資源簡介

2.8直線與圓錐曲線的位置關系
課程標準 學習目標
理解直線與圓錐曲線的位置關系 2.會進行直線與圓錐曲線的位置關系的判斷，能夠計算弦長 重點：理解直線與圓錐曲線的位置關系，會判定及應用 難點：應用代數方法對直線與圓錐曲線的位置關系進行判定，相關計算的準確性
知識點01 直線與圓錐曲線的位置關系的判定
(1)代數法: 把圓錐曲線方程與直線方程聯立消去y，整理得到關于x的方程 .
方程的解
無解（含是雙曲線的漸近線） 無公共點
有一解（含與拋物線的對稱軸平行或與雙曲線的漸進性平行） 一個交點
兩個不等的解 兩個交點
兩個相等的解 一個切點
無實數解 無公共點
(2)幾何法:在同一直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質可判定直線與圓錐曲線的位置關系
【即學即練1】（24-25高二上·陜西西安·階段練習）已知雙曲線，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點．且，這樣的直線有4條，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①直線只與雙曲線右支相交，②直線與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數目，可得答案．
【詳解】設，令，則，
過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于兩點，
如果在同一支上，則有，
如果在兩支上，則有，
因為這樣的直線有4條，
所以，解得，
【即學即練2】（2024高二上·江蘇·專題練習）設分別是橢圓的左、右焦點，設過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且為銳角（其中O為坐標原點），則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設出直線方程，聯立橢圓方程，表示出韋達定理，結合為銳角，即，代入韋達定理化簡即可；
【詳解】顯然不滿足題意，
設直線的方程為，設，
，
，解得，①
，
則，
又為銳角，則，即，，
所以
，解得，②
由①②，解得或，
所以實數k的取值范圍為.
.
知識點02直線與圓錐曲線的相交弦長
1.設斜率為 k(k≠0)的直線與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A()，B()，則|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|·
2.特別，若直線過拋物線的焦點，則弦長AB|x1＋x2＋p(為弦AB的傾斜角).
【即學即練3】（24-25高二上·浙江麗水·階段練習）已知焦點在軸上的橢圓過點，離心率為，
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率為的直線與曲線相交于點D，E，弦長，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件求得，進而求得橢圓的方程.
（2）設出直線的方程并與橢圓方程聯立，寫出根與系數關系，根據求得直線的方程.
【詳解】（1）由題意得，解得，，
橢圓方程為.
（2）設直線：，，
聯立并整理得，，，
，
解得，符合，
直線方程為，即．
【即學即練4】（23-24高二下·甘肅·期末）已知雙曲線的實軸長是虛軸長的倍，且焦點到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，結合雙曲線漸近線求出即可得雙曲線的方程.
（2）按直線的斜率是否存在進行分類討論，與雙曲線漸近線方程聯立求出，并求出原點O到直線l的距離，再計算推理即得.
【詳解】（1）設雙曲線的一個焦點為，一條漸近線方程為，
焦點F到漸近線的距離為，
由實軸長是虛軸長的倍，得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）由（1）知，雙曲線的漸近線方程為，
當直線的斜率不存在時，的方程為，，，
當直線的斜率存在時，不妨設直線：，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨設與的交點為，則點的橫坐標，
同理得點的橫坐標，則，
而原點到直線的距離，因此，
所以的面積為定值，且定值為.
【點睛】易錯點點睛：第二問中注意討論直線l的斜率存在與不存在兩種情況，以及由動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，直曲聯立后由得到參數的關系.
知識點03 中點弦的重要結論
AB為橢圓＋1(a＞b＞0)的弦，A()，B()弦中點M()).
則弦 AB的斜率與弦中點M 和橢圓中心0 的連線的斜率之積為定值.
【即學即練5】（24-25高二上·全國·課后作業）已知點為拋物線上異于原點的兩個動點，若，則線段中點的橫坐標的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用梯形中位線將中點的橫坐標轉化為，再應用拋物線定義轉化為，再由可得最小值.
【詳解】設的中點，拋物線的準線為，
如圖，作，垂足分別為.
由直角梯形的性質可得，
取拋物線焦點為，由拋物線定義可得，
當且僅當直線經過點時取等號，
所以線段中點的橫坐標的最小值為．
.
【即學即練6】（21-22高二上·北京·階段練習）已知橢圓的右焦點為，離心率為．直線過點且不垂直于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
(3)若點是橢圓上一動點，當直線的斜率為時，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）有條件列出關于的方程，解方程求，由此可得橢圓C的方程；
（2）利用設而不求法可求的坐標，由此完成證明；
（3）利用（2）中結果，可得，設，利用點到直線的距離公式得到，從而求得的最大值，即可求出結果.
【詳解】（1）由題知，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設直線l的方程為，，，
聯立，消去y得，，
由韋達定理知，因為為線段的中點，
所以，，所以，
所以為定值.
（3）當直線的斜率為時，由（2）知直線l的方程為，
由，消去y得，，解得或，
當時，，當時，，所以，
設，
則點到直線的距離為，
其中，當時取到最大值為，
此時面積最大，最大值為.
難點：數形結合的運用
示例1：（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的，兩點，且直線，，的斜率依次成等比數列．橢圓上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【分析】（1）由離心率可得的關系，設橢圓的方程，將點的坐標代入橢圓的方程，可得的值，進而求出橢圓的方程；
（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設直線的方程，與橢圓的方程聯立，由四邊形為平行四邊形由韋達定理可得的坐標，將的坐標代入橢圓的方程，可得參數的關系，再由直線的斜率的平方等于直線，的斜率之積，代入韋達定理化簡可得參數的又一關系，進而解方程求出參數的值，即求出直線的方程．
【詳解】（1）由離心率，
得，所以橢圓的方程可設為：，
將點代入橢圓的方程得，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）由直線，，的斜率依次成等比數列．可知直線的斜率存在且不為0，
由四邊形為平行四邊形，可知直線不過原點.
設直線的方程為：，設，.
聯立，整理可得：，，即，
且，，，
因為四邊形為平行四邊形，則三點不共線，且，
所以，
因為在橢圓上，則，整理可得：，①
又因為直線，，的斜率依次成等比數列，
即，所以 ，且.
因為
，
所以
可得，②
由①②可得：，，滿足，
故可得，，
所以直線的方程為：或.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵有兩點，一是應用韋達定理求根與系數的關系，將點坐標與斜率關系都轉化為的形式，由點在橢圓上代入橢圓方程可得到的方程；二是利用平行四邊形的性質得，從而解出點的坐標.
【題型1：直線與圓錐曲線的交點】
例1．（22-23高二·全國·課堂例題）已知雙曲線，直線，求直線l與雙曲線C的公共點的坐標．
【答案】，
【分析】聯立直線l方程與雙曲線方程，求解出方程組可得到直線l與雙曲線C的公共點的坐標.
【詳解】直線與雙曲線的公共點的坐標就是方程組的解．
解這個方程組，得，．
因此，所求公共點的坐標為，．
變式1．（22-23高二·全國·課堂例題）判斷直線與雙曲線是否有公共點．如果有，求出公共點的坐標．
【答案】有，坐標為
【分析】將直線方程與雙曲線方程聯立，消去一個未知數，通過一元二次方程的解的情況進行求解判斷即可.
【詳解】聯立直線與雙曲線的方程，可得方程組
消去y，可得，由此可解得．此時，．
因此直線與雙曲線有一個公共點，且公共點的坐標為．
變式2.（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，長軸長為4.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．
(1)求橢圓E的標準方程：
(2)若與橢圓E的相交于兩點，求的長度；
(3)若直線的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據橢圓離心率公式及長軸長求得，再根據即可求解；
（2）根據幾何關系求得直線的方程，與橢圓方程聯立，結合弦長公式求解即可；
（3）設，因為點為第一象限的點，故，當時，與相交于，與題設不符；當時，得出直線和直線的方程，聯立求得點坐標，再根據在橢圓上即可求解．
【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，長軸長為4，所以，得，
所以，
因此橢圓的標準方程為．
（2）設，
由題可知，點橫坐標為，所以，
由點得，，所以，
由得，，則，
所以．

（3）設，因為點為第一象限的點，故，
當時，與相交于，與題設不符；
當時，直線的斜率為，直線的斜率為，
因為，所以直線的斜率為，直線的斜率為，
從而直線的方程：①，
直線的方程：②，
由①②解得，所以，
因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或，
又在橢圓上，故，
由，解得；
由，無解；
故點的坐標為．

變式3．（24-25高二上·浙江麗水·階段練習）已知曲線是平面內到和的距離之和為4的點的軌跡.
(1)求曲線的方程；
(2)過點作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點，交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點的坐標.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得曲線的方程.
（2）設出直線的方程并與曲線的方程聯立，化簡寫出根與系數關系關系，求得兩點的坐標，進而求得線段中點的坐標.
【詳解】（1）由橢圓定義可知軌跡為橢圓，設曲線的方程 ，
則，，，，，曲線的方程；
（2）方法一：直線的斜率存在且不為0，設直線方程為，
聯立，整理得，
，
設，則，，
直線交直線于，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，
，
所以線段中點的坐標為.
方法二：直線的斜率存在且不為0，設直線方程為，
聯立，整理得，
，
設，則，，
直線交直線于，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，同理可得，
，
所以線段中點的坐標為.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
變式4.（2024高二上·全國·專題練習）已知直線與橢圓.
(1)若它們有兩個公共點，求的取值范圍；
(2)若它們只有一個公共點，求公共點的橫坐標.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據題意，聯立方程組，結合，即可求解；
（2）根據題意，結合，求得的值，代入方程，即可求解.
【詳解】（1）解：根據題意，聯立方程組，整理得到，
由，解得，
所以實數的取值范圍為.
（2）解：由（1）中，令，解得或，
當時，可得，解得；
當時，可得，解得，
所以公共點的橫坐標為或.
變式5．（23-24高二上·天津·期末）已知 圓：（）經過點，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于點（異于頂點）與軸交于點，點為橢圓的右焦點，為坐標原點，，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓離心率以及經過的點即可求解，
（2）聯立直線與橢圓的方程，根據韋達定理可得點，進而根據向量垂直滿足的坐標關系求解.
【詳解】（1）由題意可得所以，
所以橢圓方程為；
（2）由題意可得直線的斜率存在，故設直線的方程為，，
，
所以，所以，
故，,
所以，
所以，
所以，解得，
故直線的方程為.

變式6．（23-24高二上·全國·課后作業）如圖，已知雙曲線的離心率，頂點為和，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點．

(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設直線的斜率分別為，證明：；
(3)若的最大內角為，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
(3)，，或
【分析】（1）根據離心率和頂點坐標列出方程組，從而求出雙曲線方程；
（2）設出 ，表達出兩直線斜率，列出方程，得到證明；
（3）分，和三種情況，結合（2）中結論進行求解.
【詳解】（1）由題意得，解得，故，
故雙曲線的標準方程為；
（2）設 ，則，
；
（3）若中，且點在第一象限，
則此時，直線的斜率為，故直線的方程為，
聯立，可得，解得，，
因為P為該雙曲線上異于頂點的任一點，所以舍去，滿足要求，
將代入得，，
所以此時點坐標為，
若，且點在第四象限，同理可得點坐標為，
若，可得點坐標為或，
若，由（2）知，即直線的斜率同號，所以只能為銳角，所以不可能為，
綜上：點坐標為，，或.
變式7．（22-23高二上·貴州六盤水·階段練習）已知直線與拋物線相切，且切點為.
(1)求直線的斜率的值；
(2)如圖，M，N是軸上兩個不同的動點，且滿足，直線BM，BN與拋物線的另一個交點分別是P，Q，若直線PQ的斜率為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設直線l的方程，與拋物線聯立方程組，消去x整理后，由求的值；
（2）由題意知，兩直線的斜率互為相反數，設直線BM的方程，與拋物線聯立方程組，求點坐標，同理得點坐標，表示出直線PQ的斜率，化簡得的值.
【詳解】（1）顯然直線的斜率存在且不為0，設直線l的方程為，
與聯立，消去x整理得，
令，即，
解得
（2）由題意知，兩直線的斜率互為相反數，
設直線BM的方程為，與聯立，消去x整理得，
所以,得，從而，
將換成，同理可得，
所以.
變式8．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且，的面積為
(1)求E的方程;
(2)若不過點F的直線l與E交于A，B兩點，的重心在直線上，且則滿足條件的直線l是否存在，若存在求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由得，，再由的面積為，求出，得E的方程；
（2）由題意直線l的斜率存在，設 ， ， ，代入拋物線方程有 ，由 的重心在直線 上， ，得 ，又 ，有 ，得 ，可得直線l的方程.
【詳解】（1）M為拋物線上一點，且，則有，
解得，故，
又的面積為，得，所以，
則E的方程為
（2）當直線l的斜率不存在時，l與E交于A，B兩點，線段 AB 的中點的縱坐標為0，
的重心不在直線上，因此直線l的斜率都存在．
設 ， ， ，由 （1） 知 ，
由 消去x后整理得 ，則，
有
因為 的重心在直線 上，所以 ，則 ，所以 ，
由 ，有 ，則 ，即 ，所以 ，
，，滿足，且直線l不過點F，
因此直線l的方程為
【方法技巧與總結】直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意分類討論思想和數形結合思想的運用。
【題型2：直線與圓錐曲線的位置關系】
例2．（23-24高二上·山東泰安·期末）已知直線與曲線恰有三個不同交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先運算轉化曲線的方程形式，再作出圖形，數形結合，隨著直線平行移動，與曲線有三個不同交點，求出直線截距范圍即可.
【詳解】曲線可化為，
當時，，則，
故此時曲線為橢圓的上半部分；
當時，，則，
故此時曲線為雙曲線的上半部分，且漸近線方程為；
直線，表示一組斜率為的平行直線，
如圖，當直線過點時，，解得；
當直線與橢圓上半部分相切時，
由，消化簡得，
由，解得，
又直線與橢圓上半部分相切，則，故，
要使直線與曲線恰有三個不同交點，
結合圖形可得，實數的取值范圍為.
.
變式1．（多選）（23-24高二上·廣東東莞·期末）已知曲線C：，則（ ）
A．曲線C在第一象限為橢圓的一部分 B．曲線C在第二象限為雙曲線的一部分
C．直線與曲線C有兩個交點 D．直線與曲線C有三個交點
【答案】ABC
【分析】逐個象限分析函數的解析式，明確函數在各個象限的圖象，數形結合討論各選項的正確與否.
【詳解】當，時，由 ，是橢圓的一部分，故A對；
當，時，由 ，是雙曲線的一部分，故B對；
當，時，由，不表示任何圖形；
當，時，由 ，是雙曲線的一部分.
所以函數的圖象為：
所以與曲線有兩個交點，故C對；
直線與曲線：方程聯立，消去得： ，所以直線與曲線：相切，故直線與曲線共有2個交點，故D錯誤.
BC
變式2．（多選）（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，A為左頂點，P為雙曲線右支上一點．若，且的最小內角為，則（ ）
A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的漸近線方程為
C． D．直線與雙曲線有兩個公共點
【答案】AD
【分析】A.易得焦點三角形為直角三角形，利用勾股定理求解判斷；B.利用離心率為求解判斷；解：C. 利用離心率為，結合求解判斷；D.由直線方程與雙曲線方程聯立，利用判別式判斷.
【詳解】解：如圖所示：
因為，，所以，
又，則，，
由勾股定理得，解得，故A正確；
則，所以漸近線方程為，故B錯誤；
因為，所以，則，而，所以，所以，故C錯誤；
由，消去x得，則，
所以直線與雙曲線有兩個公共點，故D正確，
D
變式3．(多選)（23-24高二上·廣東·期末）已知直線，雙曲線，則（ ）
A．當時，與只有一個交點
B．當時，與只有一個交點
C．當時，與的左支有兩個交點
D．當時，與的左支有兩個交點
【答案】ABD
【分析】由題意得直線過雙曲線左焦點，比較直線斜率和漸近線斜率即可得解.
【詳解】由題意直線過定點，即雙曲線的左焦點.
當時，與的漸近線平行，與只有一個交點，
當時，與的左支和右支各有一個交點，
當時，與的左支有兩個交點.
BD.
變式4．（2023高三·全國·專題練習）已知直線與曲線恰有一個公共點，則實數a的值為 .
【答案】0或或
【分析】根據給定條件，聯立方程，利用方程組有解求解即得.
【詳解】當時，曲線為直線，顯然直線與有唯一公共點，因此；
當時，由消去y并整理得：，
當時，，直線與曲線有唯一公共點，因此；
當且時，，則，
此時直線與曲線相切，有唯一公共點，因此，
所以實數a的值為0或或.
故答案為：0或或
變式5．（2024高三下·全國·專題練習）已知點為橢圓上任意一點，直線，點F為橢圓C的左焦點．
(1)求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標；
(2)求證：直線與橢圓C相切；
【答案】(1)，左焦點
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意，求得的值，進而求得離心率和橢圓的左焦點；
（2）由橢圓的方程，得到，結合直線與橢圓的位置關系的判定方法，即可求解.
【詳解】（1）由橢圓，可得，則，
所以橢圓的離心率為，左焦點為.
（2）由橢圓，可得，即
當時，直線的方程為或，此時直線與橢圓相切；
當時，聯立方程組，可得，
即，
則，
所以直線與橢圓相切，
綜上可得，直線與橢圓相切.
變式6．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知橢圓與軸交于兩點，點為橢圓上不同于的點.
(1)若直線的斜率分別為，求的最小值；
(2)已知直線，直線分別交于P、Q兩點，為PQ中點．試判斷直線MN與的位置關系．
【答案】(1)最小值為1
(2)直線與橢圓相切
【分析】（1）由題意寫出點的坐標，表示處斜率，根據橢圓的性質，結合基本不等式，可得答案；
（2）設出直線方，表示出點的坐標，聯立直線與橢圓的方程，可得答案.
【詳解】（1）取代入可得，所以，
設，則.
法一：
所以，
則（當且僅當時取等號）
所以的最小值為1．
法二：
則，
由，則，當且僅當時取等號．
所以的最小值為1．
（2）如下圖，由題意可知，
法一：
直線，直線
取代入可得，
則即
又因為，所以，
則直線的斜率，
則直線，
整理得，即
將與聯立得：，
則，
所以直線與橢圓相切.
法二：由
直線，令，則
則，同理
所以中點為，
所以直線的斜率，
所以直線的方程為，即．
將與聯立得：，
即，
即，
即，得到唯一解，
所以直線與橢圓相切.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
變式7．（23-24高二上·浙江臺州·期末）如圖，圓的半徑為4，是圓內一個定點且是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，點在圓上運動.
(1)求點的軌跡；
(2)當時，證明：直線與點形成的軌跡相切.
【答案】(1)點的軌跡是以為焦點，長軸長等于4的橢圓
(2)證明見解析
【分析】（1）根據橢圓的定義可得答案；
（2）以線段的中點為坐標原點，以過點的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，求出橢圓的標準方程，當時，點的坐標為和，求出直線的方程與橢圓方程聯立利用判別式可得答案.
【詳解】（1），
因為，所以與兩個定點的距離的和等于常數（大于），
由橢圓的定義得，點的軌跡是以為焦點，長軸長等于4的橢圓；
（2）以線段的中點為坐標原點，以過點的直線為軸，
以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，
設橢圓的標準方程為，
由橢圓的定義得：，即，即，
則橢圓的標準方程為，
當時，點的坐標為和.
當點的坐標為時，已知點的坐標為，
線段的中點坐標為，直線的斜率為，
直線的方程，聯立方程，得，
整理得，可得，
所以直線與點形成的軌跡只有1個交點，即直線與點形成的軌跡相切.
當點的坐標為時，已知點的坐標為，
線段的中點坐標為，直線的斜率為，
直線的方程，聯立方程，
得，
整理得，可得，
所以直線與點形成的軌跡只有1個交點，即直線與點形成的軌跡相切.
綜上，直線與點形成的軌跡相切.
變式8．（23-24高二上·安徽·期末）已知拋物線：及拋物線：（），過的焦點F的直線與交于，兩點，與交于，兩點，O為坐標原點，．
(1)求的方程．
(2)過的中點M作的準線的垂線，垂足為N．
（ⅰ）證明：為定值；
（ⅱ）判斷直線與的公共點個數．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）證明見解析，（ⅱ）0
【分析】（1）根據已知條件作出圖形，設出直線，直線與拋物線聯立方程組，利用韋達定理及向量垂直的條件即可求解；
（2）（ⅰ）設出直線，直線與拋物線聯立方程組，利用韋達定理及拋物線的定義，結合中點坐標公式及兩點間的距離公式即可求解；
（ⅱ）根據（ⅰ）的結論及兩點式寫出直線的方程，直線與拋物線聯立方程組，利用判別式即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，作出圖形如圖所示
由題意得，設，，則，，
設直線的方程為，與聯立，得，
所以，．
因為，
所以，解得，
所以的方程為．
（2）（ⅰ）設 ，則，．
由（1）知，，
直線的方程為，與聯立，得，
所以，，，
．
由拋物線定義得 ．
設，則，，
所以，．
因為．
所以，為定值．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，即
所以直線的方程為，
整理得，
與聯立，得，
，
所以直線與的公共點個數為0．
【方法技巧與總結】直線ykx＋m與橢圓＋1(a>b>0)的位置關系，判斷方法：
聯立消y得一元二次方程．
當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當Δ0時，方程有一解，直線與橢圓相切；
當Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．
【題型3：圓錐曲線的切線方程】
例3．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓，原點為，動點在直線上運動，且在橢圓外，過點的直線與分別相切于兩點，則 ．
【答案】
【分析】聯立直線方程和橢圓方程利用判別式為0可求，結合設而不求可求.
【詳解】設，
將直線方程與橢圓方程聯立化簡得，
即，
故，
整理得到：即，
所以，則，
則：，同理，
由于在和上，所以
又，滿足方程，則，
．
故答案為：.
變式1．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直線與單位圓（圓心在原點）和曲線均相切，則直線的一個方程可以是
【答案】（或，，，只需寫出一個答案即可）
【分析】根據直線與圓，以及雙曲線相切，可根據點到直線的距離以及判別式進行聯立方程求解滿足題意的直線.
【詳解】顯然直線存在斜率，設直線：，
聯立方程組 ,
得
因為直線與曲線相切，所以，
即.
因為直線與單位圓相切，所以
聯立方程組
解得，
故直線的方程可能是，，，
故答案為：
變式2．（2022高三·全國·專題練習）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為 ．
【答案】/
【分析】依題意，注意到點在橢圓上，由此得到橢圓在點處的切線方程；再結合上述性質得到橢圓與雙曲線在其公共點處的斜率間的關系，進而求出雙曲線在點處的切線的斜率．也可以利用結論6直接得到答案．
【詳解】根據結論6，由題意得橢圓在點處的切線方程為，
即，該直線的斜率為，由結論5得知，該雙曲線在點處的切線的斜率為．
故答案為：.
變式3．（22-23高三上·浙江·階段練習）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是 .（寫出符合條件的一個方程即可）
【答案】
【分析】由題意設直線方程為，利用直線與單位圓和曲線均相切，聯立直線與曲線方程，消去變量后整理為關于的一元二次方程，利用判別式為0，求得關系，解出的值，可得直線方程.
【詳解】解：由題可知，直線的斜率存在，設直線方程為，
單位圓的方程為：
所以
則，整理得：
所以
則，整理得：
所以，解得
則
則直線的方程為：.
故答案為：.
變式4．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習）已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，為的重心，則的最小值為 .
【答案】
【分析】設直線的方程為，點，，可得點的坐標為，
聯立方程，得，，化簡得，再求的最小值.
【詳解】由題意有，設直線的方程為，點，，
可得點的坐標為，
聯立方程，
消去后整理為，可得，，
，當且僅當時取等號.
可得的最小值為.
故答案為：.
變式5．（23-24高二下·河南開封·期末）已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是，，且經過點．
(1)求C的標準方程；
(2)已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點，求l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓定義得，，再結合關系即可得到答案；
（2）求出，設直線方程為，聯立橢圓方程，利用即可.
【詳解】（1）由于橢圓的焦點在軸上，
所以設它的標準方程為，
由橢圓的定義知，，
可得，所以，
所以橢圓的標準方程為:.
（2）已知，所以，設直線方程為，
由方程組消去，得，
該方程的判別式，
由，得，
此時與有且只有一個公共點，所以的方程為:.
變式6．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）過點作兩條直線，，分別與橢圓相切于點，．點，分別在直線，上，且滿足直線與橢圓相切于點．
(1)求直線，的方程；
(2)求證：三條直線，，相交于同一點．
【答案】(1)：，：，
(2)證明見解析
【分析】（1）聯立直線與橢圓的方程，根據判別式為0即可求解斜率，進而可求解直線方程，
（2）根據橢圓上一點處的切線方程可得 ,聯立其與，的方程可得坐標，進而根據點斜式求解直線與直線方程，聯立直線與直線方程得交點坐標，即可將其代入方程中求證.
【詳解】（1）由題意可知，直線，均有斜率，且斜率互為相反數，
不妨設直線：，
則聯立與可得，
由于相切，故，解得，
由于，故，，
故直線：，：，
（2）先證明橢圓上任意一點處的切線方程為，
不妨設位于上半橢圓，對于下半橢圓，方法相同，
由得，
所以處的切線斜率為，
進而方程為，
即，
故設橢圓上一點，則處的切線方程為，
故直線 ,
聯立，解得，故,
，解得，故,
由（1）知
故直線方程為,即，
直線方程為,即，
當位于橢圓短軸端點處，根據橢圓的對稱性以及直線，的對稱，直線，，顯然相交于同一點，
當不位于橢圓短軸端點處，此時，
直線方程為，
聯立直線與直線方程可得，解得，，
設直線與直線的交點為,
將代入直線方程為中可得
故，
故三條直線，，相交于點

【點睛】關鍵點點睛：橢圓上任意一點處的切線方程為，聯立兩直線方程，得交點坐標是本題的關鍵.
變式7．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知橢圓：的右焦點為，過點作軸的垂線交橢圓于點．過點作橢圓的切線，交軸于點．
(1)求點的坐標；
(2)過點的直線（非軸）交橢圓于、兩點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：線段的中點在定直線上．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，求出，進而求出橢圓的方程，再設出切線方程，并與橢圓方程聯立，由求出切線方程即可得解.
（2）設直線：，，聯立直線與的方程，求出的中點縱坐標，結合韋達定理計算推理即得.
【詳解】（1）依題意，點，，解得，橢圓：，
顯然過點的橢圓的切線斜率存在，設其方程為，
由消去并整理得，
，
整理得，解得，切線方程為，由，得，
所以點的坐標是.
（2）設直線的方程為，，線段的中點，
由消去得，
則，，，
直線的方程為，則點，
于是，
，
，因此點在直線上，
所以線段的中點在定直線上.
【點睛】方法點睛：聯立直線l與橢圓C的方程組，消元后的一元二次方程判別式為：
①直線l與橢圓C相交；②直線l與橢圓C相切；③直線l與橢圓C相離.
變式8．（23-24高二上·山東青島·期末）已知拋物線，點，過拋物線的焦點且平行于軸的直線與圓相切，與交與兩點，.
(1)求和圓的方程；
(2)過上一點作圓的兩條切線分別與交于兩點，判斷直線與圓的位置關系，并說明理由.
【答案】(1)的方程為，圓的方程為
(2)直線與圓相切，理由見解析
【分析】（1）根據題意求得兩點的坐標，從而求得，進而得解；
（2）根據題意得到直線，的方程，再利用直線與圓相切的性質推得是方程的兩個根，從而利用韋達定理求得點到直線的距離為圓的半徑，由此得解.
【詳解】（1）由題意知直線的方程為，
聯立，解得，則或，
，則，
的方程為，直線的方程為，
又直線與圓相切，圓的半徑為2，
故圓的方程為.
（2）設上三點，顯然，
直線的斜率都是存在的，
直線的斜率，
直線的方程為，
同理，的方程為，
的方程為，
圓與直線相切， ，
化簡得：，
同理，圓與直線相切，可得，
所以是方程的兩個根，
由韋達定理得，，
點到直線的距離，
直線與圓相切.
【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問解決的關鍵是利用直線與圓相切推得是方程的兩個根，從而得解.
【方法技巧與總結】
1.過圓上一點的切線方程為：，
2.過圓外一點的切點弦方程為：.
3.過橢圓上一點的切線方程為，
4.過雙曲線上一點的切線方程為
5.拋物線在其上一點的切線方程為，再應用此方程時，首先應證明直線與拋物線相切.
【題型4：圓錐曲線弦長問題】
例4．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則 ．
【答案】
【分析】聯立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據弦長公式求解.
【詳解】設雙曲線與直線交于兩點，
由消去整理得，則，解得，且，
所以．
由，解得，所以．
故答案為：
變式1．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）已知直線與橢圓相交于兩點.
(1)若橢圓的離心率為，焦距為，求線段的長；
(2)若（其中為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓中基本量的關系計算可得橢圓方程，再聯立直線與橢圓方程，利用弦長公式求得線段的長即可；
（2）設點，，根據，可得，再聯立方程利用韋達定理表示關于基本量，的關系，可轉化為，因為，可得，從而可得長軸長得最大值.
【詳解】（1），，
，，則，
橢圓的方為，
聯立消去得：，
設，，則，
，
（2）設，，
，
，即，
由，消去得，
由，整理得，
又，，
，
由，得：，
，整理得：，
，代入上式得，
，
，則，
則，，
則，故長軸長的最大值為.
變式2．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習）已知橢圓的離心率是橢圓的一個頂點為，直線與橢圓相交于兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若線段的中點的橫坐標為求直線的斜率以及弦長
【答案】(1)；
(2)，
【分析】（1）由題意可得，再由求解即可；
（2）根據題意可得中點的縱坐標為，將兩點坐標代入橢圓方程作差，結合中點坐標公式及斜率公式，即可求得的值；聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理及弦長公式求解即可.
【詳解】（1）解：因為橢圓的一個頂點為，離心率是
所以，解得，
又因為，
所以橢圓的方程為；
（2）解：由題意可得，
兩式相減，得，
所以，
又因為線段的中點的橫坐標為
所以，
且中點的縱坐標為，
所以，
所以，
所以
又因為，
所以，
所以，
又因為，所以；
所以直線，
由，可得，
所以，
所以.
【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線交相，涉及中點坐標時，經常采用點差法求解更簡單些.
變式3．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知橢圓的短軸長為2，上頂點為M，O為坐標原點，A，B為橢圓上不同的兩點，且當三點共線時，直線的斜率之積為
(1)求橢圓的方程；
(2)若的面積為1，求的值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）先由短軸長得，由三點共線設點坐標，再利用點在橢圓上將斜率之積轉化為待定，從而求橢圓方程；
（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論.當直線斜率不存在時，解方程組可得；當直線斜率存在時，設出直線方程，聯立橢圓方程，借助韋達定理表示弦長及點到直線的距離，從而由面積為得，代入由韋達定理表示的關系式，化簡求值可得.
【詳解】（1）由題意知橢圓的短軸長為2，即，.
為橢圓的上頂點，所以.
當三點共線時，設，則.
由點在橢圓上，則,
因為，
所以，解得．
故橢圓的方程為；
（2）設過兩點的直線為，
當直線的斜率不存在時，兩點關于軸對稱，
所以
因為在橢圓上，所以，又，
所以，即，聯立，
解得
此時，所以.
當直線的斜率存在時，設其方程為，
聯立消去得，
其中①，
所以，
所以．
因為點到直線的距離，
所以，
所以，
整理得，符合①式，
此時，
綜上所述，的值為5．
變式4．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）設橢圓的左、右焦點分別為．點滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設直線與橢圓相交于兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程和橢圓的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由及兩點間距離公式可建立等式，即可求出答案，
（2）聯立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關系求得，再由圓心到直線的距離、、圓的半徑構成的直角三角形求出可得答案，從而得到橢圓的方程.
【詳解】（1）設．
由題得，即，
整理得，得（舍），或，
所以；
（2）由（1）知，可得橢圓方程為，
直線方程為，
的坐標滿足方程組，
消并整理得，
解得，得方程組的解為，
不妨設，
所以，于是．
圓心到直線的距離，
因為，所以，
整理得（舍）或．
所以直線的方程為，
橢圓方程為．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率解題關鍵是找到關于a，b，c的等量關系，第二問的關鍵是聯立直線與橢圓方程求出交點坐標，利用距離公式建立等量關系，求出c是求出橢圓方程的關鍵.
變式5．（23-24高二下·吉林長春·階段練習）已知雙曲線C：的右頂點為M，過點的直線l交雙曲線C于A，B兩點，設直線MA的斜率為，直線MB的斜率為.
(1)求直線l斜率的取值范圍；
(2)證明：為定值，并求出該定值；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，利用判別式求出斜率的取值范圍即可；
（2）設，，將直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理代入求解即可；
（3）按在軸同側和兩側分類討論，利用弦長公式和韋達定理得到關于的方程，再利用導數求最大值即可.
【詳解】（1）由雙曲線方程可知，
過點的直線交雙曲線于兩點，則直線斜率存在，
設直線，聯立得，
因為直線交雙曲線有兩個交點，所以，即，
令解得，
綜上直線斜率的取值范圍為.
（2）設，，則，，
所以，
由（1）得，，代入得.
（3）設，，且，
則，同理，
所以，
當時，，此時，
將，，代入得，
令，，則，
令解得或（舍去），
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以當時，取得最小值，
此時取得最大值；
當時，，此時，
將，，代入得，
令，，則恒不成立，
所以單調遞增，不存在最大值，
綜上的最大值為.
【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設交點為,；
（2）聯立直線與曲線方程，得到關于或的一元二次方程；
（3）寫出韋達定理；
（4）將所求問題或題中關系轉化為，形式；
（5）代入韋達定理求解.
變式6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.
(1)求的方程，并說明是什么曲線：
(2)若直線和曲線相交于兩點，求.
【答案】(1)，曲線是雙曲線，除去左右頂點
(2)
【分析】（1）設，根據計算即可求出其軌跡方程，進而可得出其是何曲線；
（2）利用圓錐曲線的弦長公式計算即可.
【詳解】（1）設，
則，
化簡得，
所以的方程為，曲線是雙曲線，除去左右頂點；
（2）設，
聯立，消得，
，
則，
所以.

變式7．（23-24高二上·上海·期末）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．
(1)當時，求雙曲線E的左焦點到直線l的距離；
(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據雙曲線方程求焦點坐標，進而利用點到直線的距離公式運算求解；
（2）聯立直線l與雙曲線E的方程，利用韋達定理可得，根據漸近線方程與直線l的方程聯立求出，，分析可知線段AB的中點M也是線段CD的中點，若A，B為線段CD的兩個三等分點，則，結合弦長公式列式得，代入運算求解即可.
【詳解】（1）由題意可知：，
且焦點在x軸上，則雙曲線E的左焦點為，
當時，直線l：，即，
所以雙曲線E的左焦點到直線l的距離為.
（2）存在，理由如下：
設，，，
聯立直線l與雙曲線E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且，
由韋達定理得，則，
由題意可知：雙曲線E的漸近線方程為，
設，，
聯立方程，解得，
同理可得，
因為，
所以線段AB的中點M也是線段CD的中點．
若A，B為線段CD的兩個三等分點，則．
即，．
而，．
則，解得，
所以存在實數，使得A、B是線段CD的兩個三等分點．
【點睛】方法點睛：存在性問題求解的思路及策略
（1）思路：先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在；若結論不正確則不存在．
（2）策略：①當條件和結論不唯一時要分類討論；
②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設不成立，再推出條件；
③當條件和結論都不知，按常規法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．
變式8．（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習）已知拋物線，過點的直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.
(1)設直線，的斜率分別為，，證明：；
(2)設線段AB的中點為N，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設切線方程，分別用點的橫坐標表示，聯立直線l與拋物線的方程，結合韋達定理，可得結果；
（2）聯立直線方程求點M坐標，由中點坐標公式可得點坐標，從而得到，再由弦長公式可得，由的表達式求取值范圍即可.
【詳解】（1）由題意知，直線l的斜率存在，
設點，，直線l的方程為，
由得，
，，.
由，得切點，，
則切線的方程為，代入，得，
所以，解得，
同理，得切線的斜率，
所以.
（2）由（1）可得，
故，.
由（1）得，
可化為，①
同理得，②
由①②，得，，即，
則.
，
所以.
由，，得，故，
即的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：
解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
【方法技巧與總結】求解直線被橢圓截得弦長的方法
(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．
(2)當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|(k≠0)．
【題型5：直線與圓錐曲線相交面積問題】
例5．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線右支（且不在坐標軸上），
(1)若雙曲線與橢圓有共同的焦點，且雙曲線過點，求該雙曲線的標準方程；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據條件列方程，求出即可得出答案；
（2）設，利用雙曲線的定義，結合余弦定理，求得，再由求解
【詳解】（1）橢圓的焦點為和，
所以雙曲線的，所以，
又雙曲線過點，所以，
由，解得，
雙曲線的標準方程為
（2）設，由雙曲線的定義可得，
在中，由余弦定理，
得，
所以，
則的面積，

變式1．（24-25高二上·北京·階段練習）已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓的基本性質得到橢圓的值，寫出橢圓方程.
（2）寫出直線方程，聯立方程組，由韋達定理得到和，用交點弦長公式得到線段長，由點到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.
【詳解】（1）由題意可知：，則，
∵，∴，
∴，
∴橢圓
（2） ，∴直線：，
聯立方程組得
設，
則，
點到直線的距離
∴

變式2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線經過點，直線與的交點為，且直線與傾斜角互補．
(1)求的值；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由點在拋物線上，得，聯立直線與拋物線方程得，再通過計算即可；
（2）先求弦長，再求到直線的距離，可表示出，再結合基本不等式可求面積的最大值.
【詳解】（1）由題意可知，，所以，
所以拋物線的方程為；
如圖：設，
將直線的方程代入，得，
所以，
因為直線與傾斜角互補，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
（2）由（1）可知，
所以，
則，
因為，
所以，即，
又點到直線的距離為，
所以，
因為 ，
所以，當且僅當，即時，等號不成立，
所以面積最大值為．
變式3．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點的直線交于兩點，特別地，當直線的傾斜角為時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點，若，求的面積（為坐標原點）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意設直線，聯立拋物線方程，結合弦長公式即可列方程求得參數，進而得解；
（2）由題意設直線，聯立拋物線方程，結合韋達定理、數量積的坐標公式列方程即可求得參數，進一步即可求解的面積.
【詳解】（1）拋物線焦點的坐標為，
當直線的傾斜角為時，直線，聯立拋物線方程，
化簡并整理得，，顯然，
設，則，
則
，解得，
所以拋物線的方程為；
（2）設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線，聯立拋物線方程，
化簡并整理得，顯然，
所以，
又，所以，
因為，
所以
，
所以，則，
設的面積為，
則，
所以的面積為.
變式4．（23-24高二下·湖北·階段練習）已知雙曲線的漸近線上一點與右焦點的最短距離為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)為坐標原點，直線與雙曲線的右支交于、兩點，與漸近線交于、兩點，與在軸的上方，與在軸的下方．
（ⅰ）求實數的取值范圍．
（ⅱ）設、分別為的面積和的面積，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根據焦點到漸近線距離求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直線與雙曲線方程聯立消元后由根與系數關系及直線與右支相交可得；
（ⅱ）根據弦長公式及點到直線的距離分別求出三角形面積，根據面積表達式換元后利用不等式性質求最值即可.
【詳解】（1）設雙曲線的焦距為，且，
因為到直線的距離為，故，
則，故雙曲線的方程為：．
（2）如圖，
（ⅰ）設，，聯立直線與雙曲線的方程，
消元得，則，
因為直線與雙曲線右支交于兩點，故，則，故的取值范圍為．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原點到直線的距離，
設，，聯立，則，
，，，
則，
而，
令，則，
當即時取到等號．
綜上所述，的最大值為．
變式5．（23-24高二下·浙江溫州·期末）已知雙曲線的離心率為，右頂點為.為雙曲線右支上兩點，且點在第一象限，以為直徑的圓經過點.

(1)求的方程；
(2)證明：直線恒過定點；
(3)若直線與軸分別交于點，且為中點，求的值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據離心率以及頂點即可求解，
（2）聯立直線與雙曲線方程，得韋達定理，由垂直得斜率關系，即可代入化簡求解，
（3）根據中點坐標可得，即可根據三角形面積之比求解.
【詳解】（1）右頂點
，解得
.

（2）設，可設直線.
聯立，得
則，即.
.
以為直徑的圓經過點
即
，化簡得
當時，直線經過點，不符條件，舍去..
直線必過定點.
（3）由（2）知.
,為中點，，代入得.
由得.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進參數法：先引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
變式6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知是橢圓的左右焦點分別為，且橢圓經過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)經過點的直線，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓的焦點坐標可得的值，由點的坐標，整理方程，可得答案；
（2）由題意分直線斜率是否存在兩種情況，設出直線方程，聯立方程組，求得弦長，利用對角線垂直的四邊形面積公式，結合不等式形式，可得答案.
【詳解】（1）由橢圓的焦點，則，
即，整理可得，由橢圓過，
則，整理可得，化簡可得，
由，則（舍去），所以，，
橢圓的標準方程為.
（2）
當直線的斜率不存在時，則直線與軸重合，，
將代入橢圓方程，可得，解得，則，
四邊形的面積；
易知當直線的斜率不存在時，四邊形的面積；
當兩直線都存在時，設直線，直線，
設，聯立方程可得，消去整理可得：
，則，
，
同理可得，
四邊形的面積，
由，則，所以，
，當且僅當時，等號不成立，
令，則，
由，，，則；
綜上所述，四邊形的面積的取值范圍為.
變式7．（24-25高二上·湖南·階段練習）在直角坐標系中，點，動點滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
(2)過左焦點且與坐標軸不垂直的直線，與曲線相交于，兩點，的中點為，直線與曲線相交于，兩點．求四邊形面積的取值范圍．
【答案】(1)曲線是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，；
(2)．
【分析】（1）用把點滿足的條件表示出來，列出方程，化簡即可.注意：要注明取值范圍.
（2）設直線的方程，代入橢圓方程，消去，得到關于的 一元二次方程，利用韋達定理得到，，求出弦長即中點，進而寫出直線，與橢圓方程聯立，得到點的坐標，利用點到直線的距離公式表示點到直線的距離，表示出四邊形的面積，根據二次函數的性質，可確定四邊形面積的取值范圍.
【詳解】（1）直線的斜率為，
直線的斜率為，
由題意可知：，
所以曲線是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，
其方程為；
（2）如圖：

法一：直線的斜率存在且不為0，設，
聯立，整理得恒不成立，
且，則，
則，即，
直線的方程為，與，聯立得，
設點到直線的距離分別為，
則，
四邊形面積
，
又，所以，故四邊形面積的取值范圍為.
法二：易知直線的斜率存在且不為0，設，
代入點得，相減得，
整理得①；
聯立，得，所以．
；
設，由①得，直線方程為，
聯立，解之得，即．
設點到直線的距離分別為，
則，，
.
所以四邊形的面積，
又，所以，
所以，故四邊形面積的取值范圍為．
【點睛】關鍵點點睛：本題第2問，求四邊形面積的取值范圍，先利用對角線把四邊形分割成兩個三角形，利用弦長公式求出的長，在結合點到直線的距離求三角形的高，表示出四邊形的面積.
變式8．（24-25高二上·湖南株洲·階段練習）橢圓與橢圓：有相同的焦點，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的右焦點為，設動直線與坐標軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點，且直線和的斜率互為相反數.
①證明：動直線恒過軸上的某個定點，并求出該定點的坐標；
②求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)①證明見解析，定點；②
【分析】（1）根據橢圓的焦點及橢圓過的點列方程求解即可；
（2）①先聯立方程組得出韋達定理再計算斜率和即可；②結合定點列出面積再換元得出面積的最大值.
【詳解】（1）橢圓：的焦點坐標為，
所以橢圓的焦點坐標也為，即得焦距為，
∵橢圓過點，
∴，
∴，，
∴橢圓的標準方程為.
（2）設直線：（），
由，得，
設，，所以，，
所以
，
因為直線和的斜率互為相反數，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因為，所以，所以動直線恒過軸上的定點
②由①知，，
且，即，
又
令，則，
∴
（當且僅當時取“”）
∴.
【點睛】關鍵點點睛：求面積最值的關鍵點是令換元得出再結合基本不等式計算即可得出最值.
【題型6：圓錐曲線通徑問題】
例6．（23-24高二下·山西運城·期中）已知分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交于兩點，若的最大值為8，則的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】橢圓定義有，結合已知確定的最小值，即可求解.
【詳解】由橢圓的定義，可知，

所以當最小時，最大，
由橢圓的性質得，過橢圓焦點的弦中垂直于長軸的弦最短，
當直線AB垂直于軸時，取得最小值，此時，
由解得，此時的離心率.
.
變式1．（24-25高二上·江西·階段練習）已知O為坐標原點，是橢圓M：（）的右焦點，過點F且與M的長軸垂直的直線交M于C，D兩點.若為直角三角形，則M的長軸長為 .
【答案】/
【分析】由通徑的求法得出，再由為直角三角形得出，建立方程求出即可得解.
【詳解】因為當時，代入橢圓方程可得，
所以，不妨設在第一象限，則，
因為為直角三角形，由橢圓的對稱性知，，
所以，故，即，
可得，解得或（舍去），
所以橢圓M的長軸長為.
故答案為：
變式2．（23-24高二上·安徽·階段練習）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，過C上一點M向y軸作垂線交另一支于N點，若，且，則C的離心率為 ．
【答案】/
【分析】由題意可知：為正方形，結合通徑列式求解即可.
【詳解】由題意可知：，且，結合對稱性可知為矩形，
且，則為正方形，可得，
整理得，解得或（舍去）.
故答案為: .
變式3．（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習）求適合下列條件的曲線的標準方程.
(1)已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點，求雙曲線的標準方程；
(2)已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，過左焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為，求橢圓的標準方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：根據焦點的位置分類討論，設出雙曲線的標準方程，根據條件列出的方程組，求解即可；解法2：因為，所以可設雙曲線方程為，由雙曲線過點可求得.
（2）設橢圓的標準方程為，令，代入橢圓方程得，依題意列出的方程組，求解即可.
【詳解】（1）解法1：當焦點在軸上時，設雙曲線的標準方程為
依題意得，解得，此時雙曲線的標準方程為；
當焦點在軸上時，設雙曲線的標準方程為
依題意得，無解，
綜上所述，雙曲線的標準方程為.
解法2：因為，所以可設雙曲線方程為.
因為過點，所以，即.
所以雙曲線方程為，即.
（2）橢圓的焦點在軸上，設橢圓的標準方程為，
令，代入橢圓方程得，
依題意得解得.
橢圓的標準方程為.
變式4．（23-24高二上·遼寧沈陽·期中）已知橢圓的兩個焦點分別為、，短軸的一個端點為，內切圓的半徑為，設過點的直線被橢圓截得的線段為，當軸時，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)在軸上是否存在一點，使得當變化時，總有與所在直線關于軸對稱？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由內切圓的性質得到，再令求出，即可得到，結合，求出、，即可得解；
（2）當直線不垂直于軸時，假設存在滿足條件，設的方程為，聯立直線與橢圓方程，顯然的斜率存在，則，求出，即可求出定點坐標.
【詳解】（1）由內切圓的性質得，得.
將代入，得，所以.
又，所以，，
故橢圓的標準方程為.
（2）當直線垂直于軸時，顯然軸上任意一點都滿足與所在直線關于軸對稱.
當直線不垂直于軸時，假設存在滿足條件，
設的方程為.
聯立方程得，消去整理得，
由根與系數的關系得①，其中恒不成立，
由與所在直線關于軸對稱，得（顯然的斜率存在），
即②.
因為兩點在直線上，
所以，代入②得
，
即③，
將①代入③得④，解得，
綜上所述，存在，使得當變化時，總有與所在直線關于軸對稱.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
變式5．（22-23高二上·廣西貴港·期末）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為3．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩點，射線交橢圓于點，若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用橢圓的通徑公式以及離心率求出橢圓的方程即可；
（2）設直線的方程為，將直線與橢圓方程聯立，根據弦長公式求出，利用三角形面積公式用表示出，由可求得，即可求直線的方程.
【詳解】（1）由已知得，設過且垂直于軸的直線與橢圓交于點,
則點的橫坐標為，將其代入得，解得，
即，所以，
因為橢圓的離心率，所以．
因為，所以．故橢圓的方程為．
（2）由題意知，直線不垂直于軸，設直線的方程為，
設，
聯立方程組消去并整理得，
其中，
所以，，
所以
，
因為點到直線的距離，且是線段的中點，
所以點到直線的距離為，
所以．
由，解得或（舍去），
所以，故直線的方程為，
即或．

【點睛】如果直線過軸上一點，則直線方程可以設為，當時直線與軸垂直，但是不包含與軸平行的情況，此種情況需要單獨說明.
變式6．（23-24高二上·河北邯鄲·期中）已知雙曲線的左頂點為，不與x軸平行的直線l過C的右焦點F且與C交于M，N兩點.當直線l垂直于x軸時，.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線，分別交直線于P，Q兩點，求證：A，P，F，Q四點共圓.
【答案】(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）由題設有，求出橢圓參數，即可得橢圓方程；
（2）討論直線l斜率存在性，設直線l的方程為，聯立橢圓，應用韋達定理得，，寫出直線，求P，Q兩點坐標，結合韋達公式求出，判斷是否不成立即可證結論.
【詳解】（1）由題意，解得，所以雙曲線C的方程為；
（2）當直線l斜率存在時，設直線l的方程為，
由，得，,整理得，
設，，所以，，
所以 ，
直線，所以，同理可得，
記直線交x軸于點G，所以 ，
又，所以，

當直線l斜率不存在時，不妨設，，則，，所以，

所以A，P，F，Q四點共圓.
變式7．（21-22高二下·江蘇鎮江·開學考試）在平面直角坐標系中，雙曲線C的對稱軸都是坐標軸，且過點，P到雙曲線C兩焦點距離的差的絕對值等于2.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)如果雙曲線C的焦點在x軸上，直線l經過雙曲線C的右焦點，與雙曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的方程.
【答案】(1)或
(2)或或
【分析】（1）分焦點在x軸與y軸兩種情況，根據雙曲線定義及過的點的坐標進行求解；（2）在第一問的基礎上，確定雙曲線方程，分直線斜率不存在和存在兩種情況,由弦長公式求出答案.
【詳解】（1）因為雙曲線C的對稱軸都是坐標軸，則C的對稱中心是坐標原點.
所以C的方程為標準方程.
因為C過點，P到C兩焦點距離的差的絕對值等于2，
①若C的焦點在x軸上，設，
所以解得所以雙曲線C的方程為.
②若C的焦點在y軸上，設，
所以解得所以雙曲線C的方程為.
故C的方程為或
（2）由（1）知C的方程為.所以C的右焦點為.
①若直線l的斜率不存在，則其方程為，
代入C方程得l與C交點坐標為，，則弦長為6，符合題意.
②若直線l的斜率存在，設，
聯立消去y得.
所以①，②，
設，，則，，
所以
.
解得，滿足①②.所以直線l的方程為，或.
綜上：直線l的方程為，或，或.
變式8．（2022·河南許昌·二模）已知雙曲線的右焦點為，過點F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點，且.
(1)求C的方程；
(2)過點的直線與雙曲線C的左 右兩支分別交于D，E兩點，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點，若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據雙曲線右焦點為，且，由求解；
（2）設直線的方程為，與雙曲線方程聯立，求得，與雙曲線C的漸近線方程聯立，求得，根據求解.
【詳解】（1）解：由題意得，
解得
故C的方程為.
（2）顯然直線率存在，設直線的方程為，，，
聯立，得，
因為與雙曲線C的左，右兩支分別交于D，E兩點，
故，
解得，
此時有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因為，故.
因為，故，
故實數的取值范圍是.
【方法技巧與總結】
1.橢圓與雙曲線的半通徑是, 通徑是
2.過拋物線的焦點作垂直于對稱軸Q的直線與拋物線交于兩點，連結這兩交點的線段稱為拋物線的通徑,它的長為2p,這也是拋物線標準方程中2p的幾何意義。
【題型7：定值、定點、定直線問題】
例7．（24-25高二上·河南新鄉·階段練習）已知圓O的方程為，與x軸的正半軸交于點N，過點作直線與圓O交于兩點．

(1)若坐標原點O到直線的距離為1，求直線的方程；
(2)如圖所示，已知點， 一條斜率為的直線交圓于兩點，連接試問是否存在銳角，，使得為定值 若存在，求出該定值，若不存在，說明理由．
【答案】(1)或
(2)存在，
【分析】（1）利用設直線方程，求點到直線的距離即可得解；
（2）利用方程組思想，研來交點與定點的斜率，再利用正切的和角公式來計算，即可得出定值.
【詳解】（1）當直線的斜率不存在時，原點O到直線的距離為3，不符合題意；
當直線的斜率存在時，可設直線：，
由原點O到直線的距離為1可得：，解得，
∴直線的方程為或.
（2）設直線：，，

如圖可記，，
聯立方程，得
∴，，
∴，，
∴
∵，都是銳角
∴的定值．
即存在銳角，滿足，．
變式1．（24-25高三上·青海西寧·開學考試）已知橢圓的離心率為點在橢圓上運動，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設分別是橢圓的右頂點和上頂點，直線與直線平行，且與軸，軸分別交于點，與橢圓相交于點為坐標原點.
（i）求與的面積之比；
（ii）證明：為定值.
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）證明見解析
【分析】（1）當點為短軸的端點時，面積最大，然后根據題意建立方程組求解即可；
（2）先利用直線與直線平行，設直線方程為，然后計算出，再與橢圓聯立，得方程，設點，然后用韋達定理得到，分別計算兩個小問即可.
【詳解】（1）根據題意解得，
所以橢圓的方程為
（2）如圖所示：
設直線的方程為，則，
聯立方程消去，整理得，
，得
設，則.
（i），
，
與的面積之比為1.
（ii）證明：
.
綜上，.
變式2．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）如圖，已知橢圓過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線均不與軸垂直.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的方程；
(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據條件列方程組求解即可；
（2）設直線的方程為，與橢圓聯立，由弦長公式求得的方程；
（3）將韋達定理代入中計算結果為定值.
【詳解】（1）由題意得解得，
故橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為，
由得，
由，得，
則.
，
解得或
當時，直線經過點，不符合題意，舍去；
當時，直線的方程為.
（3）直線，均不與軸垂直，所以，則且，
所以
為定值.
變式3．（22-23高二上·河南鶴壁·開學考試）已知橢圓的離心率，且圓過橢圓的上、下頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線的斜率為，且直線與橢圓相交于，兩點，點關于原點的對稱點為，點是橢圓上一點，若直線與的斜率分別為，.證明：為定值，并求出此定值.
【答案】(1)；
(2)證明見解析，0.
【分析】（1）根據圓的上下頂點可求，利用，，的關系可得答案；
（2）設出直線方程，與橢圓方程聯立，結合韋達定理表示出，求和化簡即可.
【詳解】（1）由題意可得，，所以，
所以橢圓的方程為：；
（2）證明：設直線的方程為，設，，由題意，
聯立，整理可得，
，即，且，，
所以
.
即證得為定值，且定值為0.
變式4．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）設動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過的直線與曲線交右支于兩點（在軸上方），曲線與軸左、右交點分別為，設直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)為定值，且定值為
【分析】（1）根據點到直線的距離以及點到點的距離公式，即可列方程化簡求解，
（2）由題意，設直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯立，結合條件求出即可．
【詳解】（1）設，到定直線的距離為則，
故，平方后化簡可得，
故點的軌跡的方程為：
（2）由題意，,
設直線的方程為，,，,，
由，可得，
所以，．
則，，
所以
；
當直線的斜率不存在時，，此時，
綜上，為定值．

變式5．（24-25高三上·廣東·開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，延長交另一條漸近線于點，且．

(1)求的方程；
(2)如圖，過作直線（不與軸重合）與曲線的兩支交于兩點，直線與的另一個交點分別為，求證：直線經過定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用焦距，結合題干條件與漸近線構成的幾何關系，列方程組求出，得到雙曲線方程；
（2）設，利用點斜式方程分別寫出直線的方程，和雙曲線聯立后，得到的坐標，然后得到直線的方程，即可求解.
【詳解】（1）漸近線，漸近線．
設為坐標原點，由題意，不妨設在上，在上，是線段的中垂線，
所以．由對稱性，，
所以，從而．
，在Rt中，，
解得．
所以，故C的方程為．
（2）設，設直線．

可得直線．
聯立
得，
則，又，
所以，
所以，
所以，同理．
則
直線，
令，得，所以直線過定點．
【點睛】方法點睛：直線過定點問題，需將待考察的直線和圓錐曲線聯立，利用韋達定理的表達式，將直線方程進行化簡整理后進行求解.
變式6．（23-24高二下·湖南岳陽·期末）已知平面內兩個定點，，滿足直線與的斜率之積為的動點的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點；
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)若直線和的斜率之積為，求證：直線過定點；
(3)若直線與直線分別交于，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）設，根據條件建立等式，化簡即可求出結果；
（2）設，聯立方程，消得到，由韋達定理得，利用條件，即可得到或，即可證明結果；
（3）根據條件得出和的中點重合，即可證明結果.
【詳解】（1）設，由題有，化簡得到，
所以曲線的軌跡方程為.
（2）因為直線和的斜率之積為，所以直線的斜率存在，設，，，
由，消得到，
則，，
，
化簡整理得到，得到或，
當時，，直線過定點與重合，不合題意，
當，，直線過定點，所以直線過定點.
（3）由（2）知，，
所以的中點坐標為，
又易知直線直線是雙曲線的漸近線，設，
由，消得到，
所以，，得到的中點坐標為，
所以的中點與的中點重合，設中點為，
則，從而有.
變式7．（23-24高二下·貴州黔南·期末）已知拋物線經過點．
(1)求拋物線C的方程及其準線方程；
(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經過x軸上的兩個定點．
【答案】(1)拋物線方程為，準線方程為
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意結合點的坐標可得拋物線方程，進一步可得準線方程；
（2）聯立準線方程和拋物線方程，結合韋達定理可得圓心坐標和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令即可證得題中的結論.
【詳解】（1）將點代入拋物線方程得，解得，
故拋物線方程為．
其準線方程為
（2）證明：因為直線l的斜率不為0，焦點坐標為，設直線l的方程為.
與拋物線方程聯立可得．
故．
設，則，
直線OM的方程為，與聯立，可得，同理可得．
易知以AB為直徑的圓的圓心坐標為，
圓的半徑為，
則圓的方程為．
令，整理可得，解得，
即以AB為直徑的圓經過x軸上的兩個定點．
變式8.（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知拋物線的焦點F在直線上．
(1)求C的方程；
(2)過點的直線交C于M，N兩點，又點Q在線段MN上，且，證明：點Q在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據焦點坐標可得，即可得方程；
（2）設，，，，聯立方程結合韋達定理可得，結合消元即可得結果.
【詳解】（1）由題意可得，則，解得，
所以拋物線C的方程為．
（2）設直線MN的方程為：，，，，
不妨設，
聯立直線MN與拋物線C的方程，消去y可得，
由，且，解得且，
則，，
因為，則，
整理可得，即，
又因為點Q在直線MN上，則，消m得，
且且，可得得且，
所以點Q在定直線：（且）上．
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
【方法技巧與總結】
1.求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
2.直線與橢圓綜合應用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與橢圓方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③結合韋達定理表示出所求量，將所求量轉化為關于變量的函數的形式；
④化簡所得函數式，消元可得定值.
【題型8：圓錐曲線中的最值、取值范圍問題】
例8．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知為橢圓C：上的點，C的焦距為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P為橢圓C上的動點，過點P作圓O：的兩條切線，切點分別為A，B，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據點在橢圓上，代入即可列方程求解，
（2）根據點點的距離可得，即可根據模長公式以及數量積的運算，結合二倍角公式即可求解.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故橢圓方程為
（2）設，則，
由于，故，
故，由于故，因此，
故
變式1．（24-25高二上·陜西寶雞·階段練習）設兩點的坐標分別為，．直線相交于點，且它們的斜率之積是．
(1)求點的軌跡方程．
(2)若，在的軌跡上任取一點（異于點），求線段長的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩點間的斜率公式的坐標表示，由斜率之積是化簡可得結果；
（2）將滿足橢圓方程并利用兩點間距離公式可得，再由橢圓范圍即可求得結果.
【詳解】（1）設點，因為，如下圖所示：
所以直線的斜率 ，
同理直線的斜率 ；
由已知可得 ，化簡可得；
即點的軌跡方程為，即點M的軌跡是除去，兩點的橢圓．
（2）設，則，
所以，
即，
根據橢圓范圍可得，
所以時，最大為，
所以線段PQ長的最大值為．
變式2．（24-25高二上·湖南·階段練習）已知橢圓經過點，且離心率為為坐標原點.
(1)求的方程.
(2)過點且不與軸重合的動直線與相交于兩點，的中點為.
（i）證明：直線與的斜率之積為定值；
（ii）當的面積最大時，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②或.
.
【分析】（1）根據已知點在橢圓上及離心率列方程組求解可得橢圓方程；
（2）設方程，直線與橢圓聯立消去利用韋達定理和斜率公式證明直線與的斜率之積為定值；根據弦長公式和三角形面積公式求得直線斜率最后得到直線方程.
【詳解】（1）由已知，得解得
故的方程為.
（2）
① 由題可設.
將，
消去，得.
當，即時，有.
所以，即，
可得，所以，即直線與的斜率之積為定值.
②由（1）可知
又點到直線的距離，
所以的面積.
設，則 ，
當且僅當，即時等號不成立，且滿足.
所以當的面積最大時，直線的方程為或.
【點睛】關鍵點點睛：求解面積最值的關鍵點是換元設，把面積轉換為的函數結合基本不等式計算最值即可，注意取等條件是否符合題意.
變式3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知是橢圓的右焦點，為坐標原點，為橢圓上任意一點，的最大值為，當時，的面積為.
(1)求的值；
(2)為橢圓的左 右頂點，點滿足，當與不重合時，射線交橢圓于點，直線交于點，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題可知，當時，設橢圓左焦點為，則，再根據橢圓定義和三角形面積可求得，，的值，即可求得；
（2）由題可知點，直線的斜率不為0，設其方程，并和橢圓方程聯立，根據韋達定理及相關知識，可確定點的軌跡方程，設直線的傾斜角分別為，則，再根據兩角差的正切公式即可求得結果.
【詳解】（1）因為①，
設橢圓的左焦點為，因為，所以.
即，又，所以，所以，
所以，所以，
因為，所以，所以②，又③，
由①②③，解得，所以.
（2）由（1）可知橢圓的方程為，因為點滿足，所以，設直線的方程為，
聯立，得，
設，易得，則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立得，
因為，所以，解得
所以動點的軌跡方程為.
由橢圓的對稱性不妨設，直線的傾斜角分別為，
因為，所以，
因為，所以，
當且僅當時，等號不成立，此時，，所以的最大值為.
變式4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知雙曲線的左頂點是，一條漸近線的方程為 ．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求過點作直線，使其被雙曲線截得的弦恰被點平分，求直線的方程．
(3)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且(其中O為坐標原點)，求實數取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據頂點及漸近線斜率求出即可得解；
（2）利用點差法求中點弦所在直線即可得解；
（3）聯立直線l與雙曲線C的方程，借助韋達定理、平面向量的數量積求解作答.
【詳解】（1）由題意，，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）設直線與雙曲線交點坐標分別為，
則，兩式相減可得：，
即，
所以直線的方程為，即.
（3）如圖，
由消去y并整理得：，
顯然，且，解得且，
設，則，，
，
，解得，
由可得，解得或，
所以k的取值范圍.
【點睛】關鍵點點睛：由直線聯立雙曲線方程，消元后由一元二次方程的根與系數的關系求出，，再利用直線方程求出，利用向量數量積坐標表示建立不等式求解即可.
變式5．（23-24高二下·上海·階段練習）設雙曲線的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，且的漸近線方程為．直線交雙曲線于兩點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若為線段的中點，求直線的方程；
(3)當直線過點時，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；
（2）由“點差法”可得直線的斜率為，再由點斜式方程求解即可；
（3）討論直線的斜率存不存在，存在時設直線的方程為，，聯立直線與雙曲線的方程，將韋達定理代入，由反比例函數的單調性即可得出答案.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：.
所以橢圓的方程為：.
（2）設，因為在橢圓上，
所以，兩式相減可得：
，
則，因為為線段的中點，
所以，
所以，所以直線的方程為：，
化簡可得：.
（3）當直線的斜率不存在時，，，
此時，所以，
當直線的斜率存在時，設，因為直線過點，
設直線的方程為：，
聯立可得：，
當時，，
，
，
令，則，
令，在在上單調遞減，
又，所以 ，
所以的取值范圍為.
變式6．（23-24高二上·浙江湖州·期末）設雙曲線C：（，）的右焦點為F，點O為坐標原點，過點F的直線與C的右支相交于A，B兩點．
(1)當直線與x軸垂直，且兩點的距離等于雙曲線C的實軸長時，求雙曲線C的離心率；
(2)若雙曲線C的焦距為4，且恒不成立，求雙曲線C的實軸長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根據通徑等于實軸長列式計算即可；
（2）設直線的方程為，與雙曲線聯立，利用韋達定理計算恒不成立即可.
【詳解】（1）當直線l與x軸垂直時,令得，解得，
所以兩點的距離為為，
根據題意可得，
所以，
整理得；
（2）雙曲線C的焦距為4，則，即，
由于直線的斜率不為零，設其方程為，
聯立，消去得，
設，
則，，
由于兩點均在雙曲線的右支上，
所以，
所以，即
所以
，
由恒不成立，得時，均有，并且不可能同向，
即，由于，
因為不等式左邊是關于的增函數，
所以只需時，不成立即可，
解得，又，
所以，
所以雙曲線C的實軸長的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是將恒不成立轉化為恒不成立，從而可以利用韋達定理來解決.
變式7．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是雙曲線上的一點，分別是的左、右焦點，若．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)當時，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據雙曲線的定義可得，進而由離心率公式即可求解，
（2）根據數量積的坐標運算，即可求解.
【詳解】（1）由可得，所以，
故，離心率為
（2），，
所以，
由于，所以，
解得，
變式8．（24-25高二上·江蘇常州·階段練習）已知拋物線：，在上有一點位于第一象限，設的縱坐標為．
(1)若到拋物線準線的距離為，求的值；
(2)當時，若軸上存在一點，使的中點在拋物線上，求到直線的距離；
(3)直線：，拋物線上有一異于點的動點，在直線上的投影為點，直線與直線的交點為若在的位置變化過程中，恒不成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出點的橫坐標，代入拋物線方程即可求解；
（2）先通過中點在拋物線上求出點的坐標，進一步求出直線方程，利用點到直線距離公式求解即可；
（3）設，聯立方程求出點的坐標，根據恒不成立，結合基本不等式即可求解.
【詳解】（1）拋物線：的準線為，由于到拋物線準線的距離為，
則點的橫坐標為，則，解得；
（2）當時，點的橫坐標為，則，
設，則的中點為，
由題意可得，解得，
所以，則，
由點斜式可得，直線的方程為，即，
所以原點到直線的距離為；
（3）如圖，

設，則，
故直線的方程為，令，可得，
即，
則，依題意，恒不成立，
又，則最小值為，
即，即，
則，解得，
又當時，，當且僅當時等號不成立，
而，即當時，也符合題意．故實數的取值范圍為．
【方法技巧與總結】求與圓錐曲線有關的最值、范圍問題的方法
(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理。
(2)數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解。
(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數的單調性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍。
一、單選題
1．（23-24高二上·安徽·期末）已知點為拋物線的焦點，直線與該拋物線交于兩點，點為的中點，過點向該拋物線的準線作垂線，垂足為.若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先運用中位線定理，將轉化得到兩點到準線的距離和，再用拋物線的定義得到的值.
【詳解】根據題意，過點分別向該拋物線的準線作垂線，垂足分別為，
所以，
所以，
設，，
根據定義可得，
聯立，
．
.

2．（22-23高二上·甘肅天水·期末）已知圓具有性質：若是圓上關于原點對稱的兩點，點是圓上異于任意一點，則為定值．類比圓的這個性質，雙曲線也具有這個性質：若是雙曲線上關于原點對稱的兩點，點為雙曲線上異于任意一點，則為定值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，再表達出，結合雙曲線的方程化簡即可.
【詳解】設，則，
.
3．（23-24高二上·天津紅橋·期中）設O為坐標原點，直線與拋物線C: 交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的標準方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出兩點坐標，根據垂直得到方程，求出，得到答案.
【詳解】令中得，解得，

不妨設，
因為OD⊥OE，所以，解得，
故C的標準方程為.
4．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由雙曲線的漸近線方程可得，再根據及M點坐標即可求出答案.
【詳解】
解：由題意得：
因為該雙曲線的一條漸近線方程是，則，
又由，可得，
由過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，可知M的橫坐標為，
代入橢圓方程即可得：，，
又有，可知，
所以.
5．（22-23高二·全國·課堂例題）拋物線的通徑長為（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】先求得拋物線的標準方程，然后根據通徑的知識求得正確答案.
【詳解】拋物線，即，
可得，因此通徑長為.
6．（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期中）直線與雙曲線交點的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根據已知直線和漸近線平行即可得答案.
【詳解】由題知，雙曲線的漸近線方程為，
所以直線與雙曲線的一條漸近線平行，
由圖可知，直線l與雙曲線有且只有一個交點.

7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，點為上一點，若，則的面積為（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】因為橢圓，所以，，由，得，進而解得，再利用三角形的面積公式求解即可.
【詳解】由橢圓的定義可知，且，
因為，所以，
又，故，
所以．
8．（24-25高三上·北京·階段練習）已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】A
【分析】設，利用導數的幾何意義可得直線與直線的方程，進而得到點的坐標，結合點在直線上，得，即,根據數量積的坐標運算化簡后即可得解．
【詳解】設，由求導得，
則直線方程為，即，
同理可得直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得，
由點在直線上，得，即
．
二、多選題
9．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，是經過拋物線焦點的弦，是線段的中點，經過點作拋物線的準線的垂線，垂足分別是，其中交拋物線于點，連接，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．Q是線段的一個三等分點 D．
【答案】ABD
【分析】利用拋物線的定義及平面幾何性質逐一判斷即可.
【詳解】如圖，由拋物線的定義，

對于A，得，，又，則，A正確；
對于B，由，，得，所以.
而，所以，所以，
可知，所以，B正確；
對于D，在中，，可知，所以，D正確；
對于C，由，可知，所以，即Q是的中點，C不正確.
BD.
10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知雙曲線焦距長為6，則（ ）
A． B．的離心率為
C．的漸近線為 D．直線與相交所得弦長為
【答案】CC
【分析】根據焦距得出判斷A，B選項，根據漸近線公式計算判斷C選項，聯立方程求出點的坐標結合兩點間距離公式計算判斷D選項.
【詳解】雙曲線焦距長為6，可得，所以A不正確；
可得，所以的離心率為，所以B正確；
的漸近線為，所以C正確；
聯立直線與雙曲線方程，可得兩個交點坐標為，
所以弦長為,D選項錯誤
C.
11．（23-24高二下·山西晉城·期末）已知點在拋物線（）上，F為拋物線的焦點，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．點F的坐標為
C．直線AQ與拋物線相切 D．
【答案】AC
【分析】將代入拋物線可得，即可判斷ABD,根據直線與拋物線聯立后判別式為0，即可求解.
【詳解】將代入中可得，故，,A正確，B錯誤，
,則AQ方程為，則，，故直線AQ與拋物線相切，C正確，
由于軸，所以不不成立，故D錯誤，
C
三、填空題
12．（24-25高二下·全國·課后作業）已知為橢圓的右焦點，為橢圓上兩個動點，寫出的周長的一個可能取值 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根據三角形的邊長之間的關系，可知當過焦點時，的周長取得最大值，再結合，，的最小值，可得的周長的最小值.根據的周長的取值范圍寫出答案.
【詳解】如圖：

設橢圓左焦點為，
則，當且僅當直線經過左焦點時，取得最大值，
又，,，所以，
所以的周長的取值范圍為：.
所以的周長可以為4．
故答案為：4（答案不唯一）
13．（24-25高二上·全國·課后作業）已知為坐標原點，直線交拋物線于兩點，為軸正半軸上一點，點的縱坐標分別為，且，則的坐標為 ．
【答案】
【分析】聯立直線與拋物線方程，可得與交點橫坐標有關韋達定理，計算可得，即可得，即可得點的坐標.
【詳解】設點，
聯立，得，
，即，，
所以，又，所以．
故答案為：.
14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則 .
【答案】5
【分析】求出拋物線焦點坐標，設出直線的方程，與拋物線方程聯立求出點的縱坐標即可得解.
【詳解】拋物線的焦點為，設直線的方程，，
由消去得，則，由，得，
聯立解得或，因此，所以.
故答案為：5
四、解答題
15．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）如圖在平面直角坐標系中，已知橢圓，橢圓，直線與橢圓只有一個公共點，且與橢圓交于兩點.
(1)當直線傾斜角為時，求直線的方程；
(2)求證：的面積為定值.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）根據直線傾斜角得到直線的斜率，進而設直線方程，根據直線與曲線有一個交點聯立方程組解得答案；
（2）設直線為，直線與橢圓只有一個公共點聯立方程組消元得，直線與橢圓交于兩點，連立方程組結合韋達定理得，結合三角形面積公式得答案；
【詳解】（1）因為直線傾斜角為，直線為，因為橢圓，
直線與橢圓只有一個公共點，聯立方程，得，
，所以直線為或
（2）因為直線與橢圓只有一個公共點，設直線為由，得
,
又因為直線與橢圓交于兩點，得
所以，因為直線與軸交于點，所以
所以
.
16．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓上任意一點，面積的最大值為2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線和圓：相切，交橢圓于另一點，為坐標原點，線段，分別和圓交于，兩點.若，的面積分別記為，，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）借助待定系數法利用離心率及三角形的面積的已知條件即可求得橢圓的標準方程；
（2）根據直線的斜率是否存在進行分類討論，根據圓與直線相切可得圓心到直線距離等于半徑得，設，，聯立消元得.結合韋達定理，.利用三角形面積計算比值的取值范圍．
【詳解】（1）根據題意，2.8直線與圓錐曲線的位置關系
課程標準 學習目標
理解直線與圓錐曲線的位置關系 2.會進行直線與圓錐曲線的位置關系的判斷，能夠計算弦長 重點：理解直線與圓錐曲線的位置關系，會判定及應用 難點：應用代數方法對直線與圓錐曲線的位置關系進行判定，相關計算的準確性
知識點01 直線與圓錐曲線的位置關系的判定
(1)代數法: 把圓錐曲線方程與直線方程聯立消去y，整理得到關于x的方程 .
方程的解
無解（含是雙曲線的漸近線） 無公共點
有一解（含與拋物線的對稱軸平行或與雙曲線的漸進性平行） 一個交點
兩個不等的解 兩個交點
兩個相等的解 一個切點
無實數解 無公共點
(2)幾何法:在同一直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質可判定直線與圓錐曲線的位置關系
【即學即練1】（24-25高二上·陜西西安·階段練習）已知雙曲線，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點．且，這樣的直線有4條，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練2】（2024高二上·江蘇·專題練習）設分別是橢圓的左、右焦點，設過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且為銳角（其中O為坐標原點），則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
知識點02直線與圓錐曲線的相交弦長
1.設斜率為 k(k≠0)的直線與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A()，B()，則|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|·
2.特別，若直線過拋物線的焦點，則弦長AB|x1＋x2＋p(為弦AB的傾斜角).
【即學即練3】（24-25高二上·浙江麗水·階段練習）已知焦點在軸上的橢圓過點，離心率為，
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率為的直線與曲線相交于點D，E，弦長，求直線的方程．
【即學即練4】（23-24高二下·甘肅·期末）已知雙曲線的實軸長是虛軸長的倍，且焦點到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值．
知識點03 中點弦的重要結論
AB為橢圓＋1(a＞b＞0)的弦，A()，B()弦中點M()).
則弦 AB的斜率與弦中點M 和橢圓中心0 的連線的斜率之積為定值.
【即學即練5】（24-25高二上·全國·課后作業）已知點為拋物線上異于原點的兩個動點，若，則線段中點的橫坐標的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【即學即練6】（21-22高二上·北京·階段練習）已知橢圓的右焦點為，離心率為．直線過點且不垂直于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
(3)若點是橢圓上一動點，當直線的斜率為時，求面積的最大值．
難點：數形結合的運用
示例1：（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的，兩點，且直線，，的斜率依次成等比數列．橢圓上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【題型1：直線與圓錐曲線的交點】
例1．（22-23高二·全國·課堂例題）已知雙曲線，直線，求直線l與雙曲線C的公共點的坐標．
變式1．（22-23高二·全國·課堂例題）判斷直線與雙曲線是否有公共點．如果有，求出公共點的坐標．
變式2.（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，長軸長為4.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．
(1)求橢圓E的標準方程：
(2)若與橢圓E的相交于兩點，求的長度；
(3)若直線的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標．
變式3．（24-25高二上·浙江麗水·階段練習）已知曲線是平面內到和的距離之和為4的點的軌跡.
(1)求曲線的方程；
(2)過點作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點，交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點的坐標.
變式4.（2024高二上·全國·專題練習）已知直線與橢圓.
(1)若它們有兩個公共點，求的取值范圍；
(2)若它們只有一個公共點，求公共點的橫坐標.
變式5．（23-24高二上·天津·期末）已知 圓：（）經過點，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于點（異于頂點）與軸交于點，點為橢圓的右焦點，為坐標原點，，求直線的方程.
變式6．（23-24高二上·全國·課后作業）如圖，已知雙曲線的離心率，頂點為和，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點．

(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設直線的斜率分別為，證明：；
(3)若的最大內角為，求點P的坐標．
變式7．（22-23高二上·貴州六盤水·階段練習）已知直線與拋物線相切，且切點為.
(1)求直線的斜率的值；
(2)如圖，M，N是軸上兩個不同的動點，且滿足，直線BM，BN與拋物線的另一個交點分別是P，Q，若直線PQ的斜率為，求的值.
變式8．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且，的面積為
(1)求E的方程;
(2)若不過點F的直線l與E交于A，B兩點，的重心在直線上，且則滿足條件的直線l是否存在，若存在求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【方法技巧與總結】直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意分類討論思想和數形結合思想的運用。
【題型2：直線與圓錐曲線的位置關系】
例2．（23-24高二上·山東泰安·期末）已知直線與曲線恰有三個不同交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（多選）（23-24高二上·廣東東莞·期末）已知曲線C：，則（ ）
A．曲線C在第一象限為橢圓的一部分 B．曲線C在第二象限為雙曲線的一部分
C．直線與曲線C有兩個交點 D．直線與曲線C有三個交點
變式2．（多選）（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，A為左頂點，P為雙曲線右支上一點．若，且的最小內角為，則（ ）
A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的漸近線方程為
C． D．直線與雙曲線有兩個公共點
變式3．(多選)（23-24高二上·廣東·期末）已知直線，雙曲線，則（ ）
A．當時，與只有一個交點
B．當時，與只有一個交點
C．當時，與的左支有兩個交點
D．當時，與的左支有兩個交點
變式4．（2023高三·全國·專題練習）已知直線與曲線恰有一個公共點，則實數a的值為 .
變式5．（2024高三下·全國·專題練習）已知點為橢圓上任意一點，直線，點F為橢圓C的左焦點．
(1)求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標；
(2)求證：直線與橢圓C相切；
變式6．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知橢圓與軸交于兩點，點為橢圓上不同于的點.
(1)若直線的斜率分別為，求的最小值；
(2)已知直線，直線分別交于P、Q兩點，為PQ中點．試判斷直線MN與的位置關系．
變式7．（23-24高二上·浙江臺州·期末）如圖，圓的半徑為4，是圓內一個定點且是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，點在圓上運動.
(1)求點的軌跡；
(2)當時，證明：直線與點形成的軌跡相切.
變式8．（23-24高二上·安徽·期末）已知拋物線：及拋物線：（），過的焦點F的直線與交于，兩點，與交于，兩點，O為坐標原點，．
(1)求的方程．
(2)過的中點M作的準線的垂線，垂足為N．
（ⅰ）證明：為定值；
（ⅱ）判斷直線與的公共點個數．
【方法技巧與總結】直線ykx＋m與橢圓＋1(a>b>0)的位置關系，判斷方法：
聯立消y得一元二次方程．
當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當Δ0時，方程有一解，直線與橢圓相切；
當Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．
【題型3：圓錐曲線的切線方程】
例3．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓，原點為，動點在直線上運動，且在橢圓外，過點的直線與分別相切于兩點，則 ．
變式1．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直線與單位圓（圓心在原點）和曲線均相切，則直線的一個方程可以是
變式2．（2022高三·全國·專題練習）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為 ．
變式3．（22-23高三上·浙江·階段練習）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是 .（寫出符合條件的一個方程即可）
變式4．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習）已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，為的重心，則的最小值為 .
變式5．（23-24高二下·河南開封·期末）已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是，，且經過點．
(1)求C的標準方程；
(2)已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點，求l的方程．
變式6．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）過點作兩條直線，，分別與橢圓相切于點，．點，分別在直線，上，且滿足直線與橢圓相切于點．
(1)求直線，的方程；
(2)求證：三條直線，，相交于同一點．
變式7．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知橢圓：的右焦點為，過點作軸的垂線交橢圓于點．過點作橢圓的切線，交軸于點．
(1)求點的坐標；
(2)過點的直線（非軸）交橢圓于、兩點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：線段的中點在定直線上．
變式8．（23-24高二上·山東青島·期末）已知拋物線，點，過拋物線的焦點且平行于軸的直線與圓相切，與交與兩點，.
(1)求和圓的方程；
(2)過上一點作圓的兩條切線分別與交于兩點，判斷直線與圓的位置關系，并說明理由.
【方法技巧與總結】
1.過圓上一點的切線方程為：，
2.過圓外一點的切點弦方程為：.
3.過橢圓上一點的切線方程為，
4.過雙曲線上一點的切線方程為
5.拋物線在其上一點的切線方程為，再應用此方程時，首先應證明直線與拋物線相切.
【題型4：圓錐曲線弦長問題】
例4．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則 ．
變式1．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）已知直線與橢圓相交于兩點.
(1)若橢圓的離心率為，焦距為，求線段的長；
(2)若（其中為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值.
變式2．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習）已知橢圓的離心率是橢圓的一個頂點為，直線與橢圓相交于兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若線段的中點的橫坐標為求直線的斜率以及弦長
變式3．（23-24高二下·安徽阜陽·期末）已知橢圓的短軸長為2，上頂點為M，O為坐標原點，A，B為橢圓上不同的兩點，且當三點共線時，直線的斜率之積為
(1)求橢圓的方程；
(2)若的面積為1，求的值.
變式4．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）設橢圓的左、右焦點分別為．點滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設直線與橢圓相交于兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程和橢圓的方程．
變式5．（23-24高二下·吉林長春·階段練習）已知雙曲線C：的右頂點為M，過點的直線l交雙曲線C于A，B兩點，設直線MA的斜率為，直線MB的斜率為.
(1)求直線l斜率的取值范圍；
(2)證明：為定值，并求出該定值；
(3)求的最大值.
變式6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.
(1)求的方程，并說明是什么曲線：
(2)若直線和曲線相交于兩點，求.
變式7．（23-24高二上·上海·期末）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．
(1)當時，求雙曲線E的左焦點到直線l的距離；
(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
變式8．（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習）已知拋物線，過點的直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.
(1)設直線，的斜率分別為，，證明：；
(2)設線段AB的中點為N，求的取值范圍.
【方法技巧與總結】求解直線被橢圓截得弦長的方法
(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．
(2)當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|(k≠0)．
【題型5：直線與圓錐曲線相交面積問題】
例5．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線右支（且不在坐標軸上），
(1)若雙曲線與橢圓有共同的焦點，且雙曲線過點，求該雙曲線的標準方程；
(2)若，，求的面積．
變式1．（24-25高二上·北京·階段練習）已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．
變式2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線經過點，直線與的交點為，且直線與傾斜角互補．
(1)求的值；
(2)若，求面積的最大值．
變式3．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點的直線交于兩點，特別地，當直線的傾斜角為時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點，若，求的面積（為坐標原點）.
變式4．（23-24高二下·湖北·階段練習）已知雙曲線的漸近線上一點與右焦點的最短距離為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)為坐標原點，直線與雙曲線的右支交于、兩點，與漸近線交于、兩點，與在軸的上方，與在軸的下方．
（ⅰ）求實數的取值范圍．
（ⅱ）設、分別為的面積和的面積，求的最大值．
變式5．（23-24高二下·浙江溫州·期末）已知雙曲線的離心率為，右頂點為.為雙曲線右支上兩點，且點在第一象限，以為直徑的圓經過點.

(1)求的方程；
(2)證明：直線恒過定點；
(3)若直線與軸分別交于點，且為中點，求的值.
變式6．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知是橢圓的左右焦點分別為，且橢圓經過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)經過點的直線，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的取值范圍．
變式7．（24-25高二上·湖南·階段練習）在直角坐標系中，點，動點滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
(2)過左焦點且與坐標軸不垂直的直線，與曲線相交于，兩點，的中點為，直線與曲線相交于，兩點．求四邊形面積的取值范圍．
變式8．（24-25高二上·湖南株洲·階段練習）橢圓與橢圓：有相同的焦點，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的右焦點為，設動直線與坐標軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點，且直線和的斜率互為相反數.
①證明：動直線恒過軸上的某個定點，并求出該定點的坐標；
②求面積的最大值.
【題型6：圓錐曲線通徑問題】
例6．（23-24高二下·山西運城·期中）已知分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交于兩點，若的最大值為8，則的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
變式1．（24-25高二上·江西·階段練習）已知O為坐標原點，是橢圓M：（）的右焦點，過點F且與M的長軸垂直的直線交M于C，D兩點.若為直角三角形，則M的長軸長為 .
變式2．（23-24高二上·安徽·階段練習）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，過C上一點M向y軸作垂線交另一支于N點，若，且，則C的離心率為 ．
變式3．（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習）求適合下列條件的曲線的標準方程.
(1)已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點，求雙曲線的標準方程；
(2)已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，過左焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為，求橢圓的標準方程.
變式4．（23-24高二上·遼寧沈陽·期中）已知橢圓的兩個焦點分別為、，短軸的一個端點為，內切圓的半徑為，設過點的直線被橢圓截得的線段為，當軸時，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)在軸上是否存在一點，使得當變化時，總有與所在直線關于軸對稱？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
變式5．（22-23高二上·廣西貴港·期末）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為3．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩點，射線交橢圓于點，若，求直線的方程．
變式6．（23-24高二上·河北邯鄲·期中）已知雙曲線的左頂點為，不與x軸平行的直線l過C的右焦點F且與C交于M，N兩點.當直線l垂直于x軸時，.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線，分別交直線于P，Q兩點，求證：A，P，F，Q四點共圓.
變式7．（21-22高二下·江蘇鎮江·開學考試）在平面直角坐標系中，雙曲線C的對稱軸都是坐標軸，且過點，P到雙曲線C兩焦點距離的差的絕對值等于2.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)如果雙曲線C的焦點在x軸上，直線l經過雙曲線C的右焦點，與雙曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的方程.
變式8．（2022·河南許昌·二模）已知雙曲線的右焦點為，過點F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點，且.
(1)求C的方程；
(2)過點的直線與雙曲線C的左 右兩支分別交于D，E兩點，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點，若，求實數的取值范圍.
【方法技巧與總結】
1.橢圓與雙曲線的半通徑是, 通徑是
2.過拋物線的焦點作垂直于對稱軸Q的直線與拋物線交于兩點，連結這兩交點的線段稱為拋物線的通徑,它的長為2p,這也是拋物線標準方程中2p的幾何意義。
【題型7：定值、定點、定直線問題】
例7．（24-25高二上·河南新鄉·階段練習）已知圓O的方程為，與x軸的正半軸交于點N，過點作直線與圓O交于兩點．

(1)若坐標原點O到直線的距離為1，求直線的方程；
(2)如圖所示，已知點， 一條斜率為的直線交圓于兩點，連接試問是否存在銳角，，使得為定值 若存在，求出該定值，若不存在，說明理由．
變式1．（24-25高三上·青海西寧·開學考試）已知橢圓的離心率為點在橢圓上運動，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設分別是橢圓的右頂點和上頂點，直線與直線平行，且與軸，軸分別交于點，與橢圓相交于點為坐標原點.
（i）求與的面積之比；
（ii）證明：為定值.
變式2．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）如圖，已知橢圓過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線均不與軸垂直.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的方程；
(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.
變式3．（22-23高二上·河南鶴壁·開學考試）已知橢圓的離心率，且圓過橢圓的上、下頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線的斜率為，且直線與橢圓相交于，兩點，點關于原點的對稱點為，點是橢圓上一點，若直線與的斜率分別為，.證明：為定值，并求出此定值.
變式4．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）設動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過的直線與曲線交右支于兩點（在軸上方），曲線與軸左、右交點分別為，設直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．
變式5．（24-25高三上·廣東·開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，延長交另一條漸近線于點，且．

(1)求的方程；
(2)如圖，過作直線（不與軸重合）與曲線的兩支交于兩點，直線與的另一個交點分別為，求證：直線經過定點．
變式6．（23-24高二下·湖南岳陽·期末）已知平面內兩個定點，，滿足直線與的斜率之積為的動點的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點；
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)若直線和的斜率之積為，求證：直線過定點；
(3)若直線與直線分別交于，求證：.
變式7．（23-24高二下·貴州黔南·期末）已知拋物線經過點．
(1)求拋物線C的方程及其準線方程；
(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經過x軸上的兩個定點．
變式8.（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知拋物線的焦點F在直線上．
(1)求C的方程；
(2)過點的直線交C于M，N兩點，又點Q在線段MN上，且，證明：點Q在定直線上．
【方法技巧與總結】
1.求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
2.直線與橢圓綜合應用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與橢圓方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③結合韋達定理表示出所求量，將所求量轉化為關于變量的函數的形式；
④化簡所得函數式，消元可得定值.
【題型8：圓錐曲線中的最值、取值范圍問題】
例8．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知為橢圓C：上的點，C的焦距為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P為橢圓C上的動點，過點P作圓O：的兩條切線，切點分別為A，B，求的取值范圍．
變式1．（24-25高二上·陜西寶雞·階段練習）設兩點的坐標分別為，．直線相交于點，且它們的斜率之積是．
(1)求點的軌跡方程．
(2)若，在的軌跡上任取一點（異于點），求線段長的最大值．
變式6．（23-24高二上·浙江湖州·期末）設雙曲線C：（，）的右焦點為F，點O為坐標原點，過點F的直線與C的右支相交于A，B兩點．
(1)當直線與x軸垂直，且兩點的距離等于雙曲線C的實軸長時，求雙曲線C的離心率；
(2)若雙曲線C的焦距為4，且恒不成立，求雙曲線C的實軸長的取值范圍．
變式7．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是雙曲線上的一點，分別是的左、右焦點，若．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)當時，求的取值范圍．
變式8．（24-25高二上·江蘇常州·階段練習）已知拋物線：，在上有一點位于第一象限，設的縱坐標為．
(1)若到拋物線準線的距離為，求的值；
(2)當時，若軸上存在一點，使的中點在拋物線上，求到直線的距離；
(3)直線：，拋物線上有一異于點的動點，在直線上的投影為點，直線與直線的交點為若在的位置變化過程中，恒不成立，求的取值范圍．
【方法技巧與總結】求與圓錐曲線有關的最值、范圍問題的方法
(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理。
(2)數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解。
(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數的單調性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍。
一、單選題
1．（23-24高二上·安徽·期末）已知點為拋物線的焦點，直線與該拋物線交于兩點，點為的中點，過點向該拋物線的準線作垂線，垂足為.若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（22-23高二上·甘肅天水·期末）已知圓具有性質：若是圓上關于原點對稱的兩點，點是圓上異于任意一點，則為定值．類比圓的這個性質，雙曲線也具有這個性質：若是雙曲線上關于原點對稱的兩點，點為雙曲線上異于任意一點，則為定值（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·天津紅橋·期中）設O為坐標原點，直線與拋物線C: 交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的標準方程為（　　）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，則（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二·全國·課堂例題）拋物線的通徑長為（ ）
A．8 B．4 C． D．
6．（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期中）直線與雙曲線交點的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，點為上一點，若，則的面積為（ ）
A． B． C．3 D．5
8．（24-25高三上·北京·階段練習）已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
二、多選題
9．（24-25高二上·全國·課后作業）已知拋物線的焦點為，是經過拋物線焦點的弦，是線段的中點，經過點作拋物線的準線的垂線，垂足分別是，其中交拋物線于點，連接，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．Q是線段的一個三等分點 D．
10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知雙曲線焦距長為6，則（ ）
A． B．的離心率為
C．的漸近線為 D．直線與相交所得弦長為
11．（23-24高二下·山西晉城·期末）已知點在拋物線（）上，F為拋物線的焦點，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．點F的坐標為
C．直線AQ與拋物線相切 D．
三、填空題
12．（24-25高二下·全國·課后作業）已知為橢圓的右焦點，為橢圓上兩個動點，寫出的周長的一個可能取值 ．
13．（24-25高二上·全國·課后作業）已知為坐標原點，直線交拋物線于兩點，為軸正半軸上一點，點的縱坐標分別為，且，則的坐標為 ．
14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則 .
四、解答題
15．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）如圖在平面直角坐標系中，已知橢圓，橢圓，直線與橢圓只有一個公共點，且與橢圓交于兩點.
(1)當直線傾斜角為時，求直線的方程；
(2)求證：的面積為定值.
16．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓上任意一點，面積的最大值為2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線和圓：相切，交橢圓于另一點，為坐標原點，線段，分別和圓交于，兩點.若，的面積分別記為，，求的取值范圍.
17．（23-24高二下·江西新余·期末）已知雙曲線的方程為，實軸長和離心率均為2.
(1)求雙曲線的標準方程及其漸近線方程；
(2)過且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，求的值（為坐標原點）.
18．（23-24高二下·上海·階段練習）已知拋物線，焦點為F
(1)若點P為C上一點，且，求點P的橫坐標.
(2)若斜率為2的直線與拋物線交于不同的兩點A，B，線段中點為M，求點M的軌跡方程．
19．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）已知點，圓，點是圓上任一點，線段的垂直平分線交線段于.
(1)求點的軌跡方程；
(2)過點的直線與點的軌跡相交于兩點，設點，問：直線，的斜率之和是否為定值？若是，請求出該值；否則，請說明理由.
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