資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第5章 一元一次方程
5.2.2.2解一元一次方程
學習目標與重難點
學習目標：
理解并掌握列一元一次方程解決實際問題的思路和方法。
能夠準確找出問題中的等量關系，設立未知數，列出方程并求解。
3.培養學生的邏輯思維能力和問題解決能力，激發學生對數學文化的興趣，拓寬數學視野。
學習重點：1.列一元一次方程解決實際問題的步驟和方法。
2.準確找出問題中的等量關系。
學習難點：1.如何將復雜的實際問題抽象為簡單的數學模型。
2.設立恰當的未知數，避免方程設立錯誤。
預習自測
一、知識鏈接
1.我國古代名著《九童算術》中有一問題:“今有鳧起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海、今鳧雁俱起，問何日相逢 "意思為:有只野鴨從南海起飛歷經7天到達北海，有只大雁從北海起飛歷經9天到達南海，如果野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經過多少天能相遇 假設經過x天相遇，則可列一元一次方程為____________
自學自測
2.甲、乙兩個旅行團共80人，甲團人數比乙團人數的2倍多5人。甲、乙兩個旅行團各有多少人 若設乙,旅行團的人數是x人，則可列一元一次方程為_____________(方程不需要化簡)
教學過程
一、創設情境、導入新課
教材第17頁——閱讀
丟番圖的墓志銘與方程
古希臘數學家丟番圖(Diophantus, 約246—330), 以研究一類方程(不定方程)著稱于世，在他的墓碑上，刻著這樣一段墓志銘：
墳中安葬著丟番圖，
多么令人驚訝，
這里忠實地記錄下他所經歷的道路.
上帝給予的童年占六分之一，
又過十二分之一，兩頰長胡，
再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭.
五年之后天賜貴子，
可憐遲到的寧馨兒，
享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。
悲傷只有用數論的研究去彌補，
又過四年，他也走完了人生的旅途.
試列出方程，算一算丟番圖去世時的年齡.
回答：
二、合作交流、新知探究
探究一：
教材第14頁
例6 如圖5.2.4，天平的兩個盤中分別盛有51g和45g鹽，問：應從A盤中拿出多少鹽放到B盤中，才能使天平平衡
分析 從A 盤中拿出一些鹽放到B盤中，使兩盤中所盛鹽的質量相等，于是有這樣的等量關系：
回答：
設：
可列出表：
A 盤 B盤
原有鹽/g ———— ————
現有鹽/g
解：
例7 新學期開學，學校團委組織八年級 65位新團員將教科書從倉庫搬到七年級新生教室. 女同學每人每次搬3 包，男同學每人每次搬4包. 每位同學搬了2 次，共搬了450包. 問：這些新團員中有多少位男同學
【讀題，找找看，題目告訴了我們哪些等量關系 】
分析 題目告訴了我們好幾個等量關系，其中有這樣的等量關系：
回答：
設：
表5.2.2
男同學 女同學 總數
搬書的人數 x ？
每人搬書的包數 ？
共搬書的包數 ？
解答：
【強調】列方程的關鍵就是尋找等量關系
探究二：
教材第16頁
某市的出租車計價規則如下：行程不超過3千米，收起步價8元；超過部分每千米路程收費了1.20元。某天李老師和三位學生去探望一位病假的學生，坐出租車付了17.60元，他們共乘坐了多少路程？
【強調】列一元一次方程解決實際問題，關鍵在于抓住問題中的等量關系，列出方程. 求得方程的解后，經過檢驗，得到實際問題的解答.
這一過程也可以簡單地表述為：
其中分析和抽象的過程通常包括：
(1) 弄清題意和其中的數量關系，用字母表示適當的未知數(設元)；
(2) 找出問題中所給出的等量關系，它反映了未知量與已知量之間的關系；
(3) 對這個等量關系中涉及的量，列出相關的代數式，根據等量關系，列出方程.
在設未知數和作出解答時，應注意量的單位.
探究三： 試一試
教材第16頁
解答下面兩個問題，注意比較這兩個問題中的數量關系：
(1) 小亮和老師一起整理了一篇教學材料，準備錄入成電子稿. 按篇幅估計，老師單獨錄入需4h完成，小亮單獨錄入需6h完成. 小亮先錄入了1h后，老師開始一起錄入，問：還需要多少小時完成
解答：
(2) 甲、乙兩車分別從相距360km的兩地相向開出，已知甲車的速度為60km/h, 乙車的速度為90km/h. 若甲車先開1h, 問: 乙車開出多少小時后兩車相遇
解答：
【強調】列一元一次方程解決實際問題時需要注意以下幾點：
1. 恰當地設未知數可以簡化運算；且單位要統一.
2. 題中的相等關系不一定只有一個，要根據具體情況選擇；
3. 求出方程的解后要檢驗，既要檢驗所求出的解是不是方程的解，又要檢驗所求出的解是否符合實際意義.
總結反思、拓展升華
列一元一次方程解答問題的步驟：
1.明確問題背景。理解題目描述的實際情境，是列方程的第一步。
找出等量關系：
2.確定等量關系。這是列方程的關鍵，需要根據題意找出未知數與已知數之間的關系。
3.設立未知數：
4.列出方程：建立方程。根據等量關系，列出包含未知數的等式。
5.解方程：
6.檢驗答案
五、【作業布置】
1.利用方程解答下列問題：
(1)x 的3 倍與2 的和等于x 的2 倍與1 的差，求x 的值；
(2)已知整式－3x+2 與2x－1 的值互為相反數，求x 的值.
2.《九章算術》的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系，全書收有246個與生產、生活實踐有聯系的應用問題，書中有這樣一個問題:“今有醇酒一斗，直錢五十;行酒一斗，直錢一十、今將錢三十，得酒二斗，問醇、行酒各得幾何 "意思是:今有醇酒(美酒)1斗，價格是50錢;行酒(普通酒)1斗，價格是10錢、現花30錢買了2斗酒，問醇酒，行酒各買得多少斗 若設買得醇酒x斗，則可列一元一次方程為( )
A.50x+10x=30x2 B.50(2-x)+10x=30
C.50x+10(2-x)=30x2 D.50x+10(2-x)=30
3.利用一元一次方程解應用題:如圖，
小剛將一個正方形紙片剪去一個寬為7cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為8cm的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么最終剩余的長方形紙片的面積為多少
4.某濕地公園舉行觀鳥節活動，其門票價格如下：
該公園共出售出1200張門票，得總票款20000元，問全價票和半價票各售出多少張？
半價票：20元/人
全價票：40元/人
【綜合拓展類作業】
5.第九屆亞洲冬季運動會于2025年在中國黑龍江省哈爾濱市舉行，而有著少數民族風格的“濱濱”妮妮“"吉祥物盲盒頗受大眾關注，現有工廠生產吉祥物的盲盒，分為A、B兩種包裝，該工廠共有1000名工人
(1)若該工廠生產盲盒4的人數比生產盲盒8的人數的2倍少200人，請求出生產盲盒8的工人人數;
(2)為了促銷，工廠按商家要求生產盲盒大禮包，該大禮包由2個盲盒,和3個盲盒8組成，已知每個工人平均每天可以生產20個盲盒/或10個盲盒B，目每天只能生產一種包裝的盲盒，該工廠應該安排多少名工人生產盲盒4，多少名工人生產盲盒B才能使每天生產的盲盒正好配套
【答案】
1. (+)x=1
【分析】題主要考查了一元一次方程的實際應用(相遇問題)，讀懂題意，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.把總路程看作單位“1”，從而可得野鴨與大雁每天的速度，即可列出方程,
【詳解】解:設經過x天相遇，則可列一元一次方程為(+)x=1
2.2x+5+x=80
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設乙旅行團的人數是x人，根據題意列出方程即可求解，根據題意找到等量關系是解題的關鍵
【詳解】解:設乙旅行團的人數是x人，
由題意得，2x+5+x=80，
課后作業：
1.解：(1)列方程，得3x+2=2x－1.
移項、合并同類項，得x=－3.
(2)根據題意，得－3x+2+2x－1=0. 移項，得－3x+2x=－2+1.
合并同類項，得－x=－1. 系數化為1，得x=1.
2.
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用--購買問題，解答本題的關鍵是熟練掌握“總價=單價x數量”
由買醇酒x斗，行酒(2-x)斗，醇酒價格是50錢，行酒價格是10錢，花30錢共買了2斗兩種酒，列出方程即可
【詳解】設買醇酒x斗，則買行酒(2-x)斗，
·醇酒價格是50錢;行酒價格是10錢:花30錢共買了2斗兩種酒，
.50x+10(2-x)=30.
故選:D.
3.
【答案】2352cm2
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，等量關系式:剪去一個寬為7cm的長條的面積=剪去一個寬為&cm的長條的面積，據此列方程，求出正方形的邊長，即可求解;找出等量關系式是解題的關鍵.
【詳解】解:設正方形的邊長為xcm，則有7x=8(x-7)，
去括號得：7x=8x-56
解得：x=56
則剩余的長方形紙片的長為:56-7=49(cm)
剩余的長方形紙片的寬為:56-8=48(cm)
最終剩余的長方形紙片的面積為:49x48=2352(cm2)
答:最終剩余的長方形紙片的面積為2352cm24.
4.
設全價票售出 x 張，半價票售出 y 張。
根據題目條件，我們可以建立以下等量關系：
門票總數量方程：x+y=1200
總票款方程：40x+20y=20000
首先，我們可以從第一個方程中解出 y：y=1200 x
然后，我們將這個表達式代入第二個方程中：
40x+20(1200 x)=20000
展開并化簡得：x=1000
最后，我們將 x=1000 代入第一個方程中求出 y：y=200
所以，全價票售出 1000 張，半價票售出 200 張。
【綜合拓展類作業】
5.【知識點】 配套問題(一元一次方程的應用) 解讀
【答案】(1)生產盲盒B的工人人數為400人
(2)該工廠應該安排250名工人生產4，750名工人生產B才能使每天生產的盲盒正好配套
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.
【詳解】(1)解:設生產B的人數為x人，則生產4的人數為(2x-200)人，
于是(2x-200)+x=1000
解得:x=400
答:生產盲盒B的工人人數為400人
(2)解:設安排m人生產4，則安排(1000-m)人生產B，
于是3x20m=2x10(1000-m)
解得:m=250
:1000-m=1000-250=750(人)
答:該工廠應該安排250名工人生產4，750名工人生產才能使每天生產的盒正好配套
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