資源簡介

2.2.1直線的傾斜角與斜率
課程標準 學習目標
1.了解直線方程的概念 2.正確理解直線傾斜角和斜率概念:理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率 3.理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式 4.通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力 5.通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神 1.重點:直線的傾斜角和斜率概念 2.難點:斜率概念的理解，直線傾斜角與斜率變化關系探究。
知識點01 直線的傾斜角
1.定義：平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角.
2.規定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，
3.范圍：[0,π)
4.圖形：
【即學即練1】（23-24高一下·北京順義·階段練習）若直線l過兩點和，則直線l的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練2】（23-24高二上·湖北武漢·期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
知識點02直線的斜率
1.定義：一般的，如果直線l的傾斜角為，則當時，稱k=tan為直線l的斜率；當時，稱直線l的斜率不存在.
2.公式：已知點、，是直線l上兩個不同的點，則當時，直線l的斜率為，當時，直線l的斜率不存在.
【即學即練3】（23-24高二下·湖南邵陽·期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．
【即學即練4】（23-24高二上·河北石家莊·期中）過兩點和的直線的斜率為（ ）
A．3 B． C． D．
知識點03 直線的方向向量
1.定義：一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合 ，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a//l
2.性質：①如果a為直線l的一個方向向量，那么對于任意的實數λ≠0，向量λa都是l的一個方向向量，而且直線l的任意兩個方向向量一定共線.
②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l上兩個不同的點，則=(x2-x1,y2-y1)是直線l的一個方向向量.
③若為直線l的傾斜角，則（cos，sin）一定是直線l的一個方向向量.
④如果已知a=（u,v）為直線l的一個方向向量，則當u=0時，直線l的斜率不存在，傾斜角為90°；當u0時，直線l的斜率是存在的，直線l的斜率k=,即tan=.
【即學即練5】（23-24高二上·湖北黃石·期末）已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練6】（23-24高二下·全國·課堂例題）已知直線l通過點與，則直線l的一個方向向量為 .
知識點04 直線的法向量
一般的，如果表示非零向量的v的有向線段所在的直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個法向量，記作v⊥l，一條直線的方向向量與法向量互相垂直.
【即學即練7】（23-24高二上·上海奉賢·期末）直線的法向量可以為（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練8】（23-24高二下·全國·課堂例題）若是直線的一個法向量，則直線的斜率為 ，傾斜角的大小為 ．
難點：動點問題
示例1：（23-24高二下·全國·課后作業）已知實數x，y滿足，且，則的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【題型1：直線的傾斜角】
例1．（21-22高二下·安徽蕪湖·階段練習）直線的傾斜角是（ ）
A．0 B． C． D．
變式1．（23-24高二下·寧夏吳忠·開學考試）若直線經過、兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·陜西西安·階段練習）圖中能表示直線的傾斜角的是（ ）
A．①④ B．①② C．①③ D．②④
變式3．（2023高二上·江蘇·專題練習）已知直線l的傾斜角為，則與l關于x軸對稱的直線的傾斜角為（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（多選）（24-25高二上·全國·課堂例題）設直線過坐標原點，它的傾斜角為，如果將繞坐標原點按逆時針方向旋轉，得到直線，那么的傾斜角可能為（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（多選）（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或
變式6．（多選）（23-24高二上·河南信陽·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
C．若，，則直線的傾斜角為
D．若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點
變式7．（24-25高二上·上海·課后作業）若，則經過兩點，的直線的傾斜角為 ．
【方法技巧與總結】
求直線傾斜角的方法及關注點
（1）定義法：根據題意畫出圖形，結合傾斜角的定義找傾斜角.
（2）關注點：結合圖形求角時，應注意平面幾何知識的應用，如三角形內角和定理及其有關推論.
【題型2：直線的斜率】
例2．（23-24高二上·江西·期末）已知直線l的傾斜角為，則l的斜率為（ ）
A．1 B．45 C． D．
變式1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）直線的斜率為（ ）
A．不存在 B． C． D．
變式2．（23-24高二上·河南鄭州·期中）已知直線經過兩點，直線的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則直線的斜率是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．不存在
變式3．（23-24高二上·四川遂寧·階段練習）過點和點的直線的傾斜角和斜率分別是 （ ）
A． B．不存在 C． D．
變式4．（23-24高二上·廣東茂名·期中）若正方形一條對角線所在直線的斜率為，寫出該正方形的一條邊所在直線的斜率為 ．
變式5．（23-24高二上·福建泉州·階段練習）在平面直角坐標系中，已知直線l上的一點向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度后，仍在該直線l上，則直線l的斜率為 ．
變式6．（23-24高二上·上海虹口·階段練習）直線l的傾斜角滿足，則直線l斜率為 .
變式7．（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為 ．
【方法技巧與總結】
斜率公式是最基本的求解直線斜率的方法。如有直線的兩個點坐標分別為、，則該直線的斜率為:
【題型3：傾斜角與斜率的變化】
例3．（2023高二上·江蘇·專題練習）如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知函數，若，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）已知直線的傾斜角分別為30°，53°，125°，斜率分別為 ，則（ ）
A．
B．
C．
D．
變式4．（多選）（23-24高二上·河南南陽·期中）（多選）已知三條直線、、的斜率分別為、、，傾斜角分別為、、，且，則其傾斜角的關系可能為（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（2024高二·全國·專題練習）已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
變式6．（23-24高二上·江蘇·單元測試）若直線的斜率的變化范圍是，則它的傾斜角的變化范圍是(　 )
A．
B．
C．
D．或
變式7．（多選）（23-24高二上·江蘇連云港·期中）已知直線，的斜率分別為2，，直線l與直線，圍成一個等腰三角形，且頂角為鈍角，則直線l的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．1
變式8．（23-24高二上·湖南張家界·階段練習）已知某直線的傾斜角，則該直線的斜率的范圍為 ．
【方法技巧與總結】
直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關系具體如下：
斜率k k=tanα>0 k=0 k=tanα<0 不存在
傾斜角α 銳角 0° 鈍角 90°
圖示
【題型4：已知斜率求參數問題】
例4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知斜率為的直線經過點，則（ ）
A． B． C．1 D．0
變式1．（23-24高二上·廣東梅州·期末）若過點的直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
變式2．（多選）（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習）已知點的坐標為，在坐標軸上有一點，若，則點的坐標可以為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（多選）（23-24高二上·四川·期中）若直線的斜率為，則直線的傾斜角可能為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·貴州黔南·期中）已知兩點，所在直線的斜率為，則 .
變式5．（23-24高二上·安徽亳州·期中）過，的直線的斜率大于，則滿足條件的一個a值可以為 .
變式6．（23-24高二上·全國·課后作業）已知，若直線與直線的斜率分別為和，則點的坐標為 ．
變式7．（22-23高二下·安徽·開學考試）已知點，在曲線圖像上，且，兩點連線的斜率為2，請寫出滿足條件的一組點 ， ．
【題型5：過兩點求斜率取值范圍】
例5．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）已知點，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（21-22高二上·遼寧大連·階段練習）直線l經過， 兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線過點，直線的傾斜角為銳角時的取值范圍為 ．
變式3．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）已知曲線，則的取值范圍是 ．
變式4．（23-24高二上·全國·課后作業）求經過兩點，的直線l的斜率．
變式5．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線過點.
(1)當為何值時，直線的斜率是
(2)當為何值時，直線的傾斜角為？求此時直線的一個方向向量．
變式6．（23-24高二上·四川·階段練習）已知坐標平面內兩點.
(1)當直線的傾斜角為銳角和鈍角時，分別求出的取值范圍；
(2)若直線的方向向量為，求的值.
【題型6：動直線與線段相交問題】
例6．（24-25高二上·陜西西安·開學考試）已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（21-22高二上·北京·階段練習）已知，若點在線段上，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
變式2．（23-24高二上·福建廈門·期中）已知兩點，，過點的直線與線段（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
B．
C． D．
變式3．（2022高三·全國·專題練習）已知點、、， 過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．以上都不對
變式4．（多選）（23-24高二上·陜西安康·期末）已知直線過點且與線段的延長線有公共點，若，，則直線的斜率的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
變式5．（23-24高二上·全國·期中）已知點，，若直線過點，且與線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是 ．
變式6．（22-23高二上·江蘇鎮江·階段練習）已知直線和以為端點的線段無公共點，則實數的取值范圍為
【方法技巧與總結】
利用直線上兩點確定直線的傾斜角，應從斜率存在、不存在兩方面入手分類討論．斜率不存在的情況在解題中容易忽視，應引起注意.
【題型7：三點共線問題】
例7．（2020高三·全國·專題練習）若平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a（ ）
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
變式1．（23-24高二下·甘肅武威·開學考試）若三點，，共線，則 .
變式2．（2023高二上·江蘇·專題練習）若三點，， (其中)共線，則 .
變式3．（22-23高二·全國·課堂例題）已知，判斷A，B，C是否共線．
變式4．（20-21高二上·寧夏吳忠·階段練習）已知，，三點．
（1）若過A，C兩點的直線的傾斜角為，求m的值．
（2）A，B，C三點可能共線嗎？若能的，求出m值；若不能，請說明理由．
【方法技巧與總結】
三點共線問題
1.已知三點A，B，C，若直線AB，AC'的斜率相同，則三點共線.
2.三點共線問題也可利用線段相等來求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可斷定A，B，C三點共線.
3.利用向量和向量共線也能斷定A，B，C三點共線.
一、單選題
1．（23-24高二上·陜西咸陽·期中）已知點，點，則直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·全國·課后作業）若過點和的直線的斜率為，則a的值為（ ）
A．4 B．0
C． D．1
3．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）已知直線l1上有兩點,直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，則直線的斜率為 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·新疆·期中）經過的直線l在x軸上的截距的取值范圍為，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二上·江蘇常州·期中）若過，兩點的直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·山西呂梁·階段練習）斜率為的直線的傾斜角所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·安徽合肥·期中）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．不存在
8．（23-24高二上·江蘇鎮江·期中）已知直線經過點，且不經過第三象限，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（23-24高二上·福建泉州·階段練習）過點作直線，使得直線和連接點的線段總有公共點，則直線的傾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（21-22高二上·江蘇南通·期中）若經過和的直線的傾斜角為鈍角，則實數的值不可能為（ ）
A． B． C． D．
11．（20-21高二·全國·課后作業）以下四個命題正確的是（ ）
A．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應
B．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應
C．坐標平面上所有的直線都有傾斜角
D．坐標平面上并不是所有直線都有斜率
三、填空題
12．（23-24高二上·上海·期末）直線的斜率的取值范圍為，則其傾斜角的取值范圍是 .
13．（23-24高二上·江蘇揚州·階段練習）經過兩點 的直線的傾斜角為，則
14．（23-24高二上·廣西河池·階段練習）若直線的斜率滿足，則直線的傾斜角的取值范圍是 ．
四、解答題
15．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線l經過兩點，，問：當m取何值時：
(1)直線l與x軸平行？
(2)直線l與y軸平行？
(3)直線的傾斜角為？
(4)直線的傾斜角為銳角？
16．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）已知直線過點，.
(1)若直線的傾斜角為，求實數的值；
(2)若直線的傾斜角為鈍角，求實數的取值范圍.
17．（23-24高二上·四川巴中·階段練習）已知坐標平面內三點，，.
(1)求直線AC的傾斜角；
(2)若D為的AB邊上一動點，求直線CD的傾斜角的取值范圍.
18．（23-24高二上·湖北·階段練習）已知坐標平面內兩點．
(1)當直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍；
(2)若直線的方向向量為，求的值．
19．（22-23高二上·全國·課后作業）已知點，，點在線段上.
(1)求直線的斜率；
(2)求的最大值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.2.1直線的傾斜角與斜率
課程標準 學習目標
1.了解直線方程的概念 2.正確理解直線傾斜角和斜率概念:理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率 3.理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式 4.通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力 5.通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神 1.重點:直線的傾斜角和斜率概念 2.難點:斜率概念的理解，直線傾斜角與斜率變化關系探究。
知識點01 直線的傾斜角
1.定義：平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角.
2.規定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，
3.范圍：[0,π)
4.圖形：
【即學即練1】（23-24高一下·北京順義·階段練習）若直線l過兩點和，則直線l的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不與軸垂直的直線斜率與傾斜角的關系,根據正切值求即可.
【詳解】該直線不與軸垂直，設傾斜角為，
斜率,.
【即學即練2】（23-24高二上·湖北武漢·期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據直線的傾斜角與斜率之間的關系求解即可.
【詳解】設直線的傾斜角為，則
因為，所以，
當時，即，則；
當時，即，則，
所以直線的傾斜角為或.
.
知識點02直線的斜率
1.定義：一般的，如果直線l的傾斜角為，則當時，稱k=tan為直線l的斜率；當時，稱直線l的斜率不存在.
2.公式：已知點、，是直線l上兩個不同的點，則當時，直線l的斜率為，當時，直線l的斜率不存在.
【即學即練3】（23-24高二下·湖南邵陽·期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用直線的斜率和直線傾斜角的關系進行求解即可.
【詳解】由直線的傾斜角為，
則直線的斜率，
.
【即學即練4】（23-24高二上·河北石家莊·期中）過兩點和的直線的斜率為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據斜率公式計算得解.
【詳解】由斜率公式可知，
知識點03 直線的方向向量
1.定義：一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合 ，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a//l
2.性質：①如果a為直線l的一個方向向量，那么對于任意的實數λ≠0，向量λa都是l的一個方向向量，而且直線l的任意兩個方向向量一定共線.
②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l上兩個不同的點，則=(x2-x1,y2-y1)是直線l的一個方向向量.
③若為直線l的傾斜角，則（cos，sin）一定是直線l的一個方向向量.
④如果已知a=（u,v）為直線l的一個方向向量，則當u=0時，直線l的斜率不存在，傾斜角為90°；當u0時，直線l的斜率是存在的，直線l的斜率k=,即tan=.
【即學即練5】（23-24高二上·湖北黃石·期末）已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直線的方向向量可知直線的斜率，進而可得傾斜角.
【詳解】設直線的傾斜角為，
由直線的方向向量可知直線的斜率，所以.
.
【即學即練6】（23-24高二下·全國·課堂例題）已知直線l通過點與，則直線l的一個方向向量為 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】求出，得到答案.
【詳解】由已知可得，是直線l的一個方向向量．
故答案為：（答案不唯一）
知識點04 直線的法向量
一般的，如果表示非零向量的v的有向線段所在的直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個法向量，記作v⊥l，一條直線的方向向量與法向量互相垂直.
【即學即練7】（23-24高二上·上海奉賢·期末）直線的法向量可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據直線法向量與方向向量的關系，結合直線的點斜率式方程進行求解即可.
【詳解】由，可得，所以直線的斜率,
所以直線的方向向量為，
當時，有，所以，不是直線的法向量，故A不正確；
當時，有，所以，不是直線的法向量，故B不正確；
當時，有，所以，不是直線的法向量，故C不正確；
當時，有，所以，是直線的法向量，故D正確.
.
【即學即練8】（23-24高二下·全國·課堂例題）若是直線的一個法向量，則直線的斜率為 ，傾斜角的大小為 ．
【答案】
【分析】由直線的法向量得到直線斜率，進而得到傾斜角.
【詳解】由題意知，向量是直線的一個法向量，可得斜率為，
設直線的傾斜角為，可得，可得
則直線的傾斜角的大小為.
故答案為：；.
難點：動點問題
示例1：（23-24高二下·全國·課后作業）已知實數x，y滿足，且，則的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出對應圖象，利用斜率與傾斜角的關系，找出其邊界情況即可求解.
【詳解】由于點滿足關系式，且，
可知在線段上移動，且
設，則，
因為點在線段上，所以的取值范圍是，
.

【題型1：直線的傾斜角】
例1．（21-22高二下·安徽蕪湖·階段練習）直線的傾斜角是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據傾斜角的定義判斷.
【詳解】直線與軸垂直，所以傾斜角為.
.
變式1．（23-24高二下·寧夏吳忠·開學考試）若直線經過、兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直線的斜率，根據斜率的定義，即可求得直線的傾斜角.
【詳解】直線經過、兩點，則其斜率為，
設直線傾斜角為，則，
由于直線的傾斜角范圍為大于等于小于，
故該直線的傾斜角為，
變式2．（23-24高二上·陜西西安·階段練習）圖中能表示直線的傾斜角的是（ ）
A．①④ B．①② C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】根據直線的傾斜角的定義判斷即可.
【詳解】根據傾斜角的定義可知圖①中的為直線的傾斜角，
圖③中的的對頂角為直線的傾斜角，
圖②中的的補角為直線的傾斜角，
圖④中的為直線的傾斜角.
故符合題意的只有①③.
變式3．（2023高二上·江蘇·專題練習）已知直線l的傾斜角為，則與l關于x軸對稱的直線的傾斜角為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據傾斜角的定義結合圖形可得答案.
【詳解】根據傾斜角的定義，并結合圖形知，所求直線的傾斜角為.
.
變式4．（多選）（24-25高二上·全國·課堂例題）設直線過坐標原點，它的傾斜角為，如果將繞坐標原點按逆時針方向旋轉，得到直線，那么的傾斜角可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】分類討論，結合傾斜角概念可解.
【詳解】根據題意，畫出圖形，如圖所示．
通過圖象可知，
當時，的傾斜角為；
當時，的傾斜角為．
B
變式5．（多選）（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或
【答案】ABC
【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率的定義，逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當直線的傾斜角為時，直線沒有斜率，故A錯誤；
對于B，當直線的傾斜角為時，斜率為，
當直線的傾斜角為時，斜率為，故B錯誤；
對于C，若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率不存在，故C錯誤；
對于D，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
當直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
即與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或，故D正確.
BC.
變式6．（多選）（23-24高二上·河南信陽·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
C．若，，則直線的傾斜角為
D．若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點
【答案】DD
【分析】根據傾斜角與斜率關系，點斜式及斜截式判斷各項正誤即可.
【詳解】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時，斜率為負，錯；
B：直線的傾斜角為時，直線的斜率不存在，錯；
C：由題設，知兩點橫坐標相同，直線方程為，直線的傾斜角為，對；
D：過，兩點的斜率為：，對.
D.
變式7．（24-25高二上·上海·課后作業）若，則經過兩點，的直線的傾斜角為 ．
【答案】
【分析】根據兩點求出斜率，再結合斜率和傾斜角的關系可解.
【詳解】因為，
所以
又因為，
且，
所以直線的傾斜角為.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
求直線傾斜角的方法及關注點
（1）定義法：根據題意畫出圖形，結合傾斜角的定義找傾斜角.
（2）關注點：結合圖形求角時，應注意平面幾何知識的應用，如三角形內角和定理及其有關推論.
【題型2：直線的斜率】
例2．（23-24高二上·江西·期末）已知直線l的傾斜角為，則l的斜率為（ ）
A．1 B．45 C． D．
【答案】D
【分析】根據斜率的定義，即可求得答案.
【詳解】由題意知直線l的傾斜角為，
則l的斜率為，
變式1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）直線的斜率為（ ）
A．不存在 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，得到直線表示與軸平行的直線，即可求解.
【詳解】由直線，表示與軸平行的直線，所以直線的斜率為.
.
變式2．（23-24高二上·河南鄭州·期中）已知直線經過兩點，直線的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則直線的斜率是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．不存在
【答案】C
【分析】由l經過兩點可得直線l的傾斜角，則直線m的傾斜角可求，再根據傾斜角與斜率的關系可得斜率的值.
【詳解】由l經過可得直線l的傾斜角為，所以直線m的傾斜角為，
又因為，所以直線m的斜率為1，
.
變式3．（23-24高二上·四川遂寧·階段練習）過點和點的直線的傾斜角和斜率分別是 （ ）
A． B．不存在 C． D．
【答案】C
【分析】結合點的位置，由直線的傾斜角和斜率的概念可得.
【詳解】已知和點，由兩點橫坐標相等，
可知直線的傾斜角為，斜率不存在.
.
變式4．（23-24高二上·廣東茂名·期中）若正方形一條對角線所在直線的斜率為，寫出該正方形的一條邊所在直線的斜率為 ．
【答案】、（寫一個即可）
【分析】設正方形的一條邊所在直線的傾斜角為，設正方形一條對角線所在直線斜率為的直線的傾斜角為，可得出，分、兩種情況討論，利用兩角和或差的正切公式可求出該正方形的一條邊所在直線的斜率.
【詳解】設正方形的一條邊所在直線的傾斜角為，
設正方形一條對角線所在直線斜率為的直線的傾斜角為，
則，所以，，
由題意可知，正方形的一條邊所在直線與這條對角線所在直線的夾角為，則，
當時，，則，
當時，，則，
所以，該正方形的一條邊所在直線的斜率為或.
故答案為：、（寫一個即可）.
變式5．（23-24高二上·福建泉州·階段練習）在平面直角坐標系中，已知直線l上的一點向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度后，仍在該直線l上，則直線l的斜率為 ．
【答案】
【分析】根據直線的移動方式求得直線的斜率.
【詳解】依題意，直線l上的一點向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度后，
仍在該直線l上，如下圖所示，
所以直線的斜率為.
故答案為：
變式6．（23-24高二上·上海虹口·階段練習）直線l的傾斜角滿足，則直線l斜率為 .
【答案】
【分析】根據斜率的定義結合同角三角關系運算求解.
【詳解】因為，且，則，
所以直線l斜率為.
故答案為：.
變式7．（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為 ．
【答案】
【分析】根據直線方程求出直線斜率為，由此確定直線傾斜角，結合已知條件求得直線傾斜角為，由此即可求得直線的斜率.
【詳解】由直線方程：得的傾斜角為，
所以的傾斜角為，即的斜率為.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
斜率公式是最基本的求解直線斜率的方法。如有直線的兩個點坐標分別為、，則該直線的斜率為:
【題型3：傾斜角與斜率的變化】
例3．（2023高二上·江蘇·專題練習）如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據直線的傾斜角的大小，即可判斷斜率大小.
【詳解】傾斜角為銳角時，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；傾斜角為鈍角時，斜率為負，
所以.
變式1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據直線斜率與傾斜角的關系，結合正切函數的單調性即可得解.
【詳解】依題意得，，，，
而在和上單調遞增，且在上，，
在上，所以，即.
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知函數，若，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出函數的圖象，將視為函數圖象上的點與原點連線的斜率，數形結合可得出、、的大小關系.
【詳解】作出函數的大致圖象，如圖所示：

由圖象可知，y軸右側曲線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小，
由，得．
變式3．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）已知直線的傾斜角分別為30°，53°，125°，斜率分別為 ，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由直線傾斜角與斜率的關系即可求解.
【詳解】，所以，
變式4．（多選）（23-24高二上·河南南陽·期中）（多選）已知三條直線、、的斜率分別為、、，傾斜角分別為、、，且，則其傾斜角的關系可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】分、、、四種情況討論，結合正切函數的單調性可得結果.
【詳解】因為正切函數在上為增函數，在上也為增函數，
分以下四種情況討論：
當時，則、、均為銳角，且；
當時，則為鈍角，、均為銳角，且；
當時，則、均為鈍角，為銳角，且；
當時，則、、均為鈍角，且.
BD.
變式5．（2024高二·全國·專題練習）已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根據傾斜角與斜率的關系可求得斜率的取值范圍.
【詳解】因為斜率，且，其中時直線無斜率，
當時，得；
當時，得；
.
變式6．（23-24高二上·江蘇·單元測試）若直線的斜率的變化范圍是，則它的傾斜角的變化范圍是(　 )
A．
B．
C．
D．或
【答案】A
【分析】作出正切函數在的圖象，根據斜率的范圍結合圖象確定出的范圍.
【詳解】作出正切函數在的圖象如下圖，

如圖所示，當，即，
解得或，
即或，
.
變式7．（多選）（23-24高二上·江蘇連云港·期中）已知直線，的斜率分別為2，，直線l與直線，圍成一個等腰三角形，且頂角為鈍角，則直線l的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】ACD
【分析】借助直線斜率的定義，三角形性質求解，即可得出選項.
【詳解】分別設直線，，的傾斜角為，，，則，，直線的斜率為，
將直線，平移至原點位置，設直線l與直線，分別交于點，，
當時，如圖所示：
由題意知，
因為為等腰三角形，且頂角為鈍角，
所以為鈍角或為鈍角，
若為鈍角，則，
所以
，
所以直線的斜率為，故A選項正確；
若為鈍角，則，

所以，
，
，
所以，
所以直線的斜率為，故C選項正確；
當時，如圖所示：

因為為等腰三角形，則，
所以
，
所以由，解得或（舍），
所以，
所以直線的斜率為，故D選項正確；
CD.
變式8．（23-24高二上·湖南張家界·階段練習）已知某直線的傾斜角，則該直線的斜率的范圍為 ．
【答案】
【分析】根據傾斜角和斜率關系確定斜率范圍即可.
【詳解】當，斜率，
當，斜率不存在，
當，斜率，
綜上，，則.
故答案為：
【方法技巧與總結】
直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關系具體如下：
斜率k k=tanα>0 k=0 k=tanα<0 不存在
傾斜角α 銳角 0° 鈍角 90°
圖示
【題型4：已知斜率求參數問題】
例4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知斜率為的直線經過點，則（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【分析】利用斜率公式即可求解.
【詳解】因為斜率為的直線經過點，
所以，解得.
.
變式1．（23-24高二上·廣東梅州·期末）若過點的直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據傾斜角與斜率的關系求解.
【詳解】由題意得，解得，
變式2．（多選）（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習）已知點的坐標為，在坐標軸上有一點，若，則點的坐標可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【分析】由題意設點B的坐標為或，根據斜率公式計算即可．
【詳解】當點B在軸上時，設，由，可得，解得，，
當點B在軸上時，設，由，可得，解得，
，
所以點B坐標為或.
C.
變式3．（多選）（23-24高二上·四川·期中）若直線的斜率為，則直線的傾斜角可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據二次函數性質求斜率范圍，然后由正切函數圖象觀察可得.
【詳解】記直線的傾斜角為，斜率為，
則，即，
由正切函數圖象可得.
D

變式4．（23-24高二上·貴州黔南·期中）已知兩點，所在直線的斜率為，則 .
【答案】
【分析】根據兩點的斜率公式計算可得.
【詳解】因為兩點，所在直線的斜率為，
所以，解得.
故答案為：
變式5．（23-24高二上·安徽亳州·期中）過，的直線的斜率大于，則滿足條件的一個a值可以為 .
【答案】（滿足的一個值即可）
【分析】根據兩點的斜率公式計算可得.
【詳解】因為過，的直線的斜率大于，所以，
則，解得．
故答案為：（滿足的一個值即可）
變式6．（23-24高二上·全國·課后作業）已知，若直線與直線的斜率分別為和，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】根據直線的斜率列方程，由此求得點的坐標.
【詳解】設，顯然，則，
解得，所以.
故答案為：
變式7．（22-23高二下·安徽·開學考試）已知點，在曲線圖像上，且，兩點連線的斜率為2，請寫出滿足條件的一組點 ， ．
【答案】
【分析】根據，在曲線上，設出點，的坐標，由，兩點連線的斜率得出，的坐標關系，即可得到滿足條件的一組點.
【詳解】由題意，
在中，點，在曲線上，
設，，
，兩點連線的斜率為2，
∴，
解得：，
∴當時，，．
故答案為：，.
【題型5：過兩點求斜率取值范圍】
例5．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）已知點，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，設直線的傾斜角為，由的坐標求出直線的斜率，結合的范圍可得即的取值范圍，
再利用正切函數的性質分析可得的范圍，即可得答案.
【詳解】解：根據題意，設直線的傾斜角為，
點，，則直線的斜率，
又由，則的取值范圍為，，
即的范圍為，，
又由，則
.
變式1．（21-22高二上·遼寧大連·階段練習）直線l經過， 兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用斜率的定義得到，根據傾斜角，求出答案.
【詳解】因為兩點橫坐標不同，故傾斜角不為，
由題意得，
因為，所以.
變式2．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線過點，直線的傾斜角為銳角時的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據傾斜角為銳角得到，解得答案.
【詳解】由于直線的傾斜角為銳角，故，解得.
故答案為：.
變式3．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）已知曲線，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】首先畫出函數的圖象，表示曲線上的點 與連線的斜率，求出臨界點處的斜率，即可求出的取值范圍.
【詳解】函數，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數圖象如下所示：
當時，即，當時，則，
表示曲線上的點 與連線的斜率，令，
又，，
由圖可得或，
即的取值范圍為.
故答案為：
變式4．（23-24高二上·全國·課后作業）求經過兩點，的直線l的斜率．
【答案】答案見解析
【分析】由斜率的概念以及過兩點的斜率公式可直接求解，注意討論斜率不存在的情況.
【詳解】當，即時，直線l垂直于x軸，其斜率不存在；
當，即時，直線l的斜率．
變式5．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線過點.
(1)當為何值時，直線的斜率是
(2)當為何值時，直線的傾斜角為？求此時直線的一個方向向量．
【答案】(1)
(2)，此時直線的一個方向向量為.
【分析】
（1）根據直線的斜率列方程，從而求得.
（2）根據直線的傾斜角列方程，由此求得，并求得此時直線的一個方向向量.
【詳解】（1）依題意，且，解得.
（2）若直線的傾斜角為，則，
此時直線的方程為，與軸平行，
所以此時直線的一個方向向量為.
變式6．（23-24高二上·四川·階段練習）已知坐標平面內兩點.
(1)當直線的傾斜角為銳角和鈍角時，分別求出的取值范圍；
(2)若直線的方向向量為，求的值.
【答案】(1)答案見解析．
(2)
【分析】（1）由斜率為正或為負求解；
（2）由坐標得方向向量，然后利用向量共線得結論．
【詳解】（1）直線的傾斜角為銳角時，，解得，
直線的傾斜角為鈍角時，，解得或，
所以直線的傾斜角為銳角時，，為鈍角時，或；
（2）由已知，又直線的方向向量為，
所以，解得．
【題型6：動直線與線段相交問題】
例6．（24-25高二上·陜西西安·開學考試）已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出直線、的斜率，然后結合圖象即可寫出答案．
【詳解】解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，
因為直線l過點，且與線段相交，
結合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．
．
變式1．（21-22高二上·北京·階段練習）已知，若點在線段上，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用兩點連線的斜率公式知表示點和點連線的斜率，再數形結合，即可求出結果.
【詳解】如圖，因為表示點和點連線的斜率，
又，所以，，
由圖知，的最小值為，

.
變式2．（23-24高二上·福建廈門·期中）已知兩點，，過點的直線與線段（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】畫出圖像，數形結合，根據傾斜角變化得到斜率的取值范圍.
【詳解】如圖所示，

直線逆時針旋轉到的位置才能保證過點的直線與線段有交點，
從轉到過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，
此時斜率，所以此時；
從旋轉到過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負無窮開始變大，
此時斜率，所以此時，
綜上可得直線的斜率的取值范圍為.
變式3．（2022高三·全國·專題練習）已知點、、， 過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．以上都不對
【答案】D
【分析】過點C的直線l與線段AB有公共點，利用數形結合，得到直線l的斜率或，進而求解即可
【詳解】如圖，過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率或，
而，于是直線l的斜率或，
所以直線l斜率k的取值范圍是，
變式4．（多選）（23-24高二上·陜西安康·期末）已知直線過點且與線段的延長線有公共點，若，，則直線的斜率的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】ABC
【分析】先作出直線與線段的延長線，再結合圖像觀察即可得解.
【詳解】由圖像可知：要使直線與線段的延長線有公共點，
則，
又，
則直線的斜率的取值范圍是.
BC.
變式5．（23-24高二上·全國·期中）已知點，，若直線過點，且與線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意，利用斜率公式，分別求得線和直線的斜率，結合圖象，即可求解.
【詳解】由題意，點，直線過點，
可得直線的斜率為，直線的斜率為，
如圖所示，要使得直線與線段有交點，
則直線的斜率的取值范圍為.
故答案為：.
變式6．（22-23高二上·江蘇鎮江·階段練習）已知直線和以為端點的線段無公共點，則實數的取值范圍為
【答案】
【分析】求出直線恒過的定點，再求出恰好過點時的直線斜率，從而數形結合即可求得實數的取值范圍.
【詳解】直線恒過定點，
則，，
若直線和以為端點的線段有公共點，
則或，
所以直線和以為端點的線段無公共點時，.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
利用直線上兩點確定直線的傾斜角，應從斜率存在、不存在兩方面入手分類討論．斜率不存在的情況在解題中容易忽視，應引起注意.
【題型7：三點共線問題】
例7．（2020高三·全國·專題練習）若平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a（ ）
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
【答案】A
【分析】根據三點共線的條件之斜率相等，可求得選項．
【詳解】由題意知kABkAC，即，即a(a2－2a－1)0，解得a0或a1±.
．
【點睛】本題考查兩點的斜率公式的應用，屬于基礎題．
變式1．（23-24高二下·甘肅武威·開學考試）若三點，，共線，則 .
【答案】
【分析】由三點共線可得其中任意兩點的直線斜率相等，列出方程解之即得.
【詳解】由題意，直線的斜率為，直線的斜率為：，
因三點共線，故，即，解得：.
故答案為：.
變式2．（2023高二上·江蘇·專題練習）若三點，， (其中)共線，則 .
【答案】
【分析】依題意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可.
【詳解】由于，，三點共線且、，
顯然、的斜率存在，則，
所以，所以，所以.
故答案為：
變式3．（22-23高二·全國·課堂例題）已知，判斷A，B，C是否共線．
【答案】A，B，C不共線．
【分析】首先求出與的坐標，再根據平面向量共線定理判斷即可.
【詳解】因為，，
又因為，所以與不共線，從而A，B，C不共線．
變式4．（20-21高二上·寧夏吳忠·階段練習）已知，，三點．
（1）若過A，C兩點的直線的傾斜角為，求m的值．
（2）A，B，C三點可能共線嗎？若能的，求出m值；若不能，請說明理由．
【答案】（1）；（2）能共線，.
【分析】（1）利用直線的傾斜角和斜率的關系，以及斜率公式得tan45°=1= ， 即可求得m的值；
（2）三點共線，則任過兩點的直線的斜率相等，根據斜率公式，可求m的值.
【詳解】（1）過A，C兩點的直線的斜率為 ，
又直線AC的傾斜角為，所以，得.
（2），，
若，，三點共線，則有，即，解得，
所以A，B，C三點能共線，且.
【點睛】本題考查了斜率公式，考查了斜率與傾斜角的關系；判斷A、B、C三點共線的方法.
【方法技巧與總結】
三點共線問題
1.已知三點A，B，C，若直線AB，AC'的斜率相同，則三點共線.
2.三點共線問題也可利用線段相等來求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可斷定A，B，C三點共線.
3.利用向量和向量共線也能斷定A，B，C三點共線.
一、單選題
1．（23-24高二上·陜西咸陽·期中）已知點，點，則直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直線的斜率，結合斜率與傾斜角的關系可求得直線的傾斜角.
【詳解】設直線的傾斜角為，則，
由斜率公式可得，因此，.
.
2．（23-24高二上·全國·課后作業）若過點和的直線的斜率為，則a的值為（ ）
A．4 B．0
C． D．1
【答案】C
【分析】根據題意結合斜率計算公式運算求解.
【詳解】由題意可得：，解得.
.
3．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）已知直線l1上有兩點,直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，則直線的斜率為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據兩點求解斜率，即可根據二倍角公式求解.
【詳解】由得,設的傾斜角為，
所以，
故，
故直線的斜率為，
4．（23-24高二上·新疆·期中）經過的直線l在x軸上的截距的取值范圍為，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出端點處的直線l的斜率，從而求出斜率k的取值范圍.
【詳解】由直線l在x軸上的截距的取值范圍為，
l過點的斜率，
l過點的斜率，

故直線l的斜率k的取值范圍為.
5．（23-24高二上·江蘇常州·期中）若過，兩點的直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據兩點間斜率公式，結合斜率與傾斜角的關系可得解.
【詳解】過，兩點的直線的斜率，
又直線的傾斜角為，即，
所以，解得，
.
6．（23-24高二上·山西呂梁·階段練習）斜率為的直線的傾斜角所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據斜率與傾斜角的關系判斷．
【詳解】由題意，而，所以，
．
7．（23-24高二上·安徽合肥·期中）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】由直線在坐標平面內位置判斷傾斜角.
【詳解】因為直線平行于軸，所以傾斜角為.
.
8．（23-24高二上·江蘇鎮江·期中）已知直線經過點，且不經過第三象限，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接根據圖像觀察可得直線斜率的取值范圍.
【詳解】因為直線經過點，且不經過第三象限
所以，
又，
所以.
.
二、多選題
9．（23-24高二上·福建泉州·階段練習）過點作直線，使得直線和連接點的線段總有公共點，則直線的傾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由題意畫出圖形，數形結合即能求出使直線與線段有公共點的直線的斜率的范圍與傾斜角的范圍.
【詳解】
由題意，，，
且直線與連接點的線段總有公共點，如下圖所示，
所以，即
又因為．故.
D．
10．（21-22高二上·江蘇南通·期中）若經過和的直線的傾斜角為鈍角，則實數的值不可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【分析】利用求出的范圍即可.
【詳解】據題意可知，
即，所以．
CD．
11．（20-21高二·全國·課后作業）以下四個命題正確的是（ ）
A．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應
B．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應
C．坐標平面上所有的直線都有傾斜角
D．坐標平面上并不是所有直線都有斜率
【答案】ACD
【分析】由直線的斜率與傾斜角的關系可得答案.
【詳解】有意義，則傾斜角必存在，所以A正確，
若，則不存在，所以B錯誤，C，D正確．
CD.
三、填空題
12．（23-24高二上·上海·期末）直線的斜率的取值范圍為，則其傾斜角的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由斜率的定義及正切函數的性質，即可求得結果.
【詳解】設直線的傾斜角為，斜率為，因為，
又因為，所以，
故答案為：.
13．（23-24高二上·江蘇揚州·階段練習）經過兩點 的直線的傾斜角為，則
【答案】/
【分析】根據斜率列方程，由此求得.
【詳解】傾斜角為，斜率為，
所以，
解得.
故答案為：
14．（23-24高二上·廣西河池·階段練習）若直線的斜率滿足，則直線的傾斜角的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意斜率的定義結合正切函數分析求解.
【詳解】由直線斜率和傾斜角關系知：，即，解得，
所以直線傾斜角的取值范圍為．
故答案為：.
四、解答題
15．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線l經過兩點，，問：當m取何值時：
(1)直線l與x軸平行？
(2)直線l與y軸平行？
(3)直線的傾斜角為？
(4)直線的傾斜角為銳角？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直線l與x軸平行，則直線的斜率，據此可以求m的值；
（2）直線l與y軸平行，則直線l的斜率不存在，據此可以得出m的值；
（3）直線的傾斜角為，則直線的斜率，據此可以求m的值；
（4）直線的傾斜角為銳角，則直線的斜率，據此可以求出m的范圍.
【詳解】（1）若直線l與x軸平行，則直線l的斜率，
所以.
（2）若直線l與y軸平行，則直線l的斜率不存在，
所以.
（3）由題意可知，直線l的斜率，即，
解得.
（4）由題意可知，直線l的斜率，即，解得.
16．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）已知直線過點，.
(1)若直線的傾斜角為，求實數的值；
(2)若直線的傾斜角為鈍角，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據斜率公式和斜率為傾斜角的正切值可得.
（2）傾斜角為鈍角時，斜率小于，再利用斜率公式可得.
【詳解】（1）由題意得，得.
（2）由題意得，得，
故實數的取值范圍為
17．（23-24高二上·四川巴中·階段練習）已知坐標平面內三點，，.
(1)求直線AC的傾斜角；
(2)若D為的AB邊上一動點，求直線CD的傾斜角的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由兩點式斜率公式求出斜率，然后根據斜率與傾斜角的關系求解即可
（2）數形結合，利用兩點式斜率公式，根據斜率與傾斜角變化的規律分析求解即可.
【詳解】（1）由，得，
因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，所以直線AC的傾斜角為.
（2）如圖，當直線CD繞點C由CA逆時針轉到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，

此時由增大到，又，，所以的取值范圍為，
即直線CD的傾斜角的取值范圍為.
18．（23-24高二上·湖北·階段練習）已知坐標平面內兩點．
(1)當直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍；
(2)若直線的方向向量為，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合兩點式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根據方向向量得，解方程即可得出答案.
【詳解】（1）因為傾斜角為銳角，則，又
即，解得．
（2）直線的方向向量為
19．（22-23高二上·全國·課后作業）已知點，，點在線段上.
(1)求直線的斜率；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩點斜率公式可直接解答；
（2）先確定滿足的關系式，然后利用基本不等式可直接解答.
【詳解】（1）由題意知，直線的斜率.
（2）當點在兩點之間時，
由點在線段上，
易知，即，
即，
當P與重合時也滿足，
因此，
亦即，且，
所以，
，
當且僅當，即時，等號不成立.
故的最大值為.
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