資源簡介

2.3.1圓的標準方程2.3.2圓的一般方程
課程標準 學(xué)習(xí)目標
掌握圓的標準方程，能根據(jù)圓心坐標和半徑熟練地寫出圓的標準方程，也能根據(jù)圓的標準方程熟練地寫出圓的圓心坐標和半徑 掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握圓的標準方程和一般方程之間的互化 1.重點：圓的標準方程、一般方程會，根據(jù)條件求圓的方程 2.難點：圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，以及圓方程的求解和應(yīng)用
知識點01 圓的標準方程
1.圓的基本要素：圓心和半徑
2.圓的標準方程
一般地，如果平面直角坐標系中C的圓心為C（a，b），半徑為r（r>0），設(shè)M（x，y）為平面直角坐標系中任意一點，則點M在C上的充要條件是CM=r，即兩邊平方，得
+=，此式通常稱為圓的標準方程．
【即學(xué)即練1】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）求滿足下列條件的圓的標準方程：
(1)圓心是，且過點；
(2)圓心在軸上，半徑為5，且過點；
(3)求過兩點和，圓心在軸上的圓的標準方程．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用兩點距離公式可先求半徑，再寫標準方程即可；
（2）利用點的特征結(jié)合半徑可先求圓心坐標，再寫標準方程即可；
（3）設(shè)圓心坐標，利用到C、D距離相等計算求得圓心坐標，再寫標準方程即可.
【詳解】（1）由題意可知：，
圓的標準方程為；
（2）設(shè)圓心為，
則，
或，
圓心為或，
又，圓的標準方程為或；
（3）設(shè)圓心為，
，
，
即，
，，
圓的標準方程為
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）寫出下列圓的標準方程：
(1)圓心為，半徑是；
(2)圓心為，且經(jīng)過點.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓心和半徑，直接寫出圓的標準方程；
（2）先求出圓的半徑，可得圓的標準方程．
【詳解】（1）圓心在，半徑長是，
故圓的標準方程為．
（2）圓心在，且經(jīng)過點，
故半徑為，
故圓的標準方程為．
知識點02由圓的標準方程確定點與圓的位置關(guān)系
圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點為M(x0，y0)，則
位置關(guān)系 判斷方法
幾何法 代數(shù)法
點在圓上 │MA│r 點M在圓A上 點M(x0，y0)在圓上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2
點在圓內(nèi) │MA│點在圓外 │MA│>r 點M在圓A外 點M(x0，y0)在圓外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
【即學(xué)即練3】（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）若點在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用點與圓的位置關(guān)系，列出不等式求解即得.
【詳解】由點在圓C：外，得，而，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
【即學(xué)即練4】（24-25高二下·上海·隨堂練習(xí)）已知點，則該點與圓的位置關(guān)系是 ．
【答案】在圓的外部
【分析】由點到圓心的距離與圓的半徑比較大小即得.
【詳解】由圓的圓心到點的距離為，
知點在圓的外部.
故答案為：在圓的外部.
知識點03 圓的一般方程
1.當D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0稱為圓的一般方程，其圓心為，半徑為
r .
當D2＋E2－4F=0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0表示點.
3.當D2＋E2－4F<0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0不表示任何圖形.
【即學(xué)即練5】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二元二次方程表示圓的充要條件，列出不等式求解即得.
【詳解】依題意，，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·重慶銅梁·開學(xué)考試）已知，，為原點，則的外接圓方程為 .
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個點坐標代入，就可求得外接圓方程.
【詳解】設(shè)外接圓方程為，
因為原點，，三點都在圓上，所以有
，解得，則圓的方程為，
故的外接圓方程為.
故答案為：
知識點04 由圓的一般方程確定點與圓的位置關(guān)系
已知M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0（D2＋E2－4F＞0），其位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 代數(shù)關(guān)系
點在圓上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0
點在圓內(nèi) x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
點在圓外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0
判斷二元二次方程Ax ＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓要" 兩看"：
一看方程是否具備圓的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；
二看它能否表示圓．此時判斷D ＋E - 4AF是否大于0，或直接配方變形，判斷等號右邊是否為大于零的常數(shù).
【即學(xué)即練7】（22-23高二上·遼寧朝陽·期中）已知為圓外一點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】整理得到圓的標準方程，由題設(shè)及圓的性質(zhì)可得，，計算即可求解.
【詳解】整理得，圓，
因為點在圓外，所以，化簡得，解得．
故答案為：
【即學(xué)即練8】（22-23高二上·上海楊浦·期中）已知點P（2，1）在圓x +y +（λ1）x+2λy+λ=0外，則實數(shù)λ的取值范圍是
【答案】
【分析】點坐標代入方程左邊所得值應(yīng)大于0，還要考慮方程是表示圓，兩者結(jié)合可得結(jié)論．
【詳解】由題意題設(shè)方程表示圓，則，或，
點在圓外，則，，
綜上，的范圍是．
故答案為：．
難點：動點問題
示例1：（22-23高二下·江西贛州·期中）已知O為坐標原點，，設(shè)動點C滿足，動點P滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件得到點在圓的內(nèi)部或圓周上，點的軌跡是以為直徑的圓，再結(jié)合平面圖形的性質(zhì)和基本不等式即可得出答案.
【詳解】因為，所以點C在圓O：的內(nèi)部或圓周上，
又動點P滿足，
所以當A，C，P三點不重合時，點P的軌跡是以為AC直徑的圓，如圖：
當點C在圓O內(nèi)時，延長AC交圓O于點D，設(shè)AC的中點為M，AD的中點為N，
則，，，
當點C在圓O上時，M，N兩點重合，C，D兩點重合，所以，
當且僅當點C在圓O上時取等號，則，當且僅當O，M，P三點共線時取等號，
因為，
當且僅當M，N重合時取等號，因為，所以，
所以，當且僅當時取等號，此時，
所以，當且僅當O，M，P三點共線且點C在圓與y軸的交點處時取等號，
所以的最大值為，
．
【題型1：由圓的標準、一般方程確定圓心與半徑】
例1．（23-24高二上·廣東湛江·期中）在平面直角坐標系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程.
【詳解】由題意可得方程為.
.
變式1．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知圓的圓心在，半徑為5，則它的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的標準方程得解.
【詳解】因為圓心為，半徑為5，
所以圓的標準方程為，
變式2．（多選）（24-25高二上·全國·課堂例題）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．圓的圓心為，半徑為
B．圓的圓心為，半徑為
C．圓的圓心為，半徑為
D．圓的圓心為，半徑為
【答案】AC
【分析】根據(jù)圓的標準方程特征即可求得圓心和半徑.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，A正確；
圓的圓心為，半徑為，B錯誤；
圓的圓心為，半徑為，C正確；
圓的圓心為，半徑為，D錯誤．
C.
變式3．（23-24高二下·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知，則該圓的圓心坐標和半徑分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】將圓的一般方程化成標準方程即可求解.
【詳解】的標準方程為，故所求分別為，.
.
變式4．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知圓的方程是，則下列直線中通過圓心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出給定圓的圓心坐標，再驗證即可得解.
【詳解】圓的圓心為，
不滿足方程，，，ABC不是；
滿足，D是.
變式5．（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）求下列各圓的圓心坐標和半徑：
(1)；
(2).
【答案】(1)圓心為，半徑為；
(2)圓心為，半徑為3
【分析】根據(jù)題意，把圓的方程化為圓的標準方程，結(jié)合圓的標準方程，即可求解.
【詳解】（1）解：圓，可得化為，
可得圓心坐標為，半徑為.
（2）解：圓，可得化為，
可得圓心坐標為，半徑為.
變式6.（23-24高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）方程表示的圓的圓心為 ，半徑為 .
【答案】 3
【分析】將圓的一般式方程轉(zhuǎn)化為標準式，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，方程，
即，
所以圓心為，半徑為3.
故答案為：；3.
變式7.（24-25高二上·上海·課堂例題）若方程表示圓，求a的取值范圍，并求出圓心坐標和半徑．
【答案】或．圓心坐標為，半徑為
【分析】配方后根據(jù)方程表示圓得出圓心，半徑，由半徑建立不等式求出的范圍.
【詳解】原方程可化為．
由，得，解得或，
所以a的取值范圍是或，圓心坐標為，半徑為．
【方法技巧與總結(jié)】
由圓的標準方程，可直接得到圓的圓心坐標和半徑大小；反過來說，給出了圓的圓心和半徑，即可直接寫出圓的標準方程，這一點體現(xiàn)了圓的標準方程的直觀性，為其優(yōu)點.
【題型2：由圓心與半徑確定圓的標準方程】
例2．（2024·海南·模擬預(yù)測）下列方程中表示圓心在直線 上，半徑為 ，且過原點的圓的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】假設(shè)圓的標準方程，根據(jù)題意列出方程求解圓心和半徑即可.
【詳解】因為圓心在上，所以設(shè)圓心為,
因為圓的半徑為，
所以設(shè)圓的標準方程為,
因為該圓過原點，
所以，
解得,
所以圓心為或,
當圓心為時，圓的標準方程為，D對;
當圓心為時，圓的標準方程為.
.
變式1．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）圓心在軸上，半徑為，且過點的圓的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓心為，則圓的方程為，再根據(jù)圓過點，求出的值，即可得解.
【詳解】依題意設(shè)圓心為，則圓的方程為，
又，解得，所以圓的方程為.
變式2．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）已知，，圓M經(jīng)過A，B兩點，且圓的周長被x軸平分，則圓M的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出線段的中垂線，求得與軸的交點即為圓心坐標，進而求得圓的方程.
【詳解】由題意，，中點為，
所以線段的中垂線為，令得，
所以，半徑，所以圓M的標準方程為．
.
變式3．（24-25高二上·江西鷹潭·開學(xué)考試）已知圓，以圓心和為直徑的圓的標準方程是 ．
【答案】
【分析】由題可得，進而由題意結(jié)合中點坐標公式和兩點間距離公式可求出所求圓的圓心和半徑，進而可得該圓的標準式方程.
【詳解】由題得，故以和為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以以圓心和為直徑的圓的標準方程是.
故答案為：.
變式4．（2024·江西南昌·三模）設(shè)圓心在軸的圓過點，且與直線相切，則圓的標準方程為 .
【答案】
【分析】設(shè)圓的圓心為，根據(jù)已知條件得出半徑為，再將代入即可解出，從而得到答案.
【詳解】設(shè)圓的圓心為，則由于該點到直線的距離，結(jié)合圓與直線相切，知圓的半徑為.
所以圓的方程是.
而圓過點，所以，解得.
所以圓的標準方程是.
故答案為：.
變式5．（23-24高二下·上海·期中）已知點，，以線段為直徑的圓的標準方程為 .
【答案】
【分析】求出圓心坐標和半徑可得.
【詳解】根據(jù)題意，圓心坐標為，半徑為，
所以圓的標準方程為.
故答案為：.
變式6．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）已知圓心為，半徑，寫出圓的標準方程 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圓的標準方程求解即可.
【詳解】已知圓心為，半徑，
則圓的標準方程為：.
故答案為：.
變式7．（22-23高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過，兩點.
(1)當，并且是圓的直徑，求此時圓的標準方程；
(2)如果是圓的直徑，證明：無論a取何正實數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個定點，求出這個定點坐標.
【答案】(1)；
(2)定點坐標為，證明見解析.
【分析】（1）求出的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式求出，從而可求解；
（2）設(shè)點是圓上任意一點，由是圓的直徑，得，從而可求出圓的方程，即可得出結(jié)論
【詳解】（1）當，，故，，
所以此時圓的標準方程為.
（2）設(shè)點是圓上任意一點，
因為是圓的直徑，所以，
即，
所以圓的方程為：，
則，，等式恒不成立，定點為，
所以無論取何正實數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個定點，定點坐標為.
【方法技巧與總結(jié)】
圓的標準方程的兩種求法
（1）幾何法：利用圖形的平面幾何性質(zhì)，如"弦的中垂線必過圓心"，" 兩條弦的中垂線的交點必為圓心"，以及中點坐標公式、兩點間距離公式等，直接求出圓心坐標和半徑，進而得到圓的標準方程.
（2）待定系數(shù)法：由三個獨立條件得到三個方程，解方程組可得到圓的標準方程中三個參數(shù)，從而確定圓的標準方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設(shè)————設(shè)所求圓的方程為（x- a） +（y-b） =r ；
②列——由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；③解———解方程組，求出a，b，r；
④代————將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的方程.
【題型3：圓的一般方程的求解】
例3．（2024·山西臨汾·二模）已知圓過點，則的方程為 .
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法及圓的一般方程即可求解.
【詳解】設(shè)圓的一般式方程為：，
因為圓經(jīng)過點,
所以,解得，
所以圓的一般式方程為：.
故答案為：.
變式1．（23-24高三上·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是 ．
【答案】
【分析】設(shè)圓的一般方程為，分別將三個點坐標代入圓的方程，解方程組求出，即可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為，
因為點，，在圓上，
所以，
解得，
則所求圓的一般方程為：，
.故答案為：.
變式2.（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．則的外接圓方程為 ．
【答案】
【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點的坐標求解即可．
【詳解】由題意設(shè)圓的方程為，
代入三個點的坐標可得，解得，
所以的外接圓方程為，
故答案為：．
變式3．（23-24高二上·湖南·期末）已知四邊形的三個頂點，，．
(1)求過A，B，C三點的圓的方程．
(2)設(shè)線段上靠近點A的三等分點為E，過E的直線l平分四邊形的面積．若四邊形為平行四邊形，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）方法一：根據(jù)斜率分析可知，結(jié)合直角三角形的外接圓的性質(zhì)分析求解；方法二：設(shè)圓的一般方程，代入A，B，C三點運算求解即可；
（2）利用向量關(guān)系求得.方法一：根據(jù)題意可知直線l過線段的中點，再利用直線的兩點式方程運算求解；方法二：設(shè)l與相交于點，可知，利用向量關(guān)系求得點，再利用直線的兩點式方程運算求解.
【詳解】（1）
方法一：因為，，，
則，，
由，得，
則過A，B，C三點的圓的圓心為線段的中點，
半徑，
所以過A，B，C三點的圓的方程為；
方法二：設(shè)過A，B，C三點的圓的方程為，
則，解得，
故過A，B，C三點的圓的方程為，即.
（2）
設(shè)，
由題意可得：，，
因為線段上靠近點A的三等分點為E，則，
則，解得，即．
方法一：直線l平分四邊形的面積，可知直線l過線段的中點，
所以直線l的方程為，整理得；
方法二：設(shè)l與相交于點，則，
由直線l平分四邊形的面積，可得，
則，解得，即，
所以直線l的方程為，整理得.
變式4．（23-24高二上·全國·期中）已知△ABC的三個頂點為．
(1)求AC邊上的高BD所在直線的方程；
(2)求△ABC的外接圓的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)A、C兩點的坐標求出直線AC的斜率；再利用垂直關(guān)系求出高線BD的斜率；最后利用點斜式寫出直線BD的方程；
（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為，把A、B、C三點的坐標代入方程求出D、E、F即可．
【詳解】（1）因為△ABC的三個頂點為，
所以直線AC的斜率為，
所以AC邊上的高BD所在直線的斜率為，
所以直線BD的方程為，
化為一般式方程為.
（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為，
把A、B、C三點的坐標代入方程，得，即，
解得：；
所以所求圓的方程為．
變式5．（23-24高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知三點，求：
(1)的面積.
(2)外接圓的一般方程.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用兩點距離公式求得，再利用點線距離公式求得到直線的距離，再利用三角形面積公式即可得解；
（2）利用待定系數(shù)法即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，，
故直線的方程為，即，
又，所以到直線的距離為，
所以；
（2）設(shè)外接圓的一般方程為，
則，所以，
所以外接圓的一般方程為.
變式6．（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）已知在中，AB邊所在直線的方程為，AC邊所在直線的方程為，AC邊上的中線所在直線的方程為．
(1)求C點的坐標；
(2)求的外接圓方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由直線方程聯(lián)立求交點，由邊上的中線聯(lián)立求得的中點，進而由中點坐標公式得點坐標；
（2）聯(lián)立邊上的中線得點坐標，設(shè)出圓的一般方程，由三點坐標代入待定系數(shù)即得.
【詳解】（1）由，得，
所以A點的坐標為，
由，得，即邊AC的中點為，
所以C與A關(guān)于點M對稱，
設(shè)，則，得，
所以C點的坐標為．
（2）由，得，
故B點的坐標為，
設(shè)的外接圓方程為，且，
則，得，
則所求圓的方程為．
變式7．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三個頂點為，，，
(1)求三角形ABC外接圓的方程；
(2)判斷點是否在這個圓上.
【答案】(1)
(2)點在這個圓上，點不在這個圓上
【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入計算即可；
（2）將點的坐標代入圓方程判斷即可.
【詳解】（1）設(shè)三角形ABC外接圓的方程為
由已知可得方程組：解得：，
則圓的方程為.
（2）圓的標準方程化為.
把點的坐標代入圓的方程，得，
即點的坐標滿足圓的方程，所以點在這個圓上，
把點的坐標代入圓的方程得，
即點的坐標不滿足圓的方程，所以點不在這個圓上.
【題型4：由一般方程確定參數(shù)取值范圍】
例4．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）方程所表示的圓的最大面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對方程配方整理，結(jié)合圓的標準方程求的取值范圍，以及半徑的最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意整理可得：，
則，解得，
且圓的半徑，
當且僅當時，等號不成立，
即圓的半徑最大值為3，所以圓的最大面積為.
.
變式1．（23-24高二上·江蘇南通·期中）若方程表示一個圓，則實數(shù) m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若二元二次方程表示圓，則必須滿足.
【詳解】由，
得，
即,
解得
故選：
變式2．（23-24高二上·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件求出參數(shù)的取值范圍，即可判斷.
【詳解】若方程表示圓，
則，
解得，
又，所以或，
即程表示的圓的個數(shù)為.
變式3．（23-24高二上·廣東·期末）已知方程表示一個圓，則實數(shù)取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)方程表示圓的條件可得結(jié)果.
【詳解】因為方程表示一個圓，
所以，
即，所以或，
.
變式4．（22-23高二上·全國·期中）“實數(shù)”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】首先求實數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分，必要條件的定義，即可判斷選項.
【詳解】若方程表示圓，則，解得，
因為，
所以 “實數(shù)”是“方程表示圓”的充分不必要條件.
變式5．（多選）（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知曲線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，曲線是一條直線
B．當時，曲線是一個圓
C．當曲線是圓時，它的面積的最小值為
D．當曲線是面積為的圓時，
【答案】AB
【分析】將代入曲線的方程化簡，可判斷A選項；利用圓的一般方程可判斷B選項；求出圓的半徑，利用圓的面積公式結(jié)合基本不等式可判斷C選項；利用圓的半徑公式可求出的值，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，當時，曲線的方程為，此時，曲線是一條直線，A對；
對于B選項，當時，曲線的方程可化為，
因為，此時，曲線是一個圓，B對；
對于C選項，當曲線是圓時，其半徑為，
當且僅當時，即當時，等號不成立，即的最小值為，
因此，當曲線是圓時，它的面積的最小值為，C錯；
對于D選項，當曲線是面積為的圓時，其半徑為，
即，解得或，D錯.
B.
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若方程表示圓心為，半徑為1的圓，則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意可得圓的標準方程，進而可得一般方程，進而可得，即可得結(jié)果.
【詳解】因為圓心為，半徑為1的圓的方程為，即，
結(jié)合題意可得，所以.
故答案為：2.
變式7．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）若方程表示圓的標準方程，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意可得，求解即可.
【詳解】方程表示圓的標準方程，
可得，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
二元二次方程與圓的關(guān)系
1.形如x ＋y +Dx＋By＋F=0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法：
①由圓的一般方程的定義判斷D ＋E - 4F是否為正. 若D ＋E - 4F>0，則方程表示圓，否則不表示圓；
②將方程配方變形成“標準"形式后，根據(jù)圓的標準方程的特征，觀察是否可以表示圓.
2.由圓的一般方程x ＋y ＋Dx＋Ey＋F=0求圓心和半徑長的方法：
①利用配方法將圓的一般方程化為標準方程，可以非常直觀地求出圓心及半徑長；
②運用二元二次方程x2+y +Dx＋Ey+F=0判斷是否為圓，如果是，也可以利用公式寫出圓心，利用公式求出半徑
【題型5：點與圓的位置關(guān)系】
例5．（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先將圓的一般化為標準方程，再結(jié)合點在圓外，得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】由題意得，圓的標準方程為，
故，，
又點在圓外，所以，
，或，
所以m的取值范圍為．
.
變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知圓上的所有點都在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將圓的一般方程化為標準方程后可得圓心及其半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)與第二象限的點的性質(zhì)計算即可得解.
【詳解】由化簡可得，
則該圓圓心為，半徑為，
由題意可得，解得，故實數(shù)的取值范圍是.
.
變式2．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由點在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.
【詳解】由題意知，
故，
又由圓的一般方程，
可得，即，
即或，
所以實數(shù)的范圍為.
.
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知圓，則原點O在（ ）
A．圓內(nèi) B．圓外 C．圓上 D．圓上或圓外
【答案】C
【分析】將圓的方程化為標準方程，代入原點求出距離和半徑對比可判斷.
【詳解】由圓的標準方程，知圓心為，
則原點與圓心的距離為，因為，
所以，即原點在圓外.
.
變式4．（22-23高二上·河南鄭州·期中）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由方程表示圓的條件以及點到圓心的距離大于半徑求解即可
【詳解】圓，
則圓，圓心，半徑，
點在圓的外部，
，即，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
.
變式5．（22-23高二上·浙江·期中）若點不在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得且，求解即可.
【詳解】解：因為點不在圓的外部，
所以且，
化簡得：
解得：.
.
變式6．（21-22高二上·安徽·階段練習(xí)）若圓過坐標原點，則實數(shù)m的值為（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【答案】A
【分析】把坐標代入圓方程求解．注意檢驗，方程表示圓．
【詳解】將代入圓方程，得，解得或2，當時，，舍去，所以.
．
變式7．(多選)（23-24高二下·江蘇南京·期中）點關(guān)于直線的對稱點在圓內(nèi)，則實數(shù)可以為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】CC
【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，算出點關(guān)于直線的對稱點的坐標，然后根據(jù)點在圓內(nèi)建立關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可得到本題的答案．
【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，得，即，
若點在圓內(nèi)，則，解得：．
對照各個選項，可知B、C兩項符合題意．
C．
【題型6：圓過定點問題】
例6．（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將方程進行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.
【詳解】圓的方程化為，
由得或，
故圓恒過定點．
．
變式1．（21-22高二上·浙江溫州·期中）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】設(shè)點，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標.
【詳解】設(shè)點，則線段的中點為，
圓的半徑為，
所以，以為直徑為圓的方程為，
即，即，
由，解得或，
因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標為、.
.
變式2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）當m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－20恒過定點 .
【答案】（0，－2）和（0，1）
【詳解】
解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－20可化為（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx0.由得所以定點坐標是（0，－2）和（0，1）.
變式3．（23-24高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知圓，點，平面內(nèi)一定點（異于點），對于圓上的任意動點，都有為定值，定點的坐標為 ．
【答案】
【分析】設(shè)出點利用兩點間距離公式得到比值關(guān)系，設(shè)為，最后利用方程與N無關(guān)得到關(guān)系式計算得到答案.
【詳解】設(shè)，且，
，
因為為定值，設(shè)，
化簡得：，與點位置無關(guān)，
所以，
解得：或，
因為異于點，所以定點N為.
故答案為：.
變式4．（23-24高二上·重慶·期中）已知直線過定點P，圓C經(jīng)過P點且與x軸和y軸正半軸都相切.
(1)求定點P的坐標；
(2)求圓C的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）將分離參數(shù)，可得，解方程組，即可求得答案.
（2）設(shè)出圓的標準方程，由題意列出方程，求得參數(shù)，即可得答案.
【詳解】（1）直線，即，
由于，故，
即直線過定點.
（2）設(shè)圓C的方程為，
由題意得圓C經(jīng)過P點且與x軸正半軸和y軸正半軸都相切，
則且，即，
解得或，
故圓C的方程為或.
變式5．（2021高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，曲線Γ：yx2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．
(1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；
(2)求證：過A，B，C三點的圓過定點．
【答案】(1)存在；
(2)證明見解析
【分析】（1）令y0，得x2－mx＋2m0，根據(jù)結(jié)合韋達定理得到，得到半徑和圓心，得到圓方程.
（2）設(shè)過A，B兩點的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m0，代入點C坐標，得到圓方程，確定，得到定點.
【詳解】（1）由曲線Γ：yx2－mx＋2m(m∈R)，令y0，得x2－mx＋2m0．
設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δm2－8m＞0，則m＜0或m＞8．x1＋x2m，x1x22m．
令x0，得y2m，即C(0，2m)．
若存在以AB為直徑的圓過點C，則，,
得x1x2＋4m20，即2m＋4m20，所以m0(舍去)或．
此時C(0，－1)，AB的中點即圓心，半徑r|CM|，
故所求圓的方程為．
（2）設(shè)過A，B兩點的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m0，
將點C(0，2m)代入可得E－1－2m，
所以過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m0．
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)0．
令可得或
故過A，B，C三點的圓過定點(0，1)和．
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直角梯形，且，，，，則過其中三點的圓的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接將點的坐標代入檢驗即可逐一判斷各個選項.
【詳解】對于A，，的坐標都不滿足圓的方程，
即圓不可能過四個點中的三個點，故A不符合題意；
對于B，，的坐標都不滿足圓的方程，
即圓不可能過四個點中的三個點，故B不符合題意；
對于C，，，的坐標都滿足圓的方程，
的坐標不滿足圓的方程，
即圓過四個點中的三個點，故C符合題意；
對于D，，的坐標都不滿足圓的方程，
即圓不可能過四個點中的三個點，故D不符合題意.
.
2．（23-24高二上·吉林延邊·期中）已知圓，則下列點在圓C內(nèi)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將每一個點的坐標代入圓方程求解驗證即可.
【詳解】對于A，因為，所以點在圓外，所以A錯誤，
對于B，因為，所以點在圓上，所以B錯誤，
對于C，因為，所以點在圓上，所以C錯誤，
對于D，因為，所以在圓內(nèi)，所以D正確.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意確定圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式建立方程，解之即可求解.
【詳解】因為圓，即，
所以，解得.
.
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過點(2，0)，且圓心是兩直線x－2y＋10與x＋y－20的交點的圓的方程為（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)21
B．(x－1)2＋(y－1)21
C．(x＋1)2＋(y－1)22
D．(x－1)2＋(y－1)22
【答案】A
【詳解】由得即所求圓的圓心坐標為(1，1).又該圓過點(2，0)，所以其半徑為，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)22.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)25的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
【答案】A
【詳解】點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)25的內(nèi)部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1.
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圓x2＋y24上的點到點(1，0)的距離的最大值為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．5
【答案】D
【詳解】
因為點(1，0)在圓x2＋y24內(nèi)，且點(1，0)到圓心(0，0)的距離為1，所以圓上的點到點(1，0)的距離的最大值為2＋13.
7．（23-24高二下·全國·課堂例題）若直線是圓的一條對稱軸，則圓心坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先得到圓心坐標，即可得到圓心在直線上，從而求出參數(shù)的值.
【詳解】圓的圓心為，
因為直線是圓的一條對稱軸，
所以圓心在直線上，
所以，解得，
故圓心坐標為.
.
8．（24-25高三上·北京海淀·開學(xué)考試）若圓的圓心到軸、軸的距離相等，則 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出圓心坐標，從而得到答案.
【詳解】，
故圓心為，要想圓心到軸、軸的距離相等，
則.
二、多選題
9．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）設(shè)圓，則下列命題正確的是（ ）
A．所有圓的面積都是 B．存在，使得圓C過點
C．經(jīng)過點的圓C有且只有一個 D．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上
【答案】AD
【分析】對于A，直接由圓的半徑是，即得到答案；對于B，利用不等式說明圓C必定不過即可；對于C，給出和作為例子即可；對于D，說明圓心總在上即可.
【詳解】對于A，由于每個圓的半徑都是，故面積都是，A正確；
對于B，由于，故圓C必定不過，B錯誤；
對于C，對和，均有，故，即圓C經(jīng)過點，C錯誤；
對于D，圓心始終在直線上，D正確.
D.
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1，0)，且被x軸分成兩段，弧長之比為1∶2，則圓C的方程可能是（ ）
A．x2＋(y＋)2 B．x2＋(y－)2
C．x2＋(y＋)2 D．x2＋(y－)2
【答案】DD
【詳解】
題可知，圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為，設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r sin 1，r cos |b|，解得r，|b|，即b±.故圓的方程為x2＋(y±)2.
11．（23-24高二上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知，兩點，以線段為直徑的圓為圓P，則（ ）
A．在圓P上 B．在圓P內(nèi)
C．在圓P內(nèi) D．在圓P外
【答案】AC
【分析】先計算圓P的圓心及半徑，在利用點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系一一判定即可.
【詳解】以線段為直徑的圓的圓心坐標為，半徑，
易知，，，，
所以點在圓P上，點N在圓P外，點Q在圓P內(nèi)．
C．
三、填空題
12．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，若點滿足，則點的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】設(shè)點，借助兩點間距離公式代入計算即可得.
【詳解】設(shè)，則有，
化簡得，即點的軌跡方程是.
故答案為：.
13．（23-24高二上·四川宜賓·期中）已知點，點為圓上任意一點，則連線的中點軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】首先設(shè)中點坐標為，再設(shè)出相關(guān)點的坐標，代入圓的方程，即可求解.
【詳解】設(shè)連線的中點為，則，
則，即.
故答案為：
14．（23-24高二下·貴州黔東南·期末）若點在圓上，則的半徑 .
【答案】
【分析】由圓的方程求出圓心的坐標，則，從而可得答案.
【詳解】由題可知的圓心坐標為，
因為點在圓上，
所以圓的半徑.
故答案為：
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知過點的動直線l與圓相交于不同的兩點A，B．
(1)求圓的圓心坐標；
(2)求線段的中點M的軌跡C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，將圓的一般式化為標準式，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由列出方程，化簡即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）圓的方程可變形為，
故的圓心坐標為，半徑為2.
（2）設(shè)，因為點M是的中點，，
，
故，
由此可得，
故軌跡方程為，軌跡是以圓心為，半徑為的圓.
16．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知點，，直線與直線垂直.
(1)求的值；
(2)若圓經(jīng)過點，且圓心在軸上，求點的坐標.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出直線的斜率，再結(jié)合垂直的條件求出的值.
（2）求出線段的中垂線，再求出圓心的坐標.
【詳解】（1）依題意，直線的斜率為，由直線垂直于直線，得，
所以.
（2）線段的中點坐標為，則線段的中垂線方程為，即，
由圓經(jīng)過點，得圓心在直線上，而圓心又在軸上，
所以點的坐標為.
17．（23-24高二下·全國·課堂例題）從以下三個條件中任選一個，補充在下面的問題橫線處，并進行解答.①經(jīng)過點；②圓心在直線上；③以線段為直徑.
問題：已知圓經(jīng)過兩點，且__________.求圓的方程；
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
【答案】選擇見解析；
【分析】設(shè)圓方程為，利用待定系數(shù)法即可得解；
【詳解】若選①：
依題意，設(shè)圓方程為，，，
則，解得，
所以圓方程為，標準方程為．
若選②：
依題意，設(shè)圓方程為，，
又圓心在直線上，
所以，解得，
所以圓方程為，標準方程為.
若選③：
依題意，點E為AB中點，故E點坐標為，圓E的半徑，
所以圓標準方程為.
18．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點，AB 邊所在直線的方程為，點在AD邊所在的直線上.
(1)求AD邊所在直線的方程；
(2)求矩形ABCD外接圓的標準方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系，再應(yīng)用點斜式求出直線方程；
（2）根據(jù)矩形求出外接圓的圓心及半徑得出圓的標準方程.
【詳解】（1）因為AB邊所在直線的方程為，且AD與AB垂直，
所以直線AD的斜率為
又因為點在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為，
即
（2）由，解得點A的坐標為
因為矩形ABCD兩條對角線的交點為
所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．
又，
從而矩形ABCD外接圓的方程為
19．（23-24高二上·山西運城·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分線方程，聯(lián)立直線的方程可得圓心坐標，然后可得半徑，進而得出圓的標準方程；
（2）設(shè)關(guān)于的對稱點為，結(jié)合反射光線原理可得其對稱點坐標，進而利用直線的兩點式方程即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由題知中點為，，
所以的垂直平分線方程為，即，
聯(lián)立，解得，即圓心為，
所以圓的半徑為，
故圓的方程為.
（2）設(shè)關(guān)于的對稱點為，
則直線與垂直，且的中點在直線上，
則，解得，
由題意知反射光線過圓心，故，
即.

21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2.3.1圓的標準方程2.3.2圓的一般方程
課程標準 學(xué)習(xí)目標
掌握圓的標準方程，能根據(jù)圓心坐標和半徑熟練地寫出圓的標準方程，也能根據(jù)圓的標準方程熟練地寫出圓的圓心坐標和半徑 掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握圓的標準方程和一般方程之間的互化 1.重點：圓的標準方程、一般方程會，根據(jù)條件求圓的方程 2.難點：圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，以及圓方程的求解和應(yīng)用
知識點01 圓的標準方程
1.圓的基本要素：圓心和半徑
2.圓的標準方程
一般地，如果平面直角坐標系中C的圓心為C（a，b），半徑為r（r>0），設(shè)M（x，y）為平面直角坐標系中任意一點，則點M在C上的充要條件是CM=r，即兩邊平方，得
+=，此式通常稱為圓的標準方程．
【即學(xué)即練1】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）求滿足下列條件的圓的標準方程：
(1)圓心是，且過點；
(2)圓心在軸上，半徑為5，且過點；
(3)求過兩點和，圓心在軸上的圓的標準方程．
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）寫出下列圓的標準方程：
(1)圓心為，半徑是；
(2)圓心為，且經(jīng)過點.
知識點02由圓的標準方程確定點與圓的位置關(guān)系
圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點為M(x0，y0)，則
位置關(guān)系 判斷方法
幾何法 代數(shù)法
點在圓上 │MA│r 點M在圓A上 點M(x0，y0)在圓上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2
點在圓內(nèi) │MA│點在圓外 │MA│>r 點M在圓A外 點M(x0，y0)在圓外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
【即學(xué)即練3】（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）若點在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【即學(xué)即練4】（24-25高二下·上海·隨堂練習(xí)）已知點，則該點與圓的位置關(guān)系是 ．
知識點03 圓的一般方程
1.當D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0稱為圓的一般方程，其圓心為，半徑為
r .
當D2＋E2－4F=0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0表示點.
3.當D2＋E2－4F<0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0不表示任何圖形.
【即學(xué)即練5】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·重慶銅梁·開學(xué)考試）已知，，為原點，則的外接圓方程為 .
知識點04 由圓的一般方程確定點與圓的位置關(guān)系
已知M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0（D2＋E2－4F＞0），其位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 代數(shù)關(guān)系
點在圓上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0
點在圓內(nèi) x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
點在圓外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0
判斷二元二次方程Ax ＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓要" 兩看"：
一看方程是否具備圓的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；
二看它能否表示圓．此時判斷D ＋E - 4AF是否大于0，或直接配方變形，判斷等號右邊是否為大于零的常數(shù).
【即學(xué)即練7】（22-23高二上·遼寧朝陽·期中）已知為圓外一點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【即學(xué)即練8】（22-23高二上·上海楊浦·期中）已知點P（2，1）在圓x +y +（λ1）x+2λy+λ=0外，則實數(shù)λ的取值范圍是
難點：動點問題
示例1：（22-23高二下·江西贛州·期中）已知O為坐標原點，，設(shè)動點C滿足，動點P滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【題型1：由圓的標準、一般方程確定圓心與半徑】
例1．（23-24高二上·廣東湛江·期中）在平面直角坐標系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知圓的圓心在，半徑為5，則它的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（多選）（24-25高二上·全國·課堂例題）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．圓的圓心為，半徑為
B．圓的圓心為，半徑為
C．圓的圓心為，半徑為
D．圓的圓心為，半徑為
變式3．（23-24高二下·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知，則該圓的圓心坐標和半徑分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式4．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知圓的方程是，則下列直線中通過圓心的是（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）求下列各圓的圓心坐標和半徑：
(1)；
(2).
變式6.（23-24高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）方程表示的圓的圓心為 ，半徑為 .
變式7.（24-25高二上·上海·課堂例題）若方程表示圓，求a的取值范圍，并求出圓心坐標和半徑．
【方法技巧與總結(jié)】
由圓的標準方程，可直接得到圓的圓心坐標和半徑大小；反過來說，給出了圓的圓心和半徑，即可直接寫出圓的標準方程，這一點體現(xiàn)了圓的標準方程的直觀性，為其優(yōu)點.
【題型2：由圓心與半徑確定圓的標準方程】
例2．（2024·海南·模擬預(yù)測）下列方程中表示圓心在直線 上，半徑為 ，且過原點的圓的是 （ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）圓心在軸上，半徑為，且過點的圓的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）已知，，圓M經(jīng)過A，B兩點，且圓的周長被x軸平分，則圓M的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（24-25高二上·江西鷹潭·開學(xué)考試）已知圓，以圓心和為直徑的圓的標準方程是 ．
變式4．（2024·江西南昌·三模）設(shè)圓心在軸的圓過點，且與直線相切，則圓的標準方程為 .
變式5．（23-24高二下·上海·期中）已知點，，以線段為直徑的圓的標準方程為 .
變式6．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）已知圓心為，半徑，寫出圓的標準方程 ．
變式7．（22-23高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過，兩點.
(1)當，并且是圓的直徑，求此時圓的標準方程；
(2)如果是圓的直徑，證明：無論a取何正實數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個定點，求出這個定點坐標.
【方法技巧與總結(jié)】
圓的標準方程的兩種求法
（1）幾何法：利用圖形的平面幾何性質(zhì)，如"弦的中垂線必過圓心"，" 兩條弦的中垂線的交點必為圓心"，以及中點坐標公式、兩點間距離公式等，直接求出圓心坐標和半徑，進而得到圓的標準方程.
（2）待定系數(shù)法：由三個獨立條件得到三個方程，解方程組可得到圓的標準方程中三個參數(shù)，從而確定圓的標準方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設(shè)————設(shè)所求圓的方程為（x- a） +（y-b） =r ；
②列——由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；③解———解方程組，求出a，b，r；
④代————將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的方程.
【題型3：圓的一般方程的求解】
例3．（2024·山西臨汾·二模）已知圓過點，則的方程為 .
變式1．（23-24高三上·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是 ．
變式2.（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．則的外接圓方程為 ．
變式3．（23-24高二上·湖南·期末）已知四邊形的三個頂點，，．
(1)求過A，B，C三點的圓的方程．
(2)設(shè)線段上靠近點A的三等分點為E，過E的直線l平分四邊形的面積．若四邊形為平行四邊形，求直線l的方程．
變式4．（23-24高二上·全國·期中）已知△ABC的三個頂點為．
(1)求AC邊上的高BD所在直線的方程；
(2)求△ABC的外接圓的方程．
變式5．（23-24高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知三點，求：
(1)的面積.
(2)外接圓的一般方程.
變式6．（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）已知在中，AB邊所在直線的方程為，AC邊所在直線的方程為，AC邊上的中線所在直線的方程為．
(1)求C點的坐標；
(2)求的外接圓方程．
變式7．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三個頂點為，，，
(1)求三角形ABC外接圓的方程；
(2)判斷點是否在這個圓上.
【題型4：由一般方程確定參數(shù)取值范圍】
例4．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）方程所表示的圓的最大面積為（　　）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·江蘇南通·期中）若方程表示一個圓，則實數(shù) m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式3．（23-24高二上·廣東·期末）已知方程表示一個圓，則實數(shù)取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（22-23高二上·全國·期中）“實數(shù)”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式5．（多選）（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知曲線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，曲線是一條直線
B．當時，曲線是一個圓
C．當曲線是圓時，它的面積的最小值為
D．當曲線是面積為的圓時，
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若方程表示圓心為，半徑為1的圓，則 ．
變式7．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）若方程表示圓的標準方程，則的取值范圍是 ．
【方法技巧與總結(jié)】
二元二次方程與圓的關(guān)系
1.形如x ＋y +Dx＋By＋F=0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法：
①由圓的一般方程的定義判斷D ＋E - 4F是否為正. 若D ＋E - 4F>0，則方程表示圓，否則不表示圓；
②將方程配方變形成“標準"形式后，根據(jù)圓的標準方程的特征，觀察是否可以表示圓.
2.由圓的一般方程x ＋y ＋Dx＋Ey＋F=0求圓心和半徑長的方法：
①利用配方法將圓的一般方程化為標準方程，可以非常直觀地求出圓心及半徑長；
②運用二元二次方程x2+y +Dx＋Ey+F=0判斷是否為圓，如果是，也可以利用公式寫出圓心，利用公式求出半徑
【題型5：點與圓的位置關(guān)系】
例5．（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知圓上的所有點都在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
變式2．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知圓，則原點O在（ ）
A．圓內(nèi) B．圓外 C．圓上 D．圓上或圓外
變式4．（22-23高二上·河南鄭州·期中）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（22-23高二上·浙江·期中）若點不在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（21-22高二上·安徽·階段練習(xí)）若圓過坐標原點，則實數(shù)m的值為（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
變式7．(多選)（23-24高二下·江蘇南京·期中）點關(guān)于直線的對稱點在圓內(nèi)，則實數(shù)可以為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【題型6：圓過定點問題】
例6．（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（21-22高二上·浙江溫州·期中）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
變式2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）當m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－20恒過定點 .
變式3．（23-24高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知圓，點，平面內(nèi)一定點（異于點），對于圓上的任意動點，都有為定值，定點的坐標為 ．
變式4．（23-24高二上·重慶·期中）已知直線過定點P，圓C經(jīng)過P點且與x軸和y軸正半軸都相切.
(1)求定點P的坐標；
(2)求圓C的方程.
變式5．（2021高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，曲線Γ：yx2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．
(1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；
(2)求證：過A，B，C三點的圓過定點．
一、單選題
1．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直角梯形，且，，，，則過其中三點的圓的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·吉林延邊·期中）已知圓，則下列點在圓C內(nèi)的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過點(2，0)，且圓心是兩直線x－2y＋10與x＋y－20的交點的圓的方程為（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)21
B．(x－1)2＋(y－1)21
C．(x＋1)2＋(y－1)22
D．(x－1)2＋(y－1)22
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)25的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）圓x2＋y24上的點到點(1，0)的距離的最大值為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．5
7．（23-24高二下·全國·課堂例題）若直線是圓的一條對稱軸，則圓心坐標為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·北京海淀·開學(xué)考試）若圓的圓心到軸、軸的距離相等，則 （ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）設(shè)圓，則下列命題正確的是（ ）
A．所有圓的面積都是 B．存在，使得圓C過點
C．經(jīng)過點的圓C有且只有一個 D．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1，0)，且被x軸分成兩段，弧長之比為1∶2，則圓C的方程可能是（ ）
A．x2＋(y＋)2 B．x2＋(y－)2
C．x2＋(y＋)2 D．x2＋(y－)2
11．（23-24高二上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知，兩點，以線段為直徑的圓為圓P，則（ ）
A．在圓P上 B．在圓P內(nèi)
C．在圓P內(nèi) D．在圓P外
三、填空題
12．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，若點滿足，則點的軌跡方程是 ．
13．（23-24高二上·四川宜賓·期中）已知點，點為圓上任意一點，則連線的中點軌跡方程是 ．
14．（23-24高二下·貴州黔東南·期末）若點在圓上，則的半徑 .
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知過點的動直線l與圓相交于不同的兩點A，B．
(1)求圓的圓心坐標；
(2)求線段的中點M的軌跡C的方程．
16．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知點，，直線與直線垂直.
(1)求的值；
(2)若圓經(jīng)過點，且圓心在軸上，求點的坐標.
17．（23-24高二下·全國·課堂例題）從以下三個條件中任選一個，補充在下面的問題橫線處，并進行解答.①經(jīng)過點；②圓心在直線上；③以線段為直徑.
問題：已知圓經(jīng)過兩點，且__________.求圓的方程；
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
18．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點，AB 邊所在直線的方程為，點在AD邊所在的直線上.
(1)求AD邊所在直線的方程；
(2)求矩形ABCD外接圓的標準方程.
19．（23-24高二上·山西運城·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.
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