資源簡介

第05講 平面向量線性運算的應用
課程標準 學習目標
1．會用向量法計算或證明平面幾何中的相關問題． 2．會用向量法解決某些簡單的物理學中的問題． 1.通過向量在幾何中應用的學習，培養數學運算及數學建模核心素養． 2．通過向量在物理中的應用，培養數學建模的核心素養.
知識點01 向量在平面幾何中的應用
(1)證明線線平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(a≠0) bλa x1y2x2y1[a(x1，y1)，b(x2，y2)]．
(2)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|.
(3)要證A，B，C三點共線，只要證明存在一實數λ≠0，使λ，或若O為平面上任一點，則只需要證明存在實數λ，μ(其中λ＋μ1)，使λ＋μ.
（4）用向量運算解決平面幾何問題的“三步法”
第一步：建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.
第二步：通過向量運算，研究幾何元素之間的關系.
第三步：把運算結果“翻譯”成幾何關系.
【即學即練1】 在四邊形中，若，則四邊形為（ ）
A．平行四邊形 B．梯形 C．菱形 D．矩形
【答案】C
【分析】
根據向量共線即可判斷.
【詳解】四邊形ABCD中，若，
則，且，
所以四邊形是梯形.
知識點02 向量在物理中的應用
(1)力向量
力向量包括大小、方向、作用點三個要素．在不考慮作用點的情況下，可利用向量運算法則進行計算．
(2)速度向量
一質點在運動中每一時刻都有一個速度向量，該速度向量可以用有向線段表示．
(3)將物理量轉化為向量之后，可以按照向量的運算法則進行計算．
【即學即練2】
已知三個力f1(－2，－1)，f2(－3,2)，f3(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，再加上一個力f4，則f4(　　)
A．(－1，－2)　　　　　 B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
【答案】A　
【解析】由物理知識知f1＋f2＋f3＋f40，故f4－(f1＋f2＋f3)(1,2)．
題型01 利用平面向量判斷幾何圖形形狀
【典例1】（24-25高一下·全國·課后作業）已知在四邊形中，，，，則四邊形為（ ）
A．梯形 B．正方形 C．平行四邊形 D．矩形
【答案】A
【分析】利用向量的運算得到，即可得到答案.
【詳解】因為，，，
所以.
所以.
所以且，
所以四邊形為梯形..
.
【變式1】在中,,則是
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】根據向量的線性運算化簡判定即可.
【詳解】,則,故是等邊三角形.
【點睛】本題主要考查了利用向量判定三角形形狀的方法,屬于基礎題型.
【變式2】若且，則四邊形的形狀為（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】D
【分析】根據條件中的向量關系反映出來大小關系和方向關系來判斷.
【詳解】可知，四邊形為平行四邊形，
又因為,
所以四邊形為菱形．
.
【變式3】在四邊形中，對角線與交于點，若，則四邊形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形
【答案】C
【分析】利用向量判斷四邊形形狀首先考慮判斷對邊的位置與大小關系，根據變形可得，可得四邊形為梯形.
【詳解】由，得，
所以，
可得且.
所以四邊形一定是梯形．
題型02 利用平面向量證明平行關系
【典例2】在中，點，分別在線段，上，，.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】證明：設，，則.
又，.
所以，.
在中，，
所以，即與共線，故.
【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點.求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
【答案】證明見解析
【解析】因為點E，F，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點，
所以 所以，
又因為與不共線，所以，且，
所以四邊形EFGH為平行四邊形.
【變式2】如圖，已知是的三條高，且交于點，于點，于點，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】證明：由題意，，，∴．
設，則．
同理．
于是．
∴，∴．
題型03 利用平面向量求線段的長
【典例3】如圖，在中，點E為邊上一點，點F為線段延長線上一點，且，連接交于點D，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，以點B為原點，所在的直線為x軸建立直角坐標系，不妨設
設，，，，
則，，
所以，所以.
所以，.
因為E，D，F共線，所以，
所以，化簡得.
因為，
所以，所以.
【變式1】在梯形中，，，點E，F分別是，的中點，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】因為點E，F分別是，的中點，
所以，.
所以.
因為，
所以 ，
所以.
因為，，且與同向，
所以，即.
【變式2】用向量的方法證明如圖，在中，點E，F分別是AD和DC邊的中點，BE，BF分別交AC于點R，T．你能發現AR，RT，TC之間的關系嗎？
【答案】，理由見解析
【解析】因為四邊形為平行四邊形，所以，
設，
因為是的中點，所以，
故，
又因為三點共線，
可設，即，
即，
故，相加可得，解得，故，
同理可證，
故可知為的三等分點，故.
題型04 利用平面向量求面積比
【典例2】已知點是所在平面內一點，若，則與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】假設是等腰直角三角形，建立平面直角坐標系，求得點坐標，由此求得與的面積比.
【詳解】假設是等腰直角三角形，且是直角，，
建立如圖所示平面直角坐標系，設，
則,，
依題意，
即，
，
.
所以與的面積比為.
【變式1】（23-24高一下·四川南充·階段練習）已知點O是內部一點，并且滿足，的面積為，的面積為，則 .
【答案】2
【分析】利用，確定點的位置，如圖所示，結合三角形面積關系求解.
【詳解】因為，
所以，
所以，取的中點，則，
所以為的中點，如圖所示，則的面積為，的面積為，,
所以.
故答案為：2
【變式2】若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足3－－，則△ABM與△ABC的面積之比為（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
【答案】C
【分析】由平面向量的加法結合已知可得M為AD的三等分點，然后由等高的三角形面積之比等于底邊之比可得.
【詳解】如圖，D為BC邊的中點，
則
因為－－
所以，
所以
所以.
題型05 利用平面向量解決力的問題
【典例3】如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為
【答案】
【分析】根據向量的加法運算結合力的合成即可求解.
【詳解】一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，所以重力，
因為，與水平夾角均為，，
由向量加法的平行四邊形法則可知的方向是豎直向上的，且
，所以物體的重力大小為
故答案為:
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）如圖，兩個力和同時作用在一個物體上，其中的大小為40N，方向向東，的大小為30N，方向向北，求它們的合力．

【答案】合力的大小為，方向為東偏北正切值為的角.
【分析】根據力的合成法則可求答案.
【詳解】因為的大小為40N，方向向東，的大小為30N，方向向北，
所以它們合力的大小為，
，
所以合力的大小為，方向為東偏北正切值為的角.
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）如圖，用兩根繩子把質量為10kg的物體W吊在水平橫桿AB上，，.求物體平衡時，A和B處所受力的大小.（繩子的質量忽略不計，）
【答案】A和B處所受力的大小分別為，.
【分析】根據力的分解及平行四邊形法則可求答案.
【詳解】設A和B處所受力分別為，處所受兩繩的拉力的合力為，物體重力為，
物體所受的重力為100，根據力的平衡，所以；
因為，所以，所以；
因為，所以，所以.
【變式3】若向量分別表示兩個力，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，求得，結合向量模的運算公式，即可求解.
【詳解】由題意，向量分別表示兩個力，
可得，
所以.
.
題型06 利用平面向量解決運動的問題
【典例4】一條河兩岸平行，河的寬度為米，一個人從岸邊游向對岸.已知他在靜水中游泳時，速度大小為每分鐘米，水流速度大小為每分鐘12米.
①當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小每分鐘 米；
②當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的需要 分鐘.
【答案】 24； 20.
【分析】（1）求出即得解；
（2）求出他游到河對岸的速度即得解.
【詳解】解：（1）如圖所示，當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小為，他實際前進速度的大小每分鐘24米.
（2）如圖所示，當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的速度為，所以他游到河對岸的需要分鐘.
故答案為：24；20.
【變式1】一艘船從河岸邊出發向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當航程最短時船實際航行的速度大小為 km/h.
【答案】
【分析】
利用勾股定理求得正確答案.
【詳解】要使航程最短，則船實際航行應正對著河對岸航行，
所以船實際航行的速度大小為km/h.
故答案為：
【變式2】一條河流的兩岸平行，一艘船從河岸邊的A處出發到河對岸．已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為．設船行駛方向與水流方向的夾角為，若船的航程最短，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用垂線段最短得到船的行駛方向，結合三角函數的知識求出夾角
【詳解】解：當航線垂直于河岸時，航程最短，
如圖，在中，，所以，
所以，所以，
【變式3】）如果一架飛機向西飛行，再向東飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據路程、位移的概念分別求出、即可得解.
【詳解】因為一架飛機向西飛行，再向東飛行，
則飛機飛行的路程，
位移為向東，所以，
所以.
1.已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為80°，那么的大小為（ ）
A．N B．5N C．10N D．N
【答案】C
【解析】如圖，，，，，.
在中，有，
所以，的大小為5N..
2.一只鷹正以與水平方向成角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光垂直于地面照射下來，鷹在地面上影子的速度是70m/s，則鷹的飛行速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
由題意知：，
所以，
3.（多選）關于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時間，正確的是（ ）
A．船垂直到達對岸所用時間最少
B．當船速的方向與河岸垂直時用時最少
C．沿任意直線航行到達對岸的時間都一樣
D．船垂直到達對岸時航行的距離最短
【答案】CD
【解析】設船在靜水中的速度為，水流速度為，船實際速度為，
兩岸間的垂直距離為；
對于ABC，船垂直到達對岸時，，則所用時間；
當船速的方向與河岸垂直時，所用時間；
，當船速的方向與河岸垂直時，用時最少，
且沿不同直線航行到達對岸的事件不相同，A錯誤，B正確，C錯誤；
對于D，船垂直到達對岸時，航行的距離為兩岸間的垂直距離，
此時距離最短，D正確.D.
4.若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足：.則△ABM與△ABC的面積之比為 .
【答案】1∶4
【分析】由已知得出M，B，C三點共線，令，利用平面向量的加法法則可得值，進而可得△ABM與△ABC面積之比．
【詳解】如圖，由可知M，B，C三點共線，
令，則
所以，即△ABM與△ABC面積之比為1∶4.
故答案為：1∶4
5.如圖所示，分別在平行四邊形的對角線的延長線和反向延長線上取點和點，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
【答案】證明見解析
【解析】證明：因為四邊形是平行四邊形，
所以，，
因為，，
所以，即，且，
所以四邊形是平行四邊形.
6.如圖，在中，點E為邊上一點，點F為線段延長線上一點，且，連接交于點D，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，以點B為原點，所在的直線為x軸建立直角坐標系，不妨設
設，，，，
則，，
所以，所以.
所以，.
因為E，D，F共線，所以，
所以，化簡得.
因為，
所以.所以.
7.如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大小．
【答案】
【解析】設細繩作用力為，則，
如圖，對力進行分解，
可得.
根據力的平衡可知，物重G的大小為.
8.飛機從A地向西北飛行200km到達B地后，又從B地向東飛行km到達C地，再從C地向南偏東80°飛行km到達D地，求飛機從D地飛回A地的位移．
【答案】大小為，方向為南偏西
【解析】如圖，飛機從運動到的過程，
由已知可得，，，且，
所以，，.
過點作，
因為，
所以，，
所以，.
由勾股定理可得，，
，所以.
所以，飛機從D地飛回A地的位移大小為，方向為南偏西.
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課程標準 學習目標
1．會用向量法計算或證明平面幾何中的相關問題． 2．會用向量法解決某些簡單的物理學中的問題． 1.通過向量在幾何中應用的學習，培養數學運算及數學建模核心素養． 2．通過向量在物理中的應用，培養數學建模的核心素養.
知識點01 向量在平面幾何中的應用
(1)證明線線平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(a≠0) bλa x1y2x2y1[a(x1，y1)，b(x2，y2)]．
(2)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|.
(3)要證A，B，C三點共線，只要證明存在一實數λ≠0，使λ，或若O為平面上任一點，則只需要證明存在實數λ，μ(其中λ＋μ1)，使λ＋μ.
（4）用向量運算解決平面幾何問題的“三步法”
第一步：建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.
第二步：通過向量運算，研究幾何元素之間的關系.
第三步：把運算結果“翻譯”成幾何關系.
【即學即練1】 在四邊形中，若，則四邊形為（ ）
A．平行四邊形 B．梯形 C．菱形 D．矩形
知識點02 向量在物理中的應用
(1)力向量
力向量包括大小、方向、作用點三個要素．在不考慮作用點的情況下，可利用向量運算法則進行計算．
(2)速度向量
一質點在運動中每一時刻都有一個速度向量，該速度向量可以用有向線段表示．
(3)將物理量轉化為向量之后，可以按照向量的運算法則進行計算．
【即學即練2】
已知三個力f1(－2，－1)，f2(－3,2)，f3(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，再加上一個力f4，則f4(　　)
A．(－1，－2)　　　　　 B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
題型01 利用平面向量判斷幾何圖形形狀
【典例1】（24-25高一下·全國·課后作業）已知在四邊形中，，，，則四邊形為（ ）
A．梯形 B．正方形 C．平行四邊形 D．矩形
【變式1】在中,,則是
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【變式2】若且，則四邊形的形狀為（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【變式3】在四邊形中，對角線與交于點，若，則四邊形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形
題型02 利用平面向量證明平行關系
【典例2】在中，點，分別在線段，上，，.求證：.
【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點.求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
【變式2】如圖，已知是的三條高，且交于點，于點，于點，求證：．
題型03 利用平面向量求線段的長
【典例3】如圖，在中，點E為邊上一點，點F為線段延長線上一點，且，連接交于點D，求證：.
【變式1】在梯形中，，，點E，F分別是，的中點，求證：.
【變式2】用向量的方法證明如圖，在中，點E，F分別是AD和DC邊的中點，BE，BF分別交AC于點R，T．你能發現AR，RT，TC之間的關系嗎？
題型04 利用平面向量求面積比
【典例2】已知點是所在平面內一點，若，則與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·四川南充·階段練習）已知點O是內部一點，并且滿足，的面積為，的面積為，則 .
【變式2】若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足3－－，則△ABM與△ABC的面積之比為（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
題型05 利用平面向量解決力的問題
【典例3】如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態，已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）如圖，兩個力和同時作用在一個物體上，其中的大小為40N，方向向東，的大小為30N，方向向北，求它們的合力．

【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）如圖，用兩根繩子把質量為10kg的物體W吊在水平橫桿AB上，，.求物體平衡時，A和B處所受力的大小.（繩子的質量忽略不計，）
【變式3】若向量分別表示兩個力，則（ ）
A． B．2 C． D．
題型06 利用平面向量解決運動的問題
【典例4】一條河兩岸平行，河的寬度為米，一個人從岸邊游向對岸.已知他在靜水中游泳時，速度大小為每分鐘米，水流速度大小為每分鐘12米.
①當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小每分鐘 米；
②當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的需要 分鐘.
【變式1】一艘船從河岸邊出發向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當航程最短時船實際航行的速度大小為 km/h.
【變式2】一條河流的兩岸平行，一艘船從河岸邊的A處出發到河對岸．已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為．設船行駛方向與水流方向的夾角為，若船的航程最短，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】）如果一架飛機向西飛行，再向東飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，那么（ ）
A． B． C． D．
1.已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為80°，那么的大小為（ ）
A．N B．5N C．10N D．N
2.一只鷹正以與水平方向成角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光垂直于地面照射下來，鷹在地面上影子的速度是70m/s，則鷹的飛行速度為（ ）
A． B． C． D．
3.（多選）關于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時間，正確的是（ ）
A．船垂直到達對岸所用時間最少
B．當船速的方向與河岸垂直時用時最少
C．沿任意直線航行到達對岸的時間都一樣
D．船垂直到達對岸時航行的距離最短
4..若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足：.則△ABM與△ABC的面積之比為 .
5.如圖所示，分別在平行四邊形的對角線的延長線和反向延長線上取點和點，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
6.如圖，在中，點E為邊上一點，點F為線段延長線上一點，且，連接交于點D，求證：.
7.如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大小．
8飛機從A地向西北飛行200km到達B地后，又從B地向東飛行km到達C地，再從C地向南偏東80°飛行km到達D地，求飛機從D地飛回A地的位移．
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