資源簡介

六、萬有引力與宇宙航行
1.(2023·天津卷·1)運行周期為24 h的北斗衛(wèi)星比運行周期為12 h的：
A.加速度大 B.角速度大
C.周期小 D.線速度小
2.(2024·甘肅卷·3)小杰想在離地表一定高度的天宮實驗室內(nèi)，通過測量以下物理量得到天宮實驗室軌道處的重力加速度，可行的是：
A.用彈簧秤測出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
B.測量單擺擺線長度、擺球半徑以及擺動周期
C.從高處釋放一個重物、測量其下落高度和時間
D.測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑
3.(2024·山東卷·5)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為：
A. B. C. D.
4.(多選)(2021·遼寧卷·8)2021年2月，我國首個火星探測器“天問一號”實現(xiàn)了對火星的環(huán)繞。若已知該探測器在近火星圓軌道與在近地球圓軌道運行的速率比和周期比，則可求出火星與地球的：
A.半徑比 B.質(zhì)量比
C.自轉(zhuǎn)角速度比 D.公轉(zhuǎn)軌道半徑比
5.(2024·海南卷·6)嫦娥六號進入環(huán)月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為：
A. B.
C. D.(1+k)3
6.(2022·浙江1月選考·8)“天問一號”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉(zhuǎn)移軌道到Q點，再依次進入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，則天問一號：
A.發(fā)射速度介于7.9 km/s與11.2 km/s之間
B.從P點轉(zhuǎn)移到Q點的時間小于6個月
C.在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上小
D.在地火轉(zhuǎn)移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度
7.(2021·天津卷·5)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器：
A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)
B.在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短
C.從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速
D.沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大
8.(2022·福建卷·4)2021年美國“星鏈”衛(wèi)星曾近距離接近我國運行在距地390 km近圓軌道上的天宮空間站。為避免發(fā)生危險，天宮空間站實施了發(fā)動機點火變軌的緊急避碰措施。已知質(zhì)量為m的物體從距地心r處運動到無窮遠處克服地球引力所做的功為G，式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量；現(xiàn)將空間站的質(zhì)量記為m0，變軌前后穩(wěn)定運行的軌道半徑分別記為r1、r2，如圖所示?？臻g站緊急避碰過程發(fā)動機做的功至少為：
A.GMm0(-) B.GMm0(-)
C.GMm0(-) D.2GMm0(-)
9.(2023·浙江1月選考·10)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，稱為“行星沖日”，已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表：
行星名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半 徑R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為：
A.火星365天 B.火星800天
C.天王星365天 D.天王星800天
10.(2023·遼寧卷·7)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為：
A.k3 B.k3
C. D.
11.(多選)(2023·福建卷·8)人類為探索宇宙起源發(fā)射的韋伯太空望遠鏡運行在日地延長線上的拉格朗日L2點附近，L2點的位置如圖所示。在L2點的航天器受太陽和地球引力共同作用，始終與太陽、地球保持相對靜止?？紤]到太陽系內(nèi)其他天體的影響很小，太陽和地球可視為以相同角速度圍繞日心和地心連線中的一點O(圖中未標(biāo)出)轉(zhuǎn)動的雙星系統(tǒng)。若太陽和地球的質(zhì)量分別為M和m，航天器的質(zhì)量遠小于太陽、地球的質(zhì)量，日心與地心的距離為R，引力常量為G，L2點到地心的距離記為r(r R)，在L2點的航天器繞O點轉(zhuǎn)動的角速度大小記為ω。下列關(guān)系式正確的是[可能用到的近似≈(1-2)]：
A.ω=[ B.ω=[
C.r=(R D.r=(R
12.(多選)(2019·全國卷Ⅰ·21)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關(guān)系如圖中虛線所示。假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則：
A.M與N的密度相等
B.Q的質(zhì)量是P的3倍
C.Q下落過程中的最大動能是P的4倍
D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍
答案精析
1.D　[根據(jù)萬有引力提供向心力有F=G=m=mrω2=mr=ma，可得T=2πv=ω=a=。因為運行周期為24 h的北斗衛(wèi)星周期大，故運行軌道半徑大，則線速度小，角速度小，加速度小，故選D。]
2.D　[在天宮實驗室內(nèi)，物體處于完全失重狀態(tài)，故A、B、C中的實驗均無法得到天宮實驗室軌道處的重力加速度。由重力提供天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的向心力得mg=mr，整理得軌道處重力加速度為g=r，故通過測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑可行，D正確。]
3.D　[由=mr得：=
根據(jù)開普勒第三定律=k，
則k=
可見，開普勒第三定律中的k值與中心天體質(zhì)量有關(guān)，地球質(zhì)量M地=同理，對“鵲橋二號”中繼星，可得月球質(zhì)量M月=
因“鵲橋二號”與地球同步衛(wèi)星周期相同，
所以=
故選D。]
4.AB　[探測器在近火星圓軌道和近地球圓軌道做圓周運動，根據(jù)v=
可知r=
若已知探測器在近火星軌道和近地球軌道的速率比和周期比，則可求得探測器的運行半徑比，又由于探測器在近火星圓軌道和近地球圓軌道運行，軌道半徑比近似等于火星和地球的半徑比，故A正確；
根據(jù)萬有引力提供向心力有
G=m
可得M=
結(jié)合A選項分析可知，可以求得火星和地球的質(zhì)量之比，故B正確；
由于探測器運行的周期之比不是火星與地球的自轉(zhuǎn)周期之比，故不能求得火星和地球的自轉(zhuǎn)角速度之比，故C錯誤；根據(jù)現(xiàn)有條件不能求出火星和地球的公轉(zhuǎn)半徑之比，故D錯誤。]
5.D　[設(shè)月球半徑為R，質(zhì)量為M，對嫦娥六號，根據(jù)萬有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的體積V=πR3
月球的平均密度ρ=
聯(lián)立可得ρ=(1+k)3，故選D。]
6.C　[因“天問一號”要能脫離地球引力束縛，則發(fā)射速度要大于第二宇宙速度，即發(fā)射速度介于11.2 km/s與16.7 km/s之間，故A錯誤；
因從P點轉(zhuǎn)移到Q點的轉(zhuǎn)移軌道的半長軸大于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，則其周期大于地球公轉(zhuǎn)周期(12個月)，則從P點轉(zhuǎn)移到Q點的時間大于地球公轉(zhuǎn)周期的一半，故應(yīng)大于6個月，故B錯誤；
因在環(huán)繞火星的停泊軌道的半長軸小于調(diào)相軌道的半長軸，則由開普勒第三定律可知在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上小，故C正確；
假設(shè)“天問一號”在Q點變軌進入火星軌道，則需要加速，又知v火7.D　[天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速運動，受力不平衡，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，軌道Ⅰ的半長軸大于軌道Ⅱ的半長軸，故在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時長，故B錯誤；天問一號探測器從軌道Ⅰ進入Ⅱ，做近心運動，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P點點火減速，故C錯誤；在軌道Ⅰ向P飛近時，萬有引力做正功，動能增大，故速度增大，故D正確。]
8.A　[空間站從軌道半徑r1變軌到半徑r2過程，根據(jù)動能定理有W+W引力=ΔEk
依題意可得引力做功W引力=G-G
萬有引力提供在圓形軌道上做勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律有G=m0
解得空間站在軌道上運動的動能為Ek=G
動能的變化ΔEk=G-G
解得W=-)，故選A。]
9.B　[根據(jù)開普勒第三定律有=解得T=T地，設(shè)相鄰兩次“沖日”時間間隔為t，則2π=(-)t，解得t==由表格中的數(shù)據(jù)可得t火=≈800天，t天=≈369天，故選B。]
10.D　[設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)G=mr，可得G=m月r1，G=m地r2，由幾何關(guān)系有=則==根據(jù)ρ=聯(lián)立可得=故選D。]
11.BD　[由題知，航天器始終與太陽、地球保持相對靜止，太陽和地球可視為以相同角速度ω轉(zhuǎn)動的雙星系統(tǒng)，則有G=Mω2r1，G=mω2r2，r1+r2=R，聯(lián)立解得ω=[故A錯誤，B正確；由題知，在L2點的航天器受太陽和地球引力共同作用，則有G+G=m'ω2(r+r2)，再根據(jù)選項A、B分析可知Mr1=mr2，r1+r2=R，ω=[又≈(1-)，聯(lián)立解得r=(R，故C錯誤，D正確。]
12.AC　[設(shè)P、Q的質(zhì)量分別為mP、mQ；M、N的質(zhì)量分別為M1、M2，半徑分別為R1、R2，密度分別為ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分別為g1、g2。在星球M上，彈簧壓縮量為0時有mPg1=3mPa0，所以g1=3a0=G密度ρ1==；在星球N上，彈簧壓縮量為0時有mQg2=mQa0，所以g2=a0=G密度ρ2==；因為R1=3R2，所以ρ1=ρ2，選項A正確；當(dāng)物體的加速度為0時有mPg1=3mPa0=kx0，mQg2=mQa0=2kx0，解得mQ=6mP，選項B錯誤；根據(jù)a-x圖線與x軸圍成圖形的面積和質(zhì)量的乘積表示合外力做的功可知，EkmP=mPa0x0，EkmQ=mQa0x0，所以EkmQ=4EkmP，選項C正確；根據(jù)運動的對稱性可知，Q下落時彈簧的最大壓縮量為4x0，P下落時彈簧的最大壓縮量為2x0，選項D錯誤。](共28張PPT)
經(jīng)典重現(xiàn)　考題再現(xiàn)
六、萬有引力與宇宙航行
1.(2023·天津卷·1)運行周期為24 h的北斗衛(wèi)星比運行周期為12 h的
A.加速度大 B.角速度大
C.周期小 D.線速度小
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√
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根據(jù)萬有引力提供向心力有F=G=m=mrω2=mr=ma，可得T= 2π，v=，ω=，a=。因為運行周期為24 h的北斗衛(wèi)星周
期大，故運行軌道半徑大，則線速度小，角速度小，加速度小，故選D。
2.(2024·甘肅卷·3)小杰想在離地表一定高度的天宮實驗室內(nèi)，通過測量以下物理量得到天宮實驗室軌道處的重力加速度，可行的是
A.用彈簧秤測出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
B.測量單擺擺線長度、擺球半徑以及擺動周期
C.從高處釋放一個重物、測量其下落高度和時間
D.測量天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的周期和軌道半徑
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在天宮實驗室內(nèi)，物體處于完全失重狀態(tài)，故A、B、C中的實驗均無法得到天宮實驗室軌道處的重力加速度。
由重力提供天宮實驗室繞地球做勻速圓周運動的向心力得mg=mr，整理得軌道處重力加速度為g=r，故通過測量天宮實驗室繞地球做
勻速圓周運動的周期和軌道半徑可行，D正確。
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3.(2024·山東卷·5)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為
A. B.
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由=mr得：=
根據(jù)開普勒第三定律=k，則k=
可見，開普勒第三定律中的k值與中心天體質(zhì)量有關(guān)，地球質(zhì)量M地=
，同理，對“鵲橋二號”中繼星，可得月球質(zhì)量M月=，
因“鵲橋二號”與地球同步衛(wèi)星周期相同，
所以=
故選D。
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4.(多選)(2021·遼寧卷·8)2021年2月，我國首個火星探測器“天問一號”實現(xiàn)了對火星的環(huán)繞。若已知該探測器在近火星圓軌道與在近地球圓軌道運行的速率比和周期比，則可求出火星與地球的
A.半徑比 B.質(zhì)量比
C.自轉(zhuǎn)角速度比 D.公轉(zhuǎn)軌道半徑比
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探測器在近火星圓軌道和近地球圓軌道做圓周運動，根據(jù)v=，
可知r=，
若已知探測器在近火星軌道和近地球軌道的速率比和周期比，則可求得探測器的運行半徑比，又由于探測器在近火星圓軌道和近地球圓軌道運行，軌道半徑比近似等于火星和地球的半徑比，故A正確；
根據(jù)萬有引力提供向心力有G=m，
可得M=，
結(jié)合A選項分析可知，可以求得火星和地球的質(zhì)量之比，故B正確；
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由于探測器運行的周期之比不是火星與地球的自轉(zhuǎn)周期之比，故不能求得火星和地球的自轉(zhuǎn)角速度之比，故C錯誤；
根據(jù)現(xiàn)有條件不能求出火星和地球的公轉(zhuǎn)半徑之比，故D錯誤。
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5.(2024·海南卷·6)嫦娥六號進入環(huán)月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為
A. B.
C. D.(1+k)3
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設(shè)月球半徑為R，質(zhì)量為M，對嫦娥六號，根據(jù)萬有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的體積V=πR3
月球的平均密度ρ=
聯(lián)立可得ρ=(1+k)3，故選D。
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6.(2022·浙江1月選考·8)“天問一號”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉(zhuǎn)移軌道到Q點，再依次進入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，則天問一號
A.發(fā)射速度介于7.9 km/s與11.2 km/s之間
B.從P點轉(zhuǎn)移到Q點的時間小于6個月
C.在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比
在調(diào)相軌道上小
D.在地火轉(zhuǎn)移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度
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因“天問一號”要能脫離地球引力束縛，則發(fā)射速度要大于第二宇宙速度，即發(fā)射速度介于11.2 km/s與16.7 km/s之間，故A錯誤；
因從P點轉(zhuǎn)移到Q點的轉(zhuǎn)移軌道的半長軸大于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，則其周期大于地球公轉(zhuǎn)周期(12個月)，則從P點轉(zhuǎn)移到Q點的時間大于地球公轉(zhuǎn)周期的一半，故應(yīng)大于6個月，故B錯誤；
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因在環(huán)繞火星的停泊軌道的半長軸小于調(diào)相軌道的半長軸，則由開普勒第三定律可知在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上小，故C正確；
假設(shè)“天問一號”在Q點變軌進入火星軌道，則需要加速，又知v火7
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7.(2021·天津卷·5)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器
A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)
B.在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短
C.從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速
D.沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大
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天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速運動，受力不平衡，故A錯誤；
根據(jù)開普勒第三定律可知，軌道Ⅰ的半長軸大于軌道Ⅱ的半長軸，故在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時長，故B錯誤；
天問一號探測器從軌道Ⅰ進入Ⅱ，做近心運動，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P點點火減速，故C錯誤；
在軌道Ⅰ向P飛近時，萬有引力做正功，動能增大，故速度增大，故D正確。
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A.GMm0(-) B.GMm0(-)
C.GMm0(-) D.2GMm0(-)
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空間站從軌道半徑r1變軌到半徑r2過程，根據(jù)動能定理有W+W引力=ΔEk
依題意可得引力做功W引力=G-G
萬有引力提供在圓形軌道上做勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定
律有G=m0
解得空間站在軌道上運動的動能為Ek=G
動能的變化ΔEk=G-G
解得W=-)，故選A。
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則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為
A.火星365天 B.火星800天
C.天王星365天 D.天王星800天
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行星名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
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根據(jù)開普勒第三定律有=，解得T=T地，設(shè)相鄰兩次“沖日”時間間隔為t，則2π=(-)t，解得t==，由表格中的數(shù)據(jù)可得t火=≈800天，t天=≈369天，故選B。
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10.(2023·遼寧卷·7)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為
A.k3 B.k3
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設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，
根據(jù)G=mr，可得G=m月r1，G=m地r2，由幾何關(guān)系有===，根據(jù)ρ==，故選D。
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11.(多選)(2023·福建卷·8)人類為探索宇宙起源發(fā)射的韋伯太空望遠鏡運行在日地延長線上的拉格朗日L2點附近，L2點的位置如圖所示。在L2點的航天器受太陽和地球引力共同作用，始終與太陽、地球保持相對靜止。考慮到太陽系內(nèi)其他天體的影響很小，太陽和地球可視為以相同角速度圍繞日心和地心連線中的一點O(圖中未標(biāo)出)轉(zhuǎn)動的雙星系統(tǒng)。若太陽和地球的質(zhì)量分別為M和m，航天器的質(zhì)量遠小于太陽、地球的質(zhì)量，日心與地心的距離為R，引力常量為G，L2點到地心的距離記為r(r R)，在L2點的
航天器繞O點轉(zhuǎn)動的角速度大小記為ω。下列關(guān)系式正確的是[可能用到的近似
≈(1-2)]
A.ω=[ B.ω=[
C.r=(R D.r=(R
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由題知，航天器始終與太陽、地球保持相對靜止，太陽和地球可視為以相同角速度ω轉(zhuǎn)動的雙星系統(tǒng)，則有G=Mω2r1，G=mω2r2，r1+r2=R，聯(lián)立解得ω=[，故A錯誤，B正確；
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由題知，在L2點的航天器受太陽和地球引力共同作用，則有G+ G=m'ω2(r+r2)，再根據(jù)選項A、B分析可知Mr1=mr2，r1+r2=R，ω=[≈(1-)，聯(lián)立解得r=(R，故C錯誤，D正確。
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12.(多選)(2019·全國卷Ⅰ·21)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關(guān)系如圖中虛線所示.假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則
A.M與N的密度相等
B.Q的質(zhì)量是P的3倍
C.Q下落過程中的最大動能是P的4倍
D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍
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設(shè)P、Q的質(zhì)量分別為mP、mQ；M、N的質(zhì)量分別為M1、M2，半徑分別為R1、R2，密度分別為ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分別為g1、g2。在星
球M上，彈簧壓縮量為0時有mPg1=3mPa0，所以g1
=3a0=G，密度ρ1==；在星球N上，彈簧壓縮量為0時有mQg2=mQa0，所以g2=a0=G，密度ρ2==；因為R1=3R2，所以ρ1=ρ2，選項A正確；
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當(dāng)物體的加速度為0時有mPg1=3mPa0=kx0，mQg2=mQa0=2kx0，解得mQ=6mP，選項B錯誤；
根據(jù)a-x圖線與x軸圍成圖形的面積和質(zhì)量的乘積表示合外力做的功可知，EkmP=mPa0x0，
EkmQ=mQa0x0，所以EkmQ=4EkmP，選項C正確；
根據(jù)運動的對稱性可知，Q下落時彈簧的最大壓縮量為4x0，P下落時彈簧的最大壓縮量為2x0，選項D錯誤。
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