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第五章 統(tǒng)計與概率 章末題型大總結
題型01統(tǒng)計的相關概念
【典例1】（24-25高一上·四川成都·開學考試）下列調查中，適合用普查的是（ ）
A．了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間 B．了解“嫦娥四號”衛(wèi)星零部件的質量
C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對廢電池的處理情況
【變式1】（23-24高一下·內蒙古通遼·階段練習）下列調查，比較適用普查而不適用抽樣調查方式的是（ ）
A．為了了解中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率
B．為了了解高一某班的每個學生星期六晚上的睡眠時間
C．為了了解夏季冷飲市場上冰淇淋的質量情況
D．為了考查一片實驗田某種水稻的穗長情況
【變式2】（23-24高一下·新疆伊犁·階段練習）為了解某中學高一年級800名學生的身高情況，抽查了其中100名學生的身高進行統(tǒng)計分析．下列敘述錯誤的是（ ）
A．以上調查屬于全面調查
B．每名學生的身高是總體的一個個體
C．100名學生的身高是總體的一個樣本
D．800名學生的身高是總體
【變式3】（23-24高一下·廣西河池·期末）某市市場監(jiān)管局為了了解飲料的質量，從該市區(qū)某超市在售的種飲料中抽取了種飲料，對其質量進行了檢查．在這個問題中，是（ ）
A．總體 B．個體 C．樣本 D．樣本量
題型02 抽樣方法
【典例1】（24-25高二上·安徽·階段練習）為實現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，某鄉(xiāng)政府采用分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調研，已知甲村和乙村的人數(shù)之比是10：9，被抽到的參與環(huán)保調研的村民中，甲村比乙村多7人，則參加調研的總人數(shù)是（ ）
A．133 B．170 C．70 D．63
【變式1】（24-25高一上·全國·課堂例題）下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（ ）
A．從10名同學中抽取3人參加座談會
B．紅星中學共有學生1800名，其中男生840名，防疫站對此校學生進行身體健康調查，抽取一個容量為200的樣本
C．從1000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間
D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質量
【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）①一次數(shù)學考試中，某班有12人的成績在100分以上，30人的成績在90～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關考試題目難度的情況；②運動會的工作人員為參加接力賽的6支隊伍安排跑道．針對這兩件事，恰當?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（ ）
A．分層抽樣，簡單隨機抽樣 B．簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣
C．簡單隨機抽樣，分層抽樣 D．分層抽樣，分層抽樣
【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·階段練習）某工廠用簡單隨機抽樣中的隨機數(shù)法對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣，先將700個零件進行編號，.從中抽取70個樣本，下圖是利用軟件生成的隨機數(shù)，只需隨機選定一個初始位置和方向開始讀數(shù)，每次讀取一個3位數(shù)，只要讀取的號碼落在編號范圍內，該號碼就是所抽到的樣本編號，這樣即可獲得70個樣本的編號，注意樣本號碼不能重復.若從表中第2行第6列的數(shù)2開始向右讀取數(shù)據(jù)，取到的第一個樣本編號是253，則得到的第6個樣本編號是（ ）
A．007 B．328 C．253 D．623
【變式4】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）某校高一年級有810名學生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為40，32，則該校高一年級的女生人數(shù)為（ ）.
A．470 B．380 C．400 D．320
題型02數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與數(shù)據(jù)的直觀表示
【典例2】（23-24高一下·四川樂山·期末）（多選）小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是（ ）
A．娛樂開支比通信開支多5元
B．日常開支比食品中的肉類開支多100元
C．娛樂開支金額為100元
D．肉類開支占儲蓄開支的
【變式1】（24-25高一上·廣西南寧·期中）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗升汽油行駛的里程．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（ ）
A．消耗升汽油，乙車最多可行駛千米
B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
C．甲車以千米小時的速度行駛小時，消耗10升汽油
D．某段道路機動車最高限速40千米小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
【變式2】（23-24高一下·重慶巫山·期末）（多選）某學校對高一學生選科情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（ ）
A．該校高一學生總數(shù)為
B．該校高一學生中選考物化政組合的人數(shù)為
C．該校高一學生中選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多
D．用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取人，則生史地組合抽取人
【變式3】（多選）甲、乙兩個跑步愛好者利用微信運動記錄了去年下半年每個月的跑步里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結論中正確的是（ ）
A．甲跑步里程的極差等于110
B．乙跑步里程的中位數(shù)是270
C．分別記甲、乙下半年每月跑步里程的平均數(shù)為，，則
D．分別記甲乙下半年每月跑步里程的標準差為，，則
題型04用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
【典例4】（24-25高二上·四川成都·期中）2024年度最具幸福感城市調查推選活動于9月16日正式啟動，在100個地級及以上的候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標，常用區(qū)間內的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，現(xiàn)隨機抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，則下列說法錯誤的是（ ）
A．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為7.5 B．該組數(shù)據(jù)的極差為5
C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5 D．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7
【變式1】（24-25高二上·山東青島·期中）為了了解某班學生數(shù)學成績，利用分層隨機抽樣抽取了一個10人的樣本，統(tǒng)計如下表：則可估計全班學生數(shù)學的平均分和方差分別為（ ）
學生數(shù) 平均分 方差
男生 6 80 4
女生 4 75 2
A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11
【變式2】（24-25高二上·云南迪慶·期中）已知樣本數(shù)據(jù)90，100，95，110，105，則（ ）
A．極差為20 B．平均數(shù)為103 C．方差為70 D．分位數(shù)為97
【變式3】（23-24高一下·內蒙古·期末）（多選）已知甲組數(shù)據(jù)為4，3，2，乙組數(shù)據(jù)為6，7，8，將甲、乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（ ）
A．丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5
B．甲組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是2
C．甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差
D．甲組數(shù)據(jù)的極差等于乙組數(shù)據(jù)的極差
【變式4】（24-25高二上·浙江·期中）（多選）從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進行適當分組后每組為左閉右開的區(qū)間，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項正確的有（ ）
A． B．本組樣本的眾數(shù)為270
C．本組樣本的第45百分位數(shù)是300 D．用電量落在區(qū)間內的戶數(shù)為82
題型05用樣本的分布估計總體的分布
【典例5】某市甲、乙兩個監(jiān)測站在10日內分別對空氣中某污染物實施監(jiān)測，統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：g/m3）如圖所示，以下說法正確的是（ ）
A．這10日內任何一天甲監(jiān)測站的大氣環(huán)境質量均好于乙監(jiān)測站
B．這10日內甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的中位數(shù)小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的中位數(shù)
C．這10日內乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值是167
D．這10日內甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的平均值小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的平均值
【變式1】（23-24高二下·上海·期中）（多選）從某個品種的小麥中隨機選取14株，測量麥穗長度（單位：），所得的樣本數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，據(jù)此可估計該品種小麥麥穗長度情況，那么下列說法錯誤的是（ ）
A．小麥麥穗長度的極差是3.9 B．小麥麥穗長度的中位數(shù)等于眾數(shù)
C．小麥麥穗長度的中位數(shù)小于平均數(shù) D．小麥麥穗長度的第75百分位數(shù)是10.6
【變式2】（24-25高二上·湖北·階段練習）某校組織70名學生參加慶祝中華人民共和國不成立75周年知識競賽，經(jīng)統(tǒng)計這70名學生的成績都在區(qū)間內，按分數(shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結論錯誤的是（ ）
A．成績在上的人數(shù)最少
B．成績不低于80分的學生所占比例為
C．70名學生成績的極差為70
D．70名學生成績的平均分小于中位數(shù)
【變式3】（23-24高一下·湖北咸寧·期末）（多選）某高中舉行的數(shù)學史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（ ）
A．考生參賽成績的平均分約為72.8分
B．考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分
C．分數(shù)在區(qū)間內的頻率為0.2
D．用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應抽取30人
題型05互斥事件與對立事件
【典例5】（23-24高二上·河南·階段練習）現(xiàn)有8張卡片，有3張分別印有“一等獎”，“二等獎”，“三等獎”，其余5張印有“謝謝惠顧”．甲從中任選1張，設事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲獲得二等獎”，事件D表示“甲獲得三等獎”，事件E表示“甲中獎”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件A和事件E是對立事件 B．事件B和事件C是互斥事件
C． D．
【變式1】（23-24高一下·西藏拉薩·期末）從裝有3只紅球，3只白球的袋中任意取出3只球，則下列每對事件，是互斥事件，但不是對立事件的是（ ）
A．“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”
B．“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”
C．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”
D．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”
【變式2】（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，事件“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”，則以下選項正確的是（ ）
A．B與D互斥
B．A與D互為對立事件
C．
D．
【變式3】（23-24高一下·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知事件兩兩互斥，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高一下·山東棗莊·期末）一個盒子中裝有6個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個綠球，1個黃球.若從中任取2個小球，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．恰有一個紅球的概率為
B．兩個球都是紅球的概率為
C．“有黃球”和“兩個都是紅球”互斥
D．“至少有一個綠球”和“至多有一個綠球”互為對立
題型06事件的獨立性
【典例6】（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學考試）將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點數(shù)大于2，則（ ）
A． B．
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）（多選）已知事件，滿足：，，則（ ）.
A．若，互斥，則
B．若，互斥，則
C．若，互相獨立，則
D．若，互相獨立，則
【變式2】（23-24高一下·廣東湛江·期末）（多選）今年“五一”假期，各大商業(yè)綜合體、超市等紛紛抓住節(jié)日商機，積極開展各類促銷活動．在某超市購買80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎活動，若顧客小王中獎的概率為0.4，顧客小張中獎的概率為0.2，則（ ）
A．小王和小張都中獎的概率為0.1 B．小王和小張都沒有中獎的概率為0.46
C．小王和小張中只有一個人中獎的概率為0.44 D．小王和小張中至多有一個人中獎的概率為0.92
【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）（多選）分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“兩枚硬幣朝上的面相同”，事件“兩枚硬幣朝上的面不同”，則（ ）
A． B．B與C互斥
C．C與D互為對立 D．A與C相互獨立
題型07古典概型
【典例7】（23-24高一下·甘肅白銀·期末）（多選）先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，則下列事件發(fā)生的概率為的是（ ）
A． B．
C． D．方程有實數(shù)解
【變式1】（23-24高一下·陜西寶雞·期末）（多選）某年級有12個班，現(xiàn)要從2班到12班中選1個班的學生參加一項活動，有人提議：擲兩個骰子，把得到的點數(shù)之和是幾就選幾班，針對這種選法下面說法不正確的有（ ）
A．公平，每個班被選到的概率都為
B．公平，每個班被選到的概率都為
C．不公平，6班被選到的概率最大
D．不公平，7班被選到的概率最大
【變式2】（23-24高一下·山東臨沂·期末）（多選）不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個黑球、3個白球，現(xiàn)從盒子里隨機取出2個小球，記事件“取出的兩個球是一個黑球、一個白球”，事件“兩個球中至多一個黑球”，事件“兩個球均為白球”，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中不放回地任取兩個數(shù)，則兩個數(shù)都是奇數(shù)的概率是 .
【變式4】（23-24高一下·陜西西安·期末）我國古代十進制數(shù)的算籌記數(shù)法是世界數(shù)學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌一般為小圓棍，算籌計數(shù)法的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空．縱式和橫式對應數(shù)字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“—”，62記為“”．現(xiàn)從由4根算籌表示的兩位數(shù)中任取一個數(shù)，則取到的數(shù)字為質數(shù)的概率為 ．
題型08頻率與概率的關系
【典例8】（24-25高二上·湖北武漢·階段練習）在一次拋硬幣的試驗中，同學甲用一枚質地均勻的硬幣做了次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為
【變式1】（24-25高一上·廣西崇左·開學考試）下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗的結果．
種子個數(shù)n 100 400 900 1700 2700 4000
發(fā)芽種子個數(shù)m 92 352 818 1336 2251 3801
發(fā)芽種子頻率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計該植物的種子發(fā)芽的概率為 （精確到0.1）．
【變式2】（24-25高一上·江西撫州·開學考試）一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個紅球，3個白球，若干個綠球，每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中約有綠球 個.
【變式3】（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如表所示．
賠付金額/元 0 1000 2000 3000 4700
車輛數(shù)/輛 800 80 110 120 90
若每輛車的投保金額均為2700元，估計賠付金額大于投保金額的概率為 ；在樣本車輛中，車主是新司機的占15%，在賠付金額為4700元的樣本車輛中，車主是新司機的占30%，估計在已投保的新司機中，獲賠金額為4700元的概率為 ．
題型09概率與統(tǒng)計的綜合問題
【典例9】（24-25高二上·四川綿陽·期中）單項選擇與多項選擇題是數(shù)學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A，B，C，D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中有兩個或三個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得6分，部分選對的得部分分（兩個答案的每個答案3分，三個答案的每個答案2分），有選錯的得0分.
(1)考生甲有一道單項選擇題不會做，他隨機選擇一個選項，求他猜對本題得5分的概率；
(2)考生乙有一道答案為ABD多項選擇題不會做，他隨機選擇兩個或三個選項，求他猜對本題得4分的概率；
(3)現(xiàn)有2道兩個正確答案的多項選擇題，根據(jù)訓練經(jīng)驗，每道題考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.
【變式1】（24-25高二上·云南·期中）某社團為統(tǒng)計居民運動時長，調查了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為，，，，，六個小組（所調查的居民平均每天的運動時長均在內），得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出圖中m的值，并估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)；
(2)按分組用分層隨機抽樣的方法從平均每天運動時長在，這兩個時間段內的居民中抽出6人分享運動心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.
【變式2】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）袋子中有6個大小質地完全相同的小球，其中紅球有2個，編號分別為1，2；白球有個，編號分別為，不放回地隨機摸出兩個球.
(1)寫出實驗的樣本空間；
(2)記事件為“摸出的兩個球中有紅球”，求事件A發(fā)生的概率；
(3)記事件為“摸出的兩個球全是白球”，事件為“摸出的兩個球的編號之和為偶數(shù)”，求和，判斷事件是否相互獨立.
【變式3】（23-24高一下·甘肅甘南·期末）為進一步加強高層住宅小區(qū)消防安全管理，有效保障高層建筑消防安全及設施完好有效，督促物業(yè)服務單位落實消防安全責任，全面提升小區(qū)火災抗御能力，南京某消防救援大隊對轄區(qū)內一小區(qū)進行消防安全檢查并對物業(yè)人員進行消防安全知識考核競賽，規(guī)則如下：在初賽中有兩輪答題：第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得20分，否則得0分；第二輪從B類的4個問題中任選兩題依次作答，每答對一題得20分，答錯得0分．若兩輪總得分不低于40分，則晉級復賽．甲和乙同時參賽，已知在A類的5個問題中，甲只能答對4個問題，在B類的4個問題中，甲答對的概率都為0.4；乙答對每個問題的概率都為0.6．甲、乙回答任一問題正確與否互不影響．
(1)求甲在第一輪比賽中得0分的概率；
(2)以晉級復賽的概率大小為依據(jù)，甲和乙誰更容易晉級復賽？
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題型01統(tǒng)計的相關概念
【典例1】（24-25高一上·四川成都·開學考試）下列調查中，適合用普查的是（ ）
A．了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間 B．了解“嫦娥四號”衛(wèi)星零部件的質量
C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對廢電池的處理情況
【答案】C
【分析】由普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果沒有普查準確，但相對節(jié)約人力，物力和時間．
【詳解】A、了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間，適合抽樣調查，故此選項錯誤；
B、了解“嫦娥三號”衛(wèi)星零部件的狀況，適合用普查，符合題意；
C、華為公司一批某型號手機電池的使用壽命，適合抽樣調查，故此選項錯誤；
D、了解某市居民對廢電池的處理情況，適合抽樣調查，故此選項錯誤；
．
【變式1】（23-24高一下·內蒙古通遼·階段練習）下列調查，比較適用普查而不適用抽樣調查方式的是（ ）
A．為了了解中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率
B．為了了解高一某班的每個學生星期六晚上的睡眠時間
C．為了了解夏季冷飲市場上冰淇淋的質量情況
D．為了考查一片實驗田某種水稻的穗長情況
【答案】C
【分析】根據(jù)普查和抽樣調查的適用特征即可結合選項逐一求解.
【詳解】A選項中做普查時數(shù)量太大，且該調查對調查結果準確性的要求不高，適合采用抽樣調查的方式；
B選項中班級人數(shù)有限，比較容易調查，因而適合普查；
C選項中數(shù)量大并且時間長，不適合普查；
D選項中普查時數(shù)量太大，要費太大的人力物力，得不償失，不適合普查．
故選:B.
【變式2】（23-24高一下·新疆伊犁·階段練習）為了解某中學高一年級800名學生的身高情況，抽查了其中100名學生的身高進行統(tǒng)計分析．下列敘述錯誤的是（ ）
A．以上調查屬于全面調查
B．每名學生的身高是總體的一個個體
C．100名學生的身高是總體的一個樣本
D．800名學生的身高是總體
【答案】A
【分析】總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目．我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考查的對象．從而找出總體、個體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．
【詳解】A．以上調查屬于抽樣調查，故符合題意；
B．每名學生的身高情況是總體的一個個體，故不符合題意；
C．100名學生的身高是總體的一個樣本，故不符合題意；
D．800名學生的身高情況是總體，故不符合題意；
．
【變式3】（23-24高一下·廣西河池·期末）某市市場監(jiān)管局為了了解飲料的質量，從該市區(qū)某超市在售的種飲料中抽取了種飲料，對其質量進行了檢查．在這個問題中，是（ ）
A．總體 B．個體 C．樣本 D．樣本量
【答案】A
【分析】根據(jù)隨機抽樣概念求解即可.
【詳解】總體：我們把與所研究問題有關的全體對象稱為總體；
個體：把組成總體的每個對象稱為個體；
樣本：從總體中，抽取的一部分個體組成了一個樣本；
樣本量：樣本中個體的個數(shù)叫樣本量，其不帶單位；
在售的70種飲料中抽取了30種飲料，對其質量進行了檢查，
在這個問題中，70種飲料是總體，每一種飲料是個體，30種飲料是樣本，30是樣本量．
．
題型02 抽樣方法
【典例1】（24-25高二上·安徽·階段練習）為實現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，某鄉(xiāng)政府采用分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調研，已知甲村和乙村的人數(shù)之比是10：9，被抽到的參與環(huán)保調研的村民中，甲村比乙村多7人，則參加調研的總人數(shù)是（ ）
A．133 B．170 C．70 D．63
【答案】A
【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.
【詳解】已知甲村和乙村的人數(shù)之比是10：9，根據(jù)分層抽樣，可設甲村被抽取參與調研的村民有10a人，
則乙村被抽取參與調研的村民有9a人，則，解得.
所以參加調研的總人數(shù)為.
【變式1】（24-25高一上·全國·課堂例題）下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（ ）
A．從10名同學中抽取3人參加座談會
B．紅星中學共有學生1800名，其中男生840名，防疫站對此校學生進行身體健康調查，抽取一個容量為200的樣本
C．從1000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間
D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質量
【答案】C
【分析】由分層抽樣的定義對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】A中總體所含個體無差異且個數(shù)較少，適合用簡單隨機抽樣；
C和D中總體所含個體無差異且個數(shù)較多，不適合分層抽樣；
B中總體所含個體差異明顯，適合用分層抽樣．
.
【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）①一次數(shù)學考試中，某班有12人的成績在100分以上，30人的成績在90～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關考試題目難度的情況；②運動會的工作人員為參加接力賽的6支隊伍安排跑道．針對這兩件事，恰當?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（ ）
A．分層抽樣，簡單隨機抽樣 B．簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣
C．簡單隨機抽樣，分層抽樣 D．分層抽樣，分層抽樣
【答案】A
【分析】根據(jù)分層抽樣和簡單隨機抽樣的特點判斷即可.
【詳解】對于①：考試成績在不同分數(shù)段之間的同學有明顯的差異，用分層隨機抽樣比較恰當；
對于②：總體包含的個體較少，用簡單隨機抽樣比較恰當．
【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·階段練習）某工廠用簡單隨機抽樣中的隨機數(shù)法對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣，先將700個零件進行編號，.從中抽取70個樣本，下圖是利用軟件生成的隨機數(shù)，只需隨機選定一個初始位置和方向開始讀數(shù)，每次讀取一個3位數(shù)，只要讀取的號碼落在編號范圍內，該號碼就是所抽到的樣本編號，這樣即可獲得70個樣本的編號，注意樣本號碼不能重復.若從表中第2行第6列的數(shù)2開始向右讀取數(shù)據(jù)，取到的第一個樣本編號是253，則得到的第6個樣本編號是（ ）
A．007 B．328 C．253 D．623
【答案】A
【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣規(guī)則列舉出前幾個，即可得解.
【詳解】依題意可得抽取的樣本編號依次為：，，，，，，，
所以第個樣本編號是.
【變式4】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）某校高一年級有810名學生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為40，32，則該校高一年級的女生人數(shù)為（ ）.
A．470 B．380 C．400 D．320
【答案】C
【分析】根據(jù)分層抽樣定義計算即可.
【詳解】由分層抽樣可得高一年級的女生人數(shù)為.
.
題型02數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與數(shù)據(jù)的直觀表示
【典例2】（23-24高一下·四川樂山·期末）（多選）小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是（ ）
A．娛樂開支比通信開支多5元
B．日常開支比食品中的肉類開支多100元
C．娛樂開支金額為100元
D．肉類開支占儲蓄開支的
【答案】CCD
【分析】先由圖2計算出食品的開支，再由圖1計算出總開支，從而對選項逐一分析即可得解.
【詳解】對于C，由圖2可知食品的開支為元，
由圖1可知食品開支為，所以總開支為元，
則娛樂開支為元，故C正確；
對于A，通信開支為元，娛樂開支比通信開支多元，故A錯誤；
對于B，日常開支為元，肉類為元，
日常開支比肉類開支多元，故B正確；
對于D，儲蓄開支為元，肉類開支占儲蓄開支的，故D正確.
CD.
【變式1】（24-25高一上·廣西南寧·期中）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗升汽油行駛的里程．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（ ）
A．消耗升汽油，乙車最多可行駛千米
B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
C．甲車以千米小時的速度行駛小時，消耗10升汽油
D．某段道路機動車最高限速40千米小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
【答案】A
【分析】根據(jù)汽車的“燃油效率”的定義結合圖象依次判斷各個選項即可；
【詳解】對于A，由圖象可知當速度大于時，乙車的燃油效率大于，
當速度大于時，消耗升汽油，乙車的行駛距離大于，故A錯誤；
對于，由圖象可知當速度相同時，甲車的燃油效率最高，
即當速度相同時，消耗升汽油，甲車的行駛路程最遠，
以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯誤；
對于，當速度為時，甲車的燃油效率為，即甲車行駛時，耗油升，
故甲車行駛小時，路程為，耗油為升，故 C錯誤；
對于，當速度小于時，丙車燃油效率大于乙車的燃油效率，
用丙車比用乙車更省油，故D正確.
【變式2】（23-24高一下·重慶巫山·期末）（多選）某學校對高一學生選科情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（ ）
A．該校高一學生總數(shù)為
B．該校高一學生中選考物化政組合的人數(shù)為
C．該校高一學生中選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多
D．用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取人，則生史地組合抽取人
【答案】ACD
【分析】根據(jù)政史地的人數(shù)和占比求出高一學生總數(shù)判斷A，根據(jù)選考物化地和物化政組合
的人數(shù)相等和圖表中的信息求出各選科的人數(shù)判斷BC，利用分層抽樣的特點判斷D.
【詳解】由扇形圖和條形圖可知，選政史地的人數(shù)為人，占比，
所以該校高一學生總數(shù)為人，A說法正確；
由扇形圖可知選擇物化生的人數(shù)為人，
所以選擇物化地和物化政的人數(shù)為人，
又因為選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，
所以選考物化地和物化政組合的人數(shù)均為人，B說法錯誤；
該校高一學生中選考物理的人數(shù)有人，選考歷史的人數(shù)有人，
選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多，C說法正確；
因為選考生史地的學生人數(shù)占比為，
所以用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取人，則生史地組合抽取人，D說法正確；
CD
【變式3】（多選）甲、乙兩個跑步愛好者利用微信運動記錄了去年下半年每個月的跑步里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結論中正確的是（ ）
A．甲跑步里程的極差等于110
B．乙跑步里程的中位數(shù)是270
C．分別記甲、乙下半年每月跑步里程的平均數(shù)為，，則
D．分別記甲乙下半年每月跑步里程的標準差為，，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對于A，甲跑步里程的極差為，A正確；
對于B，乙跑步里程的中位數(shù)為，B錯誤；
對于C，甲跑步里程的平均數(shù)，
乙跑步里程的平均數(shù)，，C錯誤；
對于D，根據(jù)折線圖知，甲的波動大，乙的波動小，，D正確.
D
題型04用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
【典例4】（24-25高二上·四川成都·期中）2024年度最具幸福感城市調查推選活動于9月16日正式啟動，在100個地級及以上的候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標，常用區(qū)間內的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，現(xiàn)隨機抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，則下列說法錯誤的是（ ）
A．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為7.5 B．該組數(shù)據(jù)的極差為5
C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5 D．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7
【答案】D
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算即可判斷A，根據(jù)極差的定義即可求解B，根據(jù)平均數(shù)的計算即可求解C，根據(jù)中位數(shù)的計算即可求解D.
【詳解】A選項：，因此該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故A正確；
B選項：該組數(shù)據(jù)最大為9，最小為4，因此極差為，故B正確；
C選項：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯誤；
D選項：該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第五個和第六個數(shù)據(jù)的平均值7，故D正確，
.
【變式1】（24-25高二上·山東青島·期中）為了了解某班學生數(shù)學成績，利用分層隨機抽樣抽取了一個10人的樣本，統(tǒng)計如下表：則可估計全班學生數(shù)學的平均分和方差分別為（ ）
學生數(shù) 平均分 方差
男生 6 80 4
女生 4 75 2
A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11
【答案】D
【分析】由平均數(shù)及方差計算公式即可求解.
【詳解】由均值和方差公式直接計算.
可估計全班學生數(shù)學的平均分為，方差為.
.
【變式2】（24-25高二上·云南迪慶·期中）已知樣本數(shù)據(jù)90，100，95，110，105，則（ ）
A．極差為20 B．平均數(shù)為103 C．方差為70 D．分位數(shù)為97
【答案】AC
【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的極差，平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的定義依次求解即可.
【詳解】由題意可得樣本數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；
平均數(shù)為，故B錯誤；
方差為，故C正確；
將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為90，95，100，105，110，因為，所以分位數(shù)為，故D錯.
C
【變式3】（23-24高一下·內蒙古·期末）（多選）已知甲組數(shù)據(jù)為4，3，2，乙組數(shù)據(jù)為6，7，8，將甲、乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（ ）
A．丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5
B．甲組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是2
C．甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差
D．甲組數(shù)據(jù)的極差等于乙組數(shù)據(jù)的極差
【答案】ACD
【分析】根據(jù)中位數(shù)，百分位數(shù)，方差以及極差的計算和定義即可結合選項逐一求解.
【詳解】將丙組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，6，7，8，可得丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確.
將甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，因為，所以甲組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是4，B錯誤.
甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差等于，
乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差等于，故方差相等，C正確.
甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，D正確.
CD
【變式4】（24-25高二上·浙江·期中）（多選）從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進行適當分組后每組為左閉右開的區(qū)間，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項正確的有（ ）
A． B．本組樣本的眾數(shù)為270
C．本組樣本的第45百分位數(shù)是300 D．用電量落在區(qū)間內的戶數(shù)為82
【答案】ACD
【分析】由頻率分布直方圖中矩形面積之和為1計算可得A正確；根據(jù)眾數(shù)以及百分位數(shù)定義計算可得B錯誤，C正確；由頻率估計對應頻數(shù)計算可得D正確.
【詳解】對于A，因為，
解得，故A正確；
對于B，樣本的眾數(shù)位于內，但不一定是270，故B錯誤；
對于C，前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，
故第45百分位數(shù)位于內，設其為，
則，解得，故C正確；
對于D，的頻率為，
故用電量落在區(qū)間內的戶數(shù)為，故D正確.
CD
題型05用樣本的分布估計總體的分布
【典例5】某市甲、乙兩個監(jiān)測站在10日內分別對空氣中某污染物實施監(jiān)測，統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：g/m3）如圖所示，以下說法正確的是（ ）
A．這10日內任何一天甲監(jiān)測站的大氣環(huán)境質量均好于乙監(jiān)測站
B．這10日內甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的中位數(shù)小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的中位數(shù)
C．這10日內乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值是167
D．這10日內甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的平均值小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的平均值
【答案】D
【分析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)逐個判斷各個選項即可.
【詳解】由莖葉圖易知A錯誤；
甲監(jiān)測站污染物濃度的中位數(shù)是，乙監(jiān)測站污染物濃度的中位數(shù)是167，B錯誤；
這10日內乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值，即眾數(shù)是167，C正確；
甲監(jiān)測站該污染物濃度的平均值
，，D錯誤;
故選:C．
【變式1】（23-24高二下·上海·期中）（多選）從某個品種的小麥中隨機選取14株，測量麥穗長度（單位：），所得的樣本數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，據(jù)此可估計該品種小麥麥穗長度情況，那么下列說法錯誤的是（ ）
A．小麥麥穗長度的極差是3.9 B．小麥麥穗長度的中位數(shù)等于眾數(shù)
C．小麥麥穗長度的中位數(shù)小于平均數(shù) D．小麥麥穗長度的第75百分位數(shù)是10.6
【答案】ACD
【分析】根據(jù)莖葉圖可得這14組數(shù)據(jù)，然后求極差，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)即可求解.
【詳解】由題可知最大的數(shù)是11.7，最小的數(shù)是7.8，故極差為3.9，A正確；
中位數(shù)為：；眾數(shù)為：9.7；
平均數(shù)為：
，
，故第75百分位數(shù)為：10.6，
由以上數(shù)據(jù)可知：ACD正確，
CD.
【變式2】（24-25高二上·湖北·階段練習）某校組織70名學生參加慶祝中華人民共和國不成立75周年知識競賽，經(jīng)統(tǒng)計這70名學生的成績都在區(qū)間內，按分數(shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結論錯誤的是（ ）
A．成績在上的人數(shù)最少
B．成績不低于80分的學生所占比例為
C．70名學生成績的極差為70
D．70名學生成績的平均分小于中位數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出的頻率，再結合各組頻率及統(tǒng)計的相關概念逐項判斷.
【詳解】設這一組的頻率為，則由各組頻率之和為1，
得，解得，
各組頻率依次為：，
對于A，這一組頻率最小，即成績在上的人數(shù)最少，A正確；
對于B，成績不低于80分的學生頻率為，成績不低于80分的學生所占比例為，B正確；
對于C，極差為數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，而70名學生的成績都在區(qū)間內，
但成績的最大值不一定是100，最小值也不一定是，則極差小于等于，但不一定等于70，C錯誤；
對于D，根據(jù)頻率分布直方圖，得70名學生成績的平均數(shù)是
，而70名學生成績的中位數(shù)為80，
因此70名學生成績的平均分小于中位數(shù)，D正確.
【變式3】（23-24高一下·湖北咸寧·期末）（多選）某高中舉行的數(shù)學史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（ ）
A．考生參賽成績的平均分約為72.8分
B．考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分
C．分數(shù)在區(qū)間內的頻率為0.2
D．用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應抽取30人
【答案】CC
【分析】對A，確定每組數(shù)據(jù)中間值，以及每組數(shù)據(jù)的頻率代入到求平均數(shù)的公式即可求得；對B，第75百分位數(shù)得到位于內，代入公式可計算第75百分位數(shù)值；對C，分數(shù)在區(qū)間內的頻率為0.2可判斷；對D，用分層隨機抽樣可得區(qū)間應抽取80人，即得到答案.
【詳解】對A，平均成績
為，故A錯誤；
對B，由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于內，
則第75百分位數(shù)為，故B正確；
對C，分數(shù)在區(qū)間內的頻率為，故C正確；
對D，區(qū)間應抽取人，故D錯誤.
C
題型05互斥事件與對立事件
【典例5】（23-24高二上·河南·階段練習）現(xiàn)有8張卡片，有3張分別印有“一等獎”，“二等獎”，“三等獎”，其余5張印有“謝謝惠顧”．甲從中任選1張，設事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲獲得二等獎”，事件D表示“甲獲得三等獎”，事件E表示“甲中獎”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件A和事件E是對立事件 B．事件B和事件C是互斥事件
C． D．
【答案】ABC
【分析】用1,2.3分別表示印有“一等獎”，“二等獎”，“三等獎”的三張卡片；用表示印有“謝謝惠顧”的五張卡片，寫出樣本空間，及事件，根據(jù)對立事件的定義驗證選項A；根據(jù)互斥事件的定義驗證選項B；根據(jù)并、交事件的定義寫出事件，，再根據(jù)古典概型的概率公式檢驗選項C，D即可.
【詳解】用1,2.3分別表示印有“一等獎”，“二等獎”，“三等獎”的三張卡片；用表示印有“謝謝惠顧”的五張卡片，則樣本空間為，
由題意知，
因為，所以事件A和事件E是對立事件，故選項A正確；
因為，所以事件B和事件C是互斥事件，故選項B正確；
因為，所以，故選項C正確；
因為，所以，所以，故選項D錯誤；
BC.
【變式1】（23-24高一下·西藏拉薩·期末）從裝有3只紅球，3只白球的袋中任意取出3只球，則下列每對事件，是互斥事件，但不是對立事件的是（ ）
A．“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”
B．“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”
C．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”
D．“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”
【答案】AB
【分析】對于A，判斷兩個事件是否可以同時發(fā)生，從而判斷是否為互斥事件，接下來判斷是否為對立事件；對于BCD，利用與A相同的方法進行分析，從而解答題目.
【詳解】從袋中任意取出3個球，可能的情況有：“3個紅球”“2個紅球、1個白球”“1個紅球、2個白球”“3個白球”.
對于A：“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，
但有可能兩個都不發(fā)生，故不是對立事件，故A正確；
對于B：“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，
但有可能同時不發(fā)生，故不是對立事件，故B正確；
對于C：“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，
其中必有一事件發(fā)生，故是對立事件，故C錯誤；
對于D：“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同事發(fā)生，
故不是互斥事件，不可能是對立事件，故D錯誤.
B.
【變式2】（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，事件“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”，則以下選項正確的是（ ）
A．B與D互斥
B．A與D互為對立事件
C．
D．
【答案】ABD
【分析】寫出以及樣本空間所包含的基本事件，逐一判斷各個選項即可.
【詳解】由題意，樣本空間為，
對于A，，這意味著不可能同時發(fā)生，故A正確；
對于B，，這意味著中有且僅有一個事情發(fā)生，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，因為，所以，故D正確.
BD.
【變式3】（23-24高一下·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知事件兩兩互斥，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式計算可得.
【詳解】因為事件兩兩互斥，所以，故D正確；
，則，故A正確；
，則，故B錯誤；
，故C正確.
CD
【變式4】（23-24高一下·山東棗莊·期末）一個盒子中裝有6個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個綠球，1個黃球.若從中任取2個小球，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．恰有一個紅球的概率為
B．兩個球都是紅球的概率為
C．“有黃球”和“兩個都是紅球”互斥
D．“至少有一個綠球”和“至多有一個綠球”互為對立
【答案】ABD
【分析】根據(jù)古典概型，分別計算樣本空間和事件空間，可得相應概率，判斷A、B，再根據(jù)互斥事件和對立事件定義判斷C、D，可得答案.
【詳解】從6個球中任取2個球共有種取法，
設三個紅球記為1，2，3，兩個綠球記為，，一個黃球記為，
記事件A為恰有一個紅球，
，
即恰有一個紅球共18種取法，所以，故A錯誤；
記事件B為兩個球都是紅球，則，
所以，故B錯誤；
記事件為有黃球，表示2個球中至少有1個是黃球，
而兩個球都是紅球，不可能包含黃球，即C和B不可能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；
記事件為至少有一個綠球，則D包含恰有1個綠球， 記事件為至多一個綠球， 則E也包含恰有1個綠球，
所以，所以“至少一個綠球”和“至多一個綠球”不是對立事件，故D錯誤.
BD．
題型06事件的獨立性
【典例6】（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學考試）將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點數(shù)大于2，則（ ）
A． B．
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】ABD
【分析】先利用分步乘法計數(shù)原理求出基本事件數(shù)，再求出符合條件的事件數(shù)，進而求解概率判斷A，B，利用獨立事件的乘法公式判斷C，D即可.
【詳解】由分步乘法計數(shù)原理得基本事件的總數(shù)為個，
事件包含的基本事件為，
，共18個，
所以，
事件包含的基本事件為，共9個，
所以，故A正確;
事件包含的基本事件為，
，
，共有24個，
所以，故B正確，
而包含的基本事件為共有9個，
所以，而，故，
所以與不是相互獨立事件，故C錯誤;
而包含的基本事件為，共有6個，
所以，而，故，
所以與是相互獨立事件，故D正確.
BD.
【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）（多選）已知事件，滿足：，，則（ ）.
A．若，互斥，則
B．若，互斥，則
C．若，互相獨立，則
D．若，互相獨立，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)概率加法公式判斷A，根據(jù)互斥事件定義判斷B，根據(jù)獨立事件概率乘法公式判斷D，根據(jù)概率加法公式判斷C.
【詳解】當，互斥時，，
又，，
所以，A正確；
當，互斥時，事件，不可能同時發(fā)生，
所以，B錯誤；
當，互相獨立，則，
又，，
所以，D正確；
當，互相獨立時，，C錯誤.
D.
【變式2】（23-24高一下·廣東湛江·期末）（多選）今年“五一”假期，各大商業(yè)綜合體、超市等紛紛抓住節(jié)日商機，積極開展各類促銷活動．在某超市購買80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎活動，若顧客小王中獎的概率為0.4，顧客小張中獎的概率為0.2，則（ ）
A．小王和小張都中獎的概率為0.1 B．小王和小張都沒有中獎的概率為0.46
C．小王和小張中只有一個人中獎的概率為0.44 D．小王和小張中至多有一個人中獎的概率為0.92
【答案】DD
【分析】對于A和B，利用相互獨立事件的概率乘法公式計算即得；對于C，利用互斥事件的概率加法公式即得；對于D，利用對立事件的概率公式計算即得.
【詳解】對于A，因小王和小張中獎相互獨立，則小王和小張都中獎的概率為，故A錯誤；
對于B，小王和小張都沒有中獎的概率為，故B錯誤；
對于C，小王和小張中只有一個人中獎包括兩種情況：
①小王中獎但小張沒中獎；②小張中獎但小王沒中獎.兩者互斥，
故只有一個人中獎的概率為：，故C正確；
對于D，因“小王和小張中至多有一個人中獎”的對立事件為“小王和小張都中獎”，
故小王和小張中至多有一個人中獎的概率為，故D正確.
D.
【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）（多選）分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“兩枚硬幣朝上的面相同”，事件“兩枚硬幣朝上的面不同”，則（ ）
A． B．B與C互斥
C．C與D互為對立 D．A與C相互獨立
【答案】ACD
【分析】利用古典概型公式即可判斷A，根據(jù)相互獨立事件和互斥事件以及對立事件的定義即可判斷BCD.
【詳解】分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，
可能出現(xiàn)的情況有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四種情況，
事件包含（正，正），（正，反）種，
事件包含（反，正），（正，正）種，
事件包含（正，正），（反，反）種，
事件包含（正，反），（反，正）種，
對于A，事件，故A正確；
對于B，事件B和C可能同時發(fā)生，即（正，正），故B錯誤；
對于C，由上面列舉知，事件C與D為互斥事件，且其并集構成了整個樣本空間，
即C與D互為對立，故C正確；
對于D，由上面列舉知：，
，
所以事件A與C相互獨立，故D正確.
CD.
題型07古典概型
【典例7】（23-24高一下·甘肅白銀·期末）（多選）先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，則下列事件發(fā)生的概率為的是（ ）
A． B．
C． D．方程有實數(shù)解
【答案】CCD
【分析】利用列舉法及古典概型概率公式逐項分析可得答案.
【詳解】先后拋擲一枚骰子兩次，得到基本事件總數(shù)有36種.
對于選項A，滿足的有，，，，，共5種，
故概率為，故A錯誤；
對于選項B，滿足的有，，，，，，共6種，
故概率為，故B正確；
對于選項C，滿足，即的有，，，，，
，共6種，故概率為，故C正確；
對于選項D，方程有實數(shù)解，則，即，
符合題意的有，，，，，，共6種，故概率為，故D正確.
CD.
【變式1】（23-24高一下·陜西寶雞·期末）（多選）某年級有12個班，現(xiàn)要從2班到12班中選1個班的學生參加一項活動，有人提議：擲兩個骰子，把得到的點數(shù)之和是幾就選幾班，針對這種選法下面說法不正確的有（ ）
A．公平，每個班被選到的概率都為
B．公平，每個班被選到的概率都為
C．不公平，6班被選到的概率最大
D．不公平，7班被選到的概率最大
【答案】ABC
【分析】求出每個班被選到的概率，如果概率不相等，則不公平.
【詳解】列表如下：
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
點數(shù)之和為，點數(shù)之和為點數(shù)之和為，
點數(shù)之和為點數(shù)之和為，
點數(shù)之和為點數(shù)之和為，
點數(shù)之和為點數(shù)之和為，
點數(shù)之和為點數(shù)之和為，點數(shù)之和為，
所以不公平，7班被選到的概率最大.
故選：
【變式2】（23-24高一下·山東臨沂·期末）（多選）不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個黑球、3個白球，現(xiàn)從盒子里隨機取出2個小球，記事件“取出的兩個球是一個黑球、一個白球”，事件“兩個球中至多一個黑球”，事件“兩個球均為白球”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】利用列舉法寫出隨機取出個小球的基本事件，根據(jù)題設描述列舉對應事件，由古典概型的概率求法求概率.
【詳解】記個白球為，個黑球為，隨機取出個小球的事件如下，
，
事件對應的基本事件有，所以，故A正確；
事件對應的基本事件有，所以，
事件對應的基本事件有 ，所以，又，故D錯誤；
其中對應的基本事件有，所以，故B正確；
對應的基本事件有，所以，故C 錯誤.
B
【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中不放回地任取兩個數(shù)，則兩個數(shù)都是奇數(shù)的概率是 .
【答案】/
【分析】列舉所有可能的情況求解即可.
【詳解】由題意，任取兩個數(shù)所有可能的情況有，，，，，，，，，共10種情況，
其中兩個數(shù)都是奇數(shù)的情況有，，共3種情況，故兩個數(shù)都是奇數(shù)的概率是.
故答案為：
【變式4】（23-24高一下·陜西西安·期末）我國古代十進制數(shù)的算籌記數(shù)法是世界數(shù)學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌一般為小圓棍，算籌計數(shù)法的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空．縱式和橫式對應數(shù)字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“—”，62記為“”．現(xiàn)從由4根算籌表示的兩位數(shù)中任取一個數(shù)，則取到的數(shù)字為質數(shù)的概率為 ．
【答案】/
【分析】分類討論，利用古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】由題意可知，共有4根算籌，
當十位1根，個位3根，共有2個兩位數(shù)13、17；
當十位2根，個位2根，共有4個兩位數(shù)22，26，62，66；
當十位3根，個位1根，共有2個兩位數(shù)31，71；
當十位4根，個位0根，共有2個兩位數(shù)40，80；
其中質數(shù)有13、17、31、71，所以取到的數(shù)字為質數(shù)的概率為，
故答案為：
題型08頻率與概率的關系
【典例8】（24-25高二上·湖北武漢·階段練習）在一次拋硬幣的試驗中，同學甲用一枚質地均勻的硬幣做了次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為
【答案】；/；.
【分析】根據(jù)頻率的計算方法求頻率，根據(jù)概率的概念得概率.
【詳解】正面向上的頻率為：；
因為硬幣質地均勻，所以正面向上的概率為：.
故答案為：；.
【變式1】（24-25高一上·廣西崇左·開學考試）下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗的結果．
種子個數(shù)n 100 400 900 1700 2700 4000
發(fā)芽種子個數(shù)m 92 352 818 1336 2251 3801
發(fā)芽種子頻率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計該植物的種子發(fā)芽的概率為 （精確到0.1）．
【答案】
【分析】根據(jù)頻率與概率之間的關系即可求得；
【詳解】在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個數(shù)，
在它附近擺動，這個常數(shù)就是事件A的概率；
觀察表格得到某種植物發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在附近，進而求解即可.
故答案為：
【變式2】（24-25高一上·江西撫州·開學考試）一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個紅球，3個白球，若干個綠球，每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中約有綠球 個.
【答案】8
【分析】根據(jù)綠球個數(shù)除以總個數(shù)即可.
【詳解】因為通過大量重復的摸球實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在，所以摸到綠球的概率為，
設不透明的袋中有個綠球，因為空袋中有9個紅個球，3個白球，所以，解得：;
故答案為：8
【變式3】（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如表所示．
賠付金額/元 0 1000 2000 3000 4700
車輛數(shù)/輛 800 80 110 120 90
若每輛車的投保金額均為2700元，估計賠付金額大于投保金額的概率為 ；在樣本車輛中，車主是新司機的占15%，在賠付金額為4700元的樣本車輛中，車主是新司機的占30%，估計在已投保的新司機中，獲賠金額為4700元的概率為 ．
【答案】 0.21/ 0.18/
【分析】計算出賠付金額大于投保金額的頻率，得到估計賠付金額大于投保金額的概率；在求出投保的新司機人數(shù)和賠付金額為4700元的樣本車輛中，新司機人數(shù)，估計出在已投保的新司機中，獲賠金額為4700元的概率.
【詳解】賠付金額大于投保金額的頻率為，
估計賠付金額大于投保金額的概率為0.21，
在樣本車輛中，車主是新司機的占15%，
故投保的新司機人數(shù)為，
在賠付金額為4700元的樣本車輛中，車主是新司機的占30%，即人，
估計在已投保的新司機中，獲賠金額為4700元的概率為.
故答案為：0.21，0.18
題型09概率與統(tǒng)計的綜合問題
【典例9】（24-25高二上·四川綿陽·期中）單項選擇與多項選擇題是數(shù)學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A，B，C，D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中有兩個或三個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得6分，部分選對的得部分分（兩個答案的每個答案3分，三個答案的每個答案2分），有選錯的得0分.
(1)考生甲有一道單項選擇題不會做，他隨機選擇一個選項，求他猜對本題得5分的概率；
(2)考生乙有一道答案為ABD多項選擇題不會做，他隨機選擇兩個或三個選項，求他猜對本題得4分的概率；
(3)現(xiàn)有2道兩個正確答案的多項選擇題，根據(jù)訓練經(jīng)驗，每道題考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解；
（3）分丙得12分，丁得6分，丙得9分，丁得9分和丙得6分，丁得12分三種情況，利用獨立事件和互斥事件的概率求解.
【詳解】（1）甲同學所有可能的選擇答案有A，B，C，D共4種可能結果，樣本空間，
其中正確選項只有一個，設M=“猜對本題得5分”，故.
（2）乙同學所有可能的選擇答案有10種：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
樣本空間，共有10個樣本點，
設N=“猜對本題得4分”，，有3個樣本點，故.
（3）由題意得丙得0分的概率為，丁得0分的概率為，
丙丁總分剛好得18分的情況包含：
事件A：丙得12分有6+6一種情況，丁得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，
則；
事件B：丙得9分有6+3，3+6兩種情況，丁得9分有6+3，3+6兩種情況，
則；
事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，丁得12分有6+6一種情況，
則；
所以丙丁總分剛好得18分的概率.
【變式1】（24-25高二上·云南·期中）某社團為統(tǒng)計居民運動時長，調查了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為，，，，，六個小組（所調查的居民平均每天的運動時長均在內），得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出圖中m的值，并估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)；
(2)按分組用分層隨機抽樣的方法從平均每天運動時長在，這兩個時間段內的居民中抽出6人分享運動心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.
【答案】(1)，2.4h
(2).
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質可得m，再利用中位數(shù)的計算公式直接計算；
（2）根據(jù)分層抽樣等比例的性質直接計算人數(shù)，再根據(jù)古典概型公式計算即可.
【詳解】（1）由，解得.
因為，所以中位數(shù)在內，
設中位數(shù)為x，則，得，
即估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)為2.4h.
（2）由題知，平均每天運動時長在，內的頻率分別為0.25，0.05，
則應從平均每天運動時長在，內的居民中分別抽出5人，1人.
記時間段內的5人分別為a，b，c，d，e，記時間段內的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個，
2人來自不同分組的基本事件，，，，，共5個，
所以這2人來自不同分組的概率為.
【變式2】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）袋子中有6個大小質地完全相同的小球，其中紅球有2個，編號分別為1，2；白球有個，編號分別為，不放回地隨機摸出兩個球.
(1)寫出實驗的樣本空間；
(2)記事件為“摸出的兩個球中有紅球”，求事件A發(fā)生的概率；
(3)記事件為“摸出的兩個球全是白球”，事件為“摸出的兩個球的編號之和為偶數(shù)”，求和，判斷事件是否相互獨立.
【答案】(1)；
(2)；
(3)，，不相互獨立.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，列舉并寫出樣本空間.
（2）利用列舉法，結合古典概型計算概率.
（3）利用古典概率求出，再利用相互獨立事件的定義判斷即得.
【詳解】（1）摸出編號為的兩個球的基本事件記為，
所以實驗的樣本空間.
（2）由（1）知，，事件，，
所以事件A發(fā)生的概率.
（3）由（1），事件，，事件M的概率為，
事件，，事件M的概率為，
事件，，則，而，
顯然，所以事件M，N不相互獨立.
【變式3】（23-24高一下·甘肅甘南·期末）為進一步加強高層住宅小區(qū)消防安全管理，有效保障高層建筑消防安全及設施完好有效，督促物業(yè)服務單位落實消防安全責任，全面提升小區(qū)火災抗御能力，南京某消防救援大隊對轄區(qū)內一小區(qū)進行消防安全檢查并對物業(yè)人員進行消防安全知識考核競賽，規(guī)則如下：在初賽中有兩輪答題：第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得20分，否則得0分；第二輪從B類的4個問題中任選兩題依次作答，每答對一題得20分，答錯得0分．若兩輪總得分不低于40分，則晉級復賽．甲和乙同時參賽，已知在A類的5個問題中，甲只能答對4個問題，在B類的4個問題中，甲答對的概率都為0.4；乙答對每個問題的概率都為0.6．甲、乙回答任一問題正確與否互不影響．
(1)求甲在第一輪比賽中得0分的概率；
(2)以晉級復賽的概率大小為依據(jù)，甲和乙誰更容易晉級復賽？
【答案】(1)
(2)乙更容易晉級復賽
【分析】（1）對A類的5個問題進行編號：，其中甲能答對的4個問題的編號為，利用列舉法，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；
（2）根據(jù)題意按第一輪得20分且第二輪至少得20和第一輪得0分且第二輪得40分，結合獨立事件和對立事件的概率公式，分別計算甲、乙晉級復賽的概率，從而可判斷.
【詳解】（1）對A類的5個問題進行編號：，其中甲能答對的4個問題的編號為，
第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，則所選的兩個題的情況為：
，共10種，
其中得0分的情況有：，4種，
所以甲在第一輪比賽中得0分的概率為；
（2）甲晉級復賽分兩種情況：
甲第一輪得20分且第二輪至少得20分的概率為：，
甲第一輪得0分且第二輪得40分的概率為：，
所以甲晉級復賽的概率為；
乙晉級復賽分兩種情況：
乙第一輪得20分且第二輪至少得20分的概率為：
乙第一輪得0分且第二輪得40分的概率為：，
所以乙晉級復賽的概率為，
因為，所以乙更容易晉級復賽.
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