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第五章 統(tǒng)計與概率章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·天津河?xùn)|·期末）為確保食品安全，某市質(zhì)檢部門檢查1000袋方便面的質(zhì)量，抽查總量的.在這個問題中，下列說法正確的是（ ）
A．總體是指這1000袋方便面 B．個體是1袋方便面
C．樣本是按抽取的20袋方便面 D．樣本容量為20
2．（23-24高二上·上海長寧·期末）①植物根據(jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進(jìn)行測量；②檢測員擬對一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進(jìn)行質(zhì)量檢測；上述兩項調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（ ）
A．①用簡單隨機抽樣，②用分層隨機抽樣 B．①用簡單隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣
C．①用分層隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣 D．①用分層隨機抽樣，②用分層隨機抽樣
3．（24-25高一上·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）高一（1）班7人宿舍中每個同學(xué)的身高分別為170，168，175，172，172，176，180，則這7人的第40百分位數(shù)為（ ）
A．168 B．170 C．172 D．171
4．（23-24高一下·山西長治·期末）下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙二人進(jìn)行羽毛球比賽，甲勝的概率為，則比賽4場，甲一定勝3場
B．概率是隨機的，在試驗前不能確定
C．事件，滿足，則
D．天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%
5．（23-24高一下·陜西西安·期末）一支田徑隊有男運動員24人，女運動員18人，按照性別進(jìn)行分層，用分層隨機抽樣的方法從該田徑隊中抽取了14人，則男運動員被抽取的人數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（24-25高二上·山東青島·期中）為了了解某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績，利用分層隨機抽樣抽取了一個10人的樣本，統(tǒng)計如下表：則可估計全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分和方差分別為（ ）
學(xué)生數(shù) 平均分 方差
男生 6 80 4
女生 4 75 2
A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11
7．（24-25高二上·山西·階段練習(xí)）在山西的某個旅游景點內(nèi)有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃.某游客從中隨機選擇3種品嘗，則該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)甲、乙兩人每次投進(jìn)籃球的概率分別為與，兩人約定如下投籃：每次由一人投籃，若投進(jìn)，下一次由另一人投籃；若沒有投進(jìn)，則繼續(xù)投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（23-24高一下·廣東廣州·期末）設(shè)A，B易兩個隨機事件，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若A，B是互斥事件，則
B．若，則
C．若A，B是相互獨立事件，則
D．若，則A，B是相互獨立事件
10．（23-24高一下·重慶巫山·期末）某學(xué)校對高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（ ）
A．該校高一學(xué)生總數(shù)為
B．該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為
C．該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多
D．用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人
11．（23-24高一下·黑龍江綏化·期末）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；乙地：中位數(shù)為3，極差為4；丙地：平均數(shù)為2，中位數(shù)為3；丁地：平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為，甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）甲、乙兩人搶答競賽題，甲答對的概率為，乙答對的概率為，則兩人中恰有一人答對的概率為 .
13．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，若這組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，方差為，則 .
14．（2024·上海·三模）對于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、…、，記這m個數(shù)的第k百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間中的數(shù)據(jù)有且只有5個，則m的所有可能值組成的集合為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分）（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）2024年10月13日，成都市將舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障.成都市文體廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組:第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值;
(2)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第百分位數(shù);
(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取人，擔(dān)任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為和，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為和，請據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差.
（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）
16．(15分）（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.
(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；
(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.
17．(15分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）2022年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認(rèn)知程度，針對黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的第80百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率．
18．(17分）（23-24高一下·河北·期末）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．
(1)已知．
①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；
②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．
(2)若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．
19．(17分）（22-23高一下·廣東梅州·期末）某中學(xué)新建了學(xué)校食堂，每天有近2000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學(xué)生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等，為了更合理地設(shè)置窗口布局，增加學(xué)生的用餐滿意度，學(xué)校學(xué)生會在用餐的學(xué)生中對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受等待時間進(jìn)行問卷調(diào)查，并得到以下的統(tǒng)計圖表.
類別 選餐 套餐 面食
選擇人數(shù) 70 30 20
平均每份取餐時長（單位：分鐘） 2 0.5 1

已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個，就餐高峰期時有200名學(xué)生在等待就餐.
(1)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計，如果設(shè)置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，就餐高峰期時，假設(shè)大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學(xué)最長等待時間是多少？這能否讓80％的同學(xué)感到滿意（即在接受等待時長內(nèi)取到餐）？
(2)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設(shè)置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化，并給出你的求解過程.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第五章 統(tǒng)計與概率章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·天津河?xùn)|·期末）為確保食品安全，某市質(zhì)檢部門檢查1000袋方便面的質(zhì)量，抽查總量的.在這個問題中，下列說法正確的是（ ）
A．總體是指這1000袋方便面 B．個體是1袋方便面
C．樣本是按抽取的20袋方便面 D．樣本容量為20
【答案】A
【分析】根據(jù)總體，個體，樣本，樣本的定義逐一判斷即可得解.
【詳解】對于A，總體是指這1000袋方便面的質(zhì)量，故A錯誤；
對于B，個體是指1袋方便面的質(zhì)量，故B錯誤；
對于C，樣本是指按照抽取的20袋方便面的質(zhì)量，故C錯誤；
對于D，樣本容量為，故D正確.
.
2．（23-24高二上·上海長寧·期末）①植物根據(jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進(jìn)行測量；②檢測員擬對一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進(jìn)行質(zhì)量檢測；上述兩項調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（ ）
A．①用簡單隨機抽樣，②用分層隨機抽樣 B．①用簡單隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣
C．①用分層隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣 D．①用分層隨機抽樣，②用分層隨機抽樣
【答案】D
【分析】根據(jù)簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣的特點進(jìn)行判斷即可.
【詳解】①喬木、灌木、草木，分類明顯，可以采用分層隨機抽樣；
②并未有明顯分層特點，且樣本容量較小，可以采用簡單隨機抽樣；
.
3．（24-25高一上·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）高一（1）班7人宿舍中每個同學(xué)的身高分別為170，168，175，172，172，176，180，則這7人的第40百分位數(shù)為（ ）
A．168 B．170 C．172 D．171
【答案】D
【分析】將數(shù)據(jù)按升序排列，結(jié)合百分位數(shù)的定義運算求解即可.
【詳解】將數(shù)據(jù)按升序排列可得168，170，172，172，175，176，180，
因為，所以這7人的第40百分位數(shù)為第3位數(shù)172.
.
4．（23-24高一下·山西長治·期末）下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙二人進(jìn)行羽毛球比賽，甲勝的概率為，則比賽4場，甲一定勝3場
B．概率是隨機的，在試驗前不能確定
C．事件，滿足，則
D．天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%
【答案】A
【分析】根據(jù)概率的定義及性質(zhì)判斷即可.
【詳解】對于A，甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，是指每場比賽，甲勝的可能性為，
則比賽場，甲可能勝場、3場、2場、1場、0場，故A錯誤；
對于B，隨機試驗的頻率是變化的，概率是頻率的穩(wěn)定值，是固定的，故B錯誤；
對于C：事件，滿足，則，故C錯誤；
對于D，天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為，是指降水的可能性是，故D正確.
5．（23-24高一下·陜西西安·期末）一支田徑隊有男運動員24人，女運動員18人，按照性別進(jìn)行分層，用分層隨機抽樣的方法從該田徑隊中抽取了14人，則男運動員被抽取的人數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣原則，按比例計算即可.
【詳解】由題意得，男運動員被抽取的人數(shù)為；
6．（24-25高二上·山東青島·期中）為了了解某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績，利用分層隨機抽樣抽取了一個10人的樣本，統(tǒng)計如下表：則可估計全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分和方差分別為（ ）
學(xué)生數(shù) 平均分 方差
男生 6 80 4
女生 4 75 2
A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11
【答案】D
【分析】由平均數(shù)及方差計算公式即可求解.
【詳解】由均值和方差公式直接計算.
可估計全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分為，方差為.
.
7．（24-25高二上·山西·階段練習(xí)）在山西的某個旅游景點內(nèi)有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃.某游客從中隨機選擇3種品嘗，則該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用編號，列舉的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.
【詳解】將刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃分別設(shè)為，，，，，
根據(jù)題意，該游客從中隨機選擇3種品嘗的所有情況有，，，，，，，，，，共10種，
其中該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的，，，情況有3種，
故所求概率為.
8．（24-25高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)甲、乙兩人每次投進(jìn)籃球的概率分別為與，兩人約定如下投籃：每次由一人投籃，若投進(jìn)，下一次由另一人投籃；若沒有投進(jìn)，則繼續(xù)投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分第一次甲先投籃與第一次乙先投籃，然后由獨立事件的概率的乘法公式求解即可.
【詳解】若第一次甲先投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為：，
若第一次乙先投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為：
故前4次中甲恰好投籃3次的概率為：.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（23-24高一下·廣東廣州·期末）設(shè)A，B易兩個隨機事件，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若A，B是互斥事件，則
B．若，則
C．若A，B是相互獨立事件，則
D．若，則A，B是相互獨立事件
【答案】DD
【分析】A由互斥事件概念可知；B由事件的包含關(guān)系得；C由概率性質(zhì)與概率乘法公式可得；D由概率加法公式與相互獨立事件的定義可得.
【詳解】A項，若是互斥事件，不可能同時發(fā)生， ，故A錯誤；
B項，若，則，則，故B錯誤；
C項，若相互獨立，則，
所以，故C正確；
D項，由，且事件互斥，則,
若， 則，
又，，故相互獨立，故D正確.
D.
10．（23-24高一下·重慶巫山·期末）某學(xué)校對高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（ ）
A．該校高一學(xué)生總數(shù)為
B．該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為
C．該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多
D．用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人
【答案】ACD
【分析】根據(jù)政史地的人數(shù)和占比求出高一學(xué)生總數(shù)判斷A，根據(jù)選考物化地和物化政組合
的人數(shù)相等和圖表中的信息求出各選科的人數(shù)判斷BC，利用分層抽樣的特點判斷D.
【詳解】由扇形圖和條形圖可知，選政史地的人數(shù)為人，占比，
所以該校高一學(xué)生總數(shù)為人，A說法正確；
由扇形圖可知選擇物化生的人數(shù)為人，
所以選擇物化地和物化政的人數(shù)為人，
又因為選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，
所以選考物化地和物化政組合的人數(shù)均為人，B說法錯誤；
該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)有人，選考?xì)v史的人數(shù)有人，
選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多，C說法正確；
因為選考生史地的學(xué)生人數(shù)占比為，
所以用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人，D說法正確；
CD
11．（23-24高一下·黑龍江綏化·期末）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；乙地：中位數(shù)為3，極差為4；丙地：平均數(shù)為2，中位數(shù)為3；丁地：平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為，甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】CCD
【分析】對于A，舉例判斷，對于B，計算出每天新增疑似病例人數(shù)的最大值判斷，對于CD，利用反證法判斷.
【詳解】對于A，若甲地過去10天每天新增疑似病例人數(shù)分別為0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，
則滿足平均數(shù)2，眾數(shù)為2，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，所以A錯誤，
對于B，因為乙地：中位數(shù)為3，極差為4，則最大值不大于，
所以乙地滿足每天新增疑似病例不超過7人，所以B正確，
對于C，假設(shè)丙地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過7人，
由中位數(shù)為3可得平均數(shù)的最小值為，
與題意矛盾，所以C正確，
對于D，假設(shè)丁地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過7人，
則方差的最小值為，與題意矛盾，所以D正確，
CD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）甲、乙兩人搶答競賽題，甲答對的概率為，乙答對的概率為，則兩人中恰有一人答對的概率為 .
【答案】/0.35
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算即得.
【詳解】甲答對的概率為，乙答對的概率為，
所以兩人中恰有一人答對的概率為.
故答案為：
13．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，若這組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，方差為，則 .
【答案】 19 8
【分析】利用平均數(shù)的性質(zhì)和方差的性質(zhì)求解．
【詳解】因為的平均數(shù)為，方差為，
所以，的平均數(shù)為,
方差為.
故答案為：19；8.
14．（2024·上海·三模）對于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、…、，記這m個數(shù)的第k百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間中的數(shù)據(jù)有且只有5個，則m的所有可能值組成的集合為 ．
【答案】
【分析】就是否為正整數(shù)分類討論，若為正整數(shù)，則5個數(shù)分別為；若不為整數(shù)，則5個數(shù)分別為，就的范圍分類計算后可得m的所有可能值組成的集合.
【詳解】不妨設(shè)，因為不在這組數(shù)據(jù)，故為正整數(shù)，
若為正整數(shù)，故，其中為正整數(shù)，
故，，
因為在區(qū)間中的數(shù)據(jù)有且只有5個，
故這個5個數(shù)分別為，故即，
但當(dāng)時，，此時至少有6個，
故，
當(dāng)時，即為，共5個，符合；
當(dāng)時，即為，共6個，不符合；
當(dāng)時，即為，共7個，不符合；
若為不是整數(shù)，故，其中為正奇數(shù)，
設(shè)，其中為正整數(shù)，
則，且，故，
故，，
因為在區(qū)間中的數(shù)據(jù)有且只有5個，
故這個5個數(shù)分別為，故即，
但當(dāng)，，此時至少有6個，
故，
當(dāng)時，即為，共5個，符合；
當(dāng)時，即為，共6個，不符合；
當(dāng)時，即為，共7個，不符合；
綜上，符合條件的為，，
故答案為：.
【點睛】思路點睛：與不等式有關(guān)的整數(shù)解問題，可先根據(jù)區(qū)間中含有的整數(shù)的個數(shù)初步確定參數(shù)的范圍，再逐個討論后舍去矛盾的情況即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分）（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）2024年10月13日，成都市將舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障.成都市文體廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組:第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值;
(2)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第百分位數(shù);
(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取人，擔(dān)任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為和，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為和，請據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差.
（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的概率乘以組距等于，可求得
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和百分位數(shù)的計算方法即可求解；
（3）先計算出第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)，由題意，再根據(jù)分層抽樣的方差公式求解即可.
【詳解】（1）由圖得，
解之可得；
（2）根據(jù)題意知，
，，
設(shè)第百分位數(shù)為，所以，
，解之可得，
故這名候選者面試成績的平均數(shù)為，第80百分位數(shù)為.
（3）設(shè)第二組、第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)、方差分別為，
且兩組的頻率之比為，
則第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)為，
第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差為
，
則第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差為.
16．(15分）（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.
(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；
(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，用列舉法寫出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可計算概率；
（2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可計算概率.
【詳解】（1）將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，
則任意摸出2個球的樣本空間有：紅1紅2，紅1紅3，紅1白1，紅1白2，紅2紅3，紅2白1，紅2白2，紅3白1，紅3白2，白1白2共10個樣本點，
其中2球均為白球事件的樣本點只有1個，因此2個球都是白球概率為；
（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，列表如圖所示：
第2次摸球第1次摸球 紅1 紅2 紅3 白1 白2
紅1 （紅1，紅1） （紅1，紅2） （紅1，紅3） （紅1，白1） （紅1，白2）
紅2 （紅2，紅1） （紅2，紅2） （紅2，紅3） （紅2，白1） （紅2，白2）
紅3 （紅3，紅1） （紅3，紅2） （紅3，紅3） （紅3，白1） （紅3，白2）
白1 （白1，紅1） （白1，紅2） （白1，紅3） （白1,白1） （白1,白2）
白2 （白2，紅1） （白2，紅2） （白2，紅3） （白2,白1） （白2,白2）
所以攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球事件的樣本空間共有25個樣本點，它們出現(xiàn)的可能性相同，
其中滿足事件“2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球”的樣本點有12個，所以.
17．(15分）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）2022年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認(rèn)知程度，針對黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的第80百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的估算方法，即可求得答案；
（2）確定兩組抽取人數(shù)，列舉出從6人中隨機抽取2人的樣本空間，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)第80百分位數(shù)為，前三組頻率之和為，
前四組頻率之和為，
故，
解得：
（2）由樣本頻率估計總體頻率，在和兩區(qū)間內(nèi)頻率分別為0.2，0.1，
區(qū)間應(yīng)抽取（人），設(shè)為，，，甲，
區(qū)間應(yīng)抽取（人），設(shè)為，乙，
則從6人中隨機抽取2人的樣本空間為：
，，甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙，，甲乙，甲，乙，共15個基本事件，
記“甲、乙兩人至少有一人被選上”，
則甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，共9個基本事件，
所以，
故甲、乙兩人至少有一人被選上的概率為．
18．(17分）（23-24高一下·河北·期末）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．
(1)已知．
①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；
②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．
(2)若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．
【答案】(1)① ；②證明見解析
(2)
【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得；②記事件為“第三次收到的信號為1”，事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，證明即可；
（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，根據(jù)題意可得，解不等式可解.
【詳解】（1）①記事件為“至少收到一次0”，則．
②證明：記事件為“第三次收到的信號為1”，則．
記事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，
則．
因為，
所以事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．
（2）記事件為“采用三次傳輸方案時譯碼為0”，則．
記事件為“采用單次傳輸方案時譯碼為0”，則．
根據(jù)題意可得，即，
因為，所以，
解得，故的取值范圍為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算各事件的概率.
19．(17分）（22-23高一下·廣東梅州·期末）某中學(xué)新建了學(xué)校食堂，每天有近2000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學(xué)生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等，為了更合理地設(shè)置窗口布局，增加學(xué)生的用餐滿意度，學(xué)校學(xué)生會在用餐的學(xué)生中對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受等待時間進(jìn)行問卷調(diào)查，并得到以下的統(tǒng)計圖表.
類別 選餐 套餐 面食
選擇人數(shù) 70 30 20
平均每份取餐時長（單位：分鐘） 2 0.5 1

已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個，就餐高峰期時有200名學(xué)生在等待就餐.
(1)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計，如果設(shè)置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，就餐高峰期時，假設(shè)大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學(xué)最長等待時間是多少？這能否讓80％的同學(xué)感到滿意（即在接受等待時長內(nèi)取到餐）？
(2)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設(shè)置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化，并給出你的求解過程.
【答案】(1)18分鐘；不能
(2)建議設(shè)置選餐、套餐、面食三個類別的窗口數(shù)分別為個；求解過程見解析
【分析】（1）求出就餐高峰期時選擇選餐的總?cè)藬?shù)，確定平均每個窗口等待就餐的人數(shù)即可求得選擇選餐同學(xué)的最長等待時間；根據(jù)頻率分布直方圖可計算可接受等待時長在15分鐘以上的同學(xué)占比，即可得結(jié)論；
（2）假設(shè)設(shè)置m個選餐窗口，n個套餐窗口，k個面食窗口，表示出各隊伍的同學(xué)最長等待時間，根據(jù)從等待時長和公平的角度上考慮即為要求每個隊伍的最長等待時間大致相同，從而列式求解.
【詳解】（1）由題意得，就餐高峰期時選擇選餐的總?cè)藬?shù)為人；
這100人平均分布在12個選餐窗口，平均每個窗口等待就餐的人數(shù)為人，
所以選擇選餐同學(xué)的最長等待時間為分鐘，
由可接受等待時長的頻率分布直方圖可知，分組為的頻率分別為，
所以可接受等待時長在15分鐘以上的同學(xué)占，
故設(shè)置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，不能讓80％的同學(xué)感到滿意；
（2）假設(shè)設(shè)置m個選餐窗口，n個套餐窗口，k個面食窗口，則各隊伍的同學(xué)最長等待時間如下：
類別 選餐 套餐 面食
高峰期就餐總?cè)藬?shù) 100 80 40
各隊伍長度（人）
最長等待時間（分鐘）
依題意，從等待時長和公平的角度上考慮，則要求每個隊伍的最長等待時間大致相同，
即得，即有，
而，故，
因此建議設(shè)置選餐、套餐、面食三個類別的窗口數(shù)分別為個.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題是一道有關(guān)頻率分布直方圖的應(yīng)用題，題意的敘述較為復(fù)雜，解答的關(guān)鍵是明確題意，理解從等待時長和公平的角度上考慮即為要求每個隊伍的最長等待時間大致相同，從而列式求解
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