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第01講 平面向量的概念
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握向量、相等向量、共線(xiàn)向量的概念及向量的幾何表示；對(duì)共線(xiàn)向量的理解及掌握. 通過(guò)對(duì)生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景； 理解向量的意義及幾何表示； 掌握相等向量與共線(xiàn)向量的意義.
知識(shí)點(diǎn)01 向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱(chēng)為數(shù)量．
【解讀】（1）本書(shū)所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
【即學(xué)即練1】有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】質(zhì)量、路程、功只有大小，沒(méi)有方向不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物理量．故選C.
知識(shí)點(diǎn)02 向量的表示法
1．有向線(xiàn)段
具有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
2．向量的表示方法
（1）字母表示法：如等.
（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線(xiàn)段（注意始點(diǎn)一定要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線(xiàn)段表示向量，通常我們就說(shuō)向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；
（2）用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線(xiàn)段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線(xiàn)段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等的向量．
【即學(xué)即練2】已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是(　　)
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M
【答案】A
【解析】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D.
知識(shí)點(diǎn)03向量的有關(guān)概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度).
【解讀】（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小．
2．零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.
【解讀】定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同，在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.
4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
【解讀】在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．
【即學(xué)即練3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于向量的命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①任一向量與它的相反向量不相等；
②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；
③若，則；
④兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用零向量、相等向量與向量的模的定義逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榱阆蛄颗c它的相反向量相等，所以①不是真命題；
對(duì)于②，根據(jù)向量的定義，知長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，所以②是真命題；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但，所以③不是真命題；
對(duì)于④，只要模相等，方向相同，兩個(gè)向量就是相等向量，與向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)無(wú)關(guān)，所以④不是真命題.
綜上，只有②是真命題，即真命題的個(gè)數(shù)是.
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知識(shí)點(diǎn)04向量的共線(xiàn)或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線(xiàn)向量(共線(xiàn)向量又稱(chēng)為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線(xiàn).
【解讀】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.
(2)理解平行向量的概念時(shí)，需注意平行向量和平行直線(xiàn)是有區(qū)別的，平行直線(xiàn)不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的．
(3)共線(xiàn)向量就是平行向量，其中“共線(xiàn)”的含義不是平面幾何中“共線(xiàn)”的含義．實(shí)際上，共線(xiàn)向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線(xiàn)向量與相等向量的關(guān)系，即共線(xiàn)向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線(xiàn)向量．
(4)向量相等具有傳遞性，即ab，bc，則ac. 而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c. 因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚?br/>【即學(xué)即練4】
在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線(xiàn)向量一定相等；④相等向量一定共線(xiàn)；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線(xiàn)向量．正確的命題是________．
【答案】　④⑥
【解析】　由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確．
題型01 平面向量的基本概念
【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩個(gè)相等向量的模相等；
②若和都是單位向量，則；
③相等的兩個(gè)向量一定是共線(xiàn)向量；
④零向量是唯一沒(méi)有方向的向量；
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】由相等向量、零向量、單位向量以及共線(xiàn)向量的定義逐一判斷各個(gè)序號(hào)即可求解.
【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)相等向量的模相等，且它們的方向也相同，故①正確；
對(duì)于②，若和都是單位向量，當(dāng)它們的方向不同時(shí)，則不不成立，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，相等的兩個(gè)向量方向相同，所以它們一定是共線(xiàn)向量，故③正確；
對(duì)于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不過(guò)零向量是方向任意的向量，故④錯(cuò)誤.
故正確的有①③，共兩個(gè).
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【變式1】（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．零向量的大小為0，沒(méi)有方向
B．
C．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同
D．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
【答案】C
【分析】根據(jù)零向量特點(diǎn)即可判斷A；根據(jù)向量模的定義即可判斷B，根據(jù)單位向量以及向量共線(xiàn)的性質(zhì)即可判斷CD.
【詳解】對(duì)A，既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由于與方向相反，長(zhǎng)度相等，故B正確；
對(duì)C，起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)不一定相同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反，故D錯(cuò)誤．
．
【變式2】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③零向量是沒(méi)有方向的；④有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段．其中假命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)零向量的定義及共線(xiàn)向量的定義判斷即可得.
【詳解】對(duì)①：因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾那伊阆蛄颗c任何向量共線(xiàn)，
故當(dāng)與中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的，故為假命題；
對(duì)②：兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，故為真命題；
對(duì)③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；
對(duì)④：向量可用有向線(xiàn)段來(lái)表示，但并不是有向線(xiàn)段，故為假命題.
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【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；
B．若，則與的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
C．若，且與的方向相同，則
D．若，則與方向相同或相反
【答案】D
【分析】考慮向量的起點(diǎn)位置可判斷A；利用向量相等的定義可判斷BC；考慮特殊向量可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，只有平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)才會(huì)在同一個(gè)圓上，故A錯(cuò)誤：
對(duì)于B，由只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋遗c同向，由兩向量相等的條件，可得，故C正確；
對(duì)于D，依據(jù)規(guī)定：與任意向量平行，故當(dāng)時(shí)，與的方向不一定相同或相反，故D錯(cuò)誤.
．
【變式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量平行的意義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】一方面，時(shí)，可能共線(xiàn)，此時(shí)不構(gòu)成四邊形，充分性不不成立；
另一方面，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，故，必要性不成立.
故“”是“四邊形為平行四邊形”的必要不充分條件.
題型02 平面向量的表示
【典例2】（25-26高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在圓中，向量，，是（ ）

A．有相同起點(diǎn)的向量 B．相反向量
C．模相等的向量 D．相等向量
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的幾何表示，可判斷出選項(xiàng)A和C的正誤，再利用相反向量及相等向量的概念，結(jié)合圖形，即可判斷選項(xiàng)B和D的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橄蛄浚钠瘘c(diǎn)為，而向量的起點(diǎn)為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾矗L(zhǎng)度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，向量，，的模長(zhǎng)均為圓的半徑，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橄嗟认蛄渴欠较蛳嗤L(zhǎng)度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

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【變式1】（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）如圖，B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，若分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，則最多可以寫(xiě)出 個(gè)共線(xiàn)非零向量．

【答案】6
【分析】根據(jù)題意，直接寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的向量即可.
【詳解】根據(jù)題意，可得所有共線(xiàn)非零向量有：，共有個(gè).
故答案為：.
【變式2】如圖，是某人行走的路線(xiàn)，那么的幾何意義是某人從A點(diǎn)沿西偏南 方向行走了 km．
【答案】 80° 2
【分析】直接由圖求解即可
【詳解】解析：由已知圖形可知，的幾何意義是從A點(diǎn)沿西偏南80°方向，行走了2km．
故答案為：80°；2
【變式3】　一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向西偏北70°方向行駛了200 km到達(dá)C點(diǎn),又改變方向,向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)。
(1)作出向量,,;
(2)求汽車(chē)從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小||。
【解析】　(1)如圖所示。
(2)由題意,易知與方向相反,故與平行。
又因?yàn)閨|=||,所以在四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD。所以四邊形ABCD為平行四邊形。
所以||=||=200 km,即這輛汽車(chē)從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小為200 km。
題型03 平行向量與相等向量
【典例3】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在菱形中，，則以下說(shuō)法正確的是（ ）

A．與相等的向量只有1個(gè)（不含）
B．與的模相等的向量有9個(gè)（不含）
C．的模恰為的模的倍
D．與不相等
【答案】ABC
【分析】根據(jù)相等向量以及模長(zhǎng)定義，結(jié)合結(jié)合圖形求解ABD，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解C.
【詳解】由于，因此與相等的向量只有，而與的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正確；
而在中，，，故，故C正確；
由于，因此與是相等的，故D錯(cuò)誤．
BC
【變式1】下列命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線(xiàn)向量；②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】對(duì)于①，由共線(xiàn)向量的定義可知：方向相反的兩個(gè)向量也是共線(xiàn)向量，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，長(zhǎng)度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對(duì)于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，
所以不一定相等，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若，可能只是方向不相同，但模長(zhǎng)相等，故④錯(cuò)誤.
【變式2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）關(guān)于向量，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】利用向量的有向知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，但，得不出，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則與沒(méi)有關(guān)系，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則，故C正確；
對(duì)于D：若，則和不能比較大小，故D錯(cuò)誤．
．
【變式3】如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有 個(gè).

【答案】3
【分析】根據(jù)相等向量的定義及正六邊形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個(gè).
故答案為：3
題型04 平面向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）（1）A、B、C是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，若，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；若進(jìn)一步有，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；
（2）如圖，在四邊形中，若，則四邊形是 ．
【答案】 A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn) B是的中點(diǎn) 平行四邊形
【分析】（1）根據(jù)共線(xiàn)向量的概念即可判斷；
（2）根據(jù)相等向量的概念即可判斷．
【詳解】（1）且有一個(gè)公共點(diǎn)，
A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)；
，方向相同，
B是的中點(diǎn)，
故答案為：A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)；B是的中點(diǎn)；
（2）在四邊形中，若，則一組對(duì)邊平行且相等，則四邊形是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形
【變式1】（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·期中）已知四邊形中，，并且，則四邊形是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．長(zhǎng)方形
【答案】A
【分析】由，得到四邊形為平行四邊形，再由，得到，得出四邊形為菱形.
【詳解】由題意，四邊形中，
因?yàn)椋傻们遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>又因?yàn)椋傻茫?br/>所以四邊形為菱形.
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【變式2】已知四邊形，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【答案】A
【解析】A選項(xiàng)，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項(xiàng)，如圖
，但是四邊形不是矩形，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，若，且，
則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯(cuò)誤．
選項(xiàng)，若，且，
則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯(cuò)誤.
【變式3】已知點(diǎn)，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點(diǎn)，求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：如圖，連接AC，
因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以為的中位線(xiàn)，
所以，且，
同理，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，
因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以.
一、單選題
1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）下列量中是向量的為（ ）
A．體積 B．距離
C．拉力 D．質(zhì)量
【答案】D
【分析】由向量的定義即可判斷
【詳解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向
故選:C
2．（23-24高一下·陜西寶雞·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行
C．模為1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比較大小
【答案】A
【分析】由向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.
【詳解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯(cuò)；
由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯(cuò)；
長(zhǎng)度相等、方向相同的向量稱(chēng)為相等向量，模長(zhǎng)為1的向量只規(guī)定了長(zhǎng)度相等，方向不一等相同，故C錯(cuò)；
向量的模長(zhǎng)是一個(gè)數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確.
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3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若且，則 D．若，則
【答案】C
【分析】對(duì)于A：根據(jù)向量與數(shù)量的定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)向量相等和向量共線(xiàn)分析判斷；對(duì)于C：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：根據(jù)零向量和向量共線(xiàn)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)闉橄蛄浚鶠閿?shù)量，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)相等向量與平行向量的關(guān)系，知，即有，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如，滿(mǎn)足且，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由零向量可知：對(duì)任意，均有，即不一定不成立，故D錯(cuò)誤；
4．（23-24高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是（ ）
A．若向量，都是單位向量，則
B．若向量，都是單位向量，則
C．任何非零向量都有唯一的與之共線(xiàn)的單位向量
D．平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共線(xiàn)
【答案】C
【分析】利用單位向量的定義，即可判斷出選項(xiàng)ABD的正誤；選項(xiàng)C，利用共線(xiàn)向量的定義，即可判斷出選項(xiàng)C的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，向量包括長(zhǎng)度和方向，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，方向不定，
故向量和不一定相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，任意一個(gè)非零向量有兩個(gè)與之共線(xiàn)的單位向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)樗袉挝幌蛄康哪椋夜财瘘c(diǎn)，
所以所有單位向量的終點(diǎn)在半徑為的圓周上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
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5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則與共線(xiàn) B．若與是平行向量，則
C．若，則 D．共線(xiàn)向量方向必相同
【答案】A
【分析】利用共線(xiàn)向量、相等向量的概念逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，相等向量必是共線(xiàn)向量，A正確；
對(duì)于B，與是平行向量，如為非零向量，而，顯然，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，模相等的兩個(gè)向量，它們的方向不一定相同，即不一定不成立，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，共線(xiàn)向量的方向可以相反，D錯(cuò)誤.
6．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）．
A．零向量沒(méi)有方向
B．兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量與的長(zhǎng)度相等
【答案】A
【分析】A.由零向量的定義判斷；B.由相等向量的定義判斷；C.由向量模的定義判斷；D.由相反向量的定義判斷.
【詳解】A.規(guī)定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故錯(cuò)誤；
B.兩個(gè)相等的向量大小相同，方向相同，所以若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同，故正確；
C.由向量模的定義可知只有零向量的模等于0，故正確；
D.向量與是相反向量，大小相同，方向相反，故正確；
7．（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.
【詳解】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：向量不能比較大小，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則方向相同，C正確；
對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.
.
8．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．、是單位向量，則
C．兩個(gè)相同的向量的模相等 D．單位向量均相等
【答案】A
【分析】根據(jù)相等向量、單位向量的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋只橄喾聪蛄康膬蓚€(gè)向量的模相等，所以，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)椤⑹菃挝幌蛄浚裕蔅正確；
對(duì)于C：兩個(gè)相同的向量的模相等，故C正確；
對(duì)于D：?jiǎn)挝幌蛄康哪Ｏ嗟染鶠椋捎跓o(wú)法確定方向是否相同，故單位向量不一定相等，故D錯(cuò)誤.
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東佛山·期中）下列命題是真命題的是（ ）
A．在正方形ABCD中，
B．的模長(zhǎng)為0
C．若，則向量是單位向量
D．若向量與向量是共線(xiàn)向量，則向量與向量的方向相同
【答案】CC
【分析】對(duì)于A，根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合相等向量的定義分析判斷，對(duì)于B，由零向量的定義判斷，對(duì)于C，由單位向量的定義判斷，對(duì)于D，根據(jù)共線(xiàn)向量的定義判斷.
【詳解】對(duì)于A，在正方形ABCD中，與的方向不同，A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，的模長(zhǎng)為0，B正確.
對(duì)于C，若，則向量是單位向量，C正確.
對(duì)于D，若向量與向量是共線(xiàn)向量，則向量與向量的可能相反，D錯(cuò)誤.
C
10．（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知，為兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．與相等 B．如果與平行，那么與相等
C．與共線(xiàn) D．如果與平行，那么或
【答案】ABC
【分析】根據(jù)相等向量，共線(xiàn)向量的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】A選項(xiàng)，與為兩個(gè)單位向量，它們模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，如果與平行，即與共線(xiàn)，根據(jù)共線(xiàn)向量性質(zhì)，此時(shí)它們可能同向共線(xiàn)或者反向共線(xiàn)，
當(dāng)它們反向共線(xiàn)時(shí)，與不相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量的夾角為或，它們才共線(xiàn)，但這是不一定的，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，如果與平行，即與共線(xiàn)，根據(jù)共線(xiàn)向量性質(zhì)，此時(shí)它們可能同向共線(xiàn)或者反向共線(xiàn)，
即或，D選項(xiàng)正確.
BC.
11．（23-24高一下·廣西來(lái)賓·期末）關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
【答案】CC
【分析】對(duì)于A，由相等向量定義即可判斷；對(duì)于B,由共線(xiàn)向量的內(nèi)涵即可判斷；對(duì)于C，因?yàn)榉橇阆蛄浚士梢岳闷叫袀鬟f性判斷；對(duì)于D，因向量有方向，不能比較大小即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，若，但與方向不確定，則得不到，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，說(shuō)明與方向相反，故，即B正確；
對(duì)于C，因，由，，易得，故C正確；
對(duì)于D，若，但、不能比較大小，故D錯(cuò)誤．
C．
三、填空題
12．下列各量中，向量有： ．（填寫(xiě)序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
【答案】③⑤⑥⑧⑩
【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.
【詳解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，人造衛(wèi)星的速度，向心力，加速度.
故答案為：③⑤⑥⑧⑩.
13．（23-24高一下·江蘇宿遷·開(kāi)學(xué)考試）在下列判斷中，真命題的是 .
①長(zhǎng)度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線(xiàn)．
【答案】①③⑤
【分析】根據(jù)向量的定義及知識(shí)即可逐項(xiàng)判斷求解.
【詳解】對(duì)①：由定義知①正確；
對(duì)②：由于兩個(gè)零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個(gè)具體方向，故②不正確；
對(duì)③：根據(jù)定義可知單位向量的長(zhǎng)度都為1，故③正確；
對(duì)④：?jiǎn)挝幌蛄糠较蚩梢圆煌盛苠e(cuò)誤；
對(duì)⑤：任意向量與零向量都共線(xiàn)，故⑤正確；
故答案為：①③⑤.
14．如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：
(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于________．
(2)存在著共線(xiàn)向量，這些共線(xiàn)的向量是________，它們的模的和等于________．
【答案】(1)，　　(2)，　5
【解析】結(jié)合圖形可知，(1)||||.
(2)與共線(xiàn)，||2，||3，故||＋||5.
四、解答題
15．.如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出圖中所示與向量長(zhǎng)度相等的向量；
(2)寫(xiě)出圖中所示與向量相等的向量；
(3)分別寫(xiě)出圖中所示向量與向量，共線(xiàn)的向量．
解：(1)與長(zhǎng)度相等的向量是，，，，，，，.
(2)與相等的向量是，.
(3)與共線(xiàn)的向量是，，；與共線(xiàn)的向量是，，.
16．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知線(xiàn)段被n（）等分，等分點(diǎn)為，，，…，.從這個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，一共可以構(gòu)成多少個(gè)互不相等的非零向量？
(2)求互不相等的非零向量總數(shù)，用n表示.
【答案】(1)8個(gè)
(2)個(gè)
【分析】（1）按向量的模長(zhǎng)進(jìn)行分類(lèi)求解；
（2）按向量的模長(zhǎng)進(jìn)行分類(lèi)求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則等分點(diǎn)有，，，共3個(gè)，則從5個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，
模長(zhǎng)為1時(shí)，有2個(gè)，為：，
模長(zhǎng)為2時(shí)，有2個(gè)，為：，
模長(zhǎng)為3時(shí)，有2個(gè)，為：，
模長(zhǎng)為4時(shí)，有2個(gè)，為：，
總共有8個(gè)．
（2）由（1）知，當(dāng)模長(zhǎng)為1時(shí)，有2個(gè)，
當(dāng)模長(zhǎng)為2時(shí)，有2個(gè)，
當(dāng)模長(zhǎng)為3時(shí)，有2個(gè)，依次類(lèi)推，當(dāng)模長(zhǎng)為時(shí)，有2個(gè)，
總共有個(gè)．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第01講 平面向量的概念
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握向量、相等向量、共線(xiàn)向量的概念及向量的幾何表示；對(duì)共線(xiàn)向量的理解及掌握. 通過(guò)對(duì)生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景； 理解向量的意義及幾何表示； 掌握相等向量與共線(xiàn)向量的意義.
知識(shí)點(diǎn)01 向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱(chēng)為數(shù)量．
【解讀】（1）本書(shū)所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
【即學(xué)即練1】有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
知識(shí)點(diǎn)02 向量的表示法
1．有向線(xiàn)段
具有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
2．向量的表示方法
（1）字母表示法：如等.
（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線(xiàn)段（注意始點(diǎn)一定要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線(xiàn)段表示向量，通常我們就說(shuō)向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；
（2）用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線(xiàn)段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線(xiàn)段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等的向量．
【即學(xué)即練2】已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是(　　)
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M
知識(shí)點(diǎn)03向量的有關(guān)概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度).
【解讀】（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小．
2．零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.
【解讀】定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同，在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.
4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
【解讀】在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．
【即學(xué)即練3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于向量的命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①任一向量與它的相反向量不相等；
②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；
③若，則；
④兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.
A．0 B．1 C．2 D．3
知識(shí)點(diǎn)04向量的共線(xiàn)或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線(xiàn)向量(共線(xiàn)向量又稱(chēng)為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線(xiàn).
【解讀】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.
(2)理解平行向量的概念時(shí)，需注意平行向量和平行直線(xiàn)是有區(qū)別的，平行直線(xiàn)不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的．
(3)共線(xiàn)向量就是平行向量，其中“共線(xiàn)”的含義不是平面幾何中“共線(xiàn)”的含義．實(shí)際上，共線(xiàn)向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線(xiàn)向量與相等向量的關(guān)系，即共線(xiàn)向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線(xiàn)向量．
(4)向量相等具有傳遞性，即ab，bc，則ac. 而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c. 因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚?br/>【即學(xué)即練4】
在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線(xiàn)向量一定相等；④相等向量一定共線(xiàn)；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線(xiàn)向量．正確的命題是________．
題型01 平面向量的基本概念
【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩個(gè)相等向量的模相等；
②若和都是單位向量，則；
③相等的兩個(gè)向量一定是共線(xiàn)向量；
④零向量是唯一沒(méi)有方向的向量；
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式1】（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．零向量的大小為0，沒(méi)有方向
B．
C．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同
D．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
【變式2】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③零向量是沒(méi)有方向的；④有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段．其中假命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；
B．若，則與的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
C．若，且與的方向相同，則
D．若，則與方向相同或相反
【變式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
題型02 平面向量的表示
【典例2】（25-26高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在圓中，向量，，是（ ）

A．有相同起點(diǎn)的向量 B．相反向量
C．模相等的向量 D．相等向量
【變式1】（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）如圖，B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，若分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，則最多可以寫(xiě)出 個(gè)共線(xiàn)非零向量．

【變式2】如圖，是某人行走的路線(xiàn)，那么的幾何意義是某人從A點(diǎn)沿西偏南 方向行走了 km．
【變式3】　一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向西偏北70°方向行駛了200 km到達(dá)C點(diǎn),又改變方向,向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)。
(1)作出向量,,;
(2)求汽車(chē)從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小||。
題型03 平行向量與相等向量
【典例3】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在菱形中，，則以下說(shuō)法正確的是（ ）

A．與相等的向量只有1個(gè)（不含）
B．與的模相等的向量有9個(gè)（不含）
C．的模恰為的模的倍
D．與不相等
【變式1】下列命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線(xiàn)向量；②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）關(guān)于向量，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式3】如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有 個(gè).

題型04 平面向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）（1）A、B、C是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，若，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；若進(jìn)一步有，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；
（2）如圖，在四邊形中，若，則四邊形是 ．
【變式1】（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·期中）已知四邊形中，，并且，則四邊形是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．長(zhǎng)方形
【變式2】已知四邊形，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【變式3】已知點(diǎn)，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點(diǎn)，求證：．
一、單選題
1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）下列量中是向量的為（ ）
A．體積 B．距離
C．拉力 D．質(zhì)量
2．（23-24高一下·陜西寶雞·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行
C．模為1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比較大小
3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若且，則 D．若，則
4．（23-24高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是（ ）
A．若向量，都是單位向量，則
B．若向量，都是單位向量，則
C．任何非零向量都有唯一的與之共線(xiàn)的單位向量
D．平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共線(xiàn)
5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則與共線(xiàn) B．若與是平行向量，則
C．若，則 D．共線(xiàn)向量方向必相同
6．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）．
A．零向量沒(méi)有方向
B．兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量與的長(zhǎng)度相等
7．（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
8．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．、是單位向量，則
C．兩個(gè)相同的向量的模相等 D．單位向量均相等
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東佛山·期中）下列命題是真命題的是（ ）
A．在正方形ABCD中，
B．的模長(zhǎng)為0
C．若，則向量是單位向量
D．若向量與向量是共線(xiàn)向量，則向量與向量的方向相同
10．（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知，為兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．與相等 B．如果與平行，那么與相等
C．與共線(xiàn) D．如果與平行，那么或
11．（23-24高一下·廣西來(lái)賓·期末）關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
三、填空題
12．下列各量中，向量有： ．（填寫(xiě)序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
13．（23-24高一下·江蘇宿遷·開(kāi)學(xué)考試）在下列判斷中，真命題的是 .
①長(zhǎng)度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線(xiàn)．
14．如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：
(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于________．
(2)存在著共線(xiàn)向量，這些共線(xiàn)的向量是________，它們的模的和等于________．
四、解答題
15．.如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出圖中所示與向量長(zhǎng)度相等的向量；
(2)寫(xiě)出圖中所示與向量相等的向量；
(3)分別寫(xiě)出圖中所示向量與向量，共線(xiàn)的向量．
16．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知線(xiàn)段被n（）等分，等分點(diǎn)為，，，…，.從這個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，一共可以構(gòu)成多少個(gè)互不相等的非零向量？
(2)求互不相等的非零向量總數(shù)，用n表示.
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