資源簡介

2.7拋物線及其方程
課程標準 學習目標
1.理解拋物線的定義及其圖形特征，掌握拋物線的標準方程及其性質2.能夠運用拋物線的性質解決一些簡單問題 3.培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力和解決問題的能力。 重點：1.拋物線的定義及其圖形特征; 2.拋物線的標準方程及其性質; 難點：1.拋物線與坐標軸的交點; 2.拋物線的焦點和準線。
知識點01 拋物線的定義
定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
注意：1.定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．
2.拋物線的定義用集合語言表示為：P{M||MF|d}(d為M到直線l的距離)．
3.定義的實質可歸納為“一動三定”：一個動點，設為M點；一個定點F(拋物線的焦點)；
一條定直線l(拋物線的準線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．
4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉化，這也是利用拋物線定義解題的實質．
【即學即練1】（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線，為拋物線焦點，若以軸正方向的射線繞焦點逆時針旋轉，與拋物線交于點，則 ．
【答案】
【分析】根據拋物線的定義及直角三角形的性質可得解.
【詳解】

易知焦點，準線，過點作，垂足為，
過點作，垂足為，
設，則由拋物線定義可知，
又因，，
所以在直角中，，
解得.
故答案為：4
【即學即練2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知拋物線的焦點為，點在該拋物線上，且，則到軸的距離為 .
【答案】2
【分析】根據給定條件，利用拋物線定義直接求出結果.
【詳解】依題意，拋物線上點到拋物線的準線的距離為，
所以到軸的距離為.
故答案為：2
知識點02拋物線的幾何性質
類型 y22px (p>0) y2－2px (p>0) x22py (p>0) x2－2py (p>0)
圖象
性質 焦點 F F F F
準線 x－ x y－ y
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
對稱軸 x軸 y軸
頂點 O(0,0)
離心率 e1
開口方向 向右 向左 向上 向下
【即學即練3】（2024高二上·全國·專題練習）已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，則 .
【答案】
【分析】利用拋物線的對稱性得到，從而得解.
【詳解】因為拋物線關于軸對稱，直線與軸垂直，
故，即.
故答案為：.
【即學即練4】（23-24高二上·遼寧·期末）已知點和拋物線，則過點A且與拋物線相切的直線的方程為 .
【答案】或
【分析】分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，結合根的判別式得到方程，求出答案.
【詳解】當過的直線斜率不存在時，方程為，與相切，滿足要求，
當過的直線斜率存在時，設切線方程為，聯立得，
，
令，解得，
故，即.
故答案為：或
難點：數形結合求最值問題
示例1：（23-24高二下·山西長治·期末）已知拋物線的焦點為，點為上可相互重合的點，且，則的取值范圍是 ，的最小值是 .
【答案】
【分析】利用焦半徑公式表示，進而利用拋物線上點的范圍求解第一空，利用焦半徑公式結合基本不等式求解第二空即可.
【詳解】第一空，如圖，設，，，，

故，，，
而，故，
可得，，即有，
由，所以，
所以，所以.
第二空，，故，
而，故，即，
又，
故，
即，，故得的最小值為.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查求解析幾何，解題關鍵是合理運用焦半徑公式結合基本不等式，然后找到取等條件，得到所要求的最值即可．
【題型1：拋物線的定義與應用】
例1．（23-24高二下·全國·課后作業）動點滿足方程，則點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】A
【分析】根據軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.
【詳解】由得，
等式左邊表示點和點的距離，
等式的右邊表示點到直線的距離，
整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，
且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.
.
變式1．（23-24高二下·河南新鄉·期末）已知為拋物線的焦點，點在上，且點到直線的距離為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用拋物線的定義即可求解.
【詳解】因為點到直線的距離為，
所以點到拋物線準線的距離為，
由拋物線的定義得，.
.
變式2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知為拋物線的焦點，過上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用拋物線的知識可以知道點，然后再利用切線和垂直即可求解.
【詳解】由題意易得，
過上一點作圓的兩條切線，切點分別為，且，
且，
將點代入拋物線方程可得，即，
，解得.
.
變式3.（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】C
【分析】利用拋物線的定義，將點到拋物線焦點的距離轉化為點到拋物線準線的距離即得.
【詳解】依題意，由拋物線的定義知，點到拋物線焦點的距離即點到準線的距離，
即.
.
變式4．（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，過作的垂線，垂足為，若（為坐標原點），則
【答案】
【分析】根據拋物線的定義可知：，則，可知點在線段的中垂線上，則，即可求出拋物線方程，從而求出點的坐標.
【詳解】因為，所以是以為頂點的等腰三角形，
則，，即，則，
又，.
故答案為：.
變式5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知點關于軸的對稱點在曲線：上，且點到點的距離為點到直線的距離的，則點的縱坐標 ．
【答案】
【分析】根據拋物線定義及距離關系式可得，即求出點的縱坐標.
【詳解】因為曲線的方程為，即，
所以由題意及拋物線的對稱性知，點在拋物線上，且在軸的下方，
點為此拋物線的焦點．
由拋物線的定義可知，可得，
解得或（舍去），
所以點的橫坐標為，代入拋物線得，所以
故答案為：
變式6．（23-24高二下·海南·期末）已知直線與拋物線在第一象限交于點，若點到的準線的距離為，則 .
【答案】3
【分析】先由直線方程與拋物線方程聯方程組表示出點的橫坐標，再根據拋物線的定義結合題意列方程可求出.
【詳解】拋物線的準線方程為，
由，得，即，
解得或，
所以點的橫坐標為，
因為點到的準線的距離為，
所以，解得.
故答案為：3
變式7．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）拋物線上的動點P到點的距離等于它到C的準線距離，則P到焦點距離為 .
【答案】3
【分析】設點P坐標為，根據拋物線的定義及已知條件列出方程組得出即可求解.
【詳解】根據拋物線的定義可得：拋物線上的點P到焦點的距離等于點P到準線的距離.
由拋物線可知焦點坐標為；
設點P坐標為.
因為拋物線上的動點P到點的距離等于它到C的準線距離，
所以點P到焦點的距離等于點P到點的距離，
則，解得：.
所以點P到焦點距離為.
故答案為：
變式8．（多選）（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）點到點，及到直線的距離都相等，如果這樣的點恰好只有一個，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】DD
【分析】根據拋物線定義可知點滿足，再根據兩點間距離列方程，結合方程只有一解，分情況討論.
【詳解】因為點到點的距離等于它到直線的距離，
則所在曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，則設點，
所以，即，
可知方程只有一解，
當時，方程為，解得，符合題意；
當時，，解得，
綜上所述，
D.
【題型2：拋物線的標準方程與性質】
例2．（23-24高三下·湖北·開學考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點關于其準線的對稱點為，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設拋物線的方程為，設焦點關于準線的對稱點為，求得，得到，進而得拋物線的方程.
【詳解】由題意，設拋物線的方程為，
可得焦點坐標，準線方程為，
設焦點關于準線的對稱點為，可得，解得，
因為點關于其準線的對稱點為，可得，解得，
所以拋物線的方程為.
.
變式1．（20-21高二下·陜西榆林·階段練習）以x軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點到焦點的距離為3，則拋物線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用拋物線的定義求解．
【詳解】根據題意，可設拋物線的方程為，
由拋物線的定義知，即，
所以拋物線方程為．
．
變式2．（22-23高二上·湖北·期末）設點F是拋物線的焦點，l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若，，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件，結合拋物線的定義及性質，即可求解.
【詳解】解：由題意得：
，，，所以
可得，由拋物線的定義得
所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是．
變式3．（24-25高二·上海·隨堂練習）設拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是 ．
【答案】
【分析】根據拋物線頂點和準線位置可知其開口方向，并求得其焦準距，即得拋物線方程.
【詳解】由準線方程得，解得，
且拋物線的開口向右（或焦點在x軸的正半軸上），故可設，代入即得，．
故答案為：.
變式4．（24-25高二·上海·隨堂練習）已知拋物線C：的焦點與橢圓的右焦點重合，頂點為橢圓的中心，則拋物線C的標準方程為 ．
【答案】
【分析】由拋物線的焦點坐標求標準方程.
【詳解】橢圓的右焦點坐標為，由題意可知拋物線的焦點坐標為，
所以拋物線C的標準方程為．
故答案為：．
變式5．（24-25高二上·上海·課后作業）已知拋物線C：的焦點為F，準線l上有兩點A、B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標準方程是 ．
【答案】或
【分析】分或(）兩種情況討論，由面積列方程即可求解
【詳解】由題意得，當時，，解得；
當或時，，解得，
所以拋物線的方程是或.
故答案為：或.
變式6．（15-16高二上·甘肅白銀·期末）焦點在直線上的拋物線的標準方程為
【答案】或
【分析】先求出直線與坐標軸的交點，再寫出拋物線的標準方程.
【詳解】依題意，拋物線的焦點在坐標軸上，直線交軸于點，交軸于點，
以點為焦點的拋物線的標準方程為，
以點為焦點的拋物線的標準方程為，
所以所求拋物線的標準方程為或.
故答案為：或
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為為拋物線上一點，若到軸的距離為5，且，則該拋物線的標準方程為 ．
【答案】
【分析】求得拋物線的準線方程為，根據題意，利用拋物線的定義，得到，求得的值，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得準線方程為，
因為，根據拋物線定義可知點到準線的距離為，
又因為到軸的距離為5，可得，解得，
所以拋物線的標準方程為．
故答案為：．
變式8．（20-21高二下·陜西漢中·期中）已知拋物線的焦點在y軸上，頂點在坐標原點O，且經過點，若點P到該拋物線焦點的距離為4，則該拋物線的方程為 ．
【答案】
【分析】利用待定系數法直接求解.
【詳解】因為拋物線的焦點在y軸上，頂點在坐標原點O，且經過點，
所以可設拋物線：.
由拋物線的定義可得：，解得：.
所以拋物線的方程為：.
故答案為：.
【方法技巧與總結】求拋物線標準方程的方法
①先定位：根據焦點或準線的位置；
②再定形：即根據條件求p.
2.拋物線性質的應用技巧
①利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程；
②要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算．
【題型3：弦長問題】
例3．（24-25高二上·上海·課前預習）設斜率為k的直線l與拋物線相交于，兩點，則 或= ．
【答案】
【分析】利用兩根和，積表示弦長公式.
【詳解】，
.
故答案為：；
變式1.（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，過點且斜率大于0的直線交于兩點，若，則的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設出直線方程，聯立曲線后借助焦點弦公式計算即可得.
【詳解】依題意，設直線的方程為，
由，得，所以，
所以，
解得，所以直線的斜率為．
.
變式2．（23-24高三上·廣東廣州·期中）直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點.若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用拋物線焦半徑公式求出點的橫坐標，進而求出弦長.
【詳解】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，

設，則，
由，得，則，
由，得，得，
聯立解得，，所以.
變式3．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）已知直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線的焦點為F，O為原點，且，則 ．
【答案】13
【分析】聯立直線與拋物線方程得到，再利用求得，從而利用拋物線的焦點弦公式即可得解.
【詳解】設，由得，
則，所以，
因為，所以，即，解得，
所以，
所以．
故答案為：13.
變式4.（23-24高二下·安徽安慶·階段練習）已知拋物線：的焦點為，經過點的直線與拋物線交于兩點，其中點在第一象限：
(1)若直線的斜率為，求的值；
(2)求線段的長度的最小值．
(3)若拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，求當取得最大值時，直線的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）聯立方程組，解方程組求的坐標，結合焦半徑公式求結論；
（2）設直線AB的方程為，聯立方程組，化簡求弦長，再求其最值；
（3）設的坐標為，結合基本不等式求的最大值，確定的坐標，再求的方程.
【詳解】（1）拋物線的焦點的坐標為，
所以直線的方程為，
聯立方程組可得，消去y，
得，則，
由點在第一象限，則，
所以，，故，，
所以．
（2）由已知，直線的斜率不為，故可設直線的方程為，
聯立，消去，得，顯然，
所以，，
故
當且僅當時等號不成立，故線段的長度的最小值為．
（3）設的坐標為，又，
則，
因為點N在拋物線C：上，即有：，
所以
當且僅當即時等號不成立，此時，，
所以直線的方程為：.
【點睛】方法點睛：（1）直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；
（2）有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用焦點弦公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
變式5．（2024·廣東江門·二模）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為2的直線與交于A，B兩點，且．
(1)求的方程；
(2)過點作軸的平行線是動點，且異于點，過點作AP的平行線交于，兩點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據條件，得到直線方程為，設，聯立拋物線方程，根據拋物線的弦長求得，即得答案；
（2）設直線MN的方程為 ，聯立拋物線方程，根據拋物線的弦長求得，由，所以，由（1）可知，計算即可證得結論.
【詳解】（1）設．
因為點的坐標為，所以，
由得，
則，
從而
得，所以的方程為．
（2）證明：因為點的坐標為，直線MN的斜率不為0，所以設直線MN的方程為 ．
設，由可得，
則
所以 ．
由（1）可知，
因為點A，P的縱坐標分別為，且，所以
可得，即．
變式6．（23-24高二上·河南焦作·階段練習）已知直線過拋物線的焦點，交拋物線于兩點.
(1)若，求直線的方程．
(2)若過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，直線的斜率是否為定值 若是，請求出定值，若不是，說明理由．
【答案】(1)或
(2)直線的斜率為定值0，理由見解析
【分析】（1）分斜率是否存在進行討論，斜率存在時設，聯立拋物線方程結合韋達定理、焦點弦弦長公式可得關于的方程，解方程并檢驗此時是否滿足即可；
（2）首先得，又，從而由即可判斷.
【詳解】（1）由題意知，拋物線焦點，
當直線斜率不存在時，聯立與拋物線，解得，此時，不滿足題意，
當直線斜率存在時，設，
由，得，注意，
由韋達定理知，，由拋物線的弦長公式，解得，
經驗證，此時滿足，所以，直線的方程為或．
（2）
設，則直線與準線的交點為，
由（1）知，則，從而．
所以，直線的斜率為定值0．
變式7．（23-24高二下·安徽滁州·階段練習）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于兩點.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)8；
(2).
【分析】（1）借助韋達定理與焦點弦公式計算即可得；
（2）借助韋達定理計算即可得.
【詳解】（1）因為拋物線的焦點為，
所以直線的方程為，設，
將代入，得，，
所以，
由拋物線的定義知，
故；
（2），
故.
8．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習）已知是拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，且到直線的距離之和等于.
(1)求的方程；
(2)若的斜率大于，在第一象限，過與垂直的直線和過與軸垂直的直線交于點，且，求的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由因為到直線的距離之和等于，根據拋物的定義和焦點弦長，列出方程，求得的值，即可求解；
（2）設，聯立方程組，得到，結合跑線的焦點弦長得到，再設，求得，根據，求得的值，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，拋物線的焦點為，準線方程為，
則到準線的距離之和等于，
因為到直線的距離之和等于，可得，
解得，所以拋物線的方程為.
（2）解：由焦點，可得設且，
聯立方程組，整理得，
則且，
所以，
設，由，可得，
即，
所以，
由，可得，
代入，可得，解得，
所以直線的方程為.
【方法技巧與總結】活用拋物線焦點弦的四個結論
　拋物線的焦點弦問題一直是高考命題的一個熱點，該問題常與弦長、三角形面積、向量、不等式等知識相融合，考查學生的轉化與化歸意識和靈活解題能力．命題點主要體現在焦點弦的四個結論上：
設AB是過拋物線y22px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1·x2.
(2)y1·y2－p2.
(3)|AB|x1＋x2＋p(α是直線AB的傾斜角)．
(4)＋為定值(F是拋物線的焦點)
【題型4：周長問題】
例4．（2023高二上·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線，為軸正半軸上一點，線段的垂直平分線交于兩點，若，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意得到四邊形為菱形，再結合，求出點A的坐標，進而求解結論．
【詳解】根據拋物線的對稱性以及為線段的垂直平分線，
可得四邊形為菱形，
又，可得，
故可設，代入拋物線方程可得，解得，
故，
故四邊形的周長為：.
.
變式1．（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，求出點的坐標，進而求出直線方程，與拋物線方程聯立求出點的坐標即得.
【詳解】拋物線的焦點為，準線為，由點在拋物線上，則，
直線方程為：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周長為.

變式2．（19-20高二上·重慶沙坪壩·期末）已知拋物線 的準線l過橢圓的左焦點，且l與橢圓交于P、Q兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】由拋物線準線過橢圓左焦點可得,求解,則可得到橢圓的標準方程,再根據的周長為計算即可
【詳解】因為拋物線的準線為,橢圓的左焦點為,所以,即,則橢圓方程為,即,
所以的周長為,
【點睛】本題考查拋物線與橢圓的幾何性質的應用,考查橢圓定義的應用
變式3．（22-23高二上·浙江寧波·期末）已知圓，拋物線，過點作圓M的兩條切線AB，AC，點B，C在拋物線P上，過B，C分別作x軸的平行線交P于F，E兩點，則四邊形BCEF的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設過的直線為，由直線和圓相切求得k，直線與拋物線的方程聯立，運用韋達定理求得B、C的橫坐標，得到，進而可得解．
【詳解】
設過的直線為：，
由直線與圓相切，則，
點在拋物線上，
聯立，
由題意，點的橫坐標為方程的一根，另一根設為，
由韋達定理得，則
又，可得B、C的橫坐標分別為：，
則，
故四邊形BCEF的周長為：．
.
變式4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）是拋物線上一點，是的焦點，為的準線，于，若，則的周長為（ ）
A． B． C．10 D．12
【答案】A
【分析】根據拋物線的定義，求出點縱坐標，利用勾股定理求出即可得解.
【詳解】如圖，

由拋物線，可知，準線方程，
因為，所以，
代入拋物線方程可得，不妨設在第一象限，
則，所以,
又，所以,
所以的周長為，
變式5．（23-24高二上·甘肅·期末）已知為拋物線C：的焦點，為原點，點在拋物線上，且，則的周長為（ ）
A． B． C．10 D．11
【答案】A
【分析】由的長度的M點坐標，求得的周長.
【詳解】設M點坐標為，由題，，所以，
代入拋物線方程得，所以，
的周長為.
.
變式6．（22-23高三下·河南開封·階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線為軸正半軸上一點，線段的垂直平分線交于兩點，若，則四邊形的周長為（ ）
A． B．64 C． D．80
【答案】A
【分析】線段的垂直平分線交于兩點,結合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形,可設點坐標,通過幾何關系求出點坐標,在代入拋物線方程即可求解.
【詳解】因為線段的垂直平分線交于兩點，
所以結合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形.
設點且則線段的垂直平分線方程為，
令與軸交于點,又，

則在直角三角形中
繼而可得，
所以點坐標為，
代入拋物線，可得，解得，
直角三角形中,
所以四邊形的周長為.
.
變式7．（20-21高二上·上海金山·期末）設焦點為 的橢圓上的一點也在拋物線上，拋物線焦點為，若，則的周長為 .
【答案】
【分析】根據拋物線的焦半徑公式求出點的橫坐標，然后代入拋物線方程求出點的縱坐標；把點的坐標代入橢圓方程求的值，從而求的周長.
【詳解】設，則，所以，
代入拋物線方程，得，不妨設點的坐標為，代入橢圓方程，得，
所以的周長為.
故答案為：.
變式8．（20-21高二上·陜西西安·期中）已知拋物線在第一象限內的部分上一點到拋物線焦點的距離為4，若為拋物線準線上任意一點，則的周長最小值為 ．
【答案】
【解析】利用拋物線的定義由求得拋物線方程，進而得到準線方程，焦點坐標，，然后作出點A關于準線的對稱點求解.
【詳解】因為拋物線上的點到拋物線焦點的距離為4，
由拋物線的定義得；，解得，
所以拋物線方程為，準線方程為，焦點坐標為，，
如圖所示：
點A關于準線的對稱點，則AP+PF的最小值為，
所以的周長最小值為
故答案為：
【題型5：面積問題】
例5．（遼寧省部分重點高中2024-2025學年高三8月階段性測試數學試題）過拋物線焦點F的直線與拋物線交于點兩點，l過B且與拋物線在A處的切線平行，l交拋物線與另一點，交y軸于E點，則面積的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【分析】表示出點A處的切線方程代入后，結合韋達定理可得，設結合方程可得，再表示出點到直線的距離，表示出弦長，從而可表示出的面積，化簡結合基本不等式計算即可得.
【詳解】點A處的切線方程為，斜率為，
所以直線l的方程為，
代入，并化簡得，
該方程的解為，，由韋達定理可知，
設，代入可解得，
因為，所以直線為，
化簡得，該直線過點，∴，
直線l的方程可化為，
即，
∴的面積為：
，當且僅當時等號不成立，故面積的最小值為16.
.
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，若以軸正方向的射線繞焦點逆時針旋轉，與拋物線交于點，過作軸，交準線于點，則的面積為 ．
【答案】
【分析】聯立直線的方程和拋物線方程得到的坐標，從而利用三角形面積公式計算出結果.
【詳解】由題知焦點，準線為，直線的方程為：，
聯立，可得，
所以或（舍），，
，
所以．
故答案為：.
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為和定點為拋物線上一動點．設直線交拋物線于兩點，當時，求的面積．
【答案】答案見解析
【分析】由拋物線可知焦點，又，因此可知直線的方程，與拋物線聯立，可求出弦長；因為，由拋物線的定義可求，進而可求出，分兩種情況求的面積即可.
【詳解】

因為，所以，所以直線方程為．
設，
聯立得，顯然，
所以，
則，
因為，所以，則．
當時，到的距離；
當時，到的距離．
變式3.（24-25高三上·江西·階段練習）已知點是拋物線：上的一點.
(1)若點橫坐標為4，求拋物線在點處的切線方程；
(2)過點作圓：的兩條切線，交拋物線的準線于、兩點.
①若，求點縱坐標；
②求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）將拋物線轉化為二次函數，結合導數的意義求切線斜率，從而得到切線方程；
（2）①利用切線長定理表示的周長，結合內切圓半徑公式和三角形面積公式均可得到的面積，從而得到點縱坐標；
②利用三角形面積公式可將的面積表示為的式子，通過換元和均值不等式得到面積的最小值.
【詳解】（1）的橫坐標為4，，
又，求得，
拋物線在處的切線斜率為，
切線方程為，
即.
（2）設與圓相切于點，與圓相切于點，
與圓相切于點，由切線長相等可得：
，，，
周長為，
，
設，由題意設，（在軸左側時，由對稱性可知三角形面積相同），
，
，
，
①由，則，
解得，所以點的縱坐標為2.
②，
令，則，
，，
當且僅當，即時，面積最小值為.
【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵在于利用切線長定理表示的周長，進而利用三角形內切圓半徑公式表示的面積.
變式4．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）如圖，已知直線與拋物線C：交于兩點，且， 交于點，點的坐標為，
(1)求的值．
(2)若線段的垂直平分線于拋物線C交于E，F兩點，求的面積.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）由兩直線垂直得到直線，再聯立曲線方程，由韋達定理結合向量的數量積為零求出即可；
（2）設線段的中點為，由中點坐標公式得到方程，聯立曲線方程，得到韋達定理，結合兩點間距離公式化簡即可；
【詳解】（1）設，
因為交于點，點的坐標為，
所以直線的方程為，
聯立，消去可得，，
則，
因為，所以，
即，即，解得，
（2）
設線段的中點為，
由（1）知，所以，
所以，即，
聯立，消去可得，，
設，則，
所以，
又點到直線的距離為，
所以的面積為.
變式5．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習）在平面直角坐標系中，點F(0，1)，P為動點，以PF為直徑的圓與x軸相切，記Р的軌跡為.
(1)求Р的方程；
(2)設M為直線上的動點，過M的直線與Р相切于點A，過A作直線MA的垂線交于點B，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）設，解得線段FP的中點坐標，根據題意列等式化簡即可得方程；
（2）設設A，根據函數導數求得函數的切線方程進而求得M的坐標，根據垂直易得直線AB的方程，與聯立，推得B的坐標，利用弦長公式計算得，，結合面積公式和基本不等式求得面積最小值.
【詳解】（1）設，則線段FP的中點坐標為，因為以PF為直徑的圓與x軸相切，
∴，化簡得，所以的方程為；
（2）設A，由，，則點A處的切線斜率為，
所以直線MA方程為，整理為，
令，則，所以M，易知直線AB斜率為，
所以直線AB：，整理為，
與聯立可得，
有，解得，
即B的橫坐標為，
所以，
，
所以△MAB面積為
，又，當且僅當時，等號不成立，
所以的面積最小值為

變式6．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線與軸的交點，是拋物線上一點，且．
(1)求拋物線的方程．
(2)設過點的直線交拋物線于兩點，直線與直線分別交于點．
（ⅰ）證明：直線與的斜率之和為0．
（ⅱ）求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）12
【分析】（1）利用點坐標代入拋物線方程、可得答案；
（2）（ⅰ）設直線、、的方程分別為、、，直線的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理代入可得答案；（ⅱ）求出、，得到的面積，利用的范圍可得答案．
【詳解】（1）因為點在拋物線上，所以，
因為，所以，
聯立，解得，
所以拋物線的方程為；
（2）（ⅰ）設直線的方程為，直線的方程為，
直線的方程為，
不妨設點在第一象限，，
由得，
所以，
所以，所以
，
故直線與的斜率之和為；
（ⅱ）由得，
同理可得，
直線與軸交于點，
則的面積
，
因為，所以，所以，
則，即面積的最大值為12，
當且僅當時等號不成立.
【點睛】關鍵點點睛：第二問的解題的關鍵點是求出的面積，然后利用基本不等式求最值.
變式7．（23-24高二下·廣東廣州·期末）設拋物線：，：，，的焦點分別為，，交于點N，已知三角形的周長為．
(1)求，的方程；
(2)過上第一象限內一點M作的切線l，交于A，B兩點，其中點B在第一象限，設l的斜率為k．
①x軸正半軸上的點P滿足，問P是否為定點？并證明你的結論．
②過點A，B分別作的切線交于點D，當三角形ABD的面積最小時，求的值．
【答案】(1)：，：.
(2)①P為定點，.證明見解析；②.
【分析】（1）聯立解得，由拋物線的性質得到，再由三角形的周長為代入求解得到.
(2)①設點，找出直線l的方程，記直線l與軸的交點為， 關鍵是由，l的斜率為k，則，則點為線段的垂直平分線與軸的交點.
②由①知，聯立可得：，結合韋達定理，并找出過點A，B作的切線方程解得點D的坐標，表示三角形ABD的面積為：，結合單調性求解.
【詳解】（1）如圖所示：
由題，，，，
聯立解得：，所以，
由拋物線的性質：，
三角形的周長為：，
解得，故拋物線：，：.
（2）①P為定點，.證明如下：
如圖所示：
由（1）知，拋物線：，：.
設點，且，則，求導可得：，
則l的斜率，則直線l的方程：，即，
記直線l與軸的交點為，令則，則
由，l的斜率為k，則，
所以三角形為等腰三角形，點為線段的垂直平分線與軸的交點，
記的中點為，則，
線段的垂直平分線，
令則，故.
②如圖所示：
由①知，直線l的方程：，
聯立可得：，
設，
則，.
由，求導可得：，
所以過點A作的切線為：，即，
同理可得過點B作的切線為：，
聯立，解得：，即，
記點D到直線AB的距離為d,則，
，
三角形ABD的面積為：
令，則,
則在單調遞減，在單調遞增，
所以時取得最小值，此時，
，故M為AB中點，.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查求拋物線的切線與圓錐曲線定值、面積綜合問題，解題關鍵是找到導數與拋物線的切線的關系，求出切線，聯立切線與曲線，整理后應用韋達定理求出，聯立切線與切線求出交點，然后表示出弦長與高，求出三角形面積的表達式，再利用導數研究出單調性，找到取最小值時候的的取值，進而得到問題的解.
變式8．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線的焦點到點的距離為，，為拋物線上兩個動點，且線段的中點在直線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出焦點坐標，再利用兩點間的距離公式列方程可求出，從而可求出拋物線的方程；
（2）設直線的方程為：，，，將直線方程代入拋物線方程化簡利用根與系數的關系結合中點坐標公式表示出點的坐標，將兩點的坐標代入拋物線方程，兩式相加化簡結合前面的式子可得，再結合判別式可得，利用弦長公式表示出，再表示出點到直線的距離，從而可表示出面積，化簡后結合可求出其范圍.
【詳解】（1）焦點，，由焦點到點的距離為，
得，解得
所以拋物線方程為．
（2）如圖所示，顯然，直線的斜率不為0，
設直線的方程為：，，，
聯立方程組，消去得,
所以，，且（*）,
所以線段的中點的縱坐標為,
因為點在直線上，所以，所以,
因為，，所以，
即,
將，代入上式，所以,
代入（*）得，化簡得，所以,
點到的距離,
,
所以,
將代入上式，得,
因為
所以.
【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線中的三角形面積問題，解題的關鍵是設出直線方程代入拋物線方程化簡結合根與系數的關系和中點坐標公式表示出點的坐標，考查計算能力和數形結合的思想，屬于較難題.
【題型6：最值問題】
例6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，定點為上一動點，則的最小值為（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】根據題意可得準線方程為，過作的準線的垂線，垂足為，從而可得，即可求解.
【詳解】易知拋物線的準線方程為，過作的準線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可知，所以，
當且僅當三點共線且準線時，等號不成立．故的最小值為12．故A正確.
.
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知點，拋物線上有一點，則的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】結合坐標運算和焦半徑公式，轉化，再利用數形結合求最值.
【詳解】已知拋物線上有一點，則，即．
又，故在拋物線的外部，
則，
因為拋物線的焦點為，準線方程為，則，故．

由于，當三點共線（在之間）時，取到最小值，
則的最小值為．
變式2．（23-24高二上·山東青島·期末）設拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（ ）
A．3 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】求出拋物線的焦點坐標及準線方程，利用拋物線定義及點到直線的距離公式求解即得.
【詳解】拋物線的焦點，準線，
過點作于，垂直于直線于點，顯然，
點到直線的距離，
則，
當且僅當點是點到直線的垂線段與拋物線的交點時取等號，
所以的最小值為2.

變式3．（23-24高三上·河南南陽·期末）已知，C是拋物線上的三個點，F為焦點，，點C到x軸的距離為d，則的最小值為（ ）
A．10 B． C．11 D．
【答案】C
【分析】由焦半徑公式得到，從而得到，數形結合得到最小值.
【詳解】因為M的準線方程為，
所以由拋物線焦半徑公式得，
故，
所以
,
當且僅當C，D，F三點共線且C在線段DF上時，等號不成立，
所以的最小值為．
變式4．（11-12高二上·江蘇常州·期中）已知點，是軸上的動點，且滿足，的外心在軸上的射影為，則的最小值為 .
【答案】3
【分析】先確定點的軌跡為拋物線，再結合拋物線的定義即可求解.
【詳解】設點，則）根據點是的外心,，
而，則
所以
從而得到點的軌跡為，焦點為
由拋物線的定義可知，
因為，，
即，當點P在線段BF上時等號不成立.
所以的最小值為3，
故答案為：3
變式5．（23-24高二下·上海閔行·期末）設是以為焦點的拋物線上的動點，是圓上的動點，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】根據拋物線的定義和圓的性質轉化為三點一線即可求出最值.
【詳解】拋物線的準線為，設點到準線的距離為，圓心，圓心到準線的距離為，則，
則，
則的最小值為4.
故答案為：4.
變式6．（23-24高二下·上海松江·階段練習）已知拋物線的焦點為，若是該拋物線上一點，點，則的最小值 .
【答案】5
【分析】利用拋物線的定義轉化為點到線的距離問題求解.
【詳解】拋物線的準線方程為，
則的最小值為到準線的距離，即為.
故答案為：.

變式7．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標系中，已知點，記拋物線：上的動點到準線的距離為，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】將到拋物線的準線的距離轉化為到拋物線焦點F的距離，再根據三角形三邊關系將的最大值表示為
【詳解】由拋物線的定義知，，所以
所以，當點位于射線與拋物線交點時，取最大值.
故答案為：
變式8．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知在平面直角坐標系中，點，，動點滿足，點為拋物線E：上的任意一點，在軸上的射影為，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由動點P滿足的條件得點P的軌跡為圓，根據拋物線的定義，將轉化為，觀察圖形得的最小值.
【詳解】
設，已知，，
則，
化簡整理得，所以點的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，
拋物線E：的焦點，準線方程為，
，
當且僅當A，P，M，F（P，M兩點在A，F兩點之間）四點共線時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】動點P滿足為“阿波羅尼斯圓”的定義，可知點的軌跡為圓.
【方法技巧與總結】與拋物線上的點到準線距離有關的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準線的距離轉化為到焦點的距離，然后通過數形結合直接判斷出取得最值時所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數運算．　
【題型7：直線與拋物線的位置關系】
例7．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相離 D．相交或相切
【答案】A
【分析】根據直線和拋物線只有一個公共點確定正確答案.
【詳解】直線與拋物線的對稱軸平行或與拋物線相切時有一個公共點，
所以D選項正確.
變式1．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條
D．1條、2條或3條
【答案】D
【分析】將直線方程和拋物線方程聯立，使得方程僅有一個實數根，求出對應的的取值個數即可.
【詳解】聯立直線和拋物線方程可得，
整理可得，
直線l與有一個公共點等價于方程只有一個實數根，
當時，方程為僅有一解，符合題意；
當時，一元二次方程僅有一解，
即，解得，
所以滿足題意得直線有三條，即，和.
變式2．（22-23高二上·全國·課后作業）已知拋物線C的方程為，過點和點的直線l與拋物線C沒有公共點，則實數t的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求直線的方程，與拋物線方程聯立，利用，即可求解的取值范圍.
【詳解】當時，直線，與拋物線有交點，所以，
設直線的方程為，
聯立直線與拋物線方程，得，消元整理，得，
由于直線與拋物線無公共點，即方程無解，故有，解得或.
變式3．（17-18高二上·四川廣安·期末）已知直線與拋物線，則“與只有一個公共點”是“與相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件的定義先判斷充分性，再利用必要性的定義判斷必要性.
【詳解】當“與只有一個公共點”時，如圖，直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線只有一個公共點，但是此時與不相切.所以“與只有一個公共點”是“與相切”的不充分條件；
當“與相切”時，與只有一個公共點，所以“與只有一個公共點”是“與相切”的必要條件.
綜上，“與只有一個公共點”是“與相切”的必要不充分條件.
變式4．（多選）（23-24高二下·河北唐山·期末）已知拋物線過點，則（ ）
A．拋物線的標準方程可能為
B．撻物線的標準方程可能為
C．過點與拋物線只有一個公共點的直線有一條
D．過點與拋物線只有一個公共點的直線有兩條
【答案】ABD
【分析】根據題意設出拋物線的方程，利用點在拋物線上及直線與拋物線的位置關系即可求解.
【詳解】對于選項A，當拋物線開口向右時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線的方程為，故A正確；
對于選項B，當拋物線開口向下時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線為，故B正確；
對于C、D選項，過點與對稱軸平行的直線，以及拋物線在點處的切線都與拋物線只有一個公共點，故C錯誤，D正確.
BD.
變式5．(多選）（23-24高二上·江西景德鎮·期末）若直線被圓所截的弦長不小于2，則下列曲線中，與直線一定有公共點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根據給定條件，結合圓的弦長公式求出原點到直線的距離范圍，確定直線必過的區域，再逐項判斷即可得解.
【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，設點到直線的距離為，
由，得，
平面內到原點距離不大于的點的集合是以原點為圓心，為半徑的圓及內部區域，
因此直線必過區域，以原點為圓心，為半徑的圓方程為，
對于A，圓上的點到點的距離，顯然，

因此圓內含于圓，則圓與直線一定有公共點，A是；
對于B，點在拋物線內，由消去得，
顯然方程無解，即圓與拋物線無公共點，

因此圓在拋物線內，拋物線與直線一定有公共點，B是；
對于C，圓上的點在橢圓外，

直線與橢圓無公共點，而直線過區域，C不是；
對于D，圓上只有兩點在雙曲線上，其余點都在雙曲線外，

直線與雙曲線無公共點，而直線過區域，D不是.
B
【點睛】關鍵點睛：求出直線必過區域，再判斷區域的邊界曲線與各選項中曲線的位置關系是解決問題的關鍵.
變式6．(多選)（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于兩，則（ ）
A．若，則
B．以為直徑的圓與準線相切
C．設，則的最小值為
D．過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有2條
【答案】AB
【分析】A選項，根據焦點弦公式求出；B選項，當過點的直線斜率不存在時，不合要求，設過點的直線方程為，聯立拋物線與直線，得到兩根之和，兩根之積，求出的中點，得到圓心和半徑，求出到準線的距離等于半徑，得到B正確；C選項，設，表達出，得到最小值；D選項，點在拋物線內部，故只有一個公共點的直線有1條.
【詳解】A選項，由題意得，準線方程為，
根據焦點弦公式得，A正確；
B選項，當過點的直線斜率不存在時，直線與拋物線只有1個交點，不合要求，
設過點的直線方程為，
聯立與得，，
則，
則，，
故，
故的中點，
，
故圓的半徑為，
圓心到準線的距離為，
故以為直徑的圓與準線相切，B正確；

C選項，設，，
則，
故當時，取得最小值，最小值為9，
故的最小值為3，C錯誤；
D選項，如圖，因為，所以點在拋物線內部，
故過點與拋物線有且只有一個公共點的直線只有1條，
即與軸垂直的直線，D錯誤.

B
變式7．（多選）（22-23高二上·山東煙臺·期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，則（ ）
A．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條
B．設點，則的最大值為
C．點到直線的最小距離為
D．點到直線與點到軸距離之和的最小值為
【答案】CCD
【分析】根據直線與拋物線有一個交點，求出直線的方程，可判斷A選項；數形結合求出的最大值，可判斷B選項；設點，其中，利用點到直線的距離公式以及二次函數的基本性質可判斷C選項；利用拋物線的定義以及數形結合思想求出點到直線與點到軸距離之和的最小值，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，設過點的直線為，若直線方程為，此時直線與拋物線只有一個公共點，
若直線的方程為，此時直線與拋物線只有一個公共點，
若直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，
聯立可得，
若直線與拋物線相切，則，解得，
此時，直線的方程為，
綜上所述，過點且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有三條，A錯；
對于B選項，如下圖所示：
易知點，，
當且僅當點為射線與拋物線的交點時，等號不成立，
故的最大值為，B對；
對于C選項，設點，其中，
則點到直線的距離為，
當且僅當時，等號不成立，故點到直線的最小距離為，C對；
對于D選項，如下圖所示：
拋物線的準線為，過點作，垂足為點，設交軸于點，
過點作直線的垂線，垂足為點，連接，
則，
當與直線垂直時，取最小值，
且最小值為點到直線的距離，
因此，，
故點到直線與點到軸距離之和的最小值為，D對.
CD.
變式8．（23-24高二上·江蘇南通·期末）在平面直角坐標系中，動點到點的距離與到軸的距離之差等于1，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)設點在上，證明：直線與相切．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意，轉化點到點的距離等于點到直線的距離，結合拋物線的定義，即可求解；
（2）由點在上，可得，聯立方程組，結合，即可求解.
【詳解】（1）解：因為動點到點的距離與到軸的距離之差等于1，
因為，可得點到點的距離等于點到直線的距離，
所以動點的軌跡為以為焦點，以直線為準線的拋物線，
可得拋物線的方程為，即動點的軌跡的方程為.
（2）證明：因為點在上，可得，
聯立方程組，可得，
則，
所以直線與相切．
【方法技巧與總結】解決直線與拋物線位置關系問題的方法
(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系．
(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB||x1|＋|x2|＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．
[注意]　涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線上與焦點距離等于的點的縱坐標為，則該拋物線標準方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】設出滿足條件的點的坐標，根據已知列出方程求解即可.
【詳解】設滿足條件的點為，
則到的準線的距離為，
設，所以，
解得或，故所求方程為或．
2．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由拋物線的標準方程即焦點的定義計算即可.
【詳解】，此時焦點在縱軸上，為.
3．（24-25高二上·全國·課后作業）拋物線的焦點為，點在拋物線上，若，則點的坐標為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】由拋物線定義可列式求解點的橫坐標，將所求橫坐標代入拋物線方程可得點的縱坐標.
【詳解】設點的坐標為，
∵，∴，∴.
把代入方程，得，
∴.∴點P的坐標為.
.
4．（23-24高二下·陜西咸陽·期末）已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知先求得參數，進一步即可得解.
【詳解】已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，
所以，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為.
.
5．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知為拋物線上一點，且到拋物線焦點的距離為4，它到軸的距離為3，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根據拋物線的定義知，拋物線上一點到準線的距離等于到焦點的距離，即可求解.
【詳解】由題意得，，即，解得.
故選：.
6．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）設拋物線的焦點為，已知點，，， 都在拋物線上，則 四點中與焦點距離最小的點是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據拋物線方程求出焦點坐標與準線方程，再根據拋物線的定義求出各點到焦點的距離，即可判斷.
【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為；
則點到焦點的距離為，
點到焦點的距離為，
點到焦點的距離為
點到焦點的距離為；
所以點與焦點的距離最小.
7．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知為拋物線：上一點，點到的焦點的距離為4，到軸的距離為3，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】根據拋物線定義得到方程，求出答案.
【詳解】由拋物線定義得，解得.
8．（23-24高二下·湖南·期末）設為拋物線的焦點，點為上一點，過作軸的垂線，垂足為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得，進而可得，由求解.
【詳解】因為為拋物線的焦點，所以，所以拋物線的焦點的坐標為，
由拋物線定義可知2，
又，所以，解得，故，
所以為原點，
從而.
.
二、多選題
9．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點在拋物線上，則下列結論正確的有（ ）
A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線方程為
C． D．點到拋物線的焦點的距離為4
【答案】ACD
【分析】根據雙曲線的方程求出離心率可判斷A；求出雙曲線的漸近線方程可判斷B；由有相同的焦點求出可判斷C；點坐標代入方程可判斷D．
【詳解】雙曲線的焦點為，，，
對于A，雙曲線的離心率，故A正確；
對于B，雙曲線的漸近線方程為，故B錯誤；
對于C，由有相同的焦點，得，解得，故C正確；
對于D，拋物線的焦點為，點在上，
則，故或，
所以點到的焦點的距離為4，故D正確．
CD．
10．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知圓，則下列曲線一定與圓有公共點的是（ ）
A． B．
C．拋物線的準線 D．
【答案】CC
【分析】利用直線與圓的位置關系可判定BC，利用兩圓的位置關系可判定AD.
【詳解】易知的圓心為原點，半徑為1，
對B，原點到的距離，即直線與圓相交，故B正確；
對A，由可知其圓心為，半徑為1，
兩圓圓心距，即兩圓相離，故A錯誤；
對D，由知其圓心為，半徑，
兩圓圓心距為，當且僅當時兩圓才有交點，除此之外兩圓無交點，故D錯誤.
對C，易知拋物線準線方程為，顯然與圓相切，故C正確.
C
11．（23-24高二上·浙江溫州·期末）以下選項中的兩個圓錐曲線的離心率相等的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】DD
【分析】根據橢圓、雙曲線以及拋物線的離心率公式，分別求出各個圓錐曲線的離心率，即可得出答案.
【詳解】對于A項，雙曲線的離心率為；橢圓的離心率為，故A錯誤；
對于B項，雙曲線的離心率為；雙曲線的離心率為，故B錯誤；
對于C項，橢圓的離心率為；橢圓的離心率為，故C項正確；
對于D項，方程可化為拋物線，方程可化為拋物線，而且拋物線的離心率均為1，故D項正確.
D.
三、填空題
12．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為是上一點，若，則以為直徑的圓與軸的位置關系是 ．
【答案】相切
【分析】根據拋物線定義可得到軸的距離為6，進而求的中點到軸的距離，即可判斷直線與圓的位置關系.
【詳解】拋物線的準線方程為，焦點，
因為，所以到軸的距離為，則的中點到軸的距離為，
所以以為直徑的圓與軸相切．
故答案為：相切.
13．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作傾斜角為的直線與交于，則 ．
【答案】
【分析】寫出直線方程并與拋物線聯立，再由焦點弦公式計算可得結果.
【詳解】易知拋物線的焦點為，傾斜角為的直線斜率為，
所以直線方程為，
不妨設，聯立消去整理可得；
所以可得，
由焦點弦公式可得.
故答案為：
14．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）過拋物線：（）的頂點，且傾斜角為80°的直線與拋物線的另一個交點為，若，則拋物線的方程為 ．
【答案】
【分析】過點向軸作垂線，求得坐標，即可求解.
【詳解】過點向軸作垂線，垂足記為,
由題意可知，所以點坐標為，
代入拋物線方程得，所以
故答案為：
四、解答題
15．（24-25高二上·全國·課后作業）已知頂點為的拋物線過點，其焦點為，若．
(1)求點的坐標以及拋物線方程；
(2)若點與關于點對稱，求．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據拋物線過點及列出相應等式即可求解；
（2）根據（1）結果分情況討論和，從而可求解.
【詳解】（1）因為拋物線過點，則①，又，
且焦點為，即②，
結合①②解得或，
即，或．
（2）當時，此時，則，
所以；
當時，，則，
所以．
16．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓經過的點以及焦點，即可求解，
（2）聯立直線與橢圓的方程，即可根據中點關系求解.
【詳解】（1）拋物線的焦點為，
由題意得，解得，，
所以橢圓的方程為.
（2）直線的斜率存在，設斜率為，
直線的方程為，即，
聯立，
消去得：，
設，
因為，即，
所以，解得，
此時滿足題意
所以所求直線的方程為.
17．（22-23高二下·四川內江·階段練習）已知拋物線的準線與軸的交點為 .
(1)求的方程，若經點的直線與有且只有一個公共點時，求直線的方程.
(2)若過點的直線與拋物線交于，兩點.求證： 為定值.
【答案】(1)，直線的方程為或或
(2)證明見解析
【分析】（1）根據拋物線的準線求參數，即可寫出拋物線方程，再分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立、消元，根據求出，即可得到直線方程；
（2）設直線的方程為，，，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，表示出，，再代入韋達定理計算可得.
【詳解】（1）拋物線的準線方程為，依題意，解得，
所以拋物線，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，
消去整理得，則，解得或，
所以直線的方程為或，
綜上可得直線的方程為或或.
（2）依題意直線的斜率存在，設直線的方程為，，，
聯立拋物線有，消去得，則，
∴，，又，.
∴ .
∴為定值.
18．（22-23高二下·四川成都·期末）已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線相交于兩點．
(1)當直線的傾斜角為時，直線被圓所截得的弦長為，求的值；
(2)若點在軸上，且是以為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的斜率．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）設出直線，運用圓當中的弦長公式構造方程，解出即可；
（2）將直線和設出來，然后直線與曲線聯立方程，運用韋達定理，結合等腰直角三角形的中垂性質，構造方程，求解即可.
【詳解】（1）因為直線的傾斜角為，所以．
由題意，拋物線的焦點坐標為．
所以直線的方程為．
因為圓的方程為，即，
所以圓心坐標為，半徑為2．
所以圓心到直線的距離．
由垂徑定理得，解得或．
故或．
（2）由題意，直線斜率存在，如圖所示．

設直線，，
由消去得，
故中點坐標為，
由得，
即，整理得．①
由得，
即，
代入整理得．②
由①②消去得，
即，
整理得．
所以，解得．
綜上，直線的斜率．
19．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）拋物線的準線方程為，拋物線上的三個點構成一個以為直角頂點的直角三角形．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若點坐標為，證明：直線過定點；
(3)若，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)1
【分析】（1）根據準線方程求出拋物線方程；
（2）設點的坐標分別為，直線的方程為，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，依題意，即可得到、的關系，從而求出直線過定點坐標；
（3）不妨設，，三點的坐標分別為，且，不妨記直線的斜率為，且，再由弦長公式得到，再求出的最小值，即可得解.
【詳解】（1）拋物線的準線方程為，
所以且焦點在軸的非負半軸上，則，
拋物線的標準方程為；
（2）設點的坐標分別為，直線的方程為，
聯立得，顯然，，
因為構成一個以為直角頂點的直角三角形，
，，，
直線的方程為，
當時，所以直線過定點；
（3）由拋物線的對稱性，不妨設，，三點的坐標分別為，且，
不妨記直線的斜率為，且，
則直線的斜率為，則，
結合（*）得，
（當且僅當時取得等號），
（此時為坐標原點），
即面積的最小值為.
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.7拋物線及其方程
課程標準 學習目標
1.理解拋物線的定義及其圖形特征，掌握拋物線的標準方程及其性質2.能夠運用拋物線的性質解決一些簡單問題 3.培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力和解決問題的能力。 重點：1.拋物線的定義及其圖形特征; 2.拋物線的標準方程及其性質; 難點：1.拋物線與坐標軸的交點; 2.拋物線的焦點和準線。
知識點01 拋物線的定義
定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
注意：1.定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．
2.拋物線的定義用集合語言表示為：P{M||MF|d}(d為M到直線l的距離)．
3.定義的實質可歸納為“一動三定”：一個動點，設為M點；一個定點F(拋物線的焦點)；
一條定直線l(拋物線的準線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．
4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉化，這也是利用拋物線定義解題的實質．
【即學即練1】（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線，為拋物線焦點，若以軸正方向的射線繞焦點逆時針旋轉，與拋物線交于點，則 ．
【即學即練2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知拋物線的焦點為，點在該拋物線上，且，則到軸的距離為 .
知識點02拋物線的幾何性質
類型 y22px (p>0) y2－2px (p>0) x22py (p>0) x2－2py (p>0)
圖象
性質 焦點 F F F F
準線 x－ x y－ y
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
對稱軸 x軸 y軸
頂點 O(0,0)
離心率 e1
開口方向 向右 向左 向上 向下
【即學即練3】（2024高二上·全國·專題練習）已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，則 .
【即學即練4】（23-24高二上·遼寧·期末）已知點和拋物線，則過點A且與拋物線相切的直線的方程為 .
難點：數形結合求最值問題
示例1：（23-24高二下·山西長治·期末）已知拋物線的焦點為，點為上可相互重合的點，且，則的取值范圍是 ，的最小值是 .
【題型1：拋物線的定義與應用】
例1．（23-24高二下·全國·課后作業）動點滿足方程，則點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
變式1．（23-24高二下·河南新鄉·期末）已知為拋物線的焦點，點在上，且點到直線的距離為，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知為拋物線的焦點，過上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
變式3.（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為（ ）
A． B．5 C．6 D．
變式4．（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，過作的垂線，垂足為，若（為坐標原點），則
變式5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知點關于軸的對稱點在曲線：上，且點到點的距離為點到直線的距離的，則點的縱坐標 ．
變式6．（23-24高二下·海南·期末）已知直線與拋物線在第一象限交于點，若點到的準線的距離為，則 .
變式7．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）拋物線上的動點P到點的距離等于它到C的準線距離，則P到焦點距離為 .
變式8．（多選）（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）點到點，及到直線的距離都相等，如果這樣的點恰好只有一個，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型2：拋物線的標準方程與性質】
例2．（23-24高三下·湖北·開學考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點關于其準線的對稱點為，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（20-21高二下·陜西榆林·階段練習）以x軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點到焦點的距離為3，則拋物線的方程是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（22-23高二上·湖北·期末）設點F是拋物線的焦點，l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若，，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（24-25高二·上海·隨堂練習）設拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是 ．
變式4．（24-25高二·上海·隨堂練習）已知拋物線C：的焦點與橢圓的右焦點重合，頂點為橢圓的中心，則拋物線C的標準方程為 ．
變式5．（24-25高二上·上海·課后作業）已知拋物線C：的焦點為F，準線l上有兩點A、B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標準方程是 ．
變式6．（15-16高二上·甘肅白銀·期末）焦點在直線上的拋物線的標準方程為
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為為拋物線上一點，若到軸的距離為5，且，則該拋物線的標準方程為 ．
變式8．（20-21高二下·陜西漢中·期中）已知拋物線的焦點在y軸上，頂點在坐標原點O，且經過點，若點P到該拋物線焦點的距離為4，則該拋物線的方程為 ．
【方法技巧與總結】求拋物線標準方程的方法
①先定位：根據焦點或準線的位置；
②再定形：即根據條件求p.
2.拋物線性質的應用技巧
①利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程；
②要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算．
【題型3：弦長問題】
例3．（24-25高二上·上海·課前預習）設斜率為k的直線l與拋物線相交于，兩點，則 或= ．
變式1.（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，過點且斜率大于0的直線交于兩點，若，則的斜率為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高三上·廣東廣州·期中）直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點.若，則（ ）
A． B．3 C． D．
變式3．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）已知直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線的焦點為F，O為原點，且，則 ．
變式4.（23-24高二下·安徽安慶·階段練習）已知拋物線：的焦點為，經過點的直線與拋物線交于兩點，其中點在第一象限：
(1)若直線的斜率為，求的值；
(2)求線段的長度的最小值．
(3)若拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，求當取得最大值時，直線的方程．
變式5．（2024·廣東江門·二模）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為2的直線與交于A，B兩點，且．
(1)求的方程；
(2)過點作軸的平行線是動點，且異于點，過點作AP的平行線交于，兩點，證明：．
變式6．（23-24高二上·河南焦作·階段練習）已知直線過拋物線的焦點，交拋物線于兩點.
(1)若，求直線的方程．
(2)若過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，直線的斜率是否為定值 若是，請求出定值，若不是，說明理由．
變式7．（23-24高二下·安徽滁州·階段練習）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于兩點.
(1)求的值；
(2)求的值.
8．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習）已知是拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，且到直線的距離之和等于.
(1)求的方程；
(2)若的斜率大于，在第一象限，過與垂直的直線和過與軸垂直的直線交于點，且，求的方程.
【方法技巧與總結】活用拋物線焦點弦的四個結論
　拋物線的焦點弦問題一直是高考命題的一個熱點，該問題常與弦長、三角形面積、向量、不等式等知識相融合，考查學生的轉化與化歸意識和靈活解題能力．命題點主要體現在焦點弦的四個結論上：
設AB是過拋物線y22px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1·x2.
(2)y1·y2－p2.
(3)|AB|x1＋x2＋p(α是直線AB的傾斜角)．
(4)＋為定值(F是拋物線的焦點)
【題型4：周長問題】
例4．（2023高二上·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線，為軸正半軸上一點，線段的垂直平分線交于兩點，若，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（19-20高二上·重慶沙坪壩·期末）已知拋物線 的準線l過橢圓的左焦點，且l與橢圓交于P、Q兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
變式3．（22-23高二上·浙江寧波·期末）已知圓，拋物線，過點作圓M的兩條切線AB，AC，點B，C在拋物線P上，過B，C分別作x軸的平行線交P于F，E兩點，則四邊形BCEF的周長為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）是拋物線上一點，是的焦點，為的準線，于，若，則的周長為（ ）
A． B． C．10 D．12
變式5．（23-24高二上·甘肅·期末）已知為拋物線C：的焦點，為原點，點在拋物線上，且，則的周長為（ ）
A． B． C．10 D．11
變式6．（22-23高三下·河南開封·階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線為軸正半軸上一點，線段的垂直平分線交于兩點，若，則四邊形的周長為（ ）
A． B．64 C． D．80
變式7．（20-21高二上·上海金山·期末）設焦點為 的橢圓上的一點也在拋物線上，拋物線焦點為，若，則的周長為 .
變式8．（20-21高二上·陜西西安·期中）已知拋物線在第一象限內的部分上一點到拋物線焦點的距離為4，若為拋物線準線上任意一點，則的周長最小值為 ．
【題型5：面積問題】
例5．（遼寧省部分重點高中2024-2025學年高三8月階段性測試數學試題）過拋物線焦點F的直線與拋物線交于點兩點，l過B且與拋物線在A處的切線平行，l交拋物線與另一點，交y軸于E點，則面積的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，若以軸正方向的射線繞焦點逆時針旋轉，與拋物線交于點，過作軸，交準線于點，則的面積為 ．
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為和定點為拋物線上一動點．設直線交拋物線于兩點，當時，求的面積．
變式3.（24-25高三上·江西·階段練習）已知點是拋物線：上的一點.
(1)若點橫坐標為4，求拋物線在點處的切線方程；
(2)過點作圓：的兩條切線，交拋物線的準線于、兩點.
①若，求點縱坐標；
②求面積的最小值.
變式4．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）如圖，已知直線與拋物線C：交于兩點，且， 交于點，點的坐標為，
(1)求的值．
(2)若線段的垂直平分線于拋物線C交于E，F兩點，求的面積.
變式5．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習）在平面直角坐標系中，點F(0，1)，P為動點，以PF為直徑的圓與x軸相切，記Р的軌跡為.
(1)求Р的方程；
(2)設M為直線上的動點，過M的直線與Р相切于點A，過A作直線MA的垂線交于點B，求面積的最小值．
變式6．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線與軸的交點，是拋物線上一點，且．
(1)求拋物線的方程．
(2)設過點的直線交拋物線于兩點，直線與直線分別交于點．
（ⅰ）證明：直線與的斜率之和為0．
（ⅱ）求面積的最大值．
變式7．（23-24高二下·廣東廣州·期末）設拋物線：，：，，的焦點分別為，，交于點N，已知三角形的周長為．
(1)求，的方程；
(2)過上第一象限內一點M作的切線l，交于A，B兩點，其中點B在第一象限，設l的斜率為k．
①x軸正半軸上的點P滿足，問P是否為定點？并證明你的結論．
②過點A，B分別作的切線交于點D，當三角形ABD的面積最小時，求的值．
變式8．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線的焦點到點的距離為，，為拋物線上兩個動點，且線段的中點在直線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)求面積的取值范圍．
【題型6：最值問題】
例6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，定點為上一動點，則的最小值為（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知點，拋物線上有一點，則的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
變式2．（23-24高二上·山東青島·期末）設拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（ ）
A．3 B．2 C． D．5
變式3．（23-24高三上·河南南陽·期末）已知，C是拋物線上的三個點，F為焦點，，點C到x軸的距離為d，則的最小值為（ ）
A．10 B． C．11 D．
變式4．（11-12高二上·江蘇常州·期中）已知點，是軸上的動點，且滿足，的外心在軸上的射影為，則的最小值為 .
變式5．（23-24高二下·上海閔行·期末）設是以為焦點的拋物線上的動點，是圓上的動點，則的最小值為 ．
變式6．（23-24高二下·上海松江·階段練習）已知拋物線的焦點為，若是該拋物線上一點，點，則的最小值 .
變式7．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標系中，已知點，記拋物線：上的動點到準線的距離為，則的最大值為 ．
變式8．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知在平面直角坐標系中，點，，動點滿足，點為拋物線E：上的任意一點，在軸上的射影為，則的最小值為 .
【方法技巧與總結】與拋物線上的點到準線距離有關的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準線的距離轉化為到焦點的距離，然后通過數形結合直接判斷出取得最值時所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數運算．　
【題型7：直線與拋物線的位置關系】
例7．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相離 D．相交或相切
變式1．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條
D．1條、2條或3條
變式2．（22-23高二上·全國·課后作業）已知拋物線C的方程為，過點和點的直線l與拋物線C沒有公共點，則實數t的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
變式3．（17-18高二上·四川廣安·期末）已知直線與拋物線，則“與只有一個公共點”是“與相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式4．（多選）（23-24高二下·河北唐山·期末）已知拋物線過點，則（ ）
A．拋物線的標準方程可能為
B．撻物線的標準方程可能為
C．過點與拋物線只有一個公共點的直線有一條
D．過點與拋物線只有一個公共點的直線有兩條
變式5．(多選）（23-24高二上·江西景德鎮·期末）若直線被圓所截的弦長不小于2，則下列曲線中，與直線一定有公共點的是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．(多選)（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于兩，則（ ）
A．若，則
B．以為直徑的圓與準線相切
C．設，則的最小值為
D．過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有2條
變式7．（多選）（22-23高二上·山東煙臺·期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，則（ ）
A．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條
B．設點，則的最大值為
C．點到直線的最小距離為
D．點到直線與點到軸距離之和的最小值為
變式8．（23-24高二上·江蘇南通·期末）在平面直角坐標系中，動點到點的距離與到軸的距離之差等于1，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)設點在上，證明：直線與相切．
【方法技巧與總結】解決直線與拋物線位置關系問題的方法
(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系．
(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB||x1|＋|x2|＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．
[注意]　涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線上與焦點距離等于的點的縱坐標為，則該拋物線標準方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·全國·課后作業）拋物線的焦點為，點在拋物線上，若，則點的坐標為（ ）
A． B．或
C． D．或
4．（23-24高二下·陜西咸陽·期末）已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知為拋物線上一點，且到拋物線焦點的距離為4，它到軸的距離為3，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）設拋物線的焦點為，已知點，，， 都在拋物線上，則 四點中與焦點距離最小的點是（　　）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知為拋物線：上一點，點到的焦點的距離為4，到軸的距離為3，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
8．（23-24高二下·湖南·期末）設為拋物線的焦點，點為上一點，過作軸的垂線，垂足為，若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點在拋物線上，則下列結論正確的有（ ）
A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線方程為
C． D．點到拋物線的焦點的距離為4
10．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知圓，則下列曲線一定與圓有公共點的是（ ）
A． B．
C．拋物線的準線 D．
11．（23-24高二上·浙江溫州·期末）以下選項中的兩個圓錐曲線的離心率相等的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
三、填空題
12．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為是上一點，若，則以為直徑的圓與軸的位置關系是 ．
13．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作傾斜角為的直線與交于，則 ．
14．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）過拋物線：（）的頂點，且傾斜角為80°的直線與拋物線的另一個交點為，若，則拋物線的方程為 ．
四、解答題
15．（24-25高二上·全國·課后作業）已知頂點為的拋物線過點，其焦點為，若．
(1)求點的坐標以及拋物線方程；
(2)若點與關于點對稱，求．
16．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.
17．（22-23高二下·四川內江·階段練習）已知拋物線的準線與軸的交點為 .
(1)求的方程，若經點的直線與有且只有一個公共點時，求直線的方程.
(2)若過點的直線與拋物線交于，兩點.求證： 為定值.
18．（22-23高二下·四川成都·期末）已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線相交于兩點．
(1)當直線的傾斜角為時，直線被圓所截得的弦長為，求的值；
(2)若點在軸上，且是以為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的斜率．
19．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）拋物線的準線方程為，拋物線上的三個點構成一個以為直角頂點的直角三角形．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若點坐標為，證明：直線過定點；
(3)若，求面積的最小值．
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