資源簡(jiǎn)介

第03講 用樣本估計(jì)總體
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義. 2.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義. 3.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律. 4.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義 5.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層抽樣的樣本均值和樣本方差． 1.能用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征. 2.用樣本的分布估計(jì)總體的分布 3.通過(guò)用樣本估計(jì)總體提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)．
知識(shí)點(diǎn)01 用樣本估計(jì)總體
1．用樣本估計(jì)總體
(1)前提
樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法合理．
(2)必要性
①在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本估計(jì)總體，這樣能節(jié)省人力和物力等．
②有時(shí)候總體的數(shù)字特征不可能獲得，只能用樣本估計(jì)總體．
(3)誤差
估計(jì)一般是有誤差的．但是，大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性將越來(lái)越大.
【即學(xué)即練1】(多選)對(duì)于用樣本分布估計(jì)總體分布的過(guò)程，下列說(shuō)法不正確的是(　　)
A．總體容量越大，估計(jì)越精確
B．總體容量越小，估計(jì)越精確
C．樣本容量越大，估計(jì)越精確
D．樣本容量越小，估計(jì)越精確
【答案】ABD　
【解析】樣本為所研究的具體對(duì)象，樣本容量越大，越能反映總體情況，估計(jì)越精確．總體容量不影響樣本估計(jì)結(jié)果．
知識(shí)點(diǎn)02用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征
(1)一般來(lái)說(shuō)，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可．
(2)樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．以分兩層抽樣的情況為例．
條件 假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為，方差為s2；第二層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為，方差為 t2.
結(jié)論 如果記樣本均值為 ，樣本方差為 b2，則 ,
【即學(xué)即練2】李大伯承包了一個(gè)果園，種植了100棵櫻桃樹(shù)，今年已進(jìn)入收獲期，收獲時(shí)，從中任選并采摘了10棵樹(shù)的櫻桃，分別稱得每棵樹(shù)所產(chǎn)櫻桃的質(zhì)量如下表：
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
質(zhì)量/千克 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22
據(jù)調(diào)查，市場(chǎng)上今年櫻桃的批發(fā)價(jià)格為每千克15元，用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)今年此果園櫻桃的總產(chǎn)量與按批發(fā)價(jià)格銷(xiāo)售櫻桃所得的總收入分別約為(　　)
A．200千克，3 000元
B．1 900千克，28 700元
C．2 000千克，30 000元
D．1 870千克，27 770元
【答案】D　
【解析】樣本平均數(shù)為(14＋21＋27＋17＋18＋20＋19＋23＋19＋22)÷1020(千克)．
由此可估計(jì)每棵櫻桃樹(shù)所產(chǎn)櫻桃質(zhì)量平均約為20千克，所以這100棵櫻桃樹(shù)所產(chǎn)櫻桃的質(zhì)量約為20×1002 000(千克)．根據(jù)櫻桃批發(fā)價(jià)格為每千克15元，可得總收入約為15×2 00030 000(元)．
知識(shí)點(diǎn)03用樣本的分布來(lái)估計(jì)總體的分布
如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為π1，π2，…，πn，樣本在每一組對(duì)應(yīng)的頻率記為p1，p2，…，pn，一般來(lái)說(shuō)，不等于零．當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，上式很小的可能性將越來(lái)越大．
【即學(xué)即練3】(多選)下列說(shuō)法中正確的為(　　)
A．?dāng)?shù)據(jù)的極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
B．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
C．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
D．?dāng)?shù)據(jù)的方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
【答案】ACD　
【解析】由數(shù)據(jù)的極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的定義可知，它們都可以影響樣本數(shù)據(jù)的分布和穩(wěn)定性，而數(shù)據(jù)的平均數(shù)則與之無(wú)關(guān)，故B不正確，ACD正確．
知識(shí)點(diǎn)04“大數(shù)據(jù)”簡(jiǎn)介
凡是可以被 “數(shù)據(jù)化”的信息載體都可以看成數(shù)據(jù)．信息載體包括的數(shù)據(jù)量達(dá)到一定的規(guī)模或者達(dá)到一定的復(fù)雜程度，都可以被認(rèn)為是"大數(shù)據(jù)".
題型01 用樣本數(shù)估計(jì)總體數(shù)
【典例1】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1365石
【答案】C
【解析】根據(jù)樣本比例關(guān)系等于總體比例關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.
【變式1】從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則a的值為 ，該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高的估計(jì)值為 cm.
【答案】0.01；172.5
【解析】根據(jù)題意得，解得；
估計(jì)該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高為
.
【變式2】為了了解某學(xué)校學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)此圖，估計(jì)該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為（ ）
A．300 B．380 C．420 D．470
【答案】C
【分析】由題意，根據(jù)頻率分布直方圖得出高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)在總體中所占的比例，再根據(jù)總?cè)藬?shù)是2000，即可求出人數(shù)得出答案.
【詳解】由圖可知，高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)在總體中所占的比例是
，故該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為，.
【變式3】某校240名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)選擇題測(cè)驗(yàn)（共10題每題1分），隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?br/>成績(jī) 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
人數(shù) 6 0 0 2 4 2 3 2 1 0
(1)求樣本的均值；
(2)請(qǐng)問(wèn)估計(jì)有多少學(xué)生可達(dá)7分（包括7分）以上？
【答案】(1)4.6
(2)72
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；
（2）先求出抽樣的20名學(xué)生中，可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生頻率，再估計(jì)可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生人數(shù)即可.
【詳解】（1）樣本的均值為：.
（2）抽樣的20名學(xué)生中，可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生頻率為，
所以估計(jì)可達(dá)7分（包括7分）以上的學(xué)生有人.
題型02 樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)
【典例2】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取80名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率；
（2）若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值（如組區(qū)間的中點(diǎn)值為）作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計(jì)本次考試的平均分．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為；
分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為；
分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為；
分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為；
分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為；
則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為.
故分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為.
（2）樣本平均數(shù).
故估計(jì)本次考試的平均分為.
【變式1】（24-25高一上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）廖老師為了了解學(xué)生周末利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間，在所任教班級(jí)隨機(jī)調(diào)查了10名學(xué)生，其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間（單位：小時(shí)） 4 3 2 l 0
人數(shù) 3 4 1 1 1
則這10名學(xué)生周末利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)均時(shí)間是 小時(shí).
【答案】2.7
【分析】依據(jù)加權(quán)平均數(shù)的概念求解可得.
【詳解】這10名學(xué)生周末利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)均時(shí)間是：
.
故答案為：2.7
【變式2】某公司為了了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開(kāi)始計(jì)數(shù)的．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；
（2）估計(jì)該公司在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值)．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為，
則，解得：，
即各小長(zhǎng)方形的寬度為.
（2）對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值為.
【變式3】了解某醫(yī)院急救中心病人的等待時(shí)間，現(xiàn)隨機(jī)抽取20位病人，對(duì)他們的等待時(shí)間記錄如下表：
等待時(shí)間/分鐘 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
頻數(shù) 4 8 5 2 1
用上述數(shù)據(jù)估計(jì)該醫(yī)院急救中心病人的平均等待時(shí)間為_(kāi)_______分鐘．
【答案】9.5
【變式4】新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，并精確到0.1）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意可得：，解得.
（2）估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)
.
題型03樣本方差估計(jì)總體方差
【典例3】（2024·浙江·三模）在對(duì)某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，結(jié)合方差的公式，分析選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，
則，
，
結(jié)合選項(xiàng)，可得A項(xiàng)不符合.
.
【變式1】（2024·遼寧葫蘆島·二模）某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，求出該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)，再利用分層抽樣方差的計(jì)算方法求得結(jié)果.
【詳解】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：（小時(shí)），
該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為：.
.
【變式2】（23-24高一下·福建福州·期末）在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高（單位：）調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的平均數(shù)為 ，方差為 .
【答案】
【分析】利用分樣本平均數(shù)和方差與總樣本的平均數(shù)和方差的關(guān)系，代入計(jì)算即可得出結(jié)論.
【詳解】易知總樣本的平均數(shù)為，
代入公式可得總樣本的方差為；
因此總樣本的平均數(shù)為，方差為；
故答案為：；.
【變式3】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）2023年10月22日，2023襄陽(yáng)馬拉松成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)．
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者．若本次宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的方差．
【答案】(1)69.5
(2)．
【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖中各小矩形的面積之和為1，結(jié)合平均數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比公式，結(jié)合總體方差運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由題意可知，
解得
可知每組的頻率依次為，，
所以這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為：
．
（2）設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)分別為，方差分別為，
且各組頻率之比為：
，
所以用分層抽樣的方法抽取第二組面試者人，
第四組面試者人，
則第二組和第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)，
第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的方差
故估計(jì)第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的方差是．
題型04總體百分?jǐn)?shù)的估計(jì)
【典例4】（24-25高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級(jí)舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共700人參加，若參賽學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．至少為300人 B．至少為200人
C．至多為300人 D．至多為200人
【答案】A
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷．
【詳解】由題意，，因此競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)至多有人，
．
【變式1】（24-25高二上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，重慶市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水．計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中．
(1)求直方圖中，的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；
(2)設(shè)該市有40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)，，平均數(shù)為
(2)萬(wàn)，理由見(jiàn)解析
(3)5.8噸，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由頻率之和為1以及列方程組求得的值，并由頻率分布直方圖中間值作為代表，計(jì)算出平均數(shù)；
（2）計(jì)算不低于2噸人數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，求出對(duì)應(yīng)的人數(shù)；
（3）由頻率分布直方圖計(jì)算頻率，可判斷，再根據(jù)頻率列出方程，求出的值.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得
，
又，則，，
該市居民用水的平均數(shù)估計(jì)為：
；
（2）由頻率分布直方圖可得，
月均用水量不超過(guò)2噸的頻率為：，
則月均用水量不低于2噸的頻率為：，
所以全市40萬(wàn)居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：
（萬(wàn)）；
（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過(guò)6噸的頻率為：0.88，
月均用水量不超過(guò)5噸的頻率為0.73，
則85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），，
，解得，
即標(biāo)準(zhǔn)為5.8噸．
【變式2】（2024·四川南充·一模）甲同學(xué)近10次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學(xué)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．118 B．121 C．122 D．123
【答案】A
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算．
【詳解】已知數(shù)據(jù)按從小到大排列為：，
，因此第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)123.
．
【變式3】(2024·貴州遵義期末)某景點(diǎn)某天接待了1270名游客，老年有625人，中青年有700人，少年有125人，該景點(diǎn)為了提升服務(wù)質(zhì)量，采用分層抽樣從當(dāng)天游客中抽取100人，以評(píng)分方式進(jìn)行滿意度回訪．將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按照[70，80)，[80，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5組，制成如下頻率分布直方圖：
(1)求抽取的樣本中老年、中青年、少年的人數(shù)；
(2)求頻率分布直方圖中a的值；
(3)估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值的75%分位數(shù)；
(4)估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值不低于80分的人數(shù)．
【解析】(1)因?yàn)槔夏暧?25人，中青年有700人，少年有125人，所以老年、中青年、少年的人數(shù)比例為625∶700∶1255∶4∶1，
故抽取100人的樣本中老年的人數(shù)為100×70，中青年的人數(shù)為100×40，少年的人數(shù)為100×10.
(2)由題意可得(0.010＋0.025＋0.035＋a＋0.010)×101，解得a0.020.
(3)設(shè)當(dāng)天游客滿意度分值的75%分位數(shù)為x，
因?yàn)?0.010＋0.025＋0.035)×100.7<0.75，0.7＋0.020×100.9>0.75，
所以x位于區(qū)間[80，90)內(nèi)，
則(x－80)×0.0200.75－0.7，
解得x82.5.
所以估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值的75%分位數(shù)為82.5.
(4)由題圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在[80，100]的頻率為(0.020＋0.010)×100.30.
所以估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值不低于80分的人數(shù)為1270×0.30375.
題型05樣本分布估計(jì)總體分布
【典例5】一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)制作了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步調(diào)查，則在段應(yīng)抽出（ ）
A．25人 B．70人 C．100人 D．125人
【答案】A
【解析】10000人中在段的有（人），
利用分層隨機(jī)抽樣從10000人中抽取100人做進(jìn)一步調(diào)查，
設(shè)在段應(yīng)抽取人，則，解得.
【變式1】為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小矩形面積之比為，第二小組頻數(shù)為12．
（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
（2）若次數(shù)在110以上（含110）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少．
【答案】（1），樣本容量為；（2）.
【解析】（1）依題意，頻率直方圖中各小矩形的面積對(duì)應(yīng)該小組的頻率，
所以第二小組的頻率為：，樣本容量為：.
（2）由圖估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為.
【變式2】某校為了解學(xué)生第一個(gè)“雙減”后的暑假最期待什么活動(dòng)，校學(xué)生會(huì)隨機(jī)對(duì)該校七年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為四個(gè)類別：A表示“廣泛閱讀”，B表示“勞動(dòng)實(shí)踐”，C表示“戶外運(yùn)動(dòng)”，D表示“其他”，每個(gè)同學(xué)只能選擇其中的一項(xiàng)，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制成兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問(wèn)題．

（1）參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____ 人；
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）該校七年級(jí)有800名學(xué)生，估計(jì)全校七年級(jí)學(xué)生中最期待“勞動(dòng)實(shí)踐”的約有多少名？
【答案】（1）；（2）條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析；（3）128名
【解析】（1）參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：人.
（2）由題意得B的人數(shù)為：人，
將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如下：
（3）（名）
【變式3】為保障食品安全，某地食品藥監(jiān)管部門(mén)對(duì)轄區(qū)食品企業(yè)進(jìn)行檢查，從甲企業(yè)生產(chǎn)的某種同類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依據(jù).已知該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下：
質(zhì)量指標(biāo)值
等級(jí) 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品
根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組，統(tǒng)計(jì)得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖（其中）.現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，估計(jì)該件產(chǎn)品為次品的概率為 .
【答案】
【解析】由題得：，解得：，
則甲企業(yè)的樣本中次品的頻率為：，
故從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，估計(jì)該件產(chǎn)品為次品的概率為：.
一、單選題
1．（23-24高三上·天津·階段練習(xí)）為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，對(duì)所得的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：）進(jìn)行分組，區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組．畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的頻率之比為，且第一組的頻數(shù)為6，則報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是（ ）
A．48 B．5 C．54 D．80
【答案】A
【分析】先由題意求出前三組頻率之和，進(jìn)而求出第一組的頻率，從而再結(jié)合第一組頻數(shù)即可得解.
【詳解】由題前三組頻率之和為，
又第一組、第二組和第三組的頻率之比為，
所以第一組的頻率為，又第一組的頻數(shù)為，
所以報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)為人.
.
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)都在內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由長(zhǎng)方形的面積和為1求出，再由第75百分位數(shù)的定義求解；
【詳解】因?yàn)椋?
參賽成績(jī)位于內(nèi)的頻率為，
第75百分位數(shù)在內(nèi)，
設(shè)為，則，
解得5，即第75百分位數(shù)為85，
.
3．（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）習(xí)近平總書(shū)記在致首屆全民閱讀大會(huì)的賀信中指出：“閱讀是人類獲取知識(shí) 啟智增慧 培養(yǎng)道德的重要途徑，可以讓人得到思想啟發(fā)，樹(shù)立崇高理想，涵養(yǎng)浩然之氣；希望全社會(huì)都參與到閱讀中來(lái)，形成愛(ài)讀書(shū) 讀好書(shū) 善讀書(shū)的濃厚氛圍.”為落實(shí)習(xí)總書(shū)記關(guān)于閱讀的重要指示，復(fù)興中學(xué)開(kāi)展了“讀名著 品經(jīng)典”活動(dòng).現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)間（單位：），分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)該校學(xué)生閱讀時(shí)間不少于的概率為（ ）
A．0.170 B．0.400 C．0.470 D．0.870
【答案】A
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積的含義即可求得答案.
【詳解】由頻率分布直方圖可估計(jì)該校學(xué)生閱讀時(shí)間不少于的概率為：
，
4．（24-25高二上·海南海口·階段練習(xí)）某學(xué)校高一年級(jí)在校人數(shù)為人，其中男生人，女生人，為了解學(xué)生身高發(fā)展情況，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出的男生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為cm，抽出的女生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為cm，則該校高一學(xué)生的平均身高為（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【分析】由題意可知，，且，根據(jù)樣本平均數(shù)，求解即可.
【詳解】由題意可知，，且，
所以樣本平均數(shù)，
故該校高一學(xué)生的平均身高的估計(jì)值為．
.
5．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）某校舉行勞動(dòng)技能大賽，統(tǒng)計(jì)了100名學(xué)生的比賽成績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，不低于90分的視為優(yōu)秀，低于80分的視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值做代表值，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)比不及格學(xué)生人數(shù)少15人
C．該次比賽成績(jī)的平均分約為70.5 D．這次比賽成績(jī)的分位數(shù)為78
【答案】A
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)特點(diǎn)，利用平均分的法則和百分位數(shù)的定義即可求解.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為，不及格學(xué)生人數(shù)，
優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)比不及格學(xué)生人數(shù)少15人，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，平均分，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)百分位數(shù)為，則有，所以，故D正確.
6．（24-25高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級(jí)舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共700人參加，若參賽學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．至少為300人 B．至少為200人
C．至多為300人 D．至多為200人
【答案】A
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷．
【詳解】由題意，，因此競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)至多有人，
．
7．（23-24高三上·河南·期中）某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的兩倍，某次數(shù)學(xué)考試中男生成績(jī)（單位：分）的平均數(shù)和方差分別為120和20，女生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為123和17，則全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為（ ）
A．21 B．19 C．18 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合總體的平均數(shù)、方差公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)該班有女生m人，則全班有3m人，
則全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)，
全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差．
．
8．（24-25高二上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)據(jù)，，，…，，滿足：（），若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．中位數(shù)不變 B．第35百分位數(shù)不變 C．平均數(shù)不變 D．方差不變
【答案】A
【分析】由中位數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)和方差的定義，計(jì)算后確定結(jié)論.
【詳解】原來(lái)的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A選項(xiàng)正確；
原數(shù)據(jù)中，，第35百分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)據(jù)，
去掉，后，，第35百分位數(shù)是新數(shù)據(jù)中的第3個(gè)，
第35百分位數(shù)不變，B選項(xiàng)正確；
原來(lái)的平均數(shù)為，
去，掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故C選項(xiàng)正確；
原來(lái)的方差為，
去掉后，的方差為，
方差變小，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
.
二、多選題
9．（24-25高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）以下命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)，，，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，，，的方差為8
B．一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5
C．?dāng)?shù)據(jù)0，1，2，4的極差與平均數(shù)之積為6
D．已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，，，，，其平均數(shù)為，則
【答案】ABD
【分析】對(duì)A，由方差的性質(zhì)：即可求解；對(duì)B，根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解；對(duì)C，根據(jù)極差和平均數(shù)的定義即可求解；對(duì)D，根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解.
【詳解】對(duì)A，，，，，，的方差為2，
，，，，，的方差為，故A對(duì)；
對(duì)B，數(shù)據(jù)8，9，10，11，12共個(gè)數(shù)，，
故數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是：，故B對(duì)；
對(duì)C，數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差為：，平均數(shù)為：，
故極差與平均數(shù)之積為：，故C錯(cuò)；
對(duì)D，一組不完全相同的數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，
，故，
故，故D對(duì).
BD.
10．（2024·貴州黔東南·二模）某學(xué)校為了解學(xué)生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從4000名學(xué)生（該校男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個(gè)容量為100的樣本.其中，男生平均身高為175，方差為184，女生平均身高為180，方差為179.則下列說(shuō)法正確的是參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，，，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則（ ）
參考公式：
A．抽取的樣本里男生有80人
B．每一位學(xué)生被抽中的可能性為
C．估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為170
D．估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的方差為236
【答案】ABD
【分析】根據(jù)分層抽樣的公式，以及利用每層樣本的平均數(shù)和方差公式，代入總體的均值和方差公式，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于項(xiàng)，抽取的樣本里男生有人，所以A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由題可知，每一位學(xué)生被抽中的可能性為，所以B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的方差為，所以D項(xiàng)正確.
BD
11．（24-25高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則 （ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，C，D運(yùn)用分層抽樣的平均數(shù)公式，結(jié)合已知條件計(jì)算判斷；對(duì)于B,舉反例判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)， ，A正確；
當(dāng)時(shí)，取則m與n不一定相等，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)， ，C正確；
當(dāng)時(shí),，有，故
即，所以，D正確．
CD.
三、填空題
12．（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）某輛汽車(chē)每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車(chē)相鄰兩次加油時(shí)情況
加油時(shí)間 加油量（升） 加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）
2024年9月1日 12 37000
2024年9月15日 80 358000
注：“累計(jì)里程”指汽車(chē)從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程.在這段時(shí)間內(nèi)，該車(chē)每100千米平均耗油量為 升.
【答案】10
【分析】根據(jù)表格，得出耗油量及行駛的里程數(shù)便可得到答案.
【詳解】因?yàn)槊看味及延拖浼訚M，第二次加了80升油，說(shuō)明這段時(shí)間總耗油量為80升，
而行駛的路程為 (千米)，故每100千米平均耗油量為 (升)．
故答案為：10.
13．（24-25高一上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知一組數(shù)據(jù)、、、、、的中位數(shù)是，則的值是 ．
【答案】
【分析】先確定從小到大排列后的位置，再根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可．
【詳解】根據(jù)題意，的位置按照從小到大的排列只能是：、、、、、，
根據(jù)中位數(shù)是，得：，解得：．
故答案為：．
14．同學(xué)甲用公式計(jì)算一組樣本數(shù)據(jù)的方差，那么 .
【答案】700
【分析】根據(jù)題意結(jié)合方差公式可知樣本均值為5，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則樣本均值為5，共100個(gè)數(shù)據(jù)，所以.
故答案為：700.
四、解答題
15.在黨中央領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展取得顯著成效，商業(yè)模式創(chuàng)新發(fā)展，消費(fèi)結(jié)構(gòu)升級(jí)持續(xù)發(fā)展．某主打線上零售產(chǎn)品的企業(yè)隨機(jī)抽取了70名銷(xiāo)售員，統(tǒng)計(jì)了其2023年的月均銷(xiāo)售額(單位：萬(wàn)元)，將數(shù)據(jù)按照[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)，[20，22)，[22，24]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．已知[14，16)組的頻數(shù)比[12，14)組多4.
(1)求頻率分布直方圖中a和b的值；
(2)該企業(yè)為了挖掘銷(xiāo)售員的工作潛力，對(duì)銷(xiāo)售員實(shí)行沖刺目標(biāo)管理，即給銷(xiāo)售員確定一個(gè)具體的沖刺目標(biāo)，完成這個(gè)沖刺目標(biāo)，則給予額外獎(jiǎng)勵(lì)，若公司希望恰有20%的銷(xiāo)售人員能夠獲得額外獎(jiǎng)勵(lì)，求該企業(yè)應(yīng)該制定的月銷(xiāo)售沖刺目標(biāo)值．
【解析】(1)由題意得
解得
(2)設(shè)該企業(yè)應(yīng)該制定的月銷(xiāo)售沖刺目標(biāo)值為x萬(wàn)元，則在頻率分布直方圖中x右邊的面積為0.2.
最后一組的面積是0.04×20.08，最后兩組的面積之和為0.10×2＋0.080.28.
因?yàn)?.08＜0.2＜0.28，所以x位于區(qū)間[20，22)內(nèi)，則(22－x)×0.10＋0.080.2，
解得x20.8.
故該企業(yè)應(yīng)該制定的月銷(xiāo)售沖刺目標(biāo)值為20.8萬(wàn)元．
16.某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過(guò)抽樣，獲得了某年100戶居民每人的月均用水量（單位：噸）.將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如下圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求直方圖中a的值；
（2）用每組區(qū)間的中點(diǎn)作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的月均用水量前四組的方差都為0.3，后5組的方差都為0.4，求這100戶居民月均用水量的方差．
【答案】（1）0.30；（2）1.1136.
【解析】（1）由頻率分布直方圖知，
數(shù)據(jù)在
的頻率依次，
則由，解得，
所以直方圖中a的值為0.30.
（2）由頻率分布直方圖得100戶居民月均用水量的平均數(shù)為：
，
所以這100戶居民月均用水量的方差為：
.
17.（24-25高二上·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）某市教育局組織全市170名校園安全員參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽后對(duì)其成績(jī)(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按，， ， ， 分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．
(1)試估計(jì)這170名安全員競(jìng)賽成績(jī)的平均分；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(2)教育局?jǐn)M對(duì)競(jìng)賽得分不低于85分的安全員進(jìn)行表彰，試估計(jì)本次競(jìng)賽受表彰的安全員有多少位；
(3)該教育局準(zhǔn)備對(duì)本次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)較差的15%的安全員開(kāi)展校園安全知識(shí)講座，則需要參加講座的安全員的分?jǐn)?shù)不超過(guò)多少分(結(jié)果四舍五入成整數(shù)).
【答案】(1)79.4
(2)54
(3)66
【分析】（1）應(yīng)用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算不低于85分的概率乘以170計(jì)算；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖應(yīng)用概率得即可求出分?jǐn)?shù).
【詳解】（1），
所以估計(jì)這170名安全員競(jìng)賽成績(jī)的平均分為79.4．
（2）因?yàn)檫@170位安全員得分不低于85分的頻率為：，，所以估計(jì)本次競(jìng)賽受表彰的安全員有54位．
（3）由頻率分布直方圖可得，第一組的頻率為，
前兩組的頻率之和為．
設(shè)需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過(guò)x，則．
．
故需要參加講座的居民的分?jǐn)?shù)不超過(guò)66分．
18．如下莖葉圖記錄了某籃球隊(duì)內(nèi)兩大中鋒在六次訓(xùn)練中搶得籃板球數(shù)的記錄，現(xiàn)有一個(gè)數(shù)據(jù)被污損，在圖中以X表示，但知道乙球員搶得籃板球數(shù)的平均數(shù)為10.
(1)求X的值和乙球員搶得籃板球數(shù)的方差；
(2)如果你是該球隊(duì)的教練，在正式比賽中你會(huì)派誰(shuí)上場(chǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由(用數(shù)據(jù)說(shuō)明)．
解：(1)由莖葉圖，可得10，
解得X9；
乙球員搶得籃板球數(shù)的方差為
s×[(9－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(8－10)2＋(14－10)2＋(12－10)2]5.
(2)甲10，
s×[(6－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(14－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]6，
由(1)，可知甲乙，s＜s，
所以乙球員發(fā)揮得更穩(wěn)定，派乙球員上場(chǎng)．
19.（22-23高一下·山東臨沂·期末）某市文旅局為激發(fā)夜間文旅市場(chǎng)的活力，共設(shè)置夜市攤點(diǎn)700個(gè)，為調(diào)查這些夜市攤點(diǎn)的服務(wù)情況，該文旅局隨機(jī)抽取了100個(gè)夜市攤點(diǎn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分越高，服務(wù)越好，滿分為100分．將分?jǐn)?shù)以20為組距分為5組：、、、、，得到100個(gè)夜市攤點(diǎn)得分的頻率分布直方圖，如圖，已知組的頻數(shù)比組多8．
(1)求直方圖中和的值；
(2)為進(jìn)一步提升夜市經(jīng)濟(jì)消費(fèi)品質(zhì)，提高服務(wù)質(zhì)量，該文旅局準(zhǔn)備對(duì)剩下的所有夜市攤點(diǎn)進(jìn)行評(píng)分，并制定一個(gè)評(píng)分分?jǐn)?shù)，給達(dá)到這個(gè)分?jǐn)?shù)的攤位頒發(fā)“服務(wù)優(yōu)秀”榮譽(yù)證書(shū)．若該文旅局希望使得恰有70%的攤位獲得榮譽(yù)證書(shū)，求應(yīng)該制定的評(píng)分分?jǐn)?shù)．
【答案】(1)，；
(2)72分.
【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1及已知列出方程組，求解即得.
（2）由頻率分布直方圖中，評(píng)分分?jǐn)?shù)右側(cè)小矩形面積和為0.5，列式計(jì)算即得.
【詳解】（1）依題意，，
所以，.
（2）設(shè)應(yīng)該制定的評(píng)分分?jǐn)?shù)為分，則在頻率分布直方圖中，直線右邊小矩形的面積和為0.5，
而的小矩形面積是，
則在內(nèi)，于是，解得，
所以應(yīng)該制定的評(píng)分分?jǐn)?shù)為72分.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第03講 用樣本估計(jì)總體
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義. 2.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義. 3.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律. 4.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義 5.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層抽樣的樣本均值和樣本方差． 1.能用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征. 2.用樣本的分布估計(jì)總體的分布 3.通過(guò)用樣本估計(jì)總體提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)．
知識(shí)點(diǎn)01 用樣本估計(jì)總體
1．用樣本估計(jì)總體
(1)前提
樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法合理．
(2)必要性
①在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本估計(jì)總體，這樣能節(jié)省人力和物力等．
②有時(shí)候總體的數(shù)字特征不可能獲得，只能用樣本估計(jì)總體．
(3)誤差
估計(jì)一般是有誤差的．但是，大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性將越來(lái)越大.
【即學(xué)即練1】(多選)對(duì)于用樣本分布估計(jì)總體分布的過(guò)程，下列說(shuō)法不正確的是(　　)
A．總體容量越大，估計(jì)越精確
B．總體容量越小，估計(jì)越精確
C．樣本容量越大，估計(jì)越精確
D．樣本容量越小，估計(jì)越精確
知識(shí)點(diǎn)02用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征
(1)一般來(lái)說(shuō)，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可．
(2)樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．以分兩層抽樣的情況為例．
條件 假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為，方差為s2；第二層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為，方差為 t2.
結(jié)論 如果記樣本均值為 ，樣本方差為 b2，則 ,
【即學(xué)即練2】李大伯承包了一個(gè)果園，種植了100棵櫻桃樹(shù)，今年已進(jìn)入收獲期，收獲時(shí)，從中任選并采摘了10棵樹(shù)的櫻桃，分別稱得每棵樹(shù)所產(chǎn)櫻桃的質(zhì)量如下表：
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
質(zhì)量/千克 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22
據(jù)調(diào)查，市場(chǎng)上今年櫻桃的批發(fā)價(jià)格為每千克15元，用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)今年此果園櫻桃的總產(chǎn)量與按批發(fā)價(jià)格銷(xiāo)售櫻桃所得的總收入分別約為(　　)
A．200千克，3 000元
B．1 900千克，28 700元
C．2 000千克，30 000元
D．1 870千克，27 770元
知識(shí)點(diǎn)03用樣本的分布來(lái)估計(jì)總體的分布
如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為π1，π2，…，πn，樣本在每一組對(duì)應(yīng)的頻率記為p1，p2，…，pn，一般來(lái)說(shuō)，不等于零．當(dāng)樣本的容量越來(lái)越大時(shí)，上式很小的可能性將越來(lái)越大．
【即學(xué)即練3】(多選)下列說(shuō)法中正確的為(　　)
A．?dāng)?shù)據(jù)的極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
B．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
C．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
D．?dāng)?shù)據(jù)的方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
知識(shí)點(diǎn)04“大數(shù)據(jù)”簡(jiǎn)介
凡是可以被 “數(shù)據(jù)化”的信息載體都可以看成數(shù)據(jù)．信息載體包括的數(shù)據(jù)量達(dá)到一定的規(guī)模或者達(dá)到一定的復(fù)雜程度，都可以被認(rèn)為是"大數(shù)據(jù)".
題型01 用樣本數(shù)估計(jì)總體數(shù)
【典例1】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1365石
【變式1】從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則a的值為 ，該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高的估計(jì)值為 cm.
【變式2】為了了解某學(xué)校學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)此圖，估計(jì)該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為（ ）
A．300 B．380 C．420 D．470
【變式3】某校240名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)選擇題測(cè)驗(yàn)（共10題每題1分），隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?br/>成績(jī) 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
人數(shù) 6 0 0 2 4 2 3 2 1 0
(1)求樣本的均值；
(2)請(qǐng)問(wèn)估計(jì)有多少學(xué)生可達(dá)7分（包括7分）以上？
題型02 樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)
【典例2】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取80名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率；
（2）若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值（如組區(qū)間的中點(diǎn)值為）作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計(jì)本次考試的平均分．
【變式1】（24-25高一上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）廖老師為了了解學(xué)生周末利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間，在所任教班級(jí)隨機(jī)調(diào)查了10名學(xué)生，其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間（單位：小時(shí)） 4 3 2 l 0
人數(shù) 3 4 1 1 1
則這10名學(xué)生周末利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行學(xué)均時(shí)間是 小時(shí).
【變式2】某公司為了了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開(kāi)始計(jì)數(shù)的．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；
（2）估計(jì)該公司在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值)．
【變式3】了解某醫(yī)院急救中心病人的等待時(shí)間，現(xiàn)隨機(jī)抽取20位病人，對(duì)他們的等待時(shí)間記錄如下表：
等待時(shí)間/分鐘 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
頻數(shù) 4 8 5 2 1
用上述數(shù)據(jù)估計(jì)該醫(yī)院急救中心病人的平均等待時(shí)間為_(kāi)_______分鐘．
【變式4】新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，并精確到0.1）.
題型03樣本方差估計(jì)總體方差
【典例3】（2024·浙江·三模）在對(duì)某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【變式1】（2024·遼寧葫蘆島·二模）某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·福建福州·期末）在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高（單位：）調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的平均數(shù)為 ，方差為 .
【變式3】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）2023年10月22日，2023襄陽(yáng)馬拉松成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)．
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者．若本次宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的方差．
題型04總體百分?jǐn)?shù)的估計(jì)
【典例4】（24-25高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級(jí)舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共700人參加，若參賽學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．至少為300人 B．至少為200人
C．至多為300人 D．至多為200人
【變式1】（24-25高二上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，重慶市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水．計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中．
(1)求直方圖中，的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；
(2)設(shè)該市有40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；
(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由．
【變式2】（2024·四川南充·一模）甲同學(xué)近10次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學(xué)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．118 B．121 C．122 D．123
【變式3】(2024·貴州遵義期末)某景點(diǎn)某天接待了1270名游客，老年有625人，中青年有700人，少年有125人，該景點(diǎn)為了提升服務(wù)質(zhì)量，采用分層抽樣從當(dāng)天游客中抽取100人，以評(píng)分方式進(jìn)行滿意度回訪．將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按照[70，80)，[80，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5組，制成如下頻率分布直方圖：
(1)求抽取的樣本中老年、中青年、少年的人數(shù)；
(2)求頻率分布直方圖中a的值；
(3)估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值的75%分位數(shù)；
(4)估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值不低于80分的人數(shù)．
題型05樣本分布估計(jì)總體分布
【典例5】一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)制作了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步調(diào)查，則在段應(yīng)抽出（ ）
A．25人 B．70人 C．100人 D．125人
【變式1】為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小矩形面積之比為，第二小組頻數(shù)為12．
（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
（2）若次數(shù)在110以上（含110）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少．
【變式2】某校為了解學(xué)生第一個(gè)“雙減”后的暑假最期待什么活動(dòng)，校學(xué)生會(huì)隨機(jī)對(duì)該校七年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為四個(gè)類別：A表示“廣泛閱讀”，B表示“勞動(dòng)實(shí)踐”，C表示“戶外運(yùn)動(dòng)”，D表示“其他”，每個(gè)同學(xué)只能選擇其中的一項(xiàng)，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制成兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問(wèn)題．

（1）參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____ 人；
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）該校七年級(jí)有800名學(xué)生，估計(jì)全校七年級(jí)學(xué)生中最期待“勞動(dòng)實(shí)踐”的約有多少名？
【變式3】為保障食品安全，某地食品藥監(jiān)管部門(mén)對(duì)轄區(qū)食品企業(yè)進(jìn)行檢查，從甲企業(yè)生產(chǎn)的某種同類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依據(jù).已知該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下：
質(zhì)量指標(biāo)值
等級(jí) 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品
根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組，統(tǒng)計(jì)得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖（其中）.現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，估計(jì)該件產(chǎn)品為次品的概率為 .
一、單選題
1．（23-24高三上·天津·階段練習(xí)）為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，對(duì)所得的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：）進(jìn)行分組，區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組．畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的頻率之比為，且第一組的頻數(shù)為6，則報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是（ ）
A．48 B．5 C．54 D．80
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)都在內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）習(xí)近平總書(shū)記在致首屆全民閱讀大會(huì)的賀信中指出：“閱讀是人類獲取知識(shí) 啟智增慧 培養(yǎng)道德的重要途徑，可以讓人得到思想啟發(fā)，樹(shù)立崇高理想，涵養(yǎng)浩然之氣；希望全社會(huì)都參與到閱讀中來(lái)，形成愛(ài)讀書(shū) 讀好書(shū) 善讀書(shū)的濃厚氛圍.”為落實(shí)習(xí)總書(shū)記關(guān)于閱讀的重要指示，復(fù)興中學(xué)開(kāi)展了“讀名著 品經(jīng)典”活動(dòng).現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)間（單位：），分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)該校學(xué)生閱讀時(shí)間不少于的概率為（ ）
A．0.170 B．0.400 C．0.470 D．0.870
4．（24-25高二上·海南海口·階段練習(xí)）某學(xué)校高一年級(jí)在校人數(shù)為人，其中男生人，女生人，為了解學(xué)生身高發(fā)展情況，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出的男生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為cm，抽出的女生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為cm，則該校高一學(xué)生的平均身高為（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
5．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）某校舉行勞動(dòng)技能大賽，統(tǒng)計(jì)了100名學(xué)生的比賽成績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，不低于90分的視為優(yōu)秀，低于80分的視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值做代表值，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)比不及格學(xué)生人數(shù)少15人
C．該次比賽成績(jī)的平均分約為70.5 D．這次比賽成績(jī)的分位數(shù)為78
6．（24-25高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）“綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態(tài)環(huán)境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級(jí)舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共700人參加，若參賽學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是80分，則關(guān)于競(jìng)賽成績(jī)不小于80分的人數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．至少為300人 B．至少為200人
C．至多為300人 D．至多為200人
7．（23-24高三上·河南·期中）某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的兩倍，某次數(shù)學(xué)考試中男生成績(jī)（單位：分）的平均數(shù)和方差分別為120和20，女生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為123和17，則全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為（ ）
A．21 B．19 C．18 D．
8．（24-25高二上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)據(jù)，，，…，，滿足：（），若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．中位數(shù)不變 B．第35百分位數(shù)不變 C．平均數(shù)不變 D．方差不變
二、多選題
9．（24-25高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）以下命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)，，，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，，，的方差為8
B．一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5
C．?dāng)?shù)據(jù)0，1，2，4的極差與平均數(shù)之積為6
D．已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，，，，，其平均數(shù)為，則
10．（2024·貴州黔東南·二模）某學(xué)校為了解學(xué)生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從4000名學(xué)生（該校男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個(gè)容量為100的樣本.其中，男生平均身高為175，方差為184，女生平均身高為180，方差為179.則下列說(shuō)法正確的是參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，，，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則（ ）
參考公式：
A．抽取的樣本里男生有80人
B．每一位學(xué)生被抽中的可能性為
C．估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為170
D．估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的方差為236
11．（24-25高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則 （ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題
12．（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）某輛汽車(chē)每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車(chē)相鄰兩次加油時(shí)情況
加油時(shí)間 加油量（升） 加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）
2024年9月1日 12 37000
2024年9月15日 80 358000
注：“累計(jì)里程”指汽車(chē)從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程.在這段時(shí)間內(nèi)，該車(chē)每100千米平均耗油量為 升.
13．（24-25高一上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知一組數(shù)據(jù)、、、、、的中位數(shù)是，則的值是 ．
14．同學(xué)甲用公式計(jì)算一組樣本數(shù)據(jù)的方差，那么 .
四、解答題
15.在黨中央領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展取得顯著成效，商業(yè)模式創(chuàng)新發(fā)展，消費(fèi)結(jié)構(gòu)升級(jí)持續(xù)發(fā)展．某主打線上零售產(chǎn)品的企業(yè)隨機(jī)抽取了70名銷(xiāo)售員，統(tǒng)計(jì)了其2023年的月均銷(xiāo)售額(單位：萬(wàn)元)，將數(shù)據(jù)按照[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)，[20，22)，[22，24]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．已知[14，16)組的頻數(shù)比[12，14)組多4.
(1)求頻率分布直方圖中a和b的值；
(2)該企業(yè)為了挖掘銷(xiāo)售員的工作潛力，對(duì)銷(xiāo)售員實(shí)行沖刺目標(biāo)管理，即給銷(xiāo)售員確定一個(gè)具體的沖刺目標(biāo)，完成這個(gè)沖刺目標(biāo)，則給予額外獎(jiǎng)勵(lì)，若公司希望恰有20%的銷(xiāo)售人員能夠獲得額外獎(jiǎng)勵(lì)，求該企業(yè)應(yīng)該制定的月銷(xiāo)售沖刺目標(biāo)值．
16.某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過(guò)抽樣，獲得了某年100戶居民每人的月均用水量（單位：噸）.將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如下圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求直方圖中a的值；
（2）用每組區(qū)間的中點(diǎn)作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的月均用水量前四組的方差都為0.3，后5組的方差都為0.4，求這100戶居民月均用水量的方差．
17.（24-25高二上·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）某市教育局組織全市170名校園安全員參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽后對(duì)其成績(jī)(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按，， ， ， 分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．
(1)試估計(jì)這170名安全員競(jìng)賽成績(jī)的平均分；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(2)教育局?jǐn)M對(duì)競(jìng)賽得分不低于85分的安全員進(jìn)行表彰，試估計(jì)本次競(jìng)賽受表彰的安全員有多少位；
(3)該教育局準(zhǔn)備對(duì)本次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)較差的15%的安全員開(kāi)展校園安全知識(shí)講座，則需要參加講座的安全員的分?jǐn)?shù)不超過(guò)多少分(結(jié)果四舍五入成整數(shù)).
18．如下莖葉圖記錄了某籃球隊(duì)內(nèi)兩大中鋒在六次訓(xùn)練中搶得籃板球數(shù)的記錄，現(xiàn)有一個(gè)數(shù)據(jù)被污損，在圖中以X表示，但知道乙球員搶得籃板球數(shù)的平均數(shù)為10.
(1)求X的值和乙球員搶得籃板球數(shù)的方差；
(2)如果你是該球隊(duì)的教練，在正式比賽中你會(huì)派誰(shuí)上場(chǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由(用數(shù)據(jù)說(shuō)明)．
19.（22-23高一下·山東臨沂·期末）某市文旅局為激發(fā)夜間文旅市場(chǎng)的活力，共設(shè)置夜市攤點(diǎn)700個(gè)，為調(diào)查這些夜市攤點(diǎn)的服務(wù)情況，該文旅局隨機(jī)抽取了100個(gè)夜市攤點(diǎn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分越高，服務(wù)越好，滿分為100分．將分?jǐn)?shù)以20為組距分為5組：、、、、，得到100個(gè)夜市攤點(diǎn)得分的頻率分布直方圖，如圖，已知組的頻數(shù)比組多8．
(1)求直方圖中和的值；
(2)為進(jìn)一步提升夜市經(jīng)濟(jì)消費(fèi)品質(zhì)，提高服務(wù)質(zhì)量，該文旅局準(zhǔn)備對(duì)剩下的所有夜市攤點(diǎn)進(jìn)行評(píng)分，并制定一個(gè)評(píng)分分?jǐn)?shù)，給達(dá)到這個(gè)分?jǐn)?shù)的攤位頒發(fā)“服務(wù)優(yōu)秀”榮譽(yù)證書(shū)．若該文旅局希望使得恰有70%的攤位獲得榮譽(yù)證書(shū)，求應(yīng)該制定的評(píng)分分?jǐn)?shù)．
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