資源簡介

§1　基本立體圖形
1.1　構成空間幾何體的基本元素
1.2　簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺
學習目標
1.了解平面的概念,掌握平面的畫法及表示方法,培養(yǎng)數學抽象與直觀想象的核心素養(yǎng).
2.通過對實物模型的觀察,歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征,了解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系,發(fā)展直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點1　構成空間幾何體的基本元素
(1)空間幾何體的基本元素:任意一個幾何體都是由點、線、面構成的,點、線、面是構成幾何體的基本元素.
(2)平面的畫法:一般地,用平行四邊形表示平面,當平面水平放置時,通常把平行四邊形的銳角畫成45°,橫邊長畫成鄰邊長的兩倍.
當兩個平面相交時,把被遮擋部分畫成虛線或不畫(如圖).
(3)平面的表示方法.
平面通常用希臘字母α,β,γ等來表示,如平面α、平面β、平面γ等[如圖(a)];也可以用表示平行四邊形頂點的字母表示,如平面ABCD,還可以用表示平行四邊形頂點的兩個相對頂點的字母表示,如平面AC[如圖(b)].
[思考1] 若平面用平行四邊形表示,則平行四邊形的面積就是平面的面積,這種說法對嗎
提示:不對,平面既沒有大小,也沒有厚薄.
[思考2] 一個平面能否把空間分成兩部分
提示:因為平面是無限延展的,所以一個平面可以把空間分成兩部分.
知識點2　棱柱的結構特征
(1)多面體.
一般地,由平面多邊形圍成的幾何體稱為多面體,這些多邊形稱為多面體的面,兩個相鄰的面的公共邊稱為多面體的棱,棱與棱的公共點稱為多面體的頂點.
(2)棱柱.
①每個多面體都有兩個面是邊數相同的多邊形,且它們所在平面平行;其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行.像這樣的幾何體稱為棱柱.
②棱柱中,兩個互相平行的面稱為棱柱的底面,簡稱底;其余各面稱為棱柱的側面;相鄰側面的公共邊稱為棱柱的側棱;側面與底面的公共頂點稱為棱柱的頂點;既不在同一底面上也不在同一側面上的兩個頂點的連線稱為棱柱的對角線.如圖,過上底面上一點O1作下底面的垂線,這點和垂足O間的距離OO1稱為點O1到下底面的距離,也是兩底面間的距離,即棱柱的高.
③棱柱可以用它的兩個底面各頂點的字母來表示,也可以用它的某一條對角線的兩個端點的字母來表示,如圖中的棱柱既可表示為棱柱ABCDEA1B1C1D1E1,也可表示為棱柱AC1.
棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……
④側面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱,其他的棱柱稱為斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體.
[思考3] 棱柱的側面一定是平行四邊形嗎
提示:根據棱柱的概念可知,棱柱的側面一定是平行四邊形.
知識點3　棱錐和棱臺的結構特征
(1)棱錐.
①有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐.
②如圖,多邊形ABCD稱為棱錐的底面,簡稱底;其余各面稱為棱錐的側面;各個側面的公共點稱為棱錐的頂點;相鄰兩個側面的公共邊稱為棱錐的側棱.頂點到底面的距離稱為棱錐的高.
③棱錐可以用表示它的頂點和底面各頂點的字母來表示,如圖中的棱錐記作棱錐SABCD,也可用頂點和底面一條對角線端點的字母來表示,如棱錐SAC.棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐也叫作四面體.如果棱錐的底面是正多邊形,且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上,那么這個棱錐稱為正棱錐.正棱錐各側面都是全等的等腰三角形,這些等腰三角形底邊上的高都相等,稱為正棱錐的斜高.
(2)棱臺.
①用一個平行于底面的平面去截棱錐,截面與底面之間的部分稱為
棱臺.
②在棱臺中,原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺的下底面和上底面,其余各面稱為棱臺的側面.相鄰兩個側面的公共邊稱為棱臺的側棱,上底面、下底面之間的距離稱為棱臺的高.
③棱臺用上底面、下底面多邊形各頂點的字母來表示,如圖中的棱臺表示為棱臺ABCDEA1B1C1D1E1.由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺,分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺……
由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.正棱臺各側面都是全等的等腰梯形,這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.
[思考4] 有一個面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體一定是棱錐嗎
提示:不一定.因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”.
[思考5] 若一個棱錐是正六棱錐,這個棱錐的各側棱與底面邊長能相等嗎
提示: 不能.若棱錐的各側棱與底面邊長相等,則棱錐側面三角形的頂角是60°,此時頂點處是一個平面,因此不存在.
[思考6] 棱臺的上、下底面互相平行,各側棱延長線一定相交于一點嗎
提示:根據棱臺的定義可知其各側棱延長線一定交于一點.
(1)幾種常見四棱柱的關系.
(2)棱柱、棱錐、棱臺之間的關系.
探究點一　棱柱的結構特征
[例1] 下列命題正確的是(　　)
A.棱柱的所有側棱都相交于一點
B.棱柱中互相平行的兩個面是棱柱的底面
C.棱柱的側面是平行四邊形,但底面不是平行四邊形
D.棱柱的側棱都相等,側面是平行四邊形
解析:由棱柱的定義可知,只有D正確,分別構造圖形如圖(1)(2).
棱柱的側棱相互平行,A錯誤;
圖(1)中正六棱柱的相對側面ABB1A1與EDD1E1平行,但不是底面,B錯誤;
圖(2)中直平行六面體的底面ABCD是平行四邊形,C錯誤.故選D.
(1)棱柱的定義有以下兩個要點:
①有兩個平面(底面)互相平行;②其余各面(側面)每相鄰兩個面的公共邊(側棱)都互相平行.
(2)求解與棱柱相關的問題時,首先看是否有兩個平行的面作為底面,再看是否滿足其他特征.
[針對訓練] 下列關于棱柱的說法中正確的是(　　)
A.棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫作側棱
B.棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同
C.棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
解析:底面和側面的公共邊不是側棱,A錯誤;根據棱柱的特征知,棱柱的兩個底面一定是全等的,故棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同,B正確;正六棱柱的兩個相對側面互相平行,C錯誤;“其余各面都是平行四邊形”并不能保證“相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”,如圖所示的幾何體就不是棱柱,D錯誤.故選B.
探究點二　棱錐和棱臺的結構特征
[例2] 下列關于棱錐、棱臺的說法:
①棱臺的側面一定不會是平行四邊形;
②由四個面圍成的幾何體只能是三棱錐;
③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中說法正確的是　　　　　　.(填序號)
解析:①正確,棱臺的側面一定是梯形,而不是平行四邊形;
②正確,由四個面圍成的幾何體只能是三棱錐;
③錯誤,如圖所示,四棱錐SABCD 被平面SAC截成的兩部分都是棱錐.
答案:①②
判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法
(1)舉反例法:
結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.
(2)直接法:
多面體 棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是多邊形,此面即為底面 兩個互相平行的面,即為底面
看側棱 各側棱相交于一點 各側棱延長后相交于一點
[針對訓練] 下列關于棱錐、棱臺的說法正確的是(　　)
A.有一個面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體是棱錐
B.有兩個面平行且相似,其他各面都是梯形的多面體是棱臺
C.用一個平面去截棱錐,底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫作棱臺
D.棱臺的各側棱延長后必交于一點
解析:有一個面是多邊形,其余各面是三角形,若其余各面沒有一個共同的頂點,則不是棱錐,故A錯誤;兩個面平行且相似,其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺,還要滿足各側棱的延長線交于一點,故B錯誤,D正確;用一個平行于底面的平面去截棱錐,底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫作棱臺,故C錯誤.故選D.
探究點三　多面體的平面展開圖
[例3] (1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒,如圖所示,則這個正方體禮品盒的平面展開圖應該為(　　)
　　　
A B
　　　
C D
(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖,請問各是什么幾何體
(1)解析:由選項驗證可知A正確.故選A.
(2)解:題圖①中,有5個平行四邊形,而且還有兩個全等的五邊形,符合棱柱特點;題圖②中,有5個三角形,且具有共同的頂點,還有一個五邊形,符合棱錐特點;題圖③中,有3個梯形,且其腰的延長線交于一點,還有兩個相似的三角形,符合棱臺的特點.把平面展開圖還原為原幾何體,如圖所示.所以圖(a)為五棱柱,圖(b)為五棱錐,圖(c)為三棱臺.
多面體展開圖問題的解題策略
(1)繪制展開圖:繪制多面體的平面展開圖要結合多面體的幾何特征,發(fā)揮空間想象能力或者是制作多面體模型.在解題過程中,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側面,便可得到其平面展開圖.
(2)由展開圖復原幾何體:若是給出多面體的平面展開圖,來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推.同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可能有多個平面展開圖.
[針對訓練] 某人用如圖所示的紙片,沿折痕折疊后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”,正方形為燈底,且有一個三角形面上寫上了“年”字,當燈順時針旋轉時,正好看到“新年快樂”的字樣,則在①②③處應依次寫上(　　)
A.快、新、樂 B.樂、新、快
C.新、樂、快 D.樂、快、新
解析:根據四棱錐順時針旋轉時正好看到“新年快樂”的字樣,可知順序為②年①③.故選A.
學海拾貝
多面體中的幾何計算
[典例探究] (1)如圖,棱錐PABCD的高PO=3,截面A′B′C′D′平行于底面ABCD,PO與截面交于點O′,且OO′=2.若四邊形ABCD的面積為36,則四邊形A′B′C′D′的面積為(　　)
A.12 B.16 C.4 D.8
(2) 如圖,在正三棱臺ABCA1B1C1中,已知AB=10,棱臺的一個側面的面積為,O1,O分別為上、下底面正三角形的中心,D1D為棱臺的斜高,∠D1DA=60°,求上底面的邊長.
(1)解析:由題意可知,四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似,則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的相似比為3∶1,
根據相似比與面積比關系可得四邊形A′B′C′D′的面積為36×=4.故選C.
(2)解:因為AB=10,
所以AD=AB=5,
所以OD=AD=.
設上底面的邊長為x,
則O1D1=x.
如圖,過D1作D1H⊥AD于點H,
則DH=OD-OH=OD-O1D1=-x.
在△D1DH中,D1D==2(-x),
所以=(B1C1+BC)·D1D,
即=(x+10)·2(-x),
解得x=2,
所以上底面的邊長為2.
(1)正棱錐中的直角三角形的應用
已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例),其高為PO,底面為正方形,作PE⊥CD于點E,則PE為斜高.
①斜高、側棱構成直角三角形,如圖中Rt△PEC.
②斜高、高構成直角三角形,如圖中Rt△POE.
③側棱、高構成直角三角形,如圖中Rt△POC.
(2)正棱臺中的直角梯形的應用
已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例),O1,O分別為上、下底面的中心,作O1E1⊥B1C1于點E1,OE⊥BC于點E,則E1E為斜高.
①斜高、側棱構成直角梯形,如圖中梯形E1ECC1.
②斜高、高構成直角梯形,如圖中梯形O1E1EO.
③高、側棱構成直角梯形,如圖中梯形O1OCC1.
[應用探究] 正三棱錐的底面邊長為3.
(1)若側棱長為2,求正三棱錐的高;
(2)若斜高為2,求正三棱錐的高.
解:作出正三棱錐如圖,SO為其高,連接AO,作OD⊥AB于點D,則點D為AB的中點,連接SD.
在Rt△ADO中,AD=,
∠OAD=30°,故AO==.
(1)在Rt△SAO中,SA=2,AO=,
故SO==3,故正三棱錐的高為3.
(2)在Rt△SDO中,SD=2,DO=AO=,故SO===.故正三棱錐的高為.
當堂檢測
1.棱錐的側面和底面可以都是(　A　)
A.三角形 B.四邊形
C.五邊形 D.六邊形
解析:棱錐的側面都是三角形,所以底面和側面相同只能是三角形.故選A.
2.下列圖形中,是棱臺的是(　C　)
　　　
A B C D
解析:由棱臺的定義知,A,D的側棱延長線不交于一點,所以不是棱臺;B中上、下底面不平行,不是棱臺,只有C符合棱臺的定義.故選C.
3.下列描述中,不可能是棱柱的結構特征的是(　D　)
A.有一對面互相平行
B.側面都是四邊形
C.相鄰兩個側面的公共邊都互相平行
D.所有側棱都交于一點
解析:由棱柱的結構特征知D錯誤.故選D.
4.四棱柱有　　　　條側棱,　　　　個頂點.
解析:四棱柱有4條側棱,8個頂點(可以結合正方體觀察求得).
答案:4　8
課時作業(yè)
選題明細表
知識點、方法 題號
空間幾何體的基本元素 1,7,8
簡單多面體的理解 2,3,4,5,6
簡單多面體及綜合應用 9,10,11,12,13
基礎鞏固
1.下列結論正確的個數是(　B　)
①曲面上可以存在直線;②平面上可存在曲線;③曲線運動的軌跡可形成平面;④直線運動的軌跡可形成曲面.
A.3 B.4 C.1 D.2
解析:①②③④均正確.故選B.
2.下列說法正確的是(　C　)
A.棱錐的側面不一定是三角形
B.棱錐的各側棱長一定相等
C.棱臺的各側棱的延長線交于一點
D.用一平面去截棱錐,得到兩個幾何體,一個是棱錐,另一個是棱臺
解析:根據棱錐的定義知,棱錐的側面一定是三角形,故A不正確;在斜棱錐中側棱長不一定相等,故B不正確;用一平行于底面的平面截棱錐,得到兩個幾何體,一個是棱錐,另一個是棱臺,故D不正確.
故選C.
3.(多選題)下列關于棱柱的說法中,正確的有(　ABC　)
A.三棱柱的底面為三角形
B.一個棱柱至少有五個面
C.五棱柱有5條側棱、5個側面,側面為平行四邊形
D.若棱柱的底面邊長相等,則它的各個側面全等
解析:三棱柱的底面為三角形,A正確;因為三棱柱有五個面,所以棱柱至少有五個面,B正確;五棱柱有5條側棱、5個側面,側面為平行四邊形,C正確;若棱柱的底面邊長相等,它的各個側面為平行四邊形,即邊長對應相等,但夾角不一定相等,D錯誤.故選ABC.
4.下列關于四棱柱的說法:①四條側棱互相平行且相等;②兩對相對的側面互相平行;③側棱必與底面垂直;④側面垂直于底面.其中正確結論的個數為(　A　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①棱柱側棱互相平行,側面都是四邊形,因此四條側棱互相平行且相等,故①正確;②若底面四邊形不是平行四邊形,則兩對相對的側面不互相平行,故②錯誤;③斜棱柱側棱與底面不垂直,故③錯誤;④斜棱柱側面與底面不垂直,故④錯誤.所以只有①正確,正確結論的個數為1.故選A.
5.設M={正四棱柱},N={長方體},P={直四棱柱},Q={正方體},則這些集合間的關系是(　B　)
A.P M N Q B.Q M N P
C.P N M Q D.Q N M P
解析:根據正方體、正四棱柱、長方體、直四棱柱的特征,可以判斷它們之間的包含關系,正四棱柱要求是直四棱柱,其底面為正方形,長方體要求是直四棱柱,底面為矩形.故選B.
6.下列說法正確的是　　　　.(填序號)
①一個棱錐至少有四個面;
②如果四棱錐的底面是正方形,那么這個四棱錐的四條側棱都相等;
③五棱錐只有五條棱;
④用與底面平行的平面去截三棱錐,得到的截面三角形和底面三角形相似.
解析:①正確;②不正確,四棱錐的底面是正方形,它的側棱可以相等,也可以不相等;③不正確,五棱錐除了五條側棱外,還有五條底邊,故共十條棱;④正確.
答案:①④
7.一個棱臺至少有　　　　　　個面,面數最少的棱臺有　　　　個頂點,有　　　　　　條棱.
解析:面數最少的棱臺為三棱臺,有5個面,6個頂點,9條棱.
答案:5　6　9
8.若一個正n棱臺的棱數大于15,且各棱的長度構成的集合為{2,3},則n的最小值為　　　,該棱臺各棱的長度之和的最小值為　　　.
解析:因為正n棱臺的側棱有n條,底面有2n條棱,所以正n棱臺共有3n條棱,
由3n>15,得n>5,所以n的最小值為6,該棱臺各棱的長度之和的最小值為2×12+3×6=42.
答案:6　42
能力提升
9.(多選題)如圖所示的幾何體,關于其結構特征,下列說法正確的是(　ABC　)
A.該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體
B.該幾何體有12條棱、6個頂點
C.該幾何體有8個面,并且各面均為三角形
D.該幾何體有9個面,其中一個面是四邊形,其余均為三角形
解析:根據題圖知該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體,
且有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12條;
頂點是M,A,B,C,D和N,共6個;有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA,共8個,且每個面都是三角形.所以選項A,B,C正確,選項D錯誤.故選ABC.
10.已知在正四棱錐VABCD中,底面的面積為16,側棱的長為2,則該棱錐的高是　　　　.
解析:如圖,取正方形ABCD的中心O,連接VO,AO,則VO就是正四棱錐VABCD的高.
因為底面的面積為16,
所以AO=2.
因為側棱的長為2,則VA=2,
所以VO===6.
所以正四棱錐VABCD的高為6.
答案:6
11.如圖所示的是一個三棱臺ABCA1B1C1.
(1)如果把這個三棱臺截成三個三棱錐,則這三個三棱錐分別是
　　　　　　　　　　　　(答案不唯一);
(2)如果把這個三棱臺截成兩個多面體,則這兩個多面體可以是
　　　　　　(答案不唯一).
解析:(1)如圖(a)所示,所截成的三個三棱錐分別是A1ABC,A1BB1C1,A1BCC1.
(2)用平行于三棱臺底面的平面去截,可以得到兩個三棱臺,也可以截成一個三棱柱和一個五面體,如圖(b)所示,也可以截成一個三棱錐和一個四棱錐,如圖(c)所示.
答案:(1)A1ABC,A1BB1C1,A1BCC1
(2)兩個三棱臺(或一個三棱柱和一個五面體或一個三棱錐和一個四棱錐)
12.如圖,在邊長為2a的正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點,沿圖中虛線將3個三角形折起,使點A,B,C重合,重合后記為點P.
(1)折起后形成的幾何體是什么
(2)這個幾何體共有幾個面,每個面的三角形有何特點
(3)每個面的三角形面積分別為多少
解:(1)如圖,折起后的幾何體是三棱錐.
(2)這個幾何體有4個面,其中△DEF為等腰三角形,△PEF為等腰直角三角形,△DPE和△DPF均為直角三角形.
(3)S△PEF=a2,
S△DPF=S△DPE=×2a·a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
13.試從正方體ABCDA1B1C1D1的八個頂點中任取若干個,連接后構成以下空間幾何體,并且用適當的符號表示出來.
(1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐;
(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐;
(3)三棱柱.
解:(1)如圖(a)所示,三棱錐A1AB1D1(答案不唯一).
(2)如圖(b)所示,三棱錐B1ACD1(答案不唯一).
(3)如圖(c)所示,三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一).§1　基本立體圖形
1.1　構成空間幾何體的基本元素
1.2　簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺
學習目標
1.了解平面的概念,掌握平面的畫法及表示方法,培養(yǎng)數學抽象與直觀想象的核心素養(yǎng).
2.通過對實物模型的觀察,歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征,了解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系,發(fā)展直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點1　構成空間幾何體的基本元素
(1)空間幾何體的基本元素:任意一個幾何體都是由點、線、面構成的,點、線、面是構成幾何體的基本元素.
(2)平面的畫法:一般地,用平行四邊形表示平面,當平面水平放置時,通常把平行四邊形的銳角畫成45°,橫邊長畫成鄰邊長的兩倍.
當兩個平面相交時,把被遮擋部分畫成虛線或不畫(如圖).
(3)平面的表示方法.
平面通常用希臘字母α,β,γ等來表示,如平面α、平面β、平面γ等[如圖(a)];也可以用表示平行四邊形頂點的字母表示,如平面ABCD,還可以用表示平行四邊形頂點的兩個相對頂點的字母表示,如平面AC[如圖(b)].
[思考1] 若平面用平行四邊形表示,則平行四邊形的面積就是平面的面積,這種說法對嗎
提示:不對,平面既沒有大小,也沒有厚薄.
[思考2] 一個平面能否把空間分成兩部分
提示:因為平面是無限延展的,所以一個平面可以把空間分成兩部分.
知識點2　棱柱的結構特征
(1)多面體.
一般地,由平面多邊形圍成的幾何體稱為多面體,這些多邊形稱為多面體的面,兩個相鄰的面的公共邊稱為多面體的棱,棱與棱的公共點稱為多面體的頂點.
(2)棱柱.
①每個多面體都有兩個面是邊數相同的多邊形,且它們所在平面平行;其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行.像這樣的幾何體稱為棱柱.
②棱柱中,兩個互相平行的面稱為棱柱的底面,簡稱底;其余各面稱為棱柱的側面;相鄰側面的公共邊稱為棱柱的側棱;側面與底面的公共頂點稱為棱柱的頂點;既不在同一底面上也不在同一側面上的兩個頂點的連線稱為棱柱的對角線.如圖,過上底面上一點O1作下底面的垂線,這點和垂足O間的距離OO1稱為點O1到下底面的距離,也是兩底面間的距離,即棱柱的高.
③棱柱可以用它的兩個底面各頂點的字母來表示,也可以用它的某一條對角線的兩個端點的字母來表示,如圖中的棱柱既可表示為棱柱ABCDEA1B1C1D1E1,也可表示為棱柱AC1.
棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……
④側面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱,其他的棱柱稱為斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體.
[思考3] 棱柱的側面一定是平行四邊形嗎
提示:根據棱柱的概念可知,棱柱的側面一定是平行四邊形.
知識點3　棱錐和棱臺的結構特征
(1)棱錐.
①有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐.
②如圖,多邊形ABCD稱為棱錐的底面,簡稱底;其余各面稱為棱錐的側面;各個側面的公共點稱為棱錐的頂點;相鄰兩個側面的公共邊稱為棱錐的側棱.頂點到底面的距離稱為棱錐的高.
③棱錐可以用表示它的頂點和底面各頂點的字母來表示,如圖中的棱錐記作棱錐SABCD,也可用頂點和底面一條對角線端點的字母來表示,如棱錐SAC.棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐也叫作四面體.如果棱錐的底面是正多邊形,且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上,那么這個棱錐稱為正棱錐.正棱錐各側面都是全等的等腰三角形,這些等腰三角形底邊上的高都相等,稱為正棱錐的斜高.
(2)棱臺.
①用一個平行于底面的平面去截棱錐,截面與底面之間的部分稱為
棱臺.
②在棱臺中,原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺的下底面和上底面,其余各面稱為棱臺的側面.相鄰兩個側面的公共邊稱為棱臺的側棱,上底面、下底面之間的距離稱為棱臺的高.
③棱臺用上底面、下底面多邊形各頂點的字母來表示,如圖中的棱臺表示為棱臺ABCDEA1B1C1D1E1.由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺,分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺……
由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.正棱臺各側面都是全等的等腰梯形,這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.
[思考4] 有一個面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體一定是棱錐嗎
提示:不一定.因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”.
[思考5] 若一個棱錐是正六棱錐,這個棱錐的各側棱與底面邊長能相等嗎
提示: 不能.若棱錐的各側棱與底面邊長相等,則棱錐側面三角形的頂角是60°,此時頂點處是一個平面,因此不存在.
[思考6] 棱臺的上、下底面互相平行,各側棱延長線一定相交于一點嗎
提示:根據棱臺的定義可知其各側棱延長線一定交于一點.
(1)幾種常見四棱柱的關系.
(2)棱柱、棱錐、棱臺之間的關系.
探究點一　棱柱的結構特征
[例1] 下列命題正確的是(　　)
A.棱柱的所有側棱都相交于一點
B.棱柱中互相平行的兩個面是棱柱的底面
C.棱柱的側面是平行四邊形,但底面不是平行四邊形
D.棱柱的側棱都相等,側面是平行四邊形
(1)棱柱的定義有以下兩個要點:
①有兩個平面(底面)互相平行;②其余各面(側面)每相鄰兩個面的公共邊(側棱)都互相平行.
(2)求解與棱柱相關的問題時,首先看是否有兩個平行的面作為底面,再看是否滿足其他特征.
[針對訓練] 下列關于棱柱的說法中正確的是(　　)
A.棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫作側棱
B.棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同
C.棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
探究點二　棱錐和棱臺的結構特征
[例2] 下列關于棱錐、棱臺的說法:
①棱臺的側面一定不會是平行四邊形;
②由四個面圍成的幾何體只能是三棱錐;
③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中說法正確的是　　　　　　.(填序號)
判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法
(1)舉反例法:
結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.
(2)直接法:
多面體 棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是多邊形,此面即為底面 兩個互相平行的面,即為底面
看側棱 各側棱相交于一點 各側棱延長后相交于一點
[針對訓練] 下列關于棱錐、棱臺的說法正確的是(　　)
A.有一個面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體是棱錐
B.有兩個面平行且相似,其他各面都是梯形的多面體是棱臺
C.用一個平面去截棱錐,底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫作棱臺
D.棱臺的各側棱延長后必交于一點
探究點三　多面體的平面展開圖
[例3] (1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒,如圖所示,則這個正方體禮品盒的平面展開圖應該為(　　)
　　　
A B
　　　
C D
(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖,請問各是什么幾何體
多面體展開圖問題的解題策略
(1)繪制展開圖:繪制多面體的平面展開圖要結合多面體的幾何特征,發(fā)揮空間想象能力或者是制作多面體模型.在解題過程中,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側面,便可得到其平面展開圖.
(2)由展開圖復原幾何體:若是給出多面體的平面展開圖,來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推.同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可能有多個平面展開圖.
[針對訓練] 某人用如圖所示的紙片,沿折痕折疊后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”,正方形為燈底,且有一個三角形面上寫上了“年”字,當燈順時針旋轉時,正好看到“新年快樂”的字樣,則在①②③處應依次寫上(　　)
A.快、新、樂 B.樂、新、快
C.新、樂、快 D.樂、快、新
學海拾貝
多面體中的幾何計算
[典例探究] (1)如圖,棱錐PABCD的高PO=3,截面A′B′C′D′平行于底面ABCD,PO與截面交于點O′,且OO′=2.若四邊形ABCD的面積為36,則四邊形A′B′C′D′的面積為(　　)
A.12 B.16 C.4 D.8
(2) 如圖,在正三棱臺ABCA1B1C1中,已知AB=10,棱臺的一個側面的面積為,O1,O分別為上、下底面正三角形的中心,D1D為棱臺的斜高,∠D1DA=60°,求上底面的邊長.
(1)正棱錐中的直角三角形的應用
已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例),其高為PO,底面為正方形,作PE⊥CD于點E,則PE為斜高.
①斜高、側棱構成直角三角形,如圖中Rt△PEC.
②斜高、高構成直角三角形,如圖中Rt△POE.
③側棱、高構成直角三角形,如圖中Rt△POC.
(2)正棱臺中的直角梯形的應用
已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例),O1,O分別為上、下底面的中心,作O1E1⊥B1C1于點E1,OE⊥BC于點E,則E1E為斜高.
①斜高、側棱構成直角梯形,如圖中梯形E1ECC1.
②斜高、高構成直角梯形,如圖中梯形O1E1EO.
③高、側棱構成直角梯形,如圖中梯形O1OCC1.
[應用探究] 正三棱錐的底面邊長為3.
(1)若側棱長為2,求正三棱錐的高;
(2)若斜高為2,求正三棱錐的高.
當堂檢測
1.棱錐的側面和底面可以都是(　　)
A.三角形 B.四邊形
C.五邊形 D.六邊形
2.下列圖形中,是棱臺的是(　　)
　　　
A B C D
3.下列描述中,不可能是棱柱的結構特征的是(　　)
A.有一對面互相平行
B.側面都是四邊形
C.相鄰兩個側面的公共邊都互相平行
D.所有側棱都交于一點
課時作業(yè)
選題明細表
知識點、方法 題號
空間幾何體的基本元素 1,7,8
簡單多面體的理解 2,3,4,5,6
簡單多面體及綜合應用 9,10,11,12,13
基礎鞏固
1.下列結論正確的個數是(　　)
①曲面上可以存在直線;②平面上可存在曲線;③曲線運動的軌跡可形成平面;④直線運動的軌跡可形成曲面.
A.3 B.4 C.1 D.2
2.下列說法正確的是(　　)
A.棱錐的側面不一定是三角形
B.棱錐的各側棱長一定相等
C.棱臺的各側棱的延長線交于一點
D.用一平面去截棱錐,得到兩個幾何體,一個是棱錐,另一個是棱臺
3.(多選題)下列關于棱柱的說法中,正確的有(　　)
A.三棱柱的底面為三角形
B.一個棱柱至少有五個面
C.五棱柱有5條側棱、5個側面,側面為平行四邊形
D.若棱柱的底面邊長相等,則它的各個側面全等
4.下列關于四棱柱的說法:①四條側棱互相平行且相等;②兩對相對的側面互相平行;③側棱必與底面垂直;④側面垂直于底面.其中正確結論的個數為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.設M={正四棱柱},N={長方體},P={直四棱柱},Q={正方體},則這些集合間的關系是(　　)
A.P M N Q B.Q M N P
C.P N M Q D.Q N M P
6.下列說法正確的是　　　　.(填序號)
①一個棱錐至少有四個面;
②如果四棱錐的底面是正方形,那么這個四棱錐的四條側棱都相等;
③五棱錐只有五條棱;
④用與底面平行的平面去截三棱錐,得到的截面三角形和底面三角形相似.
7.一個棱臺至少有　　　　　　個面,面數最少的棱臺有　　　　個頂點,有　　　　　　條棱.
8.若一個正n棱臺的棱數大于15,且各棱的長度構成的集合為{2,3},則n的最小值為　　　,該棱臺各棱的長度之和的最小值為　　　.
能力提升
9.(多選題)如圖所示的幾何體,關于其結構特征,下列說法正確的是(　　)
A.該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體
B.該幾何體有12條棱、6個頂點
C.該幾何體有8個面,并且各面均為三角形
D.該幾何體有9個面,其中一個面是四邊形,其余均為三角形
10.已知在正四棱錐VABCD中,底面的面積為16,側棱的長為2,則該棱錐的高是　　　　.
11.如圖所示的是一個三棱臺ABCA1B1C1.
(1)如果把這個三棱臺截成三個三棱錐,則這三個三棱錐分別是
　　　　　　　　　　　　(答案不唯一);
(2)如果把這個三棱臺截成兩個多面體,則這兩個多面體可以是
　　　　　　(答案不唯一).
12.如圖,在邊長為2a的正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點,沿圖中虛線將3個三角形折起,使點A,B,C重合,重合后記為點P.
(1)折起后形成的幾何體是什么
(2)這個幾何體共有幾個面,每個面的三角形有何特點
(3)每個面的三角形面積分別為多少
13.試從正方體ABCDA1B1C1D1的八個頂點中任取若干個,連接后構成以下空間幾何體,并且用適當的符號表示出來.
(1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐;
(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐;
(3)三棱柱.

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