資源簡介

2.2　復數的乘法與除法
*2.3　復數乘法幾何意義初探
學習目標
1.掌握復數的乘除運算法則,會進行復數的乘除運算,發展數學運算的核心素養.
2.掌握虛數單位i的冪值的周期性,并能應用周期性進行化簡與計算,增強數學運算的核心素養.
3.掌握共軛復數的運算性質,提升數學運算的核心素養.
4.了解復數乘法的幾何意義,提升直觀想象的核心素養.
知識探究
知識點1　復數的乘法
(1)復數的乘法法則.
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)復數的乘法運算律.
對于任意z1,z2,z3∈C,有:
結合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
交換律 z1·z2=z2·z1
乘法對加法 的分配律 z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(3)復數的乘方.
對于復數z,定義它的乘方zn=.
　　　　　　　　　　　　　 　　n個
(4)復數乘方的運算律.
根據乘法的運算律,實數范圍內正整數指數冪的運算性質在復數范圍內仍然成立,即對復數z,z1,z2和正整數m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn ,
(z1·z2)n=·.
[思考1] 復數的乘法法則可以推廣到多個復數相乘嗎
提示:可以.
[思考2] 若m,n∈R,則m2+n2=0 m=n=0.當z1,z2∈C,+=0時,z1=z2=0成立嗎 請簡要說明.
提示:不一定成立,但是當z1=z2=0時,一定有+=0.
[思考3] 若復數z=a+bi,則=a-bi(a,b∈R),那么z·的值與|z|有什么關系
提示:由復數z=a+bi及=a-bi(a,b∈R)可知,z·=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2,因此 z·=|z|2=.
[做一做1] 復數(3+2i)i等于(　B　)
A.-2-3i B.-2+3i
C.2-3i D.2+3i
解析:(3+2i)i=3i+2i·i=-2+3i.故選B.
知識點2　復數的除法
復數的除法法則.
設z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c+di≠0,c,d∈R),==-i.
[做一做2] 已知i是虛數單位,則等于(　D　)
A.1-2i B.2-i
C.2+i D.1+2i
解析:===1+2i.故選D.
知識點3　復數乘法幾何意義初探
設復數z1=a+bi(a,b∈R)所對應的向量為.
若z2=(a+bi)·c(c>0)所對應的向量為,則 是與c的數乘,即是將沿原方向伸長(c>1)或壓縮(0z3=(a+bi)·i所對應的向量為,則是將逆時針旋轉得
到的.
[做一做3] 將復數z1=2+i所對應的向量繞原點O逆時針旋轉后得到,設所對應的復數為z2,則等于(　D　)
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
解析:因為z2=z1·i=(2+i)i=2i-1=-1+2i,所以=-1-2i.故選D.
(1)復數的除法與實數的除法有所不同,對于實數的除法,可以直接約分化簡,得出結論;但是對于復數的除法,因為分母為復數,一般不能直接約分化簡.
(2)復數除法實質上就是分母實數化的過程.
(3)復數的除法法則形式復雜,難于記憶,所以有關復數的除法運算,只要記住利用分母的共軛復數對分母進行“實數化”,然后結果再寫成a+bi(a,b∈R)的形式即可.
探究點一　復數的乘法、除法運算
角度1　復數的乘法運算
[例1] 計算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)(-+i)(+i).
解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
(2)(-+i)(+i)=(--)+(-)i=-+i.
(1)復數乘法的運算步驟
首先按多項式的乘法展開,再將i2換成-1,然后再進行復數的加、減運算,化簡為復數的代數形式.
(2)常用公式
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
[針對訓練] (1)(2+i)2等于(　　)
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
(2)已知復數z=(1-2i)·(4-3i),則復數z在復平面內對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:(1)(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.故選D.
(2)z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,復數z在復平面內對應的點為(-2,-11),
所以復數z在復平面內對應的點位于第三象限.故選C.
角度2　復數的除法運算
[例2] 計算:(1);(2)-.
解:(1)原式===+i.
(2)法一　-
=
===2i.
法二　-=-=i+i=2i.
(1)根據復數的除法法則,通過分子、分母都乘分母的共軛復數,使“分母實數化”,這個過程與“分母有理化”類似.
(2)常用公式:①=-i;②=i;③=-i.
[針對訓練] (1)如圖,在復平面內,復數z1,z2對應的向量分別是,,則復數對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2023·新課標Ⅰ卷)已知z=,則z- 等于(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
解析:(1)由復數的幾何意義知,z1=-2-i,z2=i,
所以==-1+2i,對應的點在第二象限.故選B.
(2)因為z====-i,所以=i,即z-=-i.故選A.
角度3　復數的積或商的模
[例3] 若復數z滿足z(1+i)=2i(i為虛數單位),則|z|等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
解析:法一　因為z(1+i)=2i,所以z===1+i,
所以|z|==.故選C.
法二　因為z(1+i)=2i,所以|z(1+i)|=|2i|.
因為|z||1+i|=|z|×=|z|,|2i|=2,所以 |z|=2,所以|z|=.故選C.
求解復數的積或商的模的方法有兩種:一是直接計算出復數的積或商后,根據積或商的實部與虛部直接利用模的公式計算;二是利用復數的模的運算性質.
(1)兩個或多個復數積的模等于構成積的各個復數的模的積,即|z1z2·…·zn|=|z1||z2|·…·|zn|.
(2)兩個復數的商的模等于模的商,即||=(z2≠0).
(3)|z|2==|z2|=||=z·.
[針對訓練] (1)已知z=i(1-2i),則|z|等于(　　)
A. B.3 C. D.5
(2)記i是虛數單位,復數z滿足z=,則||等于(　　)
A.2 B. C. D.1
解析:(1)由題意z=i(1-2i)=2+i,|z|==.故選C.
(2)z=====i,
故=-i,故||=1.故選D.
角度4　復數的商與復數有關概念的綜合
[例4] 設a∈R,復數(i為虛數單位)是純虛數,則a的值為　　　　.
解析:法一　因為==為純虛數,
所以解得a=-6.
法二　因為復數(i為虛數單位)是純虛數,
則設=ti(t∈R,t≠0),
因此a+3i=ti+2ti2=ti-2t.由復數相等的定義可知
所以a=-6.
答案:-6
[變式探究] 若將本例題中的純虛數改為實數,則a的值為　　　　.
解析:法一　因為==為實數,
所以3-2a=0,即a=.
法二　因為(i為虛數單位)為實數,
則設=t(t∈R),
即a+3i=t+2ti,由復數相等的定義可知即a=.
答案:
涉及含未知量的復數的商為純虛數或實數問題,一種方法是利用復數的除法將復數的商化為z=a+bi(a,b∈R)的形式后利用復數的有關概念求解,另一種方法是設出純虛數或實數將問題轉化為復數相等求解.
探究點二　復數乘法的幾何意義
[例5] 已知A(2,-1),B(-1,3),四邊形ABCD是正方形,且A,B,C,D按順時針方向排列,求點C,D對應的復數.
解:如圖所示,=(-1,3)-(2,-1)=(-3,4),
所以對應的復數為-3+4i.
所以對應的復數為(-3+4i)·(-i)=4+3i.
所以=+=(2,-1)+(4,3)=(6,2),
=+=+=(-1,3)+(4,3)=(3,6),
所以點C對應的復數為3+6i,點D對應的復數為6+2i.
利用復數乘法的幾何意義解題時應注意將復數乘法轉化為復數對應的向量旋轉的角度與模的變化的乘積.
[針對訓練] 若復數z0=+i對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉90°且模變為原來的2倍后與向量重合,且對應的復數為z,
求z3.
解:由題意得對應的復數為z=z0·2i=(+i)·2i=-1+i,
所以z2=(-1+i)2=1-2i+3i2=
-2-2i,
所以z3=z2·z=(-2-2i)·(-1+i)=-2(1+i)·(-1+i)
=-2×(-4)=8.
學海拾貝
復數范圍內一元二次方程的解法
在復數范圍內,實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法.
(1)求根公式法.
①當Δ≥0時,x=;
②當Δ<0時,x=.
(2)利用復數相等的定義求解.
設方程的根為x=m+ni(m,n∈R),將此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化簡后利用復數相等的定義求解.
說明:實系數的一元二次方程若有虛根,則兩個虛根互為共軛復數.
[典例探究] 已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根.
(1)求實數a,b的值;
(2)結合根與系數的關系,猜測方程的另一個根,并給予證明.
解:(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0,得(-a+b)+(a-2)i=0,
所以解得a=2,b=2.
(2)由(1)知方程為x2+2x+2=0.設另一個根為x2,由根與系數的關系,得-1+i+x2=-2,所以x2=-1-i.證明如下:
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,
則左邊=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右邊,
所以x2=-1-i是方程的另一個根.
已知含參數的實系數一元二次方程的一個虛數根,求參數的值,可以將方程的根代入方程中,利用復數相等的定義求參數的值.另外對于實系數一元二次方程,由其求根公式可知,當方程有一個虛根z=m+ni
(m,n∈R),復數z的共軛復數=m-ni也是方程的一個根,因此對于本題也可以根據此性質直接利用二次方程根與系數的關系(-1+i)+(-1-i)=-a,(-1+i)(-1-i)=b,求得a,b的值.
[應用探究] 已知x=2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,求實數p,q的值.
解:因為x=2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,所以2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0,
即(10-3p+q)+(-24+2p)i=0,
所以解得p=12,q=26.
當堂檢測
1.若i為虛數單位,則i607等于(　B　)
A.i B.-i C.1 D.-1
解析:i607=i4×151+3=i3=-i.故選B.
2.(2023·新課標Ⅱ卷)在復平面內,(1+3i)(3-i)對應的點位于(　A　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因為(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,
則所求復數在復平面內對應的點為(6,8),位于第一象限.故選A.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,則z+等于(　D　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:因為i(1-z)=1,
所以z=1-=1+i,
所以=1-i,
所以z+=(1+i)+(1-i)=2.
故選D.
4.設復數z=-2+i,若復數z+的虛部為b,則b=　　　　.
解析:因為z=-2+i,
所以z+=-2+i+
=-2+i+
=-2+i--i
=-+i,
所以b=.
答案:
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數的乘法、除法 1,2,3,4,5,6,7,12
復數的運算的綜合應用 8,9,10,11,14,15
實系數一元二次方程 13
基礎鞏固
1.復數z=(1-2i)2(i為虛數單位)的虛部為(　D　)
A.4i B.4 C.-4i D.-4
解析:z=(1-2i)2=1-4-4i=-3-4i,所以復數z=(1-2i)2的虛部為-4.故選D.
2.復數z滿足(1+i)z=6+4i(i為虛數單位),則復數z在復平面內的對應點的坐標是(　A　)
A.(5,-1) B.(5,-i)
C.(1,-1) D.(1,-i)
解析:因為(1+i)z=6+4i,所以z====5-i,所以復數z在復平面內的對應點的坐標是(5,-1).故選A.
3.(2022·全國甲卷)若z=1+i,則|iz+3|等于(　D　)
A.4 B.4 C.2 D.2
解析:因為z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=-1+i+3-3i=2-2i,所以|iz+3|=|2-2i|==2.故選D.
4.(1+i)20-(1-i)20的值是(　C　)
A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512
解析:因為(1+i)2=2i,所以(1+i)4=-4,
又(1-i)2=-2i,所以(1-i)4=-4,
所以(1+i)20-(1-i)20=(-4)5-(-4)5=0.故選C.
5.(多選題)已知復數 z=,其中i為虛數單位,則下列選項正確的是(　BCD　)
A.|z|=2 B.z2=2i
C.z的共軛復數為1-i D.z的虛部為1
解析:由題意可知,z===1+i.
|z|==,故選項A錯誤;z2=(1+i)2=1+2i-1=2i,故選項B正確;z的共軛復數為1-i,故選項C正確;z的虛部為1,故選項D正確.故選BCD.
6.若復數z滿足z(1+i)=2-i,則z對應的點位于第　　　　象限.
解析:依題意,z====-i,z對應的點位于第四象限.
答案:四
7.已知z是純虛數,是實數,那么z=　　　　.
解析:設z=bi(b∈R,b≠0),
則====+i是實數,所以b+2=0,b=-2,
所以z=-2i.
答案:-2i
8.設復數z1與z2所對應的點為Z1與Z2,若z1=1+i,z2=i·z1,則||=
　　　　.
解析:依題意,z2=i·(1+i)=i-1,則z2-z1=i-1-(1+i)=-2,
所以||=|-|=2.
答案:2
能力提升
9.(多選題)已知復數z1,z2,則下列命題正確的是(　BC　)
A.若|z1|=|z2|,則z1=±z2
B.若z1=,則|z1z2|=|z1|2
C.若z1是非零復數,且=z1z2,則z1=z2
D.若z1是非零復數,則z1+≠0
解析:對于A項,若z1=1+i,z2=i,顯然滿足|z1|=|z2|,但z1≠±z2,故A項錯誤;
對于B項,設z1=a+bi(a,b∈R),則z2=a-bi,z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,故|z1z2|=a2+b2而|z1|2=a2+b2,故B項正確;
對于C項,由=z1z2可得,-z1z2=z1(z1-z2)=0,因z1是非零復數,故z1-z2=0,即z1=z2,故C項正確;
對于D項,當z1=i時,z1是非零復數,但z1+=i+=i-i=0,故D項錯誤.故選BC.
10.(多選題)已知復數z滿足(1-i)z=2i(i是虛數單位),則下列關于復數z的結論正確的是(　AD　)
A.|z|=
B.復數z的共軛復數為=1-i
C.復平面內表示復數z的點位于第三象限
D.復數z是方程x2+2x+2=0的一個根
解析:因為z===-1+i,所以|z|=,=-1-i,復數z在復平面內的對應點位于第二象限,故A正確,B,C錯誤;將復數z=-1+i代入方程x2+2x+2=0,得(-1+i)2+2(-1+i)+2=1-1-2i-2+2i+2=0,故D正確.故選AD.
11.(多選題)已知復數z,w均不為0,則下列說法正確的是(　AD　)
A.=
B.|z+w|=|z|+|w|
C.=
D.若∈R,則z∈R
解析:設z=a+bi,w=c+di,其中a,b,c,d∈R,且復數z,w均不為0.
選項A,由z=a+bi可得=a-bi,所以z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z|2,即=,A說法正確.
選項B,z+w=a+c+(b+d)i,所以|z+w|2=(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2.
又因為(|z|+|w|)2=(+)2
=a2+b2+2+c2+d2,
當|z+w|=|z|+|w|,即|z+w|2=(|z|+|w|)2時,
可得ac+bd=,
兩邊平方整理得2abcd=a2d2+b2c2,所以|z+w|=|z|+|w|不一定成立,B說法錯誤.
選項C,===,
所以=,
又===,
當=時可得bd+adi=0,所以=不一定成立,C說法錯誤.
選項D,若===∈R,則b=0,所以z=a∈R,D說法正確.故選AD.
12.已知a∈R,且ai+=1,則a=　　 　　.
解析:ai+=ai+=ai+=+(a-)i=1,
所以解得a=1.
答案:1
13.已知x=1-i是關于x的實系數一元二次方程x2+ax+b=0的一個根,則a=　　 　　,b=　　 　　.
解析:因為x=1-i為實系數一元二次方程x2+ax+b=0的一個根,
所以(1-i)2+a(1-i)+b=0,
即a+b-(2+a)i=0,所以
解得a=-2,b=2.
答案:-2　2
14.設z是虛數,ω=z+是實數,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍.
(2)設μ=,求證:μ為純虛數.
(1)解:因為z是虛數,
所以可設z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),
則ω=z+=(x+yi)+
=x+yi+
=(x+)+(y-)i.
因為ω是實數,且y≠0,
所以y-=0,即x2+y2=1,
所以|z|==1,此時ω=2x.
又-1<ω<2,所以-1<2x<2,
所以-即z的實部的取值范圍是(-,1).
(2)證明:μ====.
又x2+y2=1,所以μ=-i.
因為y≠0,所以μ為純虛數.
應用創新
15.已知復數z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是實數.
(1)若在復平面內表示復數z的點位于第一象限,求a的取值范圍.
(2)若是純虛數,a是正實數.
①求a;
②求+()2+()3+…+()2 024.
解:(1)因為z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在復平面內表示的點位于第一象限,
所以解得a>1.所以a的取值范圍為(1,+∞).
(2)①依題意得===+i是純虛數,
所以
即
解得a=-(舍去)或a=2,驗證a=2符合題意.
②當a=2時,===i,
所以+()2+()3+…+()2 024=i+i2+i3+…+i2 024=i-1-i+1+…+1=0.2.2　復數的乘法與除法
*2.3　復數乘法幾何意義初探
學習目標
1.掌握復數的乘除運算法則,會進行復數的乘除運算,發展數學運算的核心素養.
2.掌握虛數單位i的冪值的周期性,并能應用周期性進行化簡與計算,增強數學運算的核心素養.
3.掌握共軛復數的運算性質,提升數學運算的核心素養.
4.了解復數乘法的幾何意義,提升直觀想象的核心素養.
知識探究
知識點1　復數的乘法
(1)復數的乘法法則.
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)復數的乘法運算律.
對于任意z1,z2,z3∈C,有:
結合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
交換律 z1·z2=z2·z1
乘法對加法 的分配律 z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(3)復數的乘方.
對于復數z,定義它的乘方zn=.
　　　　　　　　　　　　　 　　n個
(4)復數乘方的運算律.
根據乘法的運算律,實數范圍內正整數指數冪的運算性質在復數范圍內仍然成立,即對復數z,z1,z2和正整數m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn ,
(z1·z2)n=·.
[思考1] 復數的乘法法則可以推廣到多個復數相乘嗎
提示:可以.
[思考2] 若m,n∈R,則m2+n2=0 m=n=0.當z1,z2∈C,+=0時,z1=z2=0成立嗎 請簡要說明.
提示:不一定成立,但是當z1=z2=0時,一定有+=0.
[思考3] 若復數z=a+bi,則=a-bi(a,b∈R),那么z·的值與|z|有什么關系
提示:由復數z=a+bi及=a-bi(a,b∈R)可知,z·=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2,因此 z·=|z|2=.
[做一做1] 復數(3+2i)i等于(　　)
A.-2-3i B.-2+3i
C.2-3i D.2+3i
知識點2　復數的除法
復數的除法法則.
設z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c+di≠0,c,d∈R),==-i.
[做一做2] 已知i是虛數單位,則等于(　　)
A.1-2i B.2-i
C.2+i D.1+2i
知識點3　復數乘法幾何意義初探
設復數z1=a+bi(a,b∈R)所對應的向量為.
若z2=(a+bi)·c(c>0)所對應的向量為,則 是與c的數乘,即是將沿原方向伸長(c>1)或壓縮(0z3=(a+bi)·i所對應的向量為,則是將逆時針旋轉得
到的.
[做一做3] 將復數z1=2+i所對應的向量繞原點O逆時針旋轉后得到,設所對應的復數為z2,則等于(　　)
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
(1)復數的除法與實數的除法有所不同,對于實數的除法,可以直接約分化簡,得出結論;但是對于復數的除法,因為分母為復數,一般不能直接約分化簡.
(2)復數除法實質上就是分母實數化的過程.
(3)復數的除法法則形式復雜,難于記憶,所以有關復數的除法運算,只要記住利用分母的共軛復數對分母進行“實數化”,然后結果再寫成a+bi(a,b∈R)的形式即可.
探究點一　復數的乘法、除法運算
角度1　復數的乘法運算
[例1] 計算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)(-+i)(+i).
(1)復數乘法的運算步驟
首先按多項式的乘法展開,再將i2換成-1,然后再進行復數的加、減運算,化簡為復數的代數形式.
(2)常用公式
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
[針對訓練] (1)(2+i)2等于(　　)
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
(2)已知復數z=(1-2i)·(4-3i),則復數z在復平面內對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
角度2　復數的除法運算
[例2] 計算:(1);(2)-.
(1)根據復數的除法法則,通過分子、分母都乘分母的共軛復數,使“分母實數化”,這個過程與“分母有理化”類似.
(2)常用公式:①=-i;②=i;③=-i.
[針對訓練] (1)如圖,在復平面內,復數z1,z2對應的向量分別是,,則復數對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2023·新課標Ⅰ卷)已知z=,則z- 等于(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
角度3　復數的積或商的模
[例3] 若復數z滿足z(1+i)=2i(i為虛數單位),則|z|等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
求解復數的積或商的模的方法有兩種:一是直接計算出復數的積或商后,根據積或商的實部與虛部直接利用模的公式計算;二是利用復數的模的運算性質.
(1)兩個或多個復數積的模等于構成積的各個復數的模的積,即|z1z2·…·zn|=|z1||z2|·…·|zn|.
(2)兩個復數的商的模等于模的商,即||=(z2≠0).
(3)|z|2==|z2|=||=z·.
[針對訓練] (1)已知z=i(1-2i),則|z|等于(　　)
A. B.3 C. D.5
(2)記i是虛數單位,復數z滿足z=,則||等于(　　)
A.2 B. C. D.1
角度4　復數的商與復數有關概念的綜合
[例4] 設a∈R,復數(i為虛數單位)是純虛數,則a的值為　　　　.
[變式探究] 若將本例題中的純虛數改為實數,則a的值為　　　　.
涉及含未知量的復數的商為純虛數或實數問題,一種方法是利用復數的除法將復數的商化為z=a+bi(a,b∈R)的形式后利用復數的有關概念求解,另一種方法是設出純虛數或實數將問題轉化為復數相等求解.
探究點二　復數乘法的幾何意義
[例5] 已知A(2,-1),B(-1,3),四邊形ABCD是正方形,且A,B,C,D按順時針方向排列,求點C,D對應的復數.
利用復數乘法的幾何意義解題時應注意將復數乘法轉化為復數對應的向量旋轉的角度與模的變化的乘積.
[針對訓練] 若復數z0=+i對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉90°且模變為原來的2倍后與向量重合,且對應的復數為z,
求z3.
學海拾貝
復數范圍內一元二次方程的解法
在復數范圍內,實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法.
(1)求根公式法.
①當Δ≥0時,x=;
②當Δ<0時,x=.
(2)利用復數相等的定義求解.
設方程的根為x=m+ni(m,n∈R),將此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化簡后利用復數相等的定義求解.
說明:實系數的一元二次方程若有虛根,則兩個虛根互為共軛復數.
[典例探究] 已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根.
(1)求實數a,b的值;
(2)結合根與系數的關系,猜測方程的另一個根,并給予證明.
已知含參數的實系數一元二次方程的一個虛數根,求參數的值,可以將方程的根代入方程中,利用復數相等的定義求參數的值.另外對于實系數一元二次方程,由其求根公式可知,當方程有一個虛根z=m+ni
(m,n∈R),復數z的共軛復數=m-ni也是方程的一個根,因此對于本題也可以根據此性質直接利用二次方程根與系數的關系(-1+i)+(-1-i)=-a,(-1+i)(-1-i)=b,求得a,b的值.
[應用探究] 已知x=2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,求實數p,q的值.
當堂檢測
1.若i為虛數單位,則i607等于(　　)
A.i B.-i C.1 D.-1
2.(2023·新課標Ⅱ卷)在復平面內,(1+3i)(3-i)對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,則z+等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.設復數z=-2+i,若復數z+的虛部為b,則b=　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數的乘法、除法 1,2,3,4,5,6,7,12
復數的運算的綜合應用 8,9,10,11,14,15
實系數一元二次方程 13
基礎鞏固
1.復數z=(1-2i)2(i為虛數單位)的虛部為(　　)
A.4i B.4 C.-4i D.-4
2.復數z滿足(1+i)z=6+4i(i為虛數單位),則復數z在復平面內的對應點的坐標是(　　)
A.(5,-1) B.(5,-i)
C.(1,-1) D.(1,-i)
3.(2022·全國甲卷)若z=1+i,則|iz+3|等于(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
4.(1+i)20-(1-i)20的值是(　　)
A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512
5.(多選題)已知復數 z=,其中i為虛數單位,則下列選項正確的是(　　)
A.|z|=2 B.z2=2i
C.z的共軛復數為1-i D.z的虛部為1
6.若復數z滿足z(1+i)=2-i,則z對應的點位于第　　　　象限.
7.已知z是純虛數,是實數,那么z=　　　　.
8.設復數z1與z2所對應的點為Z1與Z2,若z1=1+i,z2=i·z1,則||=
　　　　.
能力提升
9.(多選題)已知復數z1,z2,則下列命題正確的是(　　)
A.若|z1|=|z2|,則z1=±z2
B.若z1=,則|z1z2|=|z1|2
C.若z1是非零復數,且=z1z2,則z1=z2
D.若z1是非零復數,則z1+≠0
10.(多選題)已知復數z滿足(1-i)z=2i(i是虛數單位),則下列關于復數z的結論正確的是(　　)
A.|z|=
B.復數z的共軛復數為=1-i
C.復平面內表示復數z的點位于第三象限
D.復數z是方程x2+2x+2=0的一個根
11.(多選題)已知復數z,w均不為0,則下列說法正確的是(　　)
A.=
B.|z+w|=|z|+|w|
C.=
D.若∈R,則z∈R
12.已知a∈R,且ai+=1,則a=　　 　　.
13.已知x=1-i是關于x的實系數一元二次方程x2+ax+b=0的一個根,則a=　　 　　,b=　　 　　.
14.設z是虛數,ω=z+是實數,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍.
(2)設μ=,求證:μ為純虛數.
應用創新
15.已知復數z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是實數.
(1)若在復平面內表示復數z的點位于第一象限,求a的取值范圍.
(2)若是純虛數,a是正實數.
①求a;
②求+()2+()3+…+()2 024.

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