資源簡(jiǎn)介

2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過對(duì)雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的 學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 2.借助于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過 程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 1.掌握雙曲線的定義，會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問題 2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題:
知識(shí)點(diǎn)01 雙曲線的定義
1.定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.
2.焦距：這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.
注意：1. 若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；
2. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；
3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；
4. 若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·江西·期末）已知點(diǎn)P是雙曲線：上一點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．5 B．13 C．5或9 D．5或6
【答案】D
【分析】由雙曲線的定義求解.
【詳解】由題意可知，，，若，則 或9．
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】充分、必要條件的判斷，一方面需要判斷充分性，另一方面要判斷必要性，結(jié)合雙曲線的定義，只有“為定值”且“”時(shí)才不成立，即可做出判斷．
【詳解】充分性：當(dāng)“為定值”，但“”時(shí)，“動(dòng)點(diǎn)的軌跡不是雙曲線”，不滿足充分性；
必要性：以，為焦點(diǎn)的雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足“為定值”，滿足必要性；
因此“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線”的必要不充分條件．
.
知識(shí)點(diǎn)02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程Ax2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線。
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·廣東茂名·期末）雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)分別為、，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的關(guān)系結(jié)合已知即可求解.
【詳解】由題意知，，所以，
所以雙曲線的方程為.
.
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·廣東肇慶·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的雙曲線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、半焦距即可求解.
【詳解】依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，焦距，即，
實(shí)軸長(zhǎng)，即，于是虛半軸長(zhǎng)，
所以所求雙曲線方程為.
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，直線：與E交于A，B兩點(diǎn)，且，則 .
【答案】/
【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，分析可知為矩形，則，分析可知，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，
由對(duì)稱性可知：，可知為平行四邊形，
且，可知為矩形，可得，
由題意可得：，即，
因?yàn)?，可得?br/>整理可得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．
【題型1：雙曲線的定義】
例1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．射線 B．直線
C．橢圓 D．雙曲線的一支
【答案】A
【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式分析條件的幾何意義可得.
【詳解】設(shè)，由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足|，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是射線.
.
變式1．（22-23高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡（ ）
A．橢圓 B．直線 C．雙曲線 D．兩條射線
【答案】A
【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和兩定點(diǎn)的距離關(guān)系判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>故的軌跡是已、為端點(diǎn)的兩條射線，
.
變式2．（22-23高二下·福建福州·期中）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
【答案】C
【分析】先求出P點(diǎn)的位置，再根據(jù)雙曲線的定義求解.
【詳解】對(duì)于 ，
，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有 ；
.
變式3．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)、是兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在
【答案】C
【分析】由判斷出正確答案.
【詳解】依題意，、是兩個(gè)定點(diǎn)，P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
且滿足，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支.
變式4.（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離是 ．
【答案】22
【分析】由雙曲線定義得到方程，進(jìn)行求解.
【詳解】由題意得，又，所以.
故答案為：22
變式5．（22-23高二上·山西晉中·期末）與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓
【答案】C
【分析】設(shè)所求動(dòng)圓圓心為，圓的半徑為，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義可得出結(jié)論.
【詳解】圓的圓心為，半徑為；
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
設(shè)所求動(dòng)圓圓心為，圓的半徑為，

由于動(dòng)圓與圓、圓均外切，則，
所以，，因此動(dòng)圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支.
.
變式6．(多選)（23-24高二上·河南焦作·階段練面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的點(diǎn)M的軌跡（ ）
A．橢圓 B．一條直線 C．兩條射線 D．雙曲線
【答案】CCD
【分析】由雙曲線的定義判斷．
【詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為的垂直平分線，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為兩條射線，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在，
CD
變式7．（多選）（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（　?。?br/>A． B．2 C． D．
【答案】CC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，
要使得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，
則滿足，解得且，
結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C符合題意.
C.
變式8．（23-24高二下·北京·期中）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是與是雙曲線右支的一點(diǎn)，且，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.
【詳解】由雙曲線的定義可知，，
所以.
故答案為：1.
變式9．（23-24高二上·湖南岳陽(yáng)·期末）如果雙曲線右支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離等于，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 .
【答案】2
【分析】借助雙曲線定義即可得.
【詳解】由雙曲線定義可得，
又為右支上一點(diǎn)，故，
即.
故答案為：2.
【題型2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線定義求解即可.
【詳解】由題意可知，，解得，，
所以雙曲線的方程是．
．
變式1．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，一是焦點(diǎn)在x軸，另一種焦點(diǎn)在y軸，根據(jù)a與b寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
【詳解】在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，，
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，它的標(biāo)準(zhǔn)方程是；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，它的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是或.
變式2．（21-22高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且滿足，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
由于雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
變式3．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)頂點(diǎn)為，則雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線中的關(guān)系求解.
【詳解】由題可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)方程為，
且，所以，
所以雙曲線方程為，
故選:D.
變式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)特征設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)雙曲線定義得到，得到，求出雙曲線方程.
【詳解】由題意得：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，
，故，又，
故，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
變式5．（22-23高二上·江蘇連云港·期末）經(jīng)過點(diǎn)且焦點(diǎn)為，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，由定義得，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，
因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義得：，則，
則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為：.
變式6．（22-23高二下·上海黃浦·期中）雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn)，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【分析】設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)題意列式求解即可.
【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，
由題意可得：，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故答案為：.
變式7．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的等軸雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】利用等軸雙曲線的性質(zhì)得出，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，將坐標(biāo)點(diǎn)代入求得和的值，即可得出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】解：由題意，
在等軸雙曲線C中，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，圖像過，
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)
設(shè)，則
∴解得：
∴，
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，不不成立，
綜上，.
故答案為：.
變式8．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為(，0)和(－，0)，點(diǎn)在雙曲線上，且⊥，△的面積為1，則雙曲線的方程為 ．
【答案】－y21
【分析】由已知可得從而可求出(|PF1|－|PF2|)216，由雙曲線的定義可求出，而c，，可求出，進(jìn)而可求得雙曲線的方程
【詳解】由題意得
(|PF1|－|PF2|)216，即2a4，解得a2，
又c，所以b1，
故雙曲線的方程為－y21.
故答案為：－y21.
變式9．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)與的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】
【分析】設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】設(shè)雙曲線方程為：，將點(diǎn)與代入得：，解得：，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
【方法技巧與總結(jié)】
用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：
【題型3：雙曲線定義的應(yīng)用】
例3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）若曲線表示雙曲線，則k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征得到不等式，求出答案.
【詳解】根據(jù)題意，若曲線表示雙曲線，則有，
解得.
變式1．（23-24高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）方程所表示的曲線為，有下列命題：①若曲線為橢圓，則；②若曲線為雙曲線，則或；③曲線不可能是圓；④若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則.
以上命題正確的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、圓的方程的特征逐一求出參數(shù)范圍即可判斷.
【詳解】對(duì)于①，曲線為橢圓時(shí)，，解得：或，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，曲線為雙曲線時(shí)，，解得：或，故②正確；
對(duì)于③，若曲線是圓，則必有：解得：，即曲線可以表示圓，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，解得：，故④正確.
.
變式2．（22-23高二上·遼寧沈陽(yáng)·期末）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由雙曲線方程定義列不等式求解.
【詳解】依題意，得，則．
．
變式3．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程表示雙曲線，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，求解即可.
【詳解】方程表示雙曲線，
可得，
解得，
故答案為：.
變式4．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線的方程即可求解.
【詳解】若方程表示雙曲線，顯然，
則由可得，
故,
故答案為：
變式5．（23-24高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)在軸上有，求解即可得出參數(shù)范圍.
【詳解】因方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
則有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
變式6．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由題意可得，從而可求出的取值范圍.
【詳解】將方程化為，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線，
所以，解得，
即的取值范圍為，
故答案為：
變式7．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【分析】直接由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式得到不等式，解不等式即可.
【詳解】由題意知：，解得.
故答案為：.
變式8．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知，當(dāng)為何值時(shí)，
(1)方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
(2)方程表示雙曲線.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）結(jié)合橢圓幾何性質(zhì)即可；
（2）結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)即可.
【詳解】（1）由題知：
，
解得：
（2）由題知:
,
解得：或
【題型4：焦點(diǎn)三角形】
例4．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，又可得：，，結(jié)合，再利用余弦定理即可得解.
【詳解】根據(jù)雙曲線的定義得，
又因?yàn)椋?，?br/>又因?yàn)椋?br/>所以在中結(jié)合余弦定理的推論得：
，
因?yàn)?，得的大小為?br/>變式1．（22-23高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）設(shè)，分別是雙曲線C：的左 右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)且在第一象限若，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系判斷，代入即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可知： ，由以及可得，又，
由于,故，即三角形為直角三角形，
將代入得，由于P為C在第一象限，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，
變式2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
【分析】先利用題給條件及雙曲線定義求得的三邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得的面積
【詳解】由，可得
又是是雙曲線上的一點(diǎn)，則，
則，，又
則，則
則的面積等于
變式3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，軸于點(diǎn)，且在線段上，，則（ ）
A．4 B．6 C． D．40
【答案】D
【分析】根據(jù)相似可得垂直關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義，即可求解.
【詳解】由雙曲線方程可得：，
由可得，
所以,故，
不妨設(shè)在第一象限，則，
故，得，
又，
故，

變式4.（20-21高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，則的形狀是
三角形（填銳角，直角，鈍角）.
【答案】直角
【分析】在焦點(diǎn)三角形中根據(jù)橢圓和雙曲線的定義證明求解即可.
【詳解】因?yàn)闄E圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，
所以，得，
根據(jù)橢圓的定義得，
根據(jù)雙曲線的定義得，
所以，
即，
所以,
所以的形狀是直角三角形.
故答案為:直角.
變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且線段經(jīng)過焦點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，，進(jìn)而可得.
【詳解】
由雙曲線的定義可得①，②，
兩式相加得，即，
所以，故的周長(zhǎng)為.
故答案為：
變式6．（23-24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，第二象限內(nèi)的一點(diǎn)P在雙曲線上，且，則三角形的面積是 ．
【答案】/
【分析】利用雙曲線的定義表達(dá)式和余弦定理聯(lián)立方程組，可求得的值，代入三角形的面積公式計(jì)算即得.
【詳解】
由可得：，如圖，設(shè)則①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②聯(lián)立，解得：.
則三角形的面積為.
故答案為：.
變式7.（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知、是雙曲線的焦點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，那么的值是 ．
【答案】16
【分析】由雙曲線的定義可得答案.
【詳解】由雙曲線方程得，，
由雙曲線的定義得，①
，②
①＋②，得，
所以．
故答案為：16.
【方法技巧與總結(jié)】
求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：
①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積
④結(jié)論：
【題型5：和差最值問題】
例5．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，且雙曲線的右支上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
在雙曲線中，，，
， ，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，
在雙曲線的右支上，
，即，
由題知，圓心，半徑，在圓上，
，
則，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線且Q位于另兩點(diǎn)之間時(shí)，取得最小值為，
此時(shí)，
的最小值為.
.
變式1．（21-22高二上·山西運(yùn)城·期中）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，雙曲線的左、右焦點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．5 B． C．10 D．14
【答案】A
【分析】先確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系，最后根據(jù)三點(diǎn)共線即可求得最小值.
【詳解】根據(jù)橢圓方程，不妨設(shè)，根據(jù)雙曲線方程，可知，從而可知，
由雙曲線定義可知，即，
所以周長(zhǎng)，
要使其周長(zhǎng)最小，即求的最小值，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，且最小值是，
因此，周長(zhǎng)為.
故選:D
變式2．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為可求解.
【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，則，依題意，有，
，（當(dāng)在線段上時(shí)，取等號(hào)）．
故的最小值為9.
.
變式3．（20-21高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知A(-4，0)，B是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PA|+|PB|的最小值為（ ）
A．9 B． C．8 D．7
【答案】D
【分析】由雙曲線的定義結(jié)合圓的對(duì)稱性得出.
【詳解】圓的圓心為
由雙曲線的性質(zhì)可知，為其左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，
由定義可知
即
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用雙曲線的定義得出，進(jìn)而得出最小值.
變式4．（20-21高二上·河南開封·期中）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】記雙曲線的左焦點(diǎn)為，利用雙曲線的定義，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】
記雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，
因?yàn)闉橛抑弦稽c(diǎn)，由雙曲線的定義可得，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.
.
變式5．（21-22高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為 ，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】利用雙曲線定義可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可確定最小值為三點(diǎn)共線時(shí)的取值，由此可計(jì)算得到結(jié)果.
【詳解】

由雙曲線方程知：，，，則，，
由雙曲線定義知：，
（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取等號(hào)），
又，.
故答案為：.
變式6．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的方程為，如圖所示，點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)為其圓心，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的最小值為
【答案】.
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意和雙曲線的定義，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合圓的方程，得到，進(jìn)而求得的最小值.
【詳解】由雙曲線，可得，則，
如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線的定義，可得，
所以，
又由是圓上的點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，
所以，所以，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得等號(hào)，即的最小值為.
故答案為：.
變式7．（20-21高二上·北京·期中）已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到B的距離多2，則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為 .
【答案】4
【分析】利用雙曲線的定義得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右側(cè)一支，然后利用三點(diǎn)共線兩線段之和最大，求解即可得到答案.
【詳解】解：點(diǎn)，，且動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到B的距離多2，
所以，
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右側(cè)一支，
則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和，
當(dāng)且僅當(dāng)M，A，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為4.
故答案為：4.
變式8．（20-21高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）若是雙曲線的右支上的一點(diǎn),分別是圓和 上的點(diǎn),則的最大值為 .
【答案】
【分析】由題設(shè)知，，，即可得到，從而計(jì)算可得．
【詳解】解：雙曲線中，
，，，
，，
因?yàn)榉謩e是圓和 上的點(diǎn)，所以，
，
，，
，
所以
故答案為：．
【方法技巧與總結(jié)】
最值問題：利用三角形：和最小問題，兩邊之和≥第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在中間。
差的絕對(duì)值最大問題，兩邊之差的絕對(duì)值≤第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在兩邊。
【題型6：軌跡方程問題】
例6．（23-24高二上·重慶·期中）已知，圓 ，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，分兩圓相內(nèi)切與外切兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得.
【詳解】圓 ，即，圓心為，半徑，
設(shè)動(dòng)圓的半徑為，
若動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，則圓在圓內(nèi)，所以，，
所以，
所以動(dòng)點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且、，
所以，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，
若動(dòng)圓與圓相外切，所以，，
所以，
所以動(dòng)點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且、，
所以，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，
綜上可得動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.
變式1．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】結(jié)合雙曲線的定義求得的軌跡方程.
【詳解】設(shè)，，由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足，
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是射線．
故答案為：
變式2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)和的連線的斜率之積等于，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意結(jié)合斜率公式分析求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，
由已知得，整理得，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為．
故答案為：.
變式3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而利用得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?
所以，化簡(jiǎn)得.
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：
變式4．（23-24高二上·河南周口·期末）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】利用直接法建立等式，化簡(jiǎn)即可.
【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，
所以，即，
展開整理得．
故答案為：．
變式5．（22-23高二·全國(guó)·課堂例題）如圖，在中，已知，且三內(nèi)角A，B，C滿足，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為 .

【答案】
【分析】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，利用正弦定理結(jié)合已知條件可得，然后根據(jù)雙曲線的定義可求得結(jié)果.
【詳解】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，.
由正弦定理，得，，（R為的外接圓半徑）.

∵，
∴，即.
由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支（除去與x軸的交點(diǎn)）.
由題意，設(shè)所求軌跡方程為，
∵，，∴.
故所求軌跡方程為.
故答案為：
變式6．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)，構(gòu)成，且直線，的斜率之積為4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
【答案】
【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式列式并化簡(jiǎn)作答.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，而點(diǎn)，，在中，，又直線，的斜率存在，即，
于是，即，整理得，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
變式7．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為.求的方程；
【答案】；
【分析】
利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，從而得的值，即可得出軌跡的方程；
【詳解】
因?yàn)?，由雙曲線的定義可知，
軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，
，即，所以，
所以軌跡的方程為.
【方法技巧與總結(jié)】
求軌跡方程的常見方法有:
①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；
②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；
③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；
④逆代法，將代入.
一、單選題
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圓：和圓：，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系以及雙曲線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，
則，，
則，
根據(jù)雙曲線的定義知，動(dòng)圓的圓心的軌跡為雙曲線的左半支．
．
2．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
【答案】C
【分析】先求出，然后根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合可求得.
【詳解】雙曲線的，
由雙曲線的定義可得．
因?yàn)?，所以，得?7，
若，則在右支上，應(yīng)有，不不成立；
若，則在左支上，應(yīng)有，不成立．
．
3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，則“”是“曲線的焦點(diǎn)在軸上的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】易得充分性不成立，當(dāng) 時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可知必要性不不成立.
【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓， 故充分性不成立；
當(dāng) 時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
故由曲線的焦點(diǎn)在軸上推不出，即必要性不不成立；
所以“”是“曲線的焦點(diǎn)在軸上”的充分不必要條件．
．
4．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)為在縱軸上，所以，
且雙曲線C方程滿足，
故，則C的方程為．
．
5．（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并列出關(guān)系式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
則，解得：.
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
6．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線與相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用給定條件直接求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則的斜率為，的斜率為，
故，
所以，故D正確.
7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式表示夾角正切，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】動(dòng)點(diǎn)滿足，則，其中，
化簡(jiǎn)可得．
．
8．（2023高三上·湖北孝感·專題練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)可得雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，可求得雙曲線方程.
【詳解】由，得，所以焦點(diǎn)在y軸上，且．
設(shè)雙曲線的方程為，所以解得，，
所以雙曲線的方程為．
．
二、多選題
9．（23-24高二上·吉林延邊·期中）希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程 表示的曲線是雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值可能為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】AB
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的第二定義，求出的取值范圍，即可判斷．
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是雙曲線，
由，顯然，
即，則，
其中表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，
表示點(diǎn)直線的距離，又點(diǎn)不在直線上，
則表示平面內(nèi)一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離之比，
依題意可得，解得，結(jié)合各選項(xiàng)可知，只有A、B符合題意.
B
10．（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）（多選）已知曲線Γ：（），則（ ）
A．Γ可能是等軸雙曲線
B．若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則
C．Γ可能是半徑為的圓
D．若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則
【答案】CCD
【分析】根據(jù)圓，橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，若Γ是等軸雙曲線，則，顯然不不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
則，解得，故B正確；
對(duì)于C，Γ是圓，則，解得，半徑為，故C正確；
對(duì)于D，Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則，
解得，故D正確.
CD.
11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）滿足下列條件的點(diǎn)P的軌跡一定在雙曲線上的有（　?。?br/>A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2
【答案】CCD
【詳解】
解析：因?yàn)閨PA－PB|5AB，所以點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故A不正確；設(shè)P（x，y）（x≠±2），因?yàn)閗PA·kPB·2，化簡(jiǎn)得y22（x2－4），即－1，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故B正確；設(shè)P（x，y）（x≠±2），因?yàn)閗PA·kPB·1，化簡(jiǎn)得y2x2－4，即x2－y24，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故C正確；因?yàn)镻A－PB2＜5AB，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故D正確．
三、填空題
12．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程 ．
【答案】
【分析】由題意可知，結(jié)合可求出，從而可寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>所以，
又因?yàn)?，則，即，
又因?yàn)?，所以?br/>解得，
當(dāng)時(shí)，的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：（答案不唯一，滿足即可）．
13．（23-24高二下·廣西南寧·期末）若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】3
【分析】設(shè)，由雙曲線定義可得，代入結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可知：，且，
設(shè)，則，
可得在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值3．
故答案為：3.
14．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線C上，且滿足，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上待定系數(shù)求解即可．
【詳解】解：由題，設(shè)，，因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
因?yàn)?，解得?br/>所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
四、解答題
15．（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；
(2)過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為或，然后根據(jù)已知條件來求得正確答案.
（2）雙曲線的方程為，然后根據(jù)已知條件來求得正確答案.
【詳解】（1）方法一
根據(jù)題意，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，即．①
雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，
．②
由①②得，，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
方法二
設(shè)所求雙曲線的方程為．
雙曲線過點(diǎn)，
，
解得或（舍去）．
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)雙曲線的方程為，．
點(diǎn)，在雙曲線上，
解得
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
16．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知：點(diǎn)不在圓的內(nèi)部，：“曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，：“曲線表示雙曲線”．
(1)若和都不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、橢圓方程的特點(diǎn)分別解出當(dāng)、為真時(shí)，的取值范圍，再求交集即可；
（2）當(dāng)為真時(shí)，求得，再根據(jù)或，求解即可.
【詳解】（1）解：當(dāng)為真時(shí)，則有，
整理得：，解得或；
當(dāng)為真時(shí)，則有，解得或；
又因?yàn)楹投紴檎妫?br/>所以，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）解：當(dāng)為真時(shí)，則有，解得，
又因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，
所以或，
所以或，
解得或，
所以的取值范圍.
17．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知圓，，為上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，點(diǎn)不在軸上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義確定點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出軌跡方程.
（2）由給定條件，可得點(diǎn)在第一象限，且是腰長(zhǎng)為4的等腰三角形，再結(jié)合（1）中軌跡方程，求解方程組即得結(jié)果.
【詳解】（1）依題意，圓的圓心，半徑，
由線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，得，
則，
因此點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，
實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，則虛半軸長(zhǎng)，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）依題意，由與軸不重合，得，則，點(diǎn)在第一象限，
是以線段為底邊的等腰三角形，則，
設(shè)，則，又，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.
18．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，.
(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；
(2)如圖，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，求的面積.
【答案】(1)10或22
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求解；
（2）由雙曲線的定義和余弦定理得得解.
【詳解】（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故，，，
由雙曲線的定義得，
又雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，
假設(shè)點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x，
則，解得或.
故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22.
（2）由雙曲線的定義和余弦定理得，
，
所以，
所以，
所以.
19．（23-24高二上·湖北·階段練習(xí)）已知圓：，圓：．
(1)求經(jīng)過點(diǎn)以及圓與圓交點(diǎn)的圓的方程；
(2)若動(dòng)圓和圓、圓均外切，求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)出所求圓的方程，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得所求圓的方程.
（2）根據(jù)雙曲線的定義求得點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】（1）設(shè)所求圓方程為：，，
將代入上面方程，
得，
解得，所以該圓方程為：，
化簡(jiǎn)為：.
（2）由題圓：，圓心，半徑，
圓：，圓心，半徑，
又因?yàn)閳A和圓，圓均外切，令，圓的半徑為，
則，，所以，
所以點(diǎn)在以，為左右焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線靠近點(diǎn)的一支上，
且，所以，， ，
所以點(diǎn)坐標(biāo)滿足如下關(guān)系：
，解得．
所以點(diǎn)的軌跡方程為：．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過對(duì)雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的 學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 2.借助于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過 程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 1.掌握雙曲線的定義，會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問題 2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題:
知識(shí)點(diǎn)01 雙曲線的定義
1.定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.
2.焦距：這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.
注意：1. 若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；
2. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；
3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；
4. 若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·江西·期末）已知點(diǎn)P是雙曲線：上一點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．5 B．13 C．5或9 D．5或6
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
知識(shí)點(diǎn)02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程Ax2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線。
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·廣東茂名·期末）雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)分別為、，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·廣東肇慶·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的雙曲線方程為（ ）
A． B．
C． D．
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，直線：與E交于A，B兩點(diǎn)，且，則 .
【題型1：雙曲線的定義】
例1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．射線 B．直線
C．橢圓 D．雙曲線的一支
變式1．（22-23高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡（ ）
A．橢圓 B．直線 C．雙曲線 D．兩條射線
變式2．（22-23高二下·福建福州·期中）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
變式3．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)、是兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在
變式4.（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離是 ．
變式5．（22-23高二上·山西晉中·期末）與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓
變式6．(多選)（23-24高二上·河南焦作·階段練面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的點(diǎn)M的軌跡（ ）
A．橢圓 B．一條直線 C．兩條射線 D．雙曲線
變式7．（多選）（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（　?。?br/>A． B．2 C． D．
變式8．（23-24高二下·北京·期中）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是與是雙曲線右支的一點(diǎn)，且，則 ．
變式9．（23-24高二上·湖南岳陽(yáng)·期末）如果雙曲線右支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離等于，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 .
【題型2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B． C． D．或
變式2．（21-22高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且滿足，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)頂點(diǎn)為，則雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（22-23高二上·江蘇連云港·期末）經(jīng)過點(diǎn)且焦點(diǎn)為，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
變式6．（22-23高二下·上海黃浦·期中）雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn)，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
變式7．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的等軸雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式8．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為(，0)和(－，0)，點(diǎn)在雙曲線上，且⊥，△的面積為1，則雙曲線的方程為 ．
變式9．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)與的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【方法技巧與總結(jié)】
用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：
【題型3：雙曲線定義的應(yīng)用】
例3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）若曲線表示雙曲線，則k的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）方程所表示的曲線為，有下列命題：①若曲線為橢圓，則；②若曲線為雙曲線，則或；③曲線不可能是圓；④若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則.
以上命題正確的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④
變式2．（22-23高二上·遼寧沈陽(yáng)·期末）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程表示雙曲線，則的取值范圍是 .
變式4．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
變式5．（23-24高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
變式6．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍為 ．
變式7．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
變式8．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知，當(dāng)為何值時(shí)，
(1)方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
(2)方程表示雙曲線.
【題型4：焦點(diǎn)三角形】
例4．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（22-23高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）設(shè)，分別是雙曲線C：的左 右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)且在第一象限若，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（ ）
A．1 B． C．2 D．
變式2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（ ）
A．24 B． C． D．30
變式3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，軸于點(diǎn)，且在線段上，，則（ ）
A．4 B．6 C． D．40
變式4.（20-21高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，則的形狀是
三角形（填銳角，直角，鈍角）.
變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且線段經(jīng)過焦點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為 .
變式6．（23-24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，第二象限內(nèi)的一點(diǎn)P在雙曲線上，且，則三角形的面積是 ．
變式7.（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知、是雙曲線的焦點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，那么的值是 ．
【方法技巧與總結(jié)】
求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：
①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積
④結(jié)論：
【題型5：和差最值問題】
例5．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，且雙曲線的右支上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（21-22高二上·山西運(yùn)城·期中）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，雙曲線的左、右焦點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．5 B． C．10 D．14
變式2．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
變式3．（20-21高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知A(-4，0)，B是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PA|+|PB|的最小值為（ ）
A．9 B． C．8 D．7
變式4．（20-21高二上·河南開封·期中）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．2
變式5．（21-22高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為 ，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為 .
變式6．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的方程為，如圖所示，點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)為其圓心，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的最小值為
變式7．（20-21高二上·北京·期中）已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到B的距離多2，則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為 .
變式8．（20-21高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）若是雙曲線的右支上的一點(diǎn),分別是圓和 上的點(diǎn),則的最大值為 .
【方法技巧與總結(jié)】
最值問題：利用三角形：和最小問題，兩邊之和≥第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在中間。
差的絕對(duì)值最大問題，兩邊之差的絕對(duì)值≤第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在兩邊。
【題型6：軌跡方程問題】
例6．（23-24高二上·重慶·期中）已知，圓 ，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 ．
變式2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)和的連線的斜率之積等于，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
變式3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 .
變式4．（23-24高二上·河南周口·期末）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 ．
變式5．（22-23高二·全國(guó)·課堂例題）如圖，在中，已知，且三內(nèi)角A，B，C滿足，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為 .

變式6．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)，構(gòu)成，且直線，的斜率之積為4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
變式7．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)的軌跡為.求的方程；
【方法技巧與總結(jié)】
求軌跡方程的常見方法有:
①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；
②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；
③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；
④逆代法，將代入.
一、單選題
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圓：和圓：，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，則“”是“曲線的焦點(diǎn)在軸上的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線與相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高三上·湖北孝感·專題練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高二上·吉林延邊·期中）希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程 表示的曲線是雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值可能為（ ）
A． B．3 C． D．4
10．（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）（多選）已知曲線Γ：（），則（ ）
A．?？赡苁堑容S雙曲線
B．若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則
C．?？赡苁前霃綖榈膱A
D．若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則
11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）滿足下列條件的點(diǎn)P的軌跡一定在雙曲線上的有（　?。?br/>A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2
三、填空題
12．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程 ．
13．（23-24高二下·廣西南寧·期末）若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
14．（24-25高二上·上海·課堂例題）雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線C上，且滿足，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
四、解答題
15．（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；
(2)過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
16．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知：點(diǎn)不在圓的內(nèi)部，：“曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，：“曲線表示雙曲線”．
(1)若和都不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍．
17．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知圓，，為上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，點(diǎn)不在軸上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
18．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，.
(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；
(2)如圖，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，求的面積.
19．（23-24高二上·湖北·階段練習(xí)）已知圓：，圓：．
(1)求經(jīng)過點(diǎn)以及圓與圓交點(diǎn)的圓的方程；
(2)若動(dòng)圓和圓、圓均外切，求點(diǎn)的軌跡方程.
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