資源簡介

2.6.2雙曲線的幾何性質
課程標準 學習目標
1.掌握雙曲線的簡單幾何性質 2.理解雙曲線離心率的定義，掌握離 心率的算法 1.重點:雙曲線的漸近線、離心率等幾何性質: 2.難點:雙曲線的離心率的意義及算法
知識點01 雙曲線的幾何性質
標準方程 －1(a>0，b>0) －1(a>0，b>0)
性質 圖形
焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|2c
性質 范圍 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：；虛軸：線段B1B2，長：；半實軸長：，半虛軸長：
離心率 e∈(1，＋∞)
漸近線 y±x y±x
【即學即練1】（2024高二·江蘇·專題練習）等軸雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練2】（22-23高二上·全國·課后作業）已知雙曲線C：的左、右頂點分別為A、B，點P在雙曲線C上，且直線PA與直線PB的斜率之積為1，求雙曲線C的焦距.
知識點02等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y±x，離心率為e.
注意：對雙曲線的簡單幾何性質的幾點認識
1.雙曲線的焦點決定雙曲線的位置；
2.雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然．
3.巧設雙曲線方程：與雙曲線－1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為－t(t≠0)．
【即學即練3】（2022高二·全國·專題練習）等軸雙曲線的一個焦點為，則它的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練4】（23-24高二上·安徽·階段練習）已知等軸雙曲線的對稱軸為坐標軸，且經過點，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
知識點03 雙曲線與漸近線的關系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（a＞0，b＞0）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
【即學即練5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等軸雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練6】（23-24高二下·全國·課后作業）已知雙曲線，求該雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、離心率與漸近線方程
難點：數形結合的運用
示例1：（多選）（24-25高二上·陜西渭南·階段練習）設F為雙曲線的焦點，O為坐標原點，若圓心為，半徑為2的圓交C的右支于A，B兩點，則（ ）.
A．C的離心率為 B．
C． D．
【題型1：雙曲線的幾何性質】
例1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二下·四川綿陽·開學考試）已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·廣西柳州·模擬預測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（ ）．
A． B．4 C． D．
變式3．（23-24高二上·江西景德鎮·期末）共軛雙曲線與，有（ ）
A．相同的離心率 B．公共焦點
C．公共頂點 D．公共漸近線
變式4．（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則的實軸長為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知，則關于雙曲線與雙曲線，下列說法中正確的是（ ）.
A．有相同的焦距 B．有相同的焦點
C．有相同的離心率 D．有相同的漸近線
變式6．（多選）（23-24高二上·河南漯河·階段練習）已知橢圓:與雙曲線：（），下列關于兩曲線的說法正確的是（ ）
A．C1的長軸長與C2的實軸長相等 B．C1的短軸長與C2的虛軸長相等
C．焦距相等 D．離心率不相等
變式7．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為 .
變式8．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）若方程表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為 .
【方法技巧與總結】
由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟：
1.把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵；
2.由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值；
3.由c2a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質。
注意：求性質時一定要注意焦點的位置
【題型2：利用幾何性質求標準方程】
例2．（2020·安徽合肥·模擬預測）已知雙曲線的漸近線方程為，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為（ ）.
A． B．或
C． D．或
變式1．（23-24高二下·浙江·階段練習）過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）若雙曲線的焦點在x軸上，漸近線方程為，虛軸長為，則雙曲線的標準方程為 ．
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，其中一條漸近線方程為，直線截該雙曲線的弦長為6，則該雙曲線的方程為 .
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的焦點與橢圓的上、下頂點重合，且其中一條漸近線的方程為，則該雙曲線的標準方程為 ．
變式5．（23-24高二上·廣東江門·期末）寫出一個與雙曲線有相同漸近線，且焦點在軸上的雙曲線方程為 .
變式6．（23-24高二上·上海·期末）已知雙曲線E與雙曲線具有相同的漸近線，且經過點，則雙曲線E的方程為 .
變式7.（23-24高二上·安徽六安·期末）根據下列條件求雙曲線的標準方程：
(1)過點（2，0），與雙曲線1的離心率相等；
(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M（3，﹣2）．
【題型3：離心率問題】
例3．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）過雙曲線的左焦點作直線與它的兩條漸近線分別交于兩點，且是坐標原點，則雙曲線的離心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
變式1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B． C． D．4
變式2．（23-24高二下·廣西·期中）雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，設為線段的中點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率（ ）.
A． B． C． D．
變式5．（24-25高三上·山東濟南·開學考試）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則C的離心率的值為 .
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的左、右焦點分別為且在軸上，且雙曲線上存在一點使得，若軸，則該雙曲線的離心率為 ．
變式7．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于M，N兩點.若，則雙曲線的離心率為 .

變式8．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為 ．
【方法技巧與總結】
雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
求出a，c，代入公式；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·浙江·期中）設橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，，且雙曲線的漸近線的斜率小于，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分別為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點且點在軸上的射影恰為該雙曲線的右焦點交雙曲線于另一點，滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（19-20高二上·河北石家莊·期中）已知點，分別是雙曲線的左右焦點，為坐標原點，點在雙曲線右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（23-24高二上·重慶·期中）已知，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，且.則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為 ．
變式6．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為、，焦距為．若以線段為直徑的圓與直線有交點，則雙曲線C的離心率取值范圍為
變式7．（23-24高二上·江蘇常州·期中）分別為雙曲線左右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，若最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是 .
變式8．（23-24高二上·浙江臺州·期中）已知分別為雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，記的內切圓的半徑為，的內切圓的半徑為，，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
【題型5：直線與雙曲線的位置關系】
例5．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）已知直線的方程為，雙曲線的方程為若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二下·廣東湛江·期中）若雙曲線的離心率為，右焦點為，點E的坐標為，則直線OE（O為坐標原點）與雙曲線的交點個數為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定
變式2．（2024高三·全國·專題練習）已知雙曲線，過點作直線，使與有且只有一個公共點，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
變式3．（23-24高二上·上海·期末）設雙曲線經過點，且與具有相同的漸近線，則經過點且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（ ）條.
A．0 B．1 C．2 D．3
變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過點作直線，使它與雙曲線只有一個公共點，這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
變式5．（24-25高二上·山東濱州·階段練習）已知雙曲線，與直線只有一個公共點，符合題意的直線個數為 ．
變式6．（2024高三·全國·專題練習）過點且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有 條，它們的方程分別是 ．
變式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知橢圓的離心率為，點在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與相交于兩點，中點在曲線上，探究直線與雙曲線的位置關系．
變式8.（2024高三·全國·專題練習）（1）求雙曲線在點處的切線方程；
（2）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點，求直線AB的方程．
【方法技巧與總結】
將直線的方程與雙曲線的方程聯立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點
【題型6：雙曲線弦長問題】
例6．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知雙曲線C：，過點的直線l與雙曲線C交于M、N兩點，若P為線段的中點，則弦長 .
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知離心率為的雙曲線的左、右焦點分別為為右支上的一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的右焦點為，過作垂直于一條漸近線，垂足為，若點關于原點對稱，則 ．
變式3.（23-24高二上·湖北孝感·階段練習）已知雙曲線M與雙曲線N：有共同的漸近線．
(1)若M經過拋物線的頂點，求雙曲線M的方程；
(2)若雙曲線M的兩個焦點分別為，，點P為M上的一點，且，求雙曲線M的方程．
變式4．（22-23高二上·浙江金華·期中）雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點.
(1)求弦長；
(2)若點是雙曲線左支上的點，且，求點到軸的距離.
變式5．（23-24高二下·上海·期末）已知、是雙曲線的兩點，的中點的坐標為．
(1)求直線的方程；
(2)求兩點間距離．
變式6．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點，且，求實數m的值.
變式7．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，為坐標原點，點在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于兩點，且，求的最小值．
變式8．（23-24高二上·山西太原·期末）已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若斜率為的直線經過右焦點，與雙曲線的右支相交于，兩點，雙曲線的左焦點為，求的周長.
變式9．（23-24高二下·廣東茂名·開學考試）已知雙曲線與有相同的漸近線，點為的右焦點，，為的左右頂點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，求．
【方法技巧與總結】
設直線交雙曲線于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
【題型7：雙曲線中點弦問題】
例7．（2024·四川綿陽·模擬預測）過雙曲線的左焦點的直線（斜率為正）交雙曲線于兩點，滿足，設為的中點，則直線（為坐標原點）斜率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
變式2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知直線過雙曲線：的左焦點，且與的左、右兩支分別交于，兩點，設為坐標原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦的中點為，則直線l的方程為 ．
變式4．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知雙曲線，過點的直線與相交于兩點，且為線段的中點，則直線的方程為 .
變式5．（23-24高二上·河南開封·期末）已知點是離心率為2的雙曲線上的三點，直線的斜率分別是，點分別是線段的中點，為坐標原點，直線的斜率分別是，若，則 ．
變式6.（2024高三下·全國·專題練習）已知雙曲線：的左右頂點分別為、．
(1)求以、為焦點，離心率為的橢圓的標準方程；
(2)直線過點與雙曲線交于兩點，若點恰為弦的中點，求出直線的方程；
變式7.（23-24高二上·陜西寶雞·期末）已知雙曲線的漸近線方程是，實軸長為2.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，求直線的斜率.
變式8.（2024高二·全國·專題練習）過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，且P為線段AB的中點，求直線l的方程．
【方法技巧與總結】
雙曲線中點弦的斜率公式：
設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
【題型8：解答題】
例8．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）已知雙曲線一條漸近線方程為，且點在雙曲線上.
(1)求雙曲線標準方程，
(2)若雙曲線的左頂點為，右焦點為為雙曲線右支上任意一點，求的最小值.
變式1．（22-23高二上·全國·期中）已知雙曲線過點且與雙曲線有共同的漸近線，，分別是的左、右焦點．
(1)求的標準方程；
(2)設點是上第一象限內的點，求的取值范圍．
變式2．（23-24高二上·四川雅安·階段練習）已知曲線的方程為．
(1)說明為何種圓雉曲線，并求的標準方程；
(2)已知直線與交于，兩點，與的一條漸近線交于點，且在第四象限，為坐標原點，求．
變式3．（22-23高二下·四川內江·階段練習）已知命題p：方程表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線的離心率．
(1)若命題q為真，求實數m的取值范圍；
(2)若命題為假命題，為真命題，求實數m的取值范圍．
變式4．（23-24高二下·廣西貴港·期中）已知雙曲線的右焦點到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程．
(2)設的左、右頂點分別為，，過點且斜率不為0的直線與相交于，兩點，直線與直線相交于點．試問點是否在定直線上？若是，求出定直線的方程；若不是，說明理由．
變式5．（23-24高二下·陜西榆林·期末）已知雙曲線：（，）經過點，且其離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設雙曲線的左，右焦點分別為，，的一條漸近線上有一點，滿足恰好垂直于這條漸近線，求的面積．
變式6．（23-24高二下·貴州六盤水·期末）已知雙曲線過點，左、右頂點分別為，，直線與直線的斜率之和為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于，（在第一象限）兩點，，是雙曲線上一點，的重心在軸上，求點的坐標．
變式7．（23-24高二下·上海·階段練習）如圖:雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線交軸于點.
(1)當直線平行于的斜率大于的漸近線時，求直線與的距離；
(2)當直線的斜率為時，在的右支上是否存在點，滿足 若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由;
變式8．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．
(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；
(2)已知點，不經過點的直線與曲線C交于A，B兩點，且．直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由．
一、單選題
1．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習）方程的兩個根可分別作為（ ）
A．橢圓和雙曲線的離心率 B．兩雙曲線的離心率
C．兩橢圓的離心率 D．以上皆錯
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知雙曲線的實軸長為1，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·上海·課后作業）南非雙曲線大教堂是數學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·廣西桂林·期末）雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
5．（23-24高二下·四川達州·期末）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，虛軸長為，離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）若雙曲線的實軸長為，則正數（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·全國·隨堂練習）已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·全國·隨堂練習）中心在原點，焦點在軸上，且一個焦點在直線上的等軸雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線，則“”是“雙曲線的離心率為”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
10．（22-23高三上·海南儋州·開學考試）已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，則（ ）
A．雙曲線的一條漸近線方程為
B．橢圓和雙曲線共焦點
C．橢圓的離心率
D．橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點
11．（23-24高二下·四川德陽·期末）雙曲線C：的左右頂點分別為A、B，P、Q兩點在C上，且關于x軸對稱（ ）
A．以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為
B．雙曲線C的離心率為
C．直線與的斜率之積為
D．雙曲線C的焦點到漸近線的距離為2
12．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知曲線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則是圓，其半徑為
B．若，，則是兩條直線
C．若時，則是橢圓，其焦點在軸上
D．若時，則是雙曲線，其漸近線方程為
三、填空題
13．（2024高三·全國·專題練習）已知雙曲線（其中）的右焦點為，則 的離心率為 ．
14．（24-25高二上·廣西柳州·階段練習）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸與虛半軸平方差的算術平方根，這個圓叫雙曲線的蒙日圓.過雙曲線的蒙日圓上一點作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，若，則的周長為 .
15．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線C：的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數m的取值范圍是 ．
四、解答題
16．（23-24高二上·全國·課后作業）已知雙曲線，直線，試確定實數k的取值范圍，使：
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
17．（23-24高二下·上海·期中）已知，直線與雙曲線相交于不同的點.
(1)若點分別在雙曲線的左、右兩支上，求的取值范圍；
(2)若以線段為直徑的圓，經過坐標原點，求的值.
18．（23-24高二下·浙江·階段練習）已知雙曲線，過該曲線上的點作不平行于坐標軸的直線交雙曲線的右支于另一點，作直線交雙曲線的漸近線于兩點A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，
(1)求雙曲線方程．
(2)證明：直線過定點.
(3)當的斜率為負數時，求四邊形的面積的取值范圍．
19．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）已知雙曲線和橢圓有公共焦點，且離心率．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點作兩條相互垂直的直線分別交雙曲線于不同于點的兩點，求點到直線距離的最大值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.6.2雙曲線的幾何性質
課程標準 學習目標
1.掌握雙曲線的簡單幾何性質 2.理解雙曲線離心率的定義，掌握離 心率的算法 1.重點:雙曲線的漸近線、離心率等幾何性質: 2.難點:雙曲線的離心率的意義及算法
知識點01 雙曲線的幾何性質
標準方程 －1(a>0，b>0) －1(a>0，b>0)
性質 圖形
焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|2c
性質 范圍 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：；虛軸：線段B1B2，長：；半實軸長：，半虛軸長：
離心率 e∈(1，＋∞)
漸近線 y±x y±x
【即學即練1】（2024高二·江蘇·專題練習）等軸雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】寫出等軸雙曲線方程，根據方程即可求出其漸近線方程.
【詳解】由題意，若等軸雙曲線方程為，
則，則其漸近線方程為；
若等軸雙曲線方程為，
則，則其漸近線方程為，
綜上，等軸雙曲線的漸近線方程為.
【即學即練2】（22-23高二上·全國·課后作業）已知雙曲線C：的左、右頂點分別為A、B，點P在雙曲線C上，且直線PA與直線PB的斜率之積為1，求雙曲線C的焦距.
【答案】
【分析】設點，利用直線PA與直線PB的斜率之積為1，可以列關于，的等式，再利用點P在雙曲線上又可以得到于，的關系式，兩式結合可以得到b，從而可以求出焦距.
【詳解】解：設點，因為，所以.
因為點P在雙曲線C上，所以，，所以，即b2.
所以雙曲線C的焦距為.
知識點02等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y±x，離心率為e.
注意：對雙曲線的簡單幾何性質的幾點認識
1.雙曲線的焦點決定雙曲線的位置；
2.雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然．
3.巧設雙曲線方程：與雙曲線－1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為－t(t≠0)．
【即學即練3】（2022高二·全國·專題練習）等軸雙曲線的一個焦點為，則它的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意設等軸雙曲線為，再由可求出，從而可求出雙曲線的方程.
【詳解】由題意設等軸雙曲線為，
因為等軸雙曲線的一個焦點為，
所以，得，
所以等軸雙曲線為，即，
故選：
【即學即練4】（23-24高二上·安徽·階段練習）已知等軸雙曲線的對稱軸為坐標軸，且經過點，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出等軸雙曲線的標準方程，將代入即可求解.
【詳解】設等軸雙曲線的方程為，
將點代入得，解得.
所以雙曲線的標準方程為.
故選:C.
知識點03 雙曲線與漸近線的關系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（a＞0，b＞0）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
【即學即練5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等軸雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據等軸雙曲線的定義，可設，以雙曲線的中心為原點，焦點所在的射線為x軸建立直角坐標系，寫出雙曲線的方程，由此得到漸近線方程，從而求得兩漸近線的夾角.
【詳解】由等軸雙曲線的定義可知雙曲線的實軸與虛軸長度相等，∴實半軸與虛半軸的長度相等，設不妨設，以雙曲線的中心為原點，焦點所在的射線為軸建立直角坐標系，可知雙曲線的方程為，兩條漸近線方程為，這兩條漸近線的夾角為．
．
【即學即練6】（23-24高二下·全國·課后作業）已知雙曲線，求該雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、離心率與漸近線方程
【答案】頂點坐標為，焦點坐標為，離心率為，漸近線為
【分析】將方程化為標準式，即可求出、、，再解答即可.
【詳解】雙曲線，即，所以，所以，
故雙曲線的頂點坐標為，焦點坐標為，離心率，漸近線為；
難點：數形結合的運用
示例1：（多選）（24-25高二上·陜西渭南·階段練習）設F為雙曲線的焦點，O為坐標原點，若圓心為，半徑為2的圓交C的右支于A，B兩點，則（ ）.
A．C的離心率為 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據雙曲線的標準方程及離心率公式可判斷；設，，聯立雙曲線與圓的方程結合韋達定理計算可判斷；由基本不等式鏈，結合可判斷；由題意得，結合基本不等式可判斷.
【詳解】對于，因為，則，
所以C的離心率為，故正確；
對于，設，，
聯立，消去x可得，
則，解得；
則，，
則，，
所以，故錯誤；
對于，由基本不等式鏈得，
當且僅當時取等號，故正確；
對于，F為右焦點，，
又，，
，故正確.
CD.
【點睛】利用韋達定理解題的基本規律：
（1）設直線方程（本題中可直接寫出圓的方程），設交點坐標為，；
（2）聯立直線（曲線）與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為（或）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
【題型1：雙曲線的幾何性質】
例1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合焦距定義與漸近線方程定義計算即可得.
【詳解】由題意可得，解得（負值舍去），
則該雙曲線的漸近線方程為.
.
變式1．（23-24高二下·四川綿陽·開學考試）已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據焦距可求，從而可求漸近線的方程.
【詳解】因為焦距為，故，故，故
故漸近線方程為，
.
變式2．（2024·廣西柳州·模擬預測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】求出頂點坐標和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式求解．
【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點，，
漸近線方程為，
由對稱性，不妨求到直線的距離，．
．
變式3．（23-24高二上·江西景德鎮·期末）共軛雙曲線與，有（ ）
A．相同的離心率 B．公共焦點
C．公共頂點 D．公共漸近線
【答案】A
【分析】根據雙曲線的離心率、交點、頂點、漸近線等知識確定正確答案.
【詳解】雙曲線的焦點在軸上，雙曲線的焦點在軸上，
所以BC選項錯誤.
雙曲線對應，
對應離心率為，漸近線方程為.
雙曲線對應，
對應離心率為，漸近線方程為，
所以A選項錯誤，D選項正確.
變式4．（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則的實軸長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據雙曲線的漸近線和直線斜率可得，求得，進而可得實軸長.
【詳解】由雙曲線可知：，且焦點在x軸上，
則雙曲線的漸近線為，
且直線的斜率，
若直線與雙曲線的一條漸近線平行，
則，解得，即，
所以的實軸長為.
.
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知，則關于雙曲線與雙曲線，下列說法中正確的是（ ）.
A．有相同的焦距 B．有相同的焦點
C．有相同的離心率 D．有相同的漸近線
【答案】AC
【分析】根據題意，結合雙曲線的幾何性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】由雙曲線，可得，則焦距為，
焦點坐標為，漸近線方程為，離心率為；
又由雙曲線，可得，則焦距為，
焦點坐標為，漸近線方程為，離心率為，
所以雙曲線和有相同的焦距，離心率相同，焦點坐標和漸近線方程不同.
C.
變式6．（多選）（23-24高二上·河南漯河·階段練習）已知橢圓:與雙曲線：（），下列關于兩曲線的說法正確的是（ ）
A．C1的長軸長與C2的實軸長相等 B．C1的短軸長與C2的虛軸長相等
C．焦距相等 D．離心率不相等
【答案】DD
【分析】利用定義分別寫出橢圓和雙曲線的長短半軸、實半軸虛半軸以及焦慮和離心率，就可以對四個選項進行判斷了.
【詳解】橢圓：長軸半，短半軸，焦半距，離心率；
雙曲線：長軸半，短半軸，焦半距，離心率；
∵，∴選項A不正確；
∵，∴選項B不正確；
∵，∴選項C正確；
∵，∴選項D正確；
D
變式7．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為 .
【答案】
【分析】求出漸近線方程，對照得到方程，求出，從而求出焦距.
【詳解】由題意得的漸近線方程為，
故，解得，
故，焦距為.
故答案為：
變式8．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）若方程表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為 .
【答案】
【分析】化為，根據雙曲線方程的特征得到雙曲線的虛軸長.
【詳解】若方程表示雙曲線，顯然，
則由可得，所以，
該雙曲線的虛軸長為，
故答案為：.
【方法技巧與總結】
由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟：
1.把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵；
2.由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值；
3.由c2a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質。
注意：求性質時一定要注意焦點的位置
【題型2：利用幾何性質求標準方程】
例2．（2020·安徽合肥·模擬預測）已知雙曲線的漸近線方程為，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為（ ）.
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根據雙曲線的焦點的位置進行分類討論，結合雙曲線漸近線方程和實軸長的定義進行求解即可.
【詳解】當雙曲線的焦點在橫軸時，設雙曲線的標準方程為：，
因為實軸長為4，所以得，因為雙曲線的漸近線方程為：，所以有，
因此，所以雙曲線的方程為：；
當雙曲線的焦點在縱軸時，設雙曲線的標準方程為：，
因為實軸長為4，所以得，因為雙曲線的漸近線方程為：，所以有，
因此，所以雙曲線的方程為：.
綜上所述，雙曲線的方程為或.
變式1．（23-24高二下·浙江·階段練習）過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據漸近線相同可設所求為，將點代入求得即可得解.
【詳解】因為所求雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以設其方程為，
又點在雙曲線上，所以，解得，
則雙曲線方程為.
．
變式2．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）若雙曲線的焦點在x軸上，漸近線方程為，虛軸長為，則雙曲線的標準方程為 ．
【答案】
【分析】由若雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線標準方程可設為，由虛軸長為，可知，再由漸近線方程為，可知，代入即可求解.
【詳解】由若雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線標準方程可設為：，
由虛軸長為，可知，再由漸近線方程為，可知，
所以雙曲線標準方程為：.
故答案為：.
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，其中一條漸近線方程為，直線截該雙曲線的弦長為6，則該雙曲線的方程為 .
【答案】
【分析】由漸近線方程設出雙曲線方程，再直曲聯立得到韋達定理，最后由弦長公式求出，解出即可；
【詳解】由于的一條漸近線為，可設雙曲線的方程為，
將代入雙曲線得，
若直線與雙曲線交點為，
則，
則，解得，
經檢驗，滿足題意；
故該雙曲線的方程為，即.
故答案為：.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的焦點與橢圓的上、下頂點重合，且其中一條漸近線的方程為，則該雙曲線的標準方程為 ．
【答案】
【分析】根據橢圓的頂點坐標得雙曲線的交點坐標，結合漸近線方程求出參數即可.
【詳解】橢圓的上、下頂點坐標為，
設雙曲線的標準方程為，其半焦距為，
由題得雙曲線焦點為，即.
因為其中一條漸近線方程為，
所以，即，結合，解得，
所以雙曲線的標準方程為．
故答案為:.
變式5．（23-24高二上·廣東江門·期末）寫出一個與雙曲線有相同漸近線，且焦點在軸上的雙曲線方程為 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】設所求雙曲線的方程為，再根據焦點在軸上，可得，即可得解.
【詳解】設所求雙曲線的方程為，
因為所求雙曲線的焦點在軸上，所以，
則可取，
所以所求雙曲線的方程為.
故答案為：.（答案不唯一）
變式6．（23-24高二上·上海·期末）已知雙曲線E與雙曲線具有相同的漸近線，且經過點，則雙曲線E的方程為 .
【答案】
【分析】由相同漸近線的雙曲線方程待定參數，將點的坐標代入即可求解.
【詳解】由題意不妨設與雙曲線具有相同的漸近線的雙曲線E的方程為，
若雙曲線E經過點，則，解得，
所以雙曲線E的方程為.
故答案為：.
變式7.（23-24高二上·安徽六安·期末）根據下列條件求雙曲線的標準方程：
(1)過點（2，0），與雙曲線1的離心率相等；
(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M（3，﹣2）．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）根據題意求出即可；
（2）設所求雙曲線的方程為k（），代入點求出k即可.
【詳解】（1）過點（2，0），可知所求雙曲線的焦點在x軸上，且a2，
因為所求雙曲線與雙曲線1的離心率相等；
所以e，解得c，所以b1，
所以雙曲線方程為1．
（2）與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M（3，﹣2），
則可設所求雙曲線的方程為k（），
把點M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k﹣2．
所以所求雙曲線的標準方程為1．
【題型3：離心率問題】
例3．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）過雙曲線的左焦點作直線與它的兩條漸近線分別交于兩點，且是坐標原點，則雙曲線的離心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】根據向量關系得出漸近線得傾斜角，再根據漸近線斜率及關系進而得出離心率.
【詳解】
由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.
由
∵為線段的中點，
∴，則為等腰三角形.
∴,
連接
由雙曲線的的漸近線的性質可得
∴
∴，即.
∴雙曲線的離心率為
所以.
.
變式1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】由離心率的定義即可求解.
【詳解】雙曲線中，，雙曲線的離心率，
所以．
．
變式2．（23-24高二下·廣西·期中）雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據雙曲線標準方程求出,即可求出離心率.
【詳解】因為，
所以,
所以.
.
變式3．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，設為線段的中點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因為為線段的中點，所以這是一個中點弦問題，采用點差法運算即可.
【詳解】如圖: ，
由
可得點 的坐標為 ，
則直線 斜率為 ， 直線 斜率為 ，
另一方面， 設 , 則
兩式相減得 ， 整理得 ,
即 ， 故

變式4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據雙曲線的定義以及三角形的面公式可以得到為直角三角形，進而由勾股定理可以求解.
【詳解】由雙曲線的定義可知得
因為，，
設，則，
，
，
為直角三角形
，
，即，
，
變式5．（24-25高三上·山東濟南·開學考試）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則C的離心率的值為 .
【答案】
【分析】由已知可得，進而可求雙曲線的離心率.
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線的方程為，
所以，所以雙曲線的離心率為.
故答案為：.
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的左、右焦點分別為且在軸上，且雙曲線上存在一點使得，若軸，則該雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，求出，再利用雙曲線定義，結合已知求解即得.
【詳解】設雙曲線的方程為，，由軸，得直線，
于是，解得，，，
而，因此，整理得，
而，則，
所以該雙曲線離心率.
故答案為：

變式7．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于M，N兩點.若，則雙曲線的離心率為 .

【答案】
【分析】先設坐標再應用坐標的線性運算，最后結合數量積公式計算得出齊次式求出離心率.
【詳解】設，，
因為，所以，
又，所以，則，
因為，所以
又，所以，所以，
則，則
故答案為:
變式8．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】2或
【分析】本題根據漸近線的夾角求出漸近線的斜率，再根據漸近線的斜率與雙曲線方程中參數以及離心率的關系即可求得結果.
【詳解】雙曲線的兩條漸近線的夾角為，且漸近線關于x、y軸對稱，
若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程為，
則，或，
此時，
或，
若雙曲線的焦點在y軸上，同理可得離心率為或.
綜上，離心率為或.
故答案為：或.
【方法技巧與總結】
雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
求出a，c，代入公式；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和b的關系，進而利用求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可求．
【詳解】雙曲線漸近線為，且與圓沒有公共點，
圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．
．
變式1．（23-24高二上·浙江·期中）設橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，，且雙曲線的漸近線的斜率小于，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由雙曲線的漸近線的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范圍，從而求解
【詳解】由題意得，，，
所以，
又因為雙曲線的漸近線的斜率小于，得，
所以，即，得，故C正確.
.
變式2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分別為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點且點在軸上的射影恰為該雙曲線的右焦點交雙曲線于另一點，滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設 ，可得，利用點在雙曲線上，可求得，可求離心率的范圍.
【詳解】設又
由，則，可得，
所以，解得，
，
點在雙曲線上，
，
，
故雙曲線離心率的取值范圍是.
．
變式3．（19-20高二上·河北石家莊·期中）已知點，分別是雙曲線的左右焦點，為坐標原點，點在雙曲線右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，得，然后利用雙曲線的定義和勾股定理可求得（用表示），再由得出的不等關系．
【詳解】∵，∴，
記，，則，
又①，
∴，∴，②，
由①②得，又，
∴，解得，
即．
變式4．（23-24高二上·重慶·期中）已知，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，且.則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意，可得夾角的取值范圍，整理相關等式，進而可得離心率的函數表達式，利用不等式定義，可得答案.
【詳解】設，，，由，則，
顯然，則整理可得，由，
則，
解得，由雙曲線的定義可知：，
則，整理可得，
化簡可得，由，且，
則，可得或，
解得或，所以，解得.
.
變式5．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先根據雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離小于等于半徑求得a和b的關系，進而利用求得a和c的不等關系，即雙曲線的離心率范圍可求．
【詳解】圓，雙曲線的漸近線為，
圓與雙曲線的漸近線有公共點，
圓心到漸近線的距離，
，，即，
．
故答案為：．
變式6．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為、，焦距為．若以線段為直徑的圓與直線有交點，則雙曲線C的離心率取值范圍為
【答案】
【分析】首先求圓的方程，利用圓心到直線的距離，推得與的關系，再結合離心率公式，即可求解
【詳解】以線段為直徑的圓的方程是，與直線有交點，
則圓心到直線的距離，
所以雙曲線的離心率．
故答案為：．
變式7．（23-24高二上·江蘇常州·期中）分別為雙曲線左右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，若最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由雙曲線定義，變形后由基本不等式得最小值，從而得，再利用雙曲線中的范圍有，由此結合可得離心率的范圍．
【詳解】是左、右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，
所以，代入，
得，
當且僅當時取等號，即，
又點是雙曲線左支上任意一點，所以，
即：.
故答案為：．
變式8．（23-24高二上·浙江臺州·期中）已知分別為雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，記的內切圓的半徑為，的內切圓的半徑為，，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設圓切、、分別于點、、，推導出，可得出，可得出關于、的不等式，即可求得該雙曲線離心率的取值范圍.
【詳解】設、的內切圓圓心分別為、，
設圓切、、分別于點、、，

過的直線與雙曲線的右支交于A、兩點，
由切線長定理可得，，，
所以，
，
則，所以點的橫坐標為.
故點的橫坐標也為，同理可知點的橫坐標為，故軸，
故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.
在中，，
即，
，，所以，，
所以，，則，
所以，
即，
由題意可得：，可得，即，
所以.
故答案為：.
【題型5：直線與雙曲線的位置關系】
例5．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）已知直線的方程為，雙曲線的方程為若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】聯立直線方程和雙曲線方程，利用判別式結合韋達定理可求實數的取值范圍.
【詳解】由題設，有，得，
因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，故，解得，
.
變式1．（23-24高二下·廣東湛江·期中）若雙曲線的離心率為，右焦點為，點E的坐標為，則直線OE（O為坐標原點）與雙曲線的交點個數為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出，進而求出直線的斜率，再與漸近線的斜率比較即可得解.
【詳解】由雙曲線的離心率為，得，則，，
因此點E的坐標為，雙曲線C的漸近線斜率為，而直線的斜率，
所以直線OE與雙曲線的交點個數為2個．
變式2．（2024高三·全國·專題練習）已知雙曲線，過點作直線，使與有且只有一個公共點，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】A
【分析】結合雙曲線的性質與點位置，畫出對應圖形即可得.
【詳解】易知雙曲線的焦點，頂點，漸近線為，
由可得該點在雙曲線右頂點上方，
易得過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線中，
有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線（圖1），
有兩條雙曲線右支的切線（圖2），共4條.
.
變式3．（23-24高二上·上海·期末）設雙曲線經過點，且與具有相同的漸近線，則經過點且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（ ）條.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先求出雙曲線的方程，再分兩類討論直線即可.
【詳解】由題可設雙曲線C的方程為（），
將點代入上式得：，
故雙曲線C的方程為，顯然其右頂點的坐標為，漸近線方程為，
當直線斜率不存在時，此時直線方程為，符合題意，
當直線與雙曲線的漸近線平行時，即直線方程為時，此時也符合題意，
綜上，這樣的直線共有3條.
.
變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過點作直線，使它與雙曲線只有一個公共點，這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
【分析】根據點在雙曲線上，與漸近線平行以及該點處的切線均只與雙曲線有一個公共點即可求解.
【詳解】當時，，所以，故點在雙曲線上，
因此過點且與雙曲線的兩條漸近線平行的直線，只與雙曲線有一個交點，
設（且）
將其代入雙曲線方程可得，化簡得，
令，化簡得，
解得，
故過點處的切線也只與雙曲線有唯一的交點，
或者由得，
當時，，故，故處的切線斜率為，
故過點經過點的直線方程為，即，
聯立與可得，解得，
因此在點處的切線也只與雙曲線有唯一的交點，
綜上可知：過點的直線有3條與雙曲線有一個交點，
變式5．（24-25高二上·山東濱州·階段練習）已知雙曲線，與直線只有一個公共點，符合題意的直線個數為 ．
【答案】3
【分析】聯立方程解之可判斷只有一個公共點時的直線條數.
【詳解】解：聯立，
消去得，
當，即時，
直線和直線分別與雙曲線的漸近線平行，
故只有一個交點；
當時，由，
可得，此時直線與雙曲線相切，故只有一個公共點.
故答案為：3
變式6．（2024高三·全國·專題練習）過點且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有 條，它們的方程分別是 ．
【答案】 和
【分析】若直線的斜率不存在，可得直線方程為滿足條件；若直線的斜率存在，設直線的方程為，代入到雙曲線方程，分二次項系數為0和判別式等于0討論，即可得到答案．
【詳解】解：若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時僅有一個交點，滿足條件；
若直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立方程組，
整理得到，
當時，方程無解，不滿足條件；
當時，方程有一解，滿足條件；
當時，令，
解得，此時恰好為漸近線的斜率，不滿足條件，
所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為和．
故答案為：；和.
變式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知橢圓的離心率為，點在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與相交于兩點，中點在曲線上，探究直線與雙曲線的位置關系．
【答案】(1)
(2)相切
【分析】（1）根據題意列式可求，進而可得橢圓方程；
（2）設，與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得，，結合題意可得，再聯立直線l與雙曲線方程分析判斷位置關系，注意討論直線l的斜率是否存在.
【詳解】（1）由于橢圓的離心率為，故，
又，得，設所求橢圓方程為，
把點代入，得，
橢圓方程為．
（2）設，若直線l斜率存在，設，
因為得，
所以，
所以，，
設，所以，，所以，，
所以，
同理，
因為W在曲線上，
所以，解得，
又因為得，
所以，直線AB與相切，
若直線l斜率不存在，由對稱性知W在x軸上，W在曲線，
所以，此時也有直線AB與相切，
綜上知直線AB與相切．
變式8.（2024高三·全國·專題練習）（1）求雙曲線在點處的切線方程；
（2）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點，求直線AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由雙曲線上一點的切線方程，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，分別表示出直線的方程，再將點的坐標代入計算，即可得到結果.
【詳解】
（1）由雙曲線上一點處的切線方程為，
所以雙曲線在點處的切線方程為，
化簡可得.
（2）設切點，則，，
又點在直線上，代入可得，，
所以點均在直線上，
所以直線的方程為，即.
【方法技巧與總結】
將直線的方程與雙曲線的方程聯立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點
【題型6：雙曲線弦長問題】
例6．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知雙曲線C：，過點的直線l與雙曲線C交于M、N兩點，若P為線段的中點，則弦長 .
【答案】
【分析】設直線為，聯立雙曲線方程，應用韋達定理及中點坐標公式求k值，利用弦長公式求解即可.
【詳解】由題設，直線l的斜率必存在，設過的直線為，
聯立，得，
設，則，
所以，解得，經檢驗符合題意；
則，.
弦長.
故答案為：.
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知離心率為的雙曲線的左、右焦點分別為為右支上的一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由離心率得，利用雙曲線定義可得，由勾股定理逆定理可知為直角三角形進而得面積.
【詳解】由題意可知，所以，
由雙曲線定義可得，則，
則，
所以為直角三角形，
所以．
.
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線的右焦點為，過作垂直于一條漸近線，垂足為，若點關于原點對稱，則 ．
【答案】
【分析】由雙曲線方程得出，漸近線方程，由點到直線的距離公式求得，再計算即可．
【詳解】由題可得，漸近線方程為，
不妨取，即，
所以，
所以，
故答案為：．
變式3.（23-24高二上·湖北孝感·階段練習）已知雙曲線M與雙曲線N：有共同的漸近線．
(1)若M經過拋物線的頂點，求雙曲線M的方程；
(2)若雙曲線M的兩個焦點分別為，，點P為M上的一點，且，求雙曲線M的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先利用共漸近線方程，設出曲線，再代入頂點坐標，即可求解；
（2）根據雙曲線的定義求，再分焦點的位置，根據雙曲線的性質，即可求解.
【詳解】（1）依題意可設M的方程為．
拋物線，頂點為，
將代入M的方程，得，則M的方程為．
（2）由題意易知，．
當焦點在x軸上時，，可設雙曲線M的方程為，則，，
則雙曲線M的方程為．
當焦點在y軸上時，，可設雙曲線M的方程為，則，，
則雙曲線M的方程為．
綜上所述，雙曲線M的方程為或．
變式4．（22-23高二上·浙江金華·期中）雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點.
(1)求弦長；
(2)若點是雙曲線左支上的點，且，求點到軸的距離.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直線的方程，聯立方程組，利用韋達定理結合弦長公式求解即可；
（2）設，，由雙曲線定義可知，所以，結合，解得，利用余弦定理解得，利用等面積法即可求得點到軸的距離.
【詳解】（1）雙曲線的左、右焦點分別為，所以，
過右焦點且傾斜角為的直線方程為：，
設，，
聯立方程與，可得：，
所以，，
所以.
（2）點是雙曲線左支上的點，所以
設，，
由雙曲線定義可知，所以，由，
所以，所以，可得，
所以由余弦定理得，
所以，設點到軸的距離為，所以，
所以，解得，
所以點到軸的距離為.
變式5．（23-24高二下·上海·期末）已知、是雙曲線的兩點，的中點的坐標為．
(1)求直線的方程；
(2)求兩點間距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，結合中點弦的“點差法”，即可求解；
（2）由（1）知，直線的方程為，聯立方程組，求得，結合弦長公式.
【詳解】（1）設，
因為的中點的坐標為，可得，即，
又由，兩式相減，可得，
可得，即直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
聯立方程組，整理得，
則，即直線與雙曲線相交，滿足條件.
所以直線的方程為.
（2）由（1）知，直線的方程為，
聯立方程組，整理得，
則，且，
所以兩點間的距離為：.
變式6．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點，且，求實數m的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為，得，，由此能求出雙曲線方程；
（2）聯立方程組，得，利用韋達定理、弦長公式、根的判別式能求出結果.
【詳解】（1）雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為，
設雙曲線的方程（，），
由已知得，，所以，.
所以雙曲線方程為.
（2）直線與雙曲線C交于A，B兩點，且，
聯立方程組，得，
當時，設，
，.
所以
令，解得.
經檢驗符合題意，所以.
變式7．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，為坐標原點，點在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于兩點，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，解得、，即可得解；
（2）解法一：設，直線的方程為，聯立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，由整理得到，即可表示出，從而求出其最小值；
解法二：設，，聯立直線與雙曲線方程，即可求出、，即可得到，同理得到，從而得到，再由基本不等式計算可得.
【詳解】（1）由雙曲線C的一條漸近線方程為，且雙曲線過，
所以，解得，
故雙曲線的方程為.
（2）解法一：設，直線的方程為，
聯立，得，
則，且，
由，即，即，
即，
即，整理得，
所以
，當且僅當時，等號不成立，
故的最小值為.
方法二：由題意知直線的斜率存在且不等于，
設，，
由，即，
聯立，解得，
則，同理，其中，
故，
而
，
當且僅當時，等號不成立，
故的最小值為.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
變式8．（23-24高二上·山西太原·期末）已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若斜率為的直線經過右焦點，與雙曲線的右支相交于，兩點，雙曲線的左焦點為，求的周長.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標得雙曲線半焦距c，再求出即可.
（2）求出直線的方程，與雙曲線方程聯立求出弦長，再借助雙曲線定義求解即得.
【詳解】（1）拋物線的焦點坐標為，則雙曲線的半焦距，由，得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，直線的方程為，設，，
由，得，顯然，
則，，，
因此，
所以的周長為.

變式9．（23-24高二下·廣東茂名·開學考試）已知雙曲線與有相同的漸近線，點為的右焦點，，為的左右頂點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，求．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根據共漸近線得到，根據焦點得到，解得答案.
（2）聯立方程得到根與系數的關系，利用弦長公式計算得到答案.
【詳解】（1）雙曲線與有相同的漸近線，則，
為的右焦點，則，解得，，
雙曲線方程為；
（2）直線的方程為，，即，
，，，
.
【方法技巧與總結】
設直線交雙曲線于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
【題型7：雙曲線中點弦問題】
例7．（2024·四川綿陽·模擬預測）過雙曲線的左焦點的直線（斜率為正）交雙曲線于兩點，滿足，設為的中點，則直線（為坐標原點）斜率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件畫出圖形結合圓錐曲線的定義及條件可得，然后利用點差法可得，進而可得，然后利用基本不等式即得.
【詳解】首先證明：雙曲線上的任意點到左焦點與左準線的距離之比為常數（離心率）.
依題意，則點到直線的距離，
所以，則 .
由題可知在左支上在右支上，如圖，設，在左準線上的射影為，因為，
則且，所以，
設，則，
所以，，即，
所以，
所以，當且僅當即時，等號不成立，
.
變式1．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用點差法可求的關系，從而可求雙曲線的離心率.
【詳解】設，則，且，
所以，整理得到：，
因為是弦的中點，
所以，所以即
所以，
.
變式2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知直線過雙曲線：的左焦點，且與的左、右兩支分別交于，兩點，設為坐標原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用點差法求得直線斜率的關系式，然后利用二倍角公式列方程來求得正確答案.
【詳解】設，，
兩式相減并化簡得，即，
當時，設直線的傾斜角為，
是以為底邊的等腰三角形，所以，
所以，
則.
根據對稱性可知，當時，，
綜上所述，直線的斜率為.
變式3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦的中點為，則直線l的方程為 ．
【答案】
【分析】設出A，B兩點的坐標，代入雙曲線方程，然后利用點差法得到直線l的斜率即可求解直線方程．
【詳解】設，，
則，，
又， ，
兩式相減，得，
即，整理得，
直線l的斜率為，
直線l的方程為，
化簡得，經檢驗滿足題意.
故答案為：.
變式4．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知雙曲線，過點的直線與相交于兩點，且為線段的中點，則直線的方程為 .
【答案】
【分析】因為為線段的中點，所以由點差法可以得到直線的斜率，進而可以得到直線方程.
【詳解】設，則兩式相減得，
即，所以
因為為線段的中點，
所以，
所以，即
由點斜式方程可得直線的方程為：，
即，經檢驗適合題意.
故答案為：
變式5．（23-24高二上·河南開封·期末）已知點是離心率為2的雙曲線上的三點，直線的斜率分別是，點分別是線段的中點，為坐標原點，直線的斜率分別是，若，則 ．
【答案】15
【分析】由點差法得到，同理得到，從而得到.
【詳解】因為雙曲線的離心率為2，所以，
不妨設，
因為點在上，所以，兩式相減，
得，
因為點是的中點，所以，
所以，即，
所以，同理，
因為，所以．
故答案為：15
變式6.（2024高三下·全國·專題練習）已知雙曲線：的左右頂點分別為、．
(1)求以、為焦點，離心率為的橢圓的標準方程；
(2)直線過點與雙曲線交于兩點，若點恰為弦的中點，求出直線的方程；
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根據題意可求得橢圓焦點，，再結合離心率為，求出得解；
（2）利用點差法求出直線的斜率進而求出直線方程；
【詳解】（1）由題意可得，，，則，
又，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設，點恰為弦的中點，則，，
又因為兩點在雙曲線上，
可得，兩式相減得，
化簡整理得，即，
所以直線的方程為，即，
經檢驗，滿足題意.
變式7.（23-24高二上·陜西寶雞·期末）已知雙曲線的漸近線方程是，實軸長為2.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，求直線的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用漸近線方程、實軸長求出可得答案；
（2）設直線的方程為，與雙曲線方程聯立，利用韋達定理可得答案.
【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線方程是，實軸長為2，
所以，，
所以雙曲線的方程為；
（2）雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線關于坐標軸的對稱性可知，
若線段的中點為，則直線的斜率存在，
設為，且，，
可得直線的方程為，
與雙曲線方程聯立，
可得，
設，
則，
解得，經檢驗符合題意.
變式8.（2024高二·全國·專題練習）過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，且P為線段AB的中點，求直線l的方程．
【答案】
【分析】由“點差法”求出直線的斜率，再由點斜式方程求解即可.
【詳解】解：設，，則，，
兩式相減得．
∵P為線段AB的中點，∴，．
∴，即所求直線l的斜率為1，
∴直線l的方程為，即．經檢驗符合題意．
【方法技巧與總結】
雙曲線中點弦的斜率公式：
設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
【題型8：解答題】
例8．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）已知雙曲線一條漸近線方程為，且點在雙曲線上.
(1)求雙曲線標準方程，
(2)若雙曲線的左頂點為，右焦點為為雙曲線右支上任意一點，求的最小值.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）利用漸近線方程巧設雙曲線方程，再由待定系數法即可求解；
（2）利用向量數量積的坐標運算，再結合二次函數性質，即可得出結果.
【詳解】（1）由雙曲線一條漸近線方程為，可以該雙曲線方程為，
由點在雙曲線上，可得，即，
所以雙曲線標準方程為.
（2）由雙曲線標準方程為可知：左頂點的坐標為，右焦點為的坐標，
可設雙曲線右支上任意一點，且，則，
所以，
又因為滿足雙曲線方程，則，
所以，
由于二次函數的對稱軸是，
所以當，單調遞增，
即當時，二次函數有最小值，
所以的最小值是.
變式1．（22-23高二上·全國·期中）已知雙曲線過點且與雙曲線有共同的漸近線，，分別是的左、右焦點．
(1)求的標準方程；
(2)設點是上第一象限內的點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由共漸近線方程設法將點代入直接求解；
（2）向量坐標化，由點在雙曲線上化簡整理為二次函數求得范圍.
【詳解】（1）由題意可設的方程為，
將代入可得，，解得，
的標準方程為．
（2）設，則，
點在第一象限，，且，，
，
的取值范圍是．
變式2．（23-24高二上·四川雅安·階段練習）已知曲線的方程為．
(1)說明為何種圓雉曲線，并求的標準方程；
(2)已知直線與交于，兩點，與的一條漸近線交于點，且在第四象限，為坐標原點，求．
【答案】(1)是以，為焦點，實軸長為2的雙曲線，
(2)26
【分析】（1）結合雙曲線的定義即可求解；（2）應用韋達定理結合數量積的坐標運算即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以是以，為焦點，實軸長為2的雙曲線．
設：（，），則，，，
所以的方程為．
（2）由（1）可得的漸近線方程為，
由得即．
設，，由得，
由韋達定理得
則
變式3．（22-23高二下·四川內江·階段練習）已知命題p：方程表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線的離心率．
(1)若命題q為真，求實數m的取值范圍；
(2)若命題為假命題，為真命題，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據橢圓方程的結構特征列不等式組求解可得；
（2）分別記，為真時m的取值范圍為集合，然后由和一真一假，利用集合運算求解即可.
【詳解】（1）若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則，
解得，即命題q為真時實數m的取值范圍為.
（2）若雙曲線的離心率，則，
解得，
記，則，
若命題為假命題，為真命題，則和一真一假，
實數m的取值范圍為.
變式4．（23-24高二下·廣西貴港·期中）已知雙曲線的右焦點到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程．
(2)設的左、右頂點分別為，，過點且斜率不為0的直線與相交于，兩點，直線與直線相交于點．試問點是否在定直線上？若是，求出定直線的方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)是，定直線
【分析】（1）由題意列式求出，即得答案；
（2）設直線的方程為，聯立雙曲線方程，可得根與系數的關系，寫出直線和直線的的方程，聯立化簡可求出點P橫坐標，即可得結論.
【詳解】（1）根據對稱性，到的一條漸近線的距離，則．
由，知，得，則，
故的方程為．
（2）點在定直線上．
依題可設直線的方程為，，，
聯立方程組，整理得，必有，
則，，則．
直線的方程為，直線的方程為，
整理得，解得．
故點在定直線上．
變式5．（23-24高二下·陜西榆林·期末）已知雙曲線：（，）經過點，且其離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設雙曲線的左，右焦點分別為，，的一條漸近線上有一點，滿足恰好垂直于這條漸近線，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據所給條件得到關于、、的方程組，解得、，即可求出雙曲線方程；
（2）首先求出焦點坐標與漸近線方程，利用距離公式求出，由勾股定理求出，即可求出，從而得解.
【詳解】（1）依題意可得，解得，
所以雙曲線方程為.
（2）由（1）可知左，右焦點分別為，，
雙曲線的漸近線為，
不妨取其中一條漸近線為，
則到直線的距離，
所以，
所以，
又，所以.
變式6．（23-24高二下·貴州六盤水·期末）已知雙曲線過點，左、右頂點分別為，，直線與直線的斜率之和為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于，（在第一象限）兩點，，是雙曲線上一點，的重心在軸上，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先表示出左右頂點，由斜率公式求出，將點的坐標代入方程求出，即可得解；
（2）設，，直線的方程為，聯立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，由得到，即可求出，即可求出，從而求出，即可得解.
【詳解】（1）依題意左、右頂點分別為，，
所以，解得，
將代入得，解得，
故雙曲線方程為；
（2）設，，直線的方程為，
將代入整理得，，
∴，，又由，
代入上式得，解得，，
因為的重心在軸上，所以，
所以，代入雙曲線得，
故或．
變式7．（23-24高二下·上海·階段練習）如圖:雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線交軸于點.
(1)當直線平行于的斜率大于的漸近線時，求直線與的距離；
(2)當直線的斜率為時，在的右支上是否存在點，滿足 若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由;
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）首先得到雙曲線的漸近線方程及直線的方程，再由兩平行線間解距離公式計算可得；
（2）先根據斜率求出直線l的方程，從而得點Q，再設出點的坐標，根據得出點的橫、縱坐標之間的關系式，與雙曲線聯立消去，由韋達定理即可解答.
【詳解】（1）雙曲線，焦點在軸上，，
則雙曲線左、右焦點分別為，，漸近線方程為，
當直線平行于的斜率大于的漸近線時，則直線的方程為，即，
又漸近線為，
所以直線與的距離.
（2）不存在，理由如下：
當直線l的斜率為1時，直線方程為，因此，
又，所以，
設的右支上的點，則，
由得，
又，聯立消去得，
因為，但是，，所以此方程無正根，
因此，在的右支上不存在點，滿足.
變式8．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．
(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；
(2)已知點，不經過點的直線與曲線C交于A，B兩點，且．直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)直線恒過定點，，
【分析】（1）根據題意利用圓與圓的位置關系結合雙曲線的定義，即可證明結論；
（2）設直線的方程為，聯立雙曲線方程，可得根與系數的關系式，根據數量積的坐標運算求出的表達式，化簡，即可求得t的值，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：由題意知圓M：的圓心為，圓N：的圓心為
如圖，設圓E的圓心為，半徑為r，
由題可得圓M半徑為3，圓N半徑為1，則，，
所以，
由雙曲線定義可知，E的軌跡是以，為焦點、實軸長為4的雙曲線的右支
又，，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，，
即曲線的方程為 .

（2）設直線的方程為，
聯立，消去得，

由題意直線與曲線有兩個交點，則，,
設 ， ，其中，，
由韋達定理得：，，
又點，所以 ， ，
因為，所以，
則
，
即，解得（舍去），
當，直線的方程為，，
故直線恒過點，．
一、單選題
1．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習）方程的兩個根可分別作為（ ）
A．橢圓和雙曲線的離心率 B．兩雙曲線的離心率
C．兩橢圓的離心率 D．以上皆錯
【答案】A
【分析】求出方程的根，根據橢圓和雙曲線的離心率取值范圍得到.
【詳解】由方程解得，
，因為橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，
故可以作為雙曲線和橢圓的離心率.
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知雙曲線的實軸長為1，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由實軸長可列方程求得參數的值，進一步即可求得漸近線方程.
【詳解】由題可知雙曲線的實軸長為，則，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為．
.
3．（24-25高二上·上海·課后作業）南非雙曲線大教堂是數學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意根據點到直線的距離公式、離心率公式和平方關系即可求出，由此即可得解.
【詳解】設雙曲線的下焦點為，一條漸近線方程為，即，
則焦點到漸近線的距離，因為，
聯立解得，
∴雙曲線方程為：.
.
4．（23-24高二下·廣西桂林·期末）雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根據雙曲線方程求出即可得解.
【詳解】由雙曲線知，，
所以，
所以.
5．（23-24高二下·四川達州·期末）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，虛軸長為，離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由雙曲線的方程可求得，計算可判斷每個選項的正確性.
【詳解】由雙曲線，可得，所以，
所以雙曲線的左頂點，右焦點，故AB錯誤；
虛軸長，故C錯誤；
離心率，故D正確.
.
6．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）若雙曲線的實軸長為，則正數（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依題意可得，解得即可.
【詳解】由雙曲線實軸長為，有，又，
.
.
7．（23-24高二下·全國·隨堂練習）已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用離心率公式結合漸近線方程可解.
【詳解】由題知，，解得，
又雙曲線的焦點在x軸上，所以漸近線方程為.
8．（24-25高二上·全國·隨堂練習）中心在原點，焦點在軸上，且一個焦點在直線上的等軸雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意可求出直線與軸的交點，得到雙曲線的焦點，再根據條件雙曲線為等軸雙曲線即可得出結論．
【詳解】解：令 ，得，
又雙曲線焦點在x軸上，
等軸雙曲線的一個焦點為，
即，
∴，
故等軸雙曲線的方程為.
.
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線，則“”是“雙曲線的離心率為”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據雙曲線離心率為，可得或，即可由充分不必要條件求解.
【詳解】的離心率為時，當焦點在軸時，，解得，
當焦點在軸時，，解得，
故“”是“雙曲線的離心率為”的充分不必要條件，
二、多選題
10．（22-23高三上·海南儋州·開學考試）已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，則（ ）
A．雙曲線的一條漸近線方程為
B．橢圓和雙曲線共焦點
C．橢圓的離心率
D．橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點
【答案】ACD
【分析】根據橢圓方程求得，雙曲線方程求得，且橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，結合橢圓和雙曲線的性質逐項分析判斷.
【詳解】對于橢圓的方程為，可得，
對于雙曲線的方程為，可得，
且橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，
對于選項A：因為雙曲線的漸近線方程為，
所以雙曲線的一條漸近線方程為，故A正確；
對于選項B：因為橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，
所以橢圓和雙曲線不共焦點，故B錯誤；
對于選項C：橢圓的離心率，故C正確；
對于選項D：因為，可知雙曲線的頂點在橢圓內部，
所以橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點，故D正確；
CD.
11．（23-24高二下·四川德陽·期末）雙曲線C：的左右頂點分別為A、B，P、Q兩點在C上，且關于x軸對稱（ ）
A．以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為
B．雙曲線C的離心率為
C．直線與的斜率之積為
D．雙曲線C的焦點到漸近線的距離為2
【答案】CCD
【分析】對于A，直接寫出符合描述的橢圓方程，對比即可判斷；對于B，由離心率公式即可判斷；對于C，直接根據斜率公式驗算即可；對于D，根據對稱性，只需任取一個焦點和一條漸近線，結合點到直線的距離公式即可判斷.
【詳解】對于A，C的焦點和頂點分別為，
從而以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為，故A錯誤；
對于B，雙曲線C的離心率為，故B正確；
對于C，顯然異于，不妨設，
注意到都在雙曲線上面，且，
所以直線與的斜率之積為，故C正確；
對于D，雙曲線C：的一個焦點、一條漸近線可以分別是，，
而點到直線的距離是，故D正確.
CD.
12．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知曲線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則是圓，其半徑為
B．若，，則是兩條直線
C．若時，則是橢圓，其焦點在軸上
D．若時，則是雙曲線，其漸近線方程為
【答案】AB
【分析】根據選項條件分別化簡曲線為圓錐曲線的標準方程，然后逐一分析，即可求解．
【詳解】對于A，， ，則是圓，半徑為，故A正確；
對于B，若，時，，則是兩條直線，故B正確；
對于C，若時，，則，則為焦點在軸的橢圓，故C錯誤；
對于D，若時，則是雙曲線，漸近線方程為，故D錯誤；
B．
三、填空題
13．（2024高三·全國·專題練習）已知雙曲線（其中）的右焦點為，則 的離心率為 ．
【答案】2
【分析】根據雙曲線焦點在軸上，得出，計算得出,最后得出離心率.
【詳解】由題意可得雙曲線焦點在軸上，且，
則，由得，
故的離心率.
故答案為：2.
14．（24-25高二上·廣西柳州·階段練習）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸與虛半軸平方差的算術平方根，這個圓叫雙曲線的蒙日圓.過雙曲線的蒙日圓上一點作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，若，則的周長為 .
【答案】/
【分析】結合雙曲線方程求出與，由蒙日圓定義可得圓的方程，再由切線互相垂直可得為直徑，解直角三角形可得.
【詳解】由雙曲線可知，.
則的蒙日圓圓心為，半徑為，其蒙日圓方程為，
由已知可得，
所以為圓的直徑，所以.
又，所以.
所以的周長為.
故答案為：.
15．（24-25高二上·全國·課后作業）已知雙曲線C：的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意可知雙曲線C的離心率大于等軸雙曲線的離心率，進而列出不等式求解即可.
【詳解】∵等軸雙曲線的離心率為，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，
∴雙曲線C：的離心率，則，即，
∴．
故答案為：.
四、解答題
16．（23-24高二上·全國·課后作業）已知雙曲線，直線，試確定實數k的取值范圍，使：
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
【答案】(1)或或；
(2)或
(3)或
【分析】（1）聯立直線方程和雙曲線方程，根據直線與雙曲線有兩交點，則，注意二次項系數不等于0；
（2）根據直線與雙曲線僅有一交點，分二次項系數等于0和不等于0兩種情況討論.當二次項系數不等于0時，由即可得出答案；
（3）根據直線與雙曲線沒有交點，得，注意二次項系數不等于0.
【詳解】（1）聯立，
消整理得，（*）
因為直線l與雙曲線C有兩個公共點，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）當即時，直線l與雙曲線的漸近線平行，
方程（*）化為，故方程（*）有唯一實數解，
即直線與雙曲線相交，有且只有一個公共點，滿足題意．
當時， 因為直線l與雙曲線C僅有一個公共點，
則，解得；
綜上，或.
（3）因為直線l與雙曲線C沒有公共點，
所以，
解得： 或.
17．（23-24高二下·上海·期中）已知，直線與雙曲線相交于不同的點.
(1)若點分別在雙曲線的左、右兩支上，求的取值范圍；
(2)若以線段為直徑的圓，經過坐標原點，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直線與雙曲線方程聯立，消元得到一個元二次方程，由題意得到不等式組，解這個不等式組即可求出實數的取值范圍；
（2）利用圓的性質.利用平面向量的數量積，結合（1）中的一元二次方程，可以求出實數的值.
【詳解】（1）直線與雙曲線方程聯立得：，
因為直線與雙曲線相交于不同的兩點分別在雙曲線的左、右兩支上，
所以有：，
因此實數的取值范圍為；
（2）設，因為線段為直徑的圓經過坐標原點，
所以有，即，
由（1）可知：，
則，
即.
18．（23-24高二下·浙江·階段練習）已知雙曲線，過該曲線上的點作不平行于坐標軸的直線交雙曲線的右支于另一點，作直線交雙曲線的漸近線于兩點A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，
(1)求雙曲線方程．
(2)證明：直線過定點.
(3)當的斜率為負數時，求四邊形的面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據漸近線方程可得，結合雙曲線所過的點可求，故可得雙曲線方程.
（2）聯立直線方程和雙曲線方程，結合判別式可得的斜率的范圍，再由漸近線方程可得的坐標，由平行四邊形可求出的方程，故可得定點.
（3）利用（2）的結果結合弦長公式可用的斜率表示面積，結合斜率的范圍可求面積的范圍.
【詳解】（1）因為漸近線，則，代入點可得，
故，即雙曲線方程為：．
（2）
設
，
由可得，
故且，
故或且，
又，故，
由解得，則，
同理可得， 故，
而，可得，
故，故，
故，，
設直線的斜率為，則，
直線的方程為，即，
所以過定點．
（3）由（2）可得直線與的距離為，故，
由題意可得四邊形是平行四邊形，
而，
故四邊形的面積為，
，結合（2）中的取值范圍可得．故，
故.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要聯立不同類型的方程，用合適的變量變式目標函數，而后者的最值往往可以通過函數的單調性或基本不等式來處理.
19．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）已知雙曲線和橢圓有公共焦點，且離心率．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點作兩條相互垂直的直線分別交雙曲線于不同于點的兩點，求點到直線距離的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據雙曲線和橢圓有公共焦點求出，再由離心率的公式求出，從而求得雙曲線的方程.
（2）根據直線的斜率是否存在進行分類討論，結合以及點到直線的距離公式、基本不等式求得點P到直線距離的最大值.
【詳解】（1）因為橢圓的焦點在軸上，
所以雙曲線的，又因為，
所以，
所以雙曲線的方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，設，則，
，
依題意，
，即，
由解得或（舍去），
所以，此時到直線的距離為.
當直線的斜率存在時，設，設直線的方程為.
由消去并化簡得：，
①，
，
依題意，
所以
，
整理得，
即，由于直線，，
所以，
函數的開口向上，
判別式為，故①不成立.
所以直線的方程為，即，
所以到的距離，
，
當時，；當時，
當且僅當時等號不成立.
所以.
綜上所述，點到直線的距離的最大值為.

【點睛】關鍵點睛：本題（2）的關鍵點在于根據直線的斜率是否存在進行分類討論，結合以及點到直線的距離公式、基本不等式求得點P到直線距離的最大值.
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