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第六章 平面向量初步 章末題型大總結
題型01平面向量的基本概念
【典例1】（多選）（23-24高一上·遼寧·期末）下列命題正確的是（ ）
A．數軸上零向量的坐標為0
B．若與都是單位向量，則的最小值為0
C．若，則
D．若，則線段的中點坐標為
【變式1】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·福建莆田·階段練習）下列結論中，正確的是（ ）
A．零向量的大小為0，沒有方向
B．
C．起點相同的單位向量，終點必相同
D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
【變式3】（23-24高一下·黑龍江佳木斯·期末）下列敘述中正確的是（ ）
A．已知向量，，且，則與的方向相同或相反
B．若，則
C．若，，則
D．對任一非零向量，是一個單位向量
【變式4】（24-25高一下·全國·課后作業）（多選）下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則 B．長度相等的向量是相等向量
C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量
題型02 平面向量的線性運算
【典例1】（24-25高二上·山東濰坊·開學考試）化簡： ．
【變式1】（23-24高一下·天津南開·階段練習）化簡等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習） （ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高一下·湖南岳陽·期末）在中，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】（23-24高一下·湖北黃岡·期中）
題型02向量共線與三點共線問題
【典例2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知向量，向量為平面內兩個不共線的單位向量，若，，則下列結論正確的是（ ）
A．A、B、C三點共線 B．A、C、D三點共線
C．A、B、D三點共線 D．B、C、D三點共線
【變式1】（23-24高一下·廣東佛山·期末）已知向量不共線，若則（ ）
A． B． C． D．2
【變式2】（23-24高一下·內蒙古通遼·階段練習）已知向量，，若，則（ ）
A．10 B．2 C． D．
【變式3】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知向量，，且實數，若A，B，C三點共線．則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式4】（23-24高一下·北京朝陽·期末）已知向量，不共線，，，若與同向，則實數t的值為（ ）
A． B． C．3 D．或3
題型04平面向量基本定理
【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構成平面內所有向量的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25高二上·河南·階段練習）已知在中， ，分別為，的中點， ， ，則可以用含，的式子表示為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點在邊上，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
題型05向量的坐標表示
【典例5】1．（23-24高一下·北京海淀·期中）根據畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和，現在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則=（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知向量，點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·天津·階段練習）已知向量與的夾角為，且，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·福建龍巖·期中）若平面向量與的夾角是，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1，則（ ）
A．2 B． C．4 D．8
題型06向量中的最值
【典例5】在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在平面直角坐標系中，點分別在x軸和y軸上運動，且，點和點P滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式2】（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為 .
【變式3】（23-24高二上·福建廈門·階段練習）已知坐標平面內三點，，．
(1)若，，，可以構成平行四邊形，且點在第一象限，求點的坐標；
(2)若是線段上一動點，求的取值范圍．
題型07平面向量在幾何中的應用
【典例6】（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）（多選）已知，D為BC邊中點，若點P滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．點P一定在內部 B．
C． D．點P在直線AD上
【變式1】（23-24高一下·四川自貢·期末）如圖在平面四邊形中，，點在線段上滿足，若，則 ．
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）在四邊形中，向量，，．求證：四邊形為梯形．
【變式3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點為E，．
(1)若三角形ABD為等邊三角形，求四邊形ABCD的面積
(2)求箏形ABCD的面積的最大值
題型08平面向量在物理中的應用
【典例7】（23-24高一下·河南南陽·期中）小娟，小明兩個人共提一桶水勻速前進，已知水和水桶總重力為，兩人手臂上的拉力分別為，，且，與的夾角為，下列結論中正確的是（ ）
A．越小越費力，越大越省力 B．始終有
C．當時， D．當時，
【變式1】（23-24高一下·山東棗莊·期末）（多選）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發，向河對岸航行.已知船在靜水中的速度的大小，水流方向為正東方向，其速度的大小為，這艘船到達河對岸的時間精確到0.1min，采用四舍五入法.則（ ）
參考數據：

A．這艘船到達河對岸的渡河時間最短時，
B．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3min
C．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3.1min
D．這艘船到達河對岸的航程最短時，渡河時間最短
【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）有兩個分別為3牛和5牛的力作用在某物體上，則合力的最大值為 牛．
【變式4】（24-25高一上·上海·課堂例題）一條河的兩岸平行，河寬.一艘船從A處出發航行到河的正對岸B處.航行的速度，水流的速度，水流方向向正東方向，求行駛航程最短時，所用的時間是多少.（結果精確到0.1min）
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題型01平面向量的基本概念
【典例1】（多選）（23-24高一上·遼寧·期末）下列命題正確的是（ ）
A．數軸上零向量的坐標為0
B．若與都是單位向量，則的最小值為0
C．若，則
D．若，則線段的中點坐標為
【答案】ABD
【分析】根據題意可直接判斷A正確；當與方向相反時，可知B正確；利用兩點間的距離公式計算可知C錯誤；利用中點坐標公式進行計算可知D正確.
【詳解】數軸上零向量的坐標為正確.
若與都是單位向量，當方向相反時，
的最小值為正確.
若，則，錯誤.
若，則線段的中點坐標為，正確.
BD.
【變式1】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據零向量的定義及共線向量的定義判斷即可得.
【詳解】對①：因為零向量的方向是任意的且零向量與任何向量共線，
故當與中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故為假命題；
對②：兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故為真命題；
對③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；
對④：向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故為假命題.
.
【變式2】（23-24高一下·福建莆田·階段練習）下列結論中，正確的是（ ）
A．零向量的大小為0，沒有方向
B．
C．起點相同的單位向量，終點必相同
D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
【答案】C
【分析】根據零向量特點即可判斷A；根據向量模的定義即可判斷B，根據單位向量以及向量共線的性質即可判斷CD.
【詳解】對A，既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；
對B，由于與方向相反，長度相等，故B正確；
對C，起點相同的單位向量，終點不一定相同，故C錯誤；
對D，若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等或相反，故D錯誤．
．
【變式3】（23-24高一下·黑龍江佳木斯·期末）下列敘述中正確的是（ ）
A．已知向量，，且，則與的方向相同或相反
B．若，則
C．若，，則
D．對任一非零向量，是一個單位向量
【答案】A
【分析】對A，若，有一個為零向量即可判斷；對B，向量相等定義即可判斷；對C，若即可判斷；對D，由單位向量的定義判斷.
【詳解】對A，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，若或時，與的方向不是相同或相反，故A錯誤；
對B，，且，方向相同才可判斷，故B錯誤；
對C，當時，若，，與是任意向量，故C錯誤；
對D，對任一非零向量，表示與方向相同且模長為1的向量，故D正確.
【變式4】（24-25高一下·全國·課后作業）（多選）下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則 B．長度相等的向量是相等向量
C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量
【答案】ABD
【分析】根據向量的相關定義逐一判斷各個選項即可求解.
【詳解】對于A，若，則不一定有，
比如，讓這兩個向量共起點，則它們的終點分步在以這個起點為圓心的一個圓周上，
所以這兩個向量不一定共線，故A錯誤；
對于B，長度相等且方向相同的向量是相等向量，故B錯誤；
對于C，零向量的方向是任意的，故C正確；
對于D，方向相反且長度一樣的向量是相反向量，故D錯誤.
BD.
題型02 平面向量的線性運算
【典例1】（24-25高二上·山東濰坊·開學考試）化簡： ．
【答案】
【分析】利用向量的線性運算求解即可.
【詳解】.
故答案為：
【變式1】（23-24高一下·天津南開·階段練習）化簡等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量線性運算計算即可．
【詳解】，
．
【變式2】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的加減法即可得到答案.
【詳解】.
.
【變式3】（23-24高一下·湖南岳陽·期末）在中，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的加法和減法公式，即可求解.
【詳解】.
【變式4】（23-24高一下·湖北黃岡·期中）
【答案】
【分析】根據向量加、減法法則及運算律計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
題型02向量共線與三點共線問題
【典例2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知向量，向量為平面內兩個不共線的單位向量，若，，則下列結論正確的是（ ）
A．A、B、C三點共線 B．A、C、D三點共線
C．A、B、D三點共線 D．B、C、D三點共線
【答案】D
【分析】根據向量共線的判定定理結合平面向量基本定理逐項分析判斷.
【詳解】因為向量，向量為平面內兩個不共線的單位向量，
且，，
對于選項A：若A、B、C三點共線，則，其中，
則，方程組無解，
所以A、B、C三點不共線，故A錯誤；
對于選項B：因為，
若A、C、D三點共線，則，其中，
則則，方程組無解，
所以A、C、D三點不共線，故B錯誤；
對于選項C：因為，
所以A、B、D三點共線，故C正確；
對于選項D：若B、C、D三點共線，則，其中，
則，方程組無解，
所以B、C、D三點不共線，故D錯誤；
.
【變式1】（23-24高一下·廣東佛山·期末）已知向量不共線，若則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據共線定理和平面向量基本定理求解可得.
【詳解】因為，
所以存在，使得，
又不共線，所以，解得.
【變式2】（23-24高一下·內蒙古通遼·階段練習）已知向量，，若，則（ ）
A．10 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據向量坐標運算得，再利用向量共線的坐標表示即可方程，解出即可.
【詳解】因為，且，
所以，解得，所以．
．
【變式3】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知向量，，且實數，若A，B，C三點共線．則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由三點共線轉化為兩個向量共線，即共線，由向量共線的坐標表示計算．
【詳解】，，
因為A，B，C三點共線，所以，
則，解得或，
，.
.
【變式4】（23-24高一下·北京朝陽·期末）已知向量，不共線，，，若與同向，則實數t的值為（ ）
A． B． C．3 D．或3
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用共線向量定理，結合平面向量基本定理求解即得.
【詳解】由向量與同向，得，
即，而向量不共線，則，又，解得，
所以實數t的值為.
題型04平面向量基本定理
【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以為基底表示向量，因為，則，建立與的等量關系，求解即可.
【詳解】因為，，所以，
又，所以，
則，解得：，.
【變式1】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構成平面內所有向量的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可.
【詳解】對于A選項，，所以共線，不能作為基底；
對于B選項，，所以共線，不能作為基底；
對于C選項，，所以共線，不能作為基底；
對于D選項，易知不共線，可以作為基底.
.
【變式2】（24-25高二上·河南·階段練習）已知在中， ，分別為，的中點， ， ，則可以用含，的式子表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量的加減法則，，分別與相應的關系，再消元構建三者的關系，得出結果.
【詳解】由題意得，，，故，
故.
.
【變式3】（24-25高三上·河北衡水·階段練習）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據條件，結合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結果.
【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
.
【變式4】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點在邊上，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的線性運算把用表示后可得，從而得結論．
【詳解】由已知，
所以，，，
．
題型05向量的坐標表示
【典例5】1．（23-24高一下·北京海淀·期中）根據畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和，現在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意，建立平面直角坐標系，設，求得的坐標，再由列式求解即可.
【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：
設，則，
則，，
所以，即，
所以，
因為，
所以，則，
則，化簡得，
.
【變式1】（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知向量，點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量坐標的運算可得答案.
【詳解】因為，點的坐標為，
所以，解得，
所以點的坐標為.
.
【變式2】（23-24高一下·天津·階段練習）已知向量與的夾角為，且，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題設可知，繼而得到，由此即可解出點坐標.
【詳解】由題意知與的長度相等，方向相反，
所以，
又因為，
設，則，
所以，解得，即，
【變式3】（23-24高一下·福建龍巖·期中）若平面向量與的夾角是，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得且，利用向量的模長公式即可求解．
【詳解】平面向量與的夾角是，和是相反向量，
存在且使，，
又，，
，則,．
．
【變式4】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1，則（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據題圖寫出向量坐標，再進行坐標運算即可.
【詳解】根據題圖，以題圖向量起點為原點，該點橫縱方向為軸，
則，，所以，
則.
故選：.
題型06向量中的最值
【典例5】在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式，結合配方法進行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過作，垂足為，
因為，
所以有，
，設，，
因此有
因為，
所以有，
而，
所以，
當時，有最大值，當，xy有最小值，
所以的取值范圍是
【變式1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在平面直角坐標系中，點分別在x軸和y軸上運動，且，點和點P滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】設、、，由題意可得，又，故有，結合向量的模長計算及的范圍計算即可得其最大值.
【詳解】設、、，
則、、，
由，則有，即，
由，有，故，即，
即有，且，
則，
由，故當時，有最大值，
且的最大值為.
.
【變式2】（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為 .
【答案】6
【分析】以點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設a），寫出各點坐標，結合向量加法以及模的坐標運算，運用二次函數的知識即可求出最小值.
【詳解】如圖，以點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設a），
因為，所以，
所以，
所以，所以，
所以當，即時，的最小值為6.
故答案為：6
【變式3】（23-24高二上·福建廈門·階段練習）已知坐標平面內三點，，．
(1)若，，，可以構成平行四邊形，且點在第一象限，求點的坐標；
(2)若是線段上一動點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設（），依題意可得，根據向量相等的坐標表示得到方程組，解得即可；
（2）設，，用的式子表示、，從而轉化為關于的二次函數，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）設（），依題意可得，
又，，，所以，，
所以，解得，即.
（2）設，，
則，所以，則，
所以，
因為，所以當時取最小值，
當時取最大值，
所以的取值范圍為.
題型07平面向量在幾何中的應用
【典例6】（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）（多選）已知，D為BC邊中點，若點P滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．點P一定在內部 B．
C． D．點P在直線AD上
【答案】ABC
【分析】設、分別是、的中點，依題意可得，從而得到點是中位線上靠近點的三等分點，即可判斷A，D再根據面積關系判斷C，又平面向量線性運算法則判斷B.
【詳解】由，所以，
設、分別是、的中點，所以，
于是點是中位線上靠近點的三等分點，則點一定在內部，故A正確，D錯誤.
又，所以，則，故B正確；
由A可知，，且，
所以，，即，故C正確；
BC
【變式1】（23-24高一下·四川自貢·期末）如圖在平面四邊形中，，點在線段上滿足，若，則 ．
【答案】/
【分析】以A為原點，建立平面直角坐標系，設后，寫出各點坐標，用向量的坐標運算可得．
【詳解】以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨設，
則有，
，過D作軸于F，，
，所以，
，，，
因為，
所以，
所以，，解得：，
則的值為.
故答案為：.
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）在四邊形中，向量，，．求證：四邊形為梯形．
【答案】證明見解析
【分析】根據給定條件，利用向量的線性運算及共線向量即可證明．
【詳解】證明：因為，
所以且，
所以四邊形為梯形．
【變式3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點為E，．
(1)若三角形ABD為等邊三角形，求四邊形ABCD的面積
(2)求箏形ABCD的面積的最大值
【答案】(1)；
(2)8.
【分析】（1）直接利用三角形的面積公式即可求得答案；
（2）建立坐標系，利用向量法結合基本不等式即可得出箏形ABCD的面積最大值.
【詳解】（1）△ABD為正三角形，且中線，則，
又，，
.
（2）以點O為坐標原點，建立如右圖所示的直角坐標系．
設，
則．
因為，所以，
即，當且僅當時，取等號．
箏形ABCD的面積為
即當時，箏形ABCD的面積最大為8.
題型08平面向量在物理中的應用
【典例7】（23-24高一下·河南南陽·期中）小娟，小明兩個人共提一桶水勻速前進，已知水和水桶總重力為，兩人手臂上的拉力分別為，，且，與的夾角為，下列結論中正確的是（ ）
A．越小越費力，越大越省力 B．始終有
C．當時， D．當時，
【答案】D
【分析】根據題意，由向量的平行四邊形法則可得，由此分析選項，即可得答案．
【詳解】根據題意，由于，又由，
則有向量，為鄰邊的四邊形為菱形，
則有，,
對于A，由于不變，則越小越省力，越大越費力，A錯誤；
對于B，由于，B錯誤；
對于C，當時，，C正確；
對于D，當時，，D錯誤．
.
【變式1】（23-24高一下·山東棗莊·期末）（多選）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發，向河對岸航行.已知船在靜水中的速度的大小，水流方向為正東方向，其速度的大小為，這艘船到達河對岸的時間精確到0.1min，采用四舍五入法.則（ ）
參考數據：

A．這艘船到達河對岸的渡河時間最短時，
B．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3min
C．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3.1min
D．這艘船到達河對岸的航程最短時，渡河時間最短
【答案】AB
【分析】討論的大小，分別求出過河的時間，從而判斷ABC；由平行四邊形法則結合勾股定理判斷D.
【詳解】對于A：設與的夾角為，船行駛的時間為，
，

當為鈍角時，
當為銳角時，
當為直角時，
則當為鈍角時，，
當為銳角時，，
所以當船垂直于對岸行駛，即，所用時間最短，故A正確；
對于B：由A可知，這艘船到達河對岸的渡河時間最短為，故B正確，C錯誤；
對于D：設點是河對岸一點，與河岸垂直，
那么當這艘船實際沿著方向行駛時，船的航程最短，
由下圖可知，設，則，
此時，船的航行時間，故D錯誤；

B
【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）有兩個分別為3牛和5牛的力作用在某物體上，則合力的最大值為 牛．
【答案】8
【分析】根據三角不等式可解.
【詳解】設兩個力分別為，且，根據題意合力.
則根據三角不等式有，當且僅當同向時取得.
故合力最大值為8．
故答案為：8.
【變式3】（24-25高一上·上海·課后作業）一架飛機向南飛行千米，然后向西飛行千米，則飛機飛行的路程及兩次位移的和分別為 .
【答案】路程為180千米，位移的和為“西南方向，千米”
【分析】根據題意畫出示意圖，再由向量的加減運算，即可得出結論．
【詳解】如圖，飛機從點向南飛行到達點，然后向西飛行到達點，
則，，
所以飛機飛行的路程為：，
由勾股定理得，飛機飛行的位移為：，方向為西南.
故答案為：路程，位移的和為“西南方向，”.
【變式4】（24-25高一上·上海·課堂例題）一條河的兩岸平行，河寬.一艘船從A處出發航行到河的正對岸B處.航行的速度，水流的速度，水流方向向正東方向，求行駛航程最短時，所用的時間是多少.（結果精確到0.1min）
【答案】所用的時間是3.1min
【分析】作出示意圖，設該船航行時的速度為，水流的速度為，合速度為，由題意可得，進而求得航程最短時，所需時間.
【詳解】若行駛航程最短，則航行方向與河岸垂直，如圖所示，
設該船航行時的速度為，水流的速度為，合速度為，
已知，，

則，
所以.
所以行駛航程最短時，所用的時間是3.1min.
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