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第二章：平面解析幾何
（試卷滿分170分，考試用時120分鐘）
姓名___________ 班級_________ 考號_______________________
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（24-25高二上·北京·月考）過兩點的直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知直線經過和兩點.
根據直線斜率的計算公式（其中和為直線上兩點的坐標），
所以,
因為直線的斜率（為傾斜角），已知，即.
又因為傾斜角，在這個區間內，滿足的..
2．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）橢圓的焦點在軸上，焦距為2，則的值等于（ ）
A．3 B．5 C．8 D．5或3
【答案】C
【解析】由題意，橢圓的焦點在軸上，焦距為2，
則，即，
所以，即..
3．（24-25高二上·海南·月考）若方程表示圓，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由方程表示圓得，，解得或，
故的取值范圍為..
4．（24-25高二上·廣東惠州·月考）經過圓的圓心且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心的坐標為，
設所求直線斜率為，
因為所求直線與直線垂直，所以，故，
所以直線方程為，即.
5．（24-25高二上·山東濟南·月考）已知點，直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】點，
直線的斜率，直線的斜率，
直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率滿足或，
即或，所以直線l的斜率的取值范圍為.
.
6．（24-25高三上·河北張家口·開學考試）已知兩點坐標分別.直線相交于點，且它們的斜率之和是3，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，則直線的斜率為，直線的斜率為，
依據題意可知，，化簡得：，
因為直線、的斜率存在，所以，
所以，.
7．（22-23高二上·四川成都·月考）已知拋物線的焦點為F，定點，P是拋物線上一個動點，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】D
【解析】 準線為，A在拋物線內部，
設到準線的距離為，
到準線的距離.
.
8．（24-25高二上·重慶·月考）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的中垂線經過.記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，它們的公共焦距為，不妨設點在第一象限.
∵在的中垂線上，
∴，
由橢圓、雙曲線的定義得：，
∴，整理得，
∴，即，
∴，∴，
令，由定義法可證在為增函數，且，
∵，∴..
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·江蘇徐州·月考）已知直線：，：，則（ ）
A．當時，直線的傾斜角為80° B．當時，
C．若，則 D．直線始終過定點
【答案】CCD
【解析】對于A，當時，直線：，故斜率，則傾斜角為120°，A錯誤，
對于B，等價于，解得，故B正確，
對于C，若，且，故，故C正確，
對于D，：變形為：，
令且，解得，故恒過，D正確，CD
10．（24-25高二上·福建泉州·月考）已知實數、滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】AB
【解析】圓的圓心為，半徑為，
對于A選項，由，可得，
令，則直線與圓有公共點，
所以，，解得，
所以，的最大值為，A對；
對于B選項，令，可得，
則直線與圓有公共點，
所以，，解得，所以，的最大值為，B對；
對于C選項，令，可得，
則直線與圓有公共點，
所以，，整理可得，解得，所以，的最大值為，C錯；
對于D選項，令，
則直線與圓有公共點，
所以，，解得，所以，的最大值為，D錯.B.
11．（24-25高二上·江蘇泰州·月考）設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，若直線為的準線，則（ ）
A． B．
C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形
【答案】CC
【解析】由直線，令，解得，所以拋物線的焦點，
所以，所以A選項錯誤，拋物線方程為，準線為，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項正確.
由上述分析可知，中點，
其到準線的距離是，所以以為直徑的圓與相切，C選項正確.
，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.C
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（24-25高二上·云南玉溪·月考）兩平行直線和間的距離是 .
【答案】
【解析】因為直線與直線平行，則，解得，
所以，這兩條平行直線的方程分別為、，
這兩條直線間的距離為.
故答案為：.
13．（24-25高二上·廣東廣州·期中）直線與圓C：相交所形成的弦中長度最短的弦長為
【答案】2
【解析】直線恒過定點，
而圓的圓心，半徑，
，即點在圓內，當且僅當時，直線被圓截得的弦長最短，
所以所求最短弦長為.
故答案為：2
14．（24-25高二上·河南南陽·月考）橢圓的左 右焦點分別為，點在上，直線過左焦點，且與橢圓相交于兩點，若直線的傾斜角為，則的面積等于 .
【答案】
【解析】已知點在橢圓上，可得，所以，
又因為直線的斜率，所以的方程為.
設，聯立方程組
消去得，可得，
所以，
點到直線的距離，
所以.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（24-25高二上·福建福州·月考）菱形的頂點，的坐標分別為，，邊所在直線過點.
(1)求，邊所在直線的方程；
(2)求對角線所在直線的方程.
【答案】(1)直線的方程，直線的方程；(2)
【解析】（1），
所以直線的方程為，即；
因為，所以，
所以直線的方程為，即.
（2），因為，所以，
即，
的中點坐標為，對角線過點，
所以對角線所在直線的方程為，即.
16．（24-25高二上·四川綿陽·月考）已知直線.
(1)若直線不經過第四象限，求的取值范圍；
(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求的面積的最小值及此時直線的一般式方程.
【答案】(1)；(2)4，.
【解析】（1）直線的方程為：，則
則直線l在y軸上的截距為，要使直線l不經過第四象限，
則，解得，的取值范圍是.
（2）由題意可知，再由的方程，得，.
依題意得，解得.
，
“”不成立的條件是且，即，
，此時直線的方程為.
17．（24-25高二上·浙江·月考）已知平面直角坐標系中，圓，點，
(1)若是圓上的動點，線段的中點為，求的軌跡方程；
(2)以為直徑的圓交圓于，兩點，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）設，，則根據題意可得
所以可得，代入圓，得，
化簡得，
的軌跡方程為.
（2）如下圖所示：
因為的中點坐標為，，
所以以為直徑的圓的方程為，
即.
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓的圓心距為，半徑和，半徑差的絕對值為，
，兩圓相交，
由得直線的方程.
圓心到直線的距離，圓的半徑，
可得，，
所以.
18．（23-24高二上·安徽·月考）已知點，，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是1．
(1)求點M的軌跡E的方程；
(2)過點作相互垂直的兩條直線和，且與E交于C，D兩點，與E交于G、H兩點，求．
【答案】(1)（）；(2)．
【解析】（1）設，．
∵，，，
∴，整理得（）．
即點M的軌跡E的方程為（）．
（2）當和中一條直線垂直于x軸時，另一條直線為x軸，此時不符合題意．
當直線和的斜率存在且不為0時，如圖，設：，，：，．
與E的方程聯立得，消去x并整理得，
因為與E交于兩點，故，
此時，
設，，則，，
所以，
同理，所以．
19．（24-25高二上·四川遂寧·月考）已知點在橢圓上，橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)若不過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，且，
①求證：直線AB經過定點；
②求面積的取值范圍（為坐標原點）.
【答案】(1)；(2)①證明見解析；②
【解析】（1）由題意得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）聯立，消元整理得，
時，
設，，則，，
由，
得，
所以，
所以，
化簡得，即，
所以或，
當時過點，不合題意，舍去，
所以，即，此時過定點.
此時，所以，設到直線的距離為，
則，，
，
當且僅當時，當時，所以.
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（試卷滿分170分，考試用時120分鐘）
姓名___________ 班級_________ 考號_______________________
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（24-25高二上·北京·月考）過兩點的直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）橢圓的焦點在軸上，焦距為2，則的值等于（ ）
A．3 B．5 C．8 D．5或3
3．（24-25高二上·海南·月考）若方程表示圓，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·廣東惠州·月考）經過圓的圓心且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·山東濟南·月考）已知點，直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·河北張家口·開學考試）已知兩點坐標分別.直線相交于點，且它們的斜率之和是3，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高二上·四川成都·月考）已知拋物線的焦點為F，定點，P是拋物線上一個動點，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
8．（24-25高二上·重慶·月考）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的中垂線經過.記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高二上·江蘇徐州·月考）已知直線：，：，則（ ）
A．當時，直線的傾斜角為80° B．當時，
C．若，則 D．直線始終過定點
10．（24-25高二上·福建泉州·月考）已知實數、滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的最大值為
11．（24-25高二上·江蘇泰州·月考）設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，若直線為的準線，則（ ）
A． B．
C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（24-25高二上·云南玉溪·月考）兩平行直線和間的距離是 .
13．（24-25高二上·廣東廣州·期中）直線與圓C：相交所形成的弦中長度最短的弦長為
14．（24-25高二上·河南南陽·月考）橢圓的左 右焦點分別為，點在上，直線過左焦點，且與橢圓相交于兩點，若直線的傾斜角為，則的面積等于 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（24-25高二上·福建福州·月考）菱形的頂點，的坐標分別為，，邊所在直線過點.
(1)求，邊所在直線的方程；(2)求對角線所在直線的方程.
16．（24-25高二上·四川綿陽·月考）已知直線.
(1)若直線不經過第四象限，求的取值范圍；
(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求的面積的最小值及此時直線的一般式方程.
17．（24-25高二上·浙江·月考）已知平面直角坐標系中，圓，點，
(1)若是圓上的動點，線段的中點為，求的軌跡方程；
(2)以為直徑的圓交圓于，兩點，求.
18．（23-24高二上·安徽·月考）已知點，，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是1．
(1)求點M的軌跡E的方程；
(2)過點作相互垂直的兩條直線和，且與E交于C，D兩點，與E交于G、H兩點，求．
19．（24-25高二上·四川遂寧·月考）已知點在橢圓上，橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)若不過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，且，
①求證：直線AB經過定點；
②求面積的取值范圍（為坐標原點）.
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