資源簡介

1.1.2 空間向量基本定理
課程標準 學習目標
1.類比平面向量基本定理，理解空間向量基本定理及其意義; 2.通過選取適當?shù)幕讓⒖臻g向量進行分解，從而使用“基底法”解決空間中的線線垂直線線平行及異面直線所成角的問題.從而展現(xiàn)出空間向量基本定理的重要作用; 1.理解空間向量基本定理的概念和原理 2.掌握空間向量基本定理的運用方法 3.培養(yǎng)學生運用空間向量基本定理解決實際問題的能力。
知識點01 空間向量的基本定理
空間向量基本定理 如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量 如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示，我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫作基向量.
【即學即練1】（2023高二上·全國·專題練習）已知是空間的一組基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量基本定理，只要判斷三個向量是否共面即可，由此逐項判斷．
【詳解】因為，，
又，
顯然A，B，C三個選項中的向量都與共面，
而D選項中多了個，無論如何，是無法用線性表示的．
．
【即學即練2】（23-24高二上·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】ABC選項，可直接看出是否共面，結(jié)合基底的概念判斷出答案；D選項，利用表達出三個向量，設，得到方程組，無解，得到不共面，能作為空間中的一組基底.
【詳解】A選項，共面，不能作為空間中的一組基底，A正確；
B選項，不共面，能作為空間中的一組基底，B錯誤；
C選項，不共面，能作為空間中的一組基底，C錯誤；
D選項，因為，，
設，
即，
，無解，
故不共面，能作為空間中的一組基底，D錯誤.

難點：空間向量基本定理與外接球結(jié)合問題
示例1：（多選）（2024·全國·模擬預測）已知三棱錐中，點P在平面ABC內(nèi)的投影為D，四邊形ABCD為正方形，若，記，，，則下列說法正確的是（ ）
A．為一組單位正交基底
B．
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積為
【答案】ACD
【分析】如圖，將三棱錐補形為正方體，結(jié)合單位正交基底、向量的線性運算、三棱錐的體積公式、球的表面積公式依次求解即可．
【詳解】A：將三棱錐補形為正方體，則三棱錐內(nèi)接于直徑為的球，
如圖所示，則兩兩垂直，故A正確；
B：，故B錯誤；
C：由題意知平面，又，，
所以，故C正確；
D：由選項A知，該正方體的對角線長為，三棱錐外接球即為正方體得外接球，
所以該球的表面積，故D正確.
CD．
【題型1：空間向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習）若是空間的一個基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則k=（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，由向量共面列式求解即得.
【詳解】依題意，共面，則存在實數(shù)，使得，
于是，
因此，解得.
變式1．（23-24高二上·貴州安順·期末） ，，是三個不共面的單位向量， 可為空間的一個基底，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)基底的定義，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.
【詳解】根據(jù)基底的定義，可知，若 ，，是三個不共面的單位向量，則可為空間的一個基底，
反過來，若為空間的一個基底，則，，是三個不共面的向量，不一定是單位向量，
所以是的充分不必要條件.
變式2．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·期末）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【分析】
由題意可知不共面，由此分別判斷各選項中的向量是否共面，即得答案.
【詳解】由于構(gòu)成空間的一個基底，故不共面，
對于A，與共面，不共面，故，，不共面，
否則，若，，共面，則共面，不符題意，A錯誤；
對于B，假設，，共面，則存在實數(shù)，使得，
即，則，方程組無解，
假設不不成立，故，，不共面，B錯誤；
對于C，，與共面，由于不共面，
故，與不共面，C錯誤；
對于D，，故，，共面，
變式3．（23-24高二上·江西·階段練習）已知空間的一組基，則可以與向量，構(gòu)成空間的另一組基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的共面充要條件與空間基底的性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】不存在實數(shù)，，使得，所以，，不共面，可以構(gòu)成空間的另一組基；
因為，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的另一組基；
因為，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的另一組基；
因為，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的另一組基.
.
變式4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）若是空間的一個基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得的值.
【詳解】由于，，所以不共線，
由于不能構(gòu)成空間的一個基底，
所以存在使得，即
，
所以，解得.
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知向量能構(gòu)成空間的一組基底，則能與向量構(gòu)成空間另一組基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】根據(jù)空間向量的基底向量的定義結(jié)合共面向量的定義逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，
所以三個向量共面，
故不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；
對于選項B：因為，
則，方程無解，即不存在實數(shù)使得該式不成立，
所以不共面，可以作為基底向量，故B正確；
對于選項C：因為，
則，方程無解，即不存在實數(shù)使得該式不成立，
所以不共面，可以作為基底向量，故C正確；
對于選項D：因為，
則，方程無解，即不存在實數(shù)使得該式不成立，
所以不共面，可以作為基底向量，故D正確；
CD.
變式6．（多選）（23-24高二上·四川樂山·期末）下列說法正確的是（ ）
A．若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則，共線
B．空間的基底有且僅有一個
C．兩兩垂直的三個非零向量可以構(gòu)成空間的一個基底
D．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
【答案】ACD
【分析】根據(jù)空間向量的基底的含義，一一判斷各選項，即可得答案.
【詳解】對于A，能構(gòu)成空間的一個基底的向量必須是不共面的3個向量，
由于非零向量，與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，
即向量，與任何一個向量均共面，則，必共線，A正確；
對于B，空間的基底不唯一，不共面的3個向量，均可作為空間的一組基底，B錯誤；
對于C，由于兩兩垂直的三個非零向量不共面，故可以構(gòu)成空間的一個基底，C正確；
對于D，由于是空間的一個基底，故不共面，
而與共面，故與不共面，且不共線，
故也是空間的一個基底，D正確，
CD
【方法技巧與總結(jié)】
基底的判斷思路
（1）判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，則可以作為一個基底.
（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷.
【題型2：用基底表示向量】
例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為的中點，F(xiàn)為的中點，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】連，，根據(jù)空間向量的線性運算分析求解.
【詳解】連，，

可得
.
.
變式1．（23-24高二上·陜西榆林·期中）如圖所示的三棱錐A-BCD中，令，，，且M，G分別是BC，CD的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結(jié)合條件用表示，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，，，
所以，，
所以，
所以，.
變式2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以，，作為一組基底表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，即可得解.
【詳解】依題意
，
所以
，
所以，即.
變式3．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，用，，表示，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合題意求解即可.
【詳解】因為E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，
所以
.
故答案為：
變式4．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）在正三棱錐中，點O為三角形BCD的中心，，則 ．
【答案】
【分析】取中點N，連接，，利用空間向量的線性運算即可得解.
【詳解】取中點N，連接，
又
，.
故答案為：.
變式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面體的所有棱長均為1， ，則= ．
【答案】
【分析】利用空間向量基本定理，選取為基底表示向量，再通過平方的方法求出其模長.
【詳解】因為平行六面體的所有棱長均為1，
，
所以
．
故答案為：.
變式6.（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在三棱錐中，點E、F分別是SA、BC的中點，點G在EF上，且滿足，若，，，則 ．

【答案】
【分析】運用空間向量的加減法和題設條件，將所求向量用空間的基向量表示即得.
【詳解】連接，因為點E、F分別是SA、BC的中點，點G在EF上，且滿足，

所以
，
所以.
故答案為：.
變式7．（23-24高二下·上海浦東新·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是，的中點，是的中點，若，則 .
【答案】
【分析】由是的中點，可得，再由向量的線性運算可得,即可得答案.
【詳解】解：連接，如圖所示：
因為是的中點，分別是，的中點，
所以
,
又因為，
所以，
所以.
故答案為：
【方法技巧與總結(jié)】
1.若p=xa+yb+zc，則xa+yb+zc叫做向量a，b，c的線性表達式或線性組合，或者說p可以由a，b，c線性表示.
2.對于基底{a，b，c}，除了應知道a，b，c不共面外，還應明確以下三點：
①基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示，選用不同的基底，同一向量的表達式也可能不同；
②由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是0；
③空間的一個基底是指一個向量組，是由三個不共面的空間向量構(gòu)成的，一個基向量是指基底中的某個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.
【題型3：空間向量基本定理及其應用】
例3．（23-24高二上·貴州畢節(jié)·期末）如圖1，在四面體中，點分別為線段的中點，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的基底表示，再借助空間向量基本定理求解即得.
【詳解】在四面體中，由分別為線段的中點，
得，
而，由空間向量基本定理得：，
所以.
變式1．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，在三棱臺中，，是的中點，是的中點，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由空間向量的線性運算和空間向量基本定理求解即可.
【詳解】結(jié)合圖形可知：
是的中點，,,
，
是的中點，,
,
即,
，，.
.
變式2．（23-24高二上·貴州安順·期末）如圖，空間四邊形OABC中，點M是OA的中點，點N在BC上，設，則（ ）

A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合向量的線性運算，即可求解.
【詳解】，
，
，
，
即，，，
所以.
變式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四邊形，點E在線段DC上，滿足，，則（　　）
A．- B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量基本定理以及空間向量線性運算，即可求解．
【詳解】因為點在線段上滿足，
由向量的運算法則，可得，
因為，所以，
所以.
.
變式4．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，在四面體OABC中，點M、N分別為線段OA、BC的中點，若，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的基底表示，再借助空間向量基本定理求解即得.
【詳解】在四面體中，由分別為線段的中點，
得，
而，由空間向量基本定理得：，
所以.
故答案為：.
變式5．（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，點M是的中點，點是上的點，且，若，則 .
【答案】/
【分析】利用空間向量的加減及數(shù)乘運算，以為基底，用基向量表示，再空間向量基本定理待定系數(shù)即可.
【詳解】在平行六面體中,
因為點M是的中點，點是上的點,
所以
.
又，
由空間向量基本定理得，，
則.
故答案為：.
變式6．（23-24高二上·廣東揭陽·階段練習）是空間的一個基底，向量，是空間的另一個基底，向量，則 ．
【答案】1
【分析】將轉(zhuǎn)化成以為基底的向量，與聯(lián)立，即可求出的值．
【詳解】因為，且，
．
故答案為：1．
變式7．（2019高三·浙江·專題練習）在平行六面體中，設，，，分別是的中點.
(1)用向量表示；
(2)若，求實數(shù)x，y，z的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)，利用空間向量的線性運算求解即得.
（2）用表示，再利用空間向量基本定理求解即得.
【詳解】（1）在平行六面體中，
，
由分別是的中點，
得.
.
（2），
而，且不共面，
所以.
一、單選題
1．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知向量，則向量在上的投影為（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．4
【答案】C
【分析】由空間向量基本定理即可得出結(jié)論.
【詳解】由空間向量基本定理可知在上的投影即為的系數(shù)2.
2．（21-22高二下·全國·期末）如圖，在正三棱柱中，點M為棱AB的中點，點N為上底面的中心，用空間的一組基表示，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結(jié)合正三棱柱的性質(zhì)和空間向量的運算可得答案.
【詳解】取下底面ABC的中心Q，連接，則，
∴．
故選:B．
3．（23-24高二上·山東威海·階段練習）在四面體ABCD中，點M，N滿足，，若，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】直接利向量的線性運算求出結(jié)果．
【詳解】在四面體中，由于點，滿足，，
如圖所示：
故，
故．
4．（23-24高二上·北京豐臺·期中）如圖，在平行六面體中，設，，，則與向量相等的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空間向量的運算，用基向量表示即可.
【詳解】因為,
所以.
.
5．（23-24高二上·山東·階段練習）若構(gòu)成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)共面定理逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以，，共面，
所以不是空間的另一個基底，A錯誤．
因為，所以，，共面，
所以不是空間的另一個基底，B錯誤．
假設存在m，n，使得，
則，顯然無解，所以，，不共面，
所以是空間的另一個基底，C正確．
因為，所以，，共面，
所以不是空間的另一個基底，D錯誤．
6．（22-23高二下·甘肅天水·期中）已知空間向量，下列命題正確的是（ ）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．若非零且共面，則它們所在的直線共面
C．若不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得
D．若不共線，向量（且），則可以構(gòu)成空間的一個基底
【答案】D
【分析】根據(jù)共線向量、共面向量、空間向量的基本定理、基底等知識對選項進行分析，由此確定正確答案.
【詳解】A選項，若與共線，與共線，當為零向量時，
與不一定共線，所以A選項錯誤.
B選項，若非零且共面，則它們所在的直線不一定共面，
比如正方體上底面的兩條對角線，和下底面的一條對角線，
對應的向量共面，但直線不共面，所以B選項錯誤.
C選項，根據(jù)空間向量的基本定理可知，C選項正確.
D選項，若不共線，向量（且），
則共面，所以不能構(gòu)成基底，D選項錯誤.
7．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）當，且不共線時，與的關(guān)系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定
【答案】A
【分析】
利用平面向量的加減法的法則，結(jié)合向量共面的定義進行判斷.
【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可得，以，為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對角線對應的向量分別為，
所以與共面.
.
8．（22-23高二下·安徽池州·階段練習）已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，設存在唯一的實數(shù)對，使得，結(jié)合向量的數(shù)乘運算和相等向量的概念計算，即可求解.
【詳解】由題意，設存在唯一的實數(shù)對，使得，
即，
則，
則x=2，，，解得.
.
二、多選題
9．（23-24高二上·浙江·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．兩異面直線所成角的取值范圍是
B．若直線l與平面相交，則該直線l與平面所成角的取值范圍是
C．二面角的平面角的取值范圍是
D．若，，是空間向量的一組基底，則存在非零實數(shù)x，y，z，使得
【答案】AB
【分析】ABC選項，根據(jù)異面直線，線面角和二面角的概念進行判斷；D選項，根據(jù)空間基底的概念得到，，不共面，故結(jié)論不不成立.
【詳解】A選項，根據(jù)異面直線的定義可知，兩異面直線所成角的取值范圍是，A正確；
B選項，直線與平面的夾角范圍為，但直線l與平面相交，夾角不為0，
則該直線l與平面所成角的取值范圍是，B正確；
C選項，二面角的平面角可以是鈍角，C錯誤；
D選項，若，，是空間向量的一組基底，則，，不共面，
不存在非零實數(shù)x，y，z，使得，，D錯誤.
B
10．（22-23高二上·江西·期中）下列說法正確的是（ ）
A．若空間中的，，，滿足，則，，三點共線
B．空間中三個向量，，，若，則，，共面
C．對空間任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面
D．設是空間的一組基底，若，，則不能為空間的一組基底
【答案】ABC
【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷A，根據(jù)向量的共面定理可判斷B、C、D．
【詳解】對于A，根據(jù)向量的線性運算，若空間中的，，，滿足，則，即，則，，三點共線，故A正確；
對于B，因為，則共線，則根據(jù)共面向量的定義可得，，，共面，故B正確；
對于C，對空間任意一點和不共線的三點，，，若，又，則，，，四點共面，故C正確；
對于D，若，，共面，則，則共面，與是空間的一組基底矛盾，所以，，不共面，所以能為空間的一組基底，故D錯誤，
BC．
11．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）（多選）已知，，，，是空間五點，且任何三點不共線.若，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個基底，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．，，不能構(gòu)成空間的一個基底
B．，，不能構(gòu)成空間的一個基底
C．，，不能構(gòu)成空間的一個基底
D．，，能構(gòu)成空間的一個基底
【答案】ABC
【分析】由，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個基底，可得空間五點，，，，共面，從而可作判斷
【詳解】解：因為，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個基底，且，，，，是空間五點，且任何三點不共線
所以空間五點，，，，共面，
所以這五點，，，，中，任意兩個點組成的三個向量都不可能構(gòu)成空間的一個基底，所以ABC正確，D錯誤.
BC
【點睛】此題考查空間向量基本定理，屬于基礎題
三、填空題
12．（23-24高二上·天津西青·期末）如圖，在三棱柱中，D，E分別是線段，的中點，設，，.用，，表示 .
【答案】
【分析】根據(jù)幾何圖形，應用向量加法、數(shù)乘的幾何意義用，，表示出即可.
【詳解】.
故答案為：
13．（23-24高二上·山東威海·階段練習）已知是平行六面體．設是底面的中心，是側(cè)面的對角線上的點，且，設， ．

【答案】
【分析】由空間向量基本定理得到，從而求出，，，得到答案.
【詳解】∵，，
∴
，
又，
∴，，，故.
故答案為：
14．（23-24高二上·貴州·開學考試）是空間的一個基底，向量，是空間的另一個基底，向量，則 .
【答案】3
【分析】將轉(zhuǎn)化成以為基底的向量，與聯(lián)立，即可求出的值.
【詳解】 ，且
.
故答案為：3
四、解答題
15．（23-24高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，給定長方體，點在棱的延長線上，且．設，，，試用、、的線性組合表示下列向量：

(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據(jù)空間向量加減運算法則，將各向量表示成以為基底即可．
【詳解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
16．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在三棱錐中，，，，，，，分別是，的中點，點在上，且，記，，．

(1)試用基底表示向量，，；
(2)求和的值．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】
（1）根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律計算可得.
【詳解】（1）因為，分別是，的中點，
所以，
，
，
又，所以，
則.
（2）因為，，，，，
所以，
又，
所以
.
17．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長為4，且與的夾角都等于80°，是的中點，設，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的長.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)空間向量的加減運算以及數(shù)乘運算，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用，結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意得
;
（2）由已知，得，，
，,
，,
所以
,
所以的長為.
18．（23-24高二下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，三棱錐的棱長都相等，記，，，點在棱上， .
(1)若D是棱的三等分點（靠近點），用向量，，表示向量；
(2)若D是棱的中點，，求三棱錐的棱長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量的基本運算求解即可；
（2）根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，結(jié)合求解即可.
【詳解】（1） .
（2）因為三棱錐的棱長都為，所以三棱錐各面都是正三角形，
則，，， ，
所以 ，
又因為，所以
19．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）如圖所示，平行六面體中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）借助空間向量的線性運算與模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；
（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運算與夾角公式計算即可得.
【詳解】（1），
則
，
所以.
（2）由空間向量的運算法則，可得，
因為且，
所以
，
，
則.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)1.1.2 空間向量基本定理
課程標準 學習目標
1.類比平面向量基本定理，理解空間向量基本定理及其意義; 2.通過選取適當?shù)幕讓⒖臻g向量進行分解，從而使用“基底法”解決空間中的線線垂直線線平行及異面直線所成角的問題.從而展現(xiàn)出空間向量基本定理的重要作用; 1.理解空間向量基本定理的概念和原理 2.掌握空間向量基本定理的運用方法 3.培養(yǎng)學生運用空間向量基本定理解決實際問題的能力。
知識點01 空間向量的基本定理
空間向量基本定理 如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量 如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示，我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫作基向量.
【即學即練1】（2023高二上·全國·專題練習）已知是空間的一組基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練2】（23-24高二上·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（ ）
A． B． C． D．
難點：空間向量基本定理與外接球結(jié)合問題
示例1：（多選）（2024·全國·模擬預測）已知三棱錐中，點P在平面ABC內(nèi)的投影為D，四邊形ABCD為正方形，若，記，，，則下列說法正確的是（ ）
A．為一組單位正交基底
B．
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球表面積為
【題型1：空間向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習）若是空間的一個基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則k=（ ）
A． B．5 C． D．
變式1．（23-24高二上·貴州安順·期末） ，，是三個不共面的單位向量， 可為空間的一個基底，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
變式2．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·期末）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
變式3．（23-24高二上·江西·階段練習）已知空間的一組基，則可以與向量，構(gòu)成空間的另一組基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）若是空間的一個基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則（ ）
A． B．1 C．0 D．
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知向量能構(gòu)成空間的一組基底，則能與向量構(gòu)成空間另一組基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（多選）（23-24高二上·四川樂山·期末）下列說法正確的是（ ）
A．若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則，共線
B．空間的基底有且僅有一個
C．兩兩垂直的三個非零向量可以構(gòu)成空間的一個基底
D．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
【方法技巧與總結(jié)】
基底的判斷思路
（1）判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，則可以作為一個基底.
（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷.
【題型2：用基底表示向量】
例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為的中點，F(xiàn)為的中點，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二上·陜西榆林·期中）如圖所示的三棱錐A-BCD中，令，，，且M，G分別是BC，CD的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（ ）

A． B． C． D．
變式3．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，用，，表示，則 ．
變式4．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）在正三棱錐中，點O為三角形BCD的中心，，則 ．
變式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面體的所有棱長均為1， ，則= ．
變式6.（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在三棱錐中，點E、F分別是SA、BC的中點，點G在EF上，且滿足，若，，，則 ．

變式7．（23-24高二下·上海浦東新·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是，的中點，是的中點，若，則 .
【方法技巧與總結(jié)】
1.若p=xa+yb+zc，則xa+yb+zc叫做向量a，b，c的線性表達式或線性組合，或者說p可以由a，b，c線性表示.
2.對于基底{a，b，c}，除了應知道a，b，c不共面外，還應明確以下三點：
①基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示，選用不同的基底，同一向量的表達式也可能不同；
②由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是0；
③空間的一個基底是指一個向量組，是由三個不共面的空間向量構(gòu)成的，一個基向量是指基底中的某個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.
【題型3：空間向量基本定理及其應用】
例3．（23-24高二上·貴州畢節(jié)·期末）如圖1，在四面體中，點分別為線段的中點，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．1
變式1．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，在三棱臺中，，是的中點，是的中點，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
變式2．（23-24高二上·貴州安順·期末）如圖，空間四邊形OABC中，點M是OA的中點，點N在BC上，設，則（ ）

A． B． C． D．1
變式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四邊形，點E在線段DC上，滿足，，則（　　）
A．- B． C． D．
變式4．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，在四面體OABC中，點M、N分別為線段OA、BC的中點，若，則 ．
變式5．（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，點M是的中點，點是上的點，且，若，則 .
變式6．（23-24高二上·廣東揭陽·階段練習）是空間的一個基底，向量，是空間的另一個基底，向量，則 ．
變式7．（2019高三·浙江·專題練習）在平行六面體中，設，，，分別是的中點.
(1)用向量表示；
(2)若，求實數(shù)x，y，z的值.
一、單選題
1．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知向量，則向量在上的投影為（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．4
2．（21-22高二下·全國·期末）如圖，在正三棱柱中，點M為棱AB的中點，點N為上底面的中心，用空間的一組基表示，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·山東威海·階段練習）在四面體ABCD中，點M，N滿足，，若，則（ ）
A． B． C． D．1
4．（23-24高二上·北京豐臺·期中）如圖，在平行六面體中，設，，，則與向量相等的是（ ）

A． B． C． D．
5．（23-24高二上·山東·階段練習）若構(gòu)成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·甘肅天水·期中）已知空間向量，下列命題正確的是（ ）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．若非零且共面，則它們所在的直線共面
C．若不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得
D．若不共線，向量（且），則可以構(gòu)成空間的一個基底
7．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）當，且不共線時，與的關(guān)系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定
8．（22-23高二下·安徽池州·階段練習）已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高二上·浙江·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．兩異面直線所成角的取值范圍是
B．若直線l與平面相交，則該直線l與平面所成角的取值范圍是
C．二面角的平面角的取值范圍是
D．若，，是空間向量的一組基底，則存在非零實數(shù)x，y，z，使得
10．（22-23高二上·江西·期中）下列說法正確的是（ ）
A．若空間中的，，，滿足，則，，三點共線
B．空間中三個向量，，，若，則，，共面
C．對空間任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面
D．設是空間的一組基底，若，，則不能為空間的一組基底
11．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）（多選）已知，，，，是空間五點，且任何三點不共線.若，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個基底，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．，，不能構(gòu)成空間的一個基底
B．，，不能構(gòu)成空間的一個基底
C．，，不能構(gòu)成空間的一個基底
D．，，能構(gòu)成空間的一個基底
三、填空題
12．（23-24高二上·天津西青·期末）如圖，在三棱柱中，D，E分別是線段，的中點，設，，.用，，表示 .
13．（23-24高二上·山東威海·階段練習）已知是平行六面體．設是底面的中心，是側(cè)面的對角線上的點，且，設， ．

14．（23-24高二上·貴州·開學考試）是空間的一個基底，向量，是空間的另一個基底，向量，則 .
四、解答題
15．（23-24高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，給定長方體，點在棱的延長線上，且．設，，，試用、、的線性組合表示下列向量：

(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在三棱錐中，，，，，，，分別是，的中點，點在上，且，記，，．

(1)試用基底表示向量，，；
(2)求和的值．
17．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長為4，且與的夾角都等于80°，是的中點，設，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的長.
18．（23-24高二下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，三棱錐的棱長都相等，記，，，點在棱上， .
(1)若D是棱的三等分點（靠近點），用向量，，表示向量；
(2)若D是棱的中點，，求三棱錐的棱長.
19．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）如圖所示，平行六面體中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
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