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第二章：平面解析幾何章末重點題型復(fù)習(xí)
題型一 直線的傾斜角與斜率
1．（24-25高二上·重慶·月考）經(jīng)過兩點，的直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·北京·期中）直線繞其與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·廣東廣州·期中）設(shè)直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·廣西柳州·開學(xué)考試）（多選）如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型二 直線的方向向量與法向量
1．（24-25高二上·廣東深圳·期中）直線的一個方向向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·四川南充·期中）設(shè)直線的方程為，則下列向量可以作為方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·上海奉賢·期末）直線的法向量可以為（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·遼寧·期末）直線,若直線的一個法向量為,則（ ）
A． B． C． D．
題型三 直線與線段有公共點問題
1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知點，若過點的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知點，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．[1,4]
3．（24-25高二上·陜西西安·期中）已知點，，若過點的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，經(jīng)過作直線，若直線與線段恒有公共點，則直線傾斜角的范圍（ ）
A． B．
C． D．
題型四 直線的五種方程形式
1．（24-25高二上·山東臨沂·期中）（多選）若直線過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線方程可能為（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·廣西·期中）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．若，且直線不經(jīng)過第二象限，則，
B．方程（）表示的直線都經(jīng)過點
C．，直線不可能與軸垂直
D．直線的橫、縱截距相等
3．（24-25高二上·廣東佛山·期中）在中，已知，
(1)求邊的高線的方程;
(2)求邊的中線的方程;
(3)求的平分線的方程.
4．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知定點.
(1)求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；
(2)若直線過點且交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，記的面積為（為坐標(biāo)原點），求的最小值，并求此時直線的方程.
題型五 兩條直線平行與垂直
1．（24-25高二上·重慶·月考）已知兩條直線：，則（ ）
A．或 B． C． D．
2．（24-25高二上·江西撫州·期中）已知直線，，若，則m的值為（ ）
A． B．6 C． D．
3．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直線經(jīng)過點，且平行于直線，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·北京·期中）已知直線的方程為，則過點且與垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型六 三種距離公式及應(yīng)用
1．（24-25高二上·山東菏澤·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點和點之間的距離為（ ）
A．2 B．3 C． D．5
2．（24-25高二上·四川·期中）直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·山東臨沂·期中）若，兩點到直線的距離相等，則（ ）
A． B． C．2或 D．2或
4．（24-25高二上·山西·期中）已知點，直線l：，則A到l的距離的最大值為（ ）
A．3 B． C． D．5
題型七 圓的標(biāo)準方程與一般方程
1．（24-25高二上·江蘇淮安·期中）圓的圓心坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·北京·期中）已知方程表示一個圓，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知，，，則的外接圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·福建·期中）若點在圓的外部，則正實數(shù)的取值范圍是 .
題型八 直線與圓的位置關(guān)系
1．（23-24高二上·廣西南寧·月考）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心
C．相切 D．相離
2．（24-25高二上·江蘇南京·期中）設(shè)k為實數(shù)，直線與圓交點個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．無法確定
3．（24-25高二上·廣西·期中）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．] B． C． D．
4．（24-25高二上·山東煙臺·期中）過點的直線與曲線有且僅有兩個不同的交點，則的斜率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
題型九 圓的切線方程與切線長
1．（24-25高二上·浙江嘉興·期中）經(jīng)過點作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·四川·期中）過點作圓的切線，則切線的斜率為（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．（24-25高二上·山東臨沂·期中）若圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（23-24高三上·廣東深圳·期末）是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型十 直線與圓相交弦長問題
1．（24-25高二上·北京·期中）圓被直線截得的弦長為 ．
2．（24-25高二上·重慶·月考）直線被圓截得的弦長為，則 .
3．（24-25高二上·河南南陽·期中）已知直線經(jīng)過點，且與圓C：相交于A，B兩點，若，則直線的方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）直線與圓相交于兩點，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型十一 圓與圓的位置關(guān)系判斷
1．（24-25高二上·重慶·月考）圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離
2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切
3．（24-25高二上·湖北·期中）若圓上總存在兩個點到原點的距離均為2，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·北京順義·期中）已知點，，圓：，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型十二 兩圓的公共弦方程及弦長
1．（24-25高二上·黑龍江·期中）已知圓，點，若直線，分別切圓于，兩點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·陜西漢中·期中）若圓與圓交于兩點，則直線的方程為 .
3．（24-25高二上·陜西咸陽·期中）已知圓：和圓：.
(1)求證：圓和圓相交；
(2)求圓與圓的公共弦所在直線的方程以及公共弦的長.
4．（24-25高二上·廣東深圳·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C過和，且圓心在直線上；
(1)求圓C的標(biāo)準方程；
(2)在（1）的條件下，過點分別作圓C的兩條切線，（Q，R為切點），求直線的方程，并求弦長.
題型十三 兩圓的公切線問題
1．（24-25高二上·四川·期中）圓與圓的公切線條數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·山東臨沂·期中）若圓與圓有3條公切線，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（24-25高二上·湖南·月考）圓：與圓：的內(nèi)公切線長為（ ）
A．3 B．5 C． D．4
4．（24-25高二上·河北張家口·期中）已知圓與圓，則圓和圓的一條公切線的方程為 .
題型十四 與圓有關(guān)的最值問題
1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知是圓上的兩個動點，且，點是線段的中點，則的最大值為（ ）
A．12 B． C．6 D．
2．（24-25高二上·山東青島·期中）已知是直線上一點，M，N分別是圓和上的動點，則的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（24-25高二上·重慶·期中）點P為圓A：上的一動點，Q為圓B：上一動點，O為坐標(biāo)原點，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多選）已知直線，圓，點為圓上一動點，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為5 B．的最大值為
C．的最大值為 D．圓心到直線的距離最大為4
題型十五 圓錐曲線的定義及應(yīng)用
1．（24-25高二上·上?！て谥校┮阎獧E圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，則的周長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（24-25高二上·山東·期中）已知分別是雙曲線的左、右焦點，為上一點，，且的面積等于4，則（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，且橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·江西撫州·期中）若拋物線上的一點A到焦點的距離為2，則點A的縱坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·湖南·期中）已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
題型十六 根據(jù)圓錐曲線方程求參數(shù)
1．（24-25高二上·遼寧鐵嶺·期中）若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（24-25高二上·山東·期中）（多選）已知曲線，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則是橢圓 B．若，則是焦點在軸上的橢圓
C．若，則是雙曲線 D．若，則是兩條平行于軸的直線
4．（24-25高二上·江蘇揚州·期中）（多選）已知曲線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則曲線C為橢圓
B．若，則曲線C為雙曲線
C．若曲線C為橢圓，則其長軸長一定大于2
D．若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則其離心率小于大于1
題型十七 圓錐曲線的離心率問題
1．（24-25高二上·河南鄭州·期中）已知點分別為橢圓的左 右焦點，，若經(jīng)過的弦AB滿足，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，若且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點.連接交雙曲線C左支于點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B．2 C． D．5
4．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型十八 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．（24-25高二上·河南鄭州·期中）直線與橢圓的公共點個數(shù)為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
2．（24-25高二上·天津·期中）若曲線與曲線恰有兩個不同的交點，則實數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，過點作直線，使與有且只有一個公共點，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
4．（22-23高二下·上海浦東新·開學(xué)考試）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
題型十九 圓錐曲線的弦長及面積問題
1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知橢圓，過原點且傾斜角為的直線交橢圓于兩點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·吉林長春·期中）直線與橢圓交于、兩點，短軸的上頂點為點，則的面積為 .
3．（23-24高二上·福建三明·月考）如圖，設(shè)拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于兩點，交于點，且是的中點，則（ ）
A．2 B． C．5 D．
4．（24-25高二上·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，點滿足，記的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與交于，兩點，且的面積為，求直線的方程.
題型二十 圓錐曲線的中點弦問題
1．（24-25高二上·山東德州·期中）已知橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱.若橢圓離心率為，則的中點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直線與拋物線相交于兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，則直線的斜率為（ ）
A． B．2 C． D．6
3．（24-25高三上·湖南衡陽·開學(xué)考試）橢圓，若橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·江蘇·期中）設(shè)為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（ ）
A． B． C． D．
題型二十一 圓錐曲線的“三定”問題
1．（24-25高二上·遼寧撫順·期中）在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)點在圓上運動時，記線段的中點的軌跡為.
(1)求的方程.
(2)已知點在上，且位于第一象限，點，，設(shè)直線，的斜率分別為，，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
2．（23-24高二上·四川眉山·期末）設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；
(2)設(shè)不過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，若點在以線段為直徑的圓上，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
3．（23-24高二下·河南·月考）已知拋物線的焦點為，直線與交于兩點.
(1)若線段的中點為，求；
(2)若分別在第一象限和第四象限，且恒有（為坐標(biāo)原點），證明：直線過定點.
4．（23-24高二上·湖北·期中）已知點在雙曲線上．
(1)已知點為雙曲線右支上除右頂點外的任意點，證明：點到的兩條漸近線的距離之積為定值；
(2)已知點，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上取異于點、的點，滿足，證明：點恒在一條定直線上．
題型二十二 圓錐曲線的最值范圍問題
1．（23-24高二下·江蘇南京·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，已知橢圓長軸長是短軸長的3倍，且橢圓過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知平行四邊形的四個頂點均在上，求平行四邊形的面積的最大值．
2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，的一條漸近線方程為，且.
(1)求的方程；
(2)，為雙曲線右支上兩個不同的點，線段的中垂線過點，求直線的斜率的取值范圍.
3．（23-24高二上·江蘇常州·期末）如圖，已知拋物線的方程為，焦點為，過拋物線內(nèi)一點作拋物線準線的垂線，垂足為，與拋物線交于點，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率為的直線過點，且與曲線交于不同的兩點，，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.
4．（24-25高二上·黑龍江·期中）如圖，已知雙曲線的實軸長為2，離心率為2，圓O的方程為，過圓O上任意一點P作圓O的切線交雙曲線于A，B兩點.
(1)求雙曲線E的方程；
(2)求證：；
(3)若與坐標(biāo)軸不垂直的直線l和雙曲線E的漸近線相交于C，D兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第二章：平面解析幾何章末重點題型復(fù)習(xí)
題型一 直線的傾斜角與斜率
1．（24-25高二上·重慶·月考）經(jīng)過兩點，的直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為直線經(jīng)過兩點，，所以直線的斜率為，.
2．（24-25高二上·北京·期中）直線繞其與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，
將直線繞其與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，
則直線的傾斜角為，
因此，直線的斜率為，.
3．（24-25高二上·廣東廣州·期中）設(shè)直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】時，傾斜角的范圍是，當(dāng)時，傾斜角的范圍是，
綜上，傾斜角范圍是．．
4．（24-25高二上·廣西柳州·開學(xué)考試）（多選）如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由圖像可知，則，D.
題型二 直線的方向向量與法向量
1．（24-25高二上·廣東深圳·期中）直線的一個方向向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，所以直線的斜率為，
又當(dāng)直線斜率存在時，直線的一個方向向量為，
所以直線的一個方向向量為，.
2．（24-25高二上·四川南充·期中）設(shè)直線的方程為，則下列向量可以作為方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，直線l的斜率為，所以直線的方向向量可以取為.
3．（23-24高二上·上海奉賢·期末）直線的法向量可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，所以直線的斜率,
所以直線的方向向量為，
當(dāng)時，有，所以，不是直線的法向量，故A不正確；
當(dāng)時，有，所以，不是直線的法向量，故B不正確；
當(dāng)時，有，所以，不是直線的法向量，故C不正確；
當(dāng)時，有，
所以，是直線的法向量，故D正確..
4．（23-24高二上·遼寧·期末）直線,若直線的一個法向量為,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直線的一個法向量為,直線的斜率
直線,解得故選:B.
題型三 直線與線段有公共點問題
1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知點，若過點的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】記為點，則直線的斜率，直線的斜率，
因為直線過點，且與線段相交，
結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是..
2．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知點，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．[1,4]
【答案】A
【解析】記為點，則直線PA的斜率，直線PB的斜率，
因為直線過點，且與線段AB相交，結(jié)合圖象，
可得直線的斜率的取值范圍是[1,4].．
3．（24-25高二上·陜西西安·期中）已知點，，若過點的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
存在與線段相交的直線與軸垂直，
所以直線的斜率的范圍是..
4．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，經(jīng)過作直線，若直線與線段恒有公共點，則直線傾斜角的范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，
因為直線的斜率為，直線的斜率為，
因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，
所以，即，
因為，所以或，
故直線的傾斜角的取值范圍是．．
題型四 直線的五種方程形式
1．（24-25高二上·山東臨沂·期中）（多選）若直線過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線方程可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【解析】當(dāng)直線經(jīng)過原點時，可得直線方程為：，即．
當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)的直線方程為：，
把點代入可得：，可得．
綜上可得：直線的方程為：或．C．
2．（24-25高二上·廣西·期中）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．若，且直線不經(jīng)過第二象限，則，
B．方程（）表示的直線都經(jīng)過點
C．，直線不可能與軸垂直
D．直線的橫、縱截距相等
【答案】CD
【解析】對于A，因為，所以可化為，
若直線不經(jīng)過第二象限，則即，，故A錯誤；
對于B，直線方程可整理為，
由得
所以直線恒過定點，故B正確；
對于C，當(dāng)時，直線方程為，此時與軸垂直，故錯誤；
對于D，直線的橫、縱截距均為，故正確．D．
3．（24-25高二上·廣東佛山·期中）在中，已知，
(1)求邊的高線的方程;
(2)求邊的中線的方程;
(3)求的平分線的方程.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）依題意，直線即軸，故邊上的高線必垂直于軸，且經(jīng)過點，
故邊的高線的方程為；
（2）邊的中點為,因邊的中線經(jīng)過點
故中線方程為：，即；
（3）
如圖，設(shè)的平分線的斜率為，而邊和的斜率分別為,
則由，解得或.
當(dāng)時，由圖知，顯然不符合題意；
當(dāng)時，因，則的平分線的方程為，即.
4．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知定點.
(1)求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；
(2)若直線過點且交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，記的面積為（為坐標(biāo)原點），求的最小值，并求此時直線的方程.
【答案】(1)或；(2)，
【解析】（1）當(dāng)截距為時，設(shè)直線方程為，
因為直線過點，則，解得，
所以直線方程為；
當(dāng)截距相等且不為時，設(shè)直線方程為，
因為直線過點，則代入直線方程得，，
則直線方程為.
所以直線方程為或.
（2）由題意可知，直線的截距不為，且斜率存在且，
設(shè)直線方程為，
令，；令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立.
所以的最小值為，此時的直線方程為.
題型五 兩條直線平行與垂直
1．（24-25高二上·重慶·月考）已知兩條直線：，則（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，則，解之可得或（舍）.
2．（24-25高二上·江西撫州·期中）已知直線，，若，則m的值為（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，即，解得..
3．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直線經(jīng)過點，且平行于直線，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為直線，即，
設(shè)與平行的直線為，
將代入可得，解得，
所以直線方程為.
4．（24-25高二上·北京·期中）已知直線的方程為，則過點且與垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直線的方程為，則，
根據(jù)兩直線垂直知所求直線的斜率為，
又直線過點，所以與直線垂直的線方程為，即..
題型六 三種距離公式及應(yīng)用
1．（24-25高二上·山東菏澤·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點和點之間的距離為（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】A
【解析】點和點之間的距離為..
2．（24-25高二上·四川·期中）直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為直線和平行，
由兩條平行直線間的距離公式可得．．
3．（24-25高二上·山東臨沂·期中）若，兩點到直線的距離相等，則（ ）
A． B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】由題意知，，
得，解得或，
即實數(shù)的值為或.
4．（24-25高二上·山西·期中）已知點，直線l：，則A到l的距離的最大值為（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解析】將直線l的方程變形為，
由，得，所以直線l過定點，
當(dāng)時，點P到l的距離最大，故最大距離為..
題型七 圓的標(biāo)準方程與一般方程
1．（24-25高二上·江蘇淮安·期中）圓的圓心坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓可化為，
所以圓心坐標(biāo)為..
2．（24-25高二上·北京·期中）已知方程表示一個圓，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程表示一個圓，則，解得或，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
3．（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知，，，則的外接圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)的外接圓方程為，
因為，，，
所以，解得，
所以的外接圓方程為..
4．（24-25高二上·福建·期中）若點在圓的外部，則正實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意可得，解得，
故正實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.
題型八 直線與圓的位置關(guān)系
1．（23-24高二上·廣西南寧·月考）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心
C．相切 D．相離
【答案】D
【解析】圓，即，
其圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離，
直線與圓的位置關(guān)系為相切.
2．（24-25高二上·江蘇南京·期中）設(shè)k為實數(shù)，直線與圓交點個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．無法確定
【答案】D
【解析】由，即直線恒過，而圓可化為，
所以，即點在圓內(nèi)，則直線與圓恒有2個交點.
3．（24-25高二上·廣西·期中）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．] B． C． D．
【答案】A
【解析】曲線即為半圓：，
其圖象如圖所示，
曲線與軸的交點為，而直線為過的動直線，
當(dāng)直線與半圓相切時，有，解得，
當(dāng)直線過時，有，
因為直線與半圓有兩個不同的交點，故，.
4．（24-25高二上·山東煙臺·期中）過點的直線與曲線有且僅有兩個不同的交點，則的斜率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)過且有斜率的直線位，
曲線表示以圓心為原點，半徑為2的下半圓，
由直線與圓相切可得，解得或，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，，
由圖象可得，或．．
題型九 圓的切線方程與切線長
1．（24-25高二上·浙江嘉興·期中）經(jīng)過點作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知切線斜率存在，設(shè)該切線方程為，即，
則有，化簡得，故，
故該切線方程為，即..
2．（24-25高二上·四川·期中）過點作圓的切線，則切線的斜率為（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【解析】因為圓的圓心為，半徑為，
易知過點的切線斜率存在，設(shè)的方程為，
即，則，解得或．．
3．（24-25高二上·山東臨沂·期中）若圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】對于圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.
根據(jù)點到直線的距離公式，
則.
根據(jù)切線長、圓半徑和圓心到點距離構(gòu)成直角三角形，
設(shè)切線長為，圓心到點的距離為，圓半徑.
由勾股定理，當(dāng)取最小值時，最小，
此時..
4．（23-24高三上·廣東深圳·期末）是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圓的圓心，半徑，
點到直線的距離，顯然，
由于切圓于點，則，
四邊形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直于直線時取等號，
所以四邊形面積的最小值為.
題型十 直線與圓相交弦長問題
1．（24-25高二上·北京·期中）圓被直線截得的弦長為 ．
【答案】8
【解析】圓的圓心，半徑，
點到直線的距離，
所以所求弦長為.
故答案為：8
2．（24-25高二上·重慶·月考）直線被圓截得的弦長為，則 .
【答案】0或10
【解析】由題意圓心到直線的距離為，圓半徑為，
弦長為，則，解得或，
故答案為：0或10.
3．（24-25高二上·河南南陽·期中）已知直線經(jīng)過點，且與圓C：相交于A，B兩點，若，則直線的方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】圓C：的圓心，半徑，
圓心到直線的距離為3，此直線與圓相切，因此直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，即，
由，得圓心到直線的距離，
于是，解得或，
所以直線的方程為或.
4．（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）直線與圓相交于兩點，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，
由題意可得：，解得，
即，整理可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是..
題型十一 圓與圓的位置關(guān)系判斷
1．（24-25高二上·重慶·月考）圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離
【答案】D
【解析】由題意圓標(biāo)準方程為，
所以，半徑分別為，，
，因此兩圓外切，．
2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切
【答案】A
【解析】由題意知，，
所以，則，所以兩圓內(nèi)切.
3．（24-25高二上·湖北·期中）若圓上總存在兩個點到原點的距離均為2，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到原點的距離為2的點的軌跡為圓，
因此問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個交點，
易知，，，，，
所以，即，
解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為..
4．（24-25高二上·北京順義·期中）已知點，，圓：，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，
可知點的軌跡是以為直徑的圓（除外），即圓心為，半徑的圓，
且圓：的圓心為，半徑，
由題意可知：圓與圓有公共點，
則，即，且，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是，.
題型十二 兩圓的公共弦方程及弦長
1．（24-25高二上·黑龍江·期中）已知圓，點，若直線，分別切圓于，兩點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為直線，分別切圓于，兩點，
所以，
所以點在以為直徑的圓上．
因為，
所以以為直徑的圓的圓心為，
半徑為，
故以為直徑的圓的方程，即，
又圓，即，
兩圓方程相減得，
所以直線的方程為：．．
2．（24-25高二上·陜西漢中·期中）若圓與圓交于兩點，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】聯(lián)立方程，消去二次項整理得，
所以直線的方程為.
故答案：
3．（24-25高二上·陜西咸陽·期中）已知圓：和圓：.
(1)求證：圓和圓相交；
(2)求圓與圓的公共弦所在直線的方程以及公共弦的長.
【答案】(1)證明見解析；(2)，.
【解析】（1）根據(jù)題意，圓：的圓心為，半徑，
圓：，得，圓心為，半徑，
圓心距，
，
圓和圓相交.
（2）將兩圓方程相減，有，即兩圓公共弦所在直線的方程為，
圓心到的距離，故公共弦的弦長為.
4．（24-25高二上·廣東深圳·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C過和，且圓心在直線上；
(1)求圓C的標(biāo)準方程；
(2)在（1）的條件下，過點分別作圓C的兩條切線，（Q，R為切點），求直線的方程，并求弦長.
【答案】(1)；(2)，.
【解析】（1）因為圓心在直線，設(shè)圓心，
則，解得，
故圓心為，半徑為，則圓的標(biāo)準方程為；
（2）由題意，，，則四點共圓且為直徑，
因為，所以的中點為，，
以線段為直徑的圓為，整理得，
因為也在圓上，所以由兩圓的方程作差，得，即，
故直線的方程為.
因為到直線的距離，
所以
題型十三 兩圓的公切線問題
1．（24-25高二上·四川·期中）圓與圓的公切線條數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圓，則圓心，半徑，
圓，則圓心，半徑，
則，由于，即，
故圓與圓相交，其公切線條數(shù)為．故選 ：C．
2．（24-25高二上·山東臨沂·期中）若圓與圓有3條公切線，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.
圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.
因為兩圓有3條公切線，所以兩圓外切，此時圓心距.
根據(jù)兩點間距離公式，圓心與的距離.
又因為，即.
移項可得.
兩邊平方可得，解得..
3．（24-25高二上·湖南·月考）圓：與圓：的內(nèi)公切線長為（ ）
A．3 B．5 C． D．4
【答案】A
【解析】如圖：
由圖可知圓與圓的內(nèi)公切線有一條為軸，
則公切線的長為，
方法二：，
所以內(nèi)公切線的長為：
4．（24-25高二上·河北張家口·期中）已知圓與圓，則圓和圓的一條公切線的方程為 .
【答案】；；（三個任意一個都算正確）
【解析】由題可知：
所以
兩個圓的半徑和為
所以兩個圓外切，所以有三條公切線,
設(shè)公切線為
由圓心到切線的距離等于半徑得
解得 或或
所以切線方程為，或
故答案為：；；
題型十四 與圓有關(guān)的最值問題
1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知是圓上的兩個動點，且，點是線段的中點，則的最大值為（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】根據(jù)已知有，圓心，半徑，因為弦，
所以圓心到所在直線的距離，
又因為為的中點，所以有，
所以的軌跡為圓心為，半徑為的圓，
的軌跡方程為；
令直線為，則到直線的距離為，
則，即，所以當(dāng)最大時，
也取得最大值，
由此可將問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值的倍，
設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以，
所以的最大值為6.
2．（24-25高二上·山東青島·期中）已知是直線上一點，M，N分別是圓和上的動點，則的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】圓，則圓心，
圓，則圓心，
兩圓心在直線的同側(cè).又圓心到直線的距離，
圓心到直線l的距離，
則兩圓在直線l的同側(cè)且與直線相離，如圖所示，
設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號不成立；
即的最小值為．.
3．（24-25高二上·重慶·期中）點P為圓A：上的一動點，Q為圓B：上一動點，O為坐標(biāo)原點，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】P為圓A：上一動點，Q為圓B：上一動點，O為坐標(biāo)原點，
取，則，∴，
∴，
∴.
4．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多選）已知直線，圓，點為圓上一動點，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為5 B．的最大值為
C．的最大值為 D．圓心到直線的距離最大為4
【答案】CC
【解析】對于A，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.
，是圓上的點，
所以的最大值為，A錯誤.
對于B，如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，
此時，且，B正確.
對于C，設(shè)，
則，
等號不成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以C正確.
對于D，圓心到直線的距離，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以D錯誤.C
題型十五 圓錐曲線的定義及應(yīng)用
1．（24-25高二上·上?！て谥校┮阎獧E圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，則的周長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】由題意得，故，，
由橢圓定義得，
故的周長為.
2．（24-25高二上·山東·期中）已知分別是雙曲線的左、右焦點，為上一點，，且的面積等于4，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由題得，所以，
因為，所以，
則，所以即，
又，所以即..
3．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，且橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖：在雙曲線中，且焦點在軸上，
橢圓和雙曲線的相同焦點為，，它們在第一象限的交點為，
故橢圓中，故，
，，
，，
，
由余弦定理可得．
4．（24-25高二上·江西撫州·期中）若拋物線上的一點A到焦點的距離為2，則點A的縱坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將標(biāo)準化為，所以拋物線的準線方程為，
由拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離等于點到準線的距離.
如圖所示，
所以，解得..
5．（24-25高二上·湖南·期中）已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【解析】
由題意得，準線為，點A在拋物線C的內(nèi)部，
過點A作AB垂直于準線，垂足為B，過點P作PD垂直于準線，垂足為D，
則有，
當(dāng)且僅當(dāng)，P為AB與拋物線的交點時，等號不成立，
所以的最小值為.
題型十六 根據(jù)圓錐曲線方程求參數(shù)
1．（24-25高二上·遼寧鐵嶺·期中）若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，解得.
2．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】方程表示雙曲線，
則，解得或，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件..
3．（24-25高二上·山東·期中）（多選）已知曲線，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則是橢圓 B．若，則是焦點在軸上的橢圓
C．若，則是雙曲線 D．若，則是兩條平行于軸的直線
【答案】CCD
【解析】對于A，若，則曲線表示圓，故A錯誤；
對于B，若，則可化為，此時曲線表示焦點在軸上的橢圓，故B正確；
對于C，若，則曲線表示雙曲線，故C正確；
對于D，若，則可化為，
此時曲線表示兩條平行于軸的直線，故D正確．CD
4．（24-25高二上·江蘇揚州·期中）（多選）已知曲線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則曲線C為橢圓
B．若，則曲線C為雙曲線
C．若曲線C為橢圓，則其長軸長一定大于2
D．若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則其離心率小于大于1
【答案】CCD
【解析】對于A選項，若為橢圓，則，A不正確；
對于B選項，若為雙曲線，等價于，即或，B正確；
對于C選項，當(dāng)時，橢圓長軸長，
當(dāng)時，橢圓長軸長，C正確；
對于D選項，若為焦點在軸上的雙曲線，則，解得，
雙曲線的離心率為，
且雙曲線的離心率，故D正確.CD.
題型十七 圓錐曲線的離心率問題
1．（24-25高二上·河南鄭州·期中）已知點分別為橢圓的左 右焦點，，若經(jīng)過的弦AB滿足，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題可知，
所以，解得，
因為，即，
整理得，所以..
2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，若且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
又因為，所以，
又因為，所以，所以，
又，所以，，
，所以，
所以橢圓的離心率為..
3．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點.連接交雙曲線C左支于點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】A
【解析】由題意得，設(shè)，
因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，故，
由雙曲線定義知，，故，
，
其中，
解得，則，，
因為，所以，
在中，由余弦定理得
，解得，
故雙曲線C的離心率為.
4．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知：，，且，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以雙曲線的離心率為..
題型十八 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．（24-25高二上·河南鄭州·期中）直線與橢圓的公共點個數(shù)為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個
【答案】D
【解析】直線和均過，
結(jié)合圖象可知直線與橢圓的公共點個數(shù)為2個..
2．（24-25高二上·天津·期中）若曲線與曲線恰有兩個不同的交點，則實數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如圖示：表示起點為的兩條斜率分別為1和-1的射線.
當(dāng)曲線為橢圓時，則，只需點落在橢圓內(nèi)，即，解得：；
當(dāng)曲線為雙曲線時，即，漸近線方程：
要使曲線與曲線恰有兩個不同的交點，只需，解得：.
所以實數(shù)的取值范圍是
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，過點作直線，使與有且只有一個公共點，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】A
【解析】易知雙曲線的焦點，頂點，漸近線為，
由可得該點在雙曲線右頂點上方，
易得過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線中，
有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線（圖1），
有兩條雙曲線右支的切線（圖2），共4條..
4．（22-23高二下·上海浦東新·開學(xué)考試）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【答案】D
【解析】點在拋物線上，易知當(dāng)直線斜率不存在時不滿足；
當(dāng)直線斜率時，易知滿足條件；
當(dāng)直線斜率存在且時，設(shè)直線方程為，即，
，整理得到，，
，解得，直線方程為.
綜上所述：滿足條件的直線有2條.
題型十九 圓錐曲線的弦長及面積問題
1．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知橢圓，過原點且傾斜角為的直線交橢圓于兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，可得直線的方程為：，代入中，整理解得：，
當(dāng)，；當(dāng)時，，故有,
則..
2．（24-25高二上·吉林長春·期中）直線與橢圓交于、兩點，短軸的上頂點為點，則的面積為 .
【答案】
【解析】設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，
由韋達定理可得，，
所以，
橢圓的上頂點為，點到直線的距離為，
所以，.
故答案為：.
3．（23-24高二上·福建三明·月考）如圖，設(shè)拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于兩點，交于點，且是的中點，則（ ）

A．2 B． C．5 D．
【答案】A
【解析】如圖，過點作垂直于準線，由拋物線定義得.
因為是的中點，所以，
所以，焦點，
則直線的方程為，聯(lián)立
消去得.設(shè)，
所以，得，.
4．（24-25高二上·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，點滿足，記的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與交于，兩點，且的面積為，求直線的方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因為，由雙曲線定義可知的軌跡為雙曲線的右支，
設(shè)實軸長為，焦距為，虛軸長為，
，，
所以的軌跡方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，，，
由化簡得，
則，，
，，
，
，，或.
，，
，，
所以的方程為．
題型二十 圓錐曲線的中點弦問題
1．（24-25高二上·山東德州·期中）已知橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱.若橢圓離心率為，則的中點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)點、，線段的中點為，則，
由題意，橢圓的離心率為，可得，
因為、關(guān)于直線對稱，且直線的斜率為，
則，
將點、的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，
上述兩個等式作差可得，
可得，即，即，
即，①
又因為點在直線上，則，②
聯(lián)立①②可得，故線段的中點為..
2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直線與拋物線相交于兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，則直線的斜率為（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【解析】設(shè)，則，兩式相減得.
因為線段的中點坐標(biāo)為，所以，
所以..
3．（24-25高三上·湖南衡陽·開學(xué)考試）橢圓，若橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】橢圓，即：，
設(shè)橢圓上兩點關(guān)于直線對稱，中點為，
則，，
所以，
所以，所以，
代入直線方程得，即，
因為在橢圓內(nèi)部，所以，解得 ，
即的取值范圍是．．
4．（24-25高二上·江蘇·期中）設(shè)為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】雙曲線對應(yīng)，，
設(shè)，則，
兩式相減并化簡得，
由于，所以，
而B選項中，點，對應(yīng)，所以B選項錯誤.
C選項中，點，對應(yīng)，所以C選項錯誤.
A選項，點，對應(yīng)，所以，
則直線的方程為，
由消去并化簡得，，
所以方程組無解，所以A選項錯誤.
D選項，點，對應(yīng)，所以，
則直線的方程為，
由消去并化簡得，
，所以D選項正確.
題型二十一 圓錐曲線的“三定”問題
1．（24-25高二上·遼寧撫順·期中）在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)點在圓上運動時，記線段的中點的軌跡為.
(1)求的方程.
(2)已知點在上，且位于第一象限，點，，設(shè)直線，的斜率分別為，，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】(1)；(2)是定值，
【解析】（1）
設(shè)，由過點作軸的垂線段，為垂足可得，
設(shè)線段的中點，
由中點坐標(biāo)公式可得，，
又點在圓上，所以，即，
所以的方程為.
（2）
是定值，
設(shè)，
則，
所以，
因為點在橢圓上，所以，即，
所以，
2．（23-24高二上·四川眉山·期末）設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；
(2)設(shè)不過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，若點在以線段為直徑的圓上，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)證明見解析；.
【解析】（1）由題意知，，且，
結(jié)合，解得，
所以橢圓的標(biāo)準方程為．
（2）直線的斜率存在且不為零，設(shè)為，，，，，
聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化簡得，
，
所以．
，
因為以為直徑的圓過，所以．
即，
整理得，
所以，
即：，
整理可得：，解得或，
當(dāng)時，直線過，舍去，
所以直線的方程為，過定點．
3．（23-24高二下·河南·月考）已知拋物線的焦點為，直線與交于兩點.
(1)若線段的中點為，求；
(2)若分別在第一象限和第四象限，且恒有（為坐標(biāo)原點），證明：直線過定點.
【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）由題意知，解得，
所以的方程為．
由題易知直線的斜率存在．設(shè)，則可得．
因為線段的中點為，所以，
所以，則的方程為，顯然過點，
所以．
（2）由題可知的傾斜角不為0，設(shè)直線，
由消去，得
則，
解得或．
當(dāng)時，在軸的同一側(cè)，不符合條件．
當(dāng)時，直線經(jīng)過定點．
4．（23-24高二上·湖北·期中）已知點在雙曲線上．
(1)已知點為雙曲線右支上除右頂點外的任意點，證明：點到的兩條漸近線的距離之積為定值；
(2)已知點，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上取異于點、的點，滿足，證明：點恒在一條定直線上．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）將代入雙曲線中，，解得，故雙曲線方程為，
設(shè)點的坐標(biāo)為，則，即．
雙曲線的兩條漸近線，的方程分別為，，
則點到兩條漸近線的距離分別為，，
則．
所以點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為定值．
（2）若直線斜率不存在，此時直線與雙曲線右支無交點，不合題意，不滿足條件，
故直線斜率存在，設(shè)直線方程，與聯(lián)立得
，則，
因為恒不成立，所以，故，
解得:，設(shè)，，
則，，
設(shè)點的坐標(biāo)為，則由得，，
變形得到，
將，代入，解得，
將代入中，解得，
則，
故點恒在一條定直線上．
題型二十二 圓錐曲線的最值范圍問題
1．（23-24高二下·江蘇南京·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，已知橢圓長軸長是短軸長的3倍，且橢圓過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知平行四邊形的四個頂點均在上，求平行四邊形的面積的最大值．
【答案】(1)；(2)6
【解析】（1）因為橢圓過點，
所以，解得，
因為橢圓長軸長是短軸長的3倍，所以，
則橢圓的方程為；
（2）當(dāng)直線斜率存在，
不妨設(shè)的方程為，，，
因為，不妨設(shè)方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，
由韋達定理得，，
，
同理得，
因為，所以，
因為，所以，
此時平行四邊形的面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，平行四邊形取得最大值，最大值為6；
當(dāng)直線的斜率不存在時，
此時平行四邊形為矩形，
不妨設(shè)，易知，因為點在橢圓上，所以，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立．
綜上，平行四邊形的面積的最大值為6．
2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，的一條漸近線方程為，且.
(1)求的方程；
(2)，為雙曲線右支上兩個不同的點，線段的中垂線過點，求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由題得，解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）由題意可知直線AB斜率存在且，
設(shè)，設(shè)的中點為，
由，消去并整理得，，
則，即，
，，
，
于是點為，，
由中垂線性質(zhì)知，所以，解得：，
由，在雙曲線的右支上可得：
，，
則，，則，
又，即，整理得，
解得或，故，即.
綜上可得，．
3．（23-24高二上·江蘇常州·期末）如圖，已知拋物線的方程為，焦點為，過拋物線內(nèi)一點作拋物線準線的垂線，垂足為，與拋物線交于點，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率為的直線過點，且與曲線交于不同的兩點，，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)2；(2)
【解析】（1）因為，，則在中，，
由拋物線的定義得，，
故，則，即，
設(shè)，則，解得，
過點作⊥于點，
因為，所以，
因為，所以，
故，，
所以，解得；
（2）由（1）可知拋物線方程為：，設(shè)，，
設(shè)，聯(lián)立，整理得：，
因為，所以，
由韋達定理得，，
因為，則，故，
故，
將代入（*）式得，
因為存在，使得，
所以有對有解，
而，所以，
解得，或，
因為，所以.
4．（24-25高二上·黑龍江·期中）如圖，已知雙曲線的實軸長為2，離心率為2，圓O的方程為，過圓O上任意一點P作圓O的切線交雙曲線于A，B兩點.
(1)求雙曲線E的方程；
(2)求證：；
(3)若與坐標(biāo)軸不垂直的直線l和雙曲線E的漸近線相交于C，D兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).
【解析】（1）由題意知，，所以，，
又因為，得，故雙曲線E的方程為.
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨取，
此時A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，
,
則，所以，即，
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)
因為直線與圓O相切，所以，即
將代入，得，
，，
故
，
又因為，所以，所以，即，
綜合上述，可知.
（3）設(shè),因為的漸近線方程可寫為，
將代入，得，
所以,,
所以，
由（2）可得
又因為，即，所以
所以，
因為直線l與坐標(biāo)軸不垂直，所以，
因此，所以.
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