資源簡介

1.1.1空間向量及其運算
課程標準 學習目標
1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念. 2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數乘向量運算的意義及遠算律， 3.掌握空間向量夾角概念及衣示方法 4.掌握兩個向量的數量積的概念、性質、計算方法及運算律;掌握兩個向量數量積的主要用途，能運用數量積求向量夾角和判斷的量的共線與垂直。 1.理解空間向量的觀點，掌握其表示方法: 2.會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律: 3.能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題.
知識點01 空間向量
1.定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．
2.模(或長度)：向量的大?。?br/>3.表示方法：
①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點為A終點為B的向量，記為，模為||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．
【即學即練1】（22-23高二上·安徽阜陽·階段練習）下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
【即學即練2】（21-22高二·全國·課后作業）下列命題中，正確的是（ ）.
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
知識點02幾類特殊的向量
1.零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0．
2.單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的兩個非零向量互相平行，此時表示這兩個非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規定零向量與任意向量平行．
【即學即練3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方體中，與向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練4】（23-24高二上·山西臨汾·階段練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．

(1)單位向量共有多少個？
(2)試寫出與相等的所有向量．
(3)試寫出的相反向量．
知識點03 空間向量的加法、減法與數乘
名稱 運算法則 特點 圖示
加法運算 三角形法則 首尾相接首尾連（通過平移）
平行四邊形法則 起點相同（共起點）（通過平移）
減法運算 平行四邊形法則 起點相同連終點，被減向量定指向。
數乘運算 實數的作用：正負定方向，數值定模比
【即學即練5】（23-24高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練6】（24-25高二上·全國·課后作業）在空間四邊形中，點分別是和的中點，則（ ）
A． B． C． D．
知識點04 空間向量的加法和數乘運算律
1.加法交換律：
2.加法結合律：
3.數乘運算律：①λ(μ)(λμ)；②(λ＋μ)λ＋μv；③λ(＋)λ＋λ；
【即學即練7】（21-22高二上·全國·課后作業）下列各式計算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【即學即練8】（23-24高二上·全國·階段練習）化簡下列算式：
(1)；
(2).
知識點05 向量共線及共線定理
1.共線向量或平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.
向量a與b平行，記作a//b.規定，零向量與任意向量共線.
2.共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實數λ，使b=λa.
【即學即練9】（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數）是平行向量，則的值為（ ）
A．16 B．-13 C．3 D．-3
【即學即練10】（22-23高二下·江蘇·課后作業）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為 .
知識點06 空間向量線性運算的理解
類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數乘運算．
　
圖1　　　　　　　　圖2
(1)如圖1，＋a＋b，－a－b．
(2)如圖2，＋＋．
即三個不共面向量的和，等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個向量有共同始點的對角線所表示的向量．
(3)給定一個實數λ與任意一個空間向量a，則實數λ與空間向量a相乘的運算稱為數乘向量，記作λa．其中：
①當λ≠0且a≠0時，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)當λ＞0時，與a的方向相同；
(ⅱ)當λ＜0時，與a的方向相反．
②當λ0或a0時，λa0．
【即學即練11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中點，，則（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練12】（23-24高二下·江蘇·課前預習）如圖所示，在平行六面體中，設，分別是的中點，試用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
知識點07 空間兩個向量的夾角
夾角
定義 a,b是空間兩個向量，過空間任意一點O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夾角。
圖示
表示 　〈a,b〉.
范圍 [0,π]
2.空間兩個向量的關系
（1）若〈a,b〉=0,則向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,則向量a,b方向 　相反;
（3）若〈a,b〉=,則向量a,b　互相垂直，記作a⊥b
【即學即練13】（22-23高二下·江蘇·課后作業）在正四面體ABCD中，與的夾角等于（ ）
A．30° B．80° C．170° D．120°
【即學即練14】（22-23高二下·江蘇·課后作業）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．
知識點08 空間兩個向量的數量積
空間向量的數量積的定義
定義 已知兩個非零向量a,b,則　|a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的數量積,記作 a·b .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
規定 零向量與任意向量的數量積為　0
2.空間向量數量積的運算律
交換律 a·b= b·a
結合律 (λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律 a·(b+c)= a·b+a·c
3.空間向量數量積的性質
①若a,b為非零向量,則a⊥b a·b=0 ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特別的，a·a=|a|2，或|a|=
③若為a,b的夾角，則
④|a·b|≤|a||b|
4.與數量積有關的2個易錯點
①兩個向量的數量積是數量，而不是向量，它可以是正數、負數或零.
②向量數量積的運算不滿足消去律和乘法的結合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不不成立.
【即學即練15】（22-23高二上·湖南懷化·期末）如圖，各棱長都為的四面體中 ， ，則向量（ ）
A． B． C． D．
【即學即練16】（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知正四面體的棱長為1，點是的中點，則的值為 ．
知識點09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定義：對于空間任意兩個非零向量a，b，設向量=a，=b，如圖，過點A作AA1⊥0B，垂足為A1.上述由向量a得到向量的變換稱為向量a向向量b投影，向量稱為向量a在向量b上的投影向量.
②幾何意義：向量a，b的數量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數量積，即a·b=b
2．向量在平面上的投影向量
①定義：設向量m=，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量.我們將上述由向量m得到向量的變換稱為向量m向平面α投影，向量稱為向量 m 在平面α上的投影向量.
②幾何意義：空間向量m，n的數量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數量積，即mn=n
【即學即練17】（2023高二·全國·專題練習）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為 .
【即學即練18】（2023高二·全國·專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

知識點1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面內的向量叫作共面向量.
2.共面向量定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序實數組（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由兩個不共線的向量a，b線性表示。
3.空間四點共面的條件
已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，則P，A，B，C四點共面.
注意：
共面向量不僅包括在同一個平面內的向量，還包括平行于同一平面的向量.
（2）空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面了.
【即學即練19】（22-23高二上·河北石家莊·階段練習）對于空間一點O和不共線三點A，B，C，且有，則（ ）
A．O，A，B，C四點共面 B．P，A，B，C四點共面
C．O，P，B，C四點共面 D．O，P，A，B，C五點共面
【即學即練20】（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
難點：空間向量的線性運算
示例1：（23-24高二上·湖北荊州·期末）如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點，，設用表示向量則
難點：向量共面問題
示例2：（22-23高二上·上海普陀·階段練習）如圖，在正方體中，、分別是棱、的中點，是棱上靠近的四等分點，過、、三點的平面交棱于，設，則 .
【題型1：空間向量的基本概念】
例1．（23-24高二上·貴州·開學考試）關于空間向量，下列四個結論正確的是（ ）
A．方向相反的兩個向量是相反向量
B．任意兩個空間向量總是共面的
C．零向量沒有方向
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
變式1．（多選）（23-24高二上·重慶·期中）下列命題中，是真命題的為（ ）
A．設，是兩個空間向量，則
B．若空間向量，滿足，則
C．若空間向量，，滿足，，則
D．在正方體中，必有
變式2．（多選）（23-24高二上·貴州黔西·階段練習）下列說法，錯誤的為（ ）
A．若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同
B．若向量滿足，且與同向，則
C．若兩個非零向量與滿足，則為相反向量
D．的充要條件是與重合，與重合
變式3．（23-24高二上·山西臨汾·階段練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．

(1)試寫出與相等的所有向量．
(2)試寫出的相反向量．
變式4．（23-24高二上·上海·課后作業）如圖，在正方體中，點為棱上任意一點．只考慮圖上已畫出線段所對應的向量，寫出：

(1)的相等向量，的相反向量；
(2)用另外兩個向量的和或差表示；
(3)用三個或三個以上向量的和表示．
【方法技巧與總結】
1.關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向.
2.注意點：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性.
②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.
③兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們為相反向量．
【題型2：空間向量的加減數乘運算】
例2．（23-24高二下·北京·階段練習）在四面體中，記，，，若點M、N分別為棱OA、BC的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二下·北京·開學考試）已知平行六面體，則下列四式中錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
變式2．（23-24高二上·河南·期中）如圖所示，在三棱錐中，分別是棱的中點，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二上·河北·階段練習）在四面體中，，，，，為的中點，若，則（ ）
A． B．3 C． D．2
變式4．（23-24高二上·湖北恩施·階段練習）如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，設向量，則（ ）

A． B． C． D．
變式5．（多選）（23-24高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（多選）（23-24高二上·山西長治·期末）在三棱錐中，，，，點在直線上，且，是的中點，則下列結論可能不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內的兩條有向線段表示。
因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關結論仍適用于它們.
【題型3：空間向量共線問題】
例3.（24-25高二上·上?！ふn后作業）設，是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A、B、D三點共線，則實數k的值為（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
變式1．（2023·貴州六盤水·模擬預測）已知，，不共面，若，，且三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式2．（20-21高二上·全國·課后作業）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n1，則（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．點P可能在直線AB上 D．以上都不對
變式3．（多選）（21-22高二上·廣東佛山·階段練習）（多選題）下列命題中不正確的是（ ）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．向量，， 共面，即它們所在的直線共面
C．若兩個非零空間向量，，滿足，則∥
D．若∥，則存在唯一的實數λ，使=λ
變式4．（多選）（23-24高二下·山西長治·階段練習）如圖，在正三棱柱中，為空間一動點，若，則（ ）

A．若，則點的軌跡為線段
B．若，則點的軌跡為線段
C．存在，使得
D．存在，使得 平面
變式5．（21-22高二上·廣東深圳·階段練習）如圖，在正方體中，E在上，且，F在對角線A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求證：E，F，B三點共線.
變式6．（21-22高二·湖南·課后作業）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．
【方法技巧與總結】
向量共線的判定及應用
（1）判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實數λ，使a=λb不成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.
（2）判斷或證明空間中的三點（如P，A，B）共線的方法：是否存在實數λ，使.
【題型4：向量的數量積】
例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱長為2的正方體中，（ ）
A． B． C．2 D．4
變式1．（19-20高二上·廣東廣州·期末）在空間四邊形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不確定
變式2．（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知空間向量的夾角為，則 ．
變式3．（2023高二·全國·專題練習）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則 ．
變式4．（21-22高二上·陜西西安·期末）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，則的值為 .
變式5．（22-23高二上·全國·期中）在正方體中，，則 ．
變式6．（23-24高二上·廣東廣州·期中）如圖,給定長方體,,,點在棱的延長線上,且.設,,.

(1)試用表示向量;
(2)求.
變式7．（22-23高二上·河南洛陽·階段練習）如圖所示，在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
【方法技巧與總結】
1.兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosθ的符號所決定.
2.兩個向量的數量積寫成；今后要學到兩個向量的外積x，而ab是兩個數的積，書寫時要嚴區分.
3.在數量積中，若 ，且，不能推出（），因為其中cosθ有可能為0
4.在實數中，有，但是（）=（
【題型5：利用空間向量求夾角】
例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知是兩個空間向量，若，，則 .
變式1．（23-24高二上·河北張家口·期末）已知平行六面體的所有棱長都相等，且，則直線與直線所成角的余弦值為 .
變式2．（2023高二·全國·專題練習）如圖，在正四面體中，，分別為，的中點，則與的夾角的余弦值為 ．

變式3．（23-24高二上·全國·課后作業）已知是異面直線，，，且，則與所成的角為 ．
變式4．（23-24高二上·四川綿陽·期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長為2，且. 求：
(1)的長；
(2)直線與所成角的余弦值.
變式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空間四邊形中，，求的值.
變式6．（22-23高二·全國·課堂例題）如圖，長方體的棱長，，．

(1)求；
(2)求與所夾角的余弦值．
變式7．（2023高二·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．
(1)求；
(2)求與的夾角的余弦值
(3)判斷與是否垂直．
【方法技巧與總結】
1.兩異面直線所成角的范圍是（0，]，兩個向量的夾角范圍是[0，π]，利用向量數量積求異面直線所成的角時，要注意角度的轉化；
2.利用數量積求直線夾角或余弦值的方法
①取向量:根據題設條件在所求的異面直線上取兩個向量
②角轉化:異面直線所成角的問題轉化為向量夾角問題
③求余弦值:利用數量積求余弦值或角的大小
④定結果:異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應將余弦值加上絕對值，繼而求角的大小
【題型6：利用空間向量求長度】
例6．（23-24高二上·河南·階段練習）如圖，在三棱錐中，，，，，為的中點，為的中點，為的重心，與相交于點，則的長為（ ）
A． B．1 C． D．
變式1．（多選）（23-24高二上·湖南長沙·期中）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點A，O和點C，B，使，.已知，，，則線段OC的長為（ ）

A．6 B．8 C． D．
變式2．（23-24高二上·湖南長沙·期末）如圖所示，已知平面，則 ．

變式3．（2024高二·全國·專題練習）已知向量兩兩夾角為，且，則 ．
變式4．（23-24高二上·山東濟寧·期中）在四棱柱中，若底面是邊長為1的正方形，，，則四棱柱對角線的長為 ．
變式5．（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則 .
變式6．（23-24高二上·福建泉州·階段練習）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且,設，，．

(1)試用 表示向量；
(2)若，，，求線段的長．
【方法技巧與總結】
利用向量的數量積求兩點間的距離，可以轉化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式||=求解即可．特別注意準確求解已知兩向量之間的夾角大小.
【題型7：投影向量】
例7．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．
變式1．（23-24高二上·廣東深圳·期中）在直三棱柱中，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空間向量滿足，則在方向上投影的最大值是（　?。?br/>A． B． C． D．
變式3．（多選）（2023·湖北十堰·二模）《九章算術》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量為
D．向量在向量上的投影向量為
變式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空間向量，若，則的值為 ．
變式5．（2023高二·全國·專題練習）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為 .
變式6．（21-22高二上·北京·階段練習）已知，向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上投影為 ．
變式7．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來表示）.

變式8．（20-21高二·江蘇·課后作業）如圖，在三棱錐中，平面，，，．
(1)確定在平面上的投影向量，并求；
(2)確定在上的投影向量，并求．
【方法技巧與總結】
類比平面向量投影的概念，借助圖形，敘述作出向量 在軸l上投影（空間稱為射影）的過程.
已知圖形向量，l為軸，向量是l上與軸l同方向的單位向量，作點A在l上的射影A’,作點B在l上的射影B’，則稱為向量在軸l上或在的方向上的正射影；可以證明A’B’=||cos<,>。
注意：軸l上的正射影對應的數值A’B’是一個可正可負可零的實數，它的符號代表向量
與l的方向的對應關系，大小代表在l上射影的長度.
【題型8：共面問題】
例8．（23-24高二上·廣東江門·期中）若是空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）設平面內不共線的三點A，B，C以及平面外一點P，若平面內存在一點D滿足 ，則x的值為（ ）
A．0 B． C． D．
變式2．（23-24高二上·四川宜賓·期中）在四面體中，空間的一個點滿足，若四點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
變式3．（22-23高二上·江西·階段練習）已知點為所在平面內一點，為平面外一點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體中，對空間內任意一點，滿足，則下列條件中可以確定點與，，共面的為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（23-24高二上·河南信陽·期中）已知，，不共面，，則（ ）
A．，，A，B，C，M四點共面 B．，，A，B，C，M四點不共面
C．，，A，B，C，P四點共面 D．，，A，B，C，四點共面
變式7．（22-23高二上·湖南郴州·階段練習）為空間任意一點，若，若、、、四點共面，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
利用向量法證明向量共面的策略
（1）若已知點P在平面ABC內，則有=x＋y或=x＋yz（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數．
（2）證明三個向量共面（或四點共面），需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示.
【題型9：最值取值范圍問題】
例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體的棱長為2，球是正方體的內切球，點是內切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點，H是內的動點（含邊界），且平面，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（21-22高二·全國·課后作業）如圖所示，在棱長為1的正方形中，點P是的中點，點M，N是矩形內（包括邊界）的任意兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（多選）（23-24高三下·全國·強基計劃）正四面體中，棱長為．點滿足，則的（ ）
A．最小值為．
B．最大值為
C．最小值為
D．最大值為
變式4．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）已知球的半徑為是球的直徑，點在球的球面上.若空間中一點與點間的距離為，則的最小值為 .
變式5．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知是正方體內切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的最大值是 ，最小值是 .
變式6.（23-24高二上·上?！て谥校┮阎臻g三個向量,,的模均為1，它們相互之間的夾角均為80°．若，則k的取值范圍為 ．
變式7．（22-23高二·浙江溫州·階段練習）正四面體的棱長為，空間動點滿足，則的取值范圍是 .
一、單選題
1．（23-24高二上·河北·期中）如圖，在正三棱臺中，，為中點，為中點，設，，，則可用，，表示為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·北京西城·期中）如圖，E，F分別是長方體的棱AB，CD的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二上·甘肅隴南·期末）已知，（，，為兩兩互相垂直的單位向量），若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·全國·專題練習）如圖，在三棱錐中，設，若，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知，是相互垂直的單位向量，則（　?。?br/>A．1 B．2
C．3 D．4
6．（21-22高二上·遼寧沈陽·階段練習）已知四面體，是的中點，連接，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·甘肅·期末）在所有棱長均為2的平行六面體中，，則的長為（ ）
A． B． C． D．6
8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方體的棱長為1，則（ ）
A．1 B．0 C． D．2
二、多選題
9．（23-24高一下·吉林·期末）已知構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知，，是平面上的三個非零向量，那么下列說法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．在正方體中，
11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如圖，正方體的邊長為為的中點，動點在正方形內（包含邊界）運動，且.下列結論正確的是（ ）
A．動點的軌跡長度為；
B．異面直線與所成角的正切值為2；
C．的最大值為2；
D．三棱錐的外接球表面積為.
三、填空題
12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夾角的余弦值為，則
13．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）在四面體 中，分別為的中點，則
14．（23-24高一下·河北邢臺·期末）如圖所示，在四棱柱中，側面都是矩形，底面四邊形是菱形，且，，若異面直線和所成的角的大小是，則的長度是 .
四、解答題
15．（23-24高二上·新疆·階段練習）如圖，在平行六面體中，，，，，，求：
(1)；
(2)的長.
16．（23-24高二上·河南開封·期末）如圖，在空間四邊形ABCD中，，，，，.
(1)求；
(2)求CD的長.
17．（2024高二·全國·專題練習）如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足.
(1)用向量表示；
(2)求.
18．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．
(1)求的長．
(2)求異面直線與所成的角的余弦值．
19．（23-24高二上·重慶·期末）如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點．

(1)求；
(2)求的長．
20．（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在長方形中，為中點，.以為折痕將四邊形折起，使，分別達到，，當異面直線，成角為時，異面直線，成角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
21．(多選) （23-24高二下·江蘇常州·階段練習）在正方體中，下列命題是真命題的是（ ）
A．
B．
C．
D．正方體的體積為
22.（多選）（23-24高二上·山東濟寧·期末）如圖，二面角的大小為，其棱l上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l．若則兩點間的距離為 ．

23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側棱，且，為中點，為中點，設，，.

(1)用向量，，表示向量；
(2)求線段的長度．
24．（20-21高二上·山東濰坊·期中）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設，，.
(1)試用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.1.1空間向量及其運算
課程標準 學習目標
1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念. 2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數乘向量運算的意義及遠算律， 3.掌握空間向量夾角概念及衣示方法 4.掌握兩個向量的數量積的概念、性質、計算方法及運算律;掌握兩個向量數量積的主要用途，能運用數量積求向量夾角和判斷的量的共線與垂直。 1.理解空間向量的觀點，掌握其表示方法: 2.會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律: 3.能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題.
知識點01 空間向量
1.定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．
2.模(或長度)：向量的大?。?br/>3.表示方法：
①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點為A終點為B的向量，記為，模為||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．
【即學即練1】（22-23高二上·安徽阜陽·階段練習）下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質可判斷BD.
【詳解】對于A，零向量的相反向量是它本身，A錯誤；
對于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；
對于C，如果，則，C正確；
對于D，兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，D正確.
.
【即學即練2】（21-22高二·全國·課后作業）下列命題中，正確的是（ ）.
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】根據向量模長的定義以及向量的定義即可逐一判斷.
【詳解】對于A;比如,不相等，但，故A錯誤；
對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；
對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；
對于D；若，，但不相等，故D錯誤；
知識點02幾類特殊的向量
1.零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0．
2.單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的兩個非零向量互相平行，此時表示這兩個非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規定零向量與任意向量平行．
【即學即練3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方體中，與向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正方體的特征及相反向量的概念判定即可.
【詳解】

如圖所示，可知是的相反向量.
【即學即練4】（23-24高二上·山西臨汾·階段練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．

(1)單位向量共有多少個？
(2)試寫出與相等的所有向量．
(3)試寫出的相反向量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據單位向量的定義寫出即可；
（2）根據相等向量的定義寫出即可；
（3）根據相反向量的定義寫出即可.
【詳解】（1）由題意，單位向量有共個；
（2）由題意，與相等有；
（3）由題意，的相反向量有.
知識點03 空間向量的加法、減法與數乘
名稱 運算法則 特點 圖示
加法運算 三角形法則 首尾相接首尾連（通過平移）
平行四邊形法則 起點相同（共起點）（通過平移）
減法運算 平行四邊形法則 起點相同連終點，被減向量定指向。
數乘運算 實數的作用：正負定方向，數值定模比
【即學即練5】（23-24高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用空間向量運算計算即得.
【詳解】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點，則，
所以.
【即學即練6】（24-25高二上·全國·課后作業）在空間四邊形中，點分別是和的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知可得，代入即可得出答案.
【詳解】
因為點G是CD的中點，
所以，
所以.
故選:C.
知識點04 空間向量的加法和數乘運算律
1.加法交換律：
2.加法結合律：
3.數乘運算律：①λ(μ)(λμ)；②(λ＋μ)λ＋μv；③λ(＋)λ＋λ；
【即學即練7】（21-22高二上·全國·課后作業）下列各式計算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算求解即可判斷各選項．
【詳解】對于A，，故A不正確；
對于B，，故B不正確；
對于C，，故C不正確；
對于D，，故D正確．
．
【即學即練8】（23-24高二上·全國·階段練習）化簡下列算式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據向量數乘運算即可求得答案；
（2）根據向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】（1）.
（2）.
知識點05 向量共線及共線定理
1.共線向量或平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.
向量a與b平行，記作a//b.規定，零向量與任意向量共線.
2.共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實數λ，使b=λa.
【即學即練9】（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數）是平行向量，則的值為（ ）
A．16 B．-13 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】根據，結合，列出方程組，求解即可.
【詳解】因為是不共面的空間向量且，
故，則，
解得，所以.
.
【即學即練10】（22-23高二下·江蘇·課后作業）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為 .
【答案】－/
【分析】根據空間共線向量可得，建立方程組，解之即可求解.
【詳解】由題意知，存在實數λ使得，
即，解得.
故答案為：
知識點06 空間向量線性運算的理解
類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數乘運算．
　
圖1　　　　　　　　圖2
(1)如圖1，＋a＋b，－a－b．
(2)如圖2，＋＋．
即三個不共面向量的和，等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個向量有共同始點的對角線所表示的向量．
(3)給定一個實數λ與任意一個空間向量a，則實數λ與空間向量a相乘的運算稱為數乘向量，記作λa．其中：
①當λ≠0且a≠0時，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)當λ＞0時，與a的方向相同；
(ⅱ)當λ＜0時，與a的方向相反．
②當λ0或a0時，λa0．
【即學即練11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中點，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依題意可得，再根據空間向量線性運算法則計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以
.
【即學即練12】（23-24高二下·江蘇·課前預習）如圖所示，在平行六面體中，設，分別是的中點，試用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
根據空間向量的線性運算，結合圖形依次求解即可.
【詳解】（1）
∵是的中點，
∴；
（2）
∵是的中點，
∴；
（3）
∵是的中點，
∴.
知識點07 空間兩個向量的夾角
夾角
定義 a,b是空間兩個向量，過空間任意一點O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夾角。
圖示
表示 　〈a,b〉.
范圍 [0,π]
2.空間兩個向量的關系
（1）若〈a,b〉=0,則向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,則向量a,b方向 　相反;
（3）若〈a,b〉=,則向量a,b　互相垂直，記作a⊥b
【即學即練13】（22-23高二下·江蘇·課后作業）在正四面體ABCD中，與的夾角等于（ ）
A．30° B．80° C．170° D．120°
【答案】A
【分析】
根據正三角內角為求解.
【詳解】
由正四面體每個面都是正三角形可知，
【即學即練14】（22-23高二下·江蘇·課后作業）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．
【答案】45°；135°；80°；120°；90°
【分析】
由圖形特征求向量夾角.
【詳解】
連接BD，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC45°，ACAD′CD′，
所以，
，
，
，
.
知識點08 空間兩個向量的數量積
空間向量的數量積的定義
定義 已知兩個非零向量a,b,則　|a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的數量積,記作 a·b .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
規定 零向量與任意向量的數量積為　0
2.空間向量數量積的運算律
交換律 a·b= b·a
結合律 (λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律 a·(b+c)= a·b+a·c
3.空間向量數量積的性質
①若a,b為非零向量,則a⊥b a·b=0 ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特別的，a·a=|a|2，或|a|=
③若為a,b的夾角，則
④|a·b|≤|a||b|
4.與數量積有關的2個易錯點
①兩個向量的數量積是數量，而不是向量，它可以是正數、負數或零.
②向量數量積的運算不滿足消去律和乘法的結合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不不成立.
【即學即練15】（22-23高二上·湖南懷化·期末）如圖，各棱長都為的四面體中 ， ，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的運算可得，，由向量數量積的定義即可得到答案.
【詳解】由題得夾角，夾角，夾角均為，
，
，
，
.
【即學即練16】（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知正四面體的棱長為1，點是的中點，則的值為 ．
【答案】/
【分析】根據空間向量線性運算，得，，再計算.
【詳解】
正四面體的棱長為1，
，
又點是的中點，，
又，
.
故答案為：.
知識點09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定義：對于空間任意兩個非零向量a，b，設向量=a，=b，如圖，過點A作AA1⊥0B，垂足為A1.上述由向量a得到向量的變換稱為向量a向向量b投影，向量稱為向量a在向量b上的投影向量.
②幾何意義：向量a，b的數量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數量積，即a·b=b
2．向量在平面上的投影向量
①定義：設向量m=，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量.我們將上述由向量m得到向量的變換稱為向量m向平面α投影，向量稱為向量 m 在平面α上的投影向量.
②幾何意義：空間向量m，n的數量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數量積，即mn=n
【即學即練17】（2023高二·全國·專題練習）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為 .
【答案】
【分析】根據線面、線線位置關系，結合投影向量的定義確定在向量上的投影向量.
【詳解】四棱錐，底面是矩形，則，即，
且，由底面，底面，則，
由，面，則面，
又面，則，故向量在向量上的投影向量為，
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為：
【即學即練18】（2023高二·全國·專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

【答案】 ； .
【分析】空（1），法一：應用向量投影的定義求投影向量；法二：根據投影向量的幾何求法，結合正方體性質確定投影向量；空（2），連接AC，交BD于點O，應用線面垂直的判定證平面，再由投影向量的幾何法確定投影向量.
【詳解】空（1）法一：在正方體中，易知，，
向量與向量夾角為45°，，，
所以向量在向量上的投影向量是．
法二：設，如圖，由正方體的性質得，，，
向量在向量上的投影向量是．
空（2）如圖，連接AC，交BD于點O，易知，線面垂直性質有，
由，平面，則平面，
所以在平面上的投影向量就是，易知．

故答案為：；
知識點1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面內的向量叫作共面向量.
2.共面向量定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序實數組（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由兩個不共線的向量a，b線性表示。
3.空間四點共面的條件
已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，則P，A，B，C四點共面.
注意：
共面向量不僅包括在同一個平面內的向量，還包括平行于同一平面的向量.
（2）空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面了.
【即學即練19】（22-23高二上·河北石家莊·階段練習）對于空間一點O和不共線三點A，B，C，且有，則（ ）
A．O，A，B，C四點共面 B．P，A，B，C四點共面
C．O，P，B，C四點共面 D．O，P，A，B，C五點共面
【答案】C
【分析】利用向量加減法，根據空間向量的加減法，可得三個向量共面，可得答案.
【詳解】由，得，
即，故共面.
又因為三個向量有同一公共點，所以共面.
.
【即學即練20】（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根據各項中向量之間的線性關系，應用數形結合法判斷M與A，B，C是否存在不共面的情況即可.
【詳解】
A：，如下圖，，

由的關系不定，則不一定在面上，滿足；
B：，如下圖，此時滿足上式，

此時，M與A，B，C不共面，滿足；
C：因為，所以，所以M，A，B，C共面，不滿足.
D：，如下圖，

此時，M與A，B，C不共面，滿足；
BD
難點：空間向量的線性運算
示例1：（23-24高二上·湖北荊州·期末）如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點，，設用表示向量則
【答案】
【分析】根據空間向量的線性運算求解即可.
【詳解】，
故答案為：.
難點：向量共面問題
示例2：（22-23高二上·上海普陀·階段練習）如圖，在正方體中，、分別是棱、的中點，是棱上靠近的四等分點，過、、三點的平面交棱于，設，則 .
【答案】/
【分析】設，，，用基底表示向量、、，設，可出關于、、的方程組，即可得解.
【詳解】設，，，則，
，
，
由題意可知，、、共面，設，
即，
所以，，解得.
故答案為：.
【題型1：空間向量的基本概念】
例1．（23-24高二上·貴州·開學考試）關于空間向量，下列四個結論正確的是（ ）
A．方向相反的兩個向量是相反向量
B．任意兩個空間向量總是共面的
C．零向量沒有方向
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【答案】C
【分析】根據空間向量的相關定義即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A，方向相反長度相等的向量是相反向量，故A錯誤，
對于B，空間中，任意兩個向量是共面的，故B正確，
對于C，零向量的方向是任意的，故C錯誤，
對于D，兩個不相等的向量模長可以相等，此時方向不相同，即為不相等的向量.故D錯誤，
變式1．（多選）（23-24高二上·重慶·期中）下列命題中，是真命題的為（ ）
A．設，是兩個空間向量，則
B．若空間向量，滿足，則
C．若空間向量，，滿足，，則
D．在正方體中，必有
【答案】ACD
【分析】根據空間向量的相關概念和運算逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：根據數量積的定義可知：，故A為真命題；
對于選項B：根據向量的定義可知，，但向量的方向無法確定，
所以不一定不成立，故B為假命題；
對于選項C：根據向量相等的定義可知：若，，則，故C真命題；
對于選項D：在正方體中，，且方向相同，
所以，故D為真命題.
CD.
變式2．（多選）（23-24高二上·貴州黔西·階段練習）下列說法，錯誤的為（ ）
A．若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同
B．若向量滿足，且與同向，則
C．若兩個非零向量與滿足，則為相反向量
D．的充要條件是與重合，與重合
【答案】ABD
【分析】利用向量與有向線段的區別可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定義可判定C.
【詳解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向線段是起點、方向、終點都確定的，
故相等向量的起點和終點不必相同，
對應表示它們的有向線段也不必起點相同，終點也相同，即A、D錯誤；
向量的模長可比大小，但向量不可以，故B錯誤；
由相反向量的定義可知C正確.
BD.
變式3．（23-24高二上·山西臨汾·階段練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．

(1)試寫出與相等的所有向量．
(2)試寫出的相反向量．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據相等向量的定義寫出即可；
（2）根據相反向量的定義寫出即可.
【詳解】（1）由題意，與相等有；
（2）由題意，的相反向量有.
變式4．（23-24高二上·上?！ふn后作業）如圖，在正方體中，點為棱上任意一點．只考慮圖上已畫出線段所對應的向量，寫出：

(1)的相等向量，的相反向量；
(2)用另外兩個向量的和或差表示；
(3)用三個或三個以上向量的和表示．
【答案】(1)、、；，
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）根據相等向量以及相反向量的概念即可得答案.
（2）根據向量的加減運算即可得答案.
（3）利用向量首尾依次相接的規則，即可求得答案.
【詳解】（1）根據正方體棱與棱之間的關系，的相等向量有、、，
的相反向量有：、．
（2）用“首尾規則”求解，如果只在含的三角形中考慮，有，
，，．（答案不唯一）
（3）用“首尾規則”求解，則，．
（答案不唯一）
【方法技巧與總結】
1.關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向.
2.注意點：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性.
②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.
③兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們為相反向量．
【題型2：空間向量的加減數乘運算】
例2．（23-24高二下·北京·階段練習）在四面體中，記，，，若點M、N分別為棱OA、BC的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據空間向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】由題意得：，
.
變式1．（23-24高二下·北京·開學考試）已知平行六面體，則下列四式中錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根據平行六面體的性質及空間向量線性運算法則計算可得.
【詳解】對于A：，故A正確；
對于B：因為，所以，故B正確；
對于C：，故C正確；
對于D：因為，所以，
故D錯誤.
變式2．（23-24高二上·河南·期中）如圖所示，在三棱錐中，分別是棱的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡式子，即可得出結論.
【詳解】由題意，
在三棱錐中，分別是棱的中點，
,
∴
.
變式3．（23-24高二上·河北·階段練習）在四面體中，，，，，為的中點，若，則（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】根據空間向量的線性運算即可得解.
【詳解】如圖，
因為，為的中點，所以，
又因為，
所以，
又，所以，解得：．
.
變式4．（23-24高二上·湖北恩施·階段練習）如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，設向量，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】寫出的表達式即可求出的值.
【詳解】由題意，
在四面體中，
是四面體 的棱的中點,
∴,
∴
∵，
∴，
∴，
.
變式5．（多選）（23-24高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據給定條件，利用空間向量的線性運算逐項計算判斷得解.
【詳解】在四棱錐中，為的中點，四邊形是平行四邊形，
，A正確，B錯誤；
，D正確，C錯誤.
D
變式6．（多選）（23-24高二上·山西長治·期末）在三棱錐中，，，，點在直線上，且，是的中點，則下列結論可能不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】根據題意，結合點的位置，利用空間向量的線性運算，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，因為是的中點，可得，所以A不正確；
對于B，當點在線段上時，因為，此時，
則，所以B正確；
對于C，當點在線段的延長線上時，因為，此時為的中點，
可得，所以C正確；
對于D，當點在線段上時，可得；
當點在線段的延長線上時，，
當點在線段的延長線上時，不可能不成立，所以D不正確.
綜上可得，可能正確的結論為BC.
C.
【方法技巧與總結】
空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內的兩條有向線段表示。
因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關結論仍適用于它們.
【題型3：空間向量共線問題】
例3.（24-25高二上·上?！ふn后作業）設，是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A、B、D三點共線，則實數k的值為（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【答案】A
【分析】利用空間向量共線定理求解即可.
【詳解】因為A、B、D三點共線，所以使得
又，，，
所以
則
則 解得：
.
變式1．（2023·貴州六盤水·模擬預測）已知，，不共面，若，，且三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據向量共線設，從而得到方程組，求出，得到答案.
【詳解】因為三點共線，所以，
即，故，解得，
所以.
變式2．（20-21高二上·全國·課后作業）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n1，則（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．點P可能在直線AB上 D．以上都不對
【答案】A
【分析】由已知化簡可得，即可判斷.
【詳解】因為m＋n1，所以m1－n，
所以，即，
即，所以與共線．
又，有公共起點A，
所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.
.
變式3．（多選）（21-22高二上·廣東佛山·階段練習）（多選題）下列命題中不正確的是（ ）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．向量，， 共面，即它們所在的直線共面
C．若兩個非零空間向量，，滿足，則∥
D．若∥，則存在唯一的實數λ，使=λ
【答案】ABD
【分析】舉反例判斷AD，根據共面向量的定義判斷B，根據向量共線定理判斷C
【詳解】對于A，若，則與共線，與共線，但與不一定共線，所以A錯誤，
對于B，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，所以B錯誤，
對于C，因為，所以，所以與共線，所以∥，所以C正確，
對于D，若，，則不存在，使=λ，所以D錯誤，
BD
變式4．（多選）（23-24高二下·山西長治·階段練習）如圖，在正三棱柱中，為空間一動點，若，則（ ）

A．若，則點的軌跡為線段
B．若，則點的軌跡為線段
C．存在，使得
D．存在，使得 平面
【答案】ABC
【分析】利用向量的線性運算逐一計算判斷即可.
【詳解】對于A：由，得點在側面內（含邊界），
若，則，故點的軌跡為線段，故A正確；
對于B：若，則，所以，即，
又，故點的軌跡為線段，故B正確；
對于C：分別取棱的中點，連接，由題意易證平面，
當點在線段上時，，故存在，使得，故C正確；
對于D：若使 平面，則點必在棱上，此時，故不存在，
使得 平面，故D錯誤.
BC.

變式5．（21-22高二上·廣東深圳·階段練習）如圖，在正方體中，E在上，且，F在對角線A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求證：E，F，B三點共線.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得 ，由此可得證.
【詳解】解：（1）因為， ，
所以，
所以；
（2）
，
又與相交于B，所以E，F，B三點共線.
變式6．（21-22高二·湖南·課后作業）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．
【答案】證明見解析
【分析】將三點共線問題轉化為求證向量共線問題求證即可.
【詳解】因為，，，
所以，
，
所以，
所以，又為公共點，
所以B，C，D三點共線．
【方法技巧與總結】
向量共線的判定及應用
（1）判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實數λ，使a=λb不成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.
（2）判斷或證明空間中的三點（如P，A，B）共線的方法：是否存在實數λ，使.
【題型4：向量的數量積】
例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱長為2的正方體中，（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根據向量數量積定義計算即可.
【詳解】
在棱長為2的正方體中,
易知，
因為，與的夾角為，
所以與的夾角為，
.
變式1．（19-20高二上·廣東廣州·期末）在空間四邊形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不確定
【答案】C
【分析】令，利用空間向量的數量積運算律求解.
【詳解】令，
則，
，
.
變式2．（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知空間向量的夾角為，則 ．
【答案】13
【分析】利用向量數量積運算律即可求得的值.
【詳解】空間向量的夾角為，
則.
故答案為：13
變式3．（2023高二·全國·專題練習）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則 ．
【答案】/-0.25
【分析】得到，利用向量數量積公式求出答案.
【詳解】如圖所示，正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，
所以，
故
故答案為：
變式4．（21-22高二上·陜西西安·期末）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，則的值為 .
【答案】/
【分析】根據向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：
變式5．（22-23高二上·全國·期中）在正方體中，，則 ．
【答案】
【分析】根據即可得出答案.
【詳解】解：在正方體中，因為，，
所以．
故答案為：2.
變式6．（23-24高二上·廣東廣州·期中）如圖,給定長方體,,,點在棱的延長線上,且.設,,.

(1)試用表示向量;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意得,再由空間向量的線性運算即可求解;
（2）先由空間向量的線性運算求得,再根據空間向量的數量積公式求解即可.
【詳解】（1）因為點在棱的延長線上,且,
所以,
則.
（2）由題意得,
則,
所以.
變式7．（22-23高二上·河南洛陽·階段練習）如圖所示，在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
【答案】(1)1
(2)2
(3)0
【分析】分別將，，轉化為，，后根據數量積定義計算即可.
【詳解】（1）在正四面體ABCD中，
（2）
（3）
在正四面體ABCD中，，
故
【方法技巧與總結】
1.兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosθ的符號所決定.
2.兩個向量的數量積寫成；今后要學到兩個向量的外積x，而ab是兩個數的積，書寫時要嚴區分.
3.在數量積中，若 ，且，不能推出（），因為其中cosθ有可能為0
4.在實數中，有，但是（）=（
【題型5：利用空間向量求夾角】
例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知是兩個空間向量，若，，則 .
【答案】/0.125
【分析】將兩邊平方，求出的值，利用向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
則，即，則
則，
故答案為：
變式1．（23-24高二上·河北張家口·期末）已知平行六面體的所有棱長都相等，且，則直線與直線所成角的余弦值為 .
【答案】0
【分析】根據空間向量的線性運算及空間向量數量積計算即可得到答案.
【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以直線與直線所成角和直線與直線所成的角相等，
又因為，所以
，
所以直線與直線垂直，即直線與直線所成角的余弦值為0.
故答案為：0.

變式2．（2023高二·全國·專題練習）如圖，在正四面體中，，分別為，的中點，則與的夾角的余弦值為 ．

【答案】
【分析】利用正四面體的性質、向量的線性運算、向量的數量積運算即可得解.
【詳解】解：設正四面體棱長為1，
設，，，則，
∵，
∴，，.
∵，分別為，的中點，，是等邊三角形，
∴，，，
∴
．
∴與的夾角的余弦值為．
故答案為：.
變式3．（23-24高二上·全國·課后作業）已知是異面直線，，，且，則與所成的角為 ．
【答案】
【分析】利用，求出，再應用兩向量的夾角公式即可求解.
【詳解】設，由已知，
得，又，
則
，
又，.
又，.所以異成直線的夾角為.
故答案為：.
變式4．（23-24高二上·四川綿陽·期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長為2，且. 求：
(1)的長；
(2)直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空間向量數量積的運算律求解；
（2）利用空間向量的數量積的運算律以及夾角公式求解.
【詳解】（1）
因為,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因為直線與所成角，
所以直線與所成角的余弦值為.
變式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空間四邊形中，，求的值.
【答案】0
【分析】根據空間向量的運算，結合空間向量數量積的定義及夾角余弦公式即可得結論.
【詳解】，
變式6．（22-23高二·全國·課堂例題）如圖，長方體的棱長，，．

(1)求；
(2)求與所夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，，，則可用前者表示，利用數量積可求其模長.
（2）先求的模長及其數量積，利用公式可求夾角的余弦值.
【詳解】（1）設，，，
則，，，
，
．
因為
，所以．
（2）因為 ，
所以．因為
，
所以與所夾角的余弦值為．
變式7．（2023高二·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．
(1)求；
(2)求與的夾角的余弦值
(3)判斷與是否垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)垂直
【分析】
（1）利用數量積的公式可得；
（2）先用表示，利用數量積運算律可得、進而利用公式可得與的夾角的余弦值.
（3）利用數量積運算律得，進而可得與是否垂直．
【詳解】（1）正方體中，，
故.
（2）由題意知，，
，
，
故，
故 .
（3）由題意， ，
，
故與垂直.
【方法技巧與總結】
1.兩異面直線所成角的范圍是（0，]，兩個向量的夾角范圍是[0，π]，利用向量數量積求異面直線所成的角時，要注意角度的轉化；
2.利用數量積求直線夾角或余弦值的方法
①取向量:根據題設條件在所求的異面直線上取兩個向量
②角轉化:異面直線所成角的問題轉化為向量夾角問題
③求余弦值:利用數量積求余弦值或角的大小
④定結果:異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應將余弦值加上絕對值，繼而求角的大小
【題型6：利用空間向量求長度】
例6．（23-24高二上·河南·階段練習）如圖，在三棱錐中，，，，，為的中點，為的中點，為的重心，與相交于點，則的長為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算，結合三點共線可得，即可根據模長公式求解.
【詳解】設，由題意得，
則 .
設，
則,故.
由得 ，
得，
所以
，
變式1．（多選）（23-24高二上·湖南長沙·期中）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點A，O和點C，B，使，.已知，，，則線段OC的長為（ ）

A．6 B．8 C． D．
【答案】AC
【分析】依題意，，兩邊同時平方后，利用空間向量的數量積，代入已知數據計算，即可求解．
【詳解】依題意，，
平方得 .
因為a，b所成的角為，或.
當時，，，
代入數據可得，
所以，，所以；
當時，，，
代入數據可得，
所以，，所以.
綜上所述，或，即OC的長為6或.
C.
變式2．（23-24高二上·湖南長沙·期末）如圖所示，已知平面，則 ．

【答案】12
【分析】首先表示向量，平方后，利用數量積公式，即可求解.
【詳解】，
,
因為平面，平面，
所以，，
所以，
則.
故答案為：
變式3．（2024高二·全國·專題練習）已知向量兩兩夾角為，且，則 ．
【答案】
【分析】利用空間向量數量積公式計算出，從而求出答案.
【詳解】由題意可得：
，
故.
故答案為：.
變式4．（23-24高二上·山東濟寧·期中）在四棱柱中，若底面是邊長為1的正方形，，，則四棱柱對角線的長為 ．
【答案】
【分析】由空間向量線性運算及數量積的定義及性質運算即可得答案.
【詳解】如圖，

可得.
則
.
故答案為：
變式5．（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則 .
【答案】
【分析】利用空間向量數量積的運算法則計算即得.
【詳解】單位向量兩兩夾角均為，則，
所以
.
故答案為：
變式6．（23-24高二上·福建泉州·階段練習）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且,設，，．

(1)試用 表示向量；
(2)若，，，求線段的長．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據題意，結合空間向量的運算法則，準確化簡、運算，即可求解；
（2）根據題意，求得且，結合空間向量的數量積和模的運算，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
根據空間向量的運算法則，可得 .
（2）解：因為，，，
可得且，
則
，所以，
即線段的長．
【方法技巧與總結】
利用向量的數量積求兩點間的距離，可以轉化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式||=求解即可．特別注意準確求解已知兩向量之間的夾角大小.
【題型7：投影向量】
例7．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】由空間向量在向量方向上的投影數量為，運算即可得解.
【詳解】由題意，，，，
則空間向量在向量方向上的投影數量為.
所以所求投影向量的模長為2.
變式1．（23-24高二上·廣東深圳·期中）在直三棱柱中，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用幾何關系作出向量在向量上的投影即可.
【詳解】如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，連接．

因為在直三棱柱中，，平面，
所以平面，且平面，所以．
又平面，，所以平面，
又平面，則．
所以向量在向量上的投影向量為，
由，，得，
，所以
則，即，
即向量在向量上的投影向量為.
變式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空間向量滿足，則在方向上投影的最大值是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設向量的夾角為，根據題意，求得，得到所以在方向上的投影為，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】因為，設向量的夾角為，
所以，可得，
解得，
所以在方向上的投影為
，當且僅當時，即時，等號不成立，
所以在方向上的投影的最大值為．
.
變式3．（多選）（2023·湖北十堰·二模）《九章算術》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量為
D．向量在向量上的投影向量為
【答案】CD
【分析】利用空間向量的線性運算可判定A、B選項；利用投影向量的定義可判定C、D選項.
【詳解】因為
，故A不正確，B正確．
如圖所示，故D作DU垂直BC，過U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量在向量上的投影向量為,向量在向量上的投影向量為，
由題意易得故，C不正確． ，D正確．
D
變式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空間向量，若，則的值為 ．
【答案】/
【分析】根據向量間的垂直關系和向量的數量積即可求解.
【詳解】由題知，因為，所以，
即
，
所以.
故答案為：
變式5．（2023高二·全國·專題練習）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為 .
【答案】
【分析】根據線面、線線位置關系，結合投影向量的定義確定在向量上的投影向量.
【詳解】四棱錐，底面是矩形，則，即，
且，由底面，底面，則，
由，面，則面，
又面，則，故向量在向量上的投影向量為，
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為：
變式6．（21-22高二上·北京·階段練習）已知，向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上投影為 ．
【答案】
【分析】
根據投影的定義結合已知條件求解即可.
【詳解】
因為，向量為單位向量，，
所以向量在向量方向上投影為．
故答案為：
變式7．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來表示）.

【答案】
【分析】寫出表達式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量.
【詳解】由題意，
在三棱錐中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量為：
，
故答案為：.
變式8．（20-21高二·江蘇·課后作業）如圖，在三棱錐中，平面，，，．
(1)確定在平面上的投影向量，并求；
(2)確定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量為，；
(2)在上的投影向量為，.
【分析】（1）根據平面可得在平面上的投影向量，由空間向量的線性運算以及數量積的定義計算的值即可求解；
（2）由投影向量的定義可得在上的投影向量，由數量積的幾何意義可得的值.
【詳解】（1）因為平面，所以在平面上的投影向量為，
因為平面，面，可得，所以，
因為，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量為：
，
由數量積的幾何意義可得：.
【方法技巧與總結】
類比平面向量投影的概念，借助圖形，敘述作出向量 在軸l上投影（空間稱為射影）的過程.
已知圖形向量，l為軸，向量是l上與軸l同方向的單位向量，作點A在l上的射影A’,作點B在l上的射影B’，則稱為向量在軸l上或在的方向上的正射影；可以證明A’B’=||cos<,>。
注意：軸l上的正射影對應的數值A’B’是一個可正可負可零的實數，它的符號代表向量
與l的方向的對應關系，大小代表在l上射影的長度.
【題型8：共面問題】
例8．（23-24高二上·廣東江門·期中）若是空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根據共面向量定理逐個分析判斷即可.
【詳解】對于A，因為，所以，，三個向量共面，所以A錯誤，
對于B，因為，所以，，三個向量共面，所以B錯誤，
對于C，假設，，三個向量共面，則存在實數，使，
所以三個向量共面，
因為是空間的一個基底，所以三個向量不共面，
所以假設錯誤，所以，，三個向量不共面，所以C正確，
對于D，因為，所以，，三個向量共面，所以D錯誤，
變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）設平面內不共線的三點A，B，C以及平面外一點P，若平面內存在一點D滿足 ，則x的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】由空間向量共面定理構造方程求得結果.
【詳解】空間四點共面，但任意三點不共線，
，解得：.
變式2．（23-24高二上·四川宜賓·期中）在四面體中，空間的一個點滿足，若四點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據空間四點共面可得，解之即可.
【詳解】因為四點共面，，
所以，解得.
.
變式3．（22-23高二上·江西·階段練習）已知點為所在平面內一點，為平面外一點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空間向量共面的基本定理化簡可得出的值.
【詳解】因為點為所在平面內一點，設，其中、，
即，
所以，，
所以，，所以，.
.
變式4．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體中，對空間內任意一點，滿足，則下列條件中可以確定點與，，共面的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據空間向量四點共面列式即可得解.
【詳解】因為，
所以點與，，共面等價于，即.
.
變式5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用共面向量定理及推論逐項判斷即得.
【詳解】對于A，中，，A不是；
對于B，中，，B不是；
對于C，化為，，C不是；
對于D，中，，D是.
變式6．（23-24高二上·河南信陽·期中）已知，，不共面，，則（ ）
A．，，A，B，C，M四點共面 B．，，A，B，C，M四點不共面
C．，，A，B，C，P四點共面 D．，，A，B，C，四點共面
【答案】A
【分析】根據共面的推論即可求解.
【詳解】，，，A，B，C，M四點共面.
故選:A.
變式7．（22-23高二上·湖南郴州·階段練習）為空間任意一點，若，若、、、四點共面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出的值.
【詳解】空間向量共面的基本定理的推論：，且、、不共線，
若、、、四點共面，則，
因為為空間任意一點，若，且、、、四點共面，
所以，，解得.
.
【方法技巧與總結】
利用向量法證明向量共面的策略
（1）若已知點P在平面ABC內，則有=x＋y或=x＋yz（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數．
（2）證明三個向量共面（或四點共面），需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示.
【題型9：最值取值范圍問題】
例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體的棱長為2，球是正方體的內切球，點是內切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，取中點為，則，再結合向量的運算，代入計算，即可得到結果.
【詳解】
取中點為，因為，，
所以，
又，則，
又正方體的棱長為2，則正方體的內切球半徑為1，則，，
所以，
所以，
所以當，反向時，，有最小值為；
當，同向時，，有最大值為.
.
變式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點，H是內的動點（含邊界），且平面，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進而有，，結合空間向量的數量積運算即可求解.
【詳解】設F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG，如圖，
易得，，，
因為平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因為平面，，所以平面平面.
因為平面，所以H為線段FG上的點.
由平面，平面，得，
又，則，
由平面，得平面，
因為，所以平面，，.
因為，
所以，，.
所以
.
因為，所以.
.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是推得H為線段FG上的點，從而利用空間向量數量積的定義得到，從而得解.
變式2．（21-22高二·全國·課后作業）如圖所示，在棱長為1的正方形中，點P是的中點，點M，N是矩形內（包括邊界）的任意兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設正方體的中心為O，連接OP，OM，ON，根據向量的線性運算可得，再分析的范圍求解即可.
【詳解】設正方體的中心為O，連接OP，OM，ON．由正方體的性質可知，，，那么，又，所以.
當與反向，且時，有最小值，此時；
當與同向，且時，有最大值，此時，即的取值范圍為．
變式3．（多選）（23-24高三下·全國·強基計劃）正四面體中，棱長為．點滿足，則的（ ）
A．最小值為．
B．最大值為
C．最小值為
D．最大值為
【答案】CC
【分析】由題意，確定點在球上，根據空間向量的線性運算和數量積的運算求得的表達式，結合三角函數的性質即可求解.
【詳解】設的中點，則，即，
又，所以，
即點落在以為球心，以1為半徑的球上.
因為，所以.
由正四面體的棱長為，得，
所以，
設，則，
又，所以，
即的最大值為，最小值為.
C
變式4．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）已知球的半徑為是球的直徑，點在球的球面上.若空間中一點與點間的距離為，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用向量的四則運算可得，再根據數量積的公式和運算律求解即可.
【詳解】由題意可得點在以為球心，為半徑的球上，
所以
，
因為，所以，
所以，所以的最小值為，
故答案為：
變式5．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知是正方體內切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的最大值是 ，最小值是 .
【答案】
【分析】先利用正方體的性質求得的取值范圍，再利用空間向量的數量積即可得解.
【詳解】設正方體內切球球心為S，是該內切球的任意一條直徑，易知該內切球的半徑為1，
當點在正方體的面的中心時，取得最小值1；
當點在正方體的頂點時，取得最大值，所以；
故
，
所以的最大值是，最小值是.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用數量積運算，將轉化為，從而得解.
變式6.（23-24高二上·上海·期中）已知空間三個向量,,的模均為1，它們相互之間的夾角均為80°．若，則k的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用向量數量積運算求解.
【詳解】因為，，的模均為1，他們之間的夾角均為，所以：，.
又
所以： 或.
故答案為：
變式7．（22-23高二·浙江溫州·階段練習）正四面體的棱長為，空間動點滿足，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由向量的線性運算公式化簡，結合數量積的運算律化簡，由此求出其取值范圍即可.
【詳解】取的中點為，的中點為，
因為，所以，即，
又，
因為，
所以，當且僅當方向相同或為零向量時等號不成立；
，當且僅當方向相反或為零向量時等號不成立；
因為正四面體的棱長為，
所以在中，，
所以，即，故，
所以，又，
所以，即.
故答案為：.
一、單選題
1．（23-24高二上·河北·期中）如圖，在正三棱臺中，，為中點，為中點，設，，，則可用，，表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據空間向量線性運算法則直接計算.
【詳解】由題意可得，
而，
.
2．（23-24高二上·北京西城·期中）如圖，E，F分別是長方體的棱AB，CD的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量加法，減法的幾何意義及相等向量的定義進行化簡即可.
【詳解】解：=，所以D正確，A，B，C錯誤.
3．（21-22高二上·甘肅隴南·期末）已知，（，，為兩兩互相垂直的單位向量），若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的數量積的運算得到方程，解方程即可.
【詳解】
∵，，為兩兩互相垂直的單位向量，
∴，，，，，，
∴，
∵，∴，∴，
解得，
.
4．（2022高二上·全國·專題練習）如圖，在三棱錐中，設，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意，結合空間向量的線性運算即可求解.
【詳解】連接，
.
5．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知，是相互垂直的單位向量，則（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據空間向量數量積公式計算出答案.
【詳解】是相互垂直的單位向量，故，
故.
6．（21-22高二上·遼寧沈陽·階段練習）已知四面體，是的中點，連接，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件作出圖形，利用線段中點的向量表達式及向量加法法則即可求解.
【詳解】如圖，四面體，是的中點，

因為是的中點，所以
所以.
.
7．（23-24高二下·甘肅·期末）在所有棱長均為2的平行六面體中，，則的長為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】先將用表示，然后再結合數量積的運算律即可得解.
【詳解】因為，所以
，
從而，即的長為．
.
8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方體的棱長為1，則（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】根據空間向量數量積的運算律，結合垂直關系即可求解.
【詳解】,
二、多選題
9．（23-24高一下·吉林·期末）已知構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】CCD
【分析】根據向量共面的定義分別判斷各選項.
【詳解】A選項：令，則，解得，即，，共面，故A選項不符合題意；
B選項：設，則，此方程組無解，即，，不共面，故B選項符合題意；
C選項：設，則，此方程組無解，即，，不共面，故C選項符合題意；
D選項：設，則，此方程組無解，，，不共面，故D選項符合題意；
CD.
10．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知，，是平面上的三個非零向量，那么下列說法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．在正方體中，
【答案】CD
【分析】根據向量的定義結合向量模的含義可判斷A；根據數量積的運算律判斷B；根據向量的夾角公式可判斷C；根據正方體的性質可判斷D。
【詳解】對于A，若，但，的方向不確定，A錯誤；
對于B，若，兩邊平方得，
則，B正確；
對于C，，則，即得，
故，，
故，
而，故與的夾角為，C錯誤；
對于D，在正方體中，，
故四邊形為平行四邊形，故，
故，D正確，
D
11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如圖，正方體的邊長為為的中點，動點在正方形內（包含邊界）運動，且.下列結論正確的是（ ）
A．動點的軌跡長度為；
B．異面直線與所成角的正切值為2；
C．的最大值為2；
D．三棱錐的外接球表面積為.
【答案】ACD
【分析】取的中點，分析可知平面.對于A：分析可知動點的軌跡是以點為圓心，半徑為1的半圓，即可得結果；對于B：分析可知異面直線與所成角即為，即可得結果；對于C：根據數量積的幾何意義分析判斷；對于D：分析可知，進而求球的半徑和表面積.
【詳解】取的中點，連接，
因為分別為的中點，則∥，且，
又因為平面，則平面，
由平面，可得.
對于選項A：在中，，
可知動點的軌跡是以點為圓心，半徑為1的半圓，
所以動點的軌跡長度為，故A正確
對于選項B：因為∥，∥，則∥，
可知異面直線與所成角即為，其正切值為，故B錯誤；
對于選項C：因為線段在平面內的投影為，
結合選項A可知：在方向上的投影數量的最大值為1，
所以的最大值為，故C正確；
對于選項D：設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，
因為平面，且為的外接圓圓心，可知，
則，解得，
所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確；
CD.
三、填空題
12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夾角的余弦值為，則
【答案】
【分析】
先根據數量積的定義可得，結合數量積的運算律分析求解.
【詳解】
由題意可得，
所以．
故答案為：.
13．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）在四面體 中，分別為的中點，則
【答案】
【分析】根據空間向量的運算，將用來表示，即可求得答案.
【詳解】由題意得
，
故答案為：
14．（23-24高一下·河北邢臺·期末）如圖所示，在四棱柱中，側面都是矩形，底面四邊形是菱形，且，，若異面直線和所成的角的大小是，則的長度是 .
【答案】
【分析】利用基底表示向量和，利用數量積公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，，，且，
，
，
，
由題意可知，，所以，所以.
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高二上·新疆·階段練習）如圖，在平行六面體中，，，，，，求：
(1)；
(2)的長.
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）利用數量積的定義即可求解；
（2）根據模長公式即可求解.
【詳解】（1）．
（2）因為，
所以．
16．（23-24高二上·河南開封·期末）如圖，在空間四邊形ABCD中，，，，，.
(1)求；
(2)求CD的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據數量積的定義直接求解即可；
（2）先利用加法法則表示，然后利用數量積的運算律求解即可.
【詳解】（1）因為，，，
所以；
（2）因為，
所以
，
所以.
17．（2024高二·全國·專題練習）如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足.
(1)用向量表示；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據空間向量的線性運算即可求解；
（2）先計算，再開方即可求解.
【詳解】（1）因為M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足.
所以 ；
（2）因為正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，
所以，，
所以，
所以
，所以.
18．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．
(1)求的長．
(2)求異面直線與所成的角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用及向量的運算律和數量積求解即可.
（2）利用及向量的數量積求夾角即可.
【詳解】（1）
，
所以，
即的長為.
（2）
，
又由余弦定理得，
所以設所求異面直線所成角為，.
19．（23-24高二上·重慶·期末）如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點．

(1)求；
(2)求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，代入數值直接求得結果；
（2）化簡可得，然后采用先平方再開方的方法求解出，則的長可知.
【詳解】（1）.
（2）因為，
所以
，
所以的長為.
20．（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在長方形中，為中點，.以為折痕將四邊形折起，使，分別達到，，當異面直線，成角為時，異面直線，成角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據空間向量的數量積運算即可求解.
【詳解】不妨設，
由于，所以即為直線，所成的角,
故, 又，
所以，因此異面直線，成角余弦值為，
21．(多選) （23-24高二下·江蘇常州·階段練習）在正方體中，下列命題是真命題的是（ ）
A．
B．
C．
D．正方體的體積為
【答案】ABC
【分析】根據空間向量運算、夾角、體積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設正方體的棱長為，
A選項，
，A選項正確；
B選項，
，B選項正確；
C選項，由于三角形是等邊三角形，所以，C選項正確；
D選項，，所以D選項錯誤.
BC
22.（多選）（23-24高二上·山東濟寧·期末）如圖，二面角的大小為，其棱l上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l．若則兩點間的距離為 ．

【答案】
【分析】利用向量的線性關系可得，兩邊平方可求的長度.
【詳解】因為二面角的大小為，，
.
,即兩點間的距離為.
故答案為：
23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側棱，且，為中點，為中點，設，，.

(1)用向量，，表示向量；
(2)求線段的長度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據空間向量的線性運算即可求解，
（2）根據向量的模長公式，即可代入求解.
【詳解】（1）因為為中點，為中點， ，，，
所以
（2）因為平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側棱，且，
所以，，，
所以
所以，即線段PM長為
24．（20-21高二上·山東濰坊·期中）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設，，.
(1)試用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據向量的線性運算求出即可；
（2）根據向量的運算性質代入計算即可.
【詳解】（1），
，
故
∵點E為AD的中點，
故.
（2）由題意得，
故，
故
.
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