資源簡介

1.3　簡單旋轉體——球、圓柱、圓錐和圓臺
學習目標
1.了解球、圓柱、圓錐、圓臺的定義及結構特征,提升直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素養.
2.掌握與球、圓柱、圓錐、圓臺有關的截面問題的計算,提升數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　球
(1)以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸,將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面.球面所圍成的幾何體稱為球體,簡稱球.半圓的圓心稱為球心(如圖).連接球心和球面上任意一點的線段稱為球的半徑,連接球面上兩點并且過球心的線段稱為球的直徑.球用表示它球心的字母來表示,如球O.球具有下面的性質:①球面上所有的點到球心的距離都等于球的半徑;②用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓,其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大,等于球的半徑.
(2)一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉面,封閉的旋轉面圍成的幾何體稱為旋轉體.顯然,球面是旋轉面,球體是旋轉體.
[思考1] 球能否由圓面旋轉而成
提示:能.圓面以直徑所在的直線為旋轉軸,旋轉半周形成的旋轉體即為球.
[思考2] 球面與球體有區別嗎
提示:有.球面是旋轉面,球體是旋轉體.
知識點2　圓柱、圓錐、圓臺
(1)如圖,以矩形的一邊OO1、直角三角形的一條直角邊SO、直角梯形垂直于底邊的腰OO1所在的直線為旋轉軸,其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體分別稱為圓柱、圓錐、圓臺.在旋轉軸上的這條邊的長度稱為它們的高;垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的圓面稱為它們的底面,不垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的曲面稱為它們的側面,無論轉到什么位置,這條邊都稱為側面的母線.
(2)圓柱、圓錐、圓臺用表示它的旋轉軸的字母來表示,如圓柱O1O、圓錐SO、圓臺O1O.
[思考3] 可以通過對幾何體切割、拼組、旋轉、放縮等變換得到新的幾何體,類比利用棱錐來定義棱臺,如何定義圓臺
提示:用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截得的截面與底面之間的部分稱為圓臺.
[思考4] 試說明圓柱、圓錐、圓臺三者之間的關系.
提示:圓柱、圓錐、圓臺的關系如圖所示.
知識點3　關于旋轉體的截面
(1)平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓.
(2)過圓柱、圓錐、圓臺旋轉軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
探究點一　球的有關計算
[例1] 如圖所示,已知OA為球O的半徑,M為線段OA上的點,且AM=2MO,過M且垂直于OA的平面截球面得到圓M,B為圓M上一點,若圓M的面積為8π,則OA等于(　　)
A.2 B.3 C.2 D.4
求解與球的截面有關的問題,常借助球的截面的性質.
用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是圓,有以下性質:
(1)若平面α過球心O,則截面圓是以O為圓心的球的大圓.
(2)若平面α不過球心O,如圖,設OO′⊥α,垂足為O′,記OO′=d,對于平面α與球面的任意一個公共點P,都滿足OO′⊥O′P,則有O′P=,即此時截得的圓是以O′為圓心,以r=為半徑的球O的小圓.
[針對訓練] (1) 一個球體被兩個平行平面所截,夾在兩平行平面間的部分叫作球臺,兩平行平面間的距離叫作球臺的高.西晉越窯的某個臥足杯的外形可近似看作球臺,其直觀圖如圖所示,已知杯底的直徑為 2 cm,杯口直徑為4 cm,杯的深度為 cm,則該臥足杯側面所在球面的半徑為(　　)
A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm
(2)若球的半徑為2,則與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為(　　)
A.4π B.π C.2π D.π
探究點二　圓柱、圓錐、圓臺的結構特征
[例2] 下列命題正確的是　　　　　.(填序號)
①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐;
②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺;
③半圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成球;
④用一個平面去截球,得到的截面是一個圓面.
(1)判斷簡單旋轉體結構特征的方法
①明確由哪個平面圖形旋轉而成;
②明確旋轉軸是哪條直線.
(2)簡單旋轉體的軸截面及其應用
①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量;
②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想.
[針對訓練] (多選題)下列命題中不正確的是(　　)
A.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺
B.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐
C.圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個
D.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一個點,則這兩點的連線是圓柱的母線
探究點三　旋轉體中的計算
[例3] 一個圓臺的母線長為12 cm,兩底面的面積分別為4π cm2和25π cm2,求圓臺的高.
[變式探究] (1)求本例中截得圓臺的圓錐的母線長;
(2)將本例中的圓臺還原為圓錐后,該圓錐內接一個高為 cm的圓柱,求圓柱的底面半徑.
與圓錐(臺)有關的計算問題的解題策略
(1)畫出圓錐(臺)的軸截面.
(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關系,由高、母線長、底面圓的半徑長的等量關系建立等式.
(3)求解圓錐(臺)的內接幾何體問題,應畫出其軸截面圖形,借助平面幾何的知識求解.
學海拾貝
平面圖形生成的旋轉體
[典例探究] 如圖,四邊形ABCD為直角梯形,試作出繞其每條邊所在的直線旋轉所得到的幾何體.
旋轉體形狀的判斷方法
(1)判斷旋轉體形狀的關鍵是軸的確定,看是由平面圖形繞哪條直線旋轉所得,同一個平面圖形繞不同的軸旋轉,所得的旋轉體一般是不同的.
(2)在旋轉過程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡,應利用空間想象能力,或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉體的形狀.
(3)要熟練掌握各類旋轉體的結構特征.
[應用探究] 一個有30°角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉一周所得幾何體是圓錐嗎 如果以斜邊上的高所在的直線為軸旋轉360°得到什么幾何體
當堂檢測
1.用過球面上任意兩點A,B的平面截球面,所得半徑最大的圓的個數可能是(　　)
A.有且只有一個 B.一個或無窮多個
C.無數個 D.以上均不正確
2.(多選題)下列關于球體的說法正確的是(　)
A.球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
B.球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
C.一個圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D.球的對稱軸只有1條
3.圓臺的兩個底面的面積之比為4∶9,母線與底面的夾角是60°,軸截面的面積為180,則圓臺的母線長l等于(　　)
A.6 B.6 C.12 D.12
4.下列給出的圖形中,繞給出的軸旋轉一周(如圖所示),能形成圓臺的是　　　　.(填序號)
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
球的結構特征有關計算 4,5,6,7
圓柱、圓錐、圓臺的結構特征 1,2,3,9
旋轉體的有關計算 8,10
基礎鞏固
1.下列結論:①任意平面截圓柱,截面都是圓面;②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線;③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線.其中正確的是(　　)
A.①　 B.② C.①② D.②③
2.(多選題)下列命題正確的是(　)
A.圓柱的軸截面是過母線的截面中面積最大的一個
B.用一個平面去截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體叫作
棱臺
C.圓臺的所有平行于底面的截面都是圓面
D.圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形
3.已知等腰梯形ABCD,現繞著它的較長底CD所在的直線旋轉一周,所得的幾何體包括(　　)
A.一個圓臺、兩個圓錐 B.一個圓柱、兩個圓錐
C.兩個圓臺、一個圓柱 D.兩個圓柱、一個圓臺
4.如圖所示的平面圖形中陰影部分繞中間軸旋轉一周,形成的旋轉體形狀為(　　)
A.一個球體
B.一個球體中間挖去一個圓柱
C.一個圓柱
D.一個球體中間挖去一個棱柱
5.過球的一條半徑的中點,作垂直于該半徑的截面,則截面的面積與球的最大的截面的面積之比為(　　)
A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3
6.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,圓柱的高和球的半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為　　　　.
7.若球的兩個平行截面的面積分別為10π和16π,且這兩個截面間的距離為,則球的直徑為　 .
能力提升
8.已知圓錐的底面半徑為2,其側面展開圖為一個半圓,則該圓錐的母線長為(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
9.以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸,其他兩邊旋轉一周所得到的幾何體是(　　)
A.兩個圓錐拼接而成的組合體
B.一個圓臺
C.一個圓錐
D.一個圓錐挖去一個同底的小圓錐
10.如圖,用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3 cm,求圓臺O′O的母線長.1.3　簡單旋轉體——球、圓柱、圓錐和圓臺
學習目標
1.了解球、圓柱、圓錐、圓臺的定義及結構特征,提升直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素養.
2.掌握與球、圓柱、圓錐、圓臺有關的截面問題的計算,提升數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　球
(1)以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸,將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面.球面所圍成的幾何體稱為球體,簡稱球.半圓的圓心稱為球心(如圖).連接球心和球面上任意一點的線段稱為球的半徑,連接球面上兩點并且過球心的線段稱為球的直徑.球用表示它球心的字母來表示,如球O.球具有下面的性質:①球面上所有的點到球心的距離都等于球的半徑;②用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓,其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大,等于球的半徑.
(2)一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉面,封閉的旋轉面圍成的幾何體稱為旋轉體.顯然,球面是旋轉面,球體是旋轉體.
[思考1] 球能否由圓面旋轉而成
提示:能.圓面以直徑所在的直線為旋轉軸,旋轉半周形成的旋轉體即為球.
[思考2] 球面與球體有區別嗎
提示:有.球面是旋轉面,球體是旋轉體.
知識點2　圓柱、圓錐、圓臺
(1)如圖,以矩形的一邊OO1、直角三角形的一條直角邊SO、直角梯形垂直于底邊的腰OO1所在的直線為旋轉軸,其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體分別稱為圓柱、圓錐、圓臺.在旋轉軸上的這條邊的長度稱為它們的高;垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的圓面稱為它們的底面,不垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的曲面稱為它們的側面,無論轉到什么位置,這條邊都稱為側面的母線.
(2)圓柱、圓錐、圓臺用表示它的旋轉軸的字母來表示,如圓柱O1O、圓錐SO、圓臺O1O.
[思考3] 可以通過對幾何體切割、拼組、旋轉、放縮等變換得到新的幾何體,類比利用棱錐來定義棱臺,如何定義圓臺
提示:用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截得的截面與底面之間的部分稱為圓臺.
[思考4] 試說明圓柱、圓錐、圓臺三者之間的關系.
提示:圓柱、圓錐、圓臺的關系如圖所示.
知識點3　關于旋轉體的截面
(1)平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓.
(2)過圓柱、圓錐、圓臺旋轉軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
探究點一　球的有關計算
[例1] 如圖所示,已知OA為球O的半徑,M為線段OA上的點,且AM=2MO,過M且垂直于OA的平面截球面得到圓M,B為圓M上一點,若圓M的面積為8π,則OA等于(　　)
A.2 B.3 C.2 D.4
解析:由題意得圓M的半徑為BM,
則π·BM2=8π,BM=2.
設球的半徑為R,則MO=R,OB=R,所以 R2=R2+,所以OA=R=3.故選B.
求解與球的截面有關的問題,常借助球的截面的性質.
用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是圓,有以下性質:
(1)若平面α過球心O,則截面圓是以O為圓心的球的大圓.
(2)若平面α不過球心O,如圖,設OO′⊥α,垂足為O′,記OO′=d,對于平面α與球面的任意一個公共點P,都滿足OO′⊥O′P,則有O′P=,即此時截得的圓是以O′為圓心,以r=為半徑的球O的小圓.
[針對訓練] (1) 一個球體被兩個平行平面所截,夾在兩平行平面間的部分叫作球臺,兩平行平面間的距離叫作球臺的高.西晉越窯的某個臥足杯的外形可近似看作球臺,其直觀圖如圖所示,已知杯底的直徑為 2 cm,杯口直徑為4 cm,杯的深度為 cm,則該臥足杯側面所在球面的半徑為(　　)
A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm
(2)若球的半徑為2,則與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為(　　)
A.4π B.π C.2π D.π
解析:(1)如圖所示,作出球臺的軸截面,
設球心為O,過O作OE⊥AB交AB于點E,
交CD于點F.
依題意AB=2,CD=4,EF=,
設球的半徑為R cm,
則R2=DF2+OF2且R2=AE2+OE2,
即解得
即球面的半徑為5 cm.故選A.
(2)設球的半徑為R,則R=2,因為截面與球心距離d=,所以截面圓的半徑r==1,可得截面圓的面積為S=πr2=π.故選D.
探究點二　圓柱、圓錐、圓臺的結構特征
[例2] 下列命題正確的是　　　　　.(填序號)
①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐;
②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺;
③半圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成球;
④用一個平面去截球,得到的截面是一個圓面.
解析:①以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉一周才可以得到圓錐;②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉一周可得到圓臺;③④正確.
答案:③④
(1)判斷簡單旋轉體結構特征的方法
①明確由哪個平面圖形旋轉而成;
②明確旋轉軸是哪條直線.
(2)簡單旋轉體的軸截面及其應用
①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量;
②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想.
[針對訓練] (多選題)下列命題中不正確的是(　　)
A.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺
B.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐
C.圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個
D.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一個點,則這兩點的連線是圓柱的母線
解析:由圓臺的結構特征可知,A選項正確;直角三角形繞斜邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體,不是圓錐,是由兩個同底圓錐組成的幾何體,B選項錯誤;過圓錐頂點的截面為等腰三角形,且兩腰長為母線長l,設該等腰三角形頂角為θ,則截面三角形面積為S=l2sin θ,顯然當θ=時,面積S最大,故當圓錐的軸截面三角形頂角大于時,圓錐的軸截面面積不一定是所有過頂點的截面中面積最大的,C選項錯誤;根據圓柱的母線定義,在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,這兩點的連線不一定是圓柱的母線,只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線,D選項錯誤.故選BCD.
探究點三　旋轉體中的計算
[例3] 一個圓臺的母線長為12 cm,兩底面的面積分別為4π cm2和25π cm2,求圓臺的高.
解:圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示).
由已知可得O1A=2 cm,
OB=5 cm.
又由題意知,腰長AB=12 cm,
所以高AM==3(cm).
[變式探究] (1)求本例中截得圓臺的圓錐的母線長;
(2)將本例中的圓臺還原為圓錐后,該圓錐內接一個高為 cm的圓柱,求圓柱的底面半徑.
解:(1)如圖所示,延長BA,OO1,CD,交于點S,設截得此圓臺的圓錐的母線長為l,
則由△SAO1∽△SBO可得=,
解得l=20 cm,即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm.
(2)如圖所示,由題意可知圓錐的高為h==5(cm).
設圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,
則由三角形相似,得=,
即=,解得r=4 cm.
所以圓柱的底面半徑為4 cm.
與圓錐(臺)有關的計算問題的解題策略
(1)畫出圓錐(臺)的軸截面.
(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關系,由高、母線長、底面圓的半徑長的等量關系建立等式.
(3)求解圓錐(臺)的內接幾何體問題,應畫出其軸截面圖形,借助平面幾何的知識求解.
學海拾貝
平面圖形生成的旋轉體
[典例探究] 如圖,四邊形ABCD為直角梯形,試作出繞其每條邊所在的直線旋轉所得到的幾何體.
解:(1)以邊AD所在直線為旋轉軸旋轉,形成的幾何體是圓臺,如圖(a)所示.
(2)以邊AB所在直線為旋轉軸旋轉,形成的幾何體是一個圓錐和一個圓柱拼接而成的幾何體,如圖(b)所示.
(3)以邊CD所在直線為旋轉軸旋轉,形成的幾何體是一個圓柱挖掉一個同底圓錐構成的幾何體,如圖(c)所示.
(4)以邊BC所在直線為旋轉軸旋轉,形成的幾何體是由一個圓臺挖掉一個同底(上底面)圓錐構成的幾何體和一個同底(下底面)圓錐拼接而成,如圖(d)所示.
旋轉體形狀的判斷方法
(1)判斷旋轉體形狀的關鍵是軸的確定,看是由平面圖形繞哪條直線旋轉所得,同一個平面圖形繞不同的軸旋轉,所得的旋轉體一般是不同的.
(2)在旋轉過程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡,應利用空間想象能力,或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉體的形狀.
(3)要熟練掌握各類旋轉體的結構特征.
[應用探究] 一個有30°角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉一周所得幾何體是圓錐嗎 如果以斜邊上的高所在的直線為軸旋轉360°得到什么幾何體
解:如圖(1)和(2)所示,繞其直角邊所在直線旋轉一周圍成的幾何體是圓錐.
如圖(3)所示,繞其斜邊所在直線旋轉一周所得幾何體是兩個同底相對的圓錐拼接而成的幾何體.
如圖(4)所示,繞其斜邊上的高所在的直線為軸旋轉360°圍成的幾何體是兩個同軸圓錐,其中大圓錐覆蓋了小圓錐,所以最后得到的是一個大圓錐.
當堂檢測
1.用過球面上任意兩點A,B的平面截球面,所得半徑最大的圓的個數可能是(　B　)
A.有且只有一個 B.一個或無窮多個
C.無數個 D.以上均不正確
解析:當過A,B的直線經過球心時,經過A,B的截面所得的圓都是半徑最大的圓,有無數個;當直線AB不經過球心O時,經過A,B,O的截面所得的半徑最大的圓,只能有一個.故選B.
2.(多選題)下列關于球體的說法正確的是(　BC　)
A.球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
B.球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
C.一個圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D.球的對稱軸只有1條
解析:空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面,所以A錯誤,B正確;
由球體的定義知C正確;球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸,所以D錯誤.故選BC.
3.圓臺的兩個底面的面積之比為4∶9,母線與底面的夾角是60°,軸截面的面積為180,則圓臺的母線長l等于(　D　)
A.6 B.6 C.12 D.12
解析:設圓臺的高為h,上、下底面的半徑分別為2r,3r,
則
得r=6,h=6,l==12.故選D.
4.下列給出的圖形中,繞給出的軸旋轉一周(如圖所示),能形成圓臺的是　　　　.(填序號)
解析:根據定義,①形成的是圓臺;②形成的是球;③形成的是圓柱;④形成的是圓錐.
答案:①
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
球的結構特征有關計算 4,5,6,7
圓柱、圓錐、圓臺的結構特征 1,2,3,9
旋轉體的有關計算 8,10
基礎鞏固
1.下列結論:①任意平面截圓柱,截面都是圓面;②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線;③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線.其中正確的是(　B　)
A.①　 B.② C.①② D.②③
解析:過兩條母線的截面為矩形,若平面不與底面平行,截面可能是橢圓,故①錯誤;根據母線的定義和特點,③錯誤;②正確.故選B.
2.(多選題)下列命題正確的是(　ACD　)
A.圓柱的軸截面是過母線的截面中面積最大的一個
B.用一個平面去截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體叫作
棱臺
C.圓臺的所有平行于底面的截面都是圓面
D.圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形
解析:A顯然正確;對于B,用一個平行于底面的平面截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺,所以B錯誤;對于C,圓臺的所有平行于底面的截面都是圓面,C正確;對于D,圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形,D正確.故選ACD.
3.已知等腰梯形ABCD,現繞著它的較長底CD所在的直線旋轉一周,所得的幾何體包括(　B　)
A.一個圓臺、兩個圓錐 B.一個圓柱、兩個圓錐
C.兩個圓臺、一個圓柱 D.兩個圓柱、一個圓臺
解析:將等腰梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形,如圖所示.
由于矩形繞其一邊所在直線旋轉一周得到圓柱,直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉一周得到圓錐,
因此,將該等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉一周,可得幾何體為一個圓柱、兩個圓錐.故選B.
4.如圖所示的平面圖形中陰影部分繞中間軸旋轉一周,形成的旋轉體形狀為(　B　)
A.一個球體
B.一個球體中間挖去一個圓柱
C.一個圓柱
D.一個球體中間挖去一個棱柱
解析:圓繞其直徑所在的直線旋轉一周所得幾何體是球體,中間矩形繞對稱軸旋轉一周所得幾何體是圓柱,則平面圖形中陰影部分繞中間軸旋轉一周,所得旋轉體是一個球體中間挖去一個圓柱.故選B.
5.過球的一條半徑的中點,作垂直于該半徑的截面,則截面的面積與球的最大的截面的面積之比為(　C　)
A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3
解析:設該球與截面圓的半徑分別為R,r,則R2=()2+r2,得=.
故選C.
6.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,圓柱的高和球的半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為　　　　.
解析:設圓柱的底面半徑為r,由已知有r2+12=22,所以r=.
答案:
7.若球的兩個平行截面的面積分別為10π和16π,且這兩個截面間的距離為,則球的直徑為　 .
解析:設球心為O,半徑為R,
若兩平面在球心同一側,畫出其截面圖,如圖.
設OA=d,由題可得AD=4,BC=,AB=,OD=OC=R,
則解得故球的直徑為2R=6.
若兩平面在球心兩側,畫出其截面圖,如圖.
設OA=d,由題可得AD=4,BC=,AB=,OD=OC=R,
則解得d=-(不合題意舍去).
答案:6
能力提升
8.已知圓錐的底面半徑為2,其側面展開圖為一個半圓,則該圓錐的母線長為(　C　)
A.2 B.2 C.4 D.4
解析:設圓錐的母線長為l,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,則πl=2π×2,解得l=4.故選C.
9.以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸,其他兩邊旋轉一周所得到的幾何體是(　D　)
A.兩個圓錐拼接而成的組合體
B.一個圓臺
C.一個圓錐
D.一個圓錐挖去一個同底的小圓錐
解析:如圖所示,以AB所在直線為軸旋轉一周所得的幾何體是一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐.故選D.
10.如圖,用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3 cm,求圓臺O′O的母線長.
解:設圓臺的母線長為l cm,由截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16,可設截得圓臺的上、下底面的半徑分別為r cm,4r cm.過軸SO作截面,如圖,
則△SO′A′∽△SOA,
SA′=3 cm,
所以=,
所以==,
解得l=9.
故圓臺的母線長為9 cm.

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