資源簡介

七、功和能
1.(2021·山東卷·3)如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的小木塊相連。木塊以水平初速度v0出發，恰好能完成一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為：
A. B. C. D.
2.(2023·山東卷·4)《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下：兩個半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動。每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田。當地的重力加速度為g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為：
A. B.
C. D.nmgωRH
3.(多選)(2023·新課標卷·20)一質量為1 kg的物體在水平拉力的作用下，由靜止開始在水平地面上沿x軸運動，出發點為x軸零點，拉力做的功W與物體坐標x的關系如圖所示。物體與水平地面間的動摩擦因數為0.4，重力加速度大小取10 m/s2。下列說法正確的是：
A.在x=1 m時，拉力的功率為6 W
B.在x=4 m時，物體的動能為2 J
C.從x=0運動到x=2 m，物體克服摩擦力做的功為8 J
D.從x=0運動到x=4 m的過程中，物體的動量最大為2 kg·m/s
4.(2022·江蘇卷·8)某滑雪賽道如圖所示，滑雪運動員從靜止開始沿斜面下滑，經圓弧滑道起跳。將運動員視為質點，不計摩擦力及空氣阻力，此過程中，運動員的動能Ek與水平位移x的關系圖像正確的是：
A　　　　　　　B
C D
5.(多選)(2019·江蘇卷·8)如圖所示，輕質彈簧的左端固定，并處于自然狀態。小物塊的質量為m，從A點向左沿水平地面運動，壓縮彈簧后被彈回，運動到A點恰好靜止。物塊向左運動的最大距離為s，與地面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過程中：
A.彈簧的最大彈力為μmg
B.物塊克服摩擦力做的功為2μmgs
C.彈簧的最大彈性勢能為μmgs
D.物塊在A點的初速度為
6.(2022·全國乙卷·16)固定于豎直平面內的光滑大圓環上套有一個小環，小環從大圓環頂端P點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環的速率正比于：
A.它滑過的弧長
B.它下降的高度
C.它到P點的距離
D.它與P點的連線掃過的面積
7.(2021·湖南卷·3)“復興號”動車組用多節車廂提供動力，從而達到提速的目的。總質量為m的動車組在平直的軌道上行駛。該動車組有四節動力車廂，每節車廂發動機的額定功率均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻=kv，k為常量)，動車組能達到的最大速度為vm。下列說法正確的是：
A.動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B.若四節動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運動
C.若四節動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛的速度為vm
D.若四節動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經過時間t達到最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為m-Pt
8.(多選)(2021·遼寧卷·10)冰滑梯是東北地區體驗冰雪運動樂趣的設施之一。某冰滑梯的示意圖如圖所示，螺旋滑道的摩擦可忽略，傾斜滑道和水平滑道與同一滑板間的動摩擦因數μ相同，因滑板不同μ滿足μ0≤μ≤1.2μ0。在設計滑梯時，要確保所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，且滑行結束時停在水平滑道上，以下L1、L2的組合符合設計要求的是：
A.L1=，L2= B.L1=，L2=
C.L1=，L2= D.L1=，L2=
9.(多選)(2022·河北卷·9)如圖，輕質定滑輪固定在天花板上，物體P和Q用不可伸長的輕繩相連，懸掛在定滑輪上，質量mQ>mP，t=0時刻將兩物體由靜止釋放，物體Q的加速度大小為。T時刻輕繩突然斷開，物體P能夠達到的最高點恰與物體Q釋放位置處于同一高度，取t=0時刻物體P所在水平面為零勢能面，此時物體Q的機械能為E。重力加速度大小為g，不計摩擦和空氣阻力，兩物體均可視為質點。下列說法正確的是：
A.物體P和Q的質量之比為1∶3
B.2T時刻物體Q的機械能為
C.2T時刻物體P重力的功率為
D.2T時刻物體P的速度大小為
10.(2021·浙江1月選考·20)如圖所示，豎直平面內由傾角α=60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細圓管軌道BCDE和圓周細圓管軌道EFG構成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直。軌道出口處G和圓心O2的連線，以及O2、E、O1和B等四點連成的直線與水平線間的夾角均為θ=30°，G點與豎直墻面的距離d=R。現將質量為m的小球從斜面的某高度h處靜止釋放。小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計小球大小和所受阻力。
(1)(3分)若釋放處高度h=h0，當小球第一次運動到圓管最低點C時，求速度大小vC及在此過程中所受合力的沖量I的大小和方向；
(2)(3分)求小球在圓管內與圓心O1點等高的D點所受彈力FN與h的關系式；
(3)(6分)若小球釋放后能從原路返回到出發點，高度h應該滿足什么條件？
答案精析
1.B　[在運動過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功與路徑有關，根據動能定理-Ff·2πL=0-m可得摩擦力的大小Ff=故選B。]
2.B　[由題知，水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，且每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，則水輪轉一圈灌入農田的水的總質量為m總=2πRnm×60%=1.2πRnm，則水輪轉一圈灌入稻田的水克服重力做的功W=1.2πRnmgH，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為P=T=聯立解得P=故選B。]
3.BC　[由題圖可知，W-x圖像的斜率表示拉力F，0~2 m過程中拉力大小為6 N，2~4 m過程中拉力大小為3 N，由牛頓第二定律可知，a1==2 m/s2，a2==-1 m/s2，故0~2 m過程中，物體做勻加速運動，2~4 m過程中，物體做勻減速運動。在x=1 m時，由公式=2a1x1，解得v1=2 m/s，此時拉力的功率P=F1v1=12 W，故A錯誤；在x=4 m時，物體的動能Ek=W總-Ffx4=18 J-16 J=2 J，故B正確；從x=0運動到x=2 m，物體克服摩擦力做的功W克f=Ffx2=8 J，故C正確；從x=0運動到x=4 m的過程中，物體在x=2 m時速度最大，由=2a1x2，解得v2=2 m/s，此時物體的動量p=mv2=2 kg·m/s，故D錯誤。]
4.A　[設斜面傾角為θ，不計摩擦力和空氣阻力，由題意可知運動員在沿斜面下滑過程中根據動能定理有Ek=mgxtan θ，即=mgtan θ，下滑過程中開始階段傾角θ不變，Ek-x圖像為一條直線；經過圓弧軌道過程中θ先減小后增大，即圖像斜率先減小后增大，故選A。]
5.BC　[小物塊壓縮彈簧最短時有F彈>μmg，故A錯誤；全過程小物塊的路程為2s，所以全過程中克服摩擦力做的功為2μmgs，故B正確；小物塊從彈簧壓縮最短處到A點由能量守恒定律得：Epmax=μmgs，故C正確；設小物塊在A點的初速度為v0，小物塊從A點返回A點由動能定理得：-μmg·2s=0-m解得v0=2故D錯誤。]
6.C　[如圖所示，
設小環下降的高度為h，大圓環的半徑為R，小環到P點的距離為L，根據機械能守恒定律得mgh=mv2
由幾何關系可得h=Lsin θ
sin θ=
聯立可得h=則v=L
故C正確，A、B、D錯誤。]
7.C　[對動車組由牛頓第二定律有F牽-F阻=ma，
動車組勻加速啟動，即加速度a恒定，但F阻=kv隨速度增大而增大，則牽引力也隨阻力增大而增大，故A錯誤；
若四節動力車廂輸出功率均為額定值，則總功率為4P，由牛頓第二定律有-kv=ma，故可知加速啟動的過程，牽引力減小，阻力增大，則加速度逐漸減小，故B錯誤；
若四節動力車廂輸出的總功率為2.25P，動車組勻速行駛時加速度為零，有=kv，
而以額定功率勻速時，有=kvm，
聯立解得v=vm，故C正確；
若四節動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經過時間t達到最大速度vm，
由動能定理可知4Pt-W克阻=m-0
可得動車組克服阻力做的功為W克阻=4Pt-m故D錯誤。]
8.CD　[設傾斜滑道傾角為θ，游客在傾斜滑道上均減速下滑，則需滿足mgsin θ<μmgcos θ
可得μ>tan θ=
即有L1>
因μ0≤μ≤1.2μ0，所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，
可得L1>
滑行結束時停在水平滑道上，對全程由動能定理有mg·2h-μmgcos θ·-μmgx=0-0
其中0L1代入μ0≤μ≤1.2μ0，可得
L1綜合需滿足
故選C、D。]
9.BCD　[開始釋放時物體Q的加速度大小為
則有mQg-FT=mQ·
FT-mPg=mP·
解得FT=mQg=選項A錯誤；
在T時刻，兩物體的速度大小
v1=
P上升的距離h1=×T2=
輕繩斷后P能上升的高度
h2==
則開始時P、Q豎直方向上的距離為h=h1+h2=
開始時P所處的水平面為零勢能面，則開始時Q的機械能E=mQgh=
從開始到輕繩斷裂，輕繩的拉力對Q做負功，大小為WF=FTh1=
則繩斷裂時物體Q的機械能
E'=E-WF==
此后物體Q的機械能守恒，則在2T時刻物體Q的機械能仍為選項B正確；
在2T時刻，物體P的速度v2=v1-gT=-方向向下，
此時物體P重力的瞬時功率
PG=mPg|v2|=·==
選項C、D正確。]
10.見解析
解析　(1)從A到C，小球的機械能守恒，有mgh0=m
可得vC=
根據動量定理得I=mvC=m
方向水平向左
(2)小球從A到D，由機械能守恒定律有mg(h-R)=m
根據牛頓第二定律有FN=
聯立可得FN=2mg(-1)
滿足的條件h≥R
(3)第1種情況：不滑離軌道原路返回，由機械能守恒定律可知，此時h需滿足的條件是h≤R+3Rsin θ=R
第2種情況：小球與墻面垂直碰撞后原路返回，
小球與墻面碰撞后，進入G前做平拋運動，則
vxt=vx=d，其中vx=vGsin θ，vy=vGcos θ
故有vGsin θ·=d
可得vG=2
由機械能守恒定律有mg(h-R)=m
可得h=R。(共31張PPT)
經典重現　考題再現
七、功和能
1.(2021·山東卷·3)如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另一端與質量為m的小木塊相連。木塊以水平初速度v0出發，恰好能完成一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為
A. B.
C. D.
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5
6
7
8
9
√
10
在運動過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功與路徑有關，根據動能定理-Ff·2πL=0-m，可得摩擦力的大小Ff=，故選B。
2.(2023·山東卷·4)《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下：兩個半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動。每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田。當地的重力加速度為g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為
A. B.
C. D.nmgωRH
√
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由題知，水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，且每個水筒離開水面時裝有質量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，則水輪轉一圈灌入農田的水的總質量為m總=2πRnm×60%=1.2πRnm，則水輪轉一圈灌入稻田的水克服重力做的功W=1.2πRnmgH，則
筒車對灌入稻田的水做功的功率為P=，T=，聯立解得P=，故選B。
3.(多選)(2023·新課標卷·20)一質量為1 kg的物體在水平拉力的作用下，由靜止開始在水平地面上沿x軸運動，出發點為x軸零點，拉力做的功W與物體坐標x的關系如圖所示。物體與水平地面間的動摩擦因數為0.4，重力加速度大小取10 m/s2。下列說法正確的是
A.在x=1 m時，拉力的功率為6 W
B.在x=4 m時，物體的動能為2 J
C.從x=0運動到x=2 m，物體克服摩擦力做的功為8 J
D.從x=0運動到x=4 m的過程中，物體的動量最大為2 kg·m/s
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由題圖可知，W-x圖像的斜率表示拉力F，0~2 m過程中拉力大小為6 N，2~4 m過程中拉力大小為3 N，由牛頓第二定律可知，a1==2 m/s2，a2=
=-1 m/s2，故0~2 m過程中，物體做勻加速運動，2~4 m過程中，物體做勻減速運動。在x=1 m時，由公式=2a1x1，解得v1=2 m/s，此時拉力的功率P=F1v1=12 W，故A錯誤；
在x=4 m時，物體的動能Ek=W總-Ffx4=18 J-16 J=2 J，故B正確；
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從x=0運動到x=2 m，物體克服摩擦力做的功W克f =Ffx2=8 J，故C正確；
從x=0運動到x=4 m的過程中，物體在x=2 m時速度
最大，由=2a1x2，解得v2=2 m/s，此時物體的動量p=mv2=
2 kg·m/s，故D錯誤。
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4.(2022·江蘇卷·8)某滑雪賽道如圖所示，滑雪運動員從靜止開始沿斜面下滑，經圓弧滑道起跳。將運動員視為質點，不計摩擦力及空氣阻力，此過程中，運動員的動能Ek與水平位移x的關系圖像正確的是
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√
設斜面傾角為θ，不計摩擦力和空氣阻力，由題意可知運動員在沿斜面下滑過程中根據動能定理有Ek=mgxtan θ，即=mgtan θ，下滑過程中開始階段傾角θ不變，Ek-x圖像為一條直線；經過圓弧軌道過程中θ先減小后增大，即圖像斜率先減小后增大，故選A。
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5.(多選)(2019·江蘇卷·8)如圖所示，輕質彈簧的左端固定，并處于自然狀態。小物塊的質量為m，從A點向左沿水平地面運動，壓縮彈簧后被彈回，運動到A點恰好靜止。物塊向左運動的最大距離為s，與地面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過程中
A.彈簧的最大彈力為μmg
B.物塊克服摩擦力做的功為2μmgs
C.彈簧的最大彈性勢能為μmgs
D.物塊在A點的初速度為
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小物塊壓縮彈簧最短時有F彈>μmg，故A錯誤；
全過程小物塊的路程為2s，所以全過程中克服
摩擦力做的功為2μmgs，故B正確；
小物塊從彈簧壓縮最短處到A點由能量守恒定律得：Epmax=μmgs，故C正確；
設小物塊在A點的初速度為v0，小物塊從A點返回A點由動能定理得： -μmg·2s=0-m，解得v0=2，故D錯誤。
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6.(2022·全國乙卷·16)固定于豎直平面內的光滑大圓環上套有一個小環，小環從大圓環頂端P點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環的速率正比于
A.它滑過的弧長
B.它下降的高度
C.它到P點的距離
D.它與P點的連線掃過的面積
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√
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如圖所示，設小環下降的高度為h，大圓環的半徑為R，小環到P點的距離為L，根據機械能守恒定律得mgh=mv2
由幾何關系可得h=Lsin θ
sin θ=
聯立可得h=，則v=L
故C正確，A、B、D錯誤。
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7.(2021·湖南卷·3)“復興號”動車組用多節車廂提供動力，從而達到提速的目的。總質量為m的動車組在平直的軌道上行駛。該動車組有四節動力車廂，每節車廂發動機的額定功率均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻=kv，k為常量)，動車組能達到的最大速度為vm。下列說法正確的是
A.動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B.若四節動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運動
C.若四節動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛的速度為vm
D.若四節動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經過時間t達到
最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為m-Pt
√
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對動車組由牛頓第二定律有F牽-F阻=ma，動車組勻加速啟動，即加速度a恒定，但F阻=kv隨速度增大而增大，則牽引力也隨阻力增大而增大，故A錯誤；
若四節動力車廂輸出功率均為額定值，則總功率為4P，由牛頓第二定律有-kv=ma，故可知加速啟動的過程，牽引力減小，阻力增大，則加速度逐漸減小，故B錯誤；
若四節動力車廂輸出的總功率為2.25P，動車組勻速行駛時加速度為零，有=kv，
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而以額定功率勻速時，有=kvm，
聯立解得v=vm，故C正確；
若四節動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經過時間t達到最大速度vm，
由動能定理可知4Pt-W克阻=m-0
可得動車組克服阻力做的功為W克阻=4Pt-m，故D錯誤。
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8.(多選)(2021·遼寧卷·10)冰滑梯是東北地區體驗冰雪運動樂趣的設施之一。某冰滑梯的示意圖如圖所示，螺旋滑道的摩擦可忽略，傾斜滑道和水平滑道與同一滑板間的動摩擦因數μ相同，因滑板不同μ滿足μ0≤μ≤1.2μ0。在設計滑梯時，要確保所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，且滑行結束時停在水平滑道上，以下L1、L2的組合符合設計要求的是
A.L1=，L2= B.L1=，L2=
C.L1=，L2= D.L1=，L2=
√
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設傾斜滑道傾角為θ，游客在傾斜滑道上均減速下滑，則需滿足mgsin θ
<μmgcos θ
可得μ>tan θ=
即有L1>
因μ0≤μ≤1.2μ0，所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，
可得L1>
滑行結束時停在水平滑道上，對全程由動能定理有mg·2h-μmgcos θ·
-μmgx=0-0
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其中0L1<，L1+L2≥
代入μ0≤μ≤1.2μ0，可得
L1<，L1+L2≥
綜合需滿足
故選C、D。
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9.(多選)(2022·河北卷·9)如圖，輕質定滑輪固定在天花板上，物體P和Q用不可伸長的輕繩相連，懸掛在定滑輪上，質量mQ>mP，t=0時刻將兩物體由靜止釋放，物體Q的加速度大小為。T時刻輕繩突然斷開，物體P能夠達到的最高點恰與物體Q釋放位置處于同一高度，取t=0時刻物體P所在水平面為零勢能面，此時物體Q的機械能為E。重力加速度大小為g，不計摩擦和空氣阻力，兩物體均可視為質點。下列說法正確的是
A.物體P和Q的質量之比為1∶3
B.2T時刻物體Q的機械能為
C.2T時刻物體P重力的功率為
D.2T時刻物體P的速度大小為
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開始釋放時物體Q的加速度大小為，
則有mQg-FT=mQ·，FT-mPg=mP·，
解得FT=mQg，=，選項A錯誤；
在T時刻，兩物體的速度大小v1=，
P上升的距離h1=×T2=，
輕繩斷后P能上升的高度h2==，
則開始時P、Q豎直方向上的距離為h=h1+h2=，
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開始時P所處的水平面為零勢能面，則開始時Q的機
械能E=mQgh= ，
從開始到輕繩斷裂，輕繩的拉力對Q做負功，大小為WF=FTh1=，
則繩斷裂時物體Q的機械能E'=E-WF==，
此后物體Q的機械能守恒，則在2T時刻物體Q的機械能仍為，選項B正確；
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在2T時刻，物體P的速度v2=v1-gT=-，方向向下，此時物體P重力的瞬時功率
PG=mPg|v2|=·==，
選項C、D正確。
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10.(2021·浙江1月選考·20)如圖所示，豎直平面內由傾角α=60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細圓管軌道BCDE和圓周細圓管軌道EFG構成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直。軌道出口處G和圓心O2的連線，以及O2、E、O1和B等四點連成的直線與水平線間
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的夾角均為θ=30°，G點與豎直墻面的距離d=R。現將質量為m的小球從斜面的某高度h處靜止釋放。小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計小球大小和所受阻力。
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(1)若釋放處高度h=h0，當小球第一次運動到圓管最低點C時，求速度大小vC及在此過程中所受合力的沖量I的大小和方向；
答案　見解析
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從A到C，小球的機械能守恒，有
mgh0=m
可得vC=
根據動量定理得I=mvC=m
方向水平向左
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(2)求小球在圓管內與圓心O1點等高的D點所受彈力FN與h的關系式；
答案　見解析
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小球從A到D，由機械能守恒定律有
mg(h-R)=m
根據牛頓第二定律有FN=
聯立可得FN=2mg(-1)
滿足的條件h≥R
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(3)若小球釋放后能從原路返回到出發點，高度h應該滿足什么條件？
答案　見解析
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第1種情況：不滑離軌道原路返回，由機械能守恒定律可知，此時h需滿足的條件是h≤R+3Rsin θ=R
第2種情況：小球與墻面垂直碰撞后原路返回，
小球與墻面碰撞后，進入G前做平拋運動，則
vxt=vx=d，其中vx=vGsin θ，vy=vGcos θ
故有vGsin θ·=d
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可得vG=2
由機械能守恒定律有mg(h-R)=m
可得h=R。

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