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/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
5.1數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題
（知識梳理+專項練習(xí)）
1、鴿巣原理是一個重要而又基本的組合原理, 在解決數(shù)學(xué)問題時有非常重要的作用
①什么是鴿巣原理, 先從一個簡單的例子入手, 把3個蘋果放在2個盒子里, 共有四種不同的放法,如下表
放法 盒子1 盒子2
1 3 0
2 2 1
3 1 2
4 0 3
無論哪一種放法, 都可以說“必有一個盒子放了兩個或兩個以上的蘋果”。 這個結(jié)論是在“任意放法”的情況下, 得出的一個“必然結(jié)果”。
類似的, 如果有5只鴿子飛進四個鴿籠里, 那么一定有一個鴿籠飛進了2只或2只以上的鴿子
如果有6封信, 任意投入5個信箱里, 那么一定有一個信箱至少有2封信
我們把這些例子中的“蘋果”、“鴿子”、“信”看作一種物體，把“盒子”、“鴿籠”、“信箱”看作鴿巣, 可以得到鴿巣原理最簡單的表達形式
②利用公式進行解題：
物體個數(shù)÷鴿巣個數(shù)=商……余數(shù)
至少個數(shù)=商+1
2、摸2個同色球計算方法。
①要保證摸出兩個同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色數(shù)多1。
物體數(shù)＝顏色數(shù)×（至少數(shù)－1）＋1
②極端思想： 用最不利的摸法先摸出兩個不同顏色的球，再無論摸出一個什么顏色的球，都能保證一定有兩個球是同色的。21cnjy.com
③公式：
兩種顏色：2＋1＝3（個）
三種顏色：3＋1＝4（個）
四種顏色：4＋1＝5（個）
一、選擇題
1．10本書放進4個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進（ ）本書。
A．1 B．3 C．2 D．4
2．教室內(nèi)有30名學(xué)生，至少有（ ）名學(xué)生是同一個月出生的。
A．2 B．3 C．4
3．20個孩子參加6個興趣小組，至少有一個興趣小組的人不少于（ ）人。
A．4 B．3 C．5 D．6
4．將副撲克牌去掉大小王共52張，至少要抽取（ ）張牌，才能保證其中有兩張相同點數(shù)的牌。
A．5 B．14 C．4 D．13
5．15個人里至少有（　　）個人同月出生。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
6．把至少( )個蘋果放入6個果盤里，那么總有某個果盤里至少有2個蘋果。
7．一個盒子里有紅、黃兩種顏色的球共5個，要保證取出的球中一定有兩個顏色相同的球至少取( )個球。【出處：21教育名師】
8．盒子里有紅球、白球、黃球各6個。每次摸一個球，至少摸( )次，就一定能保證有兩個球的顏色相同。21*cnjy*com
9．想從左邊的盒子中摸出的球一定有2個是同色的，最少要摸出( )個球．
三、判斷題
10．任意25名小學(xué)生中，至少有5人所在年級是相同的。( )
11．把8只兔子放進3個籠子里，至少有3只兔子要放進同一個籠子。( )
12．5只鴿子飛進3個鴿籠，無論怎么飛，總有一個鴿籠至少飛進2只鴿子。( )
13．西溪中心小學(xué)六年級有學(xué)生25人，至少有3個人是同一月出生的。( )
14．某班有1個小書架，39個同學(xué)可以任意借閱。小書架上至少要有40本書，才能保證至少有一個同學(xué)借到2本或2本以上的書。( )2-1-c-n-j-y
四、解答題
15．袋子里有4只紅手套，2只黑手套，2只紫手套。一次摸出幾只手套才能保證至少有一只紅手套？
16．某次投籃比賽，5名隊員共投進33個球，一定有一名隊員至少投進了多少個球？
17．小明玩擲骰子游戲，要保證擲出的骰子點數(shù)至少有三次相同，他至少應(yīng)擲幾次？
18．小紅讀一本故事書，6天讀了72頁，照這樣計算，她又讀了15天，她又讀了多少頁？（用兩種方法解答）
19．有1元、5角、2角、1角的紙幣各一張，李義要從中拿出兩張，有多少種不同的拿法？請你列舉出來。
《（預(yù)習(xí)銜接）5.1數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題（同步講義）-2024-2025學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊分層作業(yè)（人教版）》參考答案21教育名師原創(chuàng)作品
1．B
【分析】根據(jù)抽屜原理，用書本總數(shù)除以抽屜數(shù)，有余數(shù)時用商加1，就是一個抽屜里至少放進多少本書。
【詳解】10÷4＝2（本）……3（本）
2＋1＝3（本）
10本書放進4個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書。
故答案為：B
【點睛】本題主要考查抽屜原理的應(yīng)用。
2．B
【分析】一年有12個月，那么可以看作是12個抽屜，30名學(xué)生看做30個元素，把30名學(xué)生平均分配在12個抽屜中：30÷12＝2（名） 6（名），那么每個抽屜都有2名學(xué)生，那么剩下的6名，無論放到哪個抽屜都會出現(xiàn)3名學(xué)生在同一個抽屜里。
【詳解】30÷12＝2（名） 6（名）
2＋1＝3（名）
即至少有3名學(xué)生是同一個月出生的。
故答案為：B
【點睛】此題屬于典型的抽屜原理習(xí)題，解答此類題的關(guān)鍵是找出把誰看作“抽屜個數(shù)”，把誰看作“物體個數(shù)”，然后根據(jù)抽屜原理解答即可。www.21-cn-jy.com
3．A
【分析】20個學(xué)生參加6個興趣小組，20÷6＝3（人）……2（人），即平均每組有3人，還余2人，根據(jù)抽屜原理可知，至少有一個興趣小組的學(xué)生不少于3＋1＝4（人），據(jù)此解答。21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
【詳解】20÷6＝3（人）……2（人）
3＋1＝4（人）
故答案為：A
【點睛】在此類抽屜問題中，至少數(shù)＝物體數(shù)除以抽屜數(shù)的商＋1（有余數(shù)的情況下）。
4．B
【分析】52張撲克牌，根據(jù)點數(shù)特征可以分別看成13份，考慮最小情況：每一份都摸出1張牌，共摸出13張牌，再任意摸出一張，無論放在那一份，都會出現(xiàn)兩種牌再同一個份內(nèi)，即兩張牌點數(shù)相同，據(jù)此解答。【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
【詳解】52÷4＋1
＝13＋1
＝14（張）
故答案為：B
【點睛】本題主要考查抽屜原理，有一定邏輯推理能力是解題的關(guān)鍵。
5．B
【分析】先建立抽屜，因為一年有12個月，所以相當(dāng)于有12個抽屜，先取出12個人的生月，最不利的情況是這12個人的生月都不同即每個抽屜里放一個，然后還剩3個人，無論放在那三個抽屜里，都可以保證有兩個人；所以至少有2個人同月出生。
【詳解】根據(jù)抽屜原理可得：
15÷12＝1（人）……3（人）
1＋1＝2（人）；
故答案為：B
【點睛】本題在建立12個抽屜的基礎(chǔ)上求出最不利的放法的個數(shù)是本題解答的關(guān)鍵。
6．7
【分析】用果盤的個數(shù)加上1，即可求出把至少幾個蘋果放入6個果盤里，那么總有某個果盤里至少有2個蘋果。
【詳解】6＋1＝7（個）
【點睛】本題考查抽屜原理的計算及應(yīng)用。理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列式計算即可。
7．3/三
【分析】把2種不同顏色看作2個抽屜，把兩種不同顏色的球看作5個元素，從最不利情況考慮，每個抽屜取出1個同色球，共需要2個，再取出1個不論是什么顏色，總有一個抽屜里的球和它同色，所以至少要取出：2＋1＝3（個），據(jù)此解答。【版權(quán)所有：21教育】
【詳解】2＋1＝3（個）
所以至少取3個球可以保證取出的球中一定有兩個顏色相同的球。
【點睛】抽屜原理問題的解答思路是要從最不利的情況考慮。
8．4/四
【分析】由題意可知，紅球、白球、黃球各6個，要保證有兩個球的顏色相同；最壞的情況是紅球、白球、黃球各摸到1個，這時已經(jīng)摸了3次，此時只要再任取一個，就能保證一定有兩個球的顏色相同。
【詳解】根據(jù)分析得，3＋1＝4（次）
即至少摸4次，就一定能保證有兩個球的顏色相同。
【點睛】此題考查了抽屜原理在解決實際問題的靈活應(yīng)用。
9．4
【詳解】略
10．√
【分析】把6個年級看作是6個抽屜，25名小學(xué)生看做25個元素，根據(jù)抽屜原理：把25名小學(xué)生平均分配在6個抽屜中：25÷6＝4（人） 1（人），那么每個抽屜都有4人，那么剩下的1人，無論放到哪個抽屜都會出現(xiàn)5人在同一個抽屜里。
【詳解】25÷6＝4（人）……1（人）
4＋1＝5（人）
即至少有5人所在年級是相同的，所以原題說法正確。
故答案為：√
【點睛】此題屬于典型的抽屜原理習(xí)題，解答此類題的關(guān)鍵是找出把誰看作“抽屜個數(shù)”，把誰看作“物體個數(shù)”，然后根據(jù)抽屜原理解答即可。
11．√
【分析】被分放物體的數(shù)量÷抽屜的數(shù)量＝平均每個抽屜分放物體的數(shù)量……剩下物體的數(shù)量，一個抽屜里至少分放物體的數(shù)量＝平均每個抽屜分放物體的數(shù)量＋1，據(jù)此解答。
【詳解】8÷3＝2（只）……2（只）
2＋1＝3（只）
所以，把8只兔子放進3個籠子里，有一個籠子里至少放3只兔子，即至少有3只兔子要放進同一個籠子。
故答案為：√
【點睛】掌握抽屜問題的解題方法是解答題目的關(guān)鍵。
12．√
【分析】根據(jù)最不利原則考慮，先把三只鴿子分別放入3個鴿籠中，還剩下兩只鴿子分別放入兩個鴿籠中，所以無論怎么飛，總有一個鴿籠至少飛進2只鴿子。
【詳解】5÷3＝1（只）……2（只）
1＋1＝2（只）
所以5只鴿子飛進3個鴿籠，無論怎么飛，總有一個鴿籠至少飛進2只鴿子，說法正確。
故答案為：√。
【點睛】本題考查鴿巢問題，解答本題的關(guān)鍵是掌握解決鴿巢問題的方法。
13．√
【分析】這是一道簡單的抽屜問題，把這個問題轉(zhuǎn)化成抽屜問題解答即可。
【詳解】一年有12個月，25人的生日分到12個月，按平均分的方法，12個月里每月都有兩人生日在這個月，還剩下1人，這1人生日無論在哪個月，都滿足至少有3個人是同一月出生的，所以此題說法正確。21·cn·jy·com
故答案為：√。
【點睛】本題考查抽屜問題，具體是把多于kn（k是正整數(shù)）個物體任意分放進n個空抽屜，那么一定有一個抽屜中放進了至少（k＋1）個物體。解決本題的關(guān)鍵是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，總有一個抽屜至少可以放（b＋1）個物體（a是物體個數(shù)，n是抽屜個數(shù)）來解決。21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
14．√
【分析】把39個同學(xué)看作39個抽屜，要保證至少有一個同學(xué)借到2本或2本以上的書，則書的數(shù)量應(yīng)該是比學(xué)生數(shù)多1，即39＋1＝40（本），據(jù)此解答即可。
【詳解】39＋1＝40（本）
所以小書架上至少要有40本書，才能保證至少有一個同學(xué)借到2本或2本以上的書，原題說法正確；
故答案為：√。
【點睛】本題考查了抽屜原理，要從最不利的情況考慮，準(zhǔn)確地建立抽屜，確定元素的總個數(shù)。
15．5只
【分析】根據(jù)題干，最壞的情況是取出4只手套：2只黑手套，2只紫手套，此時剩下的全是紅色手套，再任意取出1只，就能保證至少有一只紅手套。21教育網(wǎng)
【詳解】2＋2＋1＝5（只）；
答：一次摸出5只手套，才能保證至少有一只紅手套。
【點睛】此題主要考查了抽屜原理的靈活應(yīng)用，要注意考慮最不利情況。
16．7個
【分析】將此問題看作鴿巢問題。5名隊員相當(dāng)于5個鴿巢，33個進球相當(dāng)于33只鴿子，將33個進球平均分配給5名隊員，每名隊員進6個球，還剩3個進球，剩余的3個進球無論分給哪名隊員，總會有一名隊員至少進7個球。www-2-1-cnjy-com
【詳解】33÷5＝6（個） 3（個）
6＋1＝7（個）
答：一定有一名隊員至少投進了7個球。
【點睛】本題考查了抽屜原理，能根據(jù)題意正確列式是解題關(guān)鍵。
17．13次
【分析】骰子能擲出的點數(shù)只有6種，把這6種情況看作抽屜，把擲骰子的次數(shù)看作物體的個數(shù)，要保證至少有三次點數(shù)相同，那么物體個數(shù)應(yīng)比抽屜數(shù)的2倍至少多1。
【詳解】
（次）
答：他至少應(yīng)擲13次。
【點睛】本題考查抽屜原理的運用。把這6種情況看作抽屜，把擲骰子的次數(shù)看作物體的個數(shù)，依據(jù)抽屜原則進行運算是解答本題的關(guān)鍵。2·1·c·n·j·y
18．180頁
【詳解】試題分析：方法一：6天讀了72頁，平均天讀多少頁，用72÷6=12頁，她又讀了15天，她又讀了多少頁，用15×12=180頁，即可得解．21*cnjy*com
方法二：6天讀了72頁，平均3天讀多少頁，用72÷2=36頁，她又讀了15天，她又讀了多少頁，用15÷3×36=180頁．【來源：21cnj*y.co*m】
解：方法一：
72÷6×15
=12×15
=180（頁）
答：她又讀了180頁．
方法二：
15÷3×（72÷2）
=5×36
=180（頁）
答：她又讀了180頁．
【點評】解答此題關(guān)鍵是明確“照這樣計算”的含義．
19．6種；列舉如下：
（1）1元和5角；1元和2角；1元和1角；3種不同的拿法；
（2）5角和2角；5角和1角；2種不同的拿法；
（3）2角和1角；1種拿法。
【解析】略
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