資源簡介

第04講 概率
課程標準 學習目標
1．結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系． 2.了解隨機事件的并、交、互斥與對立的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算. 3． 結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率． 4． 結合實例，會用頻率估計概率 5．結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義,結合古典概型，利用獨立性計算概率． 1.理解隨機現象、必然現象、樣本點、樣本空間、隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念. 2.了解事件之間的關系與運算以及互斥事件、對立事件的概念，能用概率的性質求事件的概率． 3.通過學習古典概型的定義，通過應用古典概型的概率計算公式解決實際問題培養邏輯推理素養和數學運算素養． 4.了解頻率與概率的意義，會用頻率估計概率． 5.通過學習相互獨立事件的概念培養數學抽象素養,通過運用事件的獨立性解決問題培養邏輯推理素養和數學運算素養．
知識點01 樣本空間與事件
1.　隨機現象、必然現象的概念
一定條件下，發生的結果事先不能確定的現象就是隨機現象(或偶然現象)，發生的結果事先能夠確定的現象就是必然現象(或確定性現象)．
2.　樣本點、樣本空間的概念
為了方便起見，我們把在相同條件下，對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗(簡稱為試驗)．
我們把隨機試驗中每一種可能出現的結果，都稱為樣本點，把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示)．
3.　隨機事件、必然事件、不可能事件的概念
如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集．任何一個隨機事件既有可能發生，也有可能不發生．
因為任何一次隨機試驗的結果，一定是樣本空間Ω中的元素，因此可以認為每次試驗中Ω一定發生，從而稱Ω為必然事件；又因為空集 不包含任何樣本點，所以可以認為每次試驗中 一定不發生，從而稱 為不可能事件．
一般地，不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示事件．因為事件一定是樣本空間的子集，從而可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事件．特別地，只含有一個樣本點的事件稱為基本事件．
4.　隨機事件發生的概率
事件A發生的概率通常用P(A)表示．
我們將不可能事件 發生的概率規定為0，將必然事件Ω發生的概率規定為1，即P( )0，P(Ω)1．
對于任意事件A來說，0≤P(A)≤1．
【即學即練1】
1.(2024·甘肅天水一中高一月考)下面四個選項中，是隨機事件的是(　　)
A．刻舟求劍 B．水中撈月
C．流水不腐 D．守株待兔
【答案】A
【解析】A，B為不可能事件，C為必然事件，D為隨機事件．故選D.
2.(多選)下列結論正確的是(　　)
A．事件A發生的概率可能為P(A)0.6
B．不可能事件發生的概率為0，必然事件發生的概率為1
C．小概率事件就是不可能發生的事件，大概率事件就是必然要發生的事件
D．老師講一道數學題，李峰能聽懂的概率是80%，是指老師每講一題，該題有80%的部分李峰能聽懂，20%的部分李峰聽不懂
【答案】AB
【解析】因為事件A發生的概率0≤P(A)≤1，所以A正確；不可能事件發生的概率規定為0，必然事件發生的概率規定為1，所以B正確；小概率事件是指這個事件發生的可能性很小，但并不是不發生，大概率事件發生的可能性較大，但并不是一定發生，所以C錯誤；老師講一道數學題，李峰能聽懂的概率是80%，是指李峰能聽懂老師所講這道題的可能性為80%，所以D錯誤．故選AB.
知識點02 事件間的關系
1.　事件的包含
(1)一般地，如果事件A發生時，事件B一定發生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)，記作A B(或B A)，這一關系可用下圖表示．
(2)A B也可用充分必要的語言表述為：A發生是B發生的充分條件，B發生是A發生的必要條件．
(3)如果A B，則P(A)≤P(B)．
2.事件的相等
(1)如果事件A發生時，事件B一定發生；而且事件B發生時，事件A也一定發生，則稱“A與B相等”，記作AB．
(2)AB A B且B A．
AB也可用充分必要的語言表述為：A發生是B發生的充要條件．
(3)當AB時，有P(A)P(B)．
【即學即練2】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件．例如，事件C1{出現1點}，事件C2{出現2點}，事件C3{出現3點}，事件C4{出現4點}，事件C5{出現5點}，事件C6{出現6點}，事件D1{出現的點數不大于1}，事件D2{出現的點數大于3}，事件D3{出現的點數小于5}，事件E{出現的點數小于7}，事件F{出現的點數為偶數}，事件G{出現的點數為奇數}，請根據上述定義的事件，請舉出符合包含關系、相等關系的事件.
【解析】因為事件C4，C5，C6發生，則事件D2必發生，所以C4 D2，C5 D2，C6 D2.
同理可得，事件D3包含事件C1，C2，C3，C4，D1；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5，D1.
且易知事件C1與事件D1相等，即C1D1.
知識點03 事件間的運算
1.　事件的和(并)
(1)給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并)，記作A＋B(或A∪B)．事件A與B的和可以用如圖所示的陰影部分表示．
(2)由定義可知：①事件A＋B發生時，當且僅當事件A與事件B中至少有一個發生；
②A (A＋B)且B (A＋B)．
因此，P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，P(A＋B)≤P(A)＋P(B)．
2.　事件的積(交)
(1)給定事件A，B，由A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交)，記作AB(或A∩B)．
事件A與B的積可以用如圖所示的陰影部分表示．
(2)由定義可知：①事件AB發生時，當且僅當事件A與事件B都發生．
②AB A，AB B.
因此，P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．
【即學即練3】擲一個骰子，“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則(　　)
A．A B
B．AB
C．A＋B表示向上的點數是1或2或3
D．AB表示向上的點數是1或2或3
【答案】D
【解析】設A{1，2}，B{2，3}，則AB{2}，A＋B{1，2，3}，所以AB表示向上的點數是2，A＋B表示向上的點數是1或2或3.故選C.
知識點04事件的互斥與對立
(1)給定事件A，B，若事件A與B不能同時發生，則稱A與B互斥，記作AB (或A∩B )，這一關系可用下圖表示．
(2)任意兩個基本事件都是互斥的， 與任意事件互斥．
(3)當A與B互斥(即AB )時，有P(A＋B)P(A)＋P(B)，這稱為互斥事件的概率加法公式．
一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2.　事件的對立
(1)給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記作，用集合的觀點來看，是A在Ω中的補集，如圖所示．
(2)如果B，則稱A與B相互對立．
(3)按照定義可知，每次隨機試驗，在事件A與中，有一個發生，而且只有一個發生．又由于必然事件的概率為1，因此P(A)＋P()1.
【即學即練4】從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是(　　)
A．至少有一個紅球與都是紅球
B．至少有一個紅球與都是白球
C．至少有一個紅球與至少有一個白球
D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球
【答案】A
【解析】對于A，若取出的3個球是3個紅球，則這兩個事件同時發生，故它們不是互斥事件，A不符合題意；對于B，這兩個事件不能同時發生，且必有一個發生，則它們是互斥事件且是對立事件，B不符合題意；對于C，若取出的3個球是1個紅球2個白球，則它們同時發生，故它們不是互斥事件，C不符合題意；對于D，這兩個事件不能同時發生，是互斥事件，若取出的3個球都是紅球，則它們都沒有發生，故它們不是對立事件，D符合題意．
知識點05 古典概型
1.古典概型的定義
一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型．
一個隨機試驗是否能歸結為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性與等可能性．
2.古典概型的概率計算公式
古典概型中，假設樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含m個樣本點，則P(C)．
【即學即練5】
1．下列試驗中，屬于古典概型的是(　　)
A．種下一粒種子，觀察它是否發芽
B．從規格直徑為270 mm±0.6 mm的一批合格產品中任意抽一根，測量其直徑d
C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面
D．某人射擊中靶或不中靶
【答案】D
【解析】依據古典概型的特征：①試驗的樣本空間所包含的樣本點個數有限；②每個樣本點出現的可能性大小都相等，知只有C項滿足．
2．有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，樣本空間為Ω{(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍)，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍，綠)，(藍，紫)，(綠，紫)}，共10個樣本點，且這10個樣本點出現的可能性相等．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆所包含的樣本點有(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，共4個，故所求概率P.故選C.
知識點06 頻率與概率
1.頻率與概率之間的關系
在大量重復的試驗過程中，一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率，而且，試驗的次數越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．
2.用頻率估計概率
一般地，如果在n次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為，則當n很大時，可以認為事件A發生的概率P(A)的估計值為．這種確定概率估計值的方法稱為用頻率估計概率．
【即學即練6】下列說法正確的是(　　)
①頻率反映隨機事件的頻繁程度，概率反映隨機事件發生的可能性大小；
②做n次隨機試驗，事件A發生m次，則事件A發生的頻率就是事件A的概率；
③頻率是不能脫離n次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值；
④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】D
【解析】②錯在混淆了頻率與概率的概念．
知識點07 隨機事件的獨立性
1.　相互獨立事件的概念
(1)一般地，當P(AB)P(A)P(B)時，就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立)．
[說明]　“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件．
(2)事件A與B相互獨立的直觀理解是，事件A是否發生不會影響事件B發生的概率，事件B是否發生也不會影響事件A發生的概率．
(3)兩個事件相互獨立的概念也可以推廣到有限個事件，即“A1，A2，…，An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”．
2.　相互獨立事件的性質
(1)如果事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立．
(2)多個事件獨立具有與兩個事件獨立類似的性質．例如，如果A1，A2，A3相互獨立，則1，A2，A3也相互獨立等．
【即學即練7】擲一個骰子一次，記事件A表示“出現偶數點”，事件B表示“出現3點或6點”，則事件A與B是(　　)
A．互斥事件
B．相互獨立事件
C．既互斥又相互獨立事件
D．既不互斥又不相互獨立事件
【答案】C
【解析】因為該試驗的樣本空間為Ω{1，2，3，4，5，6}，A{2，4，6}，B{3，6}，AB{6}，所以事件A與B不是互斥事件，P(A)，P(B)，P(AB)×，所以事件A與B是相互獨立事件．
題型01 必然現象與隨機現象的判斷
【典例01】（23-24高二·上海·課堂例題）下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數a，b都不為0，但；④某地區明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【答案】A
【分析】利用隨機事件的定義逐一分析給定的各個事件即可判斷作答.
【詳解】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機事件；
三角形三條高線一定交于一點，②是必然事件；
實數a，b都不為0，則，③是不可能事件；
某地區明年7月的降雨量是一種預測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，
所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.
【變式1】（24-25高二上·四川雅安·階段練習）下列事件是隨機事件的是（ ）
①同種電荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物體做勻速直線運動；④函數在定義域上是增函數．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】先判斷①是必然事件，③是不可能事件，而②④既有可能發生也有可能不發生，再根據隨機事件的定義即可得到答案.
【詳解】由于①是物理學定律，從而是必然事件；
由于根據自由落體的相關理論，自由下落的物體做勻加速直線運動，故③是不可能事件；
而明天的天氣是不確定的，故②可能發生也可能不發生；
函數在定義域上是增函數當且僅當，所以④可能發生也可能不發生.
根據隨機事件的定義，知是隨機事件的是②④.
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【變式2】（23-24高二上·貴州黔東南·期末）在12件同類產品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（ ）
A．3件都是正品 B．至少有2件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【答案】A
【分析】根據必然事件的概念進行判斷.
【詳解】因為12件產品中，只有2件是次品，從中取3件，其中必定至少有1件是正品.
【變式3】（多選） （23-24高一下·內蒙古通遼·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在標準大氣壓下，水在4℃時結冰
C．早晨太陽從東方升起
D．，則的值不小于0
【答案】DD
【分析】運用必然事件的概念判斷即可.
【詳解】A為隨機事件，B為不可能事件，C，D為必然事件．
故選:CD
題型02 樣本點和樣本空間
【典例2】 （23-24高一上·全國·課后作業）高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】根據題意結合列舉法運算求解.
【詳解】從A，B，C，D，E五人中選兩人，
不同的選法有：，
所以樣本空間中樣本點的個數為10．
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【變式1】 （22-23高一·全國·課后作業）隨機事件“連續擲一顆篩子直到出現5點停止，觀察擲的次數”的樣本空間是（ ）
A．5 B．1到6的正整數 C．6 D．一切正整數
【答案】A
【分析】根據樣本空間的概念即可求解.
【詳解】連續擲一顆篩子直到出現5點停止，觀察投擲的次數，
由于事件發生是隨機的，投擲的次數可能無限大，樣本空間是一切正整數.
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【變式2】 （24-25高二·上海·課堂例題）從0、1、2這3個數字中，不放回地取兩次，每次取一個數字，構成有序數對，x為第1次取到的數字，y為第2次取到的數字．
(1)寫出這個隨機試驗的樣本空間；
(2)寫出“第1次取出的數字是2”這個事件相應的樣本空間．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）寫出樣本空間；
（2）在（1）的基礎上得到相應的樣本空間.
【詳解】（1）這個隨機試驗的樣本空間為.
（2）“第1次取出的數字是2”這個事件相應的樣本空間為.
題型03 事件間的關系及運算
【典例3】（24-25高二上·吉林·階段練習）擲一枚質地均勻的骰子，“向上的點數是1或3”為事件A，“向上的點數是1或5”為事件B，則（ ）
A．
B．表示向上的點數是1或3或5
C．表示向上的點數是1或3
D．表示向上的點數是1或5
【答案】C
【分析】根據事件的關系與運算的概念進行判斷.
【詳解】由題可知，“向上的點數是1或3”為事件，“向上的點數是1或5”為事件，
所以事件不等于事件，故A錯誤；
事件表示“向上的點數是1或3或5”，故B正確，C錯誤；
事件表示“向上的點數是1”，故D錯誤；
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【變式1】 （24-25高二上·山東淄博·階段練習）對空中移動的目標連續射擊兩次，設兩次都擊中目標兩次都沒擊中目標{恰有一次擊中目標}，至少有一次擊中目標}，下列關系不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據事件關系，即可判斷選項.
【詳解】A.事件包含恰好一次擊中目標或兩次都擊中目標，所以，故A正確；
B.包含的事件為至少一次擊中目標，為樣本空間，所以B錯誤，C正確；
D.事件與事件是對立事件，所以，故D正確.
【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設{兩彈都擊中飛機}，{兩彈都沒擊中飛機}，{恰有一彈擊中飛機}，{至少有一彈擊中飛機}，下列說法不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據樣本空間、事件的運算和含義即可解答.
【詳解】由于至少有一彈擊中飛機包括兩種情況：兩彈都擊中飛機，只有一彈擊中飛機，
對于A，有，故A正確；
對于B，事件B、D不可能同時發生，兩事件互斥，所以，故B正確；
對于C，不成立，故C正確；
對于D，{至少有一彈擊中飛機}，不是必然事件，而為必然事件，故D不正確．
故選:D．
【變式3】 （23-24高一下·天津·期末）對于兩個事件，則事件表示的含義是（ ）
A．與同時發生 B．與不能同時發生
C．與有且僅有一個發生 D．與至少有一個發生
【答案】A
【分析】理解和事件的是至少有一個發生即可判斷．
【詳解】解：兩個事件，
則事件表示的含義是事件至少有一個發生，
．
題型04 互斥與對立的判斷
【典例4】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”
【答案】A
【分析】利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷即可.
【詳解】對于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同時發生，但可以同時不發生，A是；
對于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同時發生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；
對于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同時發生，全是男生的事件，C不是；
對于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同時發生，但必有一個發生，D不是.
【變式1】（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件發生的概率分別是，則下列說法正確的是（　　）
A．與是互斥事件，也是對立事件
B． 與是互斥事件，也是對立事件
C． 與是互斥事件，但不是對立事件
D．與是互斥事件，也是對立事件
【答案】A
【分析】根據互斥事件的定義和對立事件的性質逐項判斷后可得正確的選項.
【詳解】A中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，
而，故與不是對立事件，故A錯誤；
B中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，
而，故與不是對立事件，故B錯誤；
C中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，
而，故與是對立事件，故C錯誤；
D中，因為彼此互斥，故與互斥事件，
而，故與是對立事件，故D正確；
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【變式2】 （24-25高三上·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】寫出事件的全部基本事件，再根據互斥事件、對立事件的定義判斷即可.
【詳解】解：設事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球｝，
則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑) }；
事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，
事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.
【變式3】（24-25高二上·山東濟寧·階段練習）下列各組事件中，是互斥事件的是（ ）
A．一個射手進行一次射擊，命中環數大于8與命中環數小于6
B．統計一個班的數學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分
C．播種100粒菜籽，發芽90粒與發芽80粒
D．檢驗某種產品，合格率高于70%與合格率低于70%
【答案】ACD
【分析】根據互斥事件的定義，兩個事件不會同時發生，命中環數大于8與命中環數小于6，發芽90粒與發芽80粒，合格率高于與合格率為均為互斥事件，而平均分數不低于90分與平均分數不高于90分，當平均分為90分時可同時發生，即得解.
【詳解】根據互斥事件的定義，兩個事件不會同時發生，
對于A， 一個射手進行一次射擊，命中環數大于8與命中環數小于6,為互斥事件；
對于B，統計一個班級數學期中考試成績，
平均分數不低于90分與平均分數不高于90分
當平均分為90分時可同時發生，不為互斥事件；
對于C，播種菜籽100粒，發芽90粒與發芽80粒,為互斥事件；
對于D，檢查某種產品，合格率高于與合格率為,為互斥事件；
CD.
【變式4】（24-25高二上·河南·階段練習）已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（ ）
A．，互為互斥事件 B．與互為互斥事件
C． D．與互為對立事件
【答案】CD
【分析】由互斥事件和對立事件的性質集合題意逐項分析即可；
【詳解】對于A，，兩個事件可以同時發生，故A錯誤；
對于B，與不可能同時發生，故B正確；
對于C，為，的交事件，故C錯誤；
對于D，對應的事件是第一次投籃未投中或第二次投籃未投中，故與互為對立事件，D正確.
D.
題型05 互斥事件概率公式的應用
【典例5】（24-25高二上·上海·階段練習）已知與是互斥事件，且，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據對立事件的概率性質可得，即可根據互斥的性質求解.
【詳解】由可得，
由于與是互斥事件，故,
【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）已知事件、互斥，、至少一個發生的概率，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用互斥事件、對立事件的概率關系即可計算求解.
【詳解】由題意可得，，
則有，又，即，
解得，故.
.
【變式2】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】乙不輸與甲獲勝對立事件，根據概率公式計算即可．
【詳解】∵乙不輸與甲獲勝對立事件，
∴乙不輸的概率是，
.
【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從一箱獎券中隨機地抽取一件，設事件“抽到一等獎”，事件“抽到二等獎”，事件“抽到三等獎”.已知，則事件“抽到的不是一等獎”的概率為（ ）
A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45
【答案】A
【分析】由“抽到的不是一等獎”的概率與“抽到一等獎”的概率和為1求解即可.
【詳解】由“抽到的不是一等獎”的概率與“抽到一等獎”的概率和為1可得事件“抽到的不是一等獎”的概率為.
題型06 古典概型的特征
【典例6】（23-24高二上·上海·課后作業）下列關于古典概率模型的說法中正確的是（ ）
①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；②每個事件出現的可能性相等；③每個樣本點出現的可能性相等；④樣本點的總數為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則．
A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】A
【分析】利用古典概型概念及的概率計算公式直接求解．
【詳解】在①中，由古典概型的概念可知：試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，故①正確；
在②中，由古典概型的概念可知：每個基本事件出現的可能性相等，故②錯誤；
在③中，由古典概型的概念可知：每個樣本點出現的可能性相等，故③正確；
在④中，樣本點的總數為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則由古典概型及其概率計算公式知，故④正確．
．
【變式1】（22-23高一下·新疆·期末）下列實驗中，是古典概型的有（ ）
A．某人射擊中靶或不中靶
B．在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都為整數的所有點中任取一個
C．四名同學用抽簽法選一人參加會議
D．從區間上任取一個實數，求取到1的概率
【答案】D
【分析】根據古典概型的性質判斷各項所描述的試驗是否滿足要求即可.
【詳解】由古典概型性質：基本事件的有限性及它們的發生是等可能的，
A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；
B：基本事件坐標系中整數點是無限的，不滿足；
C：基本事件是四名同學是有限的，且抽到的概率相等，滿足；
D：基本事件是區間上所有實數是無限的，不滿足；
【變式2】下列關于古典概型的說法中正確的是(　　)
①試驗的樣本空間所包含的樣本點個數只有有限個；②每個事件出現的可能性相等；③每個樣本點出現的可能性相等；④樣本點的總數為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則P(A).
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
【答案】C
【變式3】下列概率模型中，是古典概型的個數為(　　)
①從區間[1，10]內任取一個數，求取到1的概率；
②從1，2，3，…，10中任意取一個整數，求取到1的概率；
③在一個正方形ABCD內畫一點P，求點P剛好與點A重合的概率；
④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現反面朝上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】古典概型的特征是樣本空間中樣本點的個數是有限的，并且每個樣本點出現的可能性相等，故②是古典概型；①和③由于樣本空間中的樣本點的個數不是有限的，故不是古典概型；④由于硬幣質地不均勻，樣本點出現的可能性不一定相等，故不是古典概型．故選A.
題型07 簡單古典概型的計算
【典例7】甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲任想一數字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜出的數字記為b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】兩人分別從1，2，3，4四個數中任取一個的樣本空間為Ω{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16個樣本點，且這16個樣本點出現的可能性相等，其中滿足|a－b|≤1的樣本點有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10個，故他們“心有靈犀”的概率為.故選B.
【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，函數與互為反函數，求得，然后根據復合函數單調性的性質得出答案.
【詳解】由題意，函數與互為反函數，則，
所以，
由，解得或，即函數的定義域為或，
令，
當時，單調遞減；當時，單調遞增，
又在上單調遞增，
所以的單調遞增區間為.
.
【變式2】三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．
【答案】
【解析】三張卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，因此樣本空間為Ω{EEB，EBE，BEE}，共3個樣本點，且這3個樣本點出現的可能性相等，恰好排成英文單詞BEE包含1個樣本點，故所求概率為.
【變式3】一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．這個試驗的樣本空間所包含的樣本點個數為________，摸出的2只球都是白球的概率是________．
【答案】10　
【解析】分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，則樣本空間(摸到1，2號球用(1，2)表示)Ω{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共10個樣本點，且這10個樣本點出現的可能性相等，只有3個樣本點是摸到2只白球(記為事件A)，即A{(1，2)，(1，3)，(2，3)}，故P(A).故摸出的2只球都是白球的概率為.
【變式4】（23-24高二上·黑龍江·階段練習）已知，，且，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據，，列舉出滿足的個數，再根據，求出滿足的個數計算出概率.
【詳解】根據，則滿足的條件
，，共有種，
而，則滿足的條件
，共有9種，故.
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題型08有放回和無放回的概率問題
【典例8】（23-24高一下·天津西青·期末）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.
【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，
記事件 “抽到的兩人是一男生一女生”，
在無放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:
共12個樣本點，
其中有8個樣本點，所以.
在有放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:
共16個樣本點，
其中有8個樣本點，所以.
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【變式1】（23-24高二上·陜西漢中·開學考試）盒中有3個大小質地完全相同的球，其中2個白球、1個黑球，從中不放回地依次隨機摸出2個球．則恰好摸出一個白球一個黑球的概率為 ．
【答案】
【分析】利用列舉法求出基本事件總數，再求出符合條件的事件數，結合古典概型概率公式求解即可.
【詳解】記1個黑球為，2個白球分別為，，現從中不放回地依次隨機摸出2個球，
則可能結果有，共6種情況，
其中恰好摸出一個白球一個黑球的有，共4種情況，
所以恰好摸出一個白球一個黑球的概率.
故答案為：.
【變式2】（23-24高一上·全國·課后作業）在試驗“袋中有白球3個（編號為1，2，3）、黑球2個（編號為1，2），這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結果分別記為，，，摸到黑球的結果分別記為，．求：
(1)取到的兩個球都是白球的概率；
(2)取到的兩個球顏色相同的概率；
(3)取到的兩個球至少有一個是白球的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）根據題意列出試驗的樣本空間，利用古典概率模型概率計算公式進行計算即可.
【詳解】（1）由前面的分析可知試驗的樣本空間，
共有20個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相同，可用古典概型來計算概率．
設事件A表示“取到的兩個球都是白球”，則，
共含有6個樣本點，所以，即取到的兩個球都是白球的概率為；
（2）設事件B表示“取到的兩個球顏色相同”，則，
共含有8個樣本點，所以，即取到的兩個球顏色相同的概率為；
（3）設事件C表示“取到的兩個球至少有一個是白球”，
則，
共含有18個樣本點，所以，即取到的兩個球至少有一個是白球的概率為.
題型09 根據概率求參數
【典例9】（23-24高二上·浙江·期中）有5張未刮碼的卡片，其中n張是“中獎”卡，其它的是“未中獎”卡，現從這5張卡片隨機抽取2張.你有資金100元，每次在對一張卡片刮碼前，下注已有資金的一半.若刮碼結果為“中獎”，則贏得與下注金額相同的另一筆錢，若刮碼結果是“未中獎”，則輸掉下注的資金.抽取的2張卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則n至少為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根據題設分析出：要使資金增加必須2次刮出中獎，轉化為5張卡片中取到2張“中獎”卡的概率大于，再列不等式求n取值.
【詳解】由于總資金100元，每次在對一張卡片刮碼前下注已有資金的一半.
刮第1張卡前，下注70元：
若未中獎，還剩70元；刮第2張卡前，下注25元，不管是否中獎，資金必減少；
若中獎，還剩170元，刮第2張卡前，下注75元，未中獎資金減少；中獎資金增加；
所以，要使資金增加，則必須2次刮出中獎，否則資金減少；
所以，5張卡片中取到2張“中獎”卡的概率大于即可，
由5張卡片中任取2張的方法數有10種，n張“中獎”卡中取到2張的方法數有種，
所以且，故或5，即n至少為4.
【點睛】關鍵點點睛：問題化為5張卡片中取到2張“中獎”卡的概率大于為關鍵.
【變式1】（22-23高一下·重慶·期末）在一個不透明的袋中有4個紅球和個黑球，現從袋中有放回地隨機摸出2個球，已知取出的球中至少有一個紅球的概率為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由題可得取出的球中沒有紅球的概率，即兩次都摸出黑球的概率為，據此可得答案.
【詳解】由題可得取出的球中沒有紅球的概率，即兩次都摸出黑球的概率為，則.
【變式2】（22-23高一下·江蘇南京·期末）一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數的前提下，為估計口袋中黃球的個數，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復上述過程次，共摸出紅球次，根據上述數值，估計口袋中大約有黃球（ ）個．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設黃球的個數為，利用古典概型的概率公式可得出關于的等式，解出的值即可.
【詳解】設黃球的個數為，由古典概型的概率公式可得，解得.
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【變式3】某箱臍橙共有18個，其中有少部分是壞果.若從這箱臍橙中任取2個，恰好取到1個壞果的概率為，則這箱臍橙中壞果的個數為（ ）
A．3 B．5 C．2 D．4
【答案】A
【分析】設這箱臍橙中壞果的個數為n，則恰好取到1個壞果的概率為，結合題意即可得解.
【詳解】解：設這箱臍橙中壞果的個數為n，
則，解得或15，
因為有少部分是壞果，所以.
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題型10 根據加法公式求古典概型概率
【典例10】（22-23高一下·河北邢臺·階段練習）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個黃球”，事件“取出的2球至少有一個白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，計算，判斷AD；分析事件,以及，并求對應的概率，即可判斷BC.
【詳解】設紅球為，白球為，黃球為，
其中任取兩個球的所有樣本點包含，共15個，
事件所包含的樣本點為，共4個，
所以， 故A錯誤；
表示取到的2個球，一個黃球一個白球，包含的樣本點有，共6個，所以，故B錯誤；
事件是含有1個白球與含有兩個白球的兩個互斥事件和，事件是含有1個白球
或沒有白球的兩個互斥事件和，
事件是必然事件，因此，故C正確；
事件與是對立事件，所以，故D錯誤.
【變式1】（21-22高一·全國·單元測試）某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有編號分別為1，2，3，4，5的五個小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動規則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽到的小球編號為3，則獲得獎金100元；若抽到的小球編號為偶數，則獲得獎金70元；若抽到其余編號的小球，則不中獎.現某顧客依次有放回地抽獎兩次，則該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為100元的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列出兩次抽獎的樣本空間，從中找出獎金和為100元的樣本點，利用古典概率模型和互斥事件概率的計算公式即可求出結果.
【詳解】由題意得，該顧客有放回地抽獎兩次的樣本空間，共25個樣本點.
兩次抽獎獎金之和為100元包括三種情況：
①第一次獎金為100元，第二次沒有中獎，
其包含的情況為，，概率為；
②第一次沒中獎，第二次獎金為100元，
其包含的情況為，，概率為；
③兩次各獲獎金70元，
包含的情況有，，，，概率為.
根據互斥事件的加法公式得該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為100元的概率為.
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【變式2】拋擲一枚質地均勻的骰子（骰子的六個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點）一次，觀察擲出向上的點數，設事件為擲出向上為偶數點，事件為擲出向上為3點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據互斥事件概率計算公式直接計算.
【詳解】事件為擲出向上為偶數點，所以，
事件為擲出向上為3點，所以，
又事件，是互斥事件，
所以，
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題型11 頻率與概率的辨析
【典例11】（24-25高二上·四川成都·階段練習）下列說法一定正確的是（ ）
A．一名籃球運動員，號稱“百發百中”，若罰球三次，不會出現三投都不中的情況
B．隨機事件發生的概率與試驗次數無關
C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元
D．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現一次2
【答案】C
【分析】根據頻率與概率的關系得到ACD錯誤，B正確.
【詳解】A選項，一名籃球運動員，號稱“百發百中”，若罰球三次，也可能出現三投都不中的情況，A錯誤；
B選項，隨機事件發生的概率是一個固定的值，與試驗次數無關，B正確；
C選項，若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票不一定會中獎一元，C錯誤；
D選項，一個骰子擲一次得到2的概率是，擲6次出現2的次數不確定，可能是1次，也可能是2次或者其他次數，D錯誤.
【變式1】（23-24高一下·廣西河池·期末）下列說法中正確的是（ ）
A．隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率
B．在次隨機試驗中，一個隨機事件發生的頻率具有確定性
C．隨著試驗次數的增大，一個隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率
D．在同一次試驗中，每個試驗結果出現的頻率之和不一定等于1
【答案】D
【分析】根據已知條件，結合頻率，概率的定義，即可判斷.
【詳解】頻率與概率不是同一個概念，故A錯誤；
在次隨機試驗中，一個隨機事件發生的頻率具有隨機性，故B錯誤；
隨著試驗次數的增大，一個隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率，故C正確；
在同一次試驗中，每個試驗結果出現的頻率之和一定等于1，故D錯誤．
．
【變式2】（23-24高一下·江蘇淮安·期末）已知某醫院治療一種疾病的治愈率為，下列說法正確的是（ ）
A．患此疾病的病人被治愈的可能性為
B．醫院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C．如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人一定能被治愈
D．醫院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
【答案】A
【分析】利用概率的意義直接求解．
【詳解】某醫院治療一種疾病的治愈率為，
對于A，患此疾病的病人被治愈的可能性為，故A正確；
對于B，醫院接收10位患此疾病的病人，每個人被治愈的可能性為，
不一定有一位病人被治愈，故B錯誤；
對于C，如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C錯誤；
對于D，醫院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D錯誤．
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【變式3】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．一個人打靶，打了10發子彈，有7發子彈中靶，因此這個人中靶的概率是
B．一個同學做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上
C．某地發行彩票，其回報率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報
D．大量試驗后，可以用頻率近似估計概率
【答案】A
【分析】利用概率的定義和估計方法逐個選項分析求解即可.
【詳解】對于A，可得中靶的結果是頻率，不是概率；故錯誤，
對于B，C，太過絕對，故錯誤，
對于D，符合概率的估算方法，故正確．
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題型12 用頻率估計概率
【典例12】（24-25高二上·山東濟寧·階段練習）在調查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數是奇數嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調查的運動員擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（ ）
A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%
【答案】C
【分析】推理出回答第一個問題的170人中大約有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用過興奮劑的人有5人，從而得到答案.
【詳解】因為拋硬幣出現正面朝上的概率為，大約有170人回答第一個問題，
又身份證號碼的尾數是奇數或偶數是等可能的，
在回答第一個問題的170人中大約有一半人，即75人回答了“是”，
共有80個“是”的回答，故回答服用過興奮劑的人有5人，
因此我們估計這群人中，服用過興奮劑的百分率大約為3.33%.
【變式1】（2024高二下·湖北·學業考試）從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為（單位：）：
492 496 494 495 498 497 701 702 704 496
497 703 706 708 707 492 496 700 701 499
用頻率估計概率，該包裝機包裝的袋裝奶粉質量在之間的概率約為（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5
【答案】D
【分析】找出滿足條件的數據，計算出數據在之間的頻率，用頻率估計概率，可得結果.
【詳解】在所給的數據中，在之間的數據有498,701,700,701,499共5個，
所以數據在之間的頻率為：.
用頻率估計概率，則所求概率為.
【變式2】（23-24高一下·山東棗莊·期末）某地區的公共衛生部門為了調查本地區中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行調查.調查中使用了兩個問題.問題1：你父親的公歷出生月份是不是奇數？問題2：你是否經常吸煙？調查者設計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的70個白球和70個紅球的密封袋子，每個被調查者隨機地從袋中摸取1個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最終盒子中的小石子為580個，則該地區中學生吸煙人數的比例約為（ ）
A．2% B．3% C．6% D．8%
【答案】D
【分析】由概率得出這100個回答第一個問題的學生中，約有70人回答了“是”，結合題設條件，估計第二個問題有人回答了“是”，從而得出所占比例.
【詳解】因為一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的70個白球和70個紅球的袋子中，
隨機摸出1個球，摸到白球和紅球的概率都為，
因此，這200人中，回答了第一個問題的有100人，
而一年12個月中，奇數的占一半，
所以對第一個問題回答“是”的概率為
所以這100個回答第一個問題的學生中，約有70人回答了“是”，
從而可以估計，在回答第二個問題的100人中，約有人回答了“是”，
所以可以估計出該地區中學生吸煙人數的百分比為．
【變式3】（2024高一下·全國·專題練習）眾所周知，長時間玩手機可能影響視力．據調查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學生每天玩手機超過2 h，這些人的近視率約為70%．現從每天玩手機不超過2 h的學生中任意調查一名學生，則該名學生近視的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先設該校有a名同學，根據題目條件計算得出每天玩手機不超過2 h的學生中近視人數；再用頻率估計概率即可求解.
【詳解】設該校有a名同學，
則由題意可得：約有0.4a的學生近視，約有0.3a的學生每天玩手機超過2 h，約有0.7a的學生每天玩手機不超過2 h.
因為該校大約有30%的學生每天玩手機超過2 h，這些人的近視率約為70%
所以每天玩手機超過2 h的學生中近視的學生人數為0.3a×0.50.15a，
則每天玩手機不超過2 h的學生中有0.4a－0.15a0.25a的學生近視，
所以從每天玩手機不超過2 h的學生中任意調查一名學生，該名學生近視的概率為．
．
【變式4】天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為80%．現采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產生了10組隨機數180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用頻率和概率的關系得到答案.
【詳解】10組數據中，恰有兩天下雨的有417，386，196，206，共4個，
故此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.
【變式5】每年4月15日為全民國家安全教育日，某學校黨委組織黨員學習《中華人民共和國國家安全法》，為了解黨員學習的情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的學習時間（單位：時）進行調查，統計數據如下表所示：
學習時間（時）
黨員人數 8 13 9 10 10
則從該校隨機抽取1名黨員，估計其學習時間不少于6小時的概率為（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】根據古典概型概率公式求得樣本中學習時間不少于6小時的概率，然后可得.
【詳解】由統計表可知，樣本容量為人，學習時間不少于6小時有人，
所以學習時間不少于6小時的概率為.
題型13 事件獨立性的判斷
【典例13】(多選)下列事件A，B是相互獨立事件的是(　　)
A．一枚硬幣拋擲兩次，事件A為“第一次為正面”，事件B為“第二次為反面”
B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸兩球，事件A為“第一次摸到白球”，事件B為“第二次摸到白球”
C．擲一枚骰子，事件A為“出現點數為奇數”，事件B為“出現點數為偶數”
D．事件A為“甲能活到20歲”，事件B為“乙能活到70歲”
【答案】AD　
【解析】把一枚硬幣拋擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后影響，故選項A中的兩個事件是相互獨立事件；選項B中不放回地摸球，顯然事件A與事件B不相互獨立；對于選項C，其結果具有唯一性，A，B應為對立事件；選項D中事件B不受事件A的影響．
【變式1】一袋中裝有100個球，其中有20個白球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則事件A1與是(　　)
A．相互獨立事件 B．對立事件
C．互斥事件 D．無法判斷
【答案】A　
【解析】由于采用有放回地摸球，則每次是否摸到白球互不影響，故事件A1與是相互獨立事件．
【變式2】（24-25高一下·全國·隨堂練習）壇子中放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，則與（ ）
A．是互斥事件 B．是相互獨立事件
C．是對立事件 D．不是相互獨立事件
【答案】A
【分析】首先由互斥事件的概念排除A、C，然后通過求解事件和事件發生的概率判斷是否獨立.
【詳解】互斥事件是指在一定條件下不可能同時發生的事件，由此判斷和不互斥，則也不對立，故A、C錯誤；
由題意可得,,,，所以不等于
所以事件與事件不是相互獨立事件；
【變式3】（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知事件A，B滿足，則 （ ）
A．若B A，則 B．若A與B互斥，則
C．若A與B相互獨立，則 D．若，則C與B相互對立
【答案】C
【分析】選項A：利用事件的關系結合概率求解即可.
選項B：利用概率的加法公式，求解即可，
選項C：若A與B相互獨立，則 A與相互獨立，利用獨立事件的公式求解即可.
選項D:利用對立事件求解即可.
【詳解】選項A：若B A，則
選項B：若A與B互斥，則.故選項B正確.
選項C：若A與B相互獨立，則 A與相互獨立,故選項C錯誤.
選項D:若，則由于不確定C與B是否互斥，所以無法確定兩事件是否對立,故D錯誤.
.
題型14 相互獨立事件概率的計算
【典例14】（22-23高一下·甘肅·期末）某商場在618大促銷活動中，活動規則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質地均勻的骰子，如果出現點數為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為 ．
【答案】/0.7
【詳解】利用概率性質求解
【分析】設擲一枚質地均勻的骰子出現點數為1或2為事件，則，
骰子出現點數為3，4，5，6為事件，則，
甲箱摸出紅球為，乙箱摸出紅球為，設顧客中獎為事件，
所以，，
所以．
故答案為：．
【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）已知事件，滿足：，，則（ ）.
A．若，互斥，則
B．若，互斥，則
C．若，互相獨立，則
D．若，互相獨立，則
【答案】AD
【分析】根據概率加法公式判斷A，根據互斥事件定義判斷B，根據獨立事件概率乘法公式判斷D，根據概率加法公式判斷C.
【詳解】當，互斥時，，
又，，
所以，A正確；
當，互斥時，事件，不可能同時發生，
所以，B錯誤；
當，互相獨立，則，
又，，
所以，D正確；
當，互相獨立時，，C錯誤.
D.
【變式2】(多選)甲、乙兩人練習射擊，命中目標的概率分別為和，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正確的是(　　)
A．目標恰好被命中一次的概率為
B．目標恰好被命中兩次的概率為
C．目標被命中的概率為
D．目標未被命中的概率為
【答案】CCD
【解析】對于A，目標恰好被命中一次的概率為，A錯誤；對于B，目標恰好被命中兩次的概率為×，B正確；對于C，目標被命中的概率為＋，C正確；對于D，目標未被命中的概率為1－，D正確．故選BCD.
【變式3】（23-24高一下·廣西崇左·期末）2024年5月底，各省教育廳陸續召開了2024年高中數學聯賽的相關工作.若某市經過初次選拔后有甲 乙 丙三名同學成功進入決賽，在決賽環節中這三名同學同時解答一道有關組合數論的試題.已知甲同學成功解出這道題的概率是，甲 丙兩名同學都解答錯誤的概率是，乙 丙兩名同學都成功解出的概率是，且這三名同學能否成功解出該題相互獨立.
(1)求乙 丙兩名同學各自成功解出這道題的概率；
(2)求這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題的概率.
【答案】(1)和
(2).
【分析】（1）借助對立事件的性質及相互獨立事件乘法公式計算即可得；
（2）借助相互獨立事件乘法公式計算即可得.
【詳解】（1）設甲 乙 丙三名同學各自成功解出該道題分別為事件.
因為，所以.
又，所以，即.
又，所以，
即乙 丙兩名同學各自成功解出這道題的概率分別為和.
（2）設這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題為事件，
則
，
所以這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題的概率為.
一、單選題
1．（2023高一·全國·課后作業）下列說法一定正確的是（ ）
A．一名籃球運動員，號稱“百發百中”，若罰球三次，不會出現三投都不中的情況
B．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現一次2
C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元
D．隨機事件發生的概率與試驗次數無關
【答案】A
【分析】根據隨機事件的相關概念一一判定即可.
【詳解】“百發百中”說明投中的可能性比較大，但有可能出現三投不中的可能，即A錯誤；
“”是事件發生的可能性，擲6次也可能不出現一次2，即B錯誤；
買彩票中獎的概率為萬分之一，也是事件發生的可能性，買一萬元的彩票也可能一元不中，即C錯誤；
隨機事件發生的概率是多次試驗的穩定值，與試驗次數無關，D正確.
2．（24-25高二上·吉林·階段練習）若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（ ）
A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件
【答案】A
【分析】根據隨機事件，必然事件，不可能事件的概念判斷即可.
【詳解】隨機試驗的樣本空間為，
則事件是隨機事件，故A正確；
事件是必然事件，故B正確；
事件是不可能事件，故C正確；
事件是不可能事件，故D錯誤.
3．（24-25高一上·四川成都·開學考試）某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，那么請你估計該廠這20萬件產品中合格產品約有（ ）
A．1萬件 B．18萬件 C．19萬件 D．20萬件
【答案】D
【分析】確定這類產品的合格率是95%，然后利用樣本估計總體的思想，即可求出該廠這20萬件產品中合格品的件數．
【詳解】因為某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，
所以合格的有95件，
所以合格率為，
∴估計該廠這20萬件產品中合格品約為萬件，
故選C.
4．（24-25高一下·全國·隨堂練習）口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0
【答案】D
【分析】根據總的概率之和為1進行求解.
【詳解】摸出黑球的概率為.
5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）一只不透明的口袋內裝有9張相同的卡片，上面分別標有這9個數字（每張卡片上標1個數），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數字為2或5或8”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數字不超過6”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數字大于等于7”記為事件．則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對立事件
C．事件與事件相互獨立 D．
【答案】CC
【分析】根據古典概型的概率的計算公式，分別算出事件的概率，然后再根據互斥事件、對立事件、相互獨立事件及概率的運算性質即可判斷出答案.
【詳解】樣本空間為．
因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；
因為，所以事件與事件為對立事件，故正確；
因為，所以，即事件與事件相互獨立，故正確；
因為，所以，故D錯誤．
C.
6．（22-23高二上·廣東佛山·期末）一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球，個綠球，現采用不放回的方式從中依次隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為，則的值為（ ）
A．4 B．5 C．12 D．15
【答案】A
【分析】利用古典概型概率計算公式列出方程，能求出的值．
【詳解】一個袋子中有若干個大小質地完全相同的球，其中有6個紅球，個綠球，
從袋中不放回地依次隨機取出2個球，取出的2個球都是紅球的概率是，
則，
解得（負值舍去）.
．
7．（23-24高一上·四川內江·開學考試）某公園有東、南、西、北共4個大門供游客出入，小軍、小明從不同的大門進入公園游玩，游玩結束后，他們隨機地從其中一個大門離開，則他們恰好從同一個大門出去的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，可求得小軍、小明恰好從同一個出口出該公園的情況，再利用古典概率公式求解即可求得答案．
【詳解】如圖，
由樹狀圖可知，共有16種等可能結果，其中小軍、小明恰好從同一個出口出該公園的有4種等可能結果，
所以小軍、小明恰好從同一個出口出該公園的概率為，
．
8．（24-25高二上·貴州遵義·階段練習）七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據古典概型求解即可.
【詳解】如下圖，將七塊三角形編號如下，
所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為：
，，
，，，共有種，
將七巧板劃分如下，被分成個全等的三角形，設正方形的面積為，
則編號的面積為，則編號的面積為，
編號的面積為，
任取兩塊板面積相等的基本事件為：.
從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為.
.
二、多選題
9．（24-25高二上·吉林·階段練習）對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設事件兩炮彈都擊中飛機，事件兩炮彈都沒擊中飛機，事件恰有一炮彈擊中飛機，事件至少有一炮彈擊中飛機，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據題意，先將事件等價求出，再結合事件之間的關系，逐項判定，即可求解.
【詳解】由題意得，事件第一枚擊中第二枚未中或第一枚未擊中第二枚擊中 ，事件恰有一枚擊中或兩枚都擊中，
對于A中，由事件兩炮彈都擊中飛機，至少有一炮彈擊中飛機，得，正確；
對于B中，由事件兩炮彈都沒擊中飛機，至少有一炮彈擊中飛機，得事件與事件是互斥事件，所以，正確；
對于C中，由事件兩炮彈都擊中飛機，兩炮彈都沒擊中飛機，至少有一炮彈擊中飛機，
得不是必然事件，為必然事件，所以，不正確；
對于D中，事件兩炮彈都擊中飛機，恰有一炮彈擊中飛機，至少有一炮彈擊中飛機，
得至少有一炮彈擊中飛機，所以，正確.
BD.
10．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，事件“出現點數為奇數”，事件“出現點數為3”，事件“出現點數為3的倍數”，事件“出現點數為偶數”，則以下選項正確的是（ ）
A．B與D互斥
B．A與D互為對立事件
C．
D．
【答案】ABD
【分析】寫出以及樣本空間所包含的基本事件，逐一判斷各個選項即可.
【詳解】由題意，樣本空間為，
對于A，，這意味著不可能同時發生，故A正確；
對于B，，這意味著中有且僅有一個事情發生，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，因為，所以，故D正確.
BD.
11．（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且，則實數a的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】DD
【分析】由互斥事件的概率性質列不等式組求解即可；
【詳解】解: 由題意可知，
即，即，
解得，
D.
三、填空題
12．（24-25高一上·廣西崇左·開學考試）下表是某種植物的種子在相同條件下發芽率試驗的結果．
種子個數n 100 400 900 1700 2700 4000
發芽種子個數m 92 352 818 1336 2251 3801
發芽種子頻率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根據表中的數據，可估計該植物的種子發芽的概率為 （精確到0.1）．
【答案】
【分析】根據頻率與概率之間的關系即可求得；
【詳解】在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是接近于某個數，
在它附近擺動，這個常數就是事件A的概率；
觀察表格得到某種植物發芽的頻率穩定在附近，進而求解即可.
故答案為：
13．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習）事件、是相互獨立事件，若，，則實數的值等于 .
【答案】
【分析】利用概率的性質及事件的運算關系得到，即可求參數值.
【詳解】
，
即，解得.
故答案為：.
14．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）若隨機事件，互斥，，發生的概率均不等于0，且，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由隨機事件互斥, 發生的概率均不等0 ,且,由此能求出實數的取值范圍.
【詳解】∵隨機事件互斥，且 發生的概率均不等0 ,且,
所以，即
解得：
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二·上海·課堂例題）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張一樣的卡片上，并隨機抽取1張．設出現偶數，出現3的倍數．寫出下面兩個事件的對應子集：
(1)至少有一個發生；
(2)同時發生．
【答案】(1)
(2)
【分析】由題可得事件與事件，再由事件的交與并即可求解．
【詳解】（1）由題可得，，，
則至少有一個發生對應事件集合為：．
（2）由題可得，同時發生對應事件集合為：．
16．（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）同時轉動如圖的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為，轉盤②得到的數為，結果為（x，y）．
(1)分別用集合的形式表示事件“”和事件“且”；
(2)若設計了一種游戲方案：甲乙兩人同時各轉動一個轉盤一次，將轉到的數字相加，和為偶數時甲獲勝，否則乙獲勝．游戲方案對雙方是否公平？請說明理由．
【答案】(1)表示形式見解析
(2)公平，理由見解析
【分析】（1）結合題意用集合形式列出所有符合的情況即可；
（2）列表得到所有結果，結合古典概型計算概率的公式求出雙方獲勝的概率，分析可得結果.
【詳解】（1）事件“”可表示為；
事件“且”可表示為.
（2）由題意，和的所有可能情況列表如下：
4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知該游戲可能出現的情況共有12種，
其中兩數字之和為偶數的有6種，為奇數的也有6種，
所以甲獲勝的概率，乙獲勝的概率，
即，所以該游戲方案對雙方是公平的.
17．（24-25高二上·內蒙古赤峰·階段練習）—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.
(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；
(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，用列舉法寫出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可計算概率；
（2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可計算概率.
【詳解】（1）將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，
則任意摸出2個球的樣本空間有：紅1紅2，紅1紅3，紅1白1，紅1白2，紅2紅3，紅2白1，紅2白2，紅3白1，紅3白2，白1白2共10個樣本點，
其中2球均為白球事件的樣本點只有1個，因此2個球都是白球概率為；
（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，列表如圖所示：
第2次摸球第1次摸球 紅1 紅2 紅3 白1 白2
紅1 （紅1，紅1） （紅1，紅2） （紅1，紅3） （紅1，白1） （紅1，白2）
紅2 （紅2，紅1） （紅2，紅2） （紅2，紅3） （紅2，白1） （紅2，白2）
紅3 （紅3，紅1） （紅3，紅2） （紅3，紅3） （紅3，白1） （紅3，白2）
白1 （白1，紅1） （白1，紅2） （白1，紅3） （白1,白1） （白1,白2）
白2 （白2，紅1） （白2，紅2） （白2，紅3） （白2,白1） （白2,白2）
所以攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球事件的樣本空間共有25個樣本點，它們出現的可能性相同，
其中滿足事件“2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球”的樣本點有12個，所以.
18．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越來越多的年輕人加入自行車騎游行列.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費元（不足一小時的部分按一小時計算）.有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游（各租一車一次），設甲、乙不超過小時還車的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為，；兩人租車時間互不影響且都不會超過3小時.
(1)求甲、乙兩人租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率；
(2)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；
(3)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據互斥事件的概率公式和對立事件概率公式計算可得；
（2）根據相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；
（3）甲、乙兩人所付的租車費用之和為元可能的情況是甲、乙的租車費用分別為：
①元、元，②元、元，③元、元，再根據相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.
【詳解】（1）甲租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率為：，
乙租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率為：；
（2）甲、乙兩人所付的租車費用相同可分為租車費用都為元、元、元三種情況，
甲、乙兩人租車費用都為元的概率為，
甲、乙兩人租車費用都為元的概率為，
甲、乙兩人租車費用都為元的概率為，
所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為；
（3）甲、乙兩人所付的租車費用之和為元可能的情況是甲、乙的租車費用分別為：
①元、元，②元、元，③元、元，
所以甲、乙兩人所付的租車費用之和為元的概率為：
.
19．（24-25高一下·全國·課堂例題）某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表：
七年級 八年級 九年級
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到八年級女生的概率為0.19．
(1)求x的值；
(2)已知，，求九年級中女生比男生少的概率；
(3)已知，在全校學生中隨機抽取一名學生，則該學生是女生或是九年級學生的概率是多少？
【答案】(1)380
(2)
(3)．
【分析】（1）運用等可能事件概率公式可解；
（2）設九年級女生比男生少為事件，九年級女生數、男生數記為,列舉樣本空間樣本點和滿足題意的樣本點，然后運用古典概型計算；
（3）運用并事件概率公式計算即可.
【詳解】（1），．
（2）設九年級女生比男生少為事件，九年級女生數、男生數記為，
由（1）知，，，．
滿足題意得所有樣本點是，共11個，
事件A包含的樣本點是，共5個．
因此．
（3）設“抽到女生”，“抽到九年級學生”，由（2）知，
又，，
全校女生共有（名），
則有，，．
該學生是女生或九年級學生的概率為．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 概率
課程標準 學習目標
1．結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系． 2.了解隨機事件的并、交、互斥與對立的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算. 3． 結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率． 4． 結合實例，會用頻率估計概率 5．結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義,結合古典概型，利用獨立性計算概率． 1.理解隨機現象、必然現象、樣本點、樣本空間、隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念. 2.了解事件之間的關系與運算以及互斥事件、對立事件的概念，能用概率的性質求事件的概率． 3.通過學習古典概型的定義，通過應用古典概型的概率計算公式解決實際問題培養邏輯推理素養和數學運算素養． 4.了解頻率與概率的意義，會用頻率估計概率． 5.通過學習相互獨立事件的概念培養數學抽象素養,通過運用事件的獨立性解決問題培養邏輯推理素養和數學運算素養．
知識點01 樣本空間與事件
1.　隨機現象、必然現象的概念
一定條件下，發生的結果事先不能確定的現象就是隨機現象(或偶然現象)，發生的結果事先能夠確定的現象就是必然現象(或確定性現象)．
2.　樣本點、樣本空間的概念
為了方便起見，我們把在相同條件下，對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗(簡稱為試驗)．
我們把隨機試驗中每一種可能出現的結果，都稱為樣本點，把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示)．
3.　隨機事件、必然事件、不可能事件的概念
如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集．任何一個隨機事件既有可能發生，也有可能不發生．
因為任何一次隨機試驗的結果，一定是樣本空間Ω中的元素，因此可以認為每次試驗中Ω一定發生，從而稱Ω為必然事件；又因為空集 不包含任何樣本點，所以可以認為每次試驗中 一定不發生，從而稱 為不可能事件．
一般地，不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示事件．因為事件一定是樣本空間的子集，從而可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事件．特別地，只含有一個樣本點的事件稱為基本事件．
4.　隨機事件發生的概率
事件A發生的概率通常用P(A)表示．
我們將不可能事件 發生的概率規定為0，將必然事件Ω發生的概率規定為1，即P( )0，P(Ω)1．
對于任意事件A來說，0≤P(A)≤1．
【即學即練1】
1.(2024·甘肅天水一中高一月考)下面四個選項中，是隨機事件的是(　　)
A．刻舟求劍 B．水中撈月
C．流水不腐 D．守株待兔
2.(多選)下列結論正確的是(　　)
A．事件A發生的概率可能為P(A)0.6
B．不可能事件發生的概率為0，必然事件發生的概率為1
C．小概率事件就是不可能發生的事件，大概率事件就是必然要發生的事件
D．老師講一道數學題，李峰能聽懂的概率是80%，是指老師每講一題，該題有80%的部分李峰能聽懂，20%的部分李峰聽不懂
知識點02 事件間的關系
1.　事件的包含
(1)一般地，如果事件A發生時，事件B一定發生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)，記作A B(或B A)，這一關系可用下圖表示．
(2)A B也可用充分必要的語言表述為：A發生是B發生的充分條件，B發生是A發生的必要條件．
(3)如果A B，則P(A)≤P(B)．
2.事件的相等
(1)如果事件A發生時，事件B一定發生；而且事件B發生時，事件A也一定發生，則稱“A與B相等”，記作AB．
(2)AB A B且B A．
AB也可用充分必要的語言表述為：A發生是B發生的充要條件．
(3)當AB時，有P(A)P(B)．
【即學即練2】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件．例如，事件C1{出現1點}，事件C2{出現2點}，事件C3{出現3點}，事件C4{出現4點}，事件C5{出現5點}，事件C6{出現6點}，事件D1{出現的點數不大于1}，事件D2{出現的點數大于3}，事件D3{出現的點數小于5}，事件E{出現的點數小于7}，事件F{出現的點數為偶數}，事件G{出現的點數為奇數}，請根據上述定義的事件，請舉出符合包含關系、相等關系的事件.
知識點03 事件間的運算
1.　事件的和(并)
(1)給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并)，記作A＋B(或A∪B)．事件A與B的和可以用如圖所示的陰影部分表示．
(2)由定義可知：①事件A＋B發生時，當且僅當事件A與事件B中至少有一個發生；
②A (A＋B)且B (A＋B)．
因此，P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，P(A＋B)≤P(A)＋P(B)．
2.　事件的積(交)
(1)給定事件A，B，由A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交)，記作AB(或A∩B)．
事件A與B的積可以用如圖所示的陰影部分表示．
(2)由定義可知：①事件AB發生時，當且僅當事件A與事件B都發生．
②AB A，AB B.
因此，P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．
【即學即練3】擲一個骰子，“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則(　　)
A．A B
B．AB
C．A＋B表示向上的點數是1或2或3
D．AB表示向上的點數是1或2或3
知識點04事件的互斥與對立
(1)給定事件A，B，若事件A與B不能同時發生，則稱A與B互斥，記作AB (或A∩B )，這一關系可用下圖表示．
(2)任意兩個基本事件都是互斥的， 與任意事件互斥．
(3)當A與B互斥(即AB )時，有P(A＋B)P(A)＋P(B)，這稱為互斥事件的概率加法公式．
一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2.　事件的對立
(1)給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記作，用集合的觀點來看，是A在Ω中的補集，如圖所示．
(2)如果B，則稱A與B相互對立．
(3)按照定義可知，每次隨機試驗，在事件A與中，有一個發生，而且只有一個發生．又由于必然事件的概率為1，因此P(A)＋P()1.
【即學即練3】從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是(　　)
A．至少有一個紅球與都是紅球
B．至少有一個紅球與都是白球
C．至少有一個紅球與至少有一個白球
D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球
知識點05 古典概型
1.古典概型的定義
一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型．
一個隨機試驗是否能歸結為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性與等可能性．
2.古典概型的概率計算公式
古典概型中，假設樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含m個樣本點，則P(C)．
【即學即練5】
1．下列試驗中，屬于古典概型的是(　　)
A．種下一粒種子，觀察它是否發芽
B．從規格直徑為270 mm±0.6 mm的一批合格產品中任意抽一根，測量其直徑d
C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面
D．某人射擊中靶或不中靶
2．有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)
A. B.
C. D.
知識點06 頻率與概率
1.頻率與概率之間的關系
在大量重復的試驗過程中，一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率，而且，試驗的次數越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．
2.用頻率估計概率
一般地，如果在n次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為，則當n很大時，可以認為事件A發生的概率P(A)的估計值為．這種確定概率估計值的方法稱為用頻率估計概率．
【即學即練6】下列說法正確的是(　　)
①頻率反映隨機事件的頻繁程度，概率反映隨機事件發生的可能性大小；
②做n次隨機試驗，事件A發生m次，則事件A發生的頻率就是事件A的概率；
③頻率是不能脫離n次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值；
④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
知識點07 隨機事件的獨立性
1.　相互獨立事件的概念
(1)一般地，當P(AB)P(A)P(B)時，就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立)．
[說明]　“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件．
(2)事件A與B相互獨立的直觀理解是，事件A是否發生不會影響事件B發生的概率，事件B是否發生也不會影響事件A發生的概率．
(3)兩個事件相互獨立的概念也可以推廣到有限個事件，即“A1，A2，…，An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”．
2.　相互獨立事件的性質
(1)如果事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立．
(2)多個事件獨立具有與兩個事件獨立類似的性質．例如，如果A1，A2，A3相互獨立，則1，A2，A3也相互獨立等．
【即學即練7】擲一個骰子一次，記事件A表示“出現偶數點”，事件B表示“出現3點或6點”，則事件A與B是(　　)
A．互斥事件
B．相互獨立事件
C．既互斥又相互獨立事件
D．既不互斥又不相互獨立事件
題型01 必然現象與隨機現象的判斷
【典例01】（23-24高二·上海·課堂例題）下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數a，b都不為0，但；④某地區明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【變式1】（24-25高二上·四川雅安·階段練習）下列事件是隨機事件的是（ ）
①同種電荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物體做勻速直線運動；④函數在定義域上是增函數．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【變式2】（23-24高二上·貴州黔東南·期末）在12件同類產品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（ ）
A．3件都是正品 B．至少有2件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【變式3】（多選） （23-24高一下·內蒙古通遼·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在標準大氣壓下，水在4℃時結冰
C．早晨太陽從東方升起
D．，則的值不小于0
題型02 樣本點和樣本空間
【典例2】 （23-24高一上·全國·課后作業）高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【變式1】 （22-23高一·全國·課后作業）隨機事件“連續擲一顆篩子直到出現5點停止，觀察擲的次數”的樣本空間是（ ）
A．5 B．1到6的正整數 C．6 D．一切正整數
【變式2】 （24-25高二·上海·課堂例題）從0、1、2這3個數字中，不放回地取兩次，每次取一個數字，構成有序數對，x為第1次取到的數字，y為第2次取到的數字．
(1)寫出這個隨機試驗的樣本空間；
(2)寫出“第1次取出的數字是2”這個事件相應的樣本空間．
題型03 事件間的關系及運算
【典例3】（24-25高二上·吉林·階段練習）擲一枚質地均勻的骰子，“向上的點數是1或3”為事件A，“向上的點數是1或5”為事件B，則（ ）
A．
B．表示向上的點數是1或3或5
C．表示向上的點數是1或3
D．表示向上的點數是1或5
【變式1】 （24-25高二上·山東淄博·階段練習）對空中移動的目標連續射擊兩次，設兩次都擊中目標兩次都沒擊中目標{恰有一次擊中目標}，至少有一次擊中目標}，下列關系不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設{兩彈都擊中飛機}，{兩彈都沒擊中飛機}，{恰有一彈擊中飛機}，{至少有一彈擊中飛機}，下列說法不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】 （23-24高一下·天津·期末）對于兩個事件，則事件表示的含義是（ ）
A．與同時發生 B．與不能同時發生
C．與有且僅有一個發生 D．與至少有一個發生
題型04 互斥與對立的判斷
【典例4】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”
【變式1】（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件發生的概率分別是，則下列說法正確的是（　　）
A．與是互斥事件，也是對立事件
B． 與是互斥事件，也是對立事件
C． 與是互斥事件，但不是對立事件
D．與是互斥事件，也是對立事件
【變式2】 （24-25高三上·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【變式3】（24-25高二上·山東濟寧·階段練習）下列各組事件中，是互斥事件的是（ ）
A．一個射手進行一次射擊，命中環數大于8與命中環數小于6
B．統計一個班的數學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分
C．播種100粒菜籽，發芽90粒與發芽80粒
D．檢驗某種產品，合格率高于70%與合格率低于70%
【變式4】（24-25高二上·河南·階段練習）已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（ ）
A．，互為互斥事件 B．與互為互斥事件
C． D．與互為對立事件
題型05 互斥事件概率公式的應用
【典例5】（24-25高二上·上海·階段練習）已知與是互斥事件，且，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）已知事件、互斥，、至少一個發生的概率，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從一箱獎券中隨機地抽取一件，設事件“抽到一等獎”，事件“抽到二等獎”，事件“抽到三等獎”.已知，則事件“抽到的不是一等獎”的概率為（ ）
A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45
題型06 古典概型的特征
【典例6】（23-24高二上·上海·課后作業）下列關于古典概率模型的說法中正確的是（ ）
①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；②每個事件出現的可能性相等；③每個樣本點出現的可能性相等；④樣本點的總數為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則．
A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④
【變式1】（22-23高一下·新疆·期末）下列實驗中，是古典概型的有（ ）
A．某人射擊中靶或不中靶
B．在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都為整數的所有點中任取一個
C．四名同學用抽簽法選一人參加會議
D．從區間上任取一個實數，求取到1的概率
【變式2】下列關于古典概型的說法中正確的是(　　)
①試驗的樣本空間所包含的樣本點個數只有有限個；②每個事件出現的可能性相等；③每個樣本點出現的可能性相等；④樣本點的總數為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則P(A).
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
【變式3】下列概率模型中，是古典概型的個數為(　　)
①從區間[1，10]內任取一個數，求取到1的概率；
②從1，2，3，…，10中任意取一個整數，求取到1的概率；
③在一個正方形ABCD內畫一點P，求點P剛好與點A重合的概率；
④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現反面朝上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
題型07 簡單古典概型的計算
【典例7】甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲任想一數字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜出的數字記為b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．
【變式3】一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．這個試驗的樣本空間所包含的樣本點個數為________，摸出的2只球都是白球的概率是________．
【變式4】（23-24高二上·黑龍江·階段練習）已知，，且，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型08有放回和無放回的概率問題
【典例8】（23-24高一下·天津西青·期末）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高二上·陜西漢中·開學考試）盒中有3個大小質地完全相同的球，其中2個白球、1個黑球，從中不放回地依次隨機摸出2個球．則恰好摸出一個白球一個黑球的概率為 ．
【變式2】（23-24高一上·全國·課后作業）在試驗“袋中有白球3個（編號為1，2，3）、黑球2個（編號為1，2），這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結果分別記為，，，摸到黑球的結果分別記為，．求：
(1)取到的兩個球都是白球的概率；
(2)取到的兩個球顏色相同的概率；
(3)取到的兩個球至少有一個是白球的概率．
題型09 根據概率求參數
【典例9】（23-24高二上·浙江·期中）有5張未刮碼的卡片，其中n張是“中獎”卡，其它的是“未中獎”卡，現從這5張卡片隨機抽取2張.你有資金100元，每次在對一張卡片刮碼前，下注已有資金的一半.若刮碼結果為“中獎”，則贏得與下注金額相同的另一筆錢，若刮碼結果是“未中獎”，則輸掉下注的資金.抽取的2張卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則n至少為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式1】（22-23高一下·重慶·期末）在一個不透明的袋中有4個紅球和個黑球，現從袋中有放回地隨機摸出2個球，已知取出的球中至少有一個紅球的概率為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2】（22-23高一下·江蘇南京·期末）一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數的前提下，為估計口袋中黃球的個數，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復上述過程次，共摸出紅球次，根據上述數值，估計口袋中大約有黃球（ ）個．
A． B． C． D．
【變式3】某箱臍橙共有18個，其中有少部分是壞果.若從這箱臍橙中任取2個，恰好取到1個壞果的概率為，則這箱臍橙中壞果的個數為（ ）
A．3 B．5 C．2 D．4
題型10 根據加法公式求古典概型概率
【典例10】（22-23高一下·河北邢臺·階段練習）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個黃球”，事件“取出的2球至少有一個白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（21-22高一·全國·單元測試）某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有編號分別為1，2，3，4，5的五個小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動規則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽到的小球編號為3，則獲得獎金100元；若抽到的小球編號為偶數，則獲得獎金70元；若抽到其余編號的小球，則不中獎.現某顧客依次有放回地抽獎兩次，則該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為100元的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】拋擲一枚質地均勻的骰子（骰子的六個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點）一次，觀察擲出向上的點數，設事件為擲出向上為偶數點，事件為擲出向上為3點，則（ ）
A． B．
C． D．
題型11 頻率與概率的辨析
【典例11】（24-25高二上·四川成都·階段練習）下列說法一定正確的是（ ）
A．一名籃球運動員，號稱“百發百中”，若罰球三次，不會出現三投都不中的情況
B．隨機事件發生的概率與試驗次數無關
C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元
D．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現一次2
【變式1】（23-24高一下·廣西河池·期末）下列說法中正確的是（ ）
A．隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率
B．在次隨機試驗中，一個隨機事件發生的頻率具有確定性
C．隨著試驗次數的增大，一個隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率
D．在同一次試驗中，每個試驗結果出現的頻率之和不一定等于1
【變式2】（23-24高一下·江蘇淮安·期末）已知某醫院治療一種疾病的治愈率為，下列說法正確的是（ ）
A．患此疾病的病人被治愈的可能性為
B．醫院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C．如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人一定能被治愈
D．醫院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
【變式3】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．一個人打靶，打了10發子彈，有7發子彈中靶，因此這個人中靶的概率是
B．一個同學做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上
C．某地發行彩票，其回報率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報
D．大量試驗后，可以用頻率近似估計概率
題型12 用頻率估計概率
【典例12】（24-25高二上·山東濟寧·階段練習）在調查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數是奇數嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調查的運動員擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（ ）
A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%
【變式1】（2024高二下·湖北·學業考試）從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為（單位：）：
492 496 494 495 498 497 701 702 704 496
497 703 706 708 707 492 496 700 701 499
用頻率估計概率，該包裝機包裝的袋裝奶粉質量在之間的概率約為（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5
【變式2】（23-24高一下·山東棗莊·期末）某地區的公共衛生部門為了調查本地區中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行調查.調查中使用了兩個問題.問題1：你父親的公歷出生月份是不是奇數？問題2：你是否經常吸煙？調查者設計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的70個白球和70個紅球的密封袋子，每個被調查者隨機地從袋中摸取1個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最終盒子中的小石子為580個，則該地區中學生吸煙人數的比例約為（ ）
A．2% B．3% C．6% D．8%
【變式3】（2024高一下·全國·專題練習）眾所周知，長時間玩手機可能影響視力．據調查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學生每天玩手機超過2 h，這些人的近視率約為70%．現從每天玩手機不超過2 h的學生中任意調查一名學生，則該名學生近視的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4】天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為80%．現采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產生了10組隨機數180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
【變式5】每年4月15日為全民國家安全教育日，某學校黨委組織黨員學習《中華人民共和國國家安全法》，為了解黨員學習的情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的學習時間（單位：時）進行調查，統計數據如下表所示：
學習時間（時）
黨員人數 8 13 9 10 10
則從該校隨機抽取1名黨員，估計其學習時間不少于6小時的概率為（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
題型13 事件獨立性的判斷
【典例13】(多選)下列事件A，B是相互獨立事件的是(　　)
A．一枚硬幣拋擲兩次，事件A為“第一次為正面”，事件B為“第二次為反面”
B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸兩球，事件A為“第一次摸到白球”，事件B為“第二次摸到白球”
C．擲一枚骰子，事件A為“出現點數為奇數”，事件B為“出現點數為偶數”
D．事件A為“甲能活到20歲”，事件B為“乙能活到70歲”
【變式1】一袋中裝有100個球，其中有20個白球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則事件A1與是(　　)
A．相互獨立事件 B．對立事件
C．互斥事件 D．無法判斷
【變式2】（24-25高一下·全國·隨堂練習）壇子中放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，則與（ ）
A．是互斥事件 B．是相互獨立事件
C．是對立事件 D．不是相互獨立事件
【變式3】（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知事件A，B滿足，則 （ ）
A．若B A，則 B．若A與B互斥，則
C．若A與B相互獨立，則 D．若，則C與B相互對立
題型14 相互獨立事件概率的計算
【典例14】（22-23高一下·甘肅·期末）某商場在618大促銷活動中，活動規則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質地均勻的骰子，如果出現點數為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為 ．
【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）已知事件，滿足：，，則（ ）.
A．若，互斥，則
B．若，互斥，則
C．若，互相獨立，則
D．若，互相獨立，則
【變式2】(多選)甲、乙兩人練習射擊，命中目標的概率分別為和，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正確的是(　　)
A．目標恰好被命中一次的概率為
B．目標恰好被命中兩次的概率為
C．目標被命中的概率為
D．目標未被命中的概率為
【變式3】（23-24高一下·廣西崇左·期末）2024年5月底，各省教育廳陸續召開了2024年高中數學聯賽的相關工作.若某市經過初次選拔后有甲 乙 丙三名同學成功進入決賽，在決賽環節中這三名同學同時解答一道有關組合數論的試題.已知甲同學成功解出這道題的概率是，甲 丙兩名同學都解答錯誤的概率是，乙 丙兩名同學都成功解出的概率是，且這三名同學能否成功解出該題相互獨立.
(1)求乙 丙兩名同學各自成功解出這道題的概率；
(2)求這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題的概率.
一、單選題
1．（2023高一·全國·課后作業）下列說法一定正確的是（ ）
A．一名籃球運動員，號稱“百發百中”，若罰球三次，不會出現三投都不中的情況
B．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現一次2
C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元
D．隨機事件發生的概率與試驗次數無關
2．（24-25高二上·吉林·階段練習）若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（ ）
A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件
3．（24-25高一上·四川成都·開學考試）某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，那么請你估計該廠這20萬件產品中合格產品約有（ ）
A．1萬件 B．18萬件 C．19萬件 D．20萬件
4．（24-25高一下·全國·隨堂練習）口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0
5．（24-25高一下·全國·隨堂練習）擲一枚骰子，設事件出現的點數不小于5，出現的點數為偶數，則事件A與事件B的關系是（ ）
A． B．出現的點數為6
C．事件A與B互斥 D．事件A與B是對立事件
6．（22-23高二上·廣東佛山·期末）一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球，個綠球，現采用不放回的方式從中依次隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為，則的值為（ ）
A．4 B．5 C．12 D．15
7．（23-24高一上·四川內江·開學考試）某公園有東、南、西、北共4個大門供游客出入，小軍、小明從不同的大門進入公園游玩，游玩結束后，他們隨機地從其中一個大門離開，則他們恰好從同一個大門出去的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·貴州遵義·階段練習）七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（24-25高二上·吉林·階段練習）對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設事件兩炮彈都擊中飛機，事件兩炮彈都沒擊中飛機，事件恰有一炮彈擊中飛機，事件至少有一炮彈擊中飛機，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，事件“出現點數為奇數”，事件“出現點數為3”，事件“出現點數為3的倍數”，事件“出現點數為偶數”，則以下選項正確的是（ ）
A．B與D互斥
B．A與D互為對立事件
C．
D．
11．（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且，則實數a的值可以是（　　）
A． B． C． D．
三、填空題
12．（24-25高一上·廣西崇左·開學考試）下表是某種植物的種子在相同條件下發芽率試驗的結果．
種子個數n 100 400 900 1700 2700 4000
發芽種子個數m 92 352 818 1336 2251 3801
發芽種子頻率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根據表中的數據，可估計該植物的種子發芽的概率為 （精確到0.1）．
13．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習）事件、是相互獨立事件，若，，則實數的值等于 .
14．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）若隨機事件，互斥，，發生的概率均不等于0，且，則實數的取值范圍為 ．
四、解答題
15．（23-24高二·上海·課堂例題）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張一樣的卡片上，并隨機抽取1張．設出現偶數，出現3的倍數．寫出下面兩個事件的對應子集：
(1)至少有一個發生；
(2)同時發生．
16．（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）同時轉動如圖的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為，轉盤②得到的數為，結果為（x，y）．
(1)分別用集合的形式表示事件“”和事件“且”；
(2)若設計了一種游戲方案：甲乙兩人同時各轉動一個轉盤一次，將轉到的數字相加，和為偶數時甲獲勝，否則乙獲勝．游戲方案對雙方是否公平？請說明理由．
17．（24-25高二上·內蒙古赤峰·階段練習）—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.
(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；
(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.
18．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越來越多的年輕人加入自行車騎游行列.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費元（不足一小時的部分按一小時計算）.有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游（各租一車一次），設甲、乙不超過小時還車的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為，；兩人租車時間互不影響且都不會超過3小時.
(1)求甲、乙兩人租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率；
(2)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；
(3)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率
19．（24-25高一下·全國·課堂例題）某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表：
七年級 八年級 九年級
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到八年級女生的概率為0.19．
(1)求x的值；
(2)已知，，求九年級中女生比男生少的概率；
(3)已知，在全校學生中隨機抽取一名學生，則該學生是女生或是九年級學生的概率是多少？
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