資源簡介

第03講 向量的基本定理
課程標準 學(xué)習(xí)目標
理解兩個平面向量共線的含義． 2．理解平面向量基本定理及其意義． 1．理解并掌握兩個向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運用這些知識處理有關(guān)共線向量問題． 2．理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義． 3．會用基底來表示其他向量． 4．會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．
知識點01 共線向量基本定理
（1）定義：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得bλa．
（2）幾點說明
①bλa時，通常稱為b能用a表示．
②其中的“唯一”指的是，如果還有bμa，則有λμ．
作用：如果A，B，C是三個不同的點，則它們共線的充要條件是：存在實數(shù)λ，使得λ．
A，B，C三點共線 存在實數(shù)λ，μ對平面內(nèi)任意一點O(O不在直線BC上)滿足λ＋μ(λ＋μ1)．
【即學(xué)即練1】設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量a2e1－e2，與向量be1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為________．
知識點02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得cxa＋yb．
2.基底與向量的分解
平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成該平面上向量的一組基底，記為{a，b}，此時如果cxa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式．
【解讀】①當(dāng)a與b不共線時，“唯一的實數(shù)對”指的是c用a，b表示時，表達式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv．
②當(dāng)x≠0或y≠0時，必定有xa＋yb≠0．也就是說，當(dāng)a與b不共線時，xa＋yb≠0的充要條件是x與y中至少有一個不為0．
的差向量，可以簡記為“共起點，連終點，指被減”
【即學(xué)即練2】已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，則x________，y________．
題型01 共線向量定理的應(yīng)用
【典例1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【變式1】（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
【變式2】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則實數(shù)的值為（　　　）
A．1 B． C．4 D．
【變式3】（23-24高一下·四川廣安·階段練習(xí)）已知向量不共線，且，若與反共線，則實數(shù)λ的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
題型02 基底的判斷
【典例2】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式2】（23-24高一下·江蘇淮安·期中）設(shè)，為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式3】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）設(shè)點O是兩條對角線的交點，下列組合中：①與；②與；③與；④與，其中可作為表示平行四邊形所在平面所有向量的基的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
題型03 用基底表示向量
【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，點，分別為，邊上的中點，點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知在中， ，分別為，的中點， ， ，則可以用含，的式子表示為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，點D是BC邊的中點，，則用向量，表示為（ ）

A． B．
C． D．
題型04 根據(jù)向量基本定理求參數(shù)
【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點在邊上，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高三上·江西·期中）已知點P是的中線BD上一點（不包含端點），且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小值為 D．的最小值是9
【變式3】（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖中，，，，若，則 .
題型05 平面向量基本定理的綜合問題
【典例5】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）（多選）已知圖中，，，為圖中的陰影中（含邊界）任意一點，并且，下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．存在無數(shù)個點，使得
【變式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多選）已知P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(含邊界)，且=+λ，λ∈R，則下列正確的是（ ）
A． λ使得||>||
B．△PCD的面積為定值
C．∠CPD的取值范圍是[，]
D．||的取值范圍是[，]
【變式2】（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）歐拉線是由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在1765年提出的一個幾何定理，指出在一個三角形中，其外心、重心和垂心共線.這條直線被稱為歐拉線.在三角形ABC中，O為三角形的外心，P為三角形垂心（O點與P點不重合），且，動點M在直線OP上，且，則的最大值
【變式3】已知為所在平面內(nèi)的一點，且，若點在的內(nèi)部（不含邊界），則實數(shù)的取值可以是_____
一、單選題
1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于基底的說法正確的序號是（ ）
①平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
2．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）若已知、是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
3．（22-23高一下·浙江溫州·階段練習(xí)）在四邊形中，對角線與交于點，若，則四邊形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形
4．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（　　）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
5．（24-25高三上·山東·期中）已知向量，不共線，，，若，，三點共線，則（ ）
A． B．. C．1 D．2
6．（23-24高一下·北京通州·期中）如圖，在中，是的中點，是延長線上一點，且，若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（23-24高一下·河北·期中）在中，為邊上的中點，是上靠近的四等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，，I是的平分線上一點，且，若內(nèi)（不包含邊界）的一點D滿足，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（24-25高一下·全國·課堂例題）若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，是實數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．若，滿足，則
B．對于平面內(nèi)任意一個向量，使得不成立的實數(shù)，有無數(shù)對
C．可以表示平面內(nèi)的所有向量
D．當(dāng)，取不同的值時，向量可能表示同一向量
10．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，在邊上，，是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·四川達州·期末）如圖，已知O是內(nèi)部任意一點，，，的面積分別為，，，．根據(jù)上述結(jié)論，則（ ）．

A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果O為的重心，那么
D．如果O為直角的內(nèi)心，且兩直角邊，，那么
三、填空題
12．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）若，是兩個不共線的向量，且與共線，則實數(shù)的值為 .
13．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)是平面內(nèi)兩個不共線的向量，， ，，．若三點共線，則的最小值是 ．
14．（23-24高一下·北京·期中）四邊形ABCD中，，且，若，則 ．
四、解答題
15．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）設(shè)，是不平行的向量，且，．
(1)若向量與共線，求實數(shù)的值；
(2)若，用，的線性組合表示．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設(shè)，．
(1)用，表示，；
(2)若為內(nèi)部一點，且．求證：，，三點共線．
17．（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，、依次是對角線上的兩個三等分點，設(shè) .
(1)請用 與 表示 ;
(2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
18．（23-24高一下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖,已知點是的重心,過點作直線分別與邊交于兩點（點與點不重合）,設(shè).
(1)求的值；
(2)求的最小值,并求此時的值.
19．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，已知，，且點是的重心.過點的直線與線段、分別交于點、.設(shè)，（，）.

(1)求的值，并判斷是否為定值，若是則求出定值，若不是請說明理由；
(2)若的周長為，的周長為.設(shè)，記，求的取值范圍.
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課程標準 學(xué)習(xí)目標
理解兩個平面向量共線的含義． 2．理解平面向量基本定理及其意義． 1．理解并掌握兩個向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運用這些知識處理有關(guān)共線向量問題． 2．理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義． 3．會用基底來表示其他向量． 4．會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．
知識點01 共線向量基本定理
（1）定義：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得bλa．
（2）幾點說明
①bλa時，通常稱為b能用a表示．
②其中的“唯一”指的是，如果還有bμa，則有λμ．
作用：如果A，B，C是三個不同的點，則它們共線的充要條件是：存在實數(shù)λ，使得λ．
A，B，C三點共線 存在實數(shù)λ，μ對平面內(nèi)任意一點O(O不在直線BC上)滿足λ＋μ(λ＋μ1)．
【即學(xué)即練1】設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量a2e1－e2，與向量be1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為________．
【答案】－
【解析】因為向量a與b共線，所以存在唯一實數(shù)μ，使bμa不成立．
即e1＋λe2μ(2e1－e2)2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1(λ＋μ)e2，
又因為e1與e2不共線．
所以解得λ－.
知識點02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得cxa＋yb．
2.基底與向量的分解
平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成該平面上向量的一組基底，記為{a，b}，此時如果cxa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式．
【解讀】①當(dāng)a與b不共線時，“唯一的實數(shù)對”指的是c用a，b表示時，表達式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv．
②當(dāng)x≠0或y≠0時，必定有xa＋yb≠0．也就是說，當(dāng)a與b不共線時，xa＋yb≠0的充要條件是x與y中至少有一個不為0．
的差向量，可以簡記為“共起點，連終點，指被減”
【即學(xué)即練2】已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，則x________，y________．
【答案】－15　－12
【解析】根據(jù)平面向量基本定理可知向量e1，e2不共線可以作為一組基底，則表示是唯一的，從而，解的x= －15,y=－12.
題型01 共線向量定理的應(yīng)用
【典例1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【分析】根據(jù)向量共線定理一一分析即可.
【詳解】對A，，
則共線，又因為有公共點，則A、B、D三點共線，故A正確；
對B，因為，故不共線，則A、B、C三點不共線，故B錯誤；
對C，因為，故不共線，則B、C、D三點不共線，故C錯誤；
對D，，因為，
故不共線，則A、C、D三點不共線，故D錯誤.
.
【變式1】（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】由由A，B，D三點共線，得存在實數(shù)，使，再用表示后，由向量相等可得．
【詳解】由已知，由A，B，D三點共線，
故存在實數(shù)，使，即，
即，解得．
．
【變式2】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則實數(shù)的值為（　　　）
A．1 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用共線向量定理列式求解即得.
【詳解】由是兩個不共線的向量，得是非零向量，又與共線，
則，即，于是，所以.
【變式3】（23-24高一下·四川廣安·階段練習(xí)）已知向量不共線，且，若與反共線，則實數(shù)λ的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)題意設(shè)，然后將，代入化簡，可得，從而可求出實數(shù)λ的值.
【詳解】解：由于與反向共線，則存在實數(shù)k使，
于是，
整理得．
由于不共線，所以有，整理得，
解得或．
又因為，故．
．
題型02 基底的判斷
【典例2】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可.
【詳解】對于A選項，，所以共線，不能作為基底；
對于B選項，，所以共線，不能作為基底；
對于C選項，，所以共線，不能作為基底；
對于D選項，易知不共線，可以作為基底.
.
【變式1】（23-24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由不共線的兩個非零向量才可以作為基底，結(jié)合共線定理對各項逐一判斷.
【詳解】對于A，因為，所以與共線，不能作為基底；
對于B，設(shè)，則，解得，所以與共線，不能作為基底；
對于C，設(shè)，則，即：，此時無解，所以與不共線，可以作為基底；
對于D，設(shè)，則，即：，解得，所以與共線，不能作為基底；
.
【變式2】（23-24高一下·江蘇淮安·期中）設(shè)，為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【分析】根據(jù)基底的定義，結(jié)合共線向量的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】A：假設(shè)和是共線向量，因此有，
因為，為平面向量的一組基底，
所以，不是共線向量，且，因此不不成立，
因此假設(shè)不不成立，因此和不是共線向量，因此本選項的向量可以做基底；
B：假設(shè)和是共線向量，因此有，
因為，為平面向量的一組基底，
所以，不是共線向量，且，因此不不成立，
因此假設(shè)不不成立，因此和不是共線向量，因此本選項的向量可以做基底；
C：假設(shè)和是共線向量，因此有，
因為，為平面向量的一組基底，
所以，不是共線向量，且，因此要想不成立，
一定有，顯然無實數(shù)解，因此假設(shè)不不成立，
因此和是不共線向量，所以本選項的向量可以做基底；
D：因為，
所以和是共線向量，所以本選項的向量不可以做基底，
【變式3】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）設(shè)點O是兩條對角線的交點，下列組合中：①與；②與；③與；④與，其中可作為表示平行四邊形所在平面所有向量的基的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】C
【分析】根據(jù)基底的定義判斷即可.
【詳解】①不共線可以做基底，②不可以做基底；
③不共線可以做基底，④不可以做基底；
故所在平面所有向量的基的是①③.
.
題型03 用基底表示向量
【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，點，分別為，邊上的中點，點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法及數(shù)乘向量運算求解即得.
【詳解】依題意，，而，
所以
【變式1】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知在中， ，分別為，的中點， ， ，則可以用含，的式子表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量的加減法則，，分別與相應(yīng)的關(guān)系，再消元構(gòu)建三者的關(guān)系，得出結(jié)果.
【詳解】由題意得，，，故，
故.
.
【變式2】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
.
【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，點D是BC邊的中點，，則用向量，表示為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的線性運算求解即可.
【詳解】，故，
則.
題型04 根據(jù)向量基本定理求參數(shù)
【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以為基底表示向量，因為，則，建立與的等量關(guān)系，求解即可.
【詳解】因為，，所以，
又，所以，
則，解得：，.
【變式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點在邊上，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的線性運算把用表示后可得，從而得結(jié)論．
【詳解】由已知，
所以，，，
．
【變式2】（24-25高三上·江西·期中）已知點P是的中線BD上一點（不包含端點），且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小值為 D．的最小值是9
【答案】ACD
【分析】由平面向量的基本定理及共線的推論得，再應(yīng)用基本不等式、二次函數(shù)性質(zhì)判斷各項正誤.
【詳解】
因為，則，又，，共線，所以，A正確；
由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B錯誤；
由，當(dāng)時有最小值，C正確；
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號不成立，D正確.
CD
【變式3】（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖中，，，，若，則 .
【答案】
【分析】先設(shè)得到，再設(shè)得到，再結(jié)合平面向量基本定理求得，即可求解.
【詳解】設(shè)，
則，
設(shè)，
則，
所以，解得，則，結(jié)合題設(shè)有
所以，
故答案為：
題型05 平面向量基本定理的綜合問題
【典例5】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）（多選）已知圖中，，，為圖中的陰影中（含邊界）任意一點，并且，下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．存在無數(shù)個點，使得
【答案】ACD
【分析】按點的位置分類，結(jié)合向量線性運算探討的取值及關(guān)系，再逐項分析判斷得解.
【詳解】由，得，又，則，
于是，，連接，則四邊形為平行四邊形，
有，當(dāng)點在線段上時，，
而，不共線，則，，
當(dāng)點在線段上時，，當(dāng)點在線段上時，，
當(dāng)點在內(nèi)時，過點作交于，則，
其中，，
則，，，，因此，
對于A，，A正確；
對于B，取，則，B錯誤；
對于C，由，得，C正確；
對于D，點為線段上任意一點時，均有，D正確．
CD
【變式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多選）已知P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(含邊界)，且=+λ，λ∈R，則下列正確的是（ ）
A． λ使得||>||
B．△PCD的面積為定值
C．∠CPD的取值范圍是[，]
D．||的取值范圍是[，]
【答案】CCD
【分析】對于A，根據(jù)正六邊形的對稱性判斷即可；對于B，根據(jù)可得，從而確定在正六邊形的對角線上運動，進而根據(jù)到的距離為定值判斷即可；對于C，根據(jù)正六邊形的對稱性分析最值即可；對于D，根據(jù)當(dāng)時，有最小值，點與點重合時，有最大值，判斷即可.
【詳解】
由可得，
即，可得，
對于A，因為正六邊形關(guān)于對角線對稱，故，故A錯誤；
對于B，在正六邊形的對角線上運動，
所以到的距離為定值，所以的面積為定值，故B正確；
對于C，根據(jù)圖形的對稱性，當(dāng)為中點時，取得最大值，
當(dāng)與重合時取得最小值，即的取值范圍是，故C正確；
對于D，因為正六邊形邊長為1，所以平行線的距離，
又當(dāng)時，有最小值，當(dāng)點與點重合時，有最大值，故D正確.
CD
【變式2】（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）歐拉線是由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在1765年提出的一個幾何定理，指出在一個三角形中，其外心、重心和垂心共線.這條直線被稱為歐拉線.在三角形ABC中，O為三角形的外心，P為三角形垂心（O點與P點不重合），且，動點M在直線OP上，且，則的最大值
【答案】
【分析】首先利用歐拉線的性質(zhì)以及已知的平行關(guān)系得到一些向量關(guān)系，再根據(jù)向量的線性表示求出與的關(guān)系，最后求的最大值.
【詳解】設(shè)為重心，則由歐拉線定理可知在上，
連接交于點，
所以為的中線，所以，
點在直線上，設(shè)，
所以，
所以，所以，
所以，當(dāng)時取最大值.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于找出和的代數(shù)關(guān)系.
【變式3】已知為所在平面內(nèi)的一點，且，若點在的內(nèi)部（不含邊界），則實數(shù)的取值可以是_____
【答案】
【解析】
如圖，
由得，,
所以,所以,
所以解得，故實數(shù)的取值范圍是故答案為：.
一、單選題
1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于基底的說法正確的序號是（ ）
①平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】由基底的定義可逐項判斷.
【詳解】對于①，平面內(nèi)任意兩個不共線的向量都可以作為基底（只要不共線就行），正確；
對于②，零向量和任何一個向量都平行，不能作為基底，錯誤；
對于③，由平面向量基本定理知，基底確定，分解形式也唯一確定，正確,
所以①③正確.
2．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）若已知、是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】A
【分析】由基的定義可判斷選項正誤.
【詳解】因、是平面上的一組基，則、不共線，據(jù)此可得ABC選項所對應(yīng)向量組均不共線，可作為基，
D選項，與共線，則不可以作為一組基.
3．（22-23高一下·浙江溫州·階段練習(xí)）在四邊形中，對角線與交于點，若，則四邊形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形
【答案】C
【分析】利用向量判斷四邊形形狀首先考慮判斷對邊的位置與大小關(guān)系，根據(jù)變形可得，可得四邊形為梯形.
【詳解】由，得，
所以，
可得且.
所以四邊形一定是梯形．
4．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（　　）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
【答案】A
【分析】運用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點共線.
【詳解】對于A，，與不共線，A不正確；
對于B，，，則與不共線，B不正確；
對于C，，，則與不共線，C不正確；
對于D，，
即，又線段AC與CD有公共點C，所以三點共線，D正確．
．
5．（24-25高三上·山東·期中）已知向量，不共線，，，若，，三點共線，則（ ）
A． B．. C．1 D．2
【答案】A
【分析】因為，，三點共線，則與共線，由此可以根據(jù)向量共線的性質(zhì)列出等式，進而求出與的關(guān)系，最后得出的值.
【詳解】由于，，三點共線，所以與共線.
存在實數(shù)，使得，即.
因為，不共線，根據(jù)向量相等的性質(zhì)，若，則.
由，將其代入可得.
.
6．（23-24高一下·北京通州·期中）如圖，在中，是的中點，是延長線上一點，且，若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得結(jié)果.
【詳解】因為，所以為的中點，又D是AB的中點，
所以，
則，.
.
7．（23-24高一下·河北·期中）在中，為邊上的中點，是上靠近的四等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量，用基底表示.
【詳解】因為，
由已知可得，，所以，
所以．
8．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，，I是的平分線上一點，且，若內(nèi)（不包含邊界）的一點D滿足，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將向量 歸一化可得，結(jié)合向量的線性運算可得，結(jié)合題意列式求解即可.
【詳解】設(shè)，則，且，
可得，
則，可得，
即，可得，
則，
因為，則，可得，
所以，
因為，解得，
所以實數(shù)x的取值范圍是.
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是以為基底表示出.本題的難點在于用表示出向量.
二、多選題
9．（24-25高一下·全國·課堂例題）若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，是實數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．若，滿足，則
B．對于平面內(nèi)任意一個向量，使得不成立的實數(shù)，有無數(shù)對
C．可以表示平面內(nèi)的所有向量
D．當(dāng)，取不同的值時，向量可能表示同一向量
【答案】AC
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算、平面向量基本定理等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】若，則，從而向量，共線，這與，不共線相矛盾，則，同理可得，故A正確；
由平面向量基本定理可知，唯一確定，故B不正確；
平面內(nèi)的每個向量可表示成的形式，反之也不成立，故C正確；
結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，當(dāng)和確定后，其和向量便唯一確定，故D不正確.
C
10．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，在邊上，，是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】根據(jù)向量的線性運算判斷各選項的準確性.
【詳解】如圖：
對A：，故A錯誤；
對B：，故B錯誤；
對C：，故C正確；
對D：，故D正確.
D
11．（23-24高一下·四川達州·期末）如圖，已知O是內(nèi)部任意一點，，，的面積分別為，，，．根據(jù)上述結(jié)論，則（ ）．

A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果O為的重心，那么
D．如果O為直角的內(nèi)心，且兩直角邊，，那么
【答案】CCD
【分析】依題意易判斷A錯誤，利用平面向量線性運算計算，平面向量基本定理可知B正確，由重心性質(zhì)可得C正確，根據(jù)三角形內(nèi)心性質(zhì)并利用勾股定理可判斷D正確.
【詳解】對于A：由題意,結(jié)合，
可得,即A錯誤.
對于B：由,
可得;
整理得,
即得，即B正確；
對于C：如果O為的重心，
則可知，
可知，即C正確；
對于D：如果O為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,
則,
又,,則,所以，
可知，即D正確.
CD.
【點睛】本題關(guān)鍵在于將重心、內(nèi)心性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量OA,OB,OC之間得關(guān)系式，進而實現(xiàn)問題求解.
三、填空題
12．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）若，是兩個不共線的向量，且與共線，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】由題意結(jié)合共線向量定理可得存在實數(shù)，使，化簡后可求得結(jié)果.
【詳解】因為與共線，
所以存在實數(shù)，使，
因為，是兩個不共線的向量，
所以，所以，
解得或，所以
故答案為：
13．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)是平面內(nèi)兩個不共線的向量，， ，，．若三點共線，則的最小值是 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.
【詳解】， ,若三點共線，
設(shè)，即，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，解得，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故最小值為8.
故答案為：8.
14．（23-24高一下·北京·期中）四邊形ABCD中，，且，若，則 ．
【答案】2
【分析】由題設(shè)可得且，利用相似三角形和向量的線性運算將用與的另式表達，根據(jù)平面向量基本定理列出方程求解即得.
【詳解】如圖，由可得且，
易得,則有
于是, 因，
故得由，解得：.
故答案為：2.
四、解答題
15．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）設(shè)，是不平行的向量，且，．
(1)若向量與共線，求實數(shù)的值；
(2)若，用，的線性組合表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量共線的定理計算可得；
（2）由向量的線性運算和共線定理計算可得；
【詳解】（1）因為向量與共線，所以設(shè)，
即，
所以，
（2）設(shè)，
又因為，
由向量基本定理，得，解得
所以．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設(shè)，．
(1)用，表示，；
(2)若為內(nèi)部一點，且．求證：，，三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用平面向量線性運算法則，計算出，進而得到；
（2）計算出，結(jié)合（1）可得，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）由題可知，
，
（2）
，且有公共點M
，，三點共線.
17．（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，、依次是對角線上的兩個三等分點，設(shè) .
(1)請用 與 表示 ;
(2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運算的性質(zhì)進行求解即可；
（2）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運算的性質(zhì)、相等向量的定義進行證明即可.
【詳解】（1）因為、依次是對角線上的兩個三等分點，
所以，
于是有，
即；
（2）因為、依次是對角線上的兩個三等分點，
所以，
于是有，
即，因此，
顯然有，不共線，
因此且，
所以四邊形是平行四邊形.
18．（23-24高一下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖,已知點是的重心,過點作直線分別與邊交于兩點（點與點不重合）,設(shè).
(1)求的值；
(2)求的最小值,并求此時的值.
【答案】(1)
(2)最小值為,
【分析】（1）是的重心,所以，結(jié)合性質(zhì)得解.
（2）“乘1法”，再將1進行代換，用基本不等式解決.
【詳解】（1）因為是的重心,
所以,
因為,所以,因為三點共線,
所以,則.
（2）由⑴得,,則,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)且,即,
所以的最小值為,此時.
19．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，已知，，且點是的重心.過點的直線與線段、分別交于點、.設(shè)，（，）.

(1)求的值，并判斷是否為定值，若是則求出定值，若不是請說明理由；
(2)若的周長為，的周長為.設(shè)，記，求的取值范圍.
【答案】(1)，是定值，理由見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，變形可得，根據(jù)三點共線，即可得的值；
（2）根據(jù)題意可得，，故得的表達式，根據(jù)的范圍，利用函數(shù)性質(zhì)，即可得答案.
【詳解】（1）已知，，所以，
所以，
因為，，則，，
因為點是的重心，所以，
因為在直線上，所以.
（2），
所以，
設(shè)，由（1）得，所以
所以
因為，，又因為，則，
因為，所以，
因為，所以當(dāng)時，的最小值為：，當(dāng)或時，的最大值為：，所以，
因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，又因為在上也是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的取值范圍為
【點睛】本題的關(guān)鍵在于利用小問（1）所得的結(jié)論，結(jié)合根據(jù)三點共線確定，將雙變量函數(shù)化為單變量函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域.
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