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第六章 平面向量初步章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習）下列量中是向量的為（ ）
A．體積 B．距離
C．拉力 D．質量
2．（21-22高一下·天津·階段練習）向量，化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
4．（23-24高一下·山東聊城·期中）對于任意兩個向量，，則下列命題中正確的是（ ）
A．
B．
C．若與共線，則存在唯一的實數，使得
D．若，滿足，且與同向，則
5．（24-25高三上·山東德州·期中）已知向量，，若與平行，則（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三上·河北邢臺·開學考試）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·山東東營·期末）如圖，已知，則（ ）
A． B．
C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·寧夏固原·開學考試）下列命題正確的是（ ）
A．若向量共線，則必在同一條直線上
B．若為平面內任意三點，則
C．若點為的重心，則
D．已知向量，若，則
10．（22-23高三上·海南儋州·開學考試）已知M為的重心（三角形三條中線的交點），D為BC的中點，則下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，點滿足，過點的直線與所在的直線分別交于點，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的最小值為
C． D．的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（24-25高三上·北京·階段練習）已知平面內四個不同的點A，B，C，D滿足，則 .
13．（23-24高一下·山東淄博·階段練習）已知梯形ABCD中，，三個頂點.則頂點的坐標 .
14．（23-24高一下·江蘇·階段練習）已知所在平面內一點滿足，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）設，是不平行的向量，且，．
(1)若向量與共線，求實數的值；
(2)若，用，的線性組合表示．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設，．
(1)用，表示，；
(2)若為內部一點，且．求證：，，三點共線．
17．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四邊形中，，，和交于點P．
(1)若，求x的值；
(2)求的值．
18．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）如圖，在中，AD是BC邊上的中線.M為BD的中點，G是AD上一點，且，直線EF過點G，交AB于點E，交AC于點F.
(1)試用和表示，
(2)若，，求的最小值.
19．（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點為E，．
(1)若三角形ABD為等邊三角形，求四邊形ABCD的面積
(2)求箏形ABCD的面積的最大值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第六章 平面向量初步章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習）下列量中是向量的為（ ）
A．體積 B．距離
C．拉力 D．質量
【答案】D
【分析】由向量的定義即可判斷
【詳解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向
故選:C
2．（21-22高一下·天津·階段練習）向量，化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的加法與減法可化簡所得向量式.
【詳解】.
.
3．（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【分析】根據向量共線定理一一分析即可.
【詳解】對A，，
則共線，又因為有公共點，則A、B、D三點共線，故A正確；
對B，因為，故不共線，則A、B、C三點不共線，故B錯誤；
對C，因為，故不共線，則B、C、D三點不共線，故C錯誤；
對D，，因為，
故不共線，則A、C、D三點不共線，故D錯誤.
.
4．（23-24高一下·山東聊城·期中）對于任意兩個向量，，則下列命題中正確的是（ ）
A．
B．
C．若與共線，則存在唯一的實數，使得
D．若，滿足，且與同向，則
【答案】C
【分析】根據向量的加法與減法法則，判斷出A、B兩項的正誤；根據向量共線的條件，判斷出C項的正誤；根據向量的定義得到兩個向量不能比較大小，從而得出D項的正誤．
【詳解】A．根據平面向量的加法法則，可知，故錯誤，不符合題意；
B．根據平面向量的減法法則，可知，故正確，符合題意；
C．若與共線，為零向量且不是零向量，則不存在實數，使得不成立，故錯誤，不符合題意；
D，因為向量是既有大小又有方向的量，所以兩個向量不能比較大小，
因此“若，滿足，且與同向，則”是假命題，故錯誤，不符合題意；．
．
5．（24-25高三上·山東德州·期中）已知向量，，若與平行，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐標表示以及平行關系，列方程即可得.
【詳解】由，可得，
若若與平行可知，
解得.
6．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量線性運算相關計算方式計算即可.
【詳解】由題可知，，,
所以有，所以，得.
7．（22-23高三上·河北邢臺·開學考試）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用坐標法，設，可得，進而可得，然后利用二次函數的性質即得.
【詳解】如圖建立平面直角坐標系，
則，
∴，
設，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值為.
.
8．（23-24高一下·山東東營·期末）如圖，已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】題中有90°，因此建立平面直角坐標系，用坐標表示向量進行運算即可．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，
，
，
設，
，
，解得，
所以.
.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·寧夏固原·開學考試）下列命題正確的是（ ）
A．若向量共線，則必在同一條直線上
B．若為平面內任意三點，則
C．若點為的重心，則
D．已知向量，若，則
【答案】CC
【分析】由向量共線的定義判斷A，由向量運算性質判斷B，由向量運算性質結合三角形重心的性質可判斷C，由向量共線的坐標運算判斷D.
【詳解】對于A，若向量，共線，只需兩個向量方向相同或相反即可，
則A，B，C，D不必在同一直線上，故A錯誤；
對于B，由向量線性運算性質知，故B正確；
對于C，若點為的重心，設中點為，則，
由重心性質知，所以，故C正確；
對于D，因為向量，，所以，
化簡得，故D錯誤.
C.
10．（22-23高三上·海南儋州·開學考試）已知M為的重心（三角形三條中線的交點），D為BC的中點，則下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】利用三角形重心定理，結合向量線性運算，逐項分析判斷作答.
【詳解】如圖，為的重心，D為BC的中點，
因三角形重心到三頂點的距離不一定相等，A不正確；
，則，B正確；
，C正確.
，D不正確；
C
11．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，點滿足，過點的直線與所在的直線分別交于點，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的最小值為
C． D．的最小值為
【答案】CC
【分析】先利用向量的線性運算判斷AC，再利用三點共線得到，進而利用基本不等式與“1”的妙用即可得解.
【詳解】如圖所示，因為，則，即，
所以，故A錯誤；
又因為，
所以，故C正確；
因為三點共線，則，
所以，則，
當且僅當，即時，等號不成立，
所以的最小值為，故D錯誤；
所以，
當且僅當，即時，等號不成立，
所以的最小值為，故C正確.
C.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（24-25高三上·北京·階段練習）已知平面內四個不同的點A，B，C，D滿足，則 .
【答案】3
【分析】先對等式進行變形，將其轉化為與和有關的形式，然后再求的值.
【詳解】已知，根據向量的減法法則，
則.因為，又，所以，移項可得.
由于，那么，所以.
故答案為：.
13．（23-24高一下·山東淄博·階段練習）已知梯形ABCD中，，三個頂點.則頂點的坐標 .
【答案】
【分析】在梯形中，，．得到，設點D的坐標為，根據向量相等得到方程組，可得答案.
【詳解】解：∵在梯形中，，，，，．
∴．設點D的坐標為．
則，．
∴，即，
∴解得故點的坐標為．
故答案為：．
14．（23-24高一下·江蘇·階段練習）已知所在平面內一點滿足，則 ．
【答案】5
【分析】取的中點，則，進而可得.
【詳解】如圖，取的中點，則，
故，故、、三點共線，
故，

故答案為：5
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）設，是不平行的向量，且，．
(1)若向量與共線，求實數的值；
(2)若，用，的線性組合表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量共線的定理計算可得；
（2）由向量的線性運算和共線定理計算可得；
【詳解】（1）因為向量與共線，所以設，
即，
所以，
（2）設，
又因為，
由向量基本定理，得，解得
所以．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設，．
(1)用，表示，；
(2)若為內部一點，且．求證：，，三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用平面向量線性運算法則，計算出，進而得到；
（2）計算出，結合（1）可得，證明出結論.
【詳解】（1）由題可知，
，
（2）
，且有公共點M
，，三點共線.
17．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四邊形中，，，和交于點P．
(1)若，求x的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）以為基底表示出，再利用求解即可；
（2）由（1）得出和，再利用三角形面積公式求解即可.
【詳解】（1）依題意可得，
又，，
所以，解得．
（2）由（1）可得，則，即．
因為，即，
所以，即，所以，
所以．
18．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）如圖，在中，AD是BC邊上的中線.M為BD的中點，G是AD上一點，且，直線EF過點G，交AB于點E，交AC于點F.
(1)試用和表示，
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根據平面向量的線性運算計算即可；
（2）先將用表示，再根據E，F，G三點共線，可得的關系，再根據基本不等式即可得解.
【詳解】（1）由題意，為的中點，所以，
又為的中點，所以；
，即，
；
故，.
（2）由，，，
得，，
所以 ，
因為E，F，G三點共線，則 ，
則，
當且僅當，即，時取等號所以的最小值3.
19．（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點為E，．
(1)若三角形ABD為等邊三角形，求四邊形ABCD的面積
(2)求箏形ABCD的面積的最大值
【答案】(1)；
(2)8.
【分析】（1）直接利用三角形的面積公式即可求得答案；
（2）建立坐標系，利用向量法結合基本不等式即可得出箏形ABCD的面積最大值.
【詳解】（1）△ABD為正三角形，且中線，則，
又，，
.
（2）以點O為坐標原點，建立如右圖所示的直角坐標系．
設，
則．
因為，所以，
即，當且僅當時，取等號．
箏形ABCD的面積為
即當時，箏形ABCD的面積最大為8.
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