探究] 若本例題條件不變,利用復數的幾何意義求正方形的邊長及對角線的長.
求解與復數對應的點的坐標或向量問題的方法
由于復數的幾何意義包括三個方面:復數的表示(點和向量)、復數的模的幾何意義及復數運算的幾何意義,因此求解與復數對應的點的坐標或向量問題時可以根據題意正確地畫出圖形,然后根據三角形法則或平行四邊形法則借助復數相等即可求解.
探究點三　復數加減法的綜合應用
[例3] 設復數z滿足z-=-2i,|z|=,復數z所對應的點位于第四象限,則z等于(　　)
A.1-2i B.1-i
C.-1-i D.2-i
求解復數方程的方法
若已知關系式中含有關于z,以及|z|,||的等式,求復數z時主要是設出z=a+bi(a,b∈R),利用復數的加減法運算法則及復數相等的充要條件轉化為實數方程(組)求解.
[針對訓練] (2022·全國乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b為實數,則(　　)
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
當堂檢測
1.復數(1-i)-(2+i)+3i等于(　　)
A.-1+i B.1-i C.i D.-i
2.設z1=3-4i,z2=-2+5i,則z1+z2在復平面內的對應點位于(　 　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知復數z在復平面內的對應點的坐標為(2,-1),則|z-i|等于(　　)
A. B.2 C.2 D.8
4.已知復數z滿足|z|=1,則|z-2i|的取值范圍為　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數加減法的運算法則 1,4,5,7
復數加減法的幾何意義 2,6,8,13,15
復數加減法的綜合應用 3,9,10,11,12,14
基礎鞏固
1.已知復數z=2-i,則|2z-|等于(　　)
A. B. C.2 D.
2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2在復平面內的對應點在實軸上,則a的值為(　　)
A.3 B.2 C.1 D.-1
3.設3(z+)+2(z-)=3-4i,則復數z在復平面內的對應點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知復數z=a+bi(a,b∈R),i是虛數單位,若z-2=2+3i,則復數z的虛部為(　　)
A. B.2 C.i D.2i
5.(多選題)已知復數z滿足z+4-i=8+i,則下列命題是真命題的是(　　)
A.的虛部為-2
B.z-2為純虛數
C.若z與復數a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,則a=1
D.z在復平面內對應的點位于第一象限
6.如圖,在復平面內,網格中的每個小正方形的邊長都為1,點A,B對應的復數分別是z1,z2,則z1+z2=　　　　.
7.設f(z)=z-3i+|z|,若z1=-2+4i,z2=5-i,則f(z1+z2)=　　　　.
8.已知四邊形OACB是復平面內的平行四邊形,O是原點,點A,B分別表示復數3+i,2+4i,M是OC與AB的交點,如圖所示,則點M表示的復數為　　　　　　.
能力提升
9.(多選題)若z-=-14i,||=5,則復數z可能為(　)
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
10.(多選題)已知i為虛數單位,下列說法正確的是(　　)
A.若復數z滿足|z-i|=,則復數z在復平面內的對應點在以(1,0)為圓心,為半徑的圓上
B.若復數z滿足z+|z|=2+8i,則復數z=15+8i
C.復數的模實質上是復平面內復數對應的點到原點的距離,也就是復數對應的向量的模
D.非零復數z1對應的向量為,非零復數z2對應的向量為,若|z1+z2|=|z1-z2|,則⊥
11.若復數z=a+bi(a,b∈R,i為虛數單位)滿足|z-2i|=|z|,寫出一個滿足條件的復數z=　 .
12.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y為實數,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
13.根據復數加法的幾何意義,證明:||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
14.已知m∈R,復數z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在復平面內對應的點位于第三象限,求m的取值范圍;
(2)設O為坐標原點,z1,z2在復平面內對應的點分別為A,B(不與O重合),若·=0,求|z1-|.
應用創新
15.歐拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然對數的底數,i是虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉提出的,它將指數函數的定義域擴大到復數,建立了三角函數與指數函數的關系,則|eiθ-3|的最小值等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3

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