資源簡介

第04講 向量的坐標及其運算
課程標準 學習目標
1.了解直線上向量的坐標. 2.掌握平面向量的正交分解及坐標表示. 3.理解平面向量的坐標運算. 4.掌握向量平行的坐標表示． 1．掌握求直線上向量的坐標的方法． 2．熟練進行直線上向量的坐標運算． 3．掌握數軸上兩點之間的距離公式及數軸上的中點坐標公式． 4．掌握向量的坐標表示與運算。 5．能根據向量的坐標解決平行問題
知識點01　直線上向量的坐標及其運算
1．直線上向量的坐標
(1)定義：給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e，由共線向量基本定理可知，對于直線l上的任意一個向量a，一定存在唯一的實數x，使得axe，此時，x稱為向量a的坐標．
(2)向量的模和方向與x的關系
|a||xe||x||e||x|(e為單位向量)．
當x>0時，a的方向與e的方向相同；
當x0時，a是零向量；
當x<0時，a的方向與e的方向相反．
在直線上給定了單位向量，則直線上的向量完全被其坐標確定．
(3)直線上向量的坐標：在直線l上指定一點O作為原點，以e的方向為正方向，e的模為單位長度建立數軸，對于l上的任意一個向量a，如果我們把它的始點平移到原點O，那么a的終點對應的數就是向量a的坐標．
2．直線上向量的運算與坐標的關系
如果直線上兩個向量a，b的坐標分別為x1，x2.
(1)ab的充要條件是x1x2.
(2)a＋b的坐標為x1＋x2，a－b的坐標為x1－x2，λa的坐標為λx1.
(3)設A(x1)，B(x2)是數軸上的兩點，M(x)是線段AB的中點，則AB|x2－x1|，x.
【即學即練1】
1.如圖，向量的坐標為________.
【答案】3　
【解析】因為向量的始點在原點，因此終點A的坐標就是向量的坐標，故向量的坐標為3.
2.已知直線上向量a，b的坐標分別為－2，2，則向量a＋b的坐標為(　　)
A.1　　　　　　　 B．－1
C．0 D．4
【答案】C　　
【解析】因為向量a，b的坐標分別為－2，2，所以向量a＋b的坐標為－2＋×2－1.
知識點02　平面向量的坐標及其運算
1．平面向量的坐標
(1)向量的垂直：平面上的兩個非零向量a，b，如果它們所在的直線互相垂直，則稱向量a，b垂直，記作a⊥b.規定零向量與任意向量都垂直．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，則稱這組基底為正交基底，在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．
(3)向量的坐標：給定平面內兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內的向量a，如果axe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標，記作a(x，y)．
2．平面上向量的運算與坐標的關系
若a(x1，y1)，b(x2，y2)，λ∈R，則：
(1)a＋b(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)a－b(x1－x2，y1－y2)．
(3)λa(λx1，λy1)．
(4)向量相等的充要條件：ab x1x2且y1y2.
(5)模長公式：|a|.
3.平面直角坐標系內兩點之間的距離公式與中點坐標公式
如圖所示，在平面直角坐標系中，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
(1)向量(x1，y1)，(x2，y2)，向量(x2－x1，y2－y1)．
(2)它們之間的距離：AB||
.
(3)設AB的中點M(x，y)，則x，y.
【解讀】(1)區別的坐標與a－b的坐標：的坐標為終點坐標減去始點坐標，而a－b的坐標是對應的坐標相減．
(2)由于自由向量的始點可以任意選取，如果向量以坐標原點為始點，那么向量的坐標就與其終點的坐標相同；如果向量不以坐標原點為始點，那么向量的坐標就與其終點的坐標不同．　　
4．向量平行的坐標表示
設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a∥b x2y1x1y2.
【即學即練2】如圖所示，{e1，e2}為正交基底，則向量2a＋b的坐標為(　　)
A．(3，4) B．(2，4)
C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4)
【答案】A　
【解析】∵ae1＋e2，∴2a2e1＋e2.又be1＋3e2，∴2a＋b(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)3e1＋4e2.
∴2a＋b在基底{e1，e2}下的坐標為(3，4)．
題型01 直線上向量的坐標及運算
【典例1】如圖所示，直線上向量a，b的坐標分別為(　　)
A．－2，4 B．2，4
C．4，－2 D．－4，－2
【答案】D
【解析】向量a的始點在原點，則a的坐標為4，把向量b的始點平移到原點，則b的坐標為－2.故選C.
【變式1】已知向量a，b在同一直線上，|a|2|b|，若b的坐標為2，則a的坐標為(　　)
A．4 B．－4
C．2或－2 D．4或－4
【答案】A
【解析】由b的坐標為2，得b2e，由|a|2|b|，得a4e或a－4e，故a的坐標為4或－4.故選D.
【變式2】若e是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量a，b的坐標分別為x，y，下列說法錯誤的是(　　)
A．|a|x　　　　　　　 B．bye
C．a＋b的坐標為x＋y D．|e|1
【答案】A　
【解析】由題意知，|e|1，|a||x|，bye, a＋bxe＋ye(x＋y)e，所以a＋b的坐標為x＋y，只有A錯誤．
【變式3】若數軸上A，B兩點的坐標分別為－2，x，且的坐標是－8，則x________．
【答案】－10
【解析】由題意得，的坐標為x＋2－8，
解得x－10，
故答案為－10.
【變式4】已知e是直線l上的一個單位向量，a4e，b－2e，則a＋b的坐標為(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．4
【答案】C
【解析】因為a4e，b－2e，所以a＋b4e－2e2e，故a＋b的坐標為2．故選B．
題型02 平面向量的坐標表示
【典例2】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知平行四邊形，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由兩點的坐標求得，由平行四邊形的性質有，求值即可.
【詳解】由，，有，
平行四邊形中，有，即，
.
【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】向量平移后與原向量為相等向量，所求坐標即為向量的坐標.
【詳解】根據題意可知，，把向量按向量平移后，與原向量相等，
所得向量仍然為.
.
【變式2】（2024高二下·安徽·學業考試）點，,則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量坐標的概念即可求解.
【詳解】.
【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】利用單位向量及相反向量的意義求解即得.
【詳解】向量，則，
所以與向量方向相反的單位向量是.
題型03 平面向量的坐標運算
【典例3】（2024高二下·湖北·學業考試）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用向量的坐標運算計算即可.
【詳解】因為向量，所以.
.
【變式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由平面向量加法的坐標運算求解即可．
【詳解】已知向量，，
則，解得．
．
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點、、，求．
【答案】
【分析】首先表示出，，再根據平面向量線性運算的坐標表示計算可得.
【詳解】因為、、，
所以，，
所以.
【變式3】（23-24高一下·全國·單元測試）已知，，求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由向量線性運算的坐標運算，即可得到結果..
【詳解】（1）因為，，
所以.
（2）因為，，
所以.
題型04 根據線段比例求點的坐標
【典例4】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點、，點是直線上一點，且，求點的坐標．
【答案】或
【分析】設，由可得或，再設，表示出，，根據平面向量線性運算的坐標表示得到方程組，解得即可.
【詳解】因為點是直線上一點，
所以設，又，所以或，
即或，
設，又、，
所以，，
所以或，
即或，
解得或，
即或.
【變式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知條件及中點坐標公式即可求解.
【詳解】因為點在線段的延長線上，且，所以點為中點，
設點，則，解得，所以點的坐標為.
.
【變式2】（23-24高一下·四川綿陽·期中）（多選）點，向量，，點是線段的三等分點，則點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】結合向量的坐標運算，并分類討論，即可求解.
【詳解】設點坐標為，因為向量，，則，，
當點為靠近點的三等分點時，則，故，解得：，，故點坐標為，
當點為靠近點的三等分點時，則，故，解得：，，故點坐標為，
D
【變式3】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點、，且，求點的坐標．
【答案】
【分析】設點的坐標為，利用平面向量的坐標運算與向量相等列出方程組，求解即可．
【詳解】設點，由得，，
因為，所以，解得，
所以點的坐標為．
題型05 根據坐標求向量的模
【典例5】（2024高一·全國·專題練習）已知向量，，則（　　）
A． B．2 C． D．10
【答案】D
【分析】根據條件，利用向量的坐標運算得到，再利用模長的計算公式，即可求解.
【詳解】因為，，所以，
得到，
.
【變式1】（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）已知向量，則向量的模為（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】求出向量的坐標，再求模長.
【詳解】因為向量，
所以向量，
所以.
.
【變式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1，則（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據題圖寫出向量坐標，再進行坐標運算即可.
【詳解】根據題圖，以題圖向量起點為原點，該點橫縱方向為軸，
則，，所以，
則.
故選：.
【變式3】（23-24高三下·湖南·階段練習）已知，平面向量，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐標運算結合二次函數性質求解即可.
【詳解】易知
,故
，當時，最小，
此時由二次函數性質得，故，
故的最小值為，故A正確.
【變式4】（23-24高三上·山西忻州·開學考試）已知向量，，若，則k= .
【答案】
【分析】利用平面向量的坐標運算求得的坐標，根據求模公式建立方程，解出即可.
【詳解】因為向量，，
所以，
則，
解得.
故答案為：
題型06 根據坐標運算求參數
【典例6】（24-25高三上·天津濱海新·階段練習）已知點，，，．若點在軸上，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】根據向量坐標運算，表示的坐標，結合點在軸上求的值.
【詳解】∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵點在軸上，
∴，
∴.
故答案為：
【變式1】（24-25高二下·云南曲靖·階段練習）已知向量，，，則實數m的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先求得的坐標，再由求解.
【詳解】因為向量，，
所以，
又因為，
所以，
解得.
.
【變式2】（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，若，則的值（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐標系，由，利用向量相等求解.
【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標系：
則，
所以，
因為，
所以，
則，解得，
所以，
【變式3】（24-25高三上·天津·階段練習）在正六邊形中，對角線，相交于點，若，則 ．
【答案】
【分析】建立直角坐標系坐標表示向量，由向量相等關系建立方程組求解系數即可.
【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
設正六邊形ABCDEF邊長為，
則，
，
由，則，
所以有，解得，則.
故答案為：
題型07向量共線的坐標表示
【典例7】（24-25高三上·河北石家莊·階段練習）已知向量，若，則實數（ ）
A． B． C．11 D．2
【答案】A
【分析】根據向量共線的坐標表示得到方程，解出即可.
【詳解】，因為，
則，解得.
.
【變式1】（23-24高一下·北京順義·期末）已知向量，，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用共線向量的坐標表示判斷即得.
【詳解】對于A，由，得與不共線，A不是；
對于B，由，得與不共線，B不是；
對于C，由，得與不共線，C不是；
對于D，由，得，D是.
【變式2】（23-24高一下·河北·期中）若向量，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據平面共線向量的坐標表示建立方程，解之即可求解.
【詳解】因為，，
所以，解得或0．
即x的取值集合為.
【變式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量共線的坐標表示，代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意可得，，且，
由可得，解得.
【變式4】（23-24高一下·河南南陽·期中）已知，，，若，則（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】代入向量共線的坐標表示，即可求解．
【詳解】，，，
則，，
，
則，解得．
題型08 利用坐標法求最值（范圍）
【典例8】（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）四邊形是正方形，延長至點，使得，若為中點，為中點，點在線段上移動（包含端點），設，求的取值范圍 ．
【答案】
【分析】由圖建立平面直角坐標系，利用平面向量坐標運算可得的范圍.
【詳解】
如圖，建立平面直角坐標系，設，則，，
由題意設，則，
由得，
則，故，
即，
故答案為：
【變式1】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）正方形中棱長為4，E為的中點，為邊上一點（不包括C，D），若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】建系標點，設，根據向量的坐標表示可得，進而可得取值范圍.
【詳解】如圖，以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，
則，設，
可得，
若，
則，解得，
可得，
因為，則，可得，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
【變式2】（23-24高一下·陜西咸陽·期中）（多選）如圖，在長方形中，，點滿足，其中，則的取值可以是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，得到，，從而求出，求出值域。
【詳解】以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，建立平面直角坐標系，則，，，，
設，因為，所以，即，，故，，
則，
，因為，所以.
BC

【變式3】（23-24高一下·四川德陽·階段練習）邊長為4的正方形，點在正方形內（含邊界），滿足，當點在線段上時，則的最小值為 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐標系，求出線段方程，由在線段上可得，利用二次函數值域計算即可得出結果.
【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示，根據題意可得：
，，，，
設為，則，，，
因為，
所以，，，，所以，
易知線段方程為：，，，
因為點在上，所以，，，
所以，，，
所以，，，，，
則，
當時取得最小值為.
故答案為：
題型09 坐標法在幾何中的應用
【典例9】（23-24高一下·山西運城·階段練習）如圖，正方形的邊長為6，E是的中點，F是邊上靠近點B的三等分點，與交于點M．
(1)求的值；
(2)已知點P是正方形四條邊上的動點，若，求的長度．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）建立適當的平面直角坐標系，求出的坐標，由向量坐標的數量積公式即可求解；
（2）首先由，，得出點滿足的兩條直線方程，聯立得的坐標，進一步由，對分類討論即可求出它的位置，由向量模的坐標公式即可求解.
【詳解】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系．
則，，，，
所以，，
所以．
（2）設，
所以，
因為，
所以，
所以．
因為，，，
所以，所以，
所以，所以，，所以．
由題得，又，由圖易知，點P在線段上或線段，
①若P在上，設，，，，則，
解得，
所以，．
②若P在上，設，，，，則，
解得，
所以，．
綜上，的長度為或．
【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，，，．
(1)求點B的坐標；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據結合，根據直角三角形中的關系結合求解即可；
（2）先求得，再根據向量平行的性質證明即可
【詳解】（1）由題意，因為，，故，故，即點B的坐標為
（2）由題意，，又，故，且不共線，故
【變式2】如圖，已知直角梯形中，，過點C作于點E，M為的中點.
求證：（1）；
（2）D，M，B三點共線.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
.
（1）因為，，
所以，即.
（2）因為M為的中點，所以，
所以，，
所以，所以.
又與有公共點，所以D，M，B三點共線.
【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，，，
（1）求點的坐標；
（2）求證：四邊形為等腰梯形．
【答案】（1）；；（2）證明見解析．
【分析】（1）先根據，，求得B的坐標，再加上向量的坐標即得點C的坐標；
（2）利用向量的坐標可得,計算模可得，從而證得.
【詳解】解：（1）設，則，
，
，
，
；
（2）證明：連接,
，，
，且，
又，，
,
四邊形為等腰梯形.
一、單選題
1．直線上向量，的坐標分別為-3，5，則向量的坐標和模分別是（ ）
A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1
【答案】A
【分析】根據直線上向量的坐標運算法則代入數據即可求得答案.
【詳解】由題可知，向量的坐標為，
向量的模為
2．（23-24高一下·廣西梧州·期末）已知點，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的坐標運算即可求解.
【詳解】，
3．（23-24高一下·甘肅·期末）已知，分別為的邊，的中點，若，，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的數乘運算，向量坐標與終點、始點的關系求解.
【詳解】因為，分別為AB，AC的中點，所以.
設，又，所以，即解得
即點的坐標為.
.
4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】運用向量共線的結論可解.
【詳解】向量，由，得，所以.
5．（23-24高一下·浙江嘉興·期中）已知向量，則與向量反向的單位向量的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】與向量方向相反的單位向量為求解即可.
【詳解】因為，所以，
與向量方向相反的單位向量為，
6．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知向量，，且實數，若A，B，C三點共線．則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由三點共線轉化為兩個向量共線，即共線，由向量共線的坐標表示計算．
【詳解】，，
因為A，B，C三點共線，所以，
則，解得或，
，.
.
7．（23-24高一下·山東東營·期末）如圖，已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】題中有90°，因此建立平面直角坐標系，用坐標表示向量進行運算即可．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，
，
，
設，
，
，解得，
所以.
.
8．我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若E為AF的中點，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構建以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標系，設，標注相關點的坐標，進而可得坐標，結合，應用向量線性運算的坐標表示列方程求出即可.
【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標系，設，又為的中點，

∴，則，
由，得：，
∴，解得，則
.
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）下面幾種說法中正確的有（　　）
A．相等向量的坐標相同
B．平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標
C．一個坐標對應于唯一的一個向量
D．平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應
【答案】ABD
【分析】根據向量的定義和坐標的定義，即可判斷選項.
【詳解】A.相等向量的坐標相同，故A正確；
B.根據向量坐標的定義，可知平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標，故B正確；
C.由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數個相等的向量，故C錯誤；
D. 平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應，故D正確.
BD
10．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）已知為坐標原點，向量是線段的三等分點，則的坐標可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據向量的坐標運算求解，注意三等分點有兩種可能.
【詳解】因為，，可得，
又因為點是線段的三等分點，則或，
所以或，
即點的坐標為或.
C.
11．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知向量，，，若點A，B，C能構成三角形，則實數m可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】CD
【分析】根據題意分析可知不共線，結合向量共線的坐標表示運算求解.
【詳解】因為，，，
則，
若點A，B，C能構成三角形，即A，B，C不共線，則不共線，
可得，即，
結合選項可知A錯誤；BCD正確.
CD.
三、填空題
12．已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是 .
【答案】
解得，即點的坐標為.
故答案為：.
13．（23-24高一下·全國·課前預面內距離公式與中點坐標公式：設，，則 ，兩點之間的距離 ，中點的坐標為 .
【答案】
【分析】由向量的坐標表示，及兩點間距離公式、中點坐標公式即可求解.
【詳解】由，，
可得：，
由兩點間距離公式可得：，
由中點坐標公式可得中點的坐標為：，
故答案為：，，
14．如圖．在直角梯形中．，點P是腰上的動點，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】建立平面直角坐標系，設，求得相關點坐標，求出的表達式，結合二次函數的性質即可求得答案.
【詳解】由在直角梯形中．，
則，則以A為原點，為軸建立平面直角坐標系，
設，設，則，
故，
所以，故，
當且僅當即時取得等號，
即的最小值為4，
故答案為：4
四、解答題
15．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知向量、.
(1)求的模和其單位向量；
(2)若，以、為基表示向量.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐標運算求出向量的模，再利用單位向量的性質求解單位向量即可.
（2）利用平面向量的坐標運算建立方程，求解參數，表示即可.
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴，
∴的單位向量.
（2）設，則，
∴解得，∴
16．（24-25高一上·上海·隨堂練習）如圖，在平行四邊形中，已知、、，其對角線交點為M.求：
(1)向量與的坐標；
(2)點D與M的坐標.
設，則，
由得，
即所以即.
17．（23-24高一下·河南·期末）如圖，已知平行四邊形的三個頂點、、的坐標分別是、、.
(1)求頂點的坐標；
(2)在線段上是否存在一點滿足，若存在，求；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
頂點A的坐標為.
（2）存在.
由（1）可知，，，，
設，則.
又，，
解得，，即.
18．如圖，在直角梯形中，//，，，為上靠近的三等分點，交于，為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)設，求，的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用向量的線性運算，結合已知條件，即可容易表達；
設，則，
因為點在上運動，故可設其坐標為，
則，
由可得，
則，因為，則，
故.
19．（23-24高一下·北京·期中）對于任意實數a，b，c，d，表達式稱為二階行列式，記作．
(1)求下列行列式的值：
①；②
(2)求證：向量與向量共線的充要條件是；
(3)討論關于，的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解．（結果用二階行列式的記號表示）
【答案】(1)①1； ②0
(2)證明見詳解
(3)答案見詳解
【分析】（1）利用行列式的定義可以直接求出行列式的值；
（2）根據向量共線的坐標運算結合充要條件分析證明；
（3）求出，，由此能求出當時，關于x，y的二元一次方程組（）有唯一解，并能求出解.
【詳解】（1）①由題意可得：；
②由題意可得：.
（2）若向量與向量共線，則：
當時，有，即，
當時，有，即，所以必要性得證.
反之，若，即，
當c，d不全為0時，即時，
不妨設，則，可得，
因為，則，
可得，則與共線，
當且時，，則與共線，充分性得證；
綜上所述：向量與向量共線的充要條件是.
（3）用和分別乘上面兩個方程的兩端，然后兩個方程相減，消去y得：
，③
同理，消去x，得：，④
當時，即時，由③④得：
，，
所以當時，關于x，y的二元一次方程組（）有唯一解，且，.
【點睛】關鍵點點睛：最后一問關鍵點在于借助行列式的定義表示出x、y，從而得出其有唯一解的條件.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 向量的坐標及其運算
課程標準 學習目標
1.了解直線上向量的坐標. 2.掌握平面向量的正交分解及坐標表示. 3.理解平面向量的坐標運算. 4.掌握向量平行的坐標表示． 1．掌握求直線上向量的坐標的方法． 2．熟練進行直線上向量的坐標運算． 3．掌握數軸上兩點之間的距離公式及數軸上的中點坐標公式． 4．掌握向量的坐標表示與運算。 5．能根據向量的坐標解決平行問題
知識點01　直線上向量的坐標及其運算
1．直線上向量的坐標
(1)定義：給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e，由共線向量基本定理可知，對于直線l上的任意一個向量a，一定存在唯一的實數x，使得axe，此時，x稱為向量a的坐標．
(2)向量的模和方向與x的關系
|a||xe||x||e||x|(e為單位向量)．
當x>0時，a的方向與e的方向相同；
當x0時，a是零向量；
當x<0時，a的方向與e的方向相反．
在直線上給定了單位向量，則直線上的向量完全被其坐標確定．
(3)直線上向量的坐標：在直線l上指定一點O作為原點，以e的方向為正方向，e的模為單位長度建立數軸，對于l上的任意一個向量a，如果我們把它的始點平移到原點O，那么a的終點對應的數就是向量a的坐標．
2．直線上向量的運算與坐標的關系
如果直線上兩個向量a，b的坐標分別為x1，x2.
(1)ab的充要條件是x1x2.
(2)a＋b的坐標為x1＋x2，a－b的坐標為x1－x2，λa的坐標為λx1.
(3)設A(x1)，B(x2)是數軸上的兩點，M(x)是線段AB的中點，則AB|x2－x1|，x.
【即學即練1】
1.如圖，向量的坐標為________.
2.已知直線上向量a，b的坐標分別為－2，2，則向量a＋b的坐標為(　　)
A.1　　　　　　　 B．－1
C．0 D．4
知識點02　平面向量的坐標及其運算
1．平面向量的坐標
(1)向量的垂直：平面上的兩個非零向量a，b，如果它們所在的直線互相垂直，則稱向量a，b垂直，記作a⊥b.規定零向量與任意向量都垂直．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，則稱這組基底為正交基底，在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．
(3)向量的坐標：給定平面內兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內的向量a，如果axe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標，記作a(x，y)．
2．平面上向量的運算與坐標的關系
若a(x1，y1)，b(x2，y2)，λ∈R，則：
(1)a＋b(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)a－b(x1－x2，y1－y2)．
(3)λa(λx1，λy1)．
(4)向量相等的充要條件：ab x1x2且y1y2.
(5)模長公式：|a|.
3.平面直角坐標系內兩點之間的距離公式與中點坐標公式
如圖所示，在平面直角坐標系中，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
(1)向量(x1，y1)，(x2，y2)，向量(x2－x1，y2－y1)．
(2)它們之間的距離：AB||
.
(3)設AB的中點M(x，y)，則x，y.
【解讀】(1)區別的坐標與a－b的坐標：的坐標為終點坐標減去始點坐標，而a－b的坐標是對應的坐標相減．
(2)由于自由向量的始點可以任意選取，如果向量以坐標原點為始點，那么向量的坐標就與其終點的坐標相同；如果向量不以坐標原點為始點，那么向量的坐標就與其終點的坐標不同．　　
4．向量平行的坐標表示
設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a∥b x2y1x1y2.
【即學即練2】如圖所示，{e1，e2}為正交基底，則向量2a＋b的坐標為(　　)
A．(3，4) B．(2，4)
C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4)
題型01 直線上向量的坐標及運算
【典例1】如圖所示，直線上向量a，b的坐標分別為(　　)
A．－2，4 B．2，4
C．4，－2 D．－4，－2
【變式1】已知向量a，b在同一直線上，|a|2|b|，若b的坐標為2，則a的坐標為(　　)
A．4 B．－4
C．2或－2 D．4或－4
【變式2】若e是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量a，b的坐標分別為x，y，下列說法錯誤的是(　　)
A．|a|x　　　　　　　 B．bye
C．a＋b的坐標為x＋y D．|e|1
【變式3】若數軸上A，B兩點的坐標分別為－2，x，且的坐標是－8，則x________．
【變式4】已知e是直線l上的一個單位向量，a4e，b－2e，則a＋b的坐標為(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．4
題型02 平面向量的坐標表示
【典例2】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知平行四邊形，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024高二下·安徽·學業考試）點，,則向量（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（ ）
A． B． C． D．或
題型03 平面向量的坐標運算
【典例3】（2024高二下·湖北·學業考試）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點、、，求．
【變式3】（23-24高一下·全國·單元測試）已知，，求：
(1)；
(2).
題型04 根據線段比例求點的坐標
【典例4】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點、，點是直線上一點，且，求點的坐標．
【變式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·四川綿陽·期中）（多選）點，向量，，點是線段的三等分點，則點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點、，且，求點的坐標．
題型05 根據坐標求向量的模
【典例5】（2024高一·全國·專題練習）已知向量，，則（　　）
A． B．2 C． D．10
【變式1】（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）已知向量，則向量的模為（ ）
A． B．4 C．2 D．
【變式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1，則（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【變式3】（23-24高三下·湖南·階段練習）已知，平面向量，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高三上·山西忻州·開學考試）已知向量，，若，則k= .
題型06 根據坐標運算求參數
【典例6】（24-25高三上·天津濱海新·階段練習）已知點，，，．若點在軸上，則實數的值為 ．
【變式1】（24-25高二下·云南曲靖·階段練習）已知向量，，，則實數m的值為（ ）
A． B． C． D．1
【變式2】（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，若，則的值（ ）
A． B． C．2 D．
【變式3】（24-25高三上·天津·階段練習）在正六邊形中，對角線，相交于點，若，則 ．
題型07向量共線的坐標表示
【典例7】（24-25高三上·河北石家莊·階段練習）已知向量，若，則實數（ ）
A． B． C．11 D．2
【變式1】（23-24高一下·北京順義·期末）已知向量，，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
題型08 利用坐標法求最值（范圍）
【典例8】（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）四邊形是正方形，延長至點，使得，若為中點，為中點，點在線段上移動（包含端點），設，求的取值范圍 ．
【變式1】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）正方形中棱長為4，E為的中點，為邊上一點（不包括C，D），若，則的取值范圍為 ．
【變式2】（23-24高一下·陜西咸陽·期中）（多選）如圖，在長方形中，，點滿足，其中，則的取值可以是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【變式3】（23-24高一下·四川德陽·階段練習）邊長為4的正方形，點在正方形內（含邊界），滿足，當點在線段上時，則的最小值為 .
題型09 坐標法在幾何中的應用
【典例9】（23-24高一下·山西運城·階段練習）如圖，正方形的邊長為6，E是的中點，F是邊上靠近點B的三等分點，與交于點M．
(1)求的值；
(2)已知點P是正方形四條邊上的動點，若，求的長度．
【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，，，．
(1)求點B的坐標；
(2)求證：．
【變式2】如圖，已知直角梯形中，，過點C作于點E，M為的中點.
求證：（1）；
（2）D，M，B三點共線.
【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，，，
（1）求點的坐標；
（2）求證：四邊形為等腰梯形．
一、單選題
1．直線上向量，的坐標分別為-3，5，則向量的坐標和模分別是（ ）
A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1
2．（23-24高一下·廣西梧州·期末）已知點，則向量（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·甘肅·期末）已知，分別為的邊，的中點，若，，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．10 D．
5．（23-24高一下·浙江嘉興·期中）已知向量，則與向量反向的單位向量的坐標為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知向量，，且實數，若A，B，C三點共線．則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24高一下·山東東營·期末）如圖，已知，則（ ）
A． B．
C． D．
8．我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若E為AF的中點，，則（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024高一下·全國·專題練習）下面幾種說法中正確的有（　　）
A．相等向量的坐標相同
B．平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標
C．一個坐標對應于唯一的一個向量
D．平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應
10．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）已知為坐標原點，向量是線段的三等分點，則的坐標可能為（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知向量，，，若點A，B，C能構成三角形，則實數m可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
三、填空題
12．已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是 .
13．（23-24高一下·全國·課前預面內距離公式與中點坐標公式：設，，則 ，兩點之間的距離 ，中點的坐標為 .
14．如圖．在直角梯形中．，點P是腰上的動點，則的最小值為 ．
四、解答題
15．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知向量、.
(1)求的模和其單位向量；
(2)若，以、為基表示向量.
16．（24-25高一上·上海·隨堂練習）如圖，在平行四邊形中，已知、、，其對角線交點為M.求：
(1)向量與的坐標；
(2)點D與M的坐標.
17．（23-24高一下·河南·期末）如圖，已知平行四邊形的三個頂點、、的坐標分別是、、.
(1)求頂點的坐標；
(2)在線段上是否存在一點滿足，若存在，求；若不存在，請說明理由.
18．如圖，在直角梯形中，//，，，為上靠近的三等分點，交于，為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)設，求，的取值范圍．
19．（23-24高一下·北京·期中）對于任意實數a，b，c，d，表達式稱為二階行列式，記作．
(1)求下列行列式的值：
①；②
(2)求證：向量與向量共線的充要條件是；
(3)討論關于，的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解．（結果用二階行列式的記號表示）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑