資源簡介

2.2.4點到直線的距離
課程標準 學習目標
1.理解點到直線距離的概念; 2.掌握求直線上一點到直線的距離的方法，并能運用到實際問題中: 3.培養數學思維能力，提高邏輯推理能力。 1.重點：(1)點到直線的距離公式的推導思路;(2)點到直線的距離公式的應用 2.難點：用向量的方法推導點到直線的距離公式
知識點01 兩點間距離公式
定義：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|
【即學即練1】（23-24高二下·全國·課后作業）若，則為 .
【即學即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）已知點到原點的距離等于1，則實數滿足的條件是（ ）
A． B．
C． D．
知識點02點到直線的距離公式
1.點到直線的距離公式
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C0的距離，d
2.點到特殊直線的距離公式
點P0(x0，y0)到x軸的距離d|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d|y0-a|,到y軸的距離d|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d|x0-b|.
【即學即練3】（23-24高二上·新疆·期末）點到直線的距離為（ ）
A． B．2 C． D．1
【即學即練4】(多選)（23-24高二下·全國·隨堂練習）已知點到直線的距離為3，則實數等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
知識點03 兩條平行線之間的距離
1.兩條平行線之間的距離
兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
2.兩條平行線之間的距離公式
兩條平行線Ax＋By＋C10與Ax＋By＋C20間的距離d
【即學即練5】（23-24高二上·北京房山·期末）兩條直線與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【即學即練6】（22-23高二上·廣東肇慶·階段練習）兩平行直線與之間的距離為 ．
難點：將軍飲馬問題
示例1：（24-25高二下·上海·單元測試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為 ．
難點：類比距離問題
示例2：（2024高二下·吉林·競賽）已知函數，則（ ）
A．的最小值為8 B．的最小值為9
C．有1個實根 D．有1個實根
【題型1：平面兩點之間的距離】
例1．（21-22高二上·河北衡水·階段練習）點與之間的距離是5，則y=（ ）
A． B． C．或 D．12
變式1．（2023·江西上饒·模擬預測）已知，，則的最小值等于（ ）
A． B．6 C． D．
變式2．（23-24高二下·全國·課后作業）已知點的坐標，線段中點的坐標為，則B點坐標為 ，為 .
變式3．（20-21高二·全國·課后作業）已知的三個頂點坐標是，，．則的形狀為 ；的面積為 .
變式4．（23-24高二下·全國·課后作業）已知，且，則 ．
變式5．（21-22高二上·北京·階段練習）已知點，且，寫出直線AB的一個方程
變式6．（2021高二上·全國·專題練習）已知點，且，則的值為 .
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）二元函數的值域為 ．
變式8.（2021高二·黑龍江哈爾濱·學業考試）已知，，線段的垂直平分線為直線．
(1)求直線的一般式方程；
(2)若點在直線上，且，求點坐標．
【題型2：點到直線的距離】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）點到直線的距離為（ ）
A． B．2 C． D．1
變式1．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知直線：，則點到直線距離的最大值為（ ）
A． B． C．5 D．10
變式2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知，兩點到直線的距離相等，求a的值（ ）
A． B． C．或 D．或
變式3．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）直線上與點的距離等于的點的坐標可以是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（多選）（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）已知直線，下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．當時，關于軸的對稱直線為
C．直線一定經過第四象限
D．點到直線的最大距離為
變式5．（多選）（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知點與到直線的距離相等，則的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（24-25高二上·上海·課后作業）若點到直線l：的距離為d，則d的取值范圍是 ．
變式7．（24-25高二上·上海·課后作業）已知點到直線l的距離為5，且直線l在兩坐標軸上的截距相等，則滿足條件的直線共有 條．
變式8.（24-25高二上·上海·課后作業）若恰有三組不全為0的實數對滿足關系式，求實數t的所有可能的值．
【方法技巧與總結】
應用點到直線的距離公式應注意的三個問題
直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式.
點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用.
（3）直線方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也不成立，但由于直線是特殊直線（與坐標軸垂直），故也可用數形結合求解.
【題型3：兩條平行線之間的距離】
例3．（24-25高二上·陜西西安·開學考試）直線：與直線：的距離是（ ）
A． B． C． D．1
變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,則它們的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·天津和平·期末）設點P，Q分別為直線與直線上的任意一點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式3．（多選）（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩條平行直線，直線，直線，直線之間的距離為，則的值可以是（ ）
A．-8 B．-6 C．2 D．4
變式4．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）已知兩條平行直線.若直線被截得的線段長為，則直線的傾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線，，則直線，之間距離的最大值為 ．
變式6．（23-24高二上·河南開封·期末）已知點分別是直線與直線上的點，則的取值范圍是 ．
變式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為
【方法技巧與總結】
對兩條平行直線之間的距離公式的理解
1.求兩條平行線之間的距離可以轉化為求點到直線的距離，也可以利用公式.
2.利用公式求平行線之間的距離時，兩條直線方程必須是一般式，且x，y的系數對應相等.
3.當兩條直線都與x軸（或y軸）垂直時，可利用數形結合來解決.
【題型4：點與點、點與線的對稱問題】
例4．（23-24高二上·廣東佛山·期中）點關于直線對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（22-23高二上·福建廈門·階段練習）不論實數取何值時，直線都過定點，則直線關于點的對稱直線方程為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（21-22高二·全國·單元測試）直線ax＋y＋3a－10恒過定點M，則直線2x＋3y－60關于點M對稱的直線方程為（ ）
A．2x＋3y－120 B．2x＋3y＋120 C．3x－2y－60 D．2x＋3y＋60
變式3．（多選）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大
C．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2
D．點關于直線的對稱點為
變式4．（23-24高二上·內蒙古鄂爾多斯·期中）已知直線與直線交于點A，則點A關于直線的對稱點坐標是 .
變式5.（22-23高二上·江西南昌·階段練習）已知直線的傾斜角為，且經過點．
(1)求直線的方程；
(2)求點關于直線的對稱點的坐標．
變式6．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知直線，點.
(1)已知直線與平行，求的值；
(2)求點關于直線的對稱點的坐標.
變式7．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）直線：，直線的一個方向向量的坐標為，直線：與直線垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知點，求點關于直線對稱的點的坐標．
變式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直線過點．
(1)若直線與直線垂直，求直線的方程
(2)若已知直線，點關于直線的對稱點的坐標．
【方法技巧與總結】
1.實質：該點是兩對稱點連線段的中點
方法：利用中點坐標公式
說明：平面內點關于對稱點坐標為平面內點，關于點對稱
2.實質：軸（直線）是對稱點連線段的中垂線
1.當直線斜率存在時：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，
一般地：設點(x0，y0)關于直線Ax+By+C=0的對稱點(x’，y’)，則
2.當直線斜率不存在時：點關于的對稱點為（，）
【題型5：直線關于點對稱】
例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直線l：關于點對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知點，直線：，則點到直線的距離為 ，直線關于點對稱的直線方程為 ．
變式2．（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知三角形的三個頂點是，，，邊BC上的高所在直線為l．
(1)求直線l的方程；
(2)求直線l關于點B對稱的直線的方程．
變式3．（22-23高二·全國·課后作業）已知點的坐標為，直線的方程為，求：
(1)點關于直線的對稱點的坐標；
(2)直線關于點的對稱直線的方程．
變式4．（21-22高二上·江蘇連云港·期中）已知直線經過兩條直線和的交點，且________，若直線與直線關于點對稱，求直線的方程．試從以下兩個條件中任選一個補充在上面的問題中，完成解答，若選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分．①與直線垂直；②在軸上的截距為．
變式5．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一張坐標紙折疊一次，使得點和點重合，點和點重合，則（ ）
A． B． C． D．
變式6．（23-24高二上·全國·單元測試）已知點，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知條件補充在橫線處，并作答．條件①：點關于直線的對稱點的坐標為；條件②：點的坐標為，直線過點且與直線垂直；條件③點的坐標為，直線過點且與直線平行．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
(1)求直線的方程；
(2)求直線：關于直線的對稱直線的方程．
【方法技巧與總結】
實質：兩直線平行
法一：轉化為“點關于點”的對稱問題（在l上找兩個特殊點（通常取直線與坐標軸的交點），求出各自關于A對稱的點，然后求出直線方程）
法二：利用平行性質解（求出一個對稱點，且斜率相等或設出平行直線系，利用點到直線距離相等）
【題型6：直線關于直線對稱】
例6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線l：與直線關于直線對稱，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（24-25高二上·上海·課堂例題）過原點的直線l的傾斜角為θ，則直線l關于直線對稱的直線的傾斜角不可能為（ ）
A．θ B． C． D．
變式2．（多選）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與相交于點
B．直線和軸圍成的三角形的面積為
C．直線關于原點O對稱的直線方程為
D．直線關于直線對稱的直線方程為
變式3．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習）已知直線,，，以下結論正確的是（ ）
A．無論a為何值，與都互相垂直
B．當a變化時，表示過定點的所有直線
C．無論a為何值，與都關于直線對稱
D．若與交于點M，則（O為坐標原點）的最大值是
變式4．（24-25高二上·上海·隨堂練習）若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為 .
變式5．（22-23高二上·安徽六安·階段練習）已知直線的方程為.
（1）若直線和直線關于點對稱，求直線的方程 ；
（2）若直線和直線關于直線對稱，求直線的方程 .
變式6．（23-24高二上·貴州遵義·階段練習）已知的三個頂點是，，．
(1)過點的直線與邊相交于點，若的面積是面積的3倍，求直線的方程；
(2)求的角平分線所在直線的方程．
變式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直線，求滿足下列條件的直線的方程．
(1)與直線關于軸對稱；
(2)過點，且與平行．

【方法技巧與總結】
1.相交時：此問題可轉化為“點關于直線”的對稱問題
2.平行時：對稱直線與已知直線平行
【題型7：反射光線問題】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點射出，經直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（22-23高二上·浙江·階段練習）一條光線從點射出，經直線反射后經過點，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習）在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發經BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經過的重心，則的周長等于（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（23-24高二上·浙江溫州·期中）在等腰直角中，，點是邊的中點，光線從點出發，沿與所成角為的方向發射，經過反射后回到線段之間（包括端點），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于，的一點，光線從點出發，經，反射后又回到點，如圖所示，若光線經過的重心，則的長度為 .
變式5．（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在直角坐標系中，已知，，從點射出的光線經直線反射到軸上，再經軸反射后又回到點，則光線所經過的路程的為 .

變式6．（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，已知，，，直線：．
(1)求直線經過的定點坐標；
(2)若，李老師站在點用激光筆照出一束光線，依次由（反射點為）、（反射點為）反射后，光斑落在點，求入射光線的直線方程．
變式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光線經過點，在直線上反射，且反射光線經過點，求：
(1)入射光線與直線l的交點．
(2)入射光線與反射光線所在直線的方程．
【題型8：將軍飲馬問題】
例8．（23-24高二上·內蒙古錫林郭勒盟·期末）設直線l：，點，，P為l上任意一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·北京豐臺·期末）已知點在由直線，和所圍成的區域內（含邊界）運動，點在軸上運動.設點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知點，，是直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（23-24高二上·上海奉賢·階段練習）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（ ）
A．將軍從出發點到河邊的路線所在直線的方程是
B．將軍在河邊飲馬的地點的坐標為
C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是
D．“將軍飲馬”走過的總路程為5
變式4．（23-24高二上·河南新鄉·期中）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二上·河南信陽·期中）已知，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
變式6．（22-23高二上·河北張家口·期末）已知實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式7．（23-24高二上·江蘇·單元測試）已知點，點分別是x軸和直線上的兩個動點，則的最小值等于 ．
【方法技巧與總結】
利用三角形邊角關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于等于第三邊。
一、單選題
1．（23-24高二下·全國·課后作業）三角形的三個頂點為，則的長為（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線與直線間的距離為，則（ ）
A．17 B． C．14 D．7
3．（2023高二上·全國·專題練習）若原點到直線的距離為1，則a，b，c應滿足的關系式為（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點，點B在直線上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
5．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線：，則點關于對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知，兩點到直線的距離相等，則的值為（ ）
A．或 B．3或4 C．3 D．4
7．（23-24高二下·全國·課堂例題）直線與直線相交，則實數的值為（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
8．（23-24高二上·廣東湛江·期中）某地兩廠在平面直角坐標系上的坐標分別為，一條河所在直線的方程為.若在河上建一座供水站，則到兩點距離之和的最小值為（ ）
A． B．32 C． D．48
二、多選題
9．（23-24高二下·廣西·開學考試）若直線：，：，：，：，則（ ）
A． B．與之間的距離為
C． D．與的傾斜角互補
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直線：與：交于點，則下列說法正確的是（ ）
A．點到原點的距離為
B．點到直線的距離為1
C．不論實數取何值，直線：都經過點
D．是直線的一個方向向量的坐標
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）點到直線的距離相等，則的值可能為（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
三、填空題
12．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）在平面直角坐標系中，點在直線上，當最小時，點的坐標為 .
13．（23-24高二下·江西·階段練面直角坐標系中，任意兩點，，定義為“A，B兩點間的距離”，定義為“A，B兩點間的曼哈頓距離”，已知為坐標原點，為平面直角坐標系中的動點，且，則的最小值為 .
14．（2024高二上·全國·專題練習）已知直線與直線關于直線對稱，則直線的方程為 ．
15．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知實數滿足，則的最小值為 .
16．（2023高二上·全國·專題練習）已知，，則S的最小值是 .
四、解答題
17．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知直線：和：．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若與互相平行，求與間的距離．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四邊形中，，邊所在直線的方程分別為和．
(1)求邊所在直線的方程和點到直線的距離；
(2)求線段垂直平分線所在的直線方程；
(3)求過點且在軸和軸截距相等的直線方程．
19．（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知兩條直線和.
(1)討論直線與的位置關系；
(2)當直線與平行時，求它們之間的距離；當直線與相交時，求它們之間夾角的最大值，并指出相應的取值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.2.4點到直線的距離
課程標準 學習目標
1.理解點到直線距離的概念; 2.掌握求直線上一點到直線的距離的方法，并能運用到實際問題中: 3.培養數學思維能力，提高邏輯推理能力。 1.重點：(1)點到直線的距離公式的推導思路;(2)點到直線的距離公式的應用 2.難點：用向量的方法推導點到直線的距離公式
知識點01 兩點間距離公式
定義：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|
【即學即練1】（23-24高二下·全國·課后作業）若，則為 .
【答案】
【分析】根據題意，利用平面上兩點間的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意，根據平面上兩點間的距離公式，可得，
故答案為：.
【即學即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）已知點到原點的距離等于1，則實數滿足的條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由兩點之間的距離公式列式即得.
【詳解】依題意，由點到原點的距離等于1可得，，
故實數滿足的條件是.
.
知識點02點到直線的距離公式
1.點到直線的距離公式
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C0的距離，d
2.點到特殊直線的距離公式
點P0(x0，y0)到x軸的距離d|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d|y0-a|,到y軸的距離d|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d|x0-b|.
【即學即練3】（23-24高二上·新疆·期末）點到直線的距離為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用點到直線的距離公式直接計算得解.
【詳解】點到直線的距離.
【即學即練4】(多選)（23-24高二下·全國·隨堂練習）已知點到直線的距離為3，則實數等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
【答案】AB
【分析】根據點到直線的距離公式計算即可.
【詳解】依題意，即,解得或.
B.
知識點03 兩條平行線之間的距離
1.兩條平行線之間的距離
兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
2.兩條平行線之間的距離公式
兩條平行線Ax＋By＋C10與Ax＋By＋C20間的距離d
【即學即練5】（23-24高二上·北京房山·期末）兩條直線與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意代入兩平行線之間的距離公式即可得出結果.
【詳解】由兩平行線之間的距離公式可得.
【即學即練6】（22-23高二上·廣東肇慶·階段練習）兩平行直線與之間的距離為 ．
【答案】/
【分析】由兩平行間的距離公式可求兩直線間的距離.
【詳解】由，可得，
所以與之間的距離為.
故答案為：.
難點：將軍飲馬問題
示例1：（24-25高二下·上海·單元測試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為 ．
【答案】
【分析】求出關于直線對稱的點，結合圖形，即可求解.
【詳解】設點關于直線對稱的點為，
則有，解得，所以，
則，所以“將軍飲馬”的最短總路程為，

故答案為：.
難點：類比距離問題
示例2：（2024高二下·吉林·競賽）已知函數，則（ ）
A．的最小值為8 B．的最小值為9
C．有1個實根 D．有1個實根
【答案】C
【分析】先設點的坐標，把函數轉化為，再結合圖形特征得出最小值即可.
【詳解】是拋物線上一點，
到直線的距離為
到點的距離為，
所以
當共線時，取最小值，
最小值為到的距離.
因為，
且的最小值為，
所以的最小值為9，且在交點或處取到，
.
【題型1：平面兩點之間的距離】
例1．（21-22高二上·河北衡水·階段練習）點與之間的距離是5，則y=（ ）
A． B． C．或 D．12
【答案】D
【分析】由兩點間距離公式計算．
【詳解】由題意，即，解得或．
．
變式1．（2023·江西上饒·模擬預測）已知，，則的最小值等于（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】令，，得到點，分別在直線，上，設線段的中點為，則，且點在直線上，將所求問題，轉化為點到原點的距離的倍，根據點到直線距離公式，即可求出結果.
【詳解】令，，由已知可得點，分別在直線，上，
設線段的中點為，則，
到原點的距離，
依題意點在直線上，
所以點到原點的最小距離即為原點到直線的距離，為，
因此的最小值為，因此的最小值等于.
.
變式2．（23-24高二下·全國·課后作業）已知點的坐標，線段中點的坐標為，則B點坐標為 ，為 .
【答案】 25
【分析】設B點的坐標為，根據中點坐標公式列出關于的方程組，解出方程組即可得B點的坐標.
【詳解】設B點的坐標為，
∵點A的坐標，線段中點的坐標為，
∴，解得，
即點的坐標為，所以
故答案為：；25.
變式3．（20-21高二·全國·課后作業）已知的三個頂點坐標是，，．則的形狀為 ；的面積為 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根據兩點距離公式，結合勾股定理的逆定理、直角三角形面積公式進行求解即可.
【詳解】因為，
，，
所以，即是以A為直角頂點的直角三角形．
由于是以A為直角頂點的直角三角形，所以.
故答案為：直角三角形；
變式4．（23-24高二下·全國·課后作業）已知，且，則 ．
【答案】
【分析】根據題意，直接根據平面直角坐標系上兩點的距離公式，即可求解.
【詳解】因為且，所以，解得
故答案為：
變式5．（21-22高二上·北京·階段練習）已知點，且，寫出直線AB的一個方程
【答案】(答案不唯一)
【分析】根據兩點間的距離公式，求出的值，然后寫出點的坐標，從而可求直線AB的一個方程.
【詳解】根據兩點間的距離公式，得，
即。所以，
所以或，
當時，，直線的方程為；
當時，，直線的方程為.
故答案為：.(答案不唯一)
變式6．（2021高二上·全國·專題練習）已知點，且，則的值為 .
【答案】或
【分析】利用兩點的距離公式計算即可得出答案.
【詳解】由兩點間距離公式得，所以，所以，即或.
故答案為：或
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）二元函數的值域為 ．
【答案】
【分析】把二元函數轉化為兩點間距離的平方，再轉化為點到直線的距離為最小值即可得出值域.
【詳解】由題意可知二元函數的幾何意義為單位圓上一點到直線上一點距離的平方，最小值為圓心到直線距離減半徑，圓心為
，則．
故答案為：.
變式8.（2021高二·黑龍江哈爾濱·學業考試）已知，，線段的垂直平分線為直線．
(1)求直線的一般式方程；
(2)若點在直線上，且，求點坐標．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由題意，求出線段的中點坐標及直線的斜率，然后利用點斜式寫出直線方程，化簡即可得答案；
（2）設點坐標為，由題意，列出關于的方程組求解即可得答案.
【詳解】（1）解：因為，，所以線段的中點為，，
又線段的垂直平分線為直線，所以，
所以直線的方程為，即，
所以直線的一般式方程為；
（2）解：設點坐標為，
由題意有，解得或，
所以點坐標為或.
【題型2：點到直線的距離】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）點到直線的距離為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用點到直線的距離公式直接計算得解.
【詳解】點到直線的距離.
變式1．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知直線：，則點到直線距離的最大值為（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【分析】根據直線方程，可得直線過定點，即可求出結果.
【詳解】直線：，即，
由，得到，所以直線過定點，
當直線垂直于直線時，距離最大，此時最大值為，
.
變式2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知，兩點到直線的距離相等，求a的值（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用點到直線距離公式列出關于的方程求解即可．
【詳解】因為點到直線的距離相等，
所以，即，
化簡得，解得或.
.
變式3．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）直線上與點的距離等于的點的坐標可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【分析】設所求點的坐標為，然后根據題意列方程組可求得結果.
【詳解】設所求點的坐標為，則，且，
兩式聯立解得或，
所以所求點的坐標為或
C
變式4．（多選）（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）已知直線，下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．當時，關于軸的對稱直線為
C．直線一定經過第四象限
D．點到直線的最大距離為
【答案】CD
【分析】A.由判斷；B.由時，直線方程為判斷；C.由時，直線方程為判斷；D.點到定點的距離判斷.
【詳解】對于A，直線，所以直線過定點，故A錯誤；
對于B.當時，直線方程為，關于軸的對稱直線為，故B正確；
對于C，當時，直線方程為，直線不經過第四象限，故C錯誤；
對于D，如圖所示：
設，由圖象知：，點到直線的最大距離為，故D正確；
D
變式5．（多選）（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知點與到直線的距離相等，則的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據點到直線的距離相等，可得過的中點，或的斜率與的斜率相等，進而兩種情況進行判斷.
【詳解】由題知，過的中點，或的斜率與的斜率相等，
又的中點為，
則過點的直線為AD選項；
又的斜率為，則B選項符合條件.
BD
變式6．（24-25高二上·上海·課后作業）若點到直線l：的距離為d，則d的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先確定直線恒過定點，再計算，從而可得結論．
【詳解】解：把直線的方程化為，
由方程組
解得
所以直線恒過定點，
其中直線不包括直線．
又，
且當與直線垂直時，點到直線的距離為，
所以點到直線的距離滿足，
故答案為：．
變式7．（24-25高二上·上海·課后作業）已知點到直線l的距離為5，且直線l在兩坐標軸上的截距相等，則滿足條件的直線共有 條．
【答案】3
【分析】結合點到直線的距離公式，分截距是否為0進行討論即可得解.
【詳解】當截距不為0時，由題意設所求直線為，
則，解得；
當截距為0時，設原點為，則，注意到，
所以此時滿足題意的直線方程可以是；
綜上所述，滿足條件的直線共有3條.
故答案為：3.
變式8.（24-25高二上·上海·課后作業）若恰有三組不全為0的實數對滿足關系式，求實數t的所有可能的值．
【答案】，，．
【分析】化簡得到，然后，根據情況，對進行分類討論即可求解.
【詳解】由已知得，
整理，得，
看成有且僅有三條直線滿足，和）到直線：（不過原點）的距離相等．由，
（1）當，此時，易得符合題意的直線為線段的垂直平分線以及直線平行的兩條直線 和；
（2）當時，有4條直線會使得點和到它們的距離相等，注意到不過原點，所以，當其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去．
設點到的距離為．
（1）作為增根被舍去的直線，過原點和、的中點，其方程為，此時，，符合；
（2）作為增根被舍去的直線，過原點且以為方向向量，其方程為，此時， ，符合．
綜上，滿足題意的實數為，，．
【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于化簡得到，將問題轉化為，有且僅有三條直線滿足，和到直線（不過原點）的距離相等，這是本題的解題關鍵.
【方法技巧與總結】
應用點到直線的距離公式應注意的三個問題
直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式.
點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用.
（3）直線方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也不成立，但由于直線是特殊直線（與坐標軸垂直），故也可用數形結合求解.
【題型3：兩條平行線之間的距離】
例3．（24-25高二上·陜西西安·開學考試）直線：與直線：的距離是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】將直線的方程化為，進而根據平行線間的距離公式計算求解即可.
【詳解】直線：化為，
又直線：，所以，
所以直線與直線的距離是.
.
變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,則它們的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平行可求，根據平行線間距離公式計算后可得正確的選項.
【詳解】因為，所以，故，故.
故之間的距離為，
.
變式2．（23-24高二上·天津和平·期末）設點P，Q分別為直線與直線上的任意一點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】因為直線與直線平行，所以的最小值為直線與直線距離，求解即可.
【詳解】由直線可得，
所以直線與直線平行，
所以的最小值為直線與直線距離，
所以.
.
變式3．（多選）（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩條平行直線，直線，直線，直線之間的距離為，則的值可以是（ ）
A．-8 B．-6 C．2 D．4
【答案】CC
【分析】由兩條平行直線間的距離公式求解即可.
【詳解】根據題意得直線可化為，
直線之間的距離，
所以，即或.
C.
變式4．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）已知兩條平行直線.若直線被截得的線段長為，則直線的傾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根據平行線距離公式計算結合傾斜角定義即可求解.
【詳解】直線被截得的線段長為，
兩平行直線的距離直線和的夾角為，
又直線的傾斜角為，直線的傾斜角可能是或.
故選:AC.
變式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線，，則直線，之間距離的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據題意可知：兩直線平行，且均過定點，分析可得結果.
【詳解】由題意可知：直線的斜率為，過定點；
直線的斜率為，過定點；
可知，所以兩直線之間距離的最大值為．
故答案為：.
變式6．（23-24高二上·河南開封·期末）已知點分別是直線與直線上的點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先得到兩直線平行，求出兩平行線間距離公式求出的最小值，從而得到答案.
【詳解】由可知直線，所以當且時，有最小值，
其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，
所以，即的取值范圍是．
故答案為：
變式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為
【答案】/
【分析】利用數形結合，找到線段的等量關系進行轉化，找到最小值即可得解.
【詳解】因為，，
所以直線與間的距離為，又，故，
過作直線垂直于，如圖，
則可設直線的方程為，代入，得，則，
所以直線的方程，
將沿著直線往上平移個單位到點，設，
則，解得或（舍去），則，
連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，
有，即四邊形為平行四邊形，
則，即有，
顯然是直線上的點與點距離和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
而，
所以的最小值為 .
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將等價轉化為，從而得解.
【方法技巧與總結】
對兩條平行直線之間的距離公式的理解
1.求兩條平行線之間的距離可以轉化為求點到直線的距離，也可以利用公式.
2.利用公式求平行線之間的距離時，兩條直線方程必須是一般式，且x，y的系數對應相等.
3.當兩條直線都與x軸（或y軸）垂直時，可利用數形結合來解決.
【題型4：點與點、點與線的對稱問題】
例4．（23-24高二上·廣東佛山·期中）點關于直線對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設點關于直線對稱的點的坐標為，結合直線的垂直關系以及中點問題列出方程組，即可求得答案.
【詳解】設點關于直線對稱的點的坐標為，
則，解得，
故點關于直線對稱的點的坐標為，
變式1．（22-23高二上·福建廈門·階段練習）不論實數取何值時，直線都過定點，則直線關于點的對稱直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出定點坐標，設直線關于點的對稱直線方程為，則，解方程即可得出答案.
【詳解】由可得：，
令，解得：，
所以，設直線關于點的對稱直線方程為：，
則到直線與的距離相等，
所以，解得：，即（舍去）或.
故直線關于點的對稱直線方程為：.
.
變式2．（21-22高二·全國·單元測試）直線ax＋y＋3a－10恒過定點M，則直線2x＋3y－60關于點M對稱的直線方程為（ ）
A．2x＋3y－120 B．2x＋3y＋120 C．3x－2y－60 D．2x＋3y＋60
【答案】C
【分析】先求出定點M的坐標，再設出與直線2x＋3y－60關于點M對稱的直線方程，利用點到直線距離公式求出答案.
【詳解】由ax＋y＋3a－10得，
由，得，∴M（－3，1）．
設直線2x＋3y－60關于點M對稱的直線方程為，
∴，解得:C12或C－6（舍去），
∴直線2x＋3y－60關于點M對稱的直線方程為2x＋3y＋120．
．
變式3．（多選）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列說法中正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大
C．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2
D．點關于直線的對稱點為
【答案】AD
【分析】對于AB，根據已知條件，結合直線的斜率與傾斜角的關系，即可求解；對于C，求出直線與坐標軸的交點坐標，從而求出三角形面積，對于D，設關于直線對稱的點為，得到，再解方程即可判斷.
【詳解】對于A：任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，當傾斜角為時斜率不存在，故A正確；
對于B：直線的傾斜角為，時，顯然不滿足直線的傾斜角越大，斜率越大，故B錯誤；
對于C：直線，令，，令，，
故與兩坐標軸圍成的三角形的面積是，故C錯誤；
對于D：設關于直線對稱的點為，
則，即關于直線對稱的點為，故D正確.；
D
變式4．（23-24高二上·內蒙古鄂爾多斯·期中）已知直線與直線交于點A，則點A關于直線的對稱點坐標是 .
【答案】
【分析】先根據兩直線相交聯立方程組求出點A的坐標；再設出對稱點的坐標；最后列出關系式求解即可.
【詳解】因為直線與直線交于點A，
所以聯立，解得，即.
設點關于直線的對稱點坐標為，
則的中點坐標為，，
故，解得，即點A關于直線的對稱點坐標是.
故答案為：.
變式5.（22-23高二上·江西南昌·階段練習）已知直線的傾斜角為，且經過點．
(1)求直線的方程；
(2)求點關于直線的對稱點的坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由傾斜角和斜率的關系求斜率，根據點斜式求直線的方程；
（2）設點的坐標為，由條件列方程求即可.
【詳解】（1）設直線的斜率為，
因為直線的傾斜角為，
所以，
所以直線的方程為，即
（2）設點的坐標為，
則，解得，
所以點的坐標為．
變式6．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知直線，點.
(1)已知直線與平行，求的值；
(2)求點關于直線的對稱點的坐標.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根據兩直線平行的斜率關系列式運算得解；
（2）設出對稱點的坐標，利用中點在直線上，以及直線垂直，列出方程，即可求得結果.
【詳解】（1）由直線平行直線，可得，解得或，
當時，直線符合題意，
當時，直線與直線重合，不合題意，
所以的值為3.
（2）設對稱點的坐標為，則中點的坐標為，
所以可得，解得，
所以的坐標為.
變式7．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）直線：，直線的一個方向向量的坐標為，直線：與直線垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知點，求點關于直線對稱的點的坐標．
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）根據直線的方向向量求出，根據直線：與直線垂直求出.
（2）設出對稱點的坐標，然后根據點關于直線對稱聯立求解即可.
【詳解】（1）因為直線：的一個方向向量的坐標為，
所以，
又因為直線：與直線垂直，
所以.
所以，.
（2）由（1）知直線：即，
設點關于直線對稱的點，
則直線的斜率為，
線段的中點為，
代入直線方程得，
聯立，
所以點的坐標為.
變式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直線過點．
(1)若直線與直線垂直，求直線的方程
(2)若已知直線，點關于直線的對稱點的坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據垂直關系得到斜率，結合點坐標得到直線方程.
（2）設出對稱點，根據斜率的關系和中點坐標得到方程組，解得答案.
【詳解】（1）直線與直線垂直，則，
故直線的方程為，即
（2）設點關于直線的對稱點的坐標為，
則，解得，故對稱點坐標為.
【方法技巧與總結】
1.實質：該點是兩對稱點連線段的中點
方法：利用中點坐標公式
說明：平面內點關于對稱點坐標為平面內點，關于點對稱
2.實質：軸（直線）是對稱點連線段的中垂線
1.當直線斜率存在時：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，
一般地：設點(x0，y0)關于直線Ax+By+C=0的對稱點(x’，y’)，則
2.當直線斜率不存在時：點關于的對稱點為（，）
【題型5：直線關于點對稱】
例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直線l：關于點對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據直線關于點的對稱直線平行，設出所求直線，利用點到直線距離求解.
【詳解】因為不在直線l：上，
所以可設直線l：關于點對稱的直線方程為，
則，解得或（舍去），
故所求直線方程為：.
變式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知點，直線：，則點到直線的距離為 ，直線關于點對稱的直線方程為 ．
【答案】 /
【分析】利用點到直線距離公式求點到直線的距離，設直線上任一點關于點的對稱點，確定的坐標關系，利用代點法求對稱直線方程．
【詳解】點，直線：，
則點到直線的距離為，
設直線關于點的對稱直線為，
則直線上任一點關于點的對稱點一定在直線上，
，解得，
將代入直線的方程可得，．
所以直線關于點對稱的直線方程為.
故答案為：；.
變式2．（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知三角形的三個頂點是，，，邊BC上的高所在直線為l．
(1)求直線l的方程；
(2)求直線l關于點B對稱的直線的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）應用兩點式求斜率，再由直線垂直得，應用點斜式寫出直線l的方程；
（2）由直線平行設直線的方程為，根據已知及點線距離公式列方程求參數，即可得直線的方程．
【詳解】（1）因為點，，所以，
因為，所以，且直線l經過點，
所以直線l的方程為，即．
（2）設直線的方程為，
由點到直線l和直線的距離相等，
所以，解得，
所以直線的方程為．
變式3．（22-23高二·全國·課后作業）已知點的坐標為，直線的方程為，求：
(1)點關于直線的對稱點的坐標；
(2)直線關于點的對稱直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據點關于線對稱列式求解即可；
（2）根據相關點法分析運算即可.
【詳解】（1）設，由題意可得，解得，
所以點的坐標為.
（2）在直線上任取一點，設關于點的對稱點為，
則，解得，
由于在直線上，則，即，
故直線關于點的對稱直線的方程為.
變式4．（21-22高二上·江蘇連云港·期中）已知直線經過兩條直線和的交點，且________，若直線與直線關于點對稱，求直線的方程．試從以下兩個條件中任選一個補充在上面的問題中，完成解答，若選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分．①與直線垂直；②在軸上的截距為．
【答案】選①，；選②，.
【分析】選①可設直線的方程，求出交點并代入即可求出直線l的方程，在直線上取兩點，再利用點的對稱即可求解；選②，由點斜式即可求出直線l的方程，在直線上取兩點，再利用點的對稱即可求解.
【詳解】因為方程組的解為，
所以兩條直線和的交點坐標為．
若選①，可設直線l的方程為，
點代入方程可得，即l：．
在直線l上取兩點和，
點關于點對稱的點的坐標為，
點關于點對稱的點的坐標為（0，0），
所以直線m的方程為．
若選②，可得直線l的斜率，
所以直線l的方程為．
在直線l上取兩點和，點關于點對稱的點的坐標為，
點關于點對稱的點的坐標為，
所以直線m的方程為，即．
變式5．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一張坐標紙折疊一次，使得點和點重合，點和點重合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據兩點關于折線對稱，先求出折線方程，再根據與關于折線對稱求出即可.
【詳解】設點和，線段中點為點,
折線即為線段的中垂線，
則，，所以，
直線的斜率為，則折線斜率為2，
所以折線方程為：，
由題知與關于折線對稱，
則兩點中點在直線上且兩點連線與直線垂直，
所以化簡得，
解得，所以.
變式6．（23-24高二上·全國·單元測試）已知點，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知條件補充在橫線處，并作答．條件①：點關于直線的對稱點的坐標為；條件②：點的坐標為，直線過點且與直線垂直；條件③點的坐標為，直線過點且與直線平行．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
(1)求直線的方程；
(2)求直線：關于直線的對稱直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）計算直線的斜率，根據兩直線的平行或垂直關系得到斜率，根據點斜式方程得到直線方程.
（2）先計算直線，的交點；再在直線上取一點，求其關于對稱的點；最后根據交點和對稱點得到直線方程.
【詳解】（1）選擇條件：
因為點關于直線的對稱點的坐標為，
所以是線段的垂直平分線，線段的中點坐標為．
因為，
所以直線的斜率為.
所以直線的方程為，即．
選擇條件：
因為，直線與直線垂直，
所以直線的斜率為.
又因為直線過點，
所以直線的方程為，即．
選擇條件，
因為，直線與直線平行，
所以直線的斜率為.
又因為直線過點，
所以直線的方程為，即．
（2）聯立方程組，解得，
故，的交點坐標為，
設關于：對稱的點為.
則，解得.
因為在直線：上，
所以直線關于直線對稱的直線經過點，，代入兩點式方程得，即，
所以：關于直線的對稱直線的方程為．
【方法技巧與總結】
實質：兩直線平行
法一：轉化為“點關于點”的對稱問題（在l上找兩個特殊點（通常取直線與坐標軸的交點），求出各自關于A對稱的點，然后求出直線方程）
法二：利用平行性質解（求出一個對稱點，且斜率相等或設出平行直線系，利用點到直線距離相等）
【題型6：直線關于直線對稱】
例6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線l：與直線關于直線對稱，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據對稱性的性質，用代，以代進行求解即可.
【詳解】因為直線l：與直線關于直線對稱，
所以在方程中，用代，以代，得，
化簡，得，
變式1．（24-25高二上·上海·課堂例題）過原點的直線l的傾斜角為θ，則直線l關于直線對稱的直線的傾斜角不可能為（ ）
A．θ B． C． D．
【答案】D
【分析】利用直線與直線對稱，得到傾斜角之間的關系，然后對選項進行逐個分析判斷即可.
【詳解】設直線的傾斜角為，則，
因為直線和直線關于直線對稱，
所以直線和直線也關于直線對稱 ，
所以或，
對于A，當時，，所以A正確，
對于B，當時，，所以B正確，
對于C，若，則不不成立，且也不不成立，所以C錯誤，
對于D，當時，，所以D正確.
變式2．（多選）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與相交于點
B．直線和軸圍成的三角形的面積為
C．直線關于原點O對稱的直線方程為
D．直線關于直線對稱的直線方程為
【答案】AC
【分析】通過聯立方程組求得交點坐標，結合三角形的面積、對稱性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由解得，所以交點坐標為，A選項正確.
直線與軸的交點為，與軸的交點為，
直線過原點，由圖可知，直線和軸圍成的三角形的面積為，
所以B選項錯誤.
由上述分析可知，直線關于原點O對稱的直線過點，
所以直線關于原點O對稱的直線方程為，
所以C選項正確.
點關于直線的對稱點是；
點關于直線的對稱點是，
所以直線關于直線對稱的直線方程為，
即，所以D選項錯誤.
C
變式3．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習）已知直線,，，以下結論正確的是（ ）
A．無論a為何值，與都互相垂直
B．當a變化時，表示過定點的所有直線
C．無論a為何值，與都關于直線對稱
D．若與交于點M，則（O為坐標原點）的最大值是
【答案】AD
【分析】對A：討論與時對應直線的位置關系即可；
對B：討論斜率不存在時的情況，即可判斷；
對C：討論與平行的狀態，即可判斷；
對D：點的軌跡為圓，數形結合即可求的最大值.
【詳解】對A：當時，方程為：，方程為：，兩直線垂直；
當時，直線的斜率，直線的斜率，滿足，兩直線垂直；
故無論a為何值，與都互相垂直，A正確；
對B：，也即，其表示過點，斜率為的直線；
若直線過點且斜率不存在時，該方程無法表示，B錯誤；
對C：當時，直線,的方程分別為：
，，此時與平行，
關于的對稱直線為，不是，故C錯誤；
對D：由A可得：直線垂直，且直線恒過定點，直線恒過定點，
故點的軌跡是以為直徑的圓，此時恰有點也在該圓上，

故的最大值為圓的直徑，故D正確.
D.
變式4．（24-25高二上·上海·隨堂練習）若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為 .
【答案】
【分析】由題意知，直線和關于直線對稱，故把l的方程中的x 和y交換位置即得直線l的方程．
【詳解】由題意可得直線l與直線關于直線對稱，
由于直線上的任意一點關于直線的對稱點為，
因為已知直線，則的方程是，即，
故答案為：.
變式5．（22-23高二上·安徽六安·階段練習）已知直線的方程為.
（1）若直線和直線關于點對稱，求直線的方程 ；
（2）若直線和直線關于直線對稱，求直線的方程 .
【答案】 .
【分析】根據題意，由點關于點對稱的點在直線上，列出方程即可得到結果；由題意可得直線與直線的交點，求出關于直線對稱的點為，即可得到直線方程.
【詳解】因為直線和直線關于點對稱，
在直線上任取一點，則關于點對稱的點在直線上，
將點代入直線可得，
所以直線的方程為；
設直線與直線的交點為，
所以，解得，則，
在直線上取點，設關于直線對稱的點為，
則①
因為與的中點坐標為，
所以②
由①②可得，所以
因為直線和直線關于直線對稱，
所以直線經過點和點，
所以直線的兩點式方程為，
整理得直線的一般式方程為.
故答案為: ;.
變式6．（23-24高二上·貴州遵義·階段練習）已知的三個頂點是，，．
(1)過點的直線與邊相交于點，若的面積是面積的3倍，求直線的方程；
(2)求的角平分線所在直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，根據平面向量的坐標關系確定，即可列方程得的坐標，從而可得直線方程；
（2）利用對稱性結合直線方程確定關于直線對稱的點為的坐標關系式，即可得所求.
【詳解】（1）設則，
因為的面積是面積的3倍，所以，
則解得
故直線的方程為，即
（2）顯然，的斜率存在且不為零，設的方程為，
則過點且與垂直的直線的方程為
設點關于直線對稱的點為，
因為直線的方程為，
所以
整理得
因為，所以，解得或
又，，所以，
故直線的方程為，即
變式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直線，求滿足下列條件的直線的方程．
(1)與直線關于軸對稱；
(2)過點，且與平行．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由對稱方法求出直線方程作答.
（2）利用平行關系設出直線方程，再求出待定系數作答.
【詳解】（1）設與直線關于軸對稱的直線上任意點坐標為，則點在直線上，即有，
所以直線的方程為.
（2）設與直線平行的直線的方程為，
于是，解得，
所以直線的方程為.

【方法技巧與總結】
1.相交時：此問題可轉化為“點關于直線”的對稱問題
2.平行時：對稱直線與已知直線平行
【題型7：反射光線問題】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點射出，經直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出關于直線的對稱點為的坐標，由都在反射光線所在直線上得直線方程．
【詳解】設關于直線的對稱點為，
則，解得，即，
所以反射光線所在直線方程為，即．
．
變式1．（22-23高二上·浙江·階段練習）一條光線從點射出，經直線反射后經過點，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出點關于直線的對稱點，再利用反射光線過點，即可求解.
【詳解】設點關于直線的對稱點為，
則，化簡得，解得，
故反射光線過點，
則反射光線所在直線的方程為.
.
變式2．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習）在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發經BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經過的重心，則的周長等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以為坐標原點，,所在直線為軸，軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，通過對稱光線的對稱關系找到點關于，的對稱點，，則即為的長.
【詳解】解析：以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，，
所以直線的方程為.
設，點關于直線的對稱點為，點關于軸的對稱點為，
易得，.
易知直線就是所在的直線.
所以直線的方程為.
設的重心為，則，
所以，即，所以（舍去）或，
所以，.
結合對稱關系可知，，
所以的周長即線段的長度為：
.
.
變式3．（23-24高二上·浙江溫州·期中）在等腰直角中，，點是邊的中點，光線從點出發，沿與所成角為的方向發射，經過反射后回到線段之間（包括端點），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意建立直角坐標系，根據點關于線對稱畫出光路圖，利用表示各點坐標，求出滿足使反射后回到線段之間角范圍.
【詳解】
建立直角坐標系如圖所示，，，，則直線
由題光線從點出發，沿光線路徑依次為其中分別為光線與對應邊交點，
設，點關于直線對稱點為，設點關于直線對稱點為，根據對稱則有，
因為光線與所成角為的方向發射，即，令，k即為直線斜率，
則直線方程為，則與聯立，
由光線反射的性質與光路可逆性知四點共線，
則直線方程為，
令得，
所以的取值范圍為.
變式4．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于，的一點，光線從點出發，經，反射后又回到點，如圖所示，若光線經過的重心，則的長度為 .
【答案】
【分析】求出點關于和直線的對稱點，結合光的反射原理列方程組求解可得.
【詳解】以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，
則直線方程為，
設關于和直線的對稱點分別為，則，
記，則，解得，
因為為的重心，，所以，
由光的反射原理可知，三點共線，所以，
即，解得（舍去）或.
故答案為：
變式5．（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在直角坐標系中，已知，，從點射出的光線經直線反射到軸上，再經軸反射后又回到點，則光線所經過的路程的為 .

【答案】
【分析】作出點關于軸的對稱點以及關于的對稱點，將問題轉化為求解，由此求解出結果.
【詳解】點關于軸的對稱點，關于的對稱點，如圖所示，

又因為，，所以直線方程為：，即，
所以，解得，即.
所以光線經過的路程為.
故答案為：
變式6．（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，已知，，，直線：．
(1)求直線經過的定點坐標；
(2)若，李老師站在點用激光筆照出一束光線，依次由（反射點為）、（反射點為）反射后，光斑落在點，求入射光線的直線方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分離參數，列方程可得直線過定點；
（2）分別求點關于直線與的對稱點與，進而可得，再根據對稱性可得，即可得直線方程.
【詳解】（1）由直線：，即，
令，解得，
故直線恒過定點；
（2）設關于的對稱點，則，
關于的對稱點，
由直線的方程為，即，
所以，解得，
所以，
由題意得、、、四點共線，，
由對稱性得，
所以入射光線的直線方程為，
即．
變式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光線經過點，在直線上反射，且反射光線經過點，求：
(1)入射光線與直線l的交點．
(2)入射光線與反射光線所在直線的方程．
【答案】(1)
(2)入射光線的方程，反射光線的方程
【分析】（1）根據題意，求得點關于直線的對稱點為，得到反射光線的方程，聯立方程組，即可求得交點坐標；
（2）根據題意，結合直線的點斜式方程，即可求得入射和反射光線的方程.
【詳解】（1）解：設點關于直線的對稱點為，
則，解得，即，
則反射光線所在的直線的方程，即，
又由，解得，
即直線與直線的交點為.
（2）解：由點，可得，
所以入射光線所在的直線的方程為，即，
反射光線所在直線的的方程，即.
【題型8：將軍飲馬問題】
例8．（23-24高二上·內蒙古錫林郭勒盟·期末）設直線l：，點，，P為l上任意一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得點關于直線l的對稱點的坐標，則即為的最小值.
【詳解】設點關于直線l的對稱點為，
則有，解之得，則，
則的最小值為
變式1．（23-24高二上·北京豐臺·期末）已知點在由直線，和所圍成的區域內（含邊界）運動，點在軸上運動.設點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意畫出圖形，再確定出使的位置.然后求出值即可
【詳解】由直線，和圍成,如圖所示，
點在內（含邊界）運動，
在軸上運動，作點關于軸的對稱點，則，
的最小值為到直線的距離，即.
.
變式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知點，，是直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】畫出草圖可知，點M、點N在直線l同側，運用對稱性即可求得結果.
【詳解】如圖所示，
設點關于直線的對稱點為，
則，解得，即，
所以．
.
變式3．（23-24高二上·上海奉賢·階段練習）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（ ）
A．將軍從出發點到河邊的路線所在直線的方程是
B．將軍在河邊飲馬的地點的坐標為
C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是
D．“將軍飲馬”走過的總路程為5
【答案】C
【分析】由題意畫出圖形，則由三角形三邊關系可知點為使得總路程最短的“最佳飲水點”， 三點共線滿足題意，其中點為點關于直線的對稱點，對于A，由根據被垂直平分求出的坐標進一步可求得方程對比即可；對于B，聯立直線方程求解即可；對于C，由兩點求出斜率，寫出直線的點斜式方程，化簡對比即可；對于D，根據兩點間距離公式求解即可.
【詳解】如圖所示：
由題意可知在的同側，設點關于直線的對稱點為，
三點共線滿足題意，點為使得總路程最短的“最佳飲水點”，
則，解得，即，
對于A，直線的斜率為，所以將軍從出發點到河邊的路線所在直線的方程是，即，故A正確；
對于B，聯立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點的坐標為，故B正確；
對于C，由C選項分析可知點，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C錯誤；
對于D，，即“將軍飲馬”走過的總路程為，故D錯誤.
.
變式4．（23-24高二上·河南新鄉·期中）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意將所求問題轉化為上一點到兩點的距離之和的最小值，可求出點關于直線的對稱點為，可得答案.
【詳解】因為
表示直線上一點到兩點的距離之和．
設點關于直線的對稱點為，所以，解得，
即，所以 ，
即的最小值為.
.

變式5．（23-24高二上·河南信陽·期中）已知，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根據點點距離公式可將問題轉化為的動點與點，的距離之和.根據點關于直線的對稱，即可結合三點共線求解最值.
【詳解】設點為直線l：的動點，
則，
可看作與點，的距離之和.
設關于直線l的對稱點為，
則，解得，
所以，
則，當且僅當與共線時（即圖中位置P），取等號
即的最小值是.
.
變式6．（22-23高二上·河北張家口·期末）已知實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由表示直線上一動點到定點的距離之和，利用數形結合法求解.
【詳解】解：表示直線上一動點到定點的距離之和，如圖所示：

設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
所以對稱點為，則
由圖知：的最小值為，
變式7．（23-24高二上·江蘇·單元測試）已知點，點分別是x軸和直線上的兩個動點，則的最小值等于 ．
【答案】
【分析】作關于軸的對稱點，由此將問題轉化為“求的最小值”，然后判斷出最小值即為到的距離，代入公式可求結果.
【詳解】如圖，作點關于軸的對稱點，則，
此時最小值即為到直線的距離，即，
所以的最小值為，
故答案為：.
【方法技巧與總結】
利用三角形邊角關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于等于第三邊。
一、單選題
1．（23-24高二下·全國·課后作業）三角形的三個頂點為，則的長為（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
【答案】C
【分析】根據兩點間的距離公式，即可求得答案.
【詳解】根據題意，利用兩點間的距離公式，可得的長為，
2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線與直線間的距離為，則（ ）
A．17 B． C．14 D．7
【答案】A
【分析】根據平行直線間的距離公式計算即可.
【詳解】由題意，，解得（舍去）.
.
3．（2023高二上·全國·專題練習）若原點到直線的距離為1，則a，b，c應滿足的關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意利用點到直線的距離公式分析求解.
【詳解】原點到直線的距離為1，
則，整理得.
.
4．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點，點B在直線上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】根據點到直線的距離即可求解.
【詳解】由于不在直線上，所以當時，此時最小，
故,
故選:C
5．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線：，則點關于對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據垂直斜率關系，以及中點在直線上即可列方程求解.
【詳解】設點關于對稱的點為，則，解得，
6．（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知，兩點到直線的距離相等，則的值為（ ）
A．或 B．3或4 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據點到直線的距離公式建立方程，解之即可求解.
【詳解】由題意知，
，整理得，
即，解得或.
.
7．（23-24高二下·全國·課堂例題）直線與直線相交，則實數的值為（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解即得.
【詳解】由直線與直線相交，得，
即，解得且，
所以實數k的值為且.
8．（23-24高二上·廣東湛江·期中）某地兩廠在平面直角坐標系上的坐標分別為，一條河所在直線的方程為.若在河上建一座供水站，則到兩點距離之和的最小值為（ ）
A． B．32 C． D．48
【答案】A
【分析】根據兩點間距離公式和點的對稱性建立方程組，求解即可.
【詳解】
如圖，設關于直線對稱的點為，
則得即，
易知，
當三點共線時，
取得最小值，
最小值為 .
二、多選題
9．（23-24高二下·廣西·開學考試）若直線：，：，：，：，則（ ）
A． B．與之間的距離為
C． D．與的傾斜角互補
【答案】CCD
【分析】根據直線方程判斷直線的平行關系，可判定AC的真假；根據平行線的距離公式，判斷B的真假；根據傾斜角和斜率的關系，判斷D的真假.
【詳解】由，得，所以與重合，，A錯誤，C正確．
與之間的距離為，B正確．
因為與的斜率互為相反數，所以與的傾斜角互補，D正確．
CD
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直線：與：交于點，則下列說法正確的是（ ）
A．點到原點的距離為
B．點到直線的距離為1
C．不論實數取何值，直線：都經過點
D．是直線的一個方向向量的坐標
【答案】AD
【分析】根據給定條件，求出點的坐標，再逐項計算、判斷即得.
【詳解】由，解得，則點，
對于A，到原點距離，A正確；
對于B，到直線的距離，B錯誤；
對于C，，當時，直線不過點，C錯誤；
對于D，直線的斜率，因此是直線的一個方向向量的坐標，D正確.
D
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）點到直線的距離相等，則的值可能為（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
【答案】CD
【分析】分點在直線的同側或兩側進行討論即可.
【詳解】①若點在的同側，則直線，
即，解得，
②若在的兩側，則經過線段的中點，
即，
D.
三、填空題
12．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）在平面直角坐標系中，點在直線上，當最小時，點的坐標為 .
【答案】
【分析】求出過原點與已知直線垂直的直線方程，聯立已知方程求解可得.
【詳解】易知，當垂直于直線時，取得最小值，
此時，所在直線方程為，
聯立解得，即.
故答案為：
13．（23-24高二下·江西·階段練面直角坐標系中，任意兩點，，定義為“A，B兩點間的距離”，定義為“A，B兩點間的曼哈頓距離”，已知為坐標原點，為平面直角坐標系中的動點，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據得出，利用點到直線的距離可得答案.
【詳解】設，則由，
因為，所以，
的最小值為點到線段的距離，
的最小值為.
故答案為：
14．（2024高二上·全國·專題練習）已知直線與直線關于直線對稱，則直線的方程為 ．
【答案】
【分析】利用直線對稱的性質求得直線的兩點，從而利用點斜式即可得解.
【詳解】直線取兩點，
則它們關于對稱的點為在直線上，
故直線的斜率為，
則直線的方程為，即.
故答案為：.
15．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知實數滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用兩點距離公式的幾何意義與點線距離公式即可得解.
【詳解】因為表示點到點的距離的平方，
而的最小值為點到直線的距離，即，
所以的最小值為9.
故答案為：.
16．（2023高二上·全國·專題練習）已知，，則S的最小值是 .
【答案】2
【分析】表示點到點與點的距離之和，利用數形結合法求解.
【詳解】表示點到點與點的距離之和，
即，如圖所示：
由圖象知：，
當點在線段上時，等號不成立.
所以取得最小值為2.
故答案為：2.
四、解答題
17．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知直線：和：．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若與互相平行，求與間的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用直線垂直的充要條件求出的值；
（2）利用直線平行的充要條件求出的值，進一步求出兩平行線間的距離．
【詳解】（1）直線和．
當直線與互相垂直，故，
解得；故；
（2）當直線與互相平行，則，故直線的方程為；
所以直線與間的距離．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四邊形中，，邊所在直線的方程分別為和．
(1)求邊所在直線的方程和點到直線的距離；
(2)求線段垂直平分線所在的直線方程；
(3)求過點且在軸和軸截距相等的直線方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3)和．
【分析】
（1）直線BC和直線AD平行，據此求出BC斜率，再根據BC過C，根據直線點斜式方程即可求解，再根據點到直線距離公式可求A到直線BC的距離；
（2）求出AC的斜率并求出線段AC中點坐標，根據點斜式方程即可求解；
（3）根據題意利用點斜式方程，表示出直線的橫截距和縱截距，列方程即可求解．
【詳解】（1）由的方程為，
可得直線的斜率為3，又經過點，
則直線的方程為，即；
點到直線的距離為；
（2）由，可得的中點坐標為，
又直線的斜率為，則線段垂直平分線斜率為，
則其所在的直線方程為，即為；
（3）由，解得，
由題意可得所求直線的斜率存在且不為0，
設所求直線的方程為，
今，則，
今，則，
由題意可得，
解得和，
則所求直線方程為和．
19．（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知兩條直線和.
(1)討論直線與的位置關系；
(2)當直線與平行時，求它們之間的距離；當直線與相交時，求它們之間夾角的最大值，并指出相應的取值.
【答案】(1)答案見解析；
(2)平行時距離為，相交時最大夾角為．
【分析】（1）由兩相交求得的范圍，再討論平行與重合的情形即可；
（2）由平行線間距離公式求距離，考慮特殊情形即兩直線能否垂直，垂直時夾角最大為．
【詳解】（1），且時，兩直線相交，
時，兩直線方程分別為和，兩直線重合，
時，兩直線方程分別為和，兩直線平行．
綜上， 且時，兩直線相交，時，兩直線重合，時，兩直線平行．
（2）由（1）兩直線平行時，兩直線方程分別為和即為和，距離為，
兩直線相交時，且，
時，的斜率為，的斜率為，
由得，即時兩直線垂直，夾角最大為．
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