資源簡介

第02講 平面向量的線性運算
課程標準 學習目標
熟練運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則及其幾何意義進行向量的加法運算； 理解實數與向量的積的定義，向量平行的充要條件。 1. 借助實例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加法運算及運算法則,理解其幾何意義； 2. 通過實例，掌握向量減法的運算，并理解其幾何意義； 3.了解平面向量的線性運算率及其應用； 4.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解兩個平面向量共線的含義．
知識點01 向量加法的定義及運算法則
1．向量加法的定義
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
2．向量的加法運算法則
（1）三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內取任意一點A，作a，b，向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＋
圖示：
（2）平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內任取一點O，作a，b，以OA，OB為鄰邊作 OACB，連接OC，則＋a＋b，對角線就是a與b的和.
圖示：
（3）對于零向量與任意向量a，我們規定：a＋00＋aa.
【解讀】（1）向量加法的三角形法則要注意三點：
①兩個向量一定首尾相連；
②和向量的始點是第一個向量的始點，終點是第二個向量的終點；
③當多個向量相加時，可以使用三角形法則．
（2）向量加法的平行四邊形法則注意兩點：①兩個非零向量一定要有相同的始點；
②平行四邊形中的一個對角線所對應的向量為和向量；
3.三角不等式：向量a，b的模與a＋b，a-b的模之間的關系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【解讀】①當a與b不共線時,a+b的方向與a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。
②當a與b同向時,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。
③當a與b反向時,若|a|≥|b|,則a+b與a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。
若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。
【即學即練1】下列判斷錯誤的是 ( )
A ＋＋
B 任意兩個向量的和仍然是一個向量．
C 兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加．
D 任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．
2. (多選)在平行四邊形ABCD中，下列結論中正確的是(　　)
A． B．＋ C．＋ D．＋
知識點02 向量加法的運算律
（1）交換律：a＋bb＋a
（2）結合律：a＋(b＋c)(a＋b)＋c
【解讀】用交換律、結合律可以將多個向量相加轉化為首尾相接的形式，實現簡化運算．如＋＋＋＋.
知識點03向量的減法及其幾何意義
1.相反向量
(1)我們規定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
(2)－(－a)a，a＋(－a)(－a)＋a0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0－0.
2．向量減法的定義
求兩個向量差的運算叫做向量的減法．
我們定義，a－ba＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量
3．向量減法的幾何意義
(1)三角形法則
如圖，已知a、b，在平面內任取一點O，作a，b，則a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．
(2)平行四邊形法則
如圖①，設向量b，a，則－b，由向量減法的定義，知a＋(－b)a－b.
又因為b＋a，所以a－b.
如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法則：
在 ABCD中，a，b，則a＋b，a－b.
【解讀】（1）兩個向量的差仍是一個向量；
（2）向量的減法可以轉化為向量的加法,減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。
（3）向量減法的三角形法則中，表示，強調了差向量的“箭頭”指向被減向量.即作非零向量，的差向量，可以簡記為“共起點，連終點，指被減”
【即學即練2】（1.（多選）下列判斷正確的是( )
A相反向量一定是共線向量． B兩個相反向量之差等于0.
C向量的減法實質上是向量的加法的逆運算． D兩個向量的差仍是一個向量．
2．在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是(　　)
A．0 B．
C． D．0
知識點04向量的數乘運算及運算律
1．向量數乘的定義
一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa．
(1)|λa||λ||a|．特別地，當λ0時，λa0．
(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．
【解讀】從兩個角度理解向量數乘
(1)代數角度
實數與向量的乘積λa仍然是一個向量；λa0 λ0或a0.
(2)幾何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸長到原來的λ倍
λ<－1 在反方向上伸長到原來的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上縮短到原來的λ倍
－1<λ<0 在反方向上縮短到原來的－λ倍
2．向量數乘的運算律
設λ，μ為實數，a，b為向量，則滿足如下運算律：
(1)λ(μa)(λμ)a；
(2)(λ＋μ)aλa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)λa＋λb；
(4)(－λ)a－(λa)λ(－a)，λ(a－b)λa－λb.
3．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．向量線性運算的結果仍是向量．
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)λμ1a±λμ2b．
【解讀】向量的線性運算類似于多項式的運算，具有實數與多個向量和的乘積形式，計算時應先去括號．共線向量可以“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數．
(1)實數和向量可以求積，但不能求和或求差．
(2)λ0或a0 λa0.
【即學即練3】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習） （ ）
A． B．
C． D．
知識點05共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使bλa．
【解讀】（1）判斷兩個向量是否共線的關鍵是看兩個向量是否滿足向量共線定理，即向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數λ，使bλa.因此，在考慮問題時，不要忽略零向量．
（2）這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使t＋s，則與共線；若兩個非零向量與不共線，且t＋s，則必有ts0.
【即學即練4】判斷下列各小題的向量與是否共線。
。
題型01 平面向量的線性運算
【典例1】（多選）下列能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·天津南開·階段練習）化簡等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3】下列各式中，化簡后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
題型02 線性運算的幾何意義
【典例2】（23-24高一下·四川雅安·期末）如圖，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，設，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·河南鄭州·期末）在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示，D，E為邊BC上的三等分點，且則下列各式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】　設|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為　　　　,　　　　。
題型03 向量共線問題
【典例3】4．（24-25高三上·山東日照·階段練習）已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實數的值為（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或
【變式1】（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量與平行，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則實數的值為（　　　）
A．1 B． C．4 D．
題型04 三點共線問題
【典例4】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知平面向量，不共線，，，，則（　　）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
【變式1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【變式2】（23-24高一下·四川·期末）點滿足向量，則點與的位置關系是（ ）
A．點為線段的中點 B．點在線段延長線上
C．點在線段的延長線上 D．點不在直線上
【變式3】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
題型05 線性運算在實際問題中的應用
【典例5】（23-24高一下·浙江臺州·期末）一條河的兩岸平行，河寬，一艘船從河岸邊的某處出發到河對岸.設船在靜水中行駛的速度的大小為，水流速度的大小為.當船以最短距離到對岸時，船行駛所用的時間（保留兩位小數）為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高三上·廣東汕頭·期末）設表示向東走了10 km，表示向南走了5 km，則所表示的意義為（ ）
A．向東南走了 km B．向西南走了 km
C．向東南走了 km D．向西南走了 km
【變式2】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船出發時行駛速度的方向和大小為（　　）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏東，
D．北偏東，
【變式3】（23-24高一下·云南·階段練習）設表示“向東走”，表示“向南走”，則所表示的意義為（ ）
A．向東南走 B．向西南走
C．向東南走 D．向西南走
題型06 線性運算在幾何問題中的應用
【典例6】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，已知是平行四邊形的對角線上的兩點，且，求證：四邊形是平行四邊形．
【變式1】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，已知，D、E分別是AB、AC的中點，求證；．
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知四邊形ABCD和點O在同一平面上，設向量，，，，且．求證：ABCD是平行四邊形．
【變式3】（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習）如圖，在平行四邊形中，、依次是對角線上的兩個三等分點，設 .
(1)請用 與 表示 ;
(2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
題型07 三角形重心、內心的向量表示
【典例7】O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：，則直線AP一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【變式1】已知向量、（三點不共線），若，則點是（ ）
A．的中點 B．的中點 C．的中點 D．的重心
【變式2】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知，若點P滿足，其中，則點P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【變式3】（2024·全國·二模）點是所在平面內兩個不同的點，滿足，則直線經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
一、單選題
1．（24-25高一下·全國·隨堂練習）等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·全國·隨堂練習）已知非零向量，滿足，則（ ）
A． B．
C．與的方向相同 D．與的方向相反
3．（24-25高一下·全國·課后作業）已知非零向量與同向，則（ ）
A．必與同向 B．必與同向
C．可能與同向、反向也可能是 D．不可能與同向
4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，點在邊上，，記，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知是不共線的向量，且，則（ ）
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線
6．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習）是平面內不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
7．（24-25高一下·全國·課后作業）在四邊形中，，則一定有（ ）
A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形
C．四邊形是梯形 D．四邊形是平行四邊形
8．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知為內一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
二、多選題
9．（24-25高一下·全國·課后作業）已知，是不共線的向量，下列向量，共線的為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（24-25高一下·全國·課堂例題）（多選）已知，，且，則在以下各命題中，正確的是（ ）
A．當時，的方向與的方向一定相反
B．當時，的方向具有任意性
C．
D．當時，的方向與的方向一定相同
11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，不共線，若，，且，，三點共線，則關于實數，的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
三、填空題
12．（24-25高二上·山東濰坊·開學考試）化簡： ．
13．（24-25高三上·北京·階段練習）已知平面內四個不同的點A，B，C，D滿足，則 .
14．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的A地出發，向河對岸航行．已知船的速度大小為，水流速度的大小為，當航程最短時，這艘船行駛完全程共需要時間 ．
四、解答題
15．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設，．
(1)用，表示，；
(2)若為內部一點，且．求證：，，三點共線．
16．（23-24高一下·全國·課堂例題）已知、是兩個不平行的向量，向量，，，
(1)求證：；
(2)判斷三點的位置關系.
17．（24-25高一下·全國·課堂例題）如圖所示，四邊形是以向量，為鄰邊的平行四邊形.又，，試用，表示，，.
18．（23-24高一下·河北·期中）已知非零向量和不共線．
(1)如果，，，求證：A，B，D三點共線；
(2)若向量與平行，求實數k的值．
19．（23-24高一下·北京大興·期中）如圖，在中，點是的中點，，過點的直線分別交邊于（不同于）兩點，且，．

(1)當時，用向量表示，；
(2)證明：為定值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 平面向量的線性運算
課程標準 學習目標
熟練運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則及其幾何意義進行向量的加法運算； 理解實數與向量的積的定義，向量平行的充要條件。 1. 借助實例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加法運算及運算法則,理解其幾何意義； 2. 通過實例，掌握向量減法的運算，并理解其幾何意義； 3.了解平面向量的線性運算率及其應用； 4.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解兩個平面向量共線的含義．
知識點01 向量加法的定義及運算法則
1．向量加法的定義
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
2．向量的加法運算法則
（1）三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內取任意一點A，作a，b，向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＋
圖示：
（2）平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內任取一點O，作a，b，以OA，OB為鄰邊作 OACB，連接OC，則＋a＋b，對角線就是a與b的和.
圖示：
（3）對于零向量與任意向量a，我們規定：a＋00＋aa.
【解讀】（1）向量加法的三角形法則要注意三點：
①兩個向量一定首尾相連；
②和向量的始點是第一個向量的始點，終點是第二個向量的終點；
③當多個向量相加時，可以使用三角形法則．
（2）向量加法的平行四邊形法則注意兩點：①兩個非零向量一定要有相同的始點；
②平行四邊形中的一個對角線所對應的向量為和向量；
3.三角不等式：向量a，b的模與a＋b，a-b的模之間的關系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【解讀】①當a與b不共線時,a+b的方向與a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。
②當a與b同向時,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。
③當a與b反向時,若|a|≥|b|,則a+b與a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。
若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。
【即學即練1】下列判斷錯誤的是 ( )
A ＋＋
B 任意兩個向量的和仍然是一個向量．
C 兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加．
D 任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．
【答案】D
2. (多選)在平行四邊形ABCD中，下列結論中正確的是(　　)
A． B．＋ C．＋ D．＋
【答案】AB
知識點02 向量加法的運算律
（1）交換律：a＋bb＋a
（2）結合律：a＋(b＋c)(a＋b)＋c
【解讀】用交換律、結合律可以將多個向量相加轉化為首尾相接的形式，實現簡化運算．如＋＋＋＋.
知識點03向量的減法及其幾何意義
1.相反向量
(1)我們規定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
(2)－(－a)a，a＋(－a)(－a)＋a0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0－0.
2．向量減法的定義
求兩個向量差的運算叫做向量的減法．
我們定義，a－ba＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量
3．向量減法的幾何意義
(1)三角形法則
如圖，已知a、b，在平面內任取一點O，作a，b，則a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．
(2)平行四邊形法則
如圖①，設向量b，a，則－b，由向量減法的定義，知a＋(－b)a－b.
又因為b＋a，所以a－b.
如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法則：
在 ABCD中，a，b，則a＋b，a－b.
【解讀】（1）兩個向量的差仍是一個向量；
（2）向量的減法可以轉化為向量的加法,減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。
（3）向量減法的三角形法則中，表示，強調了差向量的“箭頭”指向被減向量.即作非零向量，的差向量，可以簡記為“共起點，連終點，指被減”
【即學即練2】（1.（多選）下列判斷正確的是( )
A相反向量一定是共線向量． B兩個相反向量之差等于0.
C向量的減法實質上是向量的加法的逆運算． D兩個向量的差仍是一個向量．
【答案】ACD
2．在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是(　　)
A．0 B．
C． D．0
【答案】D
【解析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，
∴0，，0.
∴只有C錯誤．
知識點04向量的數乘運算及運算律
1．向量數乘的定義
一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa．
(1)|λa||λ||a|．特別地，當λ0時，λa0．
(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．
【解讀】從兩個角度理解向量數乘
(1)代數角度
實數與向量的乘積λa仍然是一個向量；λa0 λ0或a0.
(2)幾何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸長到原來的λ倍
λ<－1 在反方向上伸長到原來的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上縮短到原來的λ倍
－1<λ<0 在反方向上縮短到原來的－λ倍
2．向量數乘的運算律
設λ，μ為實數，a，b為向量，則滿足如下運算律：
(1)λ(μa)(λμ)a；
(2)(λ＋μ)aλa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)λa＋λb；
(4)(－λ)a－(λa)λ(－a)，λ(a－b)λa－λb.
3．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．向量線性運算的結果仍是向量．
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)λμ1a±λμ2b．
【解讀】向量的線性運算類似于多項式的運算，具有實數與多個向量和的乘積形式，計算時應先去括號．共線向量可以“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數．
(1)實數和向量可以求積，但不能求和或求差．
(2)λ0或a0 λa0.
【即學即練3】（24-25高二上·北京朝陽·階段練習） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的加減法即可得到答案.
【詳解】.
.
知識點05共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使bλa．
【解讀】（1）判斷兩個向量是否共線的關鍵是看兩個向量是否滿足向量共線定理，即向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數λ，使bλa.因此，在考慮問題時，不要忽略零向量．
（2）這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使t＋s，則與共線；若兩個非零向量與不共線，且t＋s，則必有ts0.
【即學即練4】判斷下列各小題的向量與是否共線。
。
【答案】（1）共線 （2）共線 （3） 不共線
題型01 平面向量的線性運算
【典例1】（多選）下列能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據向量的線性運算分別判斷即可．
【詳解】解：對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D不合題意；
BC．
【變式1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量加減法則計算即得.
【詳解】.
.
【變式2】（23-24高一下·天津南開·階段練習）化簡等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量線性運算計算即可．
【詳解】，
．
【變式3】下列各式中，化簡后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據向量的加法、減法運算化簡即可得解.
【詳解】因為，故A錯誤；
因為，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為，故D錯誤.
題型02 線性運算的幾何意義
【典例2】（23-24高一下·四川雅安·期末）如圖，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，設，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量的加減、數乘運算求解即可.
【詳解】，
.
【變式1】（23-24高一下·河南鄭州·期末）在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用向量加法的平行四邊形法則求解即得.
【詳解】在中，，則.
【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示，D，E為邊BC上的三等分點，且則下列各式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據三等分點得出向量相等結合向量的方向即可判斷選項.
【詳解】D，E為邊上的三等分點，所以，
所以D選項正確；
若，則不不成立，C選項錯誤；
方向不同不能相等，A選項錯誤；
方向相反不能相等，B選項錯誤.
.
【變式3】　設|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最大值與最小值分別為　　　　,　　　　。
【答案】　20　4
【解析】　當a,b共線同向時,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,當a,b共線反向時,|a+b|=||a|-|b||=4。當a,b不共線時,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20,綜上知,4≤|a+b|≤20,所以最大值為20,最小值為4。
題型03 向量共線問題
【典例3】4．（24-25高三上·山東日照·階段練習）已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實數的值為（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或
【答案】C
【分析】先根據向量平行求參數，再根據向量同向進行取舍.
【詳解】因為與共線，所以，解得或.
若，則，，所以，所以與方向相反，故舍去；
若，則，，所以，所以與方向相同，故為所求.
【變式1】（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量與平行，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量共線定理、平面向量基本定理即可求解.
【詳解】因為向量與平行，
所以．
因為向量不平行，
所以解得．
故選：.
【變式2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據向量共線，得到，再結合條件，得到，即可求解.
【詳解】因為，設，則，
即，解得，
.
【變式3】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則實數的值為（　　　）
A．1 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用共線向量定理列式求解即得.
【詳解】由是兩個不共線的向量，得是非零向量，又與共線，
則，即，于是，所以.
題型04 三點共線問題
【典例4】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習）已知平面向量，不共線，，，，則（　　）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
【答案】A
【分析】運用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點共線.
【詳解】對于A，，與不共線，A不正確；
對于B，，，則與不共線，B不正確；
對于C，，，則與不共線，C不正確；
對于D，，
即，又線段AC與CD有公共點C，所以三點共線，D正確．
．
【變式1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【分析】根據向量共線定理一一分析即可.
【詳解】對A，，
則共線，又因為有公共點，則A、B、D三點共線，故A正確；
對B，因為，故不共線，則A、B、C三點不共線，故B錯誤；
對C，因為，故不共線，則B、C、D三點不共線，故C錯誤；
對D，，因為，
故不共線，則A、C、D三點不共線，故D錯誤.
.
【變式2】（23-24高一下·四川·期末）點滿足向量，則點與的位置關系是（ ）
A．點為線段的中點 B．點在線段延長線上
C．點在線段的延長線上 D．點不在直線上
【答案】D
【分析】分析可得，進而可得結果.
【詳解】因為，即，可得，
所以點在線段的延長線上.
.
【變式3】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根據向量共線定理和基本不等式即可求解.
【詳解】因為三點共線，
所以存在實數k，使，即，
又向量不共線，所以，
由，所以，
當且僅當時，取“=”號，
題型05 線性運算在實際問題中的應用
【典例5】（23-24高一下·浙江臺州·期末）一條河的兩岸平行，河寬，一艘船從河岸邊的某處出發到河對岸.設船在靜水中行駛的速度的大小為，水流速度的大小為.當船以最短距離到對岸時，船行駛所用的時間（保留兩位小數）為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對岸，利用勾股定理求出合速度，從而可求出航行時間.
【詳解】設一艘船從岸邊A處出發到河的正對岸，設船的速度，水流速度，
要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對岸，
如圖指：，
所以.
.
【變式1】（23-24高三上·廣東汕頭·期末）設表示向東走了10 km，表示向南走了5 km，則所表示的意義為（ ）
A．向東南走了 km B．向西南走了 km
C．向東南走了 km D．向西南走了 km
【答案】A
【分析】由向量加法的幾何意義以及勾股定理即可求解.
【詳解】可以表示向東走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知，
所表示的意義為向東南走了 km.
.
【變式2】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船出發時行駛速度的方向和大小為（　　）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏東，
D．北偏東，
【答案】A
【分析】根據題意，作出圖形，借助于直角三角形求出的模和即得.
【詳解】

如圖，船從點O出發，沿方向行駛才能使船垂直到達對岸，
依題意，，，
則，則，
因為為銳角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行駛，才能垂直到達對岸.
故選:A.
【變式3】（23-24高一下·云南·階段練習）設表示“向東走”，表示“向南走”，則所表示的意義為（ ）
A．向東南走 B．向西南走
C．向東南走 D．向西南走
【答案】A
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則，結合具體實際意義可得.
【詳解】表示“向東走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km，
根據向量加法的平行四邊形法則可知，表示向東南走km.
．
題型06 線性運算在幾何問題中的應用
【典例6】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，已知是平行四邊形的對角線上的兩點，且，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】證明見解
【分析】設，，根據平面向量共線定理證明即可．
【詳解】證明：設，則，設，
所以，
所以，
，
，
所以，
所以四邊形是平行四邊形．
【變式1】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，已知，D、E分別是AB、AC的中點，求證；．
【答案】證明見解析
【分析】用表示，然后由共線向量定理即可證明.
【詳解】，
因為D、E分別是AB、AC的中點，所以，,
所以,
所以，因為不在一條線上，所以.
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知四邊形ABCD和點O在同一平面上，設向量，，，，且．求證：ABCD是平行四邊形．
【答案】證明見解析
【分析】根據得出，進而得出，然后即可得出ABCD是平行四邊形.
【詳解】因為，
所以，
因為向量，，，，
所以，
即，
所以，且，
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
【變式3】（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習）如圖，在平行四邊形中，、依次是對角線上的兩個三等分點，設 .
(1)請用 與 表示 ;
(2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
【分析】（1）根據平面向量基本定理，結合平面向量線性運算的性質進行求解即可；
（2）根據平面向量基本定理，結合平面向量線性運算的性質、相等向量的定義進行證明即可.
【詳解】（1）因為、依次是對角線上的兩個三等分點，
所以，
于是有，
即；
（2）因為、依次是對角線上的兩個三等分點，
所以，
于是有，
即，因此，
顯然有，不共線，
因此且，
所以四邊形是平行四邊形.
題型07 三角形重心、內心的向量表示
【典例7】O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：，則直線AP一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】根據平面向量的線性運算結合三角形四心的定義即可得解.
【詳解】取線段BC的中點E，則，
動點P滿足：，
則，則，所以，
又為兩向量的公共起點，所以三點共線，
所以直線一定通過的重心．
．
【變式1】已知向量、（三點不共線），若，則點是（ ）
A．的中點 B．的中點 C．的中點 D．的重心
【答案】A
【分析】根據平面向量的線性運算計算即可得出結論.
【詳解】因為，所以，
即，所以點是的中點.
．
【變式2】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知，若點P滿足，其中，則點P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【分析】先根據單位向量的加法得出點在角平分線上進而得出軌跡過內心即可.
【詳解】指向角A的平分線方向，
而與是平行的，所以依舊指向角A的平分線方向，
所以點P的軌跡即為角A的平分線及其反向延長線.而內心一定落在角A的平分線上，
所以點P的軌跡會經過內心.
.
【變式3】（2024·全國·二模）點是所在平面內兩個不同的點，滿足，則直線經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】A
【分析】根據向量的運算，并結合數形結合分析，即可判斷.
【詳解】設的中點為點，所以，
則，
若四點共線時，即點都在中線上，所以經過三角形的重心，
若四點不共線時，，且，連結，交于點，
如圖，
，即點是三角形的重心，即經過的重心，
綜上可知，經過的重心.
一、單選題
1．（24-25高一下·全國·隨堂練習）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據向量減法原則，以及相反向量的定義，即可得出結果.
【詳解】,
2．（24-25高一下·全國·隨堂練習）已知非零向量，滿足，則（ ）
A． B．
C．與的方向相同 D．與的方向相反
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用共線向量的定義判斷即得.
【詳解】非零向量，滿足，則與的方向相同，且，ABD錯誤，C正確.
3．（24-25高一下·全國·課后作業）已知非零向量與同向，則（ ）
A．必與同向 B．必與同向
C．可能與同向、反向也可能是 D．不可能與同向
【答案】D
【分析】比較的大小關系即可逐一判斷.
【詳解】向量與同向，
當時，與同向；
當時，與反向；
當時，．
.
4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，點在邊上，，記，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根已知條件和向量的減法法則即可直接計算得解.
【詳解】由題.
.
5．（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知是不共線的向量，且，則（ ）
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線
【答案】C
【分析】先得到，，然后得到即可判斷B正確；對于ACD，說明對應的向量不共線即可排除.
【詳解】因為，
所以，，
因為，所以A，B，D三點共線，故B符合題意；
因為是不共線的向量，，所以不共線，即A，B，C三點不共線，故A不符合題意；
因為是不共線的向量，，所以不共線，即B，C，D三點不共線，故C不符合題意；
因為是不共線的向量，，所以不共線，即A，C，D三點不共線，故D不符合題意；
.
6．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習）是平面內不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】由由A，B，D三點共線，得存在實數，使，再用表示后，由向量相等可得．
【詳解】由已知，由A，B，D三點共線，
故存在實數，使，即，
即，解得．
．
7．（24-25高一下·全國·課后作業）在四邊形中，，則一定有（ ）
A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形
C．四邊形是梯形 D．四邊形是平行四邊形
【答案】A
【分析】由得到且，根據平行四邊形的判定得到四邊形是平行四邊形.
【詳解】因為，所以，即且，
所以四邊形的一組對邊平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，
．
8．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知為內一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】如圖，根據平面向量的線性運算可得，則在線段上，且，設，結合和計算即可求解.
【詳解】由，得，
如圖，分別是的中點，

則，
所以在線段上，且，
得，設，則，所以，
因為，，，
所以，則，解得.
二、多選題
9．（24-25高一下·全國·課后作業）已知，是不共線的向量，下列向量，共線的為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】CC
【分析】根據向量間關系判斷向量平行關系判斷A,B,C,假設向量共線求參法判斷D.
【詳解】因為，是不共線的向量，所以，都不是零向量．
A中，若與共線，則，共線，這與已知矛盾，所以與不共線；
B中，因為，所以與共線；
C中，因為，所以與共線；
D中，若與共線，則存在實數，使，
即，所以．
因為，是不共線向量，
所以，方程組無解，
所以與不共線.
C.
10．（24-25高一下·全國·課堂例題）（多選）已知，，且，則在以下各命題中，正確的是（ ）
A．當時，的方向與的方向一定相反
B．當時，的方向具有任意性
C．
D．當時，的方向與的方向一定相同
【答案】ABD
【分析】根據向量的數乘運算概念判斷ABD,再根據向量的模長性質判斷C.
【詳解】根據實數與向量的積的方向的規定，A正確；
對于B，當時，，零向量的方向具有任意性，故B正確；
對于D，由可得，同為正或同為負，
所以和或者都是與同向，或者都是與反向，所以與是同向的，故D正確；
對于C，，故C錯誤．
BD.
11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，不共線，若，，且，，三點共線，則關于實數，的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【答案】AB
【分析】根據，，三點共線，可得出存在，使得，從而可得出，根據不共線可得出，從而得出，從而可得出正確的選項．
【詳解】因為，，三點共線，則存在實數，使得，
即，即，所以，
又因為向量，不共線，所以，解得，
所以實數，的值互為倒數即可求解．
B．
三、填空題
12．（24-25高二上·山東濰坊·開學考試）化簡： ．
【答案】
【分析】利用向量的線性運算求解即可.
【詳解】.
故答案為：
13．（24-25高三上·北京·階段練習）已知平面內四個不同的點A，B，C，D滿足，則 .
【答案】3
【分析】先對等式進行變形，將其轉化為與和有關的形式，然后再求的值.
【詳解】已知，根據向量的減法法則，
則.因為，又，所以，移項可得.
由于，那么，所以.
故答案為：.
14．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的A地出發，向河對岸航行．已知船的速度大小為，水流速度的大小為，當航程最短時，這艘船行駛完全程共需要時間 ．
【答案】
【分析】當實際速度垂直于河岸航程最短，根據向量加法的平行四邊形法則求解即可.
【詳解】當實際速度垂直于河岸，船的航程最短．
設實際速度、船速、水流速度分別為、、，
如圖，，已知，
則，河寬，
所以，船的航行時間．
所以，當航程最短時，這艘船行駛完全程需要．
故答案為：.
四、解答題
15．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設，．
(1)用，表示，；
(2)若為內部一點，且．求證：，，三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用平面向量線性運算法則，計算出，進而得到；
（2）計算出，結合（1）可得，證明出結論.
【詳解】（1）由題可知，
，
（2）
，且有公共點M
，，三點共線.
16．（23-24高一下·全國·課堂例題）已知、是兩個不平行的向量，向量，，，
(1)求證：；
(2)判斷三點的位置關系.
【答案】(1)證明見解析；
(2)三點共線
【分析】（1）求出，找到使不成立的即可證明；
（2）根據可知三點共線.
【詳解】（1）證明：，
因此，
（2）由（1）知，又有公共點C，故三點共線.
17．（24-25高一下·全國·課堂例題）如圖所示，四邊形是以向量，為鄰邊的平行四邊形.又，，試用，表示，，.
【答案】，，
【分析】應用向量的線性運算數形結合，用已知向量表示得出
【詳解】因為，
所以.
因為，
所以.
.
18．（23-24高一下·河北·期中）已知非零向量和不共線．
(1)如果，，，求證：A，B，D三點共線；
(2)若向量與平行，求實數k的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據兩向量的線性關系得出向量共線，再結合公共點B，即可證明.
（2）因為兩個向量平行得出向量關系結合平面向量基本定理列式求參.
【詳解】（1）因為，又，
故，又與有公共點B，
所以A，B，D三點共線．
（2）因為與共線，即，
因為與是不共線的兩個非零向量，
所以，故綜上，k的值為．
19．（23-24高一下·北京大興·期中）如圖，在中，點是的中點，，過點的直線分別交邊于（不同于）兩點，且，．

(1)當時，用向量表示，；
(2)證明：為定值．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析
【分析】（1）由是的中線和向量加法的平行四邊形法則得到，再由表示出；
（2）由得到，又由、、三點共線，得到，從而表示出，因為，不共線，所以系數相等，得到的關系.
【詳解】（1）因為點是的中點，所以是的中線，所以，
當時，；
（2）由（1）知，所以，
因為、、三點共線，所以，
所以，
由已知，，所以，
所以，
因為，不共線，所以，即，消去整理可得，
所以為定值.
【點睛】方法點睛：兩直線交點在向量中的應用
本題中，點為直線和的交點，
所以、、三點共線，；、、三點共線，.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑