資源簡介

*§3　復數的三角表示
3.1　復數的三角表示式
3.2　復數乘除運算的幾何意義
學習目標
1.通過復數的幾何意義,了解復數的三角表示,了解復數的輻角的主值的概念,培養數學抽象與數學運算的核心素養.
2.了解復數乘、除運算的三角表示及幾何意義,提升直觀想象與數學運算的核心素養.
知識探究
問題:如圖,非零復數z=a+bi(a,b∈R)在復平面內對應點Z(a,b),且r為向量的模,θ是以原點O為頂點,x軸的非負半軸為始邊、向量所在的射線為終邊的一個角.能否利用θ,r表示a,b和復數z呢
提示:a=rcos θ,b=rsin θ,z=r(cos θ+isin θ).
知識點1　復數的三角表示式
(1)復數的輻角與模.
以原點O為頂點,x軸的非負半軸為始邊、向量所在的射線為終邊的角θ,稱為復數z=a+bi(a,b∈R)的輻角.
將滿足條件0≤θ<2π的輻角值,稱為輻角的主值,記作arg z,即0≤arg z<2π.每一個非零復數有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.
(2)復數的三角形式.
任何復數z=a+bi(a,b∈R)都可以表示為z=r(cos θ+isin θ),
其中r=,cos θ=,sin θ=.
這個式子稱為復數z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區分,a+bi稱為復數的代數表示式,簡稱代數形式.
[思考1] 非零復數z的輻角唯一嗎
提示:非零復數z的輻角不唯一,各角之間相差2π的整數倍.
知識點2　復數乘除運算的幾何意義
設z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2).
(1)z1·z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
這就是說,兩個復數相乘,積的模等于它們的模的積,積的輻角等于它們的輻角的和.由此可得復數乘法的幾何意義:
設復數z1,z2對應的向量分別為,,把向量繞原點O按逆時針方向旋轉角θ2(若θ2<0,就要把繞原點O按順時針方向旋轉角|θ2|),再把它的模變為原來的r2倍,所得向量就表示復數z1,z2的乘積.
(2)z2≠0,則==
[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
這就是說,兩個復數相除,商的模等于被除數的模除以除數的模,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.由此可得復數除法的幾何意義:
設復數z1,z2對應的向量分別為,,把向量繞原點O按順時針方向旋轉角θ2(若θ2<0,就要把繞原點O按逆時針方向旋轉角|θ2|),再把它的模變為原來的倍,所得向量就表示復數.
[思考2] 如何理解“把向量繞原點O按逆時針方向旋轉角θ2”
提示:當θ2>0時,按逆時針方向旋轉角θ2;當θ2<0時,按順時針方向旋轉角|θ2|.
[思考3] 如何計算復數z=r(cos θ+isin θ)的乘方zn
提示:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ).
探究點一　復數的三角形式
[例1] 將下列復數化為三角形式(輻角取主值):
(1)2(cos-isin);
(2)2(-cos+isin);
(3)2(sin+icos);
(4)z=-+i.
代數形式化為三角形式
將復數的代數形式z=a+bi(a,b∈R)化為三角形式z=r(cos θ+isin θ)(r>0),可按如下步驟進行:
(1)畫圖,并標出r和θ.
(2)求θ和r,其中r=,cos θ=,sin θ=.
(3)寫出z的三角形式.
[針對訓練] 將下列復數表示成三角形式(輻角取主值):
(1)+i;
(2)-2(cos+isin).
探究點二　復數的三角形式的乘除運算
[例2] (1)若z=sin+icos,則z3等于(　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)復數z1,z2分別對應復平面內的點Z1(1,),Z2(,1),則=
　　　　.
復數三角形式的運算法則
(1)乘法法則:模相乘,輻角相加.
(2)除法法則:模相除,輻角相減.
(3)復數的n次冪:模的n次冪,輻角的n倍.
[針對訓練] 計算:
(1)10(cos+isin)×5(cos+isin);
(2).
學海拾貝
利用復數乘法的幾何意義求解旋轉問題
[典例探究] 在復平面內,一個正方形的四個頂點按照逆時針方向依次為Z1,Z2,Z3,O(其中O為原點).已知Z2對應復數z2=1+i,求Z1和Z3所對應的復數.
[應用探究] 如圖,復平面內的△ABC(A,B,C按順時針排列)是等邊三角形,它的兩個頂點A,B的坐標分別為(1,0),(2,1),求點C的坐標.
當堂檢測
1.下列各式中已表示成三角形式的復數是(　　)
A.(cos-isin)
B.(cos+isin)
C.(sin+icos)
D.-(cos+isin)
2.復數z=+i的三角形式正確的是(　　)
A.cos+isin B.sin+icos
C.cos+isin D.sin+icos
3.(cos +isin )×3(cos +isin )等于(　　)
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數的三角形式 1,4,10
復數的三角形式的乘除運算 2,7
復數三角形式的綜合 3,5,6,8,9
基礎鞏固
1.-1-i的三角形式是(　　)
A.-2(cos+isin)
B.2
C.2(sin+icos)
D.2(cos+isin)
2.設復數z1=(cos +isin),z2=6(cos +isin),則z1z2為(　　)
A.3i B.3(cos +isin)
C.-3i D.3(cos +isin)
3.在復平面內,常把復數z=a+bi(a,b∈R)和向量進行一一對應.現把與復數1+2i對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉90°,所得的向量對應的復數為(　　)
A.-2+i　　B.-2-i　　C.2+i　　D.2-i
4.已知z=(1-i)·(-cos+isin),則arg z等于(　　)
A. B. C. D.
5.復數z=的輻角的主值為(　　)
A. B. C. D.
6.將復數z=[cos(-)+isin(-)]化為代數形式為　　　　.
7.計算:(cos π+isin π)÷(cos +isin )=　　　　.
　
能力提升
8.若復數z=(a+i)2的輻角的主值是,則實數a的值是(　　)
A.1 B.-1 C.- D.-
9.(多選題)已知復數z=cos θ+isin θ(其中i為虛數單位),下列選項正確的是(　　)
A.z·=i
B.z+為實數
C.若θ=,則復數z在復平面內的對應點位于第一象限
D.若θ∈(0,π),復數z是純虛數,則θ=
10.寫出下列復數的三角形式:
(1)ai(a∈R);
(2)-(sin θ-icos θ).*§3　復數的三角表示
3.1　復數的三角表示式
3.2　復數乘除運算的幾何意義
學習目標
1.通過復數的幾何意義,了解復數的三角表示,了解復數的輻角的主值的概念,培養數學抽象與數學運算的核心素養.
2.了解復數乘、除運算的三角表示及幾何意義,提升直觀想象與數學運算的核心素養.
知識探究
問題:如圖,非零復數z=a+bi(a,b∈R)在復平面內對應點Z(a,b),且r為向量的模,θ是以原點O為頂點,x軸的非負半軸為始邊、向量所在的射線為終邊的一個角.能否利用θ,r表示a,b和復數z呢
提示:a=rcos θ,b=rsin θ,z=r(cos θ+isin θ).
知識點1　復數的三角表示式
(1)復數的輻角與模.
以原點O為頂點,x軸的非負半軸為始邊、向量所在的射線為終邊的角θ,稱為復數z=a+bi(a,b∈R)的輻角.
將滿足條件0≤θ<2π的輻角值,稱為輻角的主值,記作arg z,即0≤arg z<2π.每一個非零復數有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.
(2)復數的三角形式.
任何復數z=a+bi(a,b∈R)都可以表示為z=r(cos θ+isin θ),
其中r=,cos θ=,sin θ=.
這個式子稱為復數z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區分,a+bi稱為復數的代數表示式,簡稱代數形式.
[思考1] 非零復數z的輻角唯一嗎
提示:非零復數z的輻角不唯一,各角之間相差2π的整數倍.
知識點2　復數乘除運算的幾何意義
設z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2).
(1)z1·z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
這就是說,兩個復數相乘,積的模等于它們的模的積,積的輻角等于它們的輻角的和.由此可得復數乘法的幾何意義:
設復數z1,z2對應的向量分別為,,把向量繞原點O按逆時針方向旋轉角θ2(若θ2<0,就要把繞原點O按順時針方向旋轉角|θ2|),再把它的模變為原來的r2倍,所得向量就表示復數z1,z2的乘積.
(2)z2≠0,則==
[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
這就是說,兩個復數相除,商的模等于被除數的模除以除數的模,商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.由此可得復數除法的幾何意義:
設復數z1,z2對應的向量分別為,,把向量繞原點O按順時針方向旋轉角θ2(若θ2<0,就要把繞原點O按逆時針方向旋轉角|θ2|),再把它的模變為原來的倍,所得向量就表示復數.
[思考2] 如何理解“把向量繞原點O按逆時針方向旋轉角θ2”
提示:當θ2>0時,按逆時針方向旋轉角θ2;當θ2<0時,按順時針方向旋轉角|θ2|.
[思考3] 如何計算復數z=r(cos θ+isin θ)的乘方zn
提示:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ).
探究點一　復數的三角形式
[例1] 將下列復數化為三角形式(輻角取主值):
(1)2(cos-isin);
(2)2(-cos+isin);
(3)2(sin+icos);
(4)z=-+i.
解:(1)2(cos-isin)=2(cos+isin).
(2)2(-cos+isin)=2(cos+isin).
(3)2(sin+icos)=2(cos+isin).
(4)設z=r(cos θ+isin θ).
因為r=2,cos θ=-,sin θ=,所以θ=,
所以-+i=2(cos+isin).
代數形式化為三角形式
將復數的代數形式z=a+bi(a,b∈R)化為三角形式z=r(cos θ+isin θ)(r>0),可按如下步驟進行:
(1)畫圖,并標出r和θ.
(2)求θ和r,其中r=,cos θ=,sin θ=.
(3)寫出z的三角形式.
[針對訓練] 將下列復數表示成三角形式(輻角取主值):
(1)+i;
(2)-2(cos+isin).
解:(1)+i=cos+isin.
(2)-2(cos+isin)=2(cos+isin).
探究點二　復數的三角形式的乘除運算
[例2] (1)若z=sin+icos,則z3等于(　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)復數z1,z2分別對應復平面內的點Z1(1,),Z2(,1),則=
　　　　.
解析:(1)(sin+icos)3=(cos+isin)3=cos(3×)+isin(3×)=i.故選C.
(2)由題意z1=2(cos+isin),
z2=2(cos+isin),
所以=
=cos(-)+isin(-)
=cos+isin=+i.
答案:(1)C　(2)+i
復數三角形式的運算法則
(1)乘法法則:模相乘,輻角相加.
(2)除法法則:模相除,輻角相減.
(3)復數的n次冪:模的n次冪,輻角的n倍.
[針對訓練] 計算:
(1)10(cos+isin)×5(cos+isin);
(2).
解:(1)原式=10×5[cos(+)+isin(+)]=50(cos+isin).
(2)原式===2i+2×=2+2i.
學海拾貝
利用復數乘法的幾何意義求解旋轉問題
[典例探究] 在復平面內,一個正方形的四個頂點按照逆時針方向依次為Z1,Z2,Z3,O(其中O為原點).已知Z2對應復數z2=1+i,求Z1和Z3所對應的復數.
解:設Z1,Z3對應的復數分別為z1,z3.如圖所示,由復數運算的幾何意義知,
z1=·z2·[cos(-)+isin(-)]
=·(1+i)(-i)
=+i,
z3=·z2·(cos +isin )
=×(1+i)(+i)
=+i.
[應用探究] 如圖,復平面內的△ABC(A,B,C按順時針排列)是等邊三角形,它的兩個頂點A,B的坐標分別為(1,0),(2,1),求點C的坐標.
解:=(1,1),
向量對應的復數是
1+i=(+i)=(cos +isin ),
將繞點A順時針方向旋轉得對應的復數是
(cos +isin )·[cos(-)+isin(-)]
=[cos(-)+isin(-)]
=(cos -isin )
=×(-i)
=+i,
所以對應的復數為1++i,
所以點C的坐標為(+1,),即(,).
當堂檢測
1.下列各式中已表示成三角形式的復數是(　B　)
A.(cos-isin)
B.(cos+isin)
C.(sin+icos)
D.-(cos+isin)
解析:復數的三角形式為z=r(cos α+isin α),其中r≥0,B選項滿足.故選B.
2.復數z=+i的三角形式正確的是(　A　)
A.cos+isin B.sin+icos
C.cos+isin D.sin+icos
解析:復數z=+i的模為1,輻角的主值為,所以復數z=+i的三角形式為cos+isin.故選A.
3.(cos +isin )×3(cos +isin )等于(　C　)
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
解析:原式=3i(+i)=-+i.
故選C.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
復數的三角形式 1,4,10
復數的三角形式的乘除運算 2,7
復數三角形式的綜合 3,5,6,8,9
基礎鞏固
1.-1-i的三角形式是(　B　)
A.-2(cos+isin)
B.2
C.2(sin+icos)
D.2(cos+isin)
解析:-1-i=2(--i)=2[cos(-)+isin(-)].故選B.
2.設復數z1=(cos +isin),z2=6(cos +isin),則z1z2為(　A　)
A.3i B.3(cos +isin)
C.-3i D.3(cos +isin)
解析:z1z2=×6=3(cos +isin)=3i.
故選A.
3.在復平面內,常把復數z=a+bi(a,b∈R)和向量進行一一對應.現把與復數1+2i對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉90°,所得的向量對應的復數為(　A　)
A.-2+i　　B.-2-i　　C.2+i　　D.2-i
解析:根據題意可知,復數1+2i對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉90°可得(1+2i)(cos 90°+isin 90°)=i(1+2i)=i+2i2=-2+i,即所得的向量對應的復數為-2+i.故選A.
4.已知z=(1-i)·(-cos+isin),則arg z等于(　B　)
A. B. C. D.
解析:z=(1-i)·(-cos+isin)
=(1-i)·(-+i)
=-+i+×i-i2
=2i=2(cos+isin),
所以arg z=.故選B.
5.復數z=的輻角的主值為(　D　)
A. B. C. D.
解析:z====-+i=cos+isin,所以輻角的主值為.故選D.
6.將復數z=[cos(-)+isin(-)]化為代數形式為　　　　.
解析:z=(cos -isin ) =×cos -i×sin =1-i.
答案:1-i
7.計算:(cos π+isin π)÷(cos +isin )=　　　　.
解析:(cos π+isin π)÷(cos +isin )
=cos +isin =-+i.
答案:-+i　
能力提升
8.若復數z=(a+i)2的輻角的主值是,則實數a的值是(　B　)
A.1 B.-1 C.- D.-
解析:因為z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,所以所以a=-1.故選B.
9.(多選題)已知復數z=cos θ+isin θ(其中i為虛數單位),下列選項正確的是(　BD　)
A.z·=i
B.z+為實數
C.若θ=,則復數z在復平面內的對應點位于第一象限
D.若θ∈(0,π),復數z是純虛數,則θ=
解析:選項A,z·=(cos θ+isin θ)(cos θ-isin θ)=1,A錯誤.
選項B,z+=cos θ+isin θ+
=cos θ+isin θ+
=cos θ+isin θ+cos θ-isin θ=2cos θ,
所以z+為實數,B正確.
選項C,若θ=,則z=cos+isin=-+i,
則復數z在復平面內的對應點為(-,),位于第二象限,C錯誤.
選項D,若θ∈(0,π),復數z是純虛數,
則解得θ=,D正確.
故選BD.
10.寫出下列復數的三角形式:
(1)ai(a∈R);
(2)-(sin θ-icos θ).
解:(1)ai=
(2)-(sin θ-icos θ)=[cos(+θ)+isin(+θ)].

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