資源簡介

第01講 數(shù)據(jù)的收集及數(shù)字特征
課程標準 學習目標
1．數(shù)據(jù)的收集 2．數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及其意義； 1.通過學習簡單隨機抽樣,理解并掌握分層抽樣的概念和步驟,會用分層抽樣解決實際問題,提升數(shù)據(jù)分析與解決問題的核心素養(yǎng). 2.會計算樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,并能解決有關實際問題,提升學生的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學運算的能力.
知識點01 抽樣方法
1.總體與樣本
考察問題涉及的對象全體是總體,總體中每個對象都是個體,抽取的部分對象組成總體的一個樣本,一個樣本中包含的個體數(shù)目是樣本容量.
一般地,對總體中每個個體都進行考察的方法稱為普查(也稱為全面調(diào)查),只抽取樣本進行考察的方法稱為抽樣調(diào)查.
2.簡單隨機抽樣
從總體中不加任何分組、劃類、排隊等,完全隨機地抽取個體,這種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣(也稱純隨機抽樣).
常見的簡單隨機抽樣方法有抽簽法、隨機數(shù)表法.
注意：分層抽樣的適用前提條件是總體可以分層,層與層之間有明顯區(qū)別,而層內(nèi)個體間差異較小.
3.分層抽樣
一般地,如果相對于要考察的問題來說,總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時,每一部分可稱為層,在各層中按層在總體中所占比例進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣).
注意：使用分層抽樣應遵循的原則：(1)將相似的個體歸入一類,即為一層,分層要求每層的各個個體互不交叉,即遵循不重復、不遺漏的原則.
分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.
【即學即練1】
1. (多選題)下列抽取樣本的方式不是簡單隨機抽樣的是(　　)
A.從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本
B.盒子里共有80個零件,從中選出5個零件進行質量檢驗,在抽樣操作時,從中任意拿出1個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里
C.從20件玩具中逐個抽取3件進行質量檢驗
D.某班有580名同學,指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽
【答案】ABD
【解析】A不是簡單隨機抽樣,因為題中被抽取的總體中的個體數(shù)是無限的,而不是有限的;B不是簡單隨機抽樣,因為它是有放回抽樣;C是簡單隨機抽樣;D不是簡單隨機抽樣,指定個子最高的5名同學是580名同學中特指的,不是等可能抽樣.故選ABD.
2. 某商場有四類食品,其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種,現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】D
【解析】由已知得四類食品的抽樣比為=,所以抽取的植物油類和果蔬類食品的種數(shù)之和為(10+20)×=6.故選C.
知識點02　最值與平均數(shù)
1．最值
一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
2．平均數(shù)
如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為(x1＋x2＋…＋xn)．
這一公式在數(shù)學中常簡記為，其中的符號“∑”表示求和，讀作“西格瑪”，∑右邊式子中的i表示求和的范圍，其最小值與最大值分別寫在∑的下面與上面．
(1)；(2)
【即學即練2】（23-24高一下·河南鄭州·期末）用抽簽法抽取的一個容量為5的樣本，它們的變量值分別為2，4，5，7，9，則該樣本的平均數(shù)為（ ）
A．4.5 B．4.8 C．5.4 D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算方法計算即可.
【詳解】該樣本平均數(shù)為.
知識點03　中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)
1．中位數(shù)
一般地，有時也可以借助中位數(shù)來表示一組數(shù)的中心位置：如果一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱為這組數(shù)的中位數(shù)．(注意：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的．)
2．百分位數(shù)
(1)定義
一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個數(shù)值：至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)不小于該值．
直觀來說，一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于p%位置的數(shù)．
(2)求百分位數(shù)的步驟
為了方便，我們按如下方式確定p%分位數(shù)：設一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計算inp%的值，如果i不是整數(shù)，設i0為大于i的最小整數(shù)，取x為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取為p%分位數(shù)．特別地，規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是xn(即最大值)．
注意：(1)中位數(shù)就是一個70%分位數(shù)．
(2)按照定義可知，p%分位數(shù)可能不唯一，也正因為如此，各種統(tǒng)計軟件所得出的p%分位數(shù)可能會有差異．
(3)實際應用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)(簡稱為第一四分位數(shù))與75%分位數(shù)(簡稱為第三四分位數(shù))．　　
3．眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．有些情形中，我們用眾數(shù)來描述一組數(shù)據(jù)的中心位置．
注意：(1)眾數(shù)不唯一，可以有一個，也可以有多個，還可以沒有．如果有兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(2)眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)，百分位數(shù)和中位數(shù)都不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)．　　
【即學即練3】（24-25高一上·四川南充·開學考試）“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的長勢，從稻田中隨機抽取7株水稻苗，測得苗高（單位：）分別是23，24，23，25，26，23，25.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．24，25 B．23，23
C．23，24 D．24，24
【答案】D
【分析】把給定數(shù)據(jù)由小到大排列，再求出眾數(shù)、中位數(shù)即得.
【詳解】苗高由小到大排列為：，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是23，24.
知識點04　極差、方差與標準差
1．極差
一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差．不難看出，極差反映了一組數(shù)的變化范圍，描述了這組數(shù)的離散程度．
注意： (1)極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感．一般情況下，極差大，則數(shù)據(jù)較分散，數(shù)據(jù)的波動性大；極差小，則數(shù)據(jù)相對集中，數(shù)據(jù)的波動性小，極差的計算非常簡單，但極差只考慮了兩個極端值，而沒有考慮中間的數(shù)據(jù)，因此很多時候，極差作為數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計量，可靠性較差．
(2)極差的取值范圍是[0，＋∞)．　　
2．方差
如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則方差可用求和符號表示為.
3．標準差
方差的算術平方根稱為標準差．
如果一組數(shù)中，各數(shù)據(jù)值都相等，則標準差為0，表明數(shù)據(jù)沒有波動，數(shù)據(jù)沒有離散性；若各數(shù)據(jù)的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動幅度也較大，數(shù)據(jù)的離散程度較高．因此標準差描述了數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的離散程度．
注意：標準差與方差的統(tǒng)計意義
(1)標準差(方差)的取值范圍是[0，＋∞)(標準差的大小不會超過極差)．
(2)標準差(方差)描述了一組數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)離散程度的大小．可以根據(jù)不同組數(shù)據(jù)的離散程度比較標準差(方差)的大小．　　
【即學即練4】（24-25高二上·河南·階段練習）已知退休的王大爺連續(xù)天戶外運動的步數(shù)（單位：百步）分別為，，，，，則該組數(shù)據(jù)的均值與方差分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根據(jù)平均值和方差的計算公式，可得答案.
【詳解】均值：，
方差：.
.
知識點05平均數(shù)、方差的計算方法總結
1．平均數(shù)的計算方法
(1)定義法：當所給數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn比較小，又比較分散時，一般選用公式來計算．
(2)新數(shù)據(jù)法：當所給的一組數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的附近波動時，一般選用簡單化公式xia＋xi′，其中常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù)，先計算則.
（3）性質法：如果x1，x2，…，xn，的平均數(shù)為 ，且a，b為常數(shù)，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為a+b.
（4）頻數(shù)平均數(shù)法(也稱為加權平均數(shù)法)：在給定的n個數(shù)據(jù)中，如果x1出現(xiàn)了f1次，x2出現(xiàn)了f2次，…，xk出現(xiàn)了fk次，則一般選用(其中n)來計算平均數(shù)．
2．方差的計算方法
（1）定義法：s2.
（2）簡化法：s2[(x＋x＋…＋x)－n2]．
（3）性質法：如果a，b為常數(shù)（a=0），則ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差為a2s2.
【即學即練5】設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】D
【解析】
因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，
所以所求數(shù)據(jù)方差為
題型01 普查與抽樣
【典例1】（24-25高一上·四川成都·開學考試）下列調(diào)查中，適合用普查的是（ ）
A．了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間 B．了解“嫦娥四號”衛(wèi)星零部件的質量
C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對廢電池的處理情況
【答案】C
【分析】由普查得到的調(diào)查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結果沒有普查準確，但相對節(jié)約人力，物力和時間．
【詳解】A、了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；
B、了解“嫦娥三號”衛(wèi)星零部件的狀況，適合用普查，符合題意；
C、華為公司一批某型號手機電池的使用壽命，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；
D、了解某市居民對廢電池的處理情況，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；
．
【變式1】（25-26高一上·全國·課前預習）下列調(diào)查中，最適宜采用全面調(diào)查方式（普查）的是（ ）
A．對某市中學生每天學習所用時間的調(diào)查
B．對全國中學生心理健康現(xiàn)狀的調(diào)查
C．對某班學生進行6月5日是“世界環(huán)境日”知曉情況的調(diào)查
D．對某市初中學生課外閱讀量的調(diào)查
【答案】D
【分析】利用抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的適用條件逐項分析判斷即得.
【詳解】對于A，對某市中學生每天學習所用時間的調(diào)查，人數(shù)眾多，宜采用抽樣調(diào)查，A錯誤；
對于 B，對全國中學生心理健康現(xiàn)狀的調(diào)查，人數(shù)眾多，宜采用抽樣調(diào)查，B錯誤；
對于C，對某班學生進行6月5日是“世界環(huán)境日”知曉情況的調(diào)查，人數(shù)不多，宜采用全面調(diào)查，C正確；
對于D，對某市初中學生課外閱讀量的調(diào)查，人數(shù)眾多，宜采用抽樣調(diào)查，D錯誤.
【變式2】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）在以下調(diào)查中，適合用普查的個數(shù)是（ ）
①調(diào)查一個班級學生的吃早餐情況； ②調(diào)查某種飲料質量合格情況；
③調(diào)查某批飛行員的身體健康指標； ④調(diào)查某個水庫中草魚所占的比例．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)普查的定義逐個分析判斷即可.
【詳解】①因為一個班級學生的人數(shù)不太多，吃早餐情況的全面調(diào)查也容易操作，所以適合普查；
②某種飲料數(shù)量太多，質量合格情況適合抽樣調(diào)查；
③飛行員的職業(yè)特點決定了身體健康指標必須普查；
④某個水庫中魚的種類和數(shù)量一般都較多，不適合普查．
．
【變式3】（23-24高一下·青海海南·期末）下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇合理的是（ ）
A．了解某一品牌空調(diào)的使用壽命，選擇普查
B．了解神舟飛船的設備零件的質量情況，選擇抽樣調(diào)查
C．了解一批袋裝食品是否含有防腐劑，選擇普查
D．了解某公園全年的游客流量，選擇抽樣調(diào)查
【答案】A
【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查和普查的定義，逐個選項判斷調(diào)查方式是否合理即可.
【詳解】對于A，了解某一品牌空調(diào)的使用壽命，選擇抽樣調(diào)查更符合經(jīng)濟效益，故A錯誤；
對于B，了解神舟飛船的設備零件的質量情況，
安全是最重要的，應該采取普查，故B錯誤；
對于C，了解一批袋裝食品是否含有防腐劑，選擇抽樣調(diào)查更符合經(jīng)濟效益，故C錯誤；
對于D，了解某公園全年的游客流量，選擇抽樣調(diào)查比較符合經(jīng)濟效益，故D正確．
．
題型02 總體與樣本
【典例2】（23-24高一下·西藏日喀則·期末）高考結束后，為了分析該校高三年級1000名學生的高考成績，從中隨機抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（ ）
A．100名學生是個體
B．樣本容量是100
C．每名學生的成績是所抽取的一個樣本
D．1000名學生是樣本
【答案】C
【分析】根據(jù)有關的概念可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學生成績，而不是學生，再結合題中選項即可得到答案．
【詳解】根據(jù)有關的概念并且結合題意可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學生成績，而不是學生，
根據(jù)選項可得選項A、D表達的對象都是學生，而不是成績，所以A、D都錯誤．
C每名學生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應是每名學生的成績是一個個體．
B：樣本的容量是100正確．
故選:B．
【變式1】（25-26高一上·全國·課前預習）從某年級700名學生中抽取80名學生進行身高的統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（ ）
A．700名學生是總體 B．每個被抽查的學生是個體
C．抽取的80名學生的身高是一個樣本 D．抽取的80名學生的身高是樣本容量
【答案】D
【分析】根據(jù)統(tǒng)計中樣本，總體及樣本容量的概念進行判斷.
【詳解】由于抽取的是80名學生的身高，因此700名學生的身高是總體，每個學生的身高是個體，
這80名學生的身高構成一個樣本，樣本的容量為80，ABD錯誤，C正確．
【變式2】（25-26高二上·上海·單元測試）學校為了調(diào)查高二年級學生體重情況，隨機抽取70個高二年級學生進行體重測量，這70個學生的體重是（ ）
A．總體 B．個體 C．樣本 D．樣本容量
【答案】D
【分析】根據(jù)總體，個體，樣本，樣本容量的定義分析判斷.
【詳解】從高二年級隨機抽取70個高二年級學生進行體重測量，
則這70個學生的體重組成一個樣本.
【變式3】（23-24高一下·廣西河池·期末）某市市場監(jiān)管局為了了解飲料的質量，從該市區(qū)某超市在售的種飲料中抽取了種飲料，對其質量進行了檢查．在這個問題中，是（ ）
A．總體 B．個體 C．樣本 D．樣本量
【答案】A
【分析】根據(jù)隨機抽樣概念求解即可.
【詳解】總體：我們把與所研究問題有關的全體對象稱為總體；
個體：把組成總體的每個對象稱為個體；
樣本：從總體中，抽取的一部分個體組成了一個樣本；
樣本量：樣本中個體的個數(shù)叫樣本量，其不帶單位；
在售的70種飲料中抽取了30種飲料，對其質量進行了檢查，
在這個問題中，70種飲料是總體，每一種飲料是個體，30種飲料是樣本，30是樣本量．
．
【變式4】（23-24高一下·新疆伊犁·階段練習）為了解某中學高一年級800名學生的身高情況，抽查了其中100名學生的身高進行統(tǒng)計分析．下列敘述錯誤的是（ ）
A．以上調(diào)查屬于全面調(diào)查
B．每名學生的身高是總體的一個個體
C．100名學生的身高是總體的一個樣本
D．800名學生的身高是總體
【答案】A
【分析】總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目．我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考查的對象．從而找出總體、個體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．
【詳解】A．以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故符合題意；
B．每名學生的身高情況是總體的一個個體，故不符合題意；
C．100名學生的身高是總體的一個樣本，故不符合題意；
D．800名學生的身高情況是總體，故不符合題意；
．
題型03 簡單隨機抽樣
【典例3】（24-25高一上·全國·課前預習）下列問題中最適合用簡單隨機抽樣方法的是（ ）
A．某學校有學生1320人，衛(wèi)生部門為了了解學生身體發(fā)育情況，準備從中抽取一個容量為300的樣本
B．從1135個村莊中抽取70個進行收入調(diào)查
C．從全班30名學生中，任意選取5名進行家訪
D．為了解某地區(qū)某傳染病的發(fā)病情況，從該地區(qū)的7000人中抽取200人進行統(tǒng)計
【答案】D
【分析】分析總體容量的大小，以及樣本之間是否有明顯差異，綜合比較可得.
【詳解】A項，總體容量較大，有明顯的層次性，如男女生在身高體重等方面有較大差異，宜采用分層抽樣方法；
B項，總體容量較大，且各村莊人口、地域、發(fā)展等方面的差異，收入可能有明顯的差異，不宜采用簡單隨機抽樣方法；
C項，總體個數(shù)少，家訪活動學生個體平等，且無明顯差異，宜采用簡單隨機抽樣方法；
D項，總體容量大，不同年齡的人傳染病發(fā)病情況不同，有明顯的差異，不宜采用簡單隨機抽樣方法；
綜上比較，最適合用簡單隨機抽樣方法的是C.
.
【變式1】24-25高二上·四川成都·階段練習）某校高一共有10個班，編號1至10，某項調(diào)查要從中抽取三個班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽取樣本，每次抽取一個號碼，共抽3次，設五班第二次被抽到的可能性為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等即可求解.
【詳解】因為總體中共有10個個體，
所以五班第一次沒被抽到，第二次被抽到的可能性為
.
故選：.
【變式2】（23-24高一下·天津南開·期末）利用簡單隨機抽樣的方法，從n個個體（）中抽取13個個體，若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件，結合簡單隨機抽樣的定義，即可求解．
【詳解】解：第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為，
則，
解得，
故在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性為．
．
題型04 隨機數(shù)表法
【典例4】（23-24高一下·甘肅白銀·階段練習）某總體由編號為的個個體組成，利用下列隨機數(shù)表選出個個體，選法是下列表中第一行第列開始從左到右依次選個數(shù)字，選出的第個個體編號為（ ）
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6216 7670 0310 5523 6405 0526 6238
A．16 B．09 C．19 D．61
【答案】D
【分析】根據(jù)隨機數(shù)表，依次進行選擇即可得出結果.
【詳解】選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第列數(shù)字開始，
從左到右依次選取兩個數(shù)字，
則選出來的個個體編號分別為∶
所以選出來的第個個體編號為．
.
【變式1】（23-24高一下·云南玉溪·階段練習）某工廠用簡單隨機抽樣中的隨機數(shù)法對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣，先將700個零件進行編號，.從中抽取70個樣本，下圖是利用軟件生成的隨機數(shù)，只需隨機選定一個初始位置和方向開始讀數(shù)，每次讀取一個3位數(shù)，只要讀取的號碼落在編號范圍內(nèi)，該號碼就是所抽到的樣本編號，這樣即可獲得70個樣本的編號，注意樣本號碼不能重復.若從表中第2行第6列的數(shù)2開始向右讀取數(shù)據(jù)，取到的第一個樣本編號是253，則得到的第6個樣本編號是（ ）
A．007 B．328 C．253 D．623
【答案】A
【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣規(guī)則列舉出前幾個，即可得解.
【詳解】依題意可得抽取的樣本編號依次為：，，，，，，，
所以第個樣本編號是.
【變式2】（23-24高一下·江蘇連云港·期末）總體編號為01，02，…，29，30的30個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個個體的編號為（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】結合隨機數(shù)表法確定正確答案.
【詳解】選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，
則選出來的個體的編號為16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），
02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14.
故選出的第6個個體編號為14.
.
【變式3】（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）某高校對中文系新生進行體測，利用隨機數(shù)表對670名學生進行抽樣，先將670名學生進行編號，001，002，，649，670．從中抽取70個樣本，如圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第4個樣本編號是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 580 77 35 78 90 580 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 580 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．007 B．253 C．328 D．880
【答案】A
【分析】按照隨機數(shù)表提供的數(shù)據(jù)，三位一組的讀數(shù)，并取001到670內(nèi)的數(shù)，重復的只取一次，讀取到第4個即可.
【詳解】從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，
第一個數(shù)為253，第二個數(shù)是313，
第三個數(shù)是457，下一個數(shù)是880，不符合要求，
下一個數(shù)是736，不符合要求，下一個是253，重復，
第四個是007，故A正確.
.
題型05 分層抽樣
【典例5】（23-24高一下·廣東茂名·階段練習）某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本.若樣本中型號的產(chǎn)品有120件，則樣本容量為（ ）
A．170 B．180 C．200 D．270
【答案】D
【分析】根據(jù)分層抽樣的性質分析求解即可.
【詳解】由題意得，，解得.
.
【變式1】（23-24高一下·江蘇常州·期末）某高中三個年級共有學生2000人，其中高一800人，高二800人，高三800人，該校為了解學生睡眠情況，準備從全校學生中抽取80人進行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，且按年級來分層，則高一年級應抽取的人數(shù)是（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】A
【分析】按照分層抽樣計數(shù)規(guī)則計算可得.
【詳解】依題意高一年級應抽取的人數(shù)為人.
.
【變式2】（23-24高一下·陜西·期末）中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝．明代會試分南卷、北卷、中卷，按的比例錄取，若某年會試錄取人數(shù)為200，則中卷錄取人數(shù)為（ ）
A．170 B．110 C．70 D．20
【答案】A
【分析】根據(jù)分層抽樣的性質和抽樣比計算即可.
【詳解】由于分層抽樣比為，則200個人中，中卷錄取人數(shù)為.
.
【變式3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）某校高一年級有810名學生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為40，32，則該校高一年級的女生人數(shù)為（ ）.
A．470 B．380 C．400 D．320
【答案】C
【分析】根據(jù)分層抽樣定義計算即可.
【詳解】由分層抽樣可得高一年級的女生人數(shù)為.
.
【變式4】（24-25高一上·全國·隨堂練習）為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ）
A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學段分層抽樣 D．抽簽法
【答案】D
【分析】由已知條件，適合分層抽樣法，即可得到答案.
【詳解】因為事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．為了解該地區(qū)中小學生的視力情況，應按學段分層抽樣，這種抽樣方式抽出的樣本具有代表性，比較合理．
故選；C.
題型06 平均數(shù)
【典例6】若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】由均值的定義求解．
【詳解】由題意，
所以
，
．
【變式1】（23-24高一下·甘肅定西·階段練習）為了配合調(diào)配水資源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通過簡單隨機抽樣從中抽取了1000戶進行調(diào)查，得到其月用水量的平均數(shù)為9噸，則可推測全市居民用戶月用水量的平均數(shù)（ ）
A．一定為9噸 B．高于9噸 C．約為9噸 D．低于9噸
【答案】D
【分析】由樣本估計總體的相關知識即可求解.
【詳解】推測全市居民用戶月用水量的平均數(shù)是估計值，約為9噸.
.
【變式2】（24-25高二上·湖南·階段練習）某學校的高一、高二及高三年級分別有學生人、人、人，用分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個容量為人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級學生的平均身高為、、，估計該校學生的平均身高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分層抽樣的概念求出各個年級抽得的人數(shù)，計算平均數(shù)即可.
【詳解】因為高一、高二及高三年級分別有學生人、人、人，
用分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個容量為人的樣本，
則高一、高二及高三年級分別抽人，人，人，
抽出的高一、高二及高三年級學生的平均身高為、、，
所以該校學生的平均身高為.
【變式3】（23-24高一下·福建福州·期末）若數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是，標準差是，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是，方差，代入計算可得平均數(shù)，方差的值，開方求出標準差，可得答案.
【詳解】因為數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，
即，，
數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)
，
數(shù)據(jù)、、…、的方差
，
所以標準差是.
.
【變式4】（2023·陜西榆林·模擬預測）已知數(shù)據(jù)，，，，，，的極差和平均數(shù)相等，則實數(shù)的值為（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)的定義表示出極差與平均數(shù)，從而得到方程，解得即可.
【詳解】依題意可得極差為，
平均數(shù)為，
所以，解得.
題型07 眾數(shù)
【典例7】（23-24高一下·新疆·期末）已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學的物理成績分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84
【答案】A
【分析】根據(jù)平均數(shù)和眾數(shù)的概念求解.
【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按升序排列為79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均數(shù)，
因為84出現(xiàn)了三次，且次數(shù)最多，所以眾數(shù)為84.
【變式1】（23-24高一上·福建廈門·開學考試）今年是我國現(xiàn)行憲法公布施行40周年.為貫徹黨的二十大精神，強化憲法意識，弘揚憲法精神，推動憲法實施，某學校開展法律知識競賽活動，全校一共100名學生參與其中，得分情況如下表.則分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
分數(shù)（分） 80 70 80 90 100
人數(shù) 8 22 20 30 20
A．80，90 B．90，100
C．85，90 D．90，90
【答案】D
【分析】本題根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念進行解答即可.
【詳解】把這些數(shù)據(jù)從小到大排列，最中間的兩個數(shù)是第兩個數(shù)，
所以全班名同學的成績的中位數(shù)是，
出現(xiàn)了次，出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為.
所以分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是.
.
【變式2】（23-24高三上·河北秦皇島·開學考試）五名學生每人投籃15次，統(tǒng)計他們每人投中的次數(shù)，得到五個數(shù)據(jù)，若這五個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，則他們投中次數(shù)的總和最大是 .
【答案】29
【分析】假設五個數(shù)據(jù)按照由小到大排列為，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可求出的值，再由兩個較小的數(shù)一定是小于6的非負整數(shù)，且不相等，從而可求出這五個數(shù)和的范圍，進而可得答案.
【詳解】假設五個數(shù)據(jù)按照由小到大排列為，
因為這五個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，
所以，所以最大的三個數(shù)的和為，
因為兩個較小的數(shù)一定是小于6的非負整數(shù)，且不相等，最大為4和5，
所以這五個數(shù)的和一定大于20且小于等于29，
故答案為：29
【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如下表：
碼號 34 35 36 37 38 39 40 41
數(shù)量/雙 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店經(jīng)理，最關心的是哪種碼號的鞋銷量最大，那么對你來說最重要的是 (填“平均數(shù)”“眾數(shù)”或“中位數(shù)”)．
【答案】眾數(shù)
【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的意義進行選擇.
【詳解】鞋店經(jīng)理最關心的是哪種碼號的鞋銷量最大，
由題表可知，碼號為37的鞋銷量最大，共銷售了16雙，37是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
故答案為：眾數(shù)
題型08 百分位數(shù)
【典例8】（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18的下四分位數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．10 D．12
【答案】C
【分析】利用分位數(shù)的定義進行求解.
【詳解】數(shù)據(jù)共12個，，
故從小到大，選擇第3和第4個數(shù)的平均數(shù)作為下四分位數(shù)，即.
.
【變式1】（23-24高一下·貴州黔西·期末）興義市峰林布依景區(qū)在春節(jié)期間，迎來眾多游客，其中某天接受了一個小型的旅行團，他們的年齡（單位：歲）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．34.5 B．46 C．49 D．52
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結合百分位數(shù)的定義運算求解.
【詳解】因為，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第9位數(shù)和第10位數(shù)的中位數(shù).
.
【變式2】（24-25高二上·上海·單元測試）“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機抽取6位小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為5、6、7、8、9、5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】利用百分位數(shù)的概念求解即可，先將數(shù)據(jù)排序，再計算第80百分位數(shù)的位置進而求解.
【詳解】將數(shù)據(jù)排序：5、5、6、7、8、9，則
所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第5個數(shù)據(jù)，為8.
.
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）某部門有8位員工，其中6位員工的月工資分別為8200，8300，8700，9100，9700，9800（單位：元），另兩位員工的月工資數(shù)據(jù)不清楚，但兩人的月工資和為17000元，則這8位員工月工資的可能的最大值為（ ）
A．9100 B．8800
C．8700 D．8700
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知中位數(shù)為第兩位員工工資的平均數(shù),假設未知月工資的兩位員工的月工資分別為,進而得到,然后進行分類討論即可.
【詳解】第分位數(shù)為第兩位員工工資的平均數(shù)，
設未知月工資的兩位員工的月工資分別為和，則，
若時，則8位員工月工資的；
若中有一個大于8700，一個小于8700，則8位員工月工資的最大為，
即這8位員工月工資的可能的最大值為8800．
.
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．[4.5，＋∞） B．[4.5，6.6）
C．（4.5，＋∞） D．[4.5，6.6]
【答案】A
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算公式求解即可.
【詳解】因為所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第6項數(shù)據(jù)4.5，
則,
.
【變式5】氣象意義上從春季進入夏季的標志為"連續(xù)5天的日平均溫度全都不低于22℃".現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：℃):①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為23，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，平均數(shù)為25，眾數(shù)為27；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32，平均數(shù)為26，方差為11.2；④丁地：5個數(shù)據(jù)的20百分位數(shù)為23，平均數(shù)為27．其中肯定進入夏季的地區(qū)個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特點估計出甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)的可能性進行解答即可
【詳解】對于①，甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為23，眾數(shù)為22，則甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為：22，22，23，24，25，其連續(xù)5天的日平均溫度不低于22℃；
對于②，乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，平均數(shù)為25，眾數(shù)為27，當5個數(shù)據(jù)為20，25，26，27，27時，其連續(xù)5天的日平均溫度有低于22℃，故不確定；
對于③，丙地：5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32，平均數(shù)為26，方差為11.2，設剩余4個數(shù)分別為，所以，所以，若有一天溫度低于22度，因為平均值為26，則必有一天高于30度，所以有，故可知其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃；
對于④，丁地：符合條件，但未進入夏季
綜上所述，肯定進入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地
題型09 方差與標準差
【典例9】（24-25高一上·山東·開學考試）為了解家里每月的用水量情況，小明收集并記錄了家里連續(xù)6個月的用水量，分別是（單位：噸），關于這幾個數(shù)據(jù)的說法，下列結論中正確的是（ ）
A．平均數(shù)是5 B．眾數(shù)是6 C．中位數(shù)是5 D．方差是
【答案】A
【分析】將這組數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)及方差的定義求解即可．
【詳解】將這組數(shù)據(jù)重新排列為2、3、4、4、5、6，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
眾數(shù)為4，
中位數(shù)為=，
方差為，
故選項A、B、C不符合題意，選項D符合題意．
．
【變式1】（23-24高一下·吉林長春·期末）高一年級某位同學在五次考試中的數(shù)學成績分別為105，90，104，106，95，這位同學五次數(shù)學成績的方差為（ ）
A．20.2 B．40.4 C．70 D．70.2
【答案】C
【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結合平均數(shù)、方差公式運算求解.
【詳解】由題意可得：數(shù)學成績平均數(shù)為，
所以數(shù)學成績的方差為.
.
【變式2】（23-24高一下·廣東廣州·期末）已知樣本數(shù)據(jù)都為正數(shù)，其方差，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用方差計算公式即可得解.
【詳解】令樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，而，
因此，又樣本數(shù)據(jù)均為正數(shù)，所以.
【變式3】．（23-24高一下·河南·開學考試）已知數(shù)據(jù)，，…，的方差為，數(shù)據(jù)，，…，的方差為．則（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】D
【分析】由方差的性質得到，，…，的方差為，從而得到方程，求出答案.
【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
記數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
則
，
，
故，，…，的方差為，
所以，則．
．
【變式4】（23-24高二下·湖南·期中）為了解某高中甲 乙兩個清北班一周內(nèi)的請假同學人數(shù)情況，采用樣本量比例分配分層隨機抽樣方法進行了調(diào)查.已知甲班調(diào)查了40名同學，其一周內(nèi)請假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為5和1.65，乙班調(diào)查了80名同學，其一周內(nèi)請假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為4和3.5，據(jù)此估計該校兩個清北班一周內(nèi)請假人數(shù)的總體方差為（ ）
A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由分層抽樣方法可得甲班和乙班所占的比重，進而由總體平均數(shù)，方差的計算公式計算可得結果.
【詳解】因為甲班調(diào)查了40人，則甲班所占比重為，
乙班調(diào)查了80人，則乙班所占比重為，
甲班平均數(shù)和方差分別為和乙班平均數(shù)和方差分別為和
設調(diào)查的總樣本的平均數(shù)為和方差為則，
.
題型10 數(shù)字特征的實際應用
【典例10】（多選）（23-24高一下·貴州黔西·期末）為了強化學校體育，增強學生體質，狠抓校園足球工作，全面推動校園足球高質量發(fā)展，2023年10月22日，第七屆“金州杯”校園足球聯(lián)賽在普安舉行．在去年的足球聯(lián)賽上，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，則下列說法正確的是（ ）
A．平均說來乙隊比甲隊的防守技術好
B．乙隊比甲隊技術水平更穩(wěn)定
C．甲隊防守中有時防守表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好
D．乙隊很少不失球
【答案】CCD
【分析】根據(jù)兩個隊伍的平均數(shù)和方差，進行比較，結合平均數(shù)以及方差的意義逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，可知平均說來甲隊比乙隊的防守技術好，故A錯誤；
對于選項BC：因為，可知乙隊比甲隊技術水平更穩(wěn)定，
即甲隊防守中有時防守表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好，故BC正確；
對于選項D：因為乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，且標準差為0.4，
結合選項B可知：乙隊平均失球數(shù)多，且乙隊防守技術水平更穩(wěn)定，
即乙隊很少不失球，故D正確；
CD.
【變式1】（24-25高一上·四川成都·開學考試）甲、乙兩人各射擊次，甲所中的環(huán)數(shù)是，，，，，，且甲所中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)是，眾數(shù)是；乙所中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)是，方差是4.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，對甲，乙射擊成績的正確判斷是（ ）
A．甲射擊成績比乙穩(wěn)定 B．乙射擊成績比甲穩(wěn)定
C．甲，乙射擊成績穩(wěn)定性相同 D．甲、乙射擊成績穩(wěn)定性無法比較
【答案】C
【分析】甲所中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)是，眾數(shù)是，則可以得到a，b，c三個數(shù)其中一個是2，另兩個數(shù)是8，求得則甲的方差，再進行比較得出結果．
【詳解】∵這組數(shù)中的眾數(shù)是8，
∴a，b，c中至少有兩個是8，
∵平均數(shù)是6，
∴a，b，c三個數(shù)其中一個是2，
綜上，甲所中環(huán)數(shù)為，
∴甲所中環(huán)數(shù)的方差，
∵，
∴乙射擊成績比甲穩(wěn)定.
.
【變式2】（24-25高一上·甘肅定西·開學考試）某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高氣溫（單位：℃）如表：則這五天的最高氣溫更穩(wěn)定的是 年.（選填“2022”或“2023”）
1日 2日 3日 4日 5日
2022年 26 27 30 33 31
2023年 22 25 24 24 22
【答案】2023
【分析】先根據(jù)方差的定義列式計算出2022、2023年的方差，再依據(jù)方差的意義求解即可.
【詳解】2022年的平均氣溫為，
則其方差為，
2023年的平均氣溫為，
則其方差為，
因為，所以這五天的最高氣溫更穩(wěn)定的是2023年；
故答案為：2023
【變式3】為了參加全運會，省運動管理中心對自行車運動員甲、乙兩人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度的數(shù)據(jù)如表所示：請用平均數(shù)和方差來分析甲、乙兩人誰參加這項重大比賽更合適．
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
【答案】派乙參賽更合適
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)算出平均數(shù)和方差，平均數(shù)相同，再選方差較小的即可.
【詳解】，
，
，
，
因為，，
所以派乙參賽更合適.
【變式4】氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天日平均溫度不低于22 ℃”,現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù),單位是℃)
①甲地:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;
②乙地:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,平均數(shù)為24;
③丙地:5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,平均數(shù)為26,方差為10.2.
則肯定進入夏季的地區(qū)是　　　　.
【答案】甲、乙
【解析】對于①,甲地肯定進入夏季,因為眾數(shù)為22,所以22至少出現(xiàn)兩次,若有一天低于22 ℃,則中位數(shù)不可能為24;
對于②,乙地不一定進入夏季,
如13,23,27,28,29;
對于③,丙地肯定進入夏季,
根據(jù)方差的定義有[(x1-26)2+(x2-26)2+(x3-26)2+(x4-26)2+(32-26)2]=10.2,
即(x1-26)2+(x2-26)2+(x3-26)2+(x4-26)2=15,顯然x1,x2,x3,x4都要大于22,才能不成立.故滿足題意的有①③.
答案:甲、丙
一、單選題
1．（23-24高一下·青海西寧·階段練習）一個公司共有名員工，下設一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為的樣本.已知某部門有名員工，那么從這一部門抽取的員工人數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)分層抽樣的概念即可計算.
【詳解】設該部門抽取的員工人數(shù)為，
則，解得.
.
2．（23-24高二下·上海·階段練習）現(xiàn)利用隨機數(shù)表法從編號為00，01，02，…，18，19的20支水筆中隨機選取6支，選取方法是從下列隨機數(shù)表第1行的第9個數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6支水筆的編號為（ ）
95228000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
925809580 43890890 06482834 59741458 29778149 64808925
A．14 B．08 C．09 D．06
【答案】A
【分析】根據(jù)隨機數(shù)表法的讀取規(guī)則，即可求解.
【詳解】依次選出的編號為：01，17，09，08，06，14；
則選出來的第6支水筆的編號為14.
.
3．（24-25高一上·四川雅安·開學考試）已知一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，以下說法錯誤的是（　　）
A．極差是5 B．眾數(shù)是8 C．中位數(shù)是9 D．方差是2.8
【答案】D
【分析】根據(jù)平均數(shù)解得，將數(shù)據(jù)按升序排列，根據(jù)極差、眾數(shù)、中位數(shù)和方差逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，解得，
將數(shù)據(jù)按升序排列可得：5，8，8，9，10，則有：
極差為，故A正確；
眾數(shù)是8，故B正確；
中位數(shù)為8，故C錯誤；
方差為，故D正確；
.
4．（23-24高一上·浙江臺州·開學考試）水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個，設原有橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，該顧客選購的橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，則下列結論一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)方差和平均數(shù)的意義，結合題設的實際場景即可判斷.
【詳解】水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個，
所以該顧客選購橘子的質量平均數(shù)>原有橘子的質量的平均數(shù)，
該顧客選購的橘子的質量的方差<原有橘子的質量的方差.
5．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A．30，91 B．31，91 C．30，90 D．31，90
【答案】A
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質計算可得．
【詳解】因為，，，，的平均數(shù)是10，方差是10，
所以的平均數(shù)是，方差是．
．
6．（23-24高一下·天津西青·期末）8個樣本數(shù)據(jù)11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位數(shù)為（ ）
A．11 B．9.5 C．8 D．7.5
【答案】C
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的求法，即可求得答案.
【詳解】8個樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，4，5，6，7，8，11，13，
由于，故這8個樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為，
7．（24-25高一上·四川成都·開學考試）如表是某公司員工月收入的資料.
月收入/元 47000 18000 10000 5700 7000 3400 3300 1000
人數(shù) 1 1 1 3 6 1 11 1
能夠反映該公司全體員工月收入水平的統(tǒng)計量是（ ）
A．平均數(shù)和眾數(shù) B．平均數(shù)和中位數(shù)
C．中位數(shù)和眾數(shù) D．平均數(shù)和方差
【答案】D
【分析】求出數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)，再與25名員工的收入進行比較即可.
【詳解】公司共有員工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，
該公司員工月收入的眾數(shù)為3300元，在25名員工中有13人這此數(shù)據(jù)之上，
因此眾數(shù)能夠反映該公司全體員工月收入水平；
月收入由小到大排列，3400為第13個數(shù)，因此該公司員工月收入的中位數(shù)為3400元；
在25名員工中在此數(shù)據(jù)及以上的有13人，則中位數(shù)也能夠反映該公司全體員工月收入水平，
而25名員工月收入的平均數(shù)元
受極端數(shù)據(jù)47000、18000等影響，平均數(shù)偏離多數(shù)人的收入水平，而方差是表征數(shù)據(jù)波動大小的量，
所以能夠反映該公司全體員工月收入水平的統(tǒng)計量是中位數(shù)和眾數(shù).
8．（23-24高一下·湖南長沙·期末）有一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)，平均數(shù)為.若隨機剔除其中一個數(shù)據(jù)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差
B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)
C．若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差
D．若，則新數(shù)據(jù)的分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)極差、中位數(shù)、方差和百分位數(shù)的計算公式逐項分析即可.
【詳解】不妨設原數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)..，
A：例如原數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，此時極差均為，故A正確；
B：原數(shù)據(jù)中位數(shù)為，新數(shù)據(jù)中位數(shù)為，可知或，
若，可得；若，可得；
綜上所述：新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B正確；
C：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，則，
可得，所以新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差，故C正確；
D：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，因為，可知原數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第3位數(shù)，，可知新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第2位數(shù)與第3位數(shù)的平均數(shù)，
例如原數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，此時新數(shù)據(jù)的分位數(shù) 原數(shù)據(jù)的分位數(shù)均為3，故D錯誤，
.
二、多選題
9．（24-25高一上·全國·課堂例題）（多選）某市模考共有70000多名學生參加，某校教科室為了了解本校3390名考生的數(shù)學成績，從中抽取300名考生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（ ）
A．3390名考生是總體的一個樣本 B．3390名考生的數(shù)學成績是總體
C．樣本容量是300 D．70000多名考生的數(shù)學成績是總體
【答案】CC
【分析】根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的概念，可以判斷BC正確.
【詳解】總體是3390名考生的數(shù)學成績，樣本是抽取的300名考生的數(shù)學成績，樣本容量是300.
C.
10．（23-24高一下·山東菏澤·階段練習）據(jù)醫(yī)院對某種病情治愈率統(tǒng)計為：老年患者治愈率為，中年患者治愈率為，青年患者治愈率為.現(xiàn)醫(yī)院共有30名老年患者，40名中年患者，70名青年患者，則（ ）
A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為20的樣本，老年患者應抽取5人
B．該醫(yī)院中年患者所占的頻率為
C．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是
D．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是
【答案】ABC
【分析】根據(jù)頻率的計算即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A，若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為20的樣本，老年患者應抽取的人數(shù)為，A對；
對于B，該醫(yī)院中年患者所占的頻率為，B對；
對于CD，估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是，C對D錯.
BC.
11．（23-24高一下·黑龍江綏化·期末）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標準為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；乙地：中位數(shù)為3，極差為4；丙地：平均數(shù)為2，中位數(shù)為3；丁地：平均數(shù)為2，標準差為，甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】CCD
【分析】對于A，舉例判斷，對于B，計算出每天新增疑似病例人數(shù)的最大值判斷，對于CD，利用反證法判斷.
【詳解】對于A，若甲地過去10天每天新增疑似病例人數(shù)分別為0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，
則滿足平均數(shù)2，眾數(shù)為2，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，所以A錯誤，
對于B，因為乙地：中位數(shù)為3，極差為4，則最大值不大于，
所以乙地滿足每天新增疑似病例不超過7人，所以B正確，
對于C，假設丙地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過7人，
由中位數(shù)為3可得平均數(shù)的最小值為，
與題意矛盾，所以C正確，
對于D，假設丁地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過7人，
則方差的最小值為，與題意矛盾，所以D正確，
CD.
三、填空題
12．（24-25高一上·全國·課堂例題）將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為2∶3∶4，現(xiàn)用同比例分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，其中A層中的個體數(shù)為16，那么此樣本容量為n ．
【答案】72
【分析】先算出抽樣比，再將層個體數(shù)除以抽樣比即得樣本容量.
【詳解】由于A層中的樣本數(shù)為16，A層中的個體所占的比例為，
故樣本容量．
故答案為：72.
13．（24-25高一上·四川成都·開學考試）已知一組數(shù)據(jù)1，2，0，，x，1的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 .
【答案】1
【分析】由平均數(shù)的公式求得，根據(jù)中位數(shù)的概念求出結果.
【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
有，
可求得.
將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列后，觀察數(shù)據(jù)可知最中間的兩個數(shù)是1與1，
其平均數(shù)即中位數(shù)是.
故答案為：1.
14．（23-24高一下·江蘇常州·期末）設x，y，z都是正整數(shù)，且，，，當x，y，z的取值依次為 時，x，y，z這三個數(shù)的方差最小．（若存在多組取值符合條件，只需寫出其中一組取值）
【答案】（或）
【分析】根據(jù)方差定義計算方差，再由方差最小，確定后轉化為關于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最小值即可得解.
【詳解】設，
則
，
要使方差最小，三個數(shù)據(jù)應盡量靠近，故，
則，
關于的二次函數(shù)的對稱軸為，又且為正整數(shù)，
所以當或時，方差最小，最小值為.
故滿足條件的為或.
故答案為：（或）.
四、解答題
15．（24-25高一上·全國·課前預習）某單位擬從40名員工中選5人贈送電影票，可采用下面兩種選法：
選法一：將這40名員工按1至40進行編號，并相應地制作號碼為1至40的40個號簽，把這40個號簽放在一個暗箱中攪勻，最后隨機地從中抽取5個號簽，與這個號簽編號一致的員工是幸運人選；
選法二：將35個白球與5個紅球（除顏色外，其他完全相同）混合放在一個暗箱中攪勻，讓40名員工逐一從中不放回地摸取1個球，則摸到紅球的員工是幸運人選，試問：
(1)這兩種選法是否都是抽簽法，為什么？
(2)這兩種選法中每名員工被選中的可能是否相等？
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）選法一滿足抽簽法的特征，是抽簽法，選法二不是抽簽法，因為抽簽法要求所有的號簽編號互不相同，而選法二中的35個白球，5個紅球均無法相互區(qū)分．
（2）由于選法一中抽取每個號簽和選法二中摸到每個球都是等可能的，因此這兩種選法中每名員工被選中的可能性相等．
16．（22-23高一下·甘肅白銀·期末）某選手在參加某次比賽中，各評委打出的分數(shù)為10，9，8，9，9，8，10，7，8，6．
(1)求該選手所有得分的平均數(shù)；
(2)若該選手所有得分的分位數(shù)為9，求整數(shù)m的取值集合．
【答案】(1)8.4；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義進行求解，得出答案；
（2）先從小到大排序，再根據(jù)百分位數(shù)定義，分，，，，，和等情況進行求解即可．
【詳解】（1）該選手平均分為：；
（2）將所得分數(shù)從小到大排列為：6，7，8，8，8，9，9，9，10，10，共10個數(shù)，
9在第6，7，8三個位置上，
當時，，選擇第6個數(shù)作為分位數(shù)，滿足要求，
若，則，選擇第6個和第7個數(shù)的平均數(shù)作為分位數(shù)，滿足要求，
當時，，選擇第7個數(shù)作為分位數(shù)，滿足要求，
若，則，選擇第7個和第8個數(shù)的平均數(shù)作為分位數(shù)，滿足要求，
當時，，選擇第8個數(shù)作為分位數(shù)，滿足要求，
當或時，經(jīng)檢驗，不合要求，
綜上，整數(shù)m的取值集合為.
17．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·開學考試）某校為了解九年級學生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽取了該年級的部分學生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù)，設每名學生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當時，為“偏少”；當時，為“一般”；當時，為“良好”；當時，為“優(yōu)秀”，現(xiàn)將調(diào)查結果統(tǒng)計后繪制成不完整的統(tǒng)計圖表：

閱讀本數(shù)（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人數(shù)（名） 1 2 6 7 12 7 y 1
請根據(jù)以上信息回答下列問題：
(1)求出本次隨機抽取的學生總人數(shù)；
(2)分別求出統(tǒng)計表中的的值；
(3)估計該校九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù).
【答案】(1)70
(2)11；3
(3)32
【分析】（1）根據(jù)“一般”檔次占比與對應人數(shù)即得；
（2）根據(jù)“良好”檔次占比與對應人數(shù)建立方程，求解即得的值，再由學生總數(shù)求得的值；
（3）先算出“優(yōu)秀”檔次占比，再由總人數(shù)即可計算估計出“優(yōu)秀”人數(shù).
【詳解】（1）由統(tǒng)計圖表可知：當時，“一般”檔次占比，對應的學生數(shù)為，故學生總人數(shù)為人；
（2）由統(tǒng)計圖表可知：當時，“良好”檔次占比，即，解得，
又總人數(shù)為人，故，即，；
（3）由統(tǒng)計圖表可知：“優(yōu)秀”檔次占比為，
故該校九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)約為人.
18．（24-25高一上·四川成都·開學考試）某次世界魔方大賽吸引世界各地共900名魔方愛好者參加，本次大賽首輪進行3×3階魔方賽，組委會隨機將愛好者平均分到30個區(qū)域，每個區(qū)域30名同時進行比賽，完成時間小于8秒的愛好者進入下一輪角逐；如圖是3×3階魔方賽A區(qū)域30名愛好者完成時間統(tǒng)計圖，
(1)填空：A區(qū)域3×3階魔方愛好者進入下一輪角逐的有______人．
(2)填空：若A區(qū)域30名愛好者完成時間為9秒的人數(shù)是7秒人數(shù)的3倍，
①a=______，b=______；
②完成時間的平均數(shù)是______秒，中位數(shù)是______秒，眾數(shù)是______秒．
(3)若3×3階魔方賽各個區(qū)域的情況大體一致，則根據(jù)A區(qū)域的統(tǒng)計結果估計在3×3階魔方賽后進入下一輪角逐的約有多少人？
【答案】(1)4；
(2)①7，9；②8.8，9，10；
(3)約有120人．
【分析】（1）由圖知1人6秒，3人1秒，小于8秒的愛好者共有4人；
（2）①根據(jù)A區(qū)域30名愛好者完成時間為9秒的人數(shù)是1秒人數(shù)的3倍，可得，再用數(shù)據(jù)總數(shù)30減去其余各組人數(shù)得出a的值；②利用加權平均數(shù)的計算公式列式計算求出平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解；
（3）先求出樣本中進入下一輪角逐的百分比，再乘以900即可．
【詳解】（1）由圖知1人6秒，3人1秒，小于8秒的愛好者共有4人，
即A區(qū)域3×3階魔方愛好者進入下一輪角逐的有（人）．
故答案為:4；
（2）①根據(jù)A區(qū)域30名愛好者完成時間為9秒的人數(shù)是1秒人數(shù)的3倍，可得，
則．
故答案為:7，9；
②完成時間的平均數(shù)是：（秒）；
按從小到大的順序排列后，第15、16個數(shù)據(jù)都是9，所以中位數(shù)是（秒）；
數(shù)據(jù)10秒出現(xiàn)了10次，此時最多，所以眾數(shù)是10秒．
故答案為:8.8，9，10；
（3）（人）．
答：估計在3×3階魔方賽后進入下一輪角逐的約有120人．
19．（23-24高一下·寧夏固原·期末）統(tǒng)計學作為數(shù)學的一個重要分支，其猶如一座堅實的大廈，構建于嚴謹?shù)臄?shù)學基石之上，為理解和詮釋數(shù)據(jù)提供了強大的支撐，請用你所學到的統(tǒng)計知識解答以下問題：
(1)如果將總體分為k層，第j層抽取的樣本為，，…，，第j層的樣本量為，樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.記，總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：，即.
(2)為研究男女學生在生活費支出（單位：元）上的差異，某校在高一年級400名學生中隨機抽取40人，統(tǒng)計他們某一周的生活費支出，得到下面的結果：
抽取的學生 生活費支出的平均數(shù) 生活費支出的標準差
男生22人 380
女生18人 380
根據(jù)以上數(shù)據(jù)及（1）結論，估計該校高一學生這周生活費支出的總體平均數(shù)、總體方差.
【答案】(1)證明見解析
(2)363.5
【分析】（1）推導出， ，再利用方差公式可證得結論不成立.
（2）由（1）公式代入即可計算.
【詳解】（1）
，，
同理可得，
即，即得證．
（2），.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第01講 數(shù)據(jù)的收集及數(shù)字特征
課程標準 學習目標
1．數(shù)據(jù)的收集 2．數(shù)據(jù)的數(shù)字特征及其意義； 1.通過學習簡單隨機抽樣,理解并掌握分層抽樣的概念和步驟,會用分層抽樣解決實際問題,提升數(shù)據(jù)分析與解決問題的核心素養(yǎng). 2.會計算樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,并能解決有關實際問題,提升學生的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學運算的能力.
知識點01 抽樣方法
1.總體與樣本
考察問題涉及的對象全體是總體,總體中每個對象都是個體,抽取的部分對象組成總體的一個樣本,一個樣本中包含的個體數(shù)目是樣本容量.
一般地,對總體中每個個體都進行考察的方法稱為普查(也稱為全面調(diào)查),只抽取樣本進行考察的方法稱為抽樣調(diào)查.
2.簡單隨機抽樣
從總體中不加任何分組、劃類、排隊等,完全隨機地抽取個體,這種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣(也稱純隨機抽樣).
常見的簡單隨機抽樣方法有抽簽法、隨機數(shù)表法.
注意：分層抽樣的適用前提條件是總體可以分層,層與層之間有明顯區(qū)別,而層內(nèi)個體間差異較小.
3.分層抽樣
一般地,如果相對于要考察的問題來說,總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時,每一部分可稱為層,在各層中按層在總體中所占比例進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣).
注意：使用分層抽樣應遵循的原則：(1)將相似的個體歸入一類,即為一層,分層要求每層的各個個體互不交叉,即遵循不重復、不遺漏的原則.
分層抽樣為保證每個個體等可能入樣,需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.
【即學即練1】
1. (多選題)下列抽取樣本的方式不是簡單隨機抽樣的是(　　)
A.從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本
B.盒子里共有80個零件,從中選出5個零件進行質量檢驗,在抽樣操作時,從中任意拿出1個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里
C.從20件玩具中逐個抽取3件進行質量檢驗
D.某班有580名同學,指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽
2. 某商場有四類食品,其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種,現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
知識點02　最值與平均數(shù)
1．最值
一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
2．平均數(shù)
如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為(x1＋x2＋…＋xn)．
這一公式在數(shù)學中常簡記為，其中的符號“∑”表示求和，讀作“西格瑪”，∑右邊式子中的i表示求和的范圍，其最小值與最大值分別寫在∑的下面與上面．
(1)；(2)
【即學即練2】（23-24高一下·河南鄭州·期末）用抽簽法抽取的一個容量為5的樣本，它們的變量值分別為2，4，5，7，9，則該樣本的平均數(shù)為（ ）
A．4.5 B．4.8 C．5.4 D．6
知識點03　中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)
1．中位數(shù)
一般地，有時也可以借助中位數(shù)來表示一組數(shù)的中心位置：如果一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱為這組數(shù)的中位數(shù)．(注意：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的．)
2．百分位數(shù)
(1)定義
一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個數(shù)值：至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)不小于該值．
直觀來說，一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于p%位置的數(shù)．
(2)求百分位數(shù)的步驟
為了方便，我們按如下方式確定p%分位數(shù)：設一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計算inp%的值，如果i不是整數(shù)，設i0為大于i的最小整數(shù)，取x為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取為p%分位數(shù)．特別地，規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是xn(即最大值)．
注意：(1)中位數(shù)就是一個70%分位數(shù)．
(2)按照定義可知，p%分位數(shù)可能不唯一，也正因為如此，各種統(tǒng)計軟件所得出的p%分位數(shù)可能會有差異．
(3)實際應用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)(簡稱為第一四分位數(shù))與75%分位數(shù)(簡稱為第三四分位數(shù))．　　
3．眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．有些情形中，我們用眾數(shù)來描述一組數(shù)據(jù)的中心位置．
注意：(1)眾數(shù)不唯一，可以有一個，也可以有多個，還可以沒有．如果有兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(2)眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)，百分位數(shù)和中位數(shù)都不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)．　　
【即學即練3】（24-25高一上·四川南充·開學考試）“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的長勢，從稻田中隨機抽取7株水稻苗，測得苗高（單位：）分別是23，24，23，25，26，23，25.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．24，25 B．23，23
C．23，24 D．24，24
知識點04　極差、方差與標準差
1．極差
一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差．不難看出，極差反映了一組數(shù)的變化范圍，描述了這組數(shù)的離散程度．
注意： (1)極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感．一般情況下，極差大，則數(shù)據(jù)較分散，數(shù)據(jù)的波動性大；極差小，則數(shù)據(jù)相對集中，數(shù)據(jù)的波動性小，極差的計算非常簡單，但極差只考慮了兩個極端值，而沒有考慮中間的數(shù)據(jù)，因此很多時候，極差作為數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計量，可靠性較差．
(2)極差的取值范圍是[0，＋∞)．　　
2．方差
如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則方差可用求和符號表示為.
3．標準差
方差的算術平方根稱為標準差．
如果一組數(shù)中，各數(shù)據(jù)值都相等，則標準差為0，表明數(shù)據(jù)沒有波動，數(shù)據(jù)沒有離散性；若各數(shù)據(jù)的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動幅度也較大，數(shù)據(jù)的離散程度較高．因此標準差描述了數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的離散程度．
注意：標準差與方差的統(tǒng)計意義
(1)標準差(方差)的取值范圍是[0，＋∞)(標準差的大小不會超過極差)．
(2)標準差(方差)描述了一組數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)離散程度的大小．可以根據(jù)不同組數(shù)據(jù)的離散程度比較標準差(方差)的大小．　　
【即學即練4】（24-25高二上·河南·階段練習）已知退休的王大爺連續(xù)天戶外運動的步數(shù)（單位：百步）分別為，，，，，則該組數(shù)據(jù)的均值與方差分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
知識點05平均數(shù)、方差的計算方法總結
1．平均數(shù)的計算方法
(1)定義法：當所給數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn比較小，又比較分散時，一般選用公式來計算．
(2)新數(shù)據(jù)法：當所給的一組數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的附近波動時，一般選用簡單化公式xia＋xi′，其中常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù)，先計算則.
（3）性質法：如果x1，x2，…，xn，的平均數(shù)為 ，且a，b為常數(shù)，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為a+b.
（4）頻數(shù)平均數(shù)法(也稱為加權平均數(shù)法)：在給定的n個數(shù)據(jù)中，如果x1出現(xiàn)了f1次，x2出現(xiàn)了f2次，…，xk出現(xiàn)了fk次，則一般選用(其中n)來計算平均數(shù)．
2．方差的計算方法
（1）定義法：s2.
（2）簡化法：s2[(x＋x＋…＋x)－n2]．
（3）性質法：如果a，b為常數(shù)（a=0），則ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差為a2s2.
【即學即練5】設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
題型01 普查與抽樣
【典例1】（24-25高一上·四川成都·開學考試）下列調(diào)查中，適合用普查的是（ ）
A．了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間 B．了解“嫦娥四號”衛(wèi)星零部件的質量
C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對廢電池的處理情況
【變式1】（25-26高一上·全國·課前預習）下列調(diào)查中，最適宜采用全面調(diào)查方式（普查）的是（ ）
A．對某市中學生每天學習所用時間的調(diào)查
B．對全國中學生心理健康現(xiàn)狀的調(diào)查
C．對某班學生進行6月5日是“世界環(huán)境日”知曉情況的調(diào)查
D．對某市初中學生課外閱讀量的調(diào)查
【變式2】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）在以下調(diào)查中，適合用普查的個數(shù)是（ ）
①調(diào)查一個班級學生的吃早餐情況； ②調(diào)查某種飲料質量合格情況；
③調(diào)查某批飛行員的身體健康指標； ④調(diào)查某個水庫中草魚所占的比例．
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3】（23-24高一下·青海海南·期末）下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇合理的是（ ）
A．了解某一品牌空調(diào)的使用壽命，選擇普查
B．了解神舟飛船的設備零件的質量情況，選擇抽樣調(diào)查
C．了解一批袋裝食品是否含有防腐劑，選擇普查
D．了解某公園全年的游客流量，選擇抽樣調(diào)查
題型02 總體與樣本
【典例2】（23-24高一下·西藏日喀則·期末）高考結束后，為了分析該校高三年級1000名學生的高考成績，從中隨機抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（ ）
A．100名學生是個體
B．樣本容量是100
C．每名學生的成績是所抽取的一個樣本
D．1000名學生是樣本
【變式1】（25-26高一上·全國·課前預習）從某年級700名學生中抽取80名學生進行身高的統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（ ）
A．700名學生是總體 B．每個被抽查的學生是個體
C．抽取的80名學生的身高是一個樣本 D．抽取的80名學生的身高是樣本容量
【變式2】（25-26高二上·上海·單元測試）學校為了調(diào)查高二年級學生體重情況，隨機抽取70個高二年級學生進行體重測量，這70個學生的體重是（ ）
A．總體 B．個體 C．樣本 D．樣本容量
【變式3】（23-24高一下·廣西河池·期末）某市市場監(jiān)管局為了了解飲料的質量，從該市區(qū)某超市在售的種飲料中抽取了種飲料，對其質量進行了檢查．在這個問題中，是（ ）
A．總體 B．個體 C．樣本 D．樣本量
【變式4】（23-24高一下·新疆伊犁·階段練習）為了解某中學高一年級800名學生的身高情況，抽查了其中100名學生的身高進行統(tǒng)計分析．下列敘述錯誤的是（ ）
A．以上調(diào)查屬于全面調(diào)查
B．每名學生的身高是總體的一個個體
C．100名學生的身高是總體的一個樣本
D．800名學生的身高是總體
題型03 簡單隨機抽樣
【典例3】（24-25高一上·全國·課前預習）下列問題中最適合用簡單隨機抽樣方法的是（ ）
A．某學校有學生1320人，衛(wèi)生部門為了了解學生身體發(fā)育情況，準備從中抽取一個容量為300的樣本
B．從1135個村莊中抽取70個進行收入調(diào)查
C．從全班30名學生中，任意選取5名進行家訪
D．為了解某地區(qū)某傳染病的發(fā)病情況，從該地區(qū)的7000人中抽取200人進行統(tǒng)計
【變式1】24-25高二上·四川成都·階段練習）某校高一共有10個班，編號1至10，某項調(diào)查要從中抽取三個班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽取樣本，每次抽取一個號碼，共抽3次，設五班第二次被抽到的可能性為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·天津南開·期末）利用簡單隨機抽樣的方法，從n個個體（）中抽取13個個體，若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性為（ ）．
A． B． C． D．
題型04 隨機數(shù)表法
【典例4】（23-24高一下·甘肅白銀·階段練習）某總體由編號為的個個體組成，利用下列隨機數(shù)表選出個個體，選法是下列表中第一行第列開始從左到右依次選個數(shù)字，選出的第個個體編號為（ ）
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6216 7670 0310 5523 6405 0526 6238
A．16 B．09 C．19 D．61
【變式1】（23-24高一下·云南玉溪·階段練習）某工廠用簡單隨機抽樣中的隨機數(shù)法對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣，先將700個零件進行編號，.從中抽取70個樣本，下圖是利用軟件生成的隨機數(shù)，只需隨機選定一個初始位置和方向開始讀數(shù)，每次讀取一個3位數(shù)，只要讀取的號碼落在編號范圍內(nèi)，該號碼就是所抽到的樣本編號，這樣即可獲得70個樣本的編號，注意樣本號碼不能重復.若從表中第2行第6列的數(shù)2開始向右讀取數(shù)據(jù)，取到的第一個樣本編號是253，則得到的第6個樣本編號是（ ）
A．007 B．328 C．253 D．623
【變式2】（23-24高一下·江蘇連云港·期末）總體編號為01，02，…，29，30的30個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個個體的編號為（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
【變式3】（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）某高校對中文系新生進行體測，利用隨機數(shù)表對670名學生進行抽樣，先將670名學生進行編號，001，002，，649，670．從中抽取70個樣本，如圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第4個樣本編號是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 580 77 35 78 90 580 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 580 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．007 B．253 C．328 D．880
題型05 分層抽樣
【典例5】（23-24高一下·廣東茂名·階段練習）某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本.若樣本中型號的產(chǎn)品有120件，則樣本容量為（ ）
A．170 B．180 C．200 D．270
【變式1】（23-24高一下·江蘇常州·期末）某高中三個年級共有學生2000人，其中高一800人，高二800人，高三800人，該校為了解學生睡眠情況，準備從全校學生中抽取80人進行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，且按年級來分層，則高一年級應抽取的人數(shù)是（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【變式2】（23-24高一下·陜西·期末）中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝．明代會試分南卷、北卷、中卷，按的比例錄取，若某年會試錄取人數(shù)為200，則中卷錄取人數(shù)為（ ）
A．170 B．110 C．70 D．20
【變式3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）某校高一年級有810名學生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為40，32，則該校高一年級的女生人數(shù)為（ ）.
A．470 B．380 C．400 D．320
【變式4】（24-25高一上·全國·隨堂練習）為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ）
A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學段分層抽樣 D．抽簽法
題型06 平均數(shù)
【典例6】若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【變式1】（23-24高一下·甘肅定西·階段練習）為了配合調(diào)配水資源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通過簡單隨機抽樣從中抽取了1000戶進行調(diào)查，得到其月用水量的平均數(shù)為9噸，則可推測全市居民用戶月用水量的平均數(shù)（ ）
A．一定為9噸 B．高于9噸 C．約為9噸 D．低于9噸
【變式2】（24-25高二上·湖南·階段練習）某學校的高一、高二及高三年級分別有學生人、人、人，用分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個容量為人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級學生的平均身高為、、，估計該校學生的平均身高是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·福建福州·期末）若數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是，標準差是，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式4】（2023·陜西榆林·模擬預測）已知數(shù)據(jù)，，，，，，的極差和平均數(shù)相等，則實數(shù)的值為（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
題型07 眾數(shù)
【典例7】（23-24高一下·新疆·期末）已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學的物理成績分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84
【變式1】（23-24高一上·福建廈門·開學考試）今年是我國現(xiàn)行憲法公布施行40周年.為貫徹黨的二十大精神，強化憲法意識，弘揚憲法精神，推動憲法實施，某學校開展法律知識競賽活動，全校一共100名學生參與其中，得分情況如下表.則分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
分數(shù)（分） 80 70 80 90 100
人數(shù) 8 22 20 30 20
A．80，90 B．90，100
C．85，90 D．90，90
【變式2】（23-24高三上·河北秦皇島·開學考試）五名學生每人投籃15次，統(tǒng)計他們每人投中的次數(shù)，得到五個數(shù)據(jù)，若這五個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，則他們投中次數(shù)的總和最大是 .
【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如下表：
碼號 34 35 36 37 38 39 40 41
數(shù)量/雙 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店經(jīng)理，最關心的是哪種碼號的鞋銷量最大，那么對你來說最重要的是 (填“平均數(shù)”“眾數(shù)”或“中位數(shù)”)．
題型08 百分位數(shù)
【典例8】（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，5，6，7，8，9，10，14，15，18的下四分位數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．10 D．12
【變式1】（23-24高一下·貴州黔西·期末）興義市峰林布依景區(qū)在春節(jié)期間，迎來眾多游客，其中某天接受了一個小型的旅行團，他們的年齡（單位：歲）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．34.5 B．46 C．49 D．52
【變式2】（24-25高二上·上海·單元測試）“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機抽取6位小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為5、6、7、8、9、5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）某部門有8位員工，其中6位員工的月工資分別為8200，8300，8700，9100，9700，9800（單位：元），另兩位員工的月工資數(shù)據(jù)不清楚，但兩人的月工資和為17000元，則這8位員工月工資的可能的最大值為（ ）
A．9100 B．8800
C．8700 D．8700
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．[4.5，＋∞） B．[4.5，6.6）
C．（4.5，＋∞） D．[4.5，6.6]
【變式5】氣象意義上從春季進入夏季的標志為"連續(xù)5天的日平均溫度全都不低于22℃".現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：℃):①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為23，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，平均數(shù)為25，眾數(shù)為27；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有1個數(shù)據(jù)是32，平均數(shù)為26，方差為11.2；④丁地：5個數(shù)據(jù)的20百分位數(shù)為23，平均數(shù)為27．其中肯定進入夏季的地區(qū)個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
題型09 方差與標準差
【典例9】（24-25高一上·山東·開學考試）為了解家里每月的用水量情況，小明收集并記錄了家里連續(xù)6個月的用水量，分別是（單位：噸），關于這幾個數(shù)據(jù)的說法，下列結論中正確的是（ ）
A．平均數(shù)是5 B．眾數(shù)是6 C．中位數(shù)是5 D．方差是
【變式1】（23-24高一下·吉林長春·期末）高一年級某位同學在五次考試中的數(shù)學成績分別為105，90，104，106，95，這位同學五次數(shù)學成績的方差為（ ）
A．20.2 B．40.4 C．70 D．70.2
【變式2】（23-24高一下·廣東廣州·期末）已知樣本數(shù)據(jù)都為正數(shù)，其方差，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式3】．（23-24高一下·河南·開學考試）已知數(shù)據(jù)，，…，的方差為，數(shù)據(jù)，，…，的方差為．則（ ）
A．1 B．2
C． D．
【變式4】（23-24高二下·湖南·期中）為了解某高中甲 乙兩個清北班一周內(nèi)的請假同學人數(shù)情況，采用樣本量比例分配分層隨機抽樣方法進行了調(diào)查.已知甲班調(diào)查了40名同學，其一周內(nèi)請假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為5和1.65，乙班調(diào)查了80名同學，其一周內(nèi)請假人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為4和3.5，據(jù)此估計該校兩個清北班一周內(nèi)請假人數(shù)的總體方差為（ ）
A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1
題型10 數(shù)字特征的實際應用
【典例10】（多選）（23-24高一下·貴州黔西·期末）為了強化學校體育，增強學生體質，狠抓校園足球工作，全面推動校園足球高質量發(fā)展，2023年10月22日，第七屆“金州杯”校園足球聯(lián)賽在普安舉行．在去年的足球聯(lián)賽上，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，則下列說法正確的是（ ）
A．平均說來乙隊比甲隊的防守技術好
B．乙隊比甲隊技術水平更穩(wěn)定
C．甲隊防守中有時防守表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好
D．乙隊很少不失球
【變式1】（24-25高一上·四川成都·開學考試）甲、乙兩人各射擊次，甲所中的環(huán)數(shù)是，，，，，，且甲所中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)是，眾數(shù)是；乙所中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)是，方差是4.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，對甲，乙射擊成績的正確判斷是（ ）
A．甲射擊成績比乙穩(wěn)定 B．乙射擊成績比甲穩(wěn)定
C．甲，乙射擊成績穩(wěn)定性相同 D．甲、乙射擊成績穩(wěn)定性無法比較
【變式2】（24-25高一上·甘肅定西·開學考試）某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高氣溫（單位：℃）如表：則這五天的最高氣溫更穩(wěn)定的是 年.（選填“2022”或“2023”）
1日 2日 3日 4日 5日
2022年 26 27 30 33 31
2023年 22 25 24 24 22
【變式3】為了參加全運會，省運動管理中心對自行車運動員甲、乙兩人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度的數(shù)據(jù)如表所示：請用平均數(shù)和方差來分析甲、乙兩人誰參加這項重大比賽更合適．
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
【變式4】氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天日平均溫度不低于22 ℃”,現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù),單位是℃)
①甲地:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;
②乙地:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,平均數(shù)為24;
③丙地:5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,平均數(shù)為26,方差為10.2.
則肯定進入夏季的地區(qū)是　　　　.
一、單選題
1．（23-24高一下·青海西寧·階段練習）一個公司共有名員工，下設一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為的樣本.已知某部門有名員工，那么從這一部門抽取的員工人數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
2．（23-24高二下·上海·階段練習）現(xiàn)利用隨機數(shù)表法從編號為00，01，02，…，18，19的20支水筆中隨機選取6支，選取方法是從下列隨機數(shù)表第1行的第9個數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6支水筆的編號為（ ）
95228000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
925809580 43890890 06482834 59741458 29778149 64808925
A．14 B．08 C．09 D．06
3．（24-25高一上·四川雅安·開學考試）已知一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，以下說法錯誤的是（　　）
A．極差是5 B．眾數(shù)是8 C．中位數(shù)是9 D．方差是2.8
4．（23-24高一上·浙江臺州·開學考試）水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個，設原有橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，該顧客選購的橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，則下列結論一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A．30，91 B．31，91 C．30，90 D．31，90
6．（23-24高一下·天津西青·期末）8個樣本數(shù)據(jù)11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位數(shù)為（ ）
A．11 B．9.5 C．8 D．7.5
7．（24-25高一上·四川成都·開學考試）如表是某公司員工月收入的資料.
月收入/元 47000 18000 10000 5700 7000 3400 3300 1000
人數(shù) 1 1 1 3 6 1 11 1
能夠反映該公司全體員工月收入水平的統(tǒng)計量是（ ）
A．平均數(shù)和眾數(shù) B．平均數(shù)和中位數(shù)
C．中位數(shù)和眾數(shù) D．平均數(shù)和方差
8．（23-24高一下·湖南長沙·期末）有一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)，平均數(shù)為.若隨機剔除其中一個數(shù)據(jù)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差
B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)
C．若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差
D．若，則新數(shù)據(jù)的分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)
二、多選題
9．（24-25高一上·全國·課堂例題）（多選）某市模考共有70000多名學生參加，某校教科室為了了解本校3390名考生的數(shù)學成績，從中抽取300名考生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（ ）
A．3390名考生是總體的一個樣本 B．3390名考生的數(shù)學成績是總體
C．樣本容量是300 D．70000多名考生的數(shù)學成績是總體
10．（23-24高一下·山東菏澤·階段練習）據(jù)醫(yī)院對某種病情治愈率統(tǒng)計為：老年患者治愈率為，中年患者治愈率為，青年患者治愈率為.現(xiàn)醫(yī)院共有30名老年患者，40名中年患者，70名青年患者，則（ ）
A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為20的樣本，老年患者應抽取5人
B．該醫(yī)院中年患者所占的頻率為
C．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是
D．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是
11．（23-24高一下·黑龍江綏化·期末）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標準為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；乙地：中位數(shù)為3，極差為4；丙地：平均數(shù)為2，中位數(shù)為3；丁地：平均數(shù)為2，標準差為，甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
三、填空題
12．（24-25高一上·全國·課堂例題）將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為2∶3∶4，現(xiàn)用同比例分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，其中A層中的個體數(shù)為16，那么此樣本容量為n ．
13．（24-25高一上·四川成都·開學考試）已知一組數(shù)據(jù)1，2，0，，x，1的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 .
14．（23-24高一下·江蘇常州·期末）設x，y，z都是正整數(shù)，且，，，當x，y，z的取值依次為 時，x，y，z這三個數(shù)的方差最小．（若存在多組取值符合條件，只需寫出其中一組取值）
四、解答題
15．（24-25高一上·全國·課前預習）某單位擬從40名員工中選5人贈送電影票，可采用下面兩種選法：
選法一：將這40名員工按1至40進行編號，并相應地制作號碼為1至40的40個號簽，把這40個號簽放在一個暗箱中攪勻，最后隨機地從中抽取5個號簽，與這個號簽編號一致的員工是幸運人選；
選法二：將35個白球與5個紅球（除顏色外，其他完全相同）混合放在一個暗箱中攪勻，讓40名員工逐一從中不放回地摸取1個球，則摸到紅球的員工是幸運人選，試問：
(1)這兩種選法是否都是抽簽法，為什么？
(2)這兩種選法中每名員工被選中的可能是否相等？
16．（22-23高一下·甘肅白銀·期末）某選手在參加某次比賽中，各評委打出的分數(shù)為10，9，8，9，9，8，10，7，8，6．
(1)求該選手所有得分的平均數(shù)；
(2)若該選手所有得分的分位數(shù)為9，求整數(shù)m的取值集合．
17．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·開學考試）某校為了解九年級學生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽取了該年級的部分學生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù)，設每名學生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當時，為“偏少”；當時，為“一般”；當時，為“良好”；當時，為“優(yōu)秀”，現(xiàn)將調(diào)查結果統(tǒng)計后繪制成不完整的統(tǒng)計圖表：

閱讀本數(shù)（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人數(shù)（名） 1 2 6 7 12 7 y 1
請根據(jù)以上信息回答下列問題：
(1)求出本次隨機抽取的學生總人數(shù)；
(2)分別求出統(tǒng)計表中的的值；
(3)估計該校九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù).
18．（24-25高一上·四川成都·開學考試）某次世界魔方大賽吸引世界各地共900名魔方愛好者參加，本次大賽首輪進行3×3階魔方賽，組委會隨機將愛好者平均分到30個區(qū)域，每個區(qū)域30名同時進行比賽，完成時間小于8秒的愛好者進入下一輪角逐；如圖是3×3階魔方賽A區(qū)域30名愛好者完成時間統(tǒng)計圖，
(1)填空：A區(qū)域3×3階魔方愛好者進入下一輪角逐的有______人．
(2)填空：若A區(qū)域30名愛好者完成時間為9秒的人數(shù)是7秒人數(shù)的3倍，
①a=______，b=______；
②完成時間的平均數(shù)是______秒，中位數(shù)是______秒，眾數(shù)是______秒．
(3)若3×3階魔方賽各個區(qū)域的情況大體一致，則根據(jù)A區(qū)域的統(tǒng)計結果估計在3×3階魔方賽后進入下一輪角逐的約有多少人？
19．（23-24高一下·寧夏固原·期末）統(tǒng)計學作為數(shù)學的一個重要分支，其猶如一座堅實的大廈，構建于嚴謹?shù)臄?shù)學基石之上，為理解和詮釋數(shù)據(jù)提供了強大的支撐，請用你所學到的統(tǒng)計知識解答以下問題：
(1)如果將總體分為k層，第j層抽取的樣本為，，…，，第j層的樣本量為，樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.記，總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：，即.
(2)為研究男女學生在生活費支出（單位：元）上的差異，某校在高一年級400名學生中隨機抽取40人，統(tǒng)計他們某一周的生活費支出，得到下面的結果：
抽取的學生 生活費支出的平均數(shù) 生活費支出的標準差
男生22人 380
女生18人 380
根據(jù)以上數(shù)據(jù)及（1）結論，估計該校高一學生這周生活費支出的總體平均數(shù)、總體方差.
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