資源簡介

2.1坐標法
課程標準 學習目標
1.理解實數與數軸上的點的!一一對應關系、 2.探索并掌握平面直角坐標系中兩點間的距離公式和中點坐標公式、 3.通過對兩點間距離和中點坐標公式的探索,進一步體會坐標法在解決幾何問題中的優越性 重點:兩點間的距離公式和中點坐標公式 難點:坐標法在解決幾何問題中的運用
知識點01數軸上的基本公式
如果數軸上點A（x1），B（x2），線段AB的中點為M（x），則
(1)向量的坐標為x2-x1;
(2)|AB|=||=|x2-x1|;
(3)x=.
【即學即練1】（20-21高一·全國·課后作業）在數軸上，已知，，則 ；的中點的坐標為 .
【答案】 4 1
【分析】利用數軸上的距離公式和中點公式，即得解
【詳解】由題意，，的中點的坐標為
故答案為：4，1
【即學即練2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐標系中，點M在第四象限，到x軸 y軸的距離分別為6 4，則點M的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知點M在第四象限內，那么橫坐標大于0，縱坐標小于0，進而根據到坐標軸的距離判斷坐標.
【詳解】因為點M在第四象限，
所以其橫、縱坐標分別為正數、負數，
又因為點M到x軸的距離為6，到y軸的距離為4，
所以點M的坐標為(4，-6) .
知識點02平面直角坐標系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐標系中的兩點，M（x，y）是線段AB的中點，則
(1)=(x2-x1,y2-y1);
(2)=
(3)x=，y=
【即學即練3】（22-23高一下·北京·期中）已知點，，則線段中點的坐標為 .
【答案】
【分析】利用中點坐標公式直接求解作答.
【詳解】點，，所以線段中點的坐標為.
故答案為：
【即學即練4】（20-21高二上·上海·課后作業）已知的頂點和重心，則上的中點坐標是 ．
【答案】
【分析】根據中點坐標公式以及重心坐標公式求得結果.
【詳解】設，則由重心坐標公式得
再由中點坐標公式得上的中點坐標是
故答案為：
【點睛】本題考查中點坐標公式以及重心坐標公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
難點：含參問題
示例1：（23-24高二上·全國·單元測試）已知不同的兩點關于點對稱，則ab .
【答案】
【分析】由點對稱，應用中點公式列方程組求出參數，即可得結果.
【詳解】由題意知，即，解得，故.
故答案為：
【題型1：兩點間的距離公式】
例1．（21-22高二·全國·課后作業）已知數軸上，求這兩點之間的距離以及它們的中點坐標．
【答案】12;(4)
【分析】根據數軸上表示的點的幾何意義直接求得答案.
【詳解】數軸上兩點之間的距離為 ,
它們的中點坐標為 ，故中點坐標為（4）.
變式1．（21-22高二·全國·課后作業）已知數軸上的點P到的距離是它到的距離的2倍，求點P的坐標．
【答案】或
【分析】設點，可得，求解即可
【詳解】由題意，設點
故
即
解得：或
故點P的坐標為或
變式2．（20-21高一·全國·課后作業）已知數軸上，，且，求x的值.
【答案】2
【分析】根據數軸上兩點數量的坐標表示，即可求解.
【詳解】因為數軸上,且,
所以，
解得：.
變式3．（18-19高一·全國·課后作業）已知數軸上四點A，B，C，D的坐標分別是-4，-2，c，d．
（1）若，求c的值；
（2）若，求d的值；
（3）若，求證：．
【答案】（1）；（2）或；（3）見解析
【分析】（1）由，根據向量的坐標運算，得到，即可求解；
（2）由，得到，即可求解；
（3）由，，，得到，分別求得和的坐標，即可求解.
【詳解】由題意，數軸上四點A，B，C，D的坐標分別是-4，-2，c，d，
（1）因為，所以，解得．
（2）因為，所以，即或，解得或．
（3）因為，，，
所以，即，
所以，
所以，
所以．
【點睛】本題主要考查了數軸上向量的坐標表示與運算，以及向量模的計算，其中解答中熟記數軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.
變式4．（18-19高一·全國·課后作業）已知數軸上兩點A，B的坐標分別為，，根據下列條件，分別求點A的坐標．
（1），的坐標為-3；
（2），．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）由向量的坐標為，即可求解；
（2）由，即可求解.
【詳解】由題意，數軸上兩點A，B的坐標分別為，，
（1）由向量的坐標為，所以．
（2）由，解得或．
【點睛】本題主要考查了數軸上向量的坐標表示與運算，以及向量模的計算，其中解答中熟記數軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.
變式5．（18-19高一·全國·課后作業）已知數軸上兩點A，B的坐標分別是-4，-1，則（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
【答案】C
【分析】根據數軸上向量的坐標表示，求得向量的坐標，即可求解.
【詳解】由題意，．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了數軸上向量的坐標表示與運算，其中解答中熟記數軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.
變式6．（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B，C三點在數軸上，且點B的坐標為3，，，則點C的坐標為 ．
【答案】-4或或6或10
【分析】設A，C的坐標分別為，，根據數軸上向量的坐標運算，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，設A，C的坐標分別為，，
則或，∴或，
∴，或，
或，或，
解得或或或．
故答案為：-4或或6或10
【點睛】本題主要考查了數軸上向量的坐標表示與運算，其中解答中熟記數軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.
【方法技巧與總結】
對兩點間距離公式的幾點說明
（1）公式中，點A，B的位置沒有先后之分，即距離公式還可以寫為|AB|=
（2）坐標平面內的兩點間的距離公式是數軸上兩點間的距離公式的推廣.
（3）若B點為原點，則AB=|OA|=
（4）若A，B兩點在x軸上，或在與x軸平行的直線上，此時AB|=|x2-x1|
(5)若A，B兩點在y軸上，或在與y軸平行的直線上，此時AB|=|y2-y1|
【題型2：中點坐標公式的應用】
例2.（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B都是數軸上的點，，，則的坐標為
A．17 B．1 C．-1 D．-17
【答案】C
【分析】先求得的坐標為，向量的坐標為，進而可求解的坐標，得到答案.
【詳解】由題意，可得的坐標為，向量的坐標為，
所以向量的坐標為．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了數軸上向量的坐標表示與運算，其中解答中熟記數軸上向量的坐標表示與運算法則是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.
變式1．（23-24高二上·安徽安慶·階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，以，，為頂點構造平行四邊形，下列各點中不能作為平行四邊形頂點坐標的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平行四邊形的對稱性，利用中點坐標公式進行求解即可.
【詳解】設第四個頂點為，
當是對角線時，則有，
當是對角線時，則有，
當是對角線時，則有，
變式2．（20-21高二·全國·課后作業）已知，，則線段AB的中點坐標為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用中點坐標公式即可求解.
【詳解】由，，
利用中點坐標可知，線段AB的中點坐標，即.
.
變式3．（21-22高二上·河北邢臺·階段練習）已知線段的端點及中點，則點的坐標（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用中點坐標公式計算即可.
【詳解】設 ，的端點及中點，則 ，解得：，故點的坐標為.
.
變式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知，，則線段中點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用中點坐標公式即可求解.
【詳解】由，，
則線段中點的坐標為.
變式5．（21-22高二上·河北衡水·階段練習）已知點（0，2）是點（－2，b）與點（2，4）的對稱中心，則b= .
【答案】0
【分析】由中心對稱的含義即得.
【詳解】∵點（0，2）是點（－2，b）與點（2，4）的對稱中心，
∴b+4=2×2，即b=0.
故答案為：0.
變式6．（20-21高二·全國·課后作業）已知三邊AB，BC，CA的中點分別為，，，則頂點A的坐標為 ．
【答案】
【分析】利用中點坐標公式即可求解.
【詳解】設，，，
因為三邊AB，BC，CA的中點分別為，，，
由中點坐標公式可得，，，解得，，，
故頂點A的坐標為.
故答案為：.
變式7．（20-21高一·全國·課后作業）若，是平行四邊形的兩個頂點，與交于點，則C，D的坐標分別為 .
【答案】/，
【分析】利用為的中點，以及中點坐標公式，即得解
【詳解】由題意，為的中點，不妨設
由中點坐標公式：
，即
，即
故答案為：，
變式8．（23-24高二下·全國·課后作業）已知的三個頂點坐標分別為，求D點坐標．
【答案】
【分析】根據平行四邊形的圖像性質，平行四邊形對角線互相平分及中點坐標公式進行求解即可.
【詳解】設，在的三個頂點坐標分別為，
根據平行四邊形的對角線互相評分，可得，解得，
所以D點的坐標是．
【方法技巧與總結】
中點公式的兩個應用
（1）知二求一．從公式上看，只要知道公式等號兩邊的任意兩個量，可求第三個量.
（2）從圖象上看，只要知道圖象上任意的兩點，可求第三個點.
一、單選題
1．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點，則線段AB的中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用兩點的中點坐標公式求出答案.
【詳解】由題意得：線段AB的中點坐標為，即.
.
2．（2020高三·全國·專題練習）點關于點的對稱點為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，則由中點坐標公式可得，，解出，從而可得點的坐標
【詳解】設，則，，∴，，
∴點，
.
3．（19-20高二·全國·課后作業）已知線段的中點為坐標原點，且，則等于（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】直接根據中點坐標公式可得，即可得答案；
【詳解】 ，故.
.
【點睛】本題考查中點坐標公式，屬于基礎題.
4．（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B都是數軸上的點，，，且的坐標為4，則（ ）
A．-1 B．-7 C．4 D．-4
【答案】C
【分析】根據數軸上的向量的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，向量的坐標為終點B的坐標減去起點A的坐標，
即，解得．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了數軸上向量的坐標表示，其中解答中熟記數軸上的向量的表示方法是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.
5．（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B都是數軸上的點，，，則向量的坐標為
A．4 B．-4 C． D．2
【答案】C
【分析】根據向量的運算，結合數軸行向量的坐標表示，即可求解.
【詳解】由題意，根據向量的運算，
所以向量的坐標等于終點B的坐標減去起點A的坐標，即．
故選:B．
【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，以及數軸上向量的坐標表示，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
二、多選題
6．（20-21高二·全國·課后作業）數軸上點P，M，N的坐標分別為－2，8，－6，則有（ ）
A．的坐標的坐標 B．
C．的坐標 D．的坐標
【答案】CC
【分析】已知點坐標，結合向量坐標的表示及模的坐標計算，判斷各選項的正誤.
【詳解】數軸上的兩點對應向量的坐標等于終點坐標減去起點坐標，故坐標坐標，A不正確；
數軸上兩點間的距離一定是非負的，，B正確；
的坐標，C正確；
的坐標，D不正確.
C.
7．（17-18高二·全國·課后作業）（多選題）對于，下列說法正確的是（ ）
A．可看作點與點的距離
B．可看作點與點的距離
C．可看作點與點的距離
D．可看作點與點的距離
【答案】CCD
【分析】化簡 ，結合兩點間的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意，可得 ，
可看作點與點的距離，可看作點與點的距離，可看作點與點的距離，故選項A不正確，
故答案為：BCD.
【點睛】本題主要考查平面上兩點間的距離公式及其應用，其中解答中熟記平面上兩點間的距離公式是解答的關鍵，屬于基礎題.
三、填空題
8．（23-24高二下·全國·課后作業）直線l經過點，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時， .
【答案】
【分析】設，，利用中點坐標公式即可得出a，b，
【詳解】設，，
∵P為AB中點，∴，
解得，，
即，，
所以
故答案為：.
9．（19-20高二·全國·課后作業）已知點，，，則△中邊上的中線長 ，△的面積為 ．
【答案】 4
【解析】由中點坐標公式，可求出點的坐標，進而利用兩點間距離公式可求出，計算可知，即△為等腰三角形，由，求解即可.
【詳解】設的中點的坐標為，則，
即的坐標為，則.
又，
，，
所以，即△為等腰三角形，
所以為底邊上的高，且.
故答案為：；4.
【點睛】本題考查三角形的中線及三角形的面積，考查坐標運算，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.
四、解答題
10．（21-22高二·全國·課后作業）已知，在y軸上的點P滿足，求P的坐標．
【答案】 或
【分析】設出點P坐標，根據列出方程，解方程可得答案.
【詳解】由題意可設點P坐標為 ，
由得： ,
即 ，
解得 或 ，
故P的坐標 為 或.
11．（21-22高二·全國·課后作業）在數軸上，對坐標分別為和的兩點A和B，用絕對值定義兩點間的距離，表示為．
(1)在數軸上任意取三點A，B，C，證明．
(2)設A和B兩點的坐標分別為和2，分別找出（1）中不等式等號不成立和等號不不成立時點C的范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)等號不成立，點C的范圍是；等號不不成立，點C的范圍是
【分析】（1）討論點C與A和B兩點的位置關系，根據絕對值定義的兩點間的距離，可以證明結論；
（2）由（1）的證明過程可得等號不成立或不不成立時的點C的位置情況，由此可得答案.
【詳解】（1）證明：設 ，
不妨設 ，則，
當 在 之間時，,
此時;
當 不在 之間時，不妨假設，
此時，
故，
即，
同理可證當時，也有不成立，
同理可證當時，也有上述結論不成立，
綜合上述; ;
（2）當A和B兩點的坐標分別為和2時，
由（1）的證明可知，當點C位于A和B兩點之間或者與A和B兩點重合時，等號不成立，
此時點C的范圍是 ,
當點C位于A和B兩點之外時，等號不不成立，此時點C的范圍是.
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課程標準 學習目標
1.理解實數與數軸上的點的!一一對應關系、 2.探索并掌握平面直角坐標系中兩點間的距離公式和中點坐標公式、 3.通過對兩點間距離和中點坐標公式的探索,進一步體會坐標法在解決幾何問題中的優越性 重點:兩點間的距離公式和中點坐標公式 難點:坐標法在解決幾何問題中的運用
知識點01數軸上的基本公式
如果數軸上點A（x1），B（x2），線段AB的中點為M（x），則
(1)向量的坐標為x2-x1;
(2)|AB|=||=|x2-x1|;
(3)x=.
【即學即練1】（20-21高一·全國·課后作業）在數軸上，已知，，則 ；的中點的坐標為 .
【即學即練2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐標系中，點M在第四象限，到x軸 y軸的距離分別為6 4，則點M的坐標為（ ）
A． B． C． D．
知識點02平面直角坐標系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐標系中的兩點，M（x，y）是線段AB的中點，則
(1)=(x2-x1,y2-y1);
(2)=
(3)x=，y=
【即學即練3】（22-23高一下·北京·期中）已知點，，則線段中點的坐標為 .
【即學即練4】（20-21高二上·上海·課后作業）已知的頂點和重心，則上的中點坐標是 ．
難點：含參問題
示例1：（23-24高二上·全國·單元測試）已知不同的兩點關于點對稱，則ab .
【題型1：兩點間的距離公式】
例1．（21-22高二·全國·課后作業）已知數軸上，求這兩點之間的距離以及它們的中點坐標．
變式1．（21-22高二·全國·課后作業）已知數軸上的點P到的距離是它到的距離的2倍，求點P的坐標．
變式2．（20-21高一·全國·課后作業）已知數軸上，，且，求x的值.
變式3．（18-19高一·全國·課后作業）已知數軸上四點A，B，C，D的坐標分別是-4，-2，c，d．
（1）若，求c的值；
（2）若，求d的值；
（3）若，求證：．
變式4．（18-19高一·全國·課后作業）已知數軸上兩點A，B的坐標分別為，，根據下列條件，分別求點A的坐標．
（1），的坐標為-3；
（2），．
變式5．（18-19高一·全國·課后作業）已知數軸上兩點A，B的坐標分別是-4，-1，則（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
變式6．（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B，C三點在數軸上，且點B的坐標為3，，，則點C的坐標為 ．
【方法技巧與總結】
對兩點間距離公式的幾點說明
（1）公式中，點A，B的位置沒有先后之分，即距離公式還可以寫為|AB|=
（2）坐標平面內的兩點間的距離公式是數軸上兩點間的距離公式的推廣.
（3）若B點為原點，則AB=|OA|=
（4）若A，B兩點在x軸上，或在與x軸平行的直線上，此時AB|=|x2-x1|
(5)若A，B兩點在y軸上，或在與y軸平行的直線上，此時AB|=|y2-y1|
【題型2：中點坐標公式的應用】
例2.（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B都是數軸上的點，，，則的坐標為
A．17 B．1 C．-1 D．-17
變式1．（23-24高二上·安徽安慶·階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，以，，為頂點構造平行四邊形，下列各點中不能作為平行四邊形頂點坐標的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（20-21高二·全國·課后作業）已知，，則線段AB的中點坐標為( )
A． B． C． D．
變式3．（21-22高二上·河北邢臺·階段練習）已知線段的端點及中點，則點的坐標（ ）
A． B． C． D．
變式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知，，則線段中點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（21-22高二上·河北衡水·階段練習）已知點（0，2）是點（－2，b）與點（2，4）的對稱中心，則b= .
變式6．（20-21高二·全國·課后作業）已知三邊AB，BC，CA的中點分別為，，，則頂點A的坐標為 ．
變式7．（20-21高一·全國·課后作業）若，是平行四邊形的兩個頂點，與交于點，則C，D的坐標分別為 .
變式8．（23-24高二下·全國·課后作業）已知的三個頂點坐標分別為，求D點坐標．
【方法技巧與總結】
中點公式的兩個應用
（1）知二求一．從公式上看，只要知道公式等號兩邊的任意兩個量，可求第三個量.
（2）從圖象上看，只要知道圖象上任意的兩點，可求第三個點.
一、單選題
1．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點，則線段AB的中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高三·全國·專題練習）點關于點的對稱點為（ ）
A． B．
C． D．
3．（19-20高二·全國·課后作業）已知線段的中點為坐標原點，且，則等于（ ）
A．5 B． C．1 D．
4．（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B都是數軸上的點，，，且的坐標為4，則（ ）
A．-1 B．-7 C．4 D．-4
5．（18-19高一·全國·課后作業）已知A，B都是數軸上的點，，，則向量的坐標為
A．4 B．-4 C． D．2
二、多選題
6．（20-21高二·全國·課后作業）數軸上點P，M，N的坐標分別為－2，8，－6，則有（ ）
A．的坐標的坐標 B．
C．的坐標 D．的坐標
7．（17-18高二·全國·課后作業）（多選題）對于，下列說法正確的是（ ）
A．可看作點與點的距離
B．可看作點與點的距離
C．可看作點與點的距離
D．可看作點與點的距離
三、填空題
8．（23-24高二下·全國·課后作業）直線l經過點，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時， .
9．（19-20高二·全國·課后作業）已知點，，，則△中邊上的中線長 ，△的面積為 ．
四、解答題
10．（21-22高二·全國·課后作業）已知，在y軸上的點P滿足，求P的坐標．
11．（21-22高二·全國·課后作業）在數軸上，對坐標分別為和的兩點A和B，用絕對值定義兩點間的距離，表示為．
(1)在數軸上任意取三點A，B，C，證明．
(2)設A和B兩點的坐標分別為和2，分別找出（1）中不等式等號不成立和等號不不成立時點C的范圍．
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