資源簡(jiǎn)介

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直 2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo): 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離 1.掌握兩條直線平行的條件: 2.能應(yīng)用兩條直線平行的條件解題.
知識(shí)點(diǎn)01 兩條直線的相交、平行與重合
1.若直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則兩條直線的位置關(guān)系，可以用方程組的解的情況進(jìn)行判斷，得出結(jié)論：①l1與l2相交：;②l1與l2平行：且;③l1與l2重合：且
2.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,則兩條直線的位置關(guān)系可以用法向量來(lái)處理.
因?yàn)関1=(A1,B1)是直線l1的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是直線l2的一個(gè)法向量，則：
①l1與l2相交（只有一個(gè)交點(diǎn)）的充要條件是v1與v2不共線，即A1B2≠A2B1
②l1與l2平行或重合的充要條件是v1與v2共線，即A1B2=A2B1，其中l(wèi)1與l2重合的充要條件是，存在實(shí)數(shù)
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直線Ax+By+C1=0與直線Ax+By+C2=0平行的充要條件是C1≠C2，重合的充要條件C1=C2
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·新疆·期末）直線與平行，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行．
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；
(2)的傾斜角為80°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．
知識(shí)點(diǎn)02兩條直線的垂直
一般地，若已知平面直角坐標(biāo)系中的直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不為0）可得l1⊥l2，則=-1.
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因?yàn)関1=(A1,B1)是l1直線的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是l2直線的一個(gè)法向量，所以l1⊥l2，則v1⊥v2，則A1A2+B1B2=0.
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知兩條直線和互相垂直，則a .
【即學(xué)即練4】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）經(jīng)過(guò)直線：和：的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為 ．
難點(diǎn)：分類討論思想的運(yùn)用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線將四邊形分割為面積相等的兩部分，則的取值范圍是 ．
【題型1：平行垂直關(guān)系的判定】
例1．（22-23高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等
B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行
C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直
D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于
變式1．（2023高二·上?！ｎ}練習(xí)）已知直線和，則（　?。?br/>A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直線m上一點(diǎn)P，以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合
D．以上都不對(duì)
變式2．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）設(shè)，對(duì)于直線：，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．的斜率為 B．在軸上的截距為
C．不可能平行于軸 D．與直線垂直
變式3．（多選）（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各直線中，與直線平行的是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（23-24高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）直線，那么與 .
變式5．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知，則直線：和直線：的位置關(guān)系為 ．
變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）判斷下列兩條直線是否垂直．
(1)直線的斜率為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；
(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；
(3)直線的法向量為，直線的法向量為．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷兩條直線是否平行的步驟：
看斜率：
1.斜率都不存在看橫截距：①橫截距相等時(shí)：兩條直線重合②橫截距不相等時(shí)：兩條直線平行
2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等時(shí)看縱截距：1）縱截距相等：兩條直線重合，2）縱截距不相等時(shí)：兩條直線平行.
②斜率不相等時(shí)，兩條直線不平行.
【題型2：由平行關(guān)系求參數(shù)】
例2．（24-25高三上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知兩條直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，，，且直線AB與直線CD平行，則m的值為（ ）
A．或0 B．0或1 C．1 D．2
變式2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，三點(diǎn)，且有一點(diǎn)D滿足，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式4．（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）已知直線與直線平行，則（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
變式6．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知平行四邊形中，一組對(duì)邊、所在直線的方程分別為，，求實(shí)數(shù)的值 .
變式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直線，，根據(jù)下列條件分別求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(1)與相交；
(2)與重合．
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則有
1.l1與l2的斜率都存在，分別為，k1，k2則l1//l2k1=k2,
2.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2A1B2=A2B1,且直線不重合
【題型3：由垂直關(guān)系求參數(shù)】
例3．（24-25高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直線與直線垂直.則（ ）
A．1 B． C．0 D．0或
變式2．（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（多選）（23-24高二下·浙江·期中）已知直線和直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則表示與軸平行或重合的直線
B．直線可以表示任意一條直線
C．若，則
D．若，則
變式4．（23-24高二下·上海·期中）若直線和直線垂直，則 ．
變式5．（24-25高二上·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知直線，直線.
(1)若 ，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值.
變式6．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎c(diǎn)，．
(1)設(shè)，若直線與直線垂直，求的值；
(2)求過(guò)點(diǎn)且與直線夾角的余弦值為的直線方程．
變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線的斜率為1，若直線，則直線的傾斜角為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
1.設(shè)直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則有
對(duì)應(yīng)關(guān)系 l1與l2的斜率都存在，分別為，k1，k2則l1⊥l2k1k2=-1 l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為0，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2
圖示
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2A1A2+B1B2=0
【題型4：由平行關(guān)系求直線方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線平行且過(guò)點(diǎn)的直線方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
變式1．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二上·青海西寧·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（23-24高二上·北京西城·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為 .
變式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.
(1)過(guò)點(diǎn)；
(2)平行于直線.
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C0平行時(shí)，可設(shè)所求直線為Ax＋By＋λ0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
【題型5：由垂直關(guān)系求直線方程】
例5．（23-24高二上·吉林延邊·期中）過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（多選）（23-24高二上·四川成都·期末）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．過(guò)點(diǎn)且平行于的直線的方程為
B．直線的方程為
C．點(diǎn)的坐標(biāo)為
D．邊的垂直平分線的方程為
變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·開(kāi)學(xué)考試）直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為
變式3．（23-24高二下·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程是 ．
變式4．（23-24高二上·北京·期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為 .
變式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的高．
(1)求所在直線的方程；
(2)求高所在直線的方程.
變式6．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求分別滿足下列條件直線的方程：
(1)垂直于直線；
(2)平行于直線.
變式7．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)和直線l： ，求：
(1)過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線的點(diǎn)斜式方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的點(diǎn)斜式方程.
變式8．（23-24高二上·甘肅白銀·期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，求：
(1)邊所在直線的方程；
(2)邊的垂直平分線所在直線的方程．
變式9．（23-24高二上·廣東珠?！て谀┮阎娜齻€(gè)頂點(diǎn)是，，．
(1)求邊上的中線的直線方程；
(2)求邊上的高的直線方程
(3)求AC邊的垂直平分線
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C0垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為Bx－Ay＋λ0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．　
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l：，若軸，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
3．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知是直線：外一點(diǎn)，則方程與的傾斜角（ ）
A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．不相等
4．（23-24高二下·上海楊浦·期末）“”是“直線與直線互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
5．（23-24高二下·江西·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·福建廈門(mén)·期末）已知直線的傾斜角為，直線過(guò)點(diǎn)，若，則在軸上的截距為（ ）
A． B． C．2 D．
7．（23-24高二上·湖南益陽(yáng)·期末）已知直線和互相平行，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
8．（23-24高二上·浙江金華·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A． B．0 C．1 D．3
10．（19-20高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)平面內(nèi)四點(diǎn)，，，，則下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高二上·安徽·階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則（ ）
A．為直角三角形
B．過(guò)點(diǎn)P斜率范圍是的直線與線段有公共點(diǎn)
C．是的一條中位線所在直線方程
D．是的一條高線所在直線的方程
三、填空題
12．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是 .
13．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，則直線與，軸圍成的三角形面積為 .
14．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為 ．
四、解答題
15．（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
16．（23-24高二上·山東·期中）已知直線過(guò)點(diǎn)．
(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與軸正半軸交于點(diǎn)與軸正半軸交于點(diǎn)，求面積的最小值．
17．（23-24高二上·河北張家口·階段練習(xí)）菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為邊所在直線過(guò)點(diǎn).
(1)求邊所在直線的方程；
(2)求對(duì)角線所在直線的方程.
18．（23-24高二上·福建廈門(mén)·期中）如圖，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.

(1)求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在中，求邊上的高線所在直線方程.
19．（22-23高二上·浙江溫州·期中）已知直線 （）交軸正半軸于，交軸正半軸于．
(1)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小時(shí)直線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，求的值最小時(shí)直線的方程．
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課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直 2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo): 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離 1.掌握兩條直線平行的條件: 2.能應(yīng)用兩條直線平行的條件解題.
知識(shí)點(diǎn)01 兩條直線的相交、平行與重合
1.若直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則兩條直線的位置關(guān)系，可以用方程組的解的情況進(jìn)行判斷，得出結(jié)論：①l1與l2相交：;②l1與l2平行：且;③l1與l2重合：且
2.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,則兩條直線的位置關(guān)系可以用法向量來(lái)處理.
因?yàn)関1=(A1,B1)是直線l1的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是直線l2的一個(gè)法向量，則：
①l1與l2相交（只有一個(gè)交點(diǎn)）的充要條件是v1與v2不共線，即A1B2≠A2B1
②l1與l2平行或重合的充要條件是v1與v2共線，即A1B2=A2B1，其中l(wèi)1與l2重合的充要條件是，存在實(shí)數(shù)
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直線Ax+By+C1=0與直線Ax+By+C2=0平行的充要條件是C1≠C2，重合的充要條件C1=C2
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·新疆·期末）直線與平行，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由兩直線平行得斜率相等且截距不等，即可得解.
【詳解】直線與平行，且的斜率為2，
它們?cè)谳S上的截距不相等，且直線的斜率也為2，
即.
.
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行．
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；
(2)的傾斜角為80°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．
【答案】(1)
(2)或與重合
【分析】（1）由，且A，B，C，D，四點(diǎn)不共線，可判斷；
（2）由，可判斷.
【詳解】（1）設(shè)兩直線，的斜率分別為，．
由題意知，．
因?yàn)?，又?br/>所以，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共線，
所以．
（2）設(shè)兩直線，的斜率分別為，．
由題意知，．
所以，所以或與重合．
知識(shí)點(diǎn)02兩條直線的垂直
一般地，若已知平面直角坐標(biāo)系中的直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不為0）可得l1⊥l2，則=-1.
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因?yàn)関1=(A1,B1)是l1直線的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是l2直線的一個(gè)法向量，所以l1⊥l2，則v1⊥v2，則A1A2+B1B2=0.
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知兩條直線和互相垂直，則a .
【答案】
【分析】由兩直線互相垂直斜率間的關(guān)系，求的值.
【詳解】直線斜率為3，直線和互相垂直，
則直線的斜率.
故答案為：
【即學(xué)即練4】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)直線：和：的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為 ．
【答案】
【分析】首先求兩條直線的交點(diǎn)，再利用垂直關(guān)系，利用待定系數(shù)法求直線方程.
【詳解】聯(lián)立，得，
設(shè)與直線垂直的直線方程為，
得，得，
所以直線方程為.
故答案為：
難點(diǎn)：分類討論思想的運(yùn)用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線將四邊形分割為面積相等的兩部分，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)面積關(guān)系結(jié)合等腰梯形的對(duì)稱性從而可得的取值范圍.
【詳解】顯然四邊形為等腰梯形，
因?yàn)椋鶕?jù)等腰梯形的對(duì)稱性可知：當(dāng)或時(shí)不符合題意，所以，
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)，
根據(jù)等腰梯形的對(duì)稱性可得符合題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與梯形上、下底分別交于M、N，
因?yàn)槿切闻c三角形全等，
所以直線將四邊形分割為面積相等的兩部分；

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與梯形兩腰交于，
直線將四邊形分割為面積相等的兩部分，則該直線與梯形的兩腰交于，
可知：直線，
聯(lián)立，解得，即，
同理可得：，
由題意可得：，
整理得，且，解得；

綜上所述：的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用等腰梯形的對(duì)稱性，并分類討論和數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題.
【題型1：平行垂直關(guān)系的判定】
例1．（22-23高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等
B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行
C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直
D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于
【答案】D
【分析】根據(jù)直線斜率與位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)直接判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若兩直線的斜率相等，則兩直線平行或重合，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直，故C正確；
對(duì)于D，若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于，故D錯(cuò)誤；
變式1．（2023高二·上海·專題練習(xí)）已知直線和，則（　　）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直線m上一點(diǎn)P，以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合
D．以上都不對(duì)
【答案】D
【分析】A選項(xiàng)求出直線m與直線n的斜率判斷；B選項(xiàng)由斜率之積是否為判斷；C選項(xiàng)由兩直線不平行，得出兩直線相交判斷.
【詳解】對(duì)A，直線，斜率為；
直線，斜率為；
，所以m和n不可能重合，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，時(shí)，，m和n垂直，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)C，由知m和n不平行，設(shè)m、n相交于點(diǎn)P，
則直線m以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合，所以C正確．
．
變式2．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）設(shè)，對(duì)于直線：，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．的斜率為 B．在軸上的截距為
C．不可能平行于軸 D．與直線垂直
【答案】CD
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率、截距的定義，以及直線垂直的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】對(duì)于A，直線：，
則的斜率為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，解得，
故在軸上的截距為，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線：，平行于軸，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線與直線顯然垂直，
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，
直線的斜率為，
所以，故D正確．
D．
變式3．（多選）（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各直線中，與直線平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)直線平行的充要條件一一判定即可.
【詳解】?jī)芍本€，
其平行的充要條件為且或，
對(duì)于A項(xiàng)，易知且，即A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，易得，有且，即B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，易知且，即C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，易知，D項(xiàng)不符合.
BC
變式4．（23-24高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）直線，那么與 .
【答案】平行
【分析】根據(jù)兩條直線斜率關(guān)系即可判斷.
【詳解】由題可得，且與不重合，所以與平行；
故答案為：平行
變式5．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知，則直線：和直線：的位置關(guān)系為 ．
【答案】垂直或重合
【分析】求出值，再代入方程并確定位置關(guān)系即得.
【詳解】由，得或，
當(dāng)時(shí)，：，：，，，
顯然，所以直線與垂直；
當(dāng)時(shí)，：，：，所以直線與重合．
故答案為：垂直或重合
變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）判斷下列兩條直線是否垂直．
(1)直線的斜率為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；
(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；
(3)直線的法向量為，直線的法向量為．
【答案】(1)垂直
(2)垂直
(3)垂直
【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系判斷兩直線是否垂直；
（2）根據(jù)斜率關(guān)系判斷兩直線是否垂直；
（3）根據(jù)法向量關(guān)系判斷兩直線是否垂直.
【詳解】（1）直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)?，所以與垂直．
（2）直線的斜率不存在，故與軸垂直，直線的斜率為0，故直線與軸平行，所以與垂直．
（3）因?yàn)?，所以與的法向量垂直，所以與垂直．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷兩條直線是否平行的步驟：
看斜率：
1.斜率都不存在看橫截距：①橫截距相等時(shí)：兩條直線重合②橫截距不相等時(shí)：兩條直線平行
2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等時(shí)看縱截距：1）縱截距相等：兩條直線重合，2）縱截距不相等時(shí)：兩條直線平行.
②斜率不相等時(shí)，兩條直線不平行.
【題型2：由平行關(guān)系求參數(shù)】
例2．（24-25高三上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知兩條直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，
所以“”是“”的充分不必要條件.
變式1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，，，且直線AB與直線CD平行，則m的值為（ ）
A．或0 B．0或1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】分直線與直線的斜率不存在與存在兩類分別討論，斜率存在時(shí)由斜率相等建立關(guān)于的關(guān)系式，解之即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線的斜率均不存在，此時(shí)直線的方程為，
直線的方程為，故；
當(dāng)時(shí)，，，
則，即，得，
綜上，或1．
.
變式2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，三點(diǎn)，且有一點(diǎn)D滿足，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，根據(jù)平行、垂直關(guān)系列式求解即可.
【詳解】由題意可知：，，
若，，可知直線的斜率存在，
設(shè)，則，，
則，即，解得，即．
.
變式3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行的條件進(jìn)行判斷
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線，
即為直線與直線的斜率都是，縱截距不同，則兩直線平行，是充分條件；
若直線與直線平行，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，直線重合不符合題意，
當(dāng)時(shí)，兩直線平行則斜率相等，截距不相等，解得，是必要條件；
變式4．（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）已知直線與直線平行，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用兩直線平行列式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，，所以，且.
.
變式5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求值即可得.
【詳解】設(shè)，，
直線方程可化為，且直線的斜率為，
若，則直線斜率存在，，
故直線方程可化為，
由，解得，故 ，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，
此時(shí)，即 .
因此，是的充要條件.
.
變式6．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知平行四邊形中，一組對(duì)邊、所在直線的方程分別為，，求實(shí)數(shù)的值 .
【答案】
【分析】
根據(jù)得到方程和不等式，得到答案.
【詳解】
因?yàn)椋砜傻?，?br/>因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，故，則，且，
解得.
故答案為：
變式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直線，，根據(jù)下列條件分別求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(1)與相交；
(2)與重合．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）易知當(dāng)滿足題意，當(dāng)時(shí)，兩直線斜率不相等，可求得的取值范圍；
（2）根據(jù)直線方程的一般形式可得當(dāng)時(shí)，即時(shí)，與重合.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的斜率不存在，此時(shí)與相交，符合題意；
當(dāng)時(shí)，的斜率為，需滿足，
解得且；
所以當(dāng)且時(shí)，與相交；
（2）若與重合，需滿足，且，
解得，
即時(shí)，與重合.
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則有
1.l1與l2的斜率都存在，分別為，k1，k2則l1//l2k1=k2,
2.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2A1B2=A2B1,且直線不重合
【題型3：由垂直關(guān)系求參數(shù)】
例3．（24-25高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意利用兩直線垂直的性質(zhì)，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．
【詳解】，，直線，，且，
，即．
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)不成立，
故的最小值為8，
．
變式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直線與直線垂直.則（ ）
A．1 B． C．0 D．0或
【答案】A
【分析】利用兩條直線垂直的充要條件，列式計(jì)算即得.
【詳解】由直線與直線垂直，得，
所以或.
變式2．（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直線垂直的充要條件即可列式得解.
【詳解】直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，
即且，，所以.
.
變式3．（多選）（23-24高二下·浙江·期中）已知直線和直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則表示與軸平行或重合的直線
B．直線可以表示任意一條直線
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【分析】利用線線平行、線線垂直的性質(zhì)可直接判斷.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，斜率為0，與軸平行或重合，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，當(dāng)時(shí)，斜率存在，能表示任意直線，故B正確；
對(duì)于C，若，且或，則 ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則由可得斜率之積為-1，故，若，可得，此時(shí)滿足，此時(shí)兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故，故D正確.
BD.
變式4．（23-24高二下·上?！て谥校┤糁本€和直線垂直，則 ．
【答案】
【分析】利用兩直線垂直斜率乘積為計(jì)算可得.
【詳解】易知直線的斜率為，
直線的斜率為,
由兩直線垂直可得，解得.
故答案為：
變式5．（24-25高二上·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知直線，直線.
(1)若 ，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計(jì)算即可求參，再檢驗(yàn)是否重合；
（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計(jì)算即可求參.
【詳解】（1）因?yàn)? ，所以，
整理得
解得或.
當(dāng)時(shí)，重合；
當(dāng)時(shí)，，符合題意.
故.
（2）因?yàn)椋?br/>解得或.
變式6．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎c(diǎn)，．
(1)設(shè)，若直線與直線垂直，求的值；
(2)求過(guò)點(diǎn)且與直線夾角的余弦值為的直線方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)直線垂直即可求解；
（2）先對(duì)用正弦定理，得到的正弦值，對(duì)用正弦定理，得到，設(shè)出交點(diǎn)求解二次方程即可求解.
【詳解】（1）直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以，所以；
（2）
如圖點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)且與直線夾角的余弦值為的直線與直線的交點(diǎn)，
點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，
點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線的交點(diǎn)，，，
設(shè)夾角為，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)?，?br/>所以在中，，所以，
因?yàn)椋栽谥校?br/>所以，所以，易知，
設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，
所以或，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為或，
所以直線方程為或，
即或.
變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線的斜率為1，若直線，則直線的傾斜角為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而可得斜率.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，且直線，則直線的斜率，
所以直線的傾斜角為135°．
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
1.設(shè)直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則有
對(duì)應(yīng)關(guān)系 l1與l2的斜率都存在，分別為，k1，k2則l1⊥l2k1k2=-1 l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為0，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2
圖示
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2A1A2+B1B2=0
【題型4：由平行關(guān)系求直線方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線平行且過(guò)點(diǎn)的直線方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得C，即可得出答案.
【詳解】設(shè)所求直線方程為，
又過(guò)點(diǎn)，則可得，解得，
則所求直線方程為
變式1．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行，可設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得c，即可求得答案.
【詳解】由題意可設(shè)所求直線方程為，
因?yàn)樵谠撝本€上，
所以，得，
故該直線方程為，
變式2．（23-24高二上·青海西寧·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由與已知直線平行設(shè)出所求直線的一般式方程為，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)待定系數(shù)可得.
【詳解】與直線平行的直線的方程可設(shè)為，
又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，
故所求直線方程為.
.
變式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)互相平行直線方程的特點(diǎn)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.
【詳解】與直線平行的直線方程可設(shè)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，
即過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是，
變式4．（23-24高二上·北京西城·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)平行得出斜率，利用過(guò)點(diǎn)即可得出直線方程.
【詳解】由題意，
與直線平行的直線的斜率為，
直線過(guò)點(diǎn)，
∴過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為：，
即：.
故答案為：.
變式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.
(1)過(guò)點(diǎn)；
(2)平行于直線.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出兩條直線與的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式方程整理計(jì)算即可;
（2）求出平行于的直線斜率，利用點(diǎn)斜式方程整理計(jì)算即可.
【詳解】（1）由解得,
即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，由兩點(diǎn)式方程得，，
化簡(jiǎn)得所求直線方程為.
（2）由可得直線的斜率為，
故平行于直線的直線的斜率為，
結(jié)合（1）問(wèn)可得：兩條直線與的交點(diǎn)為，
由點(diǎn)斜式方程得，，
化簡(jiǎn)得所求直線方程為.
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C0平行時(shí)，可設(shè)所求直線為Ax＋By＋λ0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
【題型5：由垂直關(guān)系求直線方程】
例5．（23-24高二上·吉林延邊·期中）過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由與直線垂直可設(shè)所求直線為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.
【詳解】由，得，
設(shè)與直線垂直的直線的方程為，則
，得，
所以所求直線方程為.
變式1．（多選）（23-24高二上·四川成都·期末）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．過(guò)點(diǎn)且平行于的直線的方程為
B．直線的方程為
C．點(diǎn)的坐標(biāo)為
D．邊的垂直平分線的方程為
【答案】ABC
【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線的方程為，再將點(diǎn)代入即可判斷A；先求出的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可判斷B；聯(lián)立直線的方程即可判斷C；求出邊的中點(diǎn)坐標(biāo)及所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線的方程為，
則，解得，
所以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線的方程為，故A正確；
對(duì)于B，由題意知，，
∵，∴，
所以直線的方程為，即，故B正確；
對(duì)于C，聯(lián)立，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C正確；
對(duì)于D，邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
所以邊的垂直平分線的斜率為，
所以邊的垂直平分線的方程為，即，故D錯(cuò)誤.
BC.
變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·開(kāi)學(xué)考試）直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為
【答案】9
【分析】根據(jù)直線垂直求出直線的方程，再求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可得與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.
【詳解】直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，直線的斜率為，得直線的斜率為2，
故直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.
故答案為：9
變式3．（23-24高二下·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程是 ．
【答案】
【分析】首先利用二元一次方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用直線垂直的充要條件求出直線的方程．
【詳解】過(guò)直線與的交點(diǎn)，
故，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為；
故過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，整理得．
故答案為：．
變式4．（23-24高二上·北京·期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為 .
【答案】
【分析】由題可設(shè)直線方程為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)即得.
【詳解】由題可設(shè)所求直線方程為，
代入點(diǎn)，可得，即，
所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.
故答案為：.
變式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的高．
(1)求所在直線的方程；
(2)求高所在直線的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由條件結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求直線方程，再化為一般式即可；
（2）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程，再化為一般式即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，
所以直線的斜率，
所以所在直線的方程為：，即，
（2）因?yàn)槭沁匒B的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槭沁吷系母撸?br/>所以，所以，
所以，
因此高所在直線的方程為：，即.

變式6．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求分別滿足下列條件直線的方程：
(1)垂直于直線；
(2)平行于直線.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根據(jù)兩直線垂直求斜率，再代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解；
（2）首先根據(jù)兩直線平行求斜率，再代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)榇怪庇谥本€，所以所求直線斜率為，
所求直線方程為，即.
（2）因?yàn)槠叫杏谥本€所以斜率.所求直線方程為，即.
變式7．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)和直線l： ，求：
(1)過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線的點(diǎn)斜式方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的點(diǎn)斜式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可知直線l的斜率，根據(jù)平行關(guān)系結(jié)合點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)橹本€l：y，則直線l的斜率，
可知與直線l平行的直線的斜率，
過(guò)點(diǎn)且與直線l平行的直線方程為.
（2）由（1）可知：與直線l平行的直線的斜率，
過(guò)點(diǎn)且與直線l垂直的直線方程為.
變式8．（23-24高二上·甘肅白銀·期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，求：
(1)邊所在直線的方程；
(2)邊的垂直平分線所在直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，代入點(diǎn)斜式即可得解；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用相互垂直的直線斜率關(guān)系求出斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br/>所以邊所在直線的斜率為，且，
所以邊所在直線的方程為，即.
（2）因?yàn)椋?，所以的中點(diǎn)為，
又直線的斜率為，所以邊的垂直平分線所在直線的斜率為，
所以邊的垂直平分線所在直線的方程為，即.
變式9．（23-24高二上·廣東珠海·期末）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，．
(1)求邊上的中線的直線方程；
(2)求邊上的高的直線方程
(3)求AC邊的垂直平分線
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出中點(diǎn)，則可得到中線的直線方程；
（2）根據(jù)直線垂直得到高的斜率，則得到邊上的高的直線方程；
（3）求出AC的中點(diǎn)，再根據(jù)斜率垂直則得到斜率，即可得到直線方程.
【詳解】（1），，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中點(diǎn)為，
又，由直線方程的兩點(diǎn)式得邊上的中線的直線方程為，
整理得：.
（2），，則，所以邊上的高的直線的斜率為，
又，則邊上的高的直線方程為，
整理得：．
（3）因?yàn)?，，則其中點(diǎn)坐標(biāo)為，
而，則AC邊的垂直平分線的斜率為1，其方程為：，
即.
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C0垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為Bx－Ay＋λ0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．　
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l：，若軸，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】利用直線與軸平行但不重合的性質(zhì)直接求解即可．
【詳解】∵直線：平行于y軸，
∴，解得，，．
.
2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】C
【分析】根據(jù)斜率公式求得的斜率，得出直線的方程，進(jìn)而得出兩直線的位置關(guān)系.
【詳解】由題意，由點(diǎn)和點(diǎn)，可得，所以的方程為，又由直線的斜率為，且兩直線不重合，所以兩直線平行.
．
3．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知是直線：外一點(diǎn)，則方程與的傾斜角（ ）
A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．不相等
【答案】A
【分析】根據(jù)直線一般式判斷兩直線位置關(guān)系，即可判斷.
【詳解】由直線方程，即，
又：，
又在直線外，所以，
則，
所以直線與平行，
即兩直線傾斜角相等，
.
4．（23-24高二下·上海楊浦·期末）“”是“直線與直線互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【分析】由兩直線互相垂直可得，求解可得結(jié)論.
【詳解】由直線與直線互相垂直，
可得，解得或，
所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.
.
5．（23-24高二下·江西·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)直線與（）平行，先設(shè)出所求直線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可求待定系數(shù).
【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程是，
代入點(diǎn)，得，解得，
所以所求的直線方程是．
故選:A
6．（23-24高二上·福建廈門(mén)·期末）已知直線的傾斜角為，直線過(guò)點(diǎn)，若，則在軸上的截距為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】求出直線的斜率，點(diǎn)斜式得到直線方程，求出答案.
【詳解】由題意得直線的斜率為，故直線的方程為，
即，令得，
故在軸上的截距為.
7．（23-24高二上·湖南益陽(yáng)·期末）已知直線和互相平行，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得到平行時(shí)的方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得，
此時(shí)后者直線方程為，滿足題意.
.
8．（23-24高二上·浙江金華·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意設(shè)直線方程為：，將點(diǎn)代入求解.
【詳解】解：由題意設(shè)直線方程為：，
因?yàn)樵撝本€過(guò)點(diǎn)，
所以，
解得，
所以直線方程為：，
二、多選題
9．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】CD
【分析】由題意可得三條直線兩兩都不平行且不同時(shí)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，寫(xiě)出限定條件即可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知三條直線兩兩都不平行，且不同時(shí)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)；
當(dāng)平行時(shí)可得，此時(shí)不合題意，因此；
聯(lián)立，即，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因此不在上，即可得，可得；
所以若三條直線圍成一個(gè)三角形，只需且即可.
D
10．（19-20高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)平面內(nèi)四點(diǎn)，，，，則下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】求相應(yīng)直線的斜率，結(jié)合平行、垂直關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可得：，，，，，
因?yàn)椋芍蔄正確；
因?yàn)?，可知，故B正確；
因?yàn)?，可知PS與QS不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，可知，故D正確；
BD.
11．（22-23高二上·安徽·階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則（ ）
A．為直角三角形
B．過(guò)點(diǎn)P斜率范圍是的直線與線段有公共點(diǎn)
C．是的一條中位線所在直線方程
D．是的一條高線所在直線的方程
【答案】AC
【分析】求直線的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系判斷與的位置關(guān)系，由此判斷的形狀，結(jié)合圖像及兩點(diǎn)斜率公式判斷B，求的中位線方程，判斷C，求的高的方程判斷D.
【詳解】由已知，所以，故為直角三角形，A正確；如圖可得過(guò)點(diǎn)P與線段有公共點(diǎn)的直線斜率范圍是，B錯(cuò)誤；的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)，的直線方程為，所以為的一條中位線，故C正確；直線直線的斜率為，又，，所以直線與的三條邊都不垂直，所以直線不是的高，故D錯(cuò)誤，
C.
三、填空題
12．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是 .
【答案】
【分析】由垂直關(guān)系確定斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.
【詳解】由題設(shè)，與直線垂直的直線的斜率為2，
所以所求直線方程為，即.
故答案為：
13．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，則直線與，軸圍成的三角形面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)直線平行求出直線的方程，再求出直線與，軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可得與，軸圍成的三角形面積.
【詳解】直線的斜率為，
故直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以直線與，軸圍成的三角形面積為.
故答案為：
14．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由兩直線平行，斜率相等，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，
又，所以.
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)
(2)相交，交點(diǎn)為
(3)
(4)重合
【分析】根據(jù)兩直線的斜率關(guān)系，以及截距，即可結(jié)合兩直線的位置關(guān)系求解.
【詳解】（1）設(shè)兩直線，的斜率分別為，，在軸上的截距分別為，．
因?yàn)椋?，所以?br/>（2）因?yàn)?，，，所以與相交．
，解得，所以交點(diǎn)為.
（3）由兩直線的方程可知，軸，軸，且兩直線在軸上的截距不相等，所以．
（4），因?yàn)椋耘c重合．
16．（23-24高二上·山東·期中）已知直線過(guò)點(diǎn)．
(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與軸正半軸交于點(diǎn)與軸正半軸交于點(diǎn)，求面積的最小值．
【答案】(1)或
(2)4
【分析】（1）因?yàn)樵趦勺鴺?biāo)軸上的截距相等，所以按截距是否為，分類求解；
（2）設(shè)直線斜率為，求解與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，將面積表示為函數(shù)，利用基本不等式求最值即可.
【詳解】（1）①當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)．
所以方程為，即；
②當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，，設(shè)方程為，
由直線過(guò)點(diǎn)，將代入方程得，解得，
所以直線的方程為，即；
綜上：的方程為或.
（2）由題意知斜率存在且小于0，設(shè)方程為，
令，解得；令，解得；
因?yàn)?，所以，?br/>所以面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以面積的最小值為4.
17．（23-24高二上·河北張家口·階段練習(xí)）菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為邊所在直線過(guò)點(diǎn).
(1)求邊所在直線的方程；
(2)求對(duì)角線所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得 ；再根據(jù)相互平行直線斜率相等及斜率公式計(jì)算；最后利用點(diǎn)斜式方程即可解答.
（2）先求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)及；再根據(jù)菱形性質(zhì)、相互垂直直線斜率之間關(guān)系及點(diǎn)斜式方程即可解答.
【詳解】（1）
由菱形的性質(zhì)可知: .
邊所在直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，
則.
又點(diǎn)坐標(biāo)為，
邊所在直線的方程為，即.
所以邊所在直線的方程為.
（2） ，
線段的中點(diǎn)為，且.
由菱形的幾何性質(zhì)可知：且為的中點(diǎn).
則.
所以對(duì)角線所在直線的方程為，
即.
所以對(duì)角線所在直線的方程為：.
18．（23-24高二上·福建廈門(mén)·期中）如圖，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.

(1)求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在中，求邊上的高線所在直線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出線段中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)得為線段中點(diǎn)，從而利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組求解即可；
（2）通過(guò)直線垂直求出高線的斜率，代入點(diǎn)斜式直線公式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行四邊形性質(zhì)得為線段中點(diǎn)，有，
解得，所以；

（2）因?yàn)橹本€的斜率為，
所以邊上的高線所在直線的斜率為，
又，故邊上的高線所在直線的方程為，
即為.
19．（22-23高二上·浙江溫州·期中）已知直線 （）交軸正半軸于，交軸正半軸于．
(1)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小時(shí)直線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，求的值最小時(shí)直線的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示的面積，結(jié)合基本不等式求其最小值，可得的值，由此確定直線的方程；
（2）由直線方程求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求，利用基本不等式求其最小值，由此確定直線的方程.
【詳解】（1）作圖可知．
因?yàn)橹本€的方程為，
令，，所以，令，，所以，
所以，
所以．
因?yàn)椋苫静坏仁娇傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以面積最小時(shí)，直線的方程為．
（2）因?yàn)橹本€的方程可化為，
所以直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，
所以
所以，
又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)不成立，
所以的值最小時(shí)，直線的方程為．
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