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第一章：空間向量與立體幾何章末重點題型復習
題型一 空間向量的有關概念理解
1．（23-24高二上·貴州黔西·月考）（多選）下列說法，錯誤的為（ ）
A．若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同
B．若向量滿足，且與同向，則
C．若兩個非零向量與滿足，則為相反向量
D．的充要條件是與重合，與重合
2．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·月考）（多選）以下關于向量的說法正確的有（ ）
A．若空間向量，，滿足，則
B．若空間向量，，滿足，則
C．若空間向量，滿足，，則
D．若空間向量，滿足，，則
3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如圖所示，在三棱柱中，與是 向量，與是 向量(用“相等”“相反”填空).
4．（23-24高二上·山西臨汾·月考）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．
(1)試寫出與相等的所有向量．
(2)試寫出的相反向量．
題型二 空間向量的線性運算
1．（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·山西運城·月考）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點，則等于 （ ）

A． B． C． D．
4．（23-24高二上·天津·期中）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
題型三 空間向量的線性表示
1．（23-24高二上·四川德陽·期中）在長方體中，設為棱的中點，則向量可用向量表示為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且，為BC中點，則等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（ ）
A． B． C． D．
題型四 空間向量基本定理及應用
1．（23-24高二上·重慶·月考）在正方體中，可以作為空間向量的一組基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（23-24高二上·河北邢臺·月考）（多選）若構成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·山東臨沂·月考）若是空間的一個基底，且向量不能構成空間的一個基底，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江蘇鹽城·月考）（多選）給出下列命題，其中正確命題有（ ）
A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一組基底
B．已知向量，則與任何向量都不能構成空間的一組基底
C．A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一組基底，那么點A，B，M，N共面
D．已知向量是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底
題型五 空間向量的共線問題
1．（23-24高二上·江西·期末）在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則的值為（ ）
A． B． C．10 D．13
2．（23-24高二上·遼寧·月考）已知向量，，且，那么實數（ ）
A．3 B． C．9 D．
3．（23-24高二上·福建泉州·月考）設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（22-23高二上·安徽阜陽·月考）如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．
題型六 空間向量的共面問題
1．（23-24高二上·貴州遵義·月考）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（23-24高二上·遼寧沈陽·期中）已知，，三點不共線，對空間任意一點，若，則可以得到結論是四點（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．無法判斷是否共面 D．不共面
3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，則實數等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（23-24高二上·湖北·開學考試）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．非零向量，，，若與共面，與共面，與共面，則向量，，共面
B．向量，，共面，即它們所在的直線共面
C．設，，是三個空間向量，則
D．若與共面，與共面，則任意，與共面
題型七 空間向量的數量積問題
1．（23-24高二下·江蘇連云港·月考）有一長方形的紙片，的長度為，的長度為，現沿它的一條對角線把它折成直二面角，則折疊后（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）如圖，二面角等于，、是棱上兩點，、分別在半平面、內，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知向量，向量，
(1)求向量，，的坐標；
(2)求與所成角的余弦值.
4．（23-24高二上·廣東江門·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為．求：
(1)的長；
(2)與夾角的余弦值．
題型八 空間向量的對稱問題
1．（23-24高二上·廣東東莞·月考）點關于點的對稱點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在空間直角坐標系中，點關于z軸的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）在空間直角坐標系中，已知點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．點P關于坐標原點對稱點的坐標為
B．點P在x軸上的射影點的坐標為
C．點P關于Oyz平面對稱點的坐標為
D．點P在Oyz平面上的射影點的坐標為
題型九 利用空間向量證明平行垂直
1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）如圖所示，在棱長均相等的平行六面體中分別為線段的中點．
(1)設，請以向量表示；
(2)求證：平面平面．
2．（23-24高二上·山東·月考）如圖，在長方體中，，，分別的中點．

(1)求證：平面；
(2)判斷與平面是否垂直，并說明理由．
3．（23-24高二上·江蘇鎮江·開學考試）如圖，在正方體中，點E F分別為棱 的中點，點P為底面對角線AC與BD的交點，點Q是棱上一動點.
(1)證明：直線∥平面；
(2)證明：.
4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F分別是的中點，，.
求證：
(1)平面；
(2)平面⊥平面.
題型十 利用空間向量計算空間角
1．（23-24高二上·山東棗莊·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點H，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
3．（23-24高二下·江蘇鹽城·月考）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（ ）
A．點A到平面的距離為1
B．與平面所成角的正弦值為
C．異面直線與所成角的余弦值為
D．二面角的余弦值為
4．（23-24高二下·江蘇徐州·月考）已知，分別是正方體的棱和的中點，求：
(1)與所成角的大小；
(2)與平面所成角的正弦值；
(3)二面角的余弦值．
題型十一 利用空間向量計算空間距離
1．（23-24高二上·河北·月考）在空間直角坐標系中，已知，，，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·湖北·月考）如圖，在平行六面體中，，為的中點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·廣西玉林·月考）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點．
(1)證明：平面PAB；
(2)求直線CE與平面PAB間的距離．
題型十二 利用空間向量探究動點存在
1．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）如圖，，分別是直徑的半圓上的點，且滿足，為等邊三角形，且與半圓所成二面角的大小為，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)在弧上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點到平面的距離；若不存在，說明理由．
2．（23-24高二下·浙江·期中）如圖，在四棱錐中，側面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分別是線段，上的動點
(1)是否存在點，使得平面？若存在，試求；若不存在，請說明理由；
(2)若直線與直線所成角的余弦值為，試求二面角的平面角的余弦值.
3．（23-24高二上·湖北黃岡·月考）如圖，在長方體中，E，M分別是，的中點，，.
(1)若在線段上存在一點，使∥平面，試確定N的位置；
(2)在（1）的條件下，試確定直線與平面的交點F的位置，并求的長.
4．（23-24高二下·湖北武漢·月考）四棱錐中，，側面底面，且是棱上一動點．
(1)求證：上存在一點，使得與總垂直；
(2)當平面時，求的值；
(3)當時，求平面與平面所成角的大小．
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題型一 空間向量的有關概念理解
1．（23-24高二上·貴州黔西·月考）（多選）下列說法，錯誤的為（ ）
A．若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同
B．若向量滿足，且與同向，則
C．若兩個非零向量與滿足，則為相反向量
D．的充要條件是與重合，與重合
【答案】ABD
【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向線段是起點、方向、終點都確定的，
故相等向量的起點和終點不必相同，
對應表示它們的有向線段也不必起點相同，終點也相同，即A、D錯誤；
向量的模長可比大小，但向量不可以，故B錯誤；
由相反向量的定義可知C正確.BD.
2．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·月考）（多選）以下關于向量的說法正確的有（ ）
A．若空間向量，，滿足，則
B．若空間向量，，滿足，則
C．若空間向量，滿足，，則
D．若空間向量，滿足，，則
【答案】CD
【解析】A：若，顯然滿足，但是不滿足，因此本選項不正確；
B：兩個空間向量相等，它們的模顯然相等，因此本選項正確；
C：若，且三向量不共面時，不一定不成立，因此本選項不正確；
D：由相等向量的定義可知，如果，，一定有，因此本選項正確，D
3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如圖所示，在三棱柱中，與是 向量，與是 向量(用“相等”“相反”填空).
【答案】相等；相反
【解析】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，
則，即與是相等向量；
四邊形是平行四邊形，，即與是互為相反向量.
故答案為：相等；相反
4．（23-24高二上·山西臨汾·月考）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．
(1)試寫出與相等的所有向量．
(2)試寫出的相反向量．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由題意，與相等有；
（2）由題意，的相反向量有.
題型二 空間向量的線性運算
1．（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，
因為E為棱BC的中點，
所以,
2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延長交于，如圖，則是中點，，
，．
3．（23-24高二上·山西運城·月考）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點，則等于 （ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵M，G分別是BC，CD的中點，∴，．
∴．
4．（23-24高二上·天津·期中）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A，；
對于B，；
對于C，；
對于D，..
題型三 空間向量的線性表示
1．（23-24高二上·四川德陽·期中）在長方體中，設為棱的中點，則向量可用向量表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，
，故選:D.
2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且，為BC中點，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】連接，是的中點，，
，
.
3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
..
4．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為,
所以.
.
題型四 空間向量基本定理及應用
1．（23-24高二上·重慶·月考）在正方體中，可以作為空間向量的一組基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】因為向量，，不共面，
所以可以作為空間向量的一組基，而其它三組向量都共面，.
2．（23-24高二上·河北邢臺·月考）（多選）若構成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】不存在，使得，所以不共面，
是空間的另一個基底，A正確．
因為，所以共面，
不是空間的另一個基底，B錯誤．
不存在，使得，所以不共面，
是空間的另一個基底，C正確．
因為，所以共面，
不是空間的另一個基底，D錯誤．C.
3．（23-24高二上·山東臨沂·月考）若是空間的一個基底，且向量不能構成空間的一個基底，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為向量，，不能構成空間的一個基底，
所以、、共面，故存在實數、使得，
即，
因為是空間的一個基底，則，解得..
4．（23-24高三上·江蘇鹽城·月考）（多選）給出下列命題，其中正確命題有（ ）
A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一組基底
B．已知向量，則與任何向量都不能構成空間的一組基底
C．A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一組基底，那么點A，B，M，N共面
D．已知向量是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底
【答案】ABCD
【解析】選項A中，根據空間向量的基底的概念，
可得任意三個不共面的向量都可以構成空間的一組基，所以A正確；
選項B中，根據空間的基底的概念，可得B正確；
選項C中，由不能構成空間的一組基底，可得共面，
又由過相同點B，可得A，B，M，N四點共面，所以C正確；
選項D中，由是空間的一組基底，則基向量與向量一定不共面，
所以可以構成空間的另一組基底，所以D正確.BCD
題型五 空間向量的共線問題
1．（23-24高二上·江西·期末）在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則的值為（ ）
A． B． C．10 D．13
【答案】C
【解析】因為，且三點共線，
所以存在實數，使得，解得．.
2．（23-24高二上·遼寧·月考）已知向量，，且，那么實數（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】A
【解析】，則，即，解得，故.
3．（23-24高二上·福建泉州·月考）設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由，，得，
因為A，C，D三點共線，所以，
則存在唯一實數，使得，
則，解得..
4．（22-23高二上·安徽阜陽·月考）如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．
【答案】證明見解析
【解析】連接，，
∵
，
，
∴，∴，
又，∴，，三點共線．
題型六 空間向量的共面問題
1．（23-24高二上·貴州遵義·月考）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】對于因為，故三個向量共面；
對于 假設，，共面，
則，使得，
故有，方程組無解，故假設不不成立，
即，，不共面；
對于,，故三個向量共面；
對于，故三個向量共面，故選：
2．（23-24高二上·遼寧沈陽·期中）已知，，三點不共線，對空間任意一點，若，則可以得到結論是四點（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．無法判斷是否共面 D．不共面
【答案】A
【解析】,
則，
所以，則，故四點共面.
3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，則實數等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】因為三向量共面，設，
所以，即，解得，.
4．（23-24高二上·湖北·開學考試）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．非零向量，，，若與共面，與共面，與共面，則向量，，共面
B．向量，，共面，即它們所在的直線共面
C．設，，是三個空間向量，則
D．若與共面，與共面，則任意，與共面
【答案】DD
【解析】對于選項A：例如非零向量，，是三棱錐三條側棱所在的向量，
顯然滿足與共面，與共面，與共面，但向量，，不共面，故A錯誤；
對于選項B：因為向量可以平移，但直線不能平移，
可知：若向量，，共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯誤；
對于選項C：根據數量積的分配律可知：，故C正確；
對于選項D：對任意，可知與、共面，
若、與共面，所以與共面，故D正確；D.
題型七 空間向量的數量積問題
1．（23-24高二下·江蘇連云港·月考）有一長方形的紙片，的長度為，的長度為，現沿它的一條對角線把它折成直二面角，則折疊后（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，，所以，
所以，．
2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）如圖，二面角等于，、是棱上兩點，、分別在半平面、內，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，二面角等于，即，
所以，，
所以，
，
因此，..
3．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知向量，向量，
(1)求向量，，的坐標；
(2)求與所成角的余弦值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因為向量，所以，解得：，，
則，，
又因為，則，解得，所以
（2）由（1）知，
所以，，
則，，，
即與所成角的余弦值
4．（23-24高二上·廣東江門·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為．求：
(1)的長；
(2)與夾角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）設，，，由題意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的長為，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即與夾角的余弦值為．
題型八 空間向量的對稱問題
1．（23-24高二上·廣東東莞·月考）點關于點的對稱點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設點關于點的對稱點的坐標為，
則可得解得,
所以對稱點得坐標為..
2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在空間直角坐標系中，點關于z軸的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】點關于z軸對稱時，z不變，x與y變為相反數，
所以點關于z軸的對稱點的坐標為..
3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由空間直角坐標系中任一點關于平面的對稱點為，
可得點關于平面的對稱點的坐標為.故選： B．
4．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）在空間直角坐標系中，已知點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．點P關于坐標原點對稱點的坐標為
B．點P在x軸上的射影點的坐標為
C．點P關于Oyz平面對稱點的坐標為
D．點P在Oyz平面上的射影點的坐標為
【答案】D
【解析】點關于原點的對稱點為.故選項A正確；
點在x軸上的射影即為過點作x軸的垂線所得垂足，其坐標為.故選項B正確；
點關于Oyz平面的對稱點與點橫標互為相反數，
縱坐標與豎坐標保持不變.故選項C錯誤；
點在平面Oyz上的射影即為過點作平面Oyz的垂線所得垂足，
其坐標為.故選項D正確..
題型九 利用空間向量證明平行垂直
1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）如圖所示，在棱長均相等的平行六面體中分別為線段的中點．
(1)設，請以向量表示；
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）.
（2）∵
∴，
又∵，
∴，即，
∵底面菱形中，，且，平面.
所以平面．
又平面．
∴平面平面．
2．（23-24高二上·山東·月考）如圖，在長方體中，，，分別的中點．

(1)求證：平面；
(2)判斷與平面是否垂直，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；(2)不垂直，理由見解析.
【解析】（1）在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由，，分別的中點，得，
，顯然平面的一個法向量，
則，于是，有平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，則有，而，
于是向量與向量不垂直，即直線與不垂直，而平面，
所以與平面不垂直.
3．（23-24高二上·江蘇鎮江·開學考試）如圖，在正方體中，點E F分別為棱 的中點，點P為底面對角線AC與BD的交點，點Q是棱上一動點.
(1)證明：直線∥平面；
(2)證明：.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）如圖，以為坐標原點，分別為軸所在的直線，建立空間直角坐標系，
不妨設，則，
可得，可知，
則∥，且平面，平面，所以∥平面.
（2）設，則，可得，
由（1）可知：，
因為，所以.
4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F分別是的中點，，.
求證：
(1)平面；
(2)平面⊥平面.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，,，，，
∴，，，
，，，.
，，
即，又 平面，平面，
∴平面.
（2），
，
∴，即
又平面，平面，
∴平面.
∵平面，
∴平面⊥平面.
題型十 利用空間向量計算空間角
1．（23-24高二上·山東棗莊·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
設，則，
，
，
則異面直線與所成角的余弦值為..
2．（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點H，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
【答案】
【解析】因為點在底面的射影為中點H，則平面，
又因為四邊形為正方形，
以點H為坐標原點，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向
建立如下圖所示的空間直角坐標系，
因為平面，平面，則，
因為，，則，
則、、、，
所以，
易知平面的一個法向量為，
，
因此，直線與平面所成角的正弦值為．
故答案為：.
3．（23-24高二下·江蘇鹽城·月考）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（ ）
A．點A到平面的距離為1
B．與平面所成角的正弦值為
C．異面直線與所成角的余弦值為
D．二面角的余弦值為
【答案】AC
【解析】首先由題目條件知，，故
，
同時注意到，故，.
由于，而在平面內，所以，
而，和都在平面內且相交于，故垂直于平面，
從而點到平面的距離為，故A正確；
由于垂直于平面，平行于，故垂直于平面，
而和在平面內，所以，.
而和都在平面內，故與平面的夾角等于與的夾角，
又由于，而在平面內，
所以，從而有，故B錯誤；
由于平行于，故直線與所成角等于直線與所成角.
又因為，而在平面內，
所以，這就說明，故C正確；
已證兩兩垂直. 如圖，以為原點，分別以為軸正方向，建立空間直角坐標系：
則有，而，，，故.
從而，，，
設，分別為平面和的法向量，
則，，
令，解得，
故可取，.
注意到和分別是平面和向二面角內部朝向的法向量，
故鈍二面角的余弦值為
，故D錯誤.C.
4．（23-24高二下·江蘇徐州·月考）已知，分別是正方體的棱和的中點，求：
(1)與所成角的大小；
(2)與平面所成角的正弦值；
(3)二面角的余弦值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）不妨設正方體的棱長為2，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，，，，，
因為，，所以，，，
由，又因為，
故向量與夾角為，因此與所成角的大小為．
（2）由（1）知，，，
易知是平面的一個法向量，
設與平面所成角為，故，
故與平面所成角的正弦值為.
（3）設平面的一個法向量為，則，
即，取，則，，故.
易知平面，故平面的一個法向量為，
則，
又因為二面角為銳角，
故二面角的余弦值為.
題型十一 利用空間向量計算空間距離
1．（23-24高二上·河北·月考）在空間直角坐標系中，已知，，，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，
，
所以到直線的距離為．
2．（23-24高二上·湖北·月考）如圖，在平行六面體中，，為的中點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，
因為，
所以，
，，
因為，
所以，
因此，
所以點到直線的距離為，
3．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意易知直線面，
所以到面的距離即為直線到平面的距離.
建立如圖所示坐標系，則：
，，，，,
所以
設面的法向量，則：
，即
取，則，所以
所以到面的距離.
4．（23-24高二上·廣西玉林·月考）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點．
(1)證明：平面PAB；
(2)求直線CE與平面PAB間的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）記的中點為，連接，
因為，所以底面ABCD為直角梯形，
又底面ABCD的面積為，，
所以，得，所以，
所以且，所以為平行四邊形，故，
因為平面，平面，所以平面，
因為O，E分別為AD，PD的中點，所以，
又平面，平面，，所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面PAB.
（2）因為是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，
所以，，
由（1）可知，，所以
又因為平面平面ABCD，所以，故兩兩垂直，
以所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標系，
則，
則，
設為平面的法向量，
則，令得，
所以點C到平面的距離為，
由（1）知，平面PAB，所以直線CE與平面PAB間的距離即為.
題型十二 利用空間向量探究動點存在
1．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）如圖，，分別是直徑的半圓上的點，且滿足，為等邊三角形，且與半圓所成二面角的大小為，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)在弧上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點到平面的距離；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析；(2)存在，
【解析】（1）依題意，所以，
所以、是等邊三角形，
所以，所以四邊形是菱形，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于是的中點，是的中點，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）設的中點為，連接，則，
由于四邊形是菱形，所以，則，
由于平面平面且交線為，平面，
所以平面，又平面，則，
以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
因為，則，
則，
故，
設平面的法向量為，則，
取，則，故，
易知圓的方程為，設，
則，
設直線與平面所成角為，
則，
則，則，所以，，
故在弧上存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，
此時點到平面的距離為.
2．（23-24高二下·浙江·期中）如圖，在四棱錐中，側面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分別是線段，上的動點
(1)是否存在點，使得平面？若存在，試求；若不存在，請說明理由；
(2)若直線與直線所成角的余弦值為，試求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)存在，；(2)
【解析】（1）存在，，證明如下：
如題圖，取的中點為，
由于側面底面，且兩平面交線為平面，,
所以平面，平面，所以，
由于三角形是正三角形，且是的中點，所以,
平面，故平面，得證.
（2）以為坐標原點，以為正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則,
設則，故,
由于直線與直線所成角的余弦值為，
所以，而
所以，從而，,
平面的法向量為，
設平面的法向量為，則，取，則，
所以，
由于二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為
3．（23-24高二上·湖北黃岡·月考）如圖，在長方體中，E，M分別是，的中點，，.
(1)若在線段上存在一點，使∥平面，試確定N的位置；
(2)在（1）的條件下，試確定直線與平面的交點F的位置，并求的長.
【答案】(1)N為的中點；(2)F是棱上靠近點B的一個三等分點，
【解析】（1）如圖，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
所以，，.
設，
則，
，
由題意知是平面的一個法向量，所以，即，解得.
因為平面，所以當N為的中點時，∥平面.
（2）由已知，得點F在直線上，因為直線與z軸平行，可設，，
又點F在平面內，所以存在實數，，使得，
即，整理得，
所以，解得，
所以，故F是棱上靠近點B的一個三等分點，.
4．（23-24高二下·湖北武漢·月考）四棱錐中，，側面底面，且是棱上一動點．
(1)求證：上存在一點，使得與總垂直；
(2)當平面時，求的值；
(3)當時，求平面與平面所成角的大小．
【答案】(1)證明見解答；(2)；(3)
【解析】（1）取的中點，連接，因為為正三角形，所以，
又因為側面底面，且側面底面，，
所以側面，又側面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以上存在一點，使得與總垂直；
（2）連接交于點，連接，
因為當平面，平面，平面平面，
所以，所以，
在梯形中，，所以；
（3），所以，
所以，所以是的中點，
取的中點，連接，則，
又側面底面，側面底面，
所以底面，
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，
則
則，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
則平面的一個法向量為，
取平面的一個法向量，
所以，
所以平面與平面所成角的大小為．
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