資源簡介

2.2.2直線的方程
課程標準 學習目標
理解直線的傾斜角和斜率的概念， 2.掌握兩點的直線斜率的計算公式，以及直線方程的五種形式。 1.重點:直線的傾斜角與斜率，直線方程的五種形式 2.難點:根據直線的斜率計算傾斜角，恰當地選擇直線方程的某一種形式采用待定系數法確定直線方程。
知識點01 直線的方程
一般地，如果直線l上點的坐標都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解為坐標的點都在直線l上，則稱F(x,y)=0為直線l的方程，而直線l稱為方程 F（x，y）=0的直線.此時，"直線l"也可說成"直線F（x，y）=0"，并且記作l：F（x，y）=0.
【即學即練1】（21-22高二·全國·課后作業）直線的方程是指（ ）
A．直線上點的坐標都是方程的解
B．以方程的解為坐標的點都在直線上
C．直線上點的坐標都是方程的解且以方程的解為坐標的點都在直線上
D．以上都不對
【答案】D
【分析】根據直線方程的定義判斷即可.
【詳解】直線的方程是指直線上點的坐標都是方程的解且以方程的解為坐標的點都在直線上，
【即學即練2】（21-22高二·全國·課后作業）方程①；②；③，④中，能表示一條直線的方程是 ．（填序號）
【答案】②④
【分析】①由對數運算得到，結合對數函數定義域得到直線位于第一象限的部分，不合題意；②由對數運算得到；③化簡后得到，表示兩條直線；④由指數運算和對數運算求得，符合要求.
【詳解】，即，，表示直線位于第一象限的部分，不合題意，①錯誤；
，即，表示一條直線，故②正確；
，即，即或，表示兩條直線，不合題意，③錯誤；
，即，表示一條直線，④正確.
故答案為：②④
知識點02直線的點斜式
1.經過點P（xo，yo）且斜率為k的直線方程為y-yo=k（x-x0）稱為直線的點斜式方程.
2.經過點P（xo，yo）且斜率為0的直線方程為y=y0,經過點P（xo，yo）且斜率不存在的直線方程為 x=xo .
【即學即練3】（24-25高二上·全國·課后作業）經過點且斜率為2的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據直線的點斜式方程寫出即可.
【詳解】由點斜式可得直線的方程為，
化為.
.
【即學即練4】（23-24高二上·江蘇蘇州·階段練習）過點且斜率為的直線的點斜式方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據點斜式公式帶入條件即可.
【詳解】將，斜率為帶入直線方程點斜式，得.
.
知識點03 直線的斜截式
1.一般地，當直線l既不是x軸也不是y軸時：若l與x軸的交點為（a，0），則稱l在x軸上的截距為a；若l與y軸的交點為（0，b），則稱l在y軸上的截距為b.一條直線在y軸上的截距簡稱為截距．斜率為k，截距為b的直線方程為y=kx+b，稱為直線的斜截式方程.
2.直線y=kx＋b中k的幾何意義是直線的斜率,b的幾何意義是直線的截距（即直線在y軸上的截距）.
【即學即練5】（22-23高二上·湖南·期中）傾斜角為135°，在軸上的截距為1的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據直線斜率和截距即可求解.
【詳解】因為直線的傾斜角為135°，所以斜率為-1.因為直線在軸上的截距為1，所以所求直線方程為，即.
【即學即練6】（22-23高二上·江蘇連云港·開學考試）若直線l的傾斜角α滿足4sinα=3cosα，且它在x軸上的截距為3，則直線l的方程是 .
【答案】
【分析】由已知確定直線的斜率，應用斜截式寫出直線方程.
【詳解】由4sinα=3cosα，所以tanα=，
從而直線l的方程為，即.
故答案為：
知識點04 直線的兩點式
經過兩點,(--)的直線方程為，這種形式的直線方程稱為直線的兩點式方程.
【即學即練7】（24-25高二上·全國·隨堂練習）過點，的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用直線方程的兩點式寫出直線方程即可.
【詳解】因為直線過點，，所以直線方程為，
.
【即學即練8】（2024高二上·全國·專題練習）經過兩點的直線方程為 .
【答案】
【分析】由直線的兩點式方程直接寫出，再化簡.
【詳解】經過兩點的直線方程為：，整理，
得.
故答案為：.
知識點05 之間的截距式
直線在x,y軸上的截距分別為a,b，且a≠0，b≠0，則直線方程可寫為,這種形式的方程稱為直線的截距式方程，注意這里要求直線在x軸y軸上的截距都存在且不為0.
【即學即練9】（22-23高二上·海南·期中）在軸、軸上的截距分別是、3的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用直線的截距式方程即可求解.
【詳解】因為直線在軸、軸上的截距分別是、3，
所以直線方程是，即．
．
【即學即練10】（23-24高二上·陜西·階段練習）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根據截距的定義計算即可.
【詳解】令，解得，故；
令，解得，故．
知識點06 直線的一般式
1.所有的直線方程都是關于x，y的二元一次方程,關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.
2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)稱為直線的一般式方程.
3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，則方程可以化為y=-x-,它表示的是斜率為-且截距為-的直線；如果B=0，則由A,B不同時為0可知A≠0,從而方程可以化為x=-,它表示的是斜率不存在且過點（-，0）的直線.
【即學即練11】（23-24高二上·江蘇·課后作業）直線的一般方程中的幾何要素
若直線的一般方程為，
（1）當時，直線的斜率為 ，橫截距為 ，縱截距為 ；
（2）當時，直線的斜率為 ，橫截距 ，縱截距為 ；
（3）當時，直線的斜率 ，橫截距 ，縱截距 ；
【答案】 0 不存在 不存在 不存在
【即學即練12】（23-24高二上·陜西西安·階段練習）的頂點，則邊上的中線所在的直線方程是 ．
【答案】
【分析】
求出線段的中點坐標，用兩點式求出直線方程，化為一般方程；
【詳解】中點坐標為，即，
所以邊上的中線所在的直線方程是：，
整理得：.
故答案為：
難點：最值問題
示例1：（23-24高二上·廣東佛山·階段練習）已知直線．
(1)求證：無論為何值，直線恒過定點；
(2)若直線交軸負半軸于，交軸正半軸于的面積為（為坐標原點），求的最小值和此時直線的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)的最小值為4，直線的方程為
【分析】（1）將直線方程化為點斜式，從而求得定點的坐標.
（2）先求得的表達式，然后利用基本不等式求得的最小值，并求得此時直線的方程.
【詳解】（1）直線可化為，故過定點，
所以無論為何值，直線恒過定點；
（2）因為直線交軸負半軸于，交軸正半軸于，所以，
則中取得，取得，
，
當且僅當時，即時取“”，
所以的最小值為4，直線的方程為．

【題型1：直線的點斜式方程】
例1．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）過點且斜率為1的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直線方程的點斜式可直接寫出方程，化簡即可.
【詳解】根據題意可得直線為，化簡得.
變式1．（23-24高二上·貴州遵義·期末）已知直線過點，且傾斜角為直線傾斜角的一半，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直線傾斜角和斜率關系即可得出直線方程.
【詳解】設直線的傾斜角為，則，解得，
因為直線傾斜角為直線傾斜角的一半，
所以直線傾斜角為，從而，
即直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，
即.
.
變式2．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知直線經過點，且它的一個方向向量為，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用直線的點斜式方程求解即得.
【詳解】直線的一個方向向量為，則直線的斜率為2，而直線過點，
所以直線的方程為，即.
變式3．（23-24高二上·四川達州·期末）經過點且傾斜角為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直線斜率，利用點斜式求出直線方程，得到答案.
【詳解】直線斜率，故直線方程為，即.
變式4．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據點斜式方程求解即可.
【詳解】直線在軸上的截距為，點在直線上，
又直線的斜率為,根據點斜式方程得即.
.
變式5．（23-24高二上·全國·課后作業）過點且傾斜角為的直線方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據直線的點斜式方程即得.
【詳解】
因過的直線傾斜角為，即直線垂直于y軸，故其方程為y1．
.
變式6．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知直線的斜率是2，且在y軸上的截距是，則此直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據直線的斜截式方程求解即得.
【詳解】根據直線的斜截式方程得，直線為.
變式7.（24-25高二上·全國·課堂例題）根據條件寫出下列直線的點斜式方程：
(1)經過點，斜率；
(2)經過點，傾斜角為．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題中給出的點和斜率即可利用直線的點斜式方程求得答案；
（2）先根據傾斜角求出直線的斜率，再根據直線的點斜式方程求得答案.
【詳解】（1）由點斜式方程可知，所求直線的點斜式方程為．
（2）由題意知，直線的斜率，
故所求直線的點斜式方程為．【方法技巧與總結】
關于點斜式方程的幾點說明
（1）直線的點斜式方程的前提條件：
①己知一點P（xo，yo）和斜率k；
②斜率必須存在．只有這兩個條件都具備，才可以寫出點斜式方程．
（2）方程y-yo=k（x-xo）與方程k=不是等價的，前者表示整條直線，后者表示去掉點P（xo，yo）的一條直線.
（3）當k取任意實數時，方程y-yo=k（x-xo）表示恒過定點（xo，yo）且不垂直于x軸的無數條直線.
【題型2：直線的斜截式方程】
例2．（23-24高二上·全國·課后作業）直線l的斜率為方程的根，且在y軸上的截距為5，則直線l的方程為 .
【答案】
【分析】先求解出方程的根，再根據斜截式寫出直線方程即可.
【詳解】由題意，方程的根為1，所以，y軸截距為5
直線l的方程為.
故答案為：.
變式1.（2023高二上·江蘇·專題練習）已知直線的傾斜角為，在軸上的截距是，求直線的斜截式方程；
【答案】
【分析】由題意可得斜率，再由直線的斜截式方程即得答案.
【詳解】解：因為傾斜角，
所以斜率，
由斜截式可得直線方程為.
變式2.（2023高二上·江蘇·專題練習）寫出下列直線的斜截式方程：
(1)直線斜率是，在y軸上的截距是；
(2)直線傾斜角是，在y軸上的截距是；
(3)直線在軸上的截距為，在y軸上的截距為.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由斜截式求解直線方程即可；
（2）先根據傾斜角求直線的斜率，再根據斜截式求解直線方程即可；
（3）根據直線過的兩點，確定直線斜率，再根據斜截式求解直線方程即可.
【詳解】（1）由直線的斜截式方程可知，所求直線方程為.
（2）因為直線斜率為，由直線的斜截式方程可知所求直線方程為：.
（3）因為直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，所以直線過點，，
根據兩點可求直線斜率，所以直線的斜截式方程為.
變式3．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線l的方程為2x－5y＋100，且在y軸上的截距為b，則b等于（　　）
A．－2 B．2
C．－5 D．5
【答案】C
【分析】直接利用直線方程求出在y軸上的截距為b.
【詳解】令x0，則y2，
所以直線2x－5y＋100在y軸上的截距是2.
變式4．（23-24高二上·廣東汕頭·期中）已知直線：，則在軸上的截距為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根據截距的定義令即可得在軸上的截距為1.
【詳解】將方程化簡可得，
令，得，
所以在軸上的截距為1；
變式5．（23-24高二上·山東聊城·期末）直線在x軸上的截距為（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】直接利用定義求解截距即可.
【詳解】令，解得，顯然截距是.
變式6．（23-24高二上·河南信陽·期末）直線在y軸上的截距為（ ）
A． B． C．1012 D．2024
【答案】C
【分析】利用截距的定義，結合直線方程即可得解.
【詳解】因為，令，得，
所以直線在y軸上的截距為.
.
變式7．（23-24高二上·遼寧沈陽·階段練習）直線（為常數）的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直線的斜率，從而得到傾斜角的取值范圍.
【詳解】的斜率一定存在，故傾斜角不為，
直線斜率，

結合正切的函數圖象，可得傾斜角的取值范圍是.
變式8．（23-24高二上·江西贛州·期中）已知直線：的傾斜角的取值范圍為，則直線：的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據兩直線的斜率互為相反數即可得到答案.
【詳解】顯然當時，直線的傾斜角為，不適合題意，
則，則直線的斜率為，直線的斜率為，
所以與的斜率互為相反數，所以與的傾斜角互補,
得的傾斜角的取值范圍為.
.
【方法技巧與總結】
對直線斜截式方程的理解
直線的斜截式方程與一次函數的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有區別，當k=0時，y=kx＋b即為一次函數；當k≠0時，y=kx＋b，不是一次函數，一次函數y=kx+b（k≠0）必是一條直線的斜截式方程.
截距不是距離，可正、可負也可為零.
【題型3：直線的兩點式方程】
例3．（24-25高二上·全國·課后作業）經過兩點的直線方程可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據直線兩點式方程可得答案.
【詳解】當經過的直線不與軸、軸平行時，
所有直線均可以用表示，
由于可能相等，也可能相等，
所以只有選項C滿足包括與軸、軸平行的直線．
．
變式1．（23-24高二上·內蒙古赤峰·階段練習）已知直線過點點，則直線方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直線的兩點式方程即可得解.
【詳解】因為過點點，
所以直線的方程為，即．
．
變式2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知點，，則直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知的兩點求出直線的方程，將代入直線方程即可求解軸上的截距.
【詳解】因為直線經過兩點和，則直線方程為，化簡得，
令，則直線在軸上的截距為.
.
變式3.（23-24高二上·甘肅金昌·階段練習）已知直線l經過點，，則下列不在直線l上的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知的兩點求出直線l的方程，將點的坐標代入直線方程即可求解.
【詳解】由直線的兩點式方程，得直線l的方程為，即，
將各個選項中的坐標代入直線方程，
可知點，，都在直線l上，點不在直線l上．
．
變式4．（23-24高二上·全國·課后作業）經過點的直線的兩點式方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據兩點式方程的定義結合已知條件求解
【詳解】因為直線經過點，
所以由方程的兩點式可得直線方程為，即．
變式5．（22-23高二上·全國·課后作業）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求得點M的坐標，由直線的兩點式方程求解.
【詳解】點M的坐標為(2,1)，由直線的兩點式方程得，即.
變式6．（22-23高二上·福建泉州·階段練習）在中,,則邊上的中線所在的直線的一般方程為 .
【答案】
【分析】邊上的中線過的中點及點,根據兩點坐標,求出中點坐標,再結合點坐標,用兩點式即可求出方程.
【詳解】解:由題知,,
故的中點坐標為:,
因為,
所以邊上的中線所在的直線為:
,
即:.
故答案為:
變式7．（23-24高二上·江蘇·期中）已知兩條直線和都過點，則過兩點、的直線的方程為 ．
【答案】
【分析】先將點代入得到兩條直線方程，再由兩點都在直線上得到過該兩點的直線.
【詳解】將點代入兩條直線可得，
所以點都在直線上，
而經過兩點的直線只有一條，所以直線方程是，
故答案為：.
【方法技巧與總結】
直線的兩點式方程應注意的問題
要注意方程和方程（）（）=（）（）形式
不同，適用范圍也不同．前者為分式形式方程，形式對稱，但不能表示垂直于坐標軸的直線．后者為整式形式方程，適用于過任意兩點的直線.
【題型4：直線的截距式方程】
例4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐標系中，直線在軸上的截距為（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】對直線方程，令，即可求得結果.
【詳解】對方程，令，解得；
故直線在軸上的截距為.
.
變式1．（23-24高二上·山東青島·期末）直線在軸 軸上的截距分別是和，則直線的一般式直線方程為 .
【答案】
【分析】由已知先求出直線的截距式方程，再化為一般式方程即可得解.
【詳解】由題意，直線l的截距式方程為，
化為一般式方程為.
故答案為：.
變式2．（23-24高二上·江西萍鄉·期末）已知過點的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為 ．
【答案】（答案不唯一：或）
【分析】分截距是否為0分類討論即可求解.
【詳解】由題意若過點的直線在坐標軸上的截距均為0，則顯然滿足題意，即，
否則設滿足題意的直線方程為，將代入得，即也滿足題意.
故答案為：（答案不唯一：或）.
變式3．（2024高二上·全國·專題練習）如圖，已知直線過點，且與軸，軸的正半軸分別交于，兩點，為坐標原點，則三角形面積的最小值為 ．
【答案】
【分析】設出直線的截距式方程，推出截距關系式，寫出面積的表達式，再由不等式得最值．
【詳解】設直線為，
因為直線過點，則，
三角形面積為，
利用均值不等式，，即，
當且僅當等號不成立，
于是，三角形面積為．
故答案為：
變式4．（2024高二上·全國·專題練習）若直線經過點，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時， .
【答案】/
【分析】根據題意，由條件可得，再結合基本不等式即可得到當取最小值的條件，即可得到結果.
【詳解】因為直線經過點，可得，
則，
當且僅當時，即時，等號不成立，
所以直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值為，
此時，則.
故答案為：.
變式5．（2024高二上·全國·專題練習）已知兩點，動點在線段上運動，則的取值范圍為 ．
【答案】[0,3]
【分析】由截距得直線線段方程即的關系，用代入法化為關于的二次函數，利用二次函數性質得其范圍．
【詳解】線段方程為，于是，
從而，
顯然當時，取最大值3；當或3時，xy取最小值0．
故答案為：．
變式6.（多選）（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知直線：，則（ ）
A．不過原點 B．的橫截距為
C．的斜率為 D．與坐標軸圍成的三角形的面積為3
【答案】AC
【分析】根據直線方程的確定點是否再直線上可判斷A，由橫截距、斜率的概念可判斷B，C，由橫縱截距求解與坐標軸圍成的三角形的面積可判斷D.
【詳解】已知直線：，
對于A，原點不滿足直線方程，故不過原點，故A正確；
對于B，當時，，故的橫截距為，故B不正確；
對于C，直線的方程可化為，則的斜率為，故C正確；
對于D，當時，，則與坐標軸圍成的三角形的面積為，故D不正確.
C.
變式7．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線l：，則（　　）
A．直線l過點
B．直線l的斜率為
C．直線l的傾斜角為
D．直線l在軸上的截距為1
【答案】CC
【分析】根據直線方程逐項判斷.
【詳解】對于A，將代入，可知不滿足方程，故A不正確；
對于B，由，知直線l的斜率為，故B正確；
對于C，設直線l的傾斜角為α，則，可得，故C正確；
對于D，由，令，可得直線l在軸上的截距為－1，故D不正確．
C
【方法技巧與總結】
直線的截距式方程
我們把直線與x軸的交點（a，0）的橫坐標a稱為直線在x軸上的截距，此時直線在y軸上的截距是b.
方程由直線l在兩個坐標軸上的截距a與b確定，所以稱為直線的截距式方程.
截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線有兩個非零截距，截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行的直線.
（2）直線的截距式方程的特征是x項分母對應的是橫截距，y項分母對應的是縱截距，中間以“＋”號連接，等式右邊為1，如就不是直線的截距式方程.
（3）由直線的截距式方程可直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，同時，截距式在解決與面積有關的問題和作圖時使用起來非常方便.
（4）直線在y軸上的截距是直線與y軸交點的縱坐標，直線在x軸上的截距是直線與x軸交點的橫坐標，而不是交點到原點的距離，因此截距a，b可能為正或零，也可能為負.
【題型5：直線的一般式方程】
例5．(多選)（23-24高二上·貴州貴陽·期中）已知直線，其中不全為0，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，過坐標原點
B．當時，的傾斜角為銳角
C．當時，和軸平行
D．若直線過點，直線的方程可化為
【答案】AD
【分析】選項A，原點坐標適合直線方程；選項B，化為斜截式方程可得斜率為負，傾斜角為鈍角；選項C，方程變形為可知；選項D，由直線過點，得，代入直線方程可得.
【詳解】選項A，當時，是方程的解，
即過坐標原點，故A正確；
選項B，當時，直線的方程可化為，
則直線的斜率，的傾斜角為鈍角，故B錯誤；
選項C，當時，由不全為0，，
直線的方程可化為，
故直線和軸垂直，不平行，故C錯誤；
選項D，直線過點，則，
可得，代入直線方程，
得，即，故D正確.
D.
變式1．（多選）（23-24高二上·貴州·開學考試）已知直線（不同時為0），則（ ）
A．當時，與軸垂直
B．當時，與軸重合
C．當時，過原點
D．當時，的傾斜角為銳角
【答案】CC
【分析】根據直線方程的特征一一分析即可.
【詳解】對于A：當時直線（），即，表示與軸平行（重合）的直線，故A錯誤；
對于B：當時直線，即，即與軸重合，故B正確；
對于C：當時直線，此時滿足方程，即過原點，故C正確；
對于D：當時直線，即，斜率，
所以的傾斜角為鈍角，故D錯誤；
C
變式2．（22-23高二·全國·隨堂練習）已知直線（其中A，B不全為0）．
(1)寫出直線l的一個法向量的坐標．
(2)若直線l經過原點，則A，B，C滿足的條件是什么？
(3)若直線l與x軸平行或重合，則A，B，C滿足的條件是什么？
(4)若直線l與x軸和y軸都相交且不經過原點，則A，B，C滿足的條件是什么？
【答案】(1)；
(2)，不全為零；
(3)；
(4).
【分析】（1）根據直線的方向向量，即可求得法向量.
（2）根據點滿足直線方程，即可求得結果.
（3）根據直線斜率為零，即可求得結果.
（4）由直線的橫縱截距都存在且不為0，即可求得結果.
【詳解】（1）因為直線的一個方向向量為，
顯然向量滿足，即向量與向量垂直，
所以該直線的一個法向量可以為.
（2）若直線經過原點，即滿足直線方程，即，
所以，不全為零.
（3）若直線與軸平行或重合，則其斜率為零，顯然，
所以.
（4）若直線與軸和軸都相交且不經過原點，則直線的橫縱截距都存在且不為0，則，
所以.
變式3．（21-22高二上·遼寧大連·階段練習）已知方程．
(1)求該方程表示一條直線的條件；
(2)當m為何實數時，方程表示的直線斜率不存在？求出這時的直線方程；
(3)已知方程表示的直線l在x軸上的截距為，求實數m的值；
(4)若方程表示的直線l的傾斜角是45°，求實數m的值．
【答案】(1)；
(2)；；
(3)；
(4)
【分析】（1）先令，的系數同時為零時得到，即得時方程表示一條直線；
（2）由（1）知時的系數為零，方程表示的直線的斜率不存在，即得結果；
（3）由（1）知的系數不為零時，直線在軸上的截距存在，解得截距構建關系，即解得參數m；
（4）由（1）知，的系數為零時，直線的斜率存在，解得斜率構建關系式，解得參數m.
【詳解】（1）當，的系數不同時為零時，方程表示一條直線．
令，解得或；
令，解得或．
所以，的系數同時為零時，
故若方程表示一條直線，則，
即實數的取值范圍為；
（2）當的系數不為0，的系數為0時斜率不存在，
由（1）知當時，且，方程表示的直線的斜率不存在，
此時直線方程為；
（3）易知且時，直線在軸上的截距存在.
依題意，令，得直線在軸上的截距，解得，（舍去）．
所以實數的值為；
（4）易知且時，直線的斜率存在，
方程即，
故斜率為.
因為直線的傾斜角是45°，所以斜率為1，所以，解得，（舍去）．
所以實數的值為．
變式4．（23-24高二上·甘肅武威·期中）直線的斜率的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據余弦函數值域，結合直線斜率即可得到答案.
【詳解】因為，
所以直線的斜率．
故答案為：.
變式5．（23-24高二上·山西·階段練習）已知直線：的傾斜角為，則 .
【答案】
【分析】由直線方程求直線的斜率，即可得傾斜角的正切，進而求出的值.
【詳解】由題可知直線：的斜率為，
即，因為，所以.
故答案為：.
變式6．（23-24高二上·廣東肇慶·期末）直線l：與y軸的交點為A，把直線l繞著點A逆時針旋轉得到直線，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設直線l：的傾斜角為，可得，從而利用兩角和的正切公式求出直線的斜率，由直線的點斜式方程，即可得答案.
【詳解】設直線l：的傾斜角為，則，
由題意可得，直線的傾斜角為，
則直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
【方法技巧與總結】
二元一次方程的系數和常數項對直線的位置的影響
當A=0，B≠0，C≠0時，方程表示的直線與x軸平行.
當A≠0，B=0，C為任意實數時，方程表示的直線與x軸垂直.
當A=0，B≠0，C=0時，方程表示的直線與x軸重合.
當A≠0，B=0，C=0時，方程表示的直線與y軸重合.
（5）當C=0，A，B不同時為0時，方程表示的直線過原點.
【題型6：直線與坐標軸圍成三角形問題】
例6．（2024高二上·全國·專題練習）已知直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】求出直線在坐標軸上的截距，再利用面積公式解方程可得.
【詳解】令，得；令,得．
故與坐標軸圍成的三角形的面積為，解得.
變式1．（多選）（21-22高二上·浙江嘉興·期中）直線的方程為：，則（ ）
A．直線恒過定點
B．直線斜率必定存在
C．時直線的傾斜角為
D．時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為
【答案】AD
【分析】對于，把點代入直線方程驗證即可；對于，當時，直線的斜率不存在，故錯誤；對于，根據解析式，求出斜率，即可求得傾斜角；對于，求出直線在坐標軸上的坐標，即可計算三角形的面積.
【詳解】因為直線的方程為：，
把代入得，恒不成立，故正確；
當時，直線方程為，直線的斜率不存在，故錯誤；
當時，直線的斜率，傾斜角為，故錯誤；
當時，直線方程為，
則與軸的交點為，與軸的交點為，
所以直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，故正確，
故選：
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線l的方程為，直線l與坐標軸交于A，B兩點，則的面積為 ．
【答案】6
【分析】分別求出直線與坐標軸的交點的坐標，從而可求出的面積.
【詳解】直線l的方程為，
令，得，令，得，
不妨令，，則．
故答案為：6
變式3．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）縱截距為4，與兩坐標軸圍成的三角形面積為10的直線的一般式方程為 ．
【答案】或．
【分析】先設直線的截距式，結合已知條件求出直線方程后，化為一般式即可．
【詳解】由題意可設直線方程為，
則，即，
所以直線方程為或，
所以直線的一般式方程或．
故答案為：或．
變式4．（2024高二·全國·專題練習）已知直線l的斜率為，且和兩坐標軸圍成面積為3的三角形，求l的斜截式方程．
【答案】或
【分析】根據直線的斜距式方程，可得軸上的交點，即可根據三角形面積即可求解.
【詳解】設直線方程為，則時，時，.
由已知可得，
即，∴.
故所求直線方程為或
變式5．（2023高二上·江蘇·專題練習）已知直線l的斜率為，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的斜截式方程．
【答案】或
【分析】直線l的斜截式方程為，求出直線在坐標軸上的截距，表示出三角形面積，解出的值得方程.
【詳解】設直線方程為，則令得；令得，
由題意得，即，所以，
所以直線l的方程為或.
變式6．（22-23高二下·湖南長沙·期中）已知的三個頂點分別為，，.
(1)求邊和所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線與坐標軸圍成的三角形的面積.
【答案】(1)，
(2)25
【分析】（1）由截距式直線方程與兩點式直線方程即可寫出直線方程；
（2）先將直線方程求出，再寫出截距式直線方程即可求三角形面積.
【詳解】（1）由截距式，得邊所在直線的方程為，即.
由兩點式，得邊所在直線的方程為，即.
（2）由題意，得點的坐標為，
由兩點式，得邊所在直線的方程為，
即，所以.
所以直線與坐標軸圍成的三角形的面積.
變式7．（23-24高二上·廣東佛山·期中）過點的直線可表示為，若直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】A
【分析】
先求得橫截距和縱截距，然后根據三角形的面積列方程，解方程求得正確答案.
【詳解】可化為①，
要使與兩坐標軸能圍成三角形，則且，
由①令得；令得，
依題意，
，所以或,
所以或，
設，則或，
則或
解得或，
即或，
即或，
所以這樣的直線有條.
變式8．（23-24高二上·上海·課后作業）在平面直角坐標系中，是坐標原點，設函數的圖象為直線，且與軸、軸分別交于、兩點，給出下列四個命題：
①存在正實數，使的面積為的直線僅有一條；
②存在正實數，使的面積為的直線僅有二條；
③存在正實數，使的面積為的直線僅有三條；
④存在正實數，使的面積為的直線僅有四條．
其中，所有真命題的序號是（ ）．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④
【答案】A
【分析】
根據題意，求得的面積為，結合基本不等式，求得時，得到當且僅當時，等號不成立，所以；當時，時，結合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】
由正弦與和軸交點的坐標分別為，
所以的面積為，
當時，，
當且僅當時，等號不成立，所以，
所以，當，結合對勾函數性質，在時有兩個值，
當時，，
當且僅當時取等號，當時，在時，有兩個值，
所以，當時，，則直線過原點，不存在的面積為，所以故①不正確；
當時，僅有兩條直線使的面積為，所以②正確；
當 時，僅有三條直線使的面積為，所以③正確；
當時，僅有四條直線使的面積為，所以④正確；
綜上所述，真命題的序號是②③④.
.
【題型7：直線過定點問題】
例7．（24-25高二上·全國·隨堂練習）已知直線的方程是，則（ ）
A．直線經過定點，斜率為 B．直線經過定點，斜率為
C．直線經過定點，斜率為 D．直線經過定點，斜率為
【答案】A
【分析】根據直線的點斜式方程，即可得到答案.
【詳解】直線的方程可化為，
所以直線過定點，斜率為．
變式1．（22-23高二下·吉林長春·開學考試）不論k為任何實數，直線恒過定點，則這個定點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直線方程即，一定經過和 的交點，聯立方程組可求定點的坐標．
【詳解】直線
即，
根據的任意性可得，解得，
不論取什么實數時，直線都經過一個定點．
變式2．（23-24高二下·上海寶山·期末）若無論實數取何值，直線都經過一個定點，則該定點坐標為 .
【答案】
【分析】變形得到方程組，求出定點坐標.
【詳解】令，解得，故經過的定點坐標為.
故答案為：
變式3．（23-24高二上·上海虹口·階段練習）無論實數λ取何值，直線恒過定點 .
【答案】
【分析】
將直線方程化為，進而分析求解.
【詳解】由，可得，
令，解得，
所以直線恒過定點.
故答案為：.
變式4．（23-24高二上·北京·期中）無論取何值，直線恒經過一個定點，的坐標為 ，經過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為 ．
【答案】 或
【分析】將直線方程轉化為，即可得出定點坐標，然后根據截距的概念分類討論求直線方程即可.
【詳解】直線，即，
所以直線過定點，即點的坐標.
過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程,
當截距為0時，直線的方程即：；
當截距不為0時，設截距為，直線方程為：，
點在直線上，所以，解得，
此時直線方程為，即，
故直線方程為：或.
故答案為：；或.
變式5．（23-24高二上·廣東惠州·期中）直線過定點 .
【答案】
【分析】首先整理可得，解方程組即可得解.
【詳解】由可得：
，
所以，
解得，所以定點坐標為，
故答案為：.
變式6．（23-24高二上·全國·課后作業）不論為何實數，直線恒過第 象限.
【答案】二
【分析】
根據題意，將直線方程變形，列出方程代入計算，即可得到結果.
【詳解】直線方程可變形為：，
由，求得，
直線過定點，因此直線必定過第二象限，
故答案為：二.
變式7．（23-24高二下·全國·課后作業）已知直線.
(1)求證：直線過定點；
(2)若直線不經過第二象限，求實數的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由方程變形可得，列方程組，解方程即可；
（2）數形結合，結合直線圖像可得解.
【詳解】（1）由，即，
則，解得，
所以直線過定點；
（2）
如圖所示，結合圖像可知，
當時，直線斜率不存在，方程為，不經過第二象限，不成立；
當時，直線斜率存在，方程為，
又直線不經過第二象限，則，解得；
綜上所述.
變式8．（23-24高二上·廣東中山·階段練習）已知直線的方程為：.
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線交坐標軸正半軸于兩點，當面積最小時，求的周長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將直線方程改寫成形式，解方程組即可得解.
（2）設直線的方程為，求出點坐標，表示出面積，利用基本不等式求出面積的最小值得解.
【詳解】（1）證明：由可得：，
令，
所以直線過定點．
（2）由（1）知，直線恒過定點，
由題意可設直線的方程為，設直線與軸，軸正半軸交點為，
令，得；令，得，
所以面積 ，
當且僅當，即時，面積最小，
此時，，，
的周長為.
所以當面積最小時，的周長為.
變式9．（22-23高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知直線過定點．
(1)求過點且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線方程；
(2)若直線交軸正半軸于點，交軸負半軸于點，的面積為（為坐標原點），求的最小值并求此時直線的方程．
【答案】(1)或或
(2)最小值為24，直線
【分析】（1）求出直線過的定點，分，和兩種情況，當，時，設的方程為，根據點在直線上求出直線方程，若，求出直線方程，若，求出直線方程，當，根據直線過原點，且過點求出直線的方程；
（2）求出直線交軸的正半軸的點，交軸的負半軸的點，求出的面積，根據基本不等式求出的最小值時的值.
【詳解】（1）直線，則直線過定點，
①當，時，設的方程為．
點在直線上，．
若，則，
直線的方程為，
若，則，，
直線的方程為；
②當時，直線過原點，且過點，
直線的方程為，
綜上所述，所求直線的方程為或或；
（2）令，則；令，則，
直線交軸的正半軸于點，交軸的負半軸于點，，
為坐標原點，設的面積為，
則，
當且僅當時，即時取等號，
故的最小值為24，此時，
直線．
【題型8：一般式方程與象限問題】
例8．（23-24高二下·上海·階段練習）已知直線方程為，繞點順時針旋轉，得到直線，則不過第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】顯然直線依然過定點，故只需得出只需的傾斜角，以此來判斷斜率即可得解.
【詳解】直線方程為，它的傾斜角為，繞點順時針旋轉，即繞點順時針旋轉，得到直線，
則直線依然過定點，且直線與軸負半軸夾角為，這意味著的傾斜角為，這表明的斜率小于0，
所以不過第三象限.
.
變式1．（多選）（24-25高二上·全國·課后作業）關于一次函數，下列結論正確的有（ ）
A．當時，函數圖象經過第一、二、三象限
B．當時，函數圖象經過第一、三、四象限
C．，函數圖象必經過第一、三象限
D．，函數在R上恒為減函數
【答案】ABC
【分析】根據的正負判斷函數的單調性及所過象限.
【詳解】若，，則函數圖象經過第一、二、三象限，A正確；
若，，則函數圖象經過第一、三、四象限，B正確；
若，則函數圖象必經過第一、三象限，且函數在R上恒為增函數，C正確，D錯誤．
BC
變式2．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）下列命題中錯誤的是（ ）
A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數 B．任何直線都存在斜率和傾斜角
C．直線的一般式方程為 D．任何一條直線至少要經過兩個象限
【答案】CCD
【分析】利用直線傾斜角、斜率的意義判斷AB；利用直線一般式方程的條件判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，直線的傾斜角，則其斜率，A正確；
對于B，傾斜角為的直線不存在斜率，B錯誤；
對于C，直線的一般式方程為，，C錯誤；
對于D，當直線與軸或軸重合時，該直線不經過任何象限，D錯誤.
CD
變式3．（多選）（23-24高二上·湖南岳陽·階段練習）已知直線l的方程是（A，B不同時為0），則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則直線l過定點
C．若且，則直線l不過第二象限
D．若，則直線l必過第二、三象限
【答案】CCD
【分析】對于A：舉例分析判斷；對于B：根據直線過定點分析判斷；對于CD：根據直線斜率和截距分析判斷.
【詳解】選項A：例如（x軸），可得，則，故A錯誤；
選項B：若，則，
當時，式子恒不成立，
所以直線l過定點，故B正確；
選項C：若且，則，且，
即直線l的斜率大于0，縱截距小于0，
所以直線l經過第一、三、四象限，不經過第二象限，故C正確；
選項D：若，則，且，
即直線l的斜率不為0，橫截距小于0，
所以直線l必過第二、三象限，故D正確；
CD．
變式4．（多選）（23-24高二上·新疆·期中）已知，直線經過第一、二、四象限，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先將直線方程轉化為點斜式直線方程，根據直線所過象限列出關于斜率、縱截距的不等式進行求解即可.
【詳解】將直線l的方程轉化為，因為l經過第一、二、四象限，
所以即，，.
對D，若，則，，滿足題意，故D錯誤.
BC.
變式5．（多選）（23-24高二上·遼寧沈陽·階段練習）如果，，那么直線經過的所有象限是 ．
【答案】一，三，四
【分析】將直線方程化為斜截式，即可得到斜率與縱截距，從而判斷.
【詳解】因為，，所以，，均不為零，
直線即，
所以，，所以直的斜率且與軸交于負半軸，
所以直線經過一、三、四象限.
故答案為：一、三、四
變式6．（多選）（23-24高二上·安徽·期中）已知直線，其中，，的圖象如圖所示，直線，的斜率分別為，，縱截距分別為，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據傾斜角和斜率的關系以及截距的定義判斷.
【詳解】解：由圖可知，，，
C．
【題型9：圖象選擇問題】
例9．（23-24高二下·全國·課后作業）已知直線的圖象如圖，則（ ）
A．若，則， B．若，則，
C．若，則， D．若，則，
【答案】D
【分析】將直線方程化為斜截式，則由圖象可得，，從而分析判斷.
【詳解】易知，由直線，可得，
根據圖象可得，，
若，則，；
若，則，．
變式1．（23-24高二上·浙江金華·期中）已知直線，當滿足一定條件時，它們的圖形可能是圖中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由兩直線的解析式可得直線的斜率為a、縱截距為，的斜率為b，縱截距為a，再逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.
【詳解】選項A，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，
不不成立，A錯誤；
選項B，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，
可能不成立，B正確；
選項C，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，
不不成立，C錯誤；
選項D，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，
不不成立，D錯誤.
.
變式2．（20-21高二上·天津武清·階段練習）直線：與：（其中，，），在同一坐標系中的圖象是圖中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先將直線方程化為斜截式，再結合各選項一一判斷.
【詳解】直線：，即，且與軸交于點，
直線：，即，且與軸交于點，
對于A：直線中，，直線中，，且，
則，所以的傾斜角大于的傾斜角，不符合題意，故A錯誤；
對于B：直線中，，直線中，，且，
則，所以的傾斜角大于的傾斜角，符合題意，故B正確；
對于C：直線中，，直線中，，矛盾，故C錯誤；
對于D：直線中，，直線中，，矛盾，故D錯誤；
變式3．（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知直線：，則以下四個情況中，可以使的圖象如下圖所示的為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】由直線方程求出直線在坐標軸上的截距，再根據圖象列不等式可求得結果.
【詳解】由，當時，，
當時，，
由圖可知，
所以當時，，當時，，
所以ABC錯誤，D正確，
變式4．（2021高二·全國·專題練習）方程表示的直線可能是圖中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分、兩種情況討論，分析直線的斜率及其在軸上的截距，由此可得出結果.
【詳解】直線的斜率為，在軸上的截距為，則.
當時，直線的斜率，該直線在軸上的截距，四個選項都不符合；
當時，直線的斜率，該直線在軸上的截距，B選項符合.
.
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業）直線與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據直線的斜率判斷直線的傾斜角進而判斷各個選項；
【詳解】易知直線的斜率為，直線的斜率為，
于是兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對值一個大于1，一個小于1，
檢驗4個選項，知只有B選項滿足題意．
.
變式6．（23-24高一上·四川綿陽·開學考試）一次函數與為常數，且，它們在同一坐標系內的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據圖象分析b、k取值符號進行判斷即可．
【詳解】對于選項A中，直線的直線的∴A錯；
對于選項B中，直線的直線的，∴B錯；
對于選項C中，直線的直線的∴C對；
對于選項D中，直線的直線的∴D錯．
．
變式7．（多選）（21-22高二上·江蘇南通·階段練習）直線，下列圖象中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】根據斜率和截距對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】直線，
A選項，由圖可知：，所以A選項錯誤.
B選項，由圖可知：，所以B選項正確.
C選項，由圖可知：，所以C選項正確.
D選項，由圖可知：，所以D選項錯誤.
C
【題型10：最值問題】
例題10．（21-22高一下·四川德陽·階段練習）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知，，求出直線與兩坐標軸的交點，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直線方程.
【詳解】直線可變為，所以過定點，又因為直線在兩坐標軸上的截距都是正值，可知，
令，所以直線與軸的交點為，
令，所以直線與軸的交點為，
所以，
當且僅當即時取等，所以此時直線為：.
.
變式1．（20-21高二上·重慶黔江·階段練習）在平面直角坐標系中有兩個定點、，若在軸有一動點，使得值最小，此時點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】同側求最短問題，先求關于軸的對稱點，由求出直線方程，令即可.
【詳解】關于軸的對稱點，又，，故過的直線方程為，當時，，使得值最小，故點為.
變式2．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】由題意可知，先求出動直線經過定點，再結合垂直條件應用基本不等式求出面積的最大值.
【詳解】由題意可知，動直線經過定點，
動直線即，經過點定點，
過定點A的直線與過定點B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點，
有，
故,當且僅當時取等號，
所以面積的最大值為
故選:
變式3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）直線，若直線分別與x軸，y軸的負半軸交于A、B兩點，求三角形AOB面積的最小時的直線的方程 .
【答案】
【分析】由題可得直線所過定點為，則設直線為，其中，則問題轉化為已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案.
【詳解】
，即直線所過定點為.
由題設直線方程為：，其中，則,.
由基本不等式，，面積的最小值為4，
當且僅當，即時取等號.
則三角形AOB面積最小時直線方程為
故答案為：
變式4．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）設為實數，直線．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點，并求出定點的坐標；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的正半軸的截距之和最小，求的方程．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）列出方程，解方程組，可求出定點；
（2）設出直線的方程，將點代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值時的，，從而得解.
【詳解】（1）因為直線，
所以，對恒不成立，
從而由，解得，從而直線過定點.
（2）由題意設，
因為直線過定點，所以，
與兩坐標軸的正半軸的截距之和為，
，當且僅當，
即時等號不成立，
從而的方程為，即.
變式5．（2022高二上·全國·專題練習）已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點；
（2）先令令，再表達出三角形面積，最后利用基本不等式求解即可.
【詳解】（1）證明：直線的方程為：
提參整理可得：．
令，可得，
不論為何值，直線必過定點.
（2）設直線的方程為．
令 則，
令．則，
直線與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積．
當且僅當，即時，三角形面積最小．
此時的方程為．
變式6．（21-22高二·全國·課后作業）求經過點，且分別滿足下列條件的直線方程：
(1)在兩坐標軸上的截距相等；
(2)在兩坐標軸上的截距都是正的，且截距之和最小．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分過時，不過時兩種情況討論，由過點求解即可；
（2）設出直線方程的截距式，把經過的點的坐標代入得與的等式關系，把截距的和變形后使用基本不等式求出它的最小值．
【詳解】（1）①當過時，兩坐標軸上截距為0，，
所以直線方程為；
②當直線不過原點時，設直線方程為，即，
過點，，，直線方程.
綜上：直線方程或
（2）設直線的方程為，則有，
，
當且僅當，即，時取“”．
直線方程為．
變式7．（21-22高二·全國·課后作業）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；
(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.
【答案】(1)
(2)選①：；選②：.
【分析】（1）由題意，求出直線l的傾斜角為，進而可得直線l的斜率，最后利用點斜式即可寫出直線l的方程；
（2）設， ，直線的方程為，把點代入可得，若選①：，由基本不等式等號不成立的條件，即可求得直線l的方程；若選②：，由基本不等式等號不成立的條件，即可求得直線l的方程．
【詳解】（1）解：因為過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A、B，且是等腰直角三角形，
所以直線l的傾斜角為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即；
（2）解：設， ，直線l的方程為，代入點可得，
若選①：，當且僅當時等號不成立，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即；
若選②：由，可得，當且僅當時等號不成立，
所以，即面積最小為4，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即.
一、單選題
1．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定的直線方程，求出直線的斜率，進而求出傾斜角.
【詳解】直線的斜率，所以該直線的傾斜角為.
2．（23-24高二上·浙江紹興·期末）下列方程所表示的直線中，傾斜角為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】將直線方程化成斜截式得到直線斜率，由此確定直線的傾斜角是否符合.
【詳解】對于A項，直線的斜率為2，故直線的傾斜角不是，故A項錯誤；
對于B項，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故B項錯誤;
對于C項，直線的斜率為1，故直線的傾斜角是，故C項正確；
對于D項，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故D項錯誤.
.
3．（23-24高二上·湖北荊州·期末）直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C．1012 D．2024
【答案】A
【分析】對直線方程，令，即可求得軸的截距.
【詳解】對方程，令，得，
故該直線在軸上的截距為.
．
4．（24-25高二上·湖北黃岡·階段練習）已知直線，為使這條直線不經過第二象限，則實數的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】對直線分斜率存在和不存在兩種情況討論，由直線不經過第二象限，得到關于實數的不等式，求解不等式，即可得到答案．
【詳解】若，即時，直線方程可化為，此時直線不經過第二象限，滿足條件；
若，直線方程可化為 ，此時若直線不經過第二象限，則且，解得，
綜上滿足條件的實數的范圍是.
5．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習）當點到直線距離的最大時，直線l的一般式方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將直線方程變形為，得直線系恒過點，由此得到到直線的最遠距離為，此時直線垂直于，即可求出直線方程．
【詳解】因為直線，
所以可將直線方程變形為，
，解得，，
由此可得直線系恒過點
到直線的最遠距離為，此時直線垂直于， ，
直線的斜率為，
， ，
直線的一般方程為．
6．（24-25高二上·全國·課后作業）下列直線中過第一、二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據直線經過的象限確定斜率及軸截距判斷選項即可.
【詳解】若直線過第一、二、四象限，則，
選項A，B，D中直線的斜率都大于0，只有C滿足．
.
7．（23-24高二下·上海·階段練習）“”是“直線與直線相互垂直”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】首先判斷兩直線的位置關系，再根據充分，必要條件的定義，即可判斷選項.
【詳解】直線與直線相互垂直，
則，所以不管為何值，兩直線垂直，
所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.
8．（21-22高二上·北京·期中）已知直線l的方程為，則直線l（　　）
A．恒過點且不垂直x軸
B．恒過點且不垂直y軸
C．恒過點且不垂直x軸
D．恒過點且不垂直y軸
【答案】C
【分析】由直線l的方程，令，對分類討論即可求解.
【詳解】由直線l的方程為，
令，解得．
∴直線恒過點，
若，則直線不垂直y軸，
若，則直線不垂直于軸，
綜上所述，恒過點且不垂直y軸.
．
二、多選題
9．（23-24高二上·浙江湖州·期末）對于直線l：（，），下列說法正確的是（ ）
A．直線l的一個方向向量為 B．直線l恒過定點
C．當時，直線l的傾斜角為80° D．當且時，l不經過第二象限
【答案】ABD
【分析】由直線方程的相關性質逐一判斷即可.
【詳解】對于A：直線l的一個方向向量為，A正確；
對于B：直線l的方程可化為，所以直線l恒過定點，B正確；
對于C：當時，直線l的斜率為，此時傾斜角為，C錯誤；
對于D：當且時，直線l為，所以l不經過第二象限，D正確.
BD.
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知點，，直線：與線段有交點，則可以為（ ）
A．6 B．2 C．1 D．-1
【答案】ABC
【分析】求得直線恒過定點，求得斜率，結合圖象可求得的范圍，進而可得結果.
【詳解】由直線：，可得，
故過定點，斜率為，
所以而的斜率不存在，
結合圖形可知：，即.
BC.
11．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為
B．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2
C．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為，則該直線方程為
D．過兩點的直線方程為
【答案】AB
【分析】求出直線的斜率判斷A；求出直線的橫縱截距計算判斷B；舉例說明判斷CD.
【詳解】對于A，直線的斜率為，其傾斜角為，A正確；
對于B，直線交軸分別于點，
該直線與坐標軸圍成三角形面積為，B正確；
對于C，過點與原點的直線在兩坐標軸上的截距都為0，符合題意，
即過點且在兩坐標軸上的截距之和為的直線可以是直線，C錯誤；
對于D，當時的直線或當時的直線方程不能用表示出，D錯誤.
B
三、填空題
12．（23-24高二上·湖北荊州·期末）直線經過點，且傾斜角為直線的傾斜角的一半，則l的方程為 .
【答案】
【分析】根據直線傾斜角得到，代入點坐標得到答案.
【詳解】直線的傾斜角為，，則，，
直線的傾斜角為，，直線過點，
故直線方程為，即.
故答案為：.
13．（2024高二上·全國·專題練習）直線l過點，且橫截距是縱截距的兩倍，則直線l的方程為 .
【答案】或
【分析】分截距為0和不為0兩種情況求解.
【詳解】當橫、縱截距都是0時，設直線的方程為.
∵直線過點，
∴，，
即直線的方程為.
當截距均不為0時，設直線的方程為.
∵直線過點，
∴，解得，
即直線方程為.
綜上，所求直線方程為或.
故答案為：或.
14．（23-24高二上·全國·課后作業）已知，，則過的中點且傾斜角為，直線的點斜式方程是 ．
【答案】
【分析】求出中點坐標和斜率后，根據點斜式可得結果.
【詳解】設的中點為，則，
又斜率，
所以直線的點斜式方程為．
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高二下·全國·課堂例題）設是平面直角坐標系中的直線，分別判斷滿足下列條件的是否唯一.如果唯一，作出相應的直線，并思考直線上任意一點的坐標應該滿足什么條件.
（1）已知的斜率不存在；
（2）已知的斜率不存在且過點；
（3）已知的斜率為；
（4）已知的斜率為且過點.
【答案】答案見解析
【分析】根據題意，利用直線的方程的性質，逐個判定，并求得唯一的直線方程，即可求解.
【詳解】對于（1）中，當直線的傾斜角為時，直線的斜率不存在，這樣的直線有無數條；
對于（2）中，當直線的斜率不存在且過點時，直線的方程為，
這樣的直線是唯一的，滿足題意；
對于（3）中，直線的斜率為的直線有無數條，表示一束平行線，不滿足題意；
對于（4）中，當的斜率為且過點，可得直線方程為，
即，這樣的直線是唯一的，滿足題意.
如圖所示：
16．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點.
(1)當時，求直線的方程；
(2)當的面積為時，求直線的方程.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）設直線的截距式為，由題意列出方程組，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面積，再聯立方程求出截距，即可得解.
【詳解】（1）設直線的方程為，且
由，得，由直線過點，得，解得，
所以直線的方程為.
（2）設直線的方程為，且直線不經過原點，
由題意知，，，解得或，
所以直線的方程為或.
17．（24-25高二下·上海·單元測試）在平面直角坐標系中，已知射線，過點作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點A、B．
(1)當AB的中點為P時，求直線AB的一般式方程；
(2)求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由題意可設、，根據中點坐標公式可得，，進而可得直線方程；
（2）分類討論直線斜率是否存在，求得，，即可得面積，換元結合二次函數可得最大值.
【詳解】（1）由題意可設、，且、．
當AB的中點為P時，則，解得，，
所以、．
所以直線AB的方程為，即一般式方程為：．
（2）當過點的直線斜率不存在時，、，
此時．
當過點的直線斜率存在時，
設直線AB的方程為．
直線AB與相交，可得，
直線AB與x軸正半軸相交于B，可得．
由，解得或．
則．
令，則（或），
可得，
由或，可得或，，
當，即，時，，
即，則，
此時、符合題意．
綜上，．
18．（24-25高二上·上海·課后作業）設直線l的方程為．
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在實數a，使直線l不經過第二象限？若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)或 ．
(2)存在，．
【分析】（1）確定，再分別求出直線在軸上的截距，列出方程求解即得.
（2）化直線方程為點斜式，由直線不過第二象限，列出不等式組并求解即得.
【詳解】（1）當時，直線平行于軸，在軸上無截距，不合題意，
則，直線在軸上的截距分別為，
依題意，，解得或，
當時，直線的方程為，當時，直線的方程為，
所以直線的方程為或 ．
（2）假設存在實數，使直線不經過第二象限，
而直線的方程化為，
則有，解得，
所以存在實數使直線不經過第二象限，的取值范圍為．
19．（22-23高二上·四川南充·階段練習）過點的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點.
(1)求面積的最小值以及面積最小時直線的方程;
(2)是否存在直線，使的周長為12，若存在，求出直線的方程;若不存在，說明理由.
【答案】(1)最小值為，
(2)存在， 或
【分析】（1）設直線，代入點坐標，利用均值不等式求解即可；
（2）結合以及周長為12列出方程組，求解即可.
【詳解】（1）設 ，
則直線，
直線過點 ，
則
故，
故 ，
當且僅當，
即時取得等號，此時直線，
故，此時直線的方程為.
（2）假設存在滿足條件的直線 ，
由已知有
解得 或
故存在滿足條件的直線 或
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.2.2直線的方程
課程標準 學習目標
理解直線的傾斜角和斜率的概念， 2.掌握兩點的直線斜率的計算公式，以及直線方程的五種形式。 1.重點:直線的傾斜角與斜率，直線方程的五種形式 2.難點:根據直線的斜率計算傾斜角，恰當地選擇直線方程的某一種形式采用待定系數法確定直線方程。
知識點01 直線的方程
一般地，如果直線l上點的坐標都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解為坐標的點都在直線l上，則稱F(x,y)=0為直線l的方程，而直線l稱為方程 F（x，y）=0的直線.此時，"直線l"也可說成"直線F（x，y）=0"，并且記作l：F（x，y）=0.
【即學即練1】（21-22高二·全國·課后作業）直線的方程是指（ ）
A．直線上點的坐標都是方程的解
B．以方程的解為坐標的點都在直線上
C．直線上點的坐標都是方程的解且以方程的解為坐標的點都在直線上
D．以上都不對
【即學即練2】（21-22高二·全國·課后作業）方程①；②；③，④中，能表示一條直線的方程是 ．（填序號）
知識點02直線的點斜式
1.經過點P（xo，yo）且斜率為k的直線方程為y-yo=k（x-x0）稱為直線的點斜式方程.
2.經過點P（xo，yo）且斜率為0的直線方程為y=y0,經過點P（xo，yo）且斜率不存在的直線方程為 x=xo .
【即學即練3】（24-25高二上·全國·課后作業）經過點且斜率為2的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練4】（23-24高二上·江蘇蘇州·階段練習）過點且斜率為的直線的點斜式方程為（ ）
A． B．
C． D．
知識點03 直線的斜截式
1.一般地，當直線l既不是x軸也不是y軸時：若l與x軸的交點為（a，0），則稱l在x軸上的截距為a；若l與y軸的交點為（0，b），則稱l在y軸上的截距為b.一條直線在y軸上的截距簡稱為截距．斜率為k，截距為b的直線方程為y=kx+b，稱為直線的斜截式方程.
2.直線y=kx＋b中k的幾何意義是直線的斜率,b的幾何意義是直線的截距（即直線在y軸上的截距）.
【即學即練5】（22-23高二上·湖南·期中）傾斜角為135°，在軸上的截距為1的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練6】（22-23高二上·江蘇連云港·開學考試）若直線l的傾斜角α滿足4sinα=3cosα，且它在x軸上的截距為3，則直線l的方程是 .
知識點04 直線的兩點式
經過兩點,(--)的直線方程為，這種形式的直線方程稱為直線的兩點式方程.
【即學即練7】（24-25高二上·全國·隨堂練習）過點，的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練8】（2024高二上·全國·專題練習）經過兩點的直線方程為 .
知識點05 之間的截距式
直線在x,y軸上的截距分別為a,b，且a≠0，b≠0，則直線方程可寫為,這種形式的方程稱為直線的截距式方程，注意這里要求直線在x軸y軸上的截距都存在且不為0.
【即學即練9】（22-23高二上·海南·期中）在軸、軸上的截距分別是、3的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練10】（23-24高二上·陜西·階段練習）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
知識點06 直線的一般式
1.所有的直線方程都是關于x，y的二元一次方程,關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.
2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)稱為直線的一般式方程.
3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，則方程可以化為y=-x-,它表示的是斜率為-且截距為-的直線；如果B=0，則由A,B不同時為0可知A≠0,從而方程可以化為x=-,它表示的是斜率不存在且過點（-，0）的直線.
【即學即練11】（23-24高二上·江蘇·課后作業）直線的一般方程中的幾何要素
若直線的一般方程為，
（1）當時，直線的斜率為 ，橫截距為 ，縱截距為 ；
（2）當時，直線的斜率為 ，橫截距 ，縱截距為 ；
（3）當時，直線的斜率 ，橫截距 ，縱截距 ；
【即學即練12】（23-24高二上·陜西西安·階段練習）的頂點，則邊上的中線所在的直線方程是 ．
難點：最值問題
示例1：（23-24高二上·廣東佛山·階段練習）已知直線．
(1)求證：無論為何值，直線恒過定點；
(2)若直線交軸負半軸于，交軸正半軸于的面積為（為坐標原點），求的最小值和此時直線的方程．
【題型1：直線的點斜式方程】
例1．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）過點且斜率為1的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二上·貴州遵義·期末）已知直線過點，且傾斜角為直線傾斜角的一半，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知直線經過點，且它的一個方向向量為，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二上·四川達州·期末）經過點且傾斜角為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（23-24高二上·全國·課后作業）過點且傾斜角為的直線方程為（　　）
A． B． C． D．
變式6．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知直線的斜率是2，且在y軸上的截距是，則此直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
變式7.（24-25高二上·全國·課堂例題）根據條件寫出下列直線的點斜式方程：
(1)經過點，斜率；
(2)經過點，傾斜角為．
【方法技巧與總結】
關于點斜式方程的幾點說明
（1）直線的點斜式方程的前提條件：
①己知一點P（xo，yo）和斜率k；
②斜率必須存在．只有這兩個條件都具備，才可以寫出點斜式方程．
（2）方程y-yo=k（x-xo）與方程k=不是等價的，前者表示整條直線，后者表示去掉點P（xo，yo）的一條直線.
（3）當k取任意實數時，方程y-yo=k（x-xo）表示恒過定點（xo，yo）且不垂直于x軸的無數條直線.
【題型2：直線的斜截式方程】
例2．（23-24高二上·全國·課后作業）直線l的斜率為方程的根，且在y軸上的截距為5，則直線l的方程為 .
變式1.（2023高二上·江蘇·專題練習）已知直線的傾斜角為，在軸上的截距是，求直線的斜截式方程；
變式2.（2023高二上·江蘇·專題練習）寫出下列直線的斜截式方程：
(1)直線斜率是，在y軸上的截距是；
(2)直線傾斜角是，在y軸上的截距是；
(3)直線在軸上的截距為，在y軸上的截距為.
變式3．（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線l的方程為2x－5y＋100，且在y軸上的截距為b，則b等于（　　）
A．－2 B．2
C．－5 D．5
變式4．（23-24高二上·廣東汕頭·期中）已知直線：，則在軸上的截距為（ ）
A． B． C．1 D．
變式5．（23-24高二上·山東聊城·期末）直線在x軸上的截距為（ ）．
A． B． C． D．2
變式6．（23-24高二上·河南信陽·期末）直線在y軸上的截距為（ ）
A． B． C．1012 D．2024
變式7．（23-24高二上·遼寧沈陽·階段練習）直線（為常數）的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式8．（23-24高二上·江西贛州·期中）已知直線：的傾斜角的取值范圍為，則直線：的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
對直線斜截式方程的理解
直線的斜截式方程與一次函數的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有區別，當k=0時，y=kx＋b即為一次函數；當k≠0時，y=kx＋b，不是一次函數，一次函數y=kx+b（k≠0）必是一條直線的斜截式方程.
截距不是距離，可正、可負也可為零.
【題型3：直線的兩點式方程】
例3．（24-25高二上·全國·課后作業）經過兩點的直線方程可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二上·內蒙古赤峰·階段練習）已知直線過點點，則直線方程為（　　）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知點，，則直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
變式3.（23-24高二上·甘肅金昌·階段練習）已知直線l經過點，，則下列不在直線l上的點是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·全國·課后作業）經過點的直線的兩點式方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（22-23高二上·全國·課后作業）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為( )
A． B．
C． D．
變式6．（22-23高二上·福建泉州·階段練習）在中,,則邊上的中線所在的直線的一般方程為 .
變式7．（23-24高二上·江蘇·期中）已知兩條直線和都過點，則過兩點、的直線的方程為 ．
【方法技巧與總結】
直線的兩點式方程應注意的問題
要注意方程和方程（）（）=（）（）形式
不同，適用范圍也不同．前者為分式形式方程，形式對稱，但不能表示垂直于坐標軸的直線．后者為整式形式方程，適用于過任意兩點的直線.
【題型4：直線的截距式方程】
例4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐標系中，直線在軸上的截距為（ ）
A． B．8 C． D．
變式1．（23-24高二上·山東青島·期末）直線在軸 軸上的截距分別是和，則直線的一般式直線方程為 .
變式2．（23-24高二上·江西萍鄉·期末）已知過點的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為 ．
變式3．（2024高二上·全國·專題練習）如圖，已知直線過點，且與軸，軸的正半軸分別交于，兩點，為坐標原點，則三角形面積的最小值為 ．
變式4．（2024高二上·全國·專題練習）若直線經過點，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時， .
變式5．（2024高二上·全國·專題練習）已知兩點，動點在線段上運動，則的取值范圍為 ．
變式6.（多選）（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知直線：，則（ ）
A．不過原點 B．的橫截距為
C．的斜率為 D．與坐標軸圍成的三角形的面積為3
變式7．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）已知直線l：，則（　　）
A．直線l過點
B．直線l的斜率為
C．直線l的傾斜角為
D．直線l在軸上的截距為1
【方法技巧與總結】
直線的截距式方程
我們把直線與x軸的交點（a，0）的橫坐標a稱為直線在x軸上的截距，此時直線在y軸上的截距是b.
方程由直線l在兩個坐標軸上的截距a與b確定，所以稱為直線的截距式方程.
截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線有兩個非零截距，截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行的直線.
（2）直線的截距式方程的特征是x項分母對應的是橫截距，y項分母對應的是縱截距，中間以“＋”號連接，等式右邊為1，如就不是直線的截距式方程.
（3）由直線的截距式方程可直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，同時，截距式在解決與面積有關的問題和作圖時使用起來非常方便.
（4）直線在y軸上的截距是直線與y軸交點的縱坐標，直線在x軸上的截距是直線與x軸交點的橫坐標，而不是交點到原點的距離，因此截距a，b可能為正或零，也可能為負.
【題型5：直線的一般式方程】
例5．(多選)（23-24高二上·貴州貴陽·期中）已知直線，其中不全為0，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，過坐標原點
B．當時，的傾斜角為銳角
C．當時，和軸平行
D．若直線過點，直線的方程可化為
變式1．（多選）（23-24高二上·貴州·開學考試）已知直線（不同時為0），則（ ）
A．當時，與軸垂直
B．當時，與軸重合
C．當時，過原點
D．當時，的傾斜角為銳角
變式2．（22-23高二·全國·隨堂練習）已知直線（其中A，B不全為0）．
(1)寫出直線l的一個法向量的坐標．
(2)若直線l經過原點，則A，B，C滿足的條件是什么？
(3)若直線l與x軸平行或重合，則A，B，C滿足的條件是什么？
(4)若直線l與x軸和y軸都相交且不經過原點，則A，B，C滿足的條件是什么？
變式3．（21-22高二上·遼寧大連·階段練習）已知方程．
(1)求該方程表示一條直線的條件；
(2)當m為何實數時，方程表示的直線斜率不存在？求出這時的直線方程；
(3)已知方程表示的直線l在x軸上的截距為，求實數m的值；
(4)若方程表示的直線l的傾斜角是45°，求實數m的值．
變式4．（23-24高二上·甘肅武威·期中）直線的斜率的取值范圍是 ．
變式5．（23-24高二上·山西·階段練習）已知直線：的傾斜角為，則 .
變式6．（23-24高二上·廣東肇慶·期末）直線l：與y軸的交點為A，把直線l繞著點A逆時針旋轉得到直線，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
二元一次方程的系數和常數項對直線的位置的影響
當A=0，B≠0，C≠0時，方程表示的直線與x軸平行.
當A≠0，B=0，C為任意實數時，方程表示的直線與x軸垂直.
當A=0，B≠0，C=0時，方程表示的直線與x軸重合.
當A≠0，B=0，C=0時，方程表示的直線與y軸重合.
（5）當C=0，A，B不同時為0時，方程表示的直線過原點.
【題型6：直線與坐標軸圍成三角形問題】
例6．（2024高二上·全國·專題練習）已知直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則（ ）
A． B．或
C． D．或
變式1．（多選）（21-22高二上·浙江嘉興·期中）直線的方程為：，則（ ）
A．直線恒過定點
B．直線斜率必定存在
C．時直線的傾斜角為
D．時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線l的方程為，直線l與坐標軸交于A，B兩點，則的面積為 ．
變式3．（23-24高二上·內蒙古赤峰·期末）縱截距為4，與兩坐標軸圍成的三角形面積為10的直線的一般式方程為 ．
變式4．（2024高二·全國·專題練習）已知直線l的斜率為，且和兩坐標軸圍成面積為3的三角形，求l的斜截式方程．
變式5．（2023高二上·江蘇·專題練習）已知直線l的斜率為，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的斜截式方程．
變式6．（22-23高二下·湖南長沙·期中）已知的三個頂點分別為，，.
(1)求邊和所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線與坐標軸圍成的三角形的面積.
變式7．（23-24高二上·廣東佛山·期中）過點的直線可表示為，若直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
變式8．（23-24高二上·上海·課后作業）在平面直角坐標系中，是坐標原點，設函數的圖象為直線，且與軸、軸分別交于、兩點，給出下列四個命題：
①存在正實數，使的面積為的直線僅有一條；
②存在正實數，使的面積為的直線僅有二條；
③存在正實數，使的面積為的直線僅有三條；
④存在正實數，使的面積為的直線僅有四條．
其中，所有真命題的序號是（ ）．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④
【題型7：直線過定點問題】
例7．（24-25高二上·全國·隨堂練習）已知直線的方程是，則（ ）
A．直線經過定點，斜率為 B．直線經過定點，斜率為
C．直線經過定點，斜率為 D．直線經過定點，斜率為
變式1．（22-23高二下·吉林長春·開學考試）不論k為任何實數，直線恒過定點，則這個定點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二下·上海寶山·期末）若無論實數取何值，直線都經過一個定點，則該定點坐標為 .
變式3．（23-24高二上·上海虹口·階段練習）無論實數λ取何值，直線恒過定點 .
變式4．（23-24高二上·北京·期中）無論取何值，直線恒經過一個定點，的坐標為 ，經過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為 ．
變式5．（23-24高二上·廣東惠州·期中）直線過定點 .
變式6．（23-24高二上·全國·課后作業）不論為何實數，直線恒過第 象限.
變式7．（23-24高二下·全國·課后作業）已知直線.
(1)求證：直線過定點；
(2)若直線不經過第二象限，求實數的取值范圍.
變式8．（23-24高二上·廣東中山·階段練習）已知直線的方程為：.
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線交坐標軸正半軸于兩點，當面積最小時，求的周長.
變式9．（22-23高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知直線過定點．
(1)求過點且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線方程；
(2)若直線交軸正半軸于點，交軸負半軸于點，的面積為（為坐標原點），求的最小值并求此時直線的方程．
【題型8：一般式方程與象限問題】
例8．（23-24高二下·上海·階段練習）已知直線方程為，繞點順時針旋轉，得到直線，則不過第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
變式1．（多選）（24-25高二上·全國·課后作業）關于一次函數，下列結論正確的有（ ）
A．當時，函數圖象經過第一、二、三象限
B．當時，函數圖象經過第一、三、四象限
C．，函數圖象必經過第一、三象限
D．，函數在R上恒為減函數
變式2．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）下列命題中錯誤的是（ ）
A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數 B．任何直線都存在斜率和傾斜角
C．直線的一般式方程為 D．任何一條直線至少要經過兩個象限
變式3．（多選）（23-24高二上·湖南岳陽·階段練習）已知直線l的方程是（A，B不同時為0），則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則直線l過定點
C．若且，則直線l不過第二象限
D．若，則直線l必過第二、三象限
變式4．（多選）（23-24高二上·新疆·期中）已知，直線經過第一、二、四象限，則（ ）
A． B． C． D．
變式5．（多選）（23-24高二上·遼寧沈陽·階段練習）如果，，那么直線經過的所有象限是 ．
變式6．（多選）（23-24高二上·安徽·期中）已知直線，其中，，的圖象如圖所示，直線，的斜率分別為，，縱截距分別為，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型9：圖象選擇問題】
例9．（23-24高二下·全國·課后作業）已知直線的圖象如圖，則（ ）
A．若，則， B．若，則，
C．若，則， D．若，則，
變式1．（23-24高二上·浙江金華·期中）已知直線，當滿足一定條件時，它們的圖形可能是圖中的（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（20-21高二上·天津武清·階段練習）直線：與：（其中，，），在同一坐標系中的圖象是圖中的（ ）
A． B． C． D．
變式3．（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知直線：，則以下四個情況中，可以使的圖象如下圖所示的為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
變式4．（2021高二·全國·專題練習）方程表示的直線可能是圖中的（ ）
A． B． C． D．
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業）直線與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
B．
C． D．
變式6．（23-24高一上·四川綿陽·開學考試）一次函數與為常數，且，它們在同一坐標系內的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
變式7．（多選）（21-22高二上·江蘇南通·階段練習）直線，下列圖象中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型10：最值問題】
例題10．（21-22高一下·四川德陽·階段練習）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（20-21高二上·重慶黔江·階段練習）在平面直角坐標系中有兩個定點、，若在軸有一動點，使得值最小，此時點坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．4
變式3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）直線，若直線分別與x軸，y軸的負半軸交于A、B兩點，求三角形AOB面積的最小時的直線的方程 .
變式4．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）設為實數，直線．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點，并求出定點的坐標；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的正半軸的截距之和最小，求的方程．
變式5．（2022高二上·全國·專題練習）已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
變式6．（21-22高二·全國·課后作業）求經過點，且分別滿足下列條件的直線方程：
(1)在兩坐標軸上的截距相等；
(2)在兩坐標軸上的截距都是正的，且截距之和最小．
變式7．（21-22高二·全國·課后作業）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；
(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.
一、單選題
1．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·浙江紹興·期末）下列方程所表示的直線中，傾斜角為的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·湖北荊州·期末）直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C．1012 D．2024
4．（24-25高二上·湖北黃岡·階段練習）已知直線，為使這條直線不經過第二象限，則實數的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習）當點到直線距離的最大時，直線l的一般式方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·全國·課后作業）下列直線中過第一、二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·上海·階段練習）“”是“直線與直線相互垂直”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要
8．（21-22高二上·北京·期中）已知直線l的方程為，則直線l（　　）
A．恒過點且不垂直x軸
B．恒過點且不垂直y軸
C．恒過點且不垂直x軸
D．恒過點且不垂直y軸
二、多選題
9．（23-24高二上·浙江湖州·期末）對于直線l：（，），下列說法正確的是（ ）
A．直線l的一個方向向量為 B．直線l恒過定點
C．當時，直線l的傾斜角為80° D．當且時，l不經過第二象限
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知點，，直線：與線段有交點，則可以為（ ）
A．6 B．2 C．1 D．-1
11．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為
B．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2
C．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為，則該直線方程為
D．過兩點的直線方程為
三、填空題
12．（23-24高二上·湖北荊州·期末）直線經過點，且傾斜角為直線的傾斜角的一半，則l的方程為 .
13．（2024高二上·全國·專題練習）直線l過點，且橫截距是縱截距的兩倍，則直線l的方程為 .
14．（23-24高二上·全國·課后作業）已知，，則過的中點且傾斜角為，直線的點斜式方程是 ．
四、解答題
15．（23-24高二下·全國·課堂例題）設是平面直角坐標系中的直線，分別判斷滿足下列條件的是否唯一.如果唯一，作出相應的直線，并思考直線上任意一點的坐標應該滿足什么條件.
（1）已知的斜率不存在；
（2）已知的斜率不存在且過點；
（3）已知的斜率為；
（4）已知的斜率為且過點.
16．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點.
(1)當時，求直線的方程；
(2)當的面積為時，求直線的方程.
17．（24-25高二下·上海·單元測試）在平面直角坐標系中，已知射線，過點作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點A、B．
(1)當AB的中點為P時，求直線AB的一般式方程；
(2)求面積的最小值．
18．（24-25高二上·上海·課后作業）設直線l的方程為．
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在實數a，使直線l不經過第二象限？若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
19．（22-23高二上·四川南充·階段練習）過點的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點.
(1)求面積的最小值以及面積最小時直線的方程;
(2)是否存在直線，使的周長為12，若存在，求出直線的方程;若不存在，說明理由.
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