資源簡介

2.3.3直線與圓的位置關系
課程標準 學習目標
1.理解直線與圓的三種位置關系: 2.能根據方程判斷直線與圓的位置關系; 3.掌握判斷直線與圓位置關系的兩種方法，體驗數形結合思想在解決問題中的應用。 1.重點:①能根據給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的位置關系、 ②能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。 2.難點:數形結合思想方法的靈活應用直線和圓的三種位置關系的性質與判定的應用。
知識點01 直線與圓的位置關系
直線Ax＋By＋C0與圓(x－a)2＋(y－b)2r2的位置關系的判斷
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2個 1個 0個
判定方法 幾何法：設圓心到直線的距離d d＜r dr d＞r
代數法：由 消元得到一元二次方程根的判別式Δ Δ＞0 Δ0 Δ＜0
圖形
【即學即練1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直線與圓的位置關系為（ ）
A．相切 B．相交但直線過圓心
C．相交但直線不過圓心 D．相離
【答案】D
【分析】利用圓心到直線的距離和半徑的大小關系即可判斷直線與圓的位置關系.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
故圓心到直線的距離為，且圓心不在直線上，
所以直線與圓的位置關系為相交但直線不過圓心.
.
【即學即練2】(多選)（22-23高二上·甘肅金昌·期末）下列直線中，與圓相切的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【分析】根據圓心到直線的距離與半徑的關系對選項一一驗證即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑．
對于選項A，圓心到直線的距離．所以直線與圓相交；
對于選項B，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；
對于選項C，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；
對于選項D，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離．
C.
知識點02圓的切線
1.過圓上一點的圓的切線
①過圓x2＋y2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③過圓x2＋y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0yr2.
2.過圓外一點的圓的切線
過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.
【即學即練3】（23-24高三上·湖北武漢·期末）若點在圓上，則過的圓的切線方程為 .
【答案】
【分析】利用垂直直線的斜率關系和直線方程相關概念直接求解.
【詳解】因為點在圓上，
所以過的圓的切線方程和垂直，
因為，，所以，所以切線方程斜率為，
所以切線方程為，即.
故答案為：
【即學即練4】（23-24高三上·浙江·階段練習）過圓上點的切線方程為 ．
【答案】
【分析】由圓的切線性質求出切線斜率，利用點斜式方程即可得.
【詳解】由題知，，則切線斜率，
所以切線方程為，整理為．
故答案為：
知識點03 切線長
1.從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為 .
2.兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b.
【即學即練5】（22-23高二上·重慶北碚·階段練習）過點作圓的一條切線，切點為B，則（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圓的圓心坐標和半徑，再利用切線長定理即可求得的值.
【詳解】因為圓，
所以圓的圓心為，半徑為，
因為與圓相切，切點為B，
所以，則，
因為，
所以.
.
【即學即練6】（24-25高二上·全國·課前預習）如圖，直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值 ．
【答案】
知識點04 圓的弦長
直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：
(1)幾何法：因為半弦長、弦心距d、半徑r構成直角三角形，所以由勾股定理得L 2.
(2)代數法：若直線ykx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB||x1－x2||y1－y2|.
【即學即練7】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知圓，直線被圓C截得的弦長為 .
【答案】
【分析】根據直線和圓的位置關系，利用點到直線的距離公式和弦長公式求解.
【詳解】解：由題意可得，圓心為，半徑，
弦心距，
故直線被C截得的弦長為，
故答案為：
【即學即練8】（22-23高二上·河北保定·期末）直線與圓交于兩點，則的面積為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標和半徑，過圓心作于，分別計算和，即可求得的面積.
【詳解】
如圖，由圓配方得，，知圓心為,半徑為，
過點作于，由到直線的距離為,
則,
故的面積為.
.
難點：最值問題
示例1：（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）已知曲線，則的最大值，最小值分別為（　　）
A．＋2，－2 B．＋2，
C．，－2 D．，
【答案】D
【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動點與點的距離，作出圖象，結合圖象求解即可．
【詳解】由，可知，，
且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：

又因為表示半圓上的動點與點的距離，
又因為，
所以的最小值為，
當動點與圖中點重合時，取最大值，
．
【題型1：直線與圓有關的位置關系】
例1．（24-25高三上·四川成都·開學考試）在同一平面直角坐標系中，直線與圓的位置不可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圓的位置和直線所過定點，判斷直線與圓的位置關系.
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，
直線過圓內定點，斜率可正可負可為0，
ABD選項都有可能，C選項不可能.
.
變式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圓，直線，則下列結論中正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線與圓相切
C．直線與圓相交 D．直線與圓相離
【答案】D
【分析】求出圓的圓心和半徑，直線所過的定點，再由該定點與圓的位置關系判斷直線與圓的位置即可.
【詳解】圓的圓心，半徑，
直線恒過定點， 顯然，
因此點在圓內，直線與圓相交，ABD錯誤，C正確.
變式2．（24-25高二上·上海·單元測試）直線繞原點按逆時針方向旋轉30°后所得的直線l與圓的位置關系是（ ）
A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心
C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出直線l的方程，再根據圓心到直線l的距離與半徑的關系判斷作答.
【詳解】直線過原點，斜率為，傾斜角為，
依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過原點，因此直線l的方程為：，即，
而圓的圓心為，半徑為，
于是得圓心到直線l的距離為，
所以直線l與圓相切.
變式3.（23-24高三下·浙江金華·階段練習）設直線，圓，則l與圓C（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，與半徑比較即可判斷求解．
【詳解】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，
故直線與圓相離．
．
變式4．（2007高二·全國·競賽）直線繞原點逆時針方向旋轉30°后，所得直線與圓的位置關系為（ ）
A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心
C．直線與圓相切 D．直線與圓沒有公共點
【答案】D
【分析】先求出直線繞原點逆時針方向旋轉30°后的直線方程，再由點到直線的距離公式求出則圓心到直線的距離，與半徑比較，即可得出答案.
【詳解】直線的傾斜角為，
直線繞原點逆時針方向旋轉30°后直線的傾斜角為，
旋轉后的直線方程為，
則圓心到直線的距離 ，
∴直線與圓相切.
.
變式5.（10-11高二上·湖南益陽·階段練習）如果直線與圓有兩個不同的交點，則點與圓的位置關系為（ ）
A．P在圓外 B．P在圓上
C．P在圓內 D．P與圓的位置不確定
【答案】A
【分析】根據直線與圓有兩個不同的交點，知道它們相交.借助，得到,進而得到點與圓的位置關系.
【詳解】直線與圓有兩個不同的交點，則它們相交.
根據，得到，即.則點與圓的位置關系為P在圓外.
.
變式6.(多選)（2024·全國·模擬預測）已知直線與圓，點，則下列命題中是假命題的是（ ）.
A．若點在圓外，則直線與圓相離 B．若點在圓內，則直線與圓相交
C．若點在圓上，則直線與圓相切 D．若點在直線上，則直線與圓相切
【答案】AB
【分析】根據直線和圓相切、相交、相離的等價條件進行求解即可.
【詳解】對于A，因為點在圓外，所以，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相交，故命題A是假命題；
對于B，因為點在圓內，所以，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，故命題B是假命題；
對于C，因為點在圓上，所以，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相切，故命題C是真命題；
對于D，因為點在直線上，所以，即，
則圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相切，故命題D是真命題；
B.
變式7．（2024·四川瀘州·三模）動直線l：被圓C：截得弦長的最小值為 ．
【答案】8
【分析】求出直線所過定點A，判斷定點A在圓內，數形結合知直線截圓所得弦長最小時，弦心距最大，此時，即可由勾股定理求出此時的弦長.
【詳解】直線，即，
所以直線過定點，又圓，且，
所以點在圓內部，，
當垂直于直線時，到直線的距離最大，此時弦長最小，
所以直線被圓截得的弦長的最小值為.
故答案為：8.
【方法技巧與總結】
一.直線與圓相交的性質，
如圖，直線l與圓C相交與A,B，半徑為r，弦AB的中點為D，則
點C到直線l的距離d=|CD，稱為弦心距；
CD⊥l;
|
二.直線與圓相切的性質
如圖，直線l與圓C相切，切點為P，半徑為r.則
（1）CP⊥l；
（2）點C到直線l的距離d=|CP|=r；
（3）切點P在直線l上，也在圓上.
【題型2：由直線與圓的位置關系求參數】
例2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）已知直線l：及圓C：，則“”是“直線l與圓C相切”的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用直線與圓的位置關系，充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】圓的圓心，半徑為，
由直線與圓相切，得，而，解得，
所以“”是“直線l與圓C相切”的充要條件.
變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）直線與曲線恰有1個交點，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】畫出直線與曲線的圖象，數形結合可得答案.
【詳解】曲線，整理得，畫出直線與曲線的圖象，
當直線與曲線相切時，
則圓心到直線的距離為，
可得（正根舍去），
當直線過時，，
如圖，直線與曲線恰有1個交點，則或.
.
變式2．（2024·全國·模擬預測）若直線與圓有交點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進而可以列出不等式.
【詳解】的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，
所以，即.
.
變式3．（23-24高二上·云南昆明·階段練習）已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，得到直線過定點，以及曲線，畫出直線與曲線的圖象，結合直線與圓相切和圖象，即可求解.
【詳解】由直線過定點，
又由曲線，可得，
作出曲線與直線的圖象，如圖所示，
因為直線，可得，
又由，解得，
若直線與曲線有公共點，則，
即實數的取值范圍為.
.
變式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐標系中，，，且圓是以為直徑的圓.
(1)求圓的標準方程；
(2)若直線與圓相切，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由為直徑，可知圓心及半徑，進而可得圓的方程；
（2）根據直線與圓相切，結合點到直線的距離可得解.
【詳解】（1）由已知，，則，
半徑，
所以圓的方程為；
（2）由直線，即，
又直線與圓相切，可得，解得.
變式5.（2025·江蘇蘇州·模擬預測）過原點的圓的圓心為，則原點處與圓相切的直線的傾斜角為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】設圓心為，即可求出，從而得到，再由誘導公式及傾斜角的定義判斷即可.
【詳解】設圓心為，則，
依題意，所以，
又，所以直線的傾斜角為3．.
變式6.（23-24高二下·云南昆明·階段練習）過點作圓的切線，直線與直線平行，則直線與的距離為（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由點斜式求出直線l的方程，根據直線平行及兩平行直線間的距離公式可得結果.
【詳解】由條件知點在圓上，所以直線的斜率為切線的斜率為，
即直線方程為，整理得：直線與
直線平行，直線方程為，則直線與的距離為，
．
變式7.（2024高三·全國·專題練習）設過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切線斜率存在，利用點到直線的距離公式和斜率的定義求出，進而求出即可.
【詳解】解法1：如圖，圓，即，
則圓心，半徑，過點作圓的切線，切點為，連接.
因為，則，得，
則，即為鈍角，且為銳角，
所以.
.
解法2：如圖，圓，即，則圓心，半徑，
過點作圓的切線，切點為，連接.因為，則，
因為，
且，則，
即，解得，
即為鈍角，且為銳角，則.
.
解法3：圓，即，則圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，則設切線方程為，即，
則圓心到切線的距離，解得，
所以，又為銳角，
由解得.
.
【題型3：圓的切線問題】
例3．（2024高三·全國·專題練習）圓在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】根據條件得到點在圓上，從而得到切線的斜率為，即可求出結果.
【詳解】因為圓的圓心為，，
易知點在圓上，又，所以切線的斜率為，
故切線方程為，即.
故答案為：.
變式1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，則直線的方程為
【答案】
【分析】過圓外一點的切點弦方程為，得到答案.
【詳解】由題意，切點弦所在直線的方程為，化簡得：.
故答案為：
變式2.（24-25高三上·四川成都·開學考試）已知點在圓上，點，當最小時， .
【答案】
【分析】找到當最小時P點所在的位置，再結合勾股定理可得結果.
【詳解】設圓的圓心為，半徑為4，
如圖所示：當 最小時，與圓M相切，連接，
則，，而，
由勾股定理得，
所以當最小時，.
故答案為：.
變式3.（22-23高二上·四川成都·階段練習）已知圓C的方程為：；
(1)過點作圓的切線，求切線的方程.
(2)已知圓C上有2個點到直線：的距離為1，求m的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先判斷點和圓的位置關系，如果在圓外，分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況進行討論；
（2）先求臨界位置，即分別求圓上有1個點到的距離為1，圓上有3個點到的距離為1，時m的值，取中間范圍即圓上有2個點到的距離為1.
【詳解】（1）由題可知圓心，
因為，
所以P在圓外，過圓外一點作圓的切線有2條.
①當k存在時，設切線方程：，即.
則圓心C到的距離d，
此時切線：
②當k不存在時，過點的直線方程為，
圓心到直線的距離為2，
所以直線與圓相切，
此時切線方程：
綜上：切線的方程為：或
（2）圓心到的距離d，
當圓上有1個點到的距離為1，則
當圓上有3個點到的距離為1，則,
所以當圓上有2個點到的距離為1，則,
所以,即,此方程無解，
的取值范圍為
變式4.（23-24高二上·北京·期中）求滿足下列條件的曲線方程：
(1)求過點且與圓相切的直線方程；
(2)求圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）先設出方程，然后將相切條件轉化為距離條件，再用距離公式求解；
（2）先設出方程，然后將弦長條件轉化為距離條件，再用距離公式求解.
【詳解】（1）據點可設直線方程為.
圓的方程可化為，故點到所求直線的距離為，
從而.
所以，
得.
這就說明或，所以所求直線的方程為或.
（2）設所求圓的圓心坐標為，由于該圓與軸相切，故該圓的半徑為，
所以該圓的方程是，即.
而該圓被直線截得的弦長為，故該圓圓心到直線的距離為.
所以，解得.
故所求的圓的方程為或.
變式5.（23-24高二上·貴州六盤水·期末）已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點在圓上．
(1)求圓的標準方程；
(2)求過點且與圓相切的直線方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設圓心坐標為，根據點在圓上列方程可得，可得方程；
（2）分斜率存在和不存在求解，當斜率存在時，設切線的方程為，根據圓心到直線的距離等于半徑列方程求解可得.
【詳解】（1）由圓C的圓心在直線上，可設圓心C的坐標為，
又圓的半徑為2，點在圓上，有，
解得（舍去）或，
故圓的標準方程為；
（2）①當切線的斜率不存在時，直線與圓相切；
②當切線的斜率存在時，設切線的方程為，整理為，
由題知，解得，
可得切線方程為，整理為，
由①②知，過點且與圓相切的直線方程為或.

變式6.（23-24高二上·江蘇常州·階段練習）實數滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，把轉化為圓上的點與點連線的斜率，結合直線與圓的位置關系，即可求解.
【詳解】由圓的方程，可得圓心，半徑為，
又由，所以表示圓上的點與點連線的斜率，
當過點與圓相切時，此時取得最值，如圖所示，
設，可得，令，
整理得，解得或，
結合圖象，可得的取值范圍是.
.
變式7.(多選)（23-24高二下·廣西桂林·期末）直線l：，圓C：，下列結論正確的是（ ）
A．直線l的傾斜角為
B．圓C的圓心坐標為（1，0）
C．當時，直線l與圓C相切
D．當時，直線l與圓C相交
【答案】CCD
【分析】根據直線l斜率和傾斜角的關系，即可判斷A選項；將圓心求出，即可判斷B選項；利用點到直線的距離公式求出，即可得出直線l與圓的位置關系，即可判斷C選項；利用點到直線的距離公式求出，即可表示出直線l與圓的位置關系，計算求參，即可判斷D選項.
【詳解】直線l：的斜率為1，所以直線l的傾斜角為，A選項錯誤；
而圓：，即，可知圓心，半徑，B選項正確；
當時，直線l：，
設圓心到直線l的距離為，則，
所以直線與圓相切，故C正確；
對于D項，圓：，即，可知圓心，半徑,
因為直線與圓C交于兩點，所以圓心C到直線l的距離，
即，解得，
所以當時，直線l與圓C相交，故D項正確；
CD.
【方法技巧與總結】
1.過圓上一點的圓的切線
①過圓x2＋y2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③過圓x2＋y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0yr2.
2.過圓外一點的圓的切線
過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.
【題型4：弦長問題】
例4．（24-25高三上·陜西·開學考試）由直線上的一點向圓引切線，則切線段的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】由圓的方程得圓心坐標和半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質及勾股定理求出切線長的最小值即可.
【詳解】由圓的方程，得圓心，半徑，
如圖，切線長，當最小時，最小，
最小值為圓心到直線的距離，
所以切線長的最小值.
.

變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）圓的所有經過坐標原點的弦中最短弦長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用配方法化簡圓的方程，結合垂徑定理與勾股定理，可得答案.
【詳解】由，則圓的標準方程為，如下圖：
圖中，，為圓的圓心，為直線與圓的交點，
易知為所有經過坐標原點的弦中最短弦，.
.
變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）圓與直線相交所得弦長為（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】代入弦長公式，即可求解.
【詳解】圓心到直線的距離，
所以弦長.
變式3．（24-25高二上·陜西西安·開學考試）直線l過點，且與圓C：相交所形成的長度為整數的弦的條數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】判斷已知點與圓的位置關系，并確定過定點的直線與圓所成弦長的范圍，結合圓的對稱性確定弦的條數.
【詳解】由題設，圓的圓心為，且半徑，
而，即點在圓內，且圓心到該點的距離，
當直線與、的連線垂直時，弦長最短為，
而最長弦長為圓的直徑為，故所有弦的弦長范圍為，
所以相交所形成的長度為整數的弦，弦長為，
根據圓的對稱性，弦長為各有2條，弦長為2的只有1條，
綜上，共9條.
變式4．（22-23高二下·北京延慶·期中）已知點，圓，則經過圓內一點且被圓截得弦長最短的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，由條件可得過點且弦長最短的弦應是垂直于直線的弦，再由直線的點斜式方程，即可得到結果．
【詳解】設經過圓內一點且被圓截得弦長最短的直線的斜率為，直線的斜率為，
由題意得，，
因為，所以，
所以圓內一點且被圓截得弦長最短的直線的方程為，即，
．
變式5．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知直線與圓交于A,B兩點，則當弦最短時，直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直線恒過定點，可得點在圓內，可得當時弦最短,利用直線的點斜式方程可得答案.
【詳解】，所以直線恒過定點，，
因為，所以點在圓內，
所以當時，弦最短,
設直線的斜率為，則,
所以直線的方程為，即.
.
變式6．（21-22高二下·全國·期末）設M是圓C：上的動點，是圓的切線，且，則點N到點距離的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．16
【答案】A
【分析】根據切線性質可得點N的軌跡方程為圓，再根據圓上的點到定點距離的最值方法求解即可.
【詳解】由題意得，圓心，半徑為4，
又，∴，
即點N的軌跡方程為，
∴點N到點距離的最小值為.
.
變式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直線與交于、兩點，則“”是“的面積取得最大值”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】利用三角形的面積公式可得，當時，的面積取得最大值，利用等面積求出圓心到直線的距離，
再由點到直線的距離公式求出的值，最后結合充要條件的定義進行判斷即可.
【詳解】
由，可得圓心，半徑，
又，
當且僅當時，等號不成立，
此時，
由等面積可得點到直線的距離，
又點到直線的距離，
解得，，
因此“”是“的面積取得最大值”的充分必要條件.
.
【方法技巧與總結】
解決有關弦長問題的常用方法及結論
幾何法 如圖所示，設直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關系式：|AB|2
代數法 若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點，則|AB|· ·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當k0時，|AB||xA－xB|；當斜率不存在時，|AB||yA－yB|，當直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距構成直角三角形，在解題時，要注意把它和點到直線的距離公式結合起來使用
【題型5：與圓有關的對稱問題】
例5．（24-25高三上·貴州·開學考試）已知圓關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
【答案】A
【分析】轉化為直線過圓心即，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】因為圓關于直線對稱，
所以直線過圓心，即，
則
因為，且，所以，
所以，
當且僅當即等號不成立，
則的最小值是4.
.
變式1．（23-24高二上·福建廈門·期中）若圓與圓關于直線對稱，過點的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圓與圓的對稱性可得，再利用幾何關系，求點的軌跡方程.
【詳解】圓，即，圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
由圓與圓關于直線對稱，
可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點在直線上，所以，解得，
經檢驗，滿足題意，則點的坐標為，
設圓心為坐標為，則，整理得，
即圓心的軌跡方程為.
.
變式2．（23-24高三下·重慶·階段練習）過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關于對稱時，（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用數形結合，結合對稱性，即可確定點的位置，即可求解.
【詳解】
若直線關于直線對稱，則直線與直線的夾角相等，
則與垂直，所以等于圓心到直線的距離，
即.
變式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圓關于直線對稱，則實數（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】求出圓心并將其代入直線即可得解.
【詳解】由得，
則圓心坐標為，又因為圓關于直線對稱，
故由圓的對稱性可知：圓心在直線上，
則.
.
變式4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）過直線上的點作圓的兩條切線，當直線關于直線對稱時，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據直線和圓的位置關系、兩直線的交點等知識求得正確答案.
【詳解】圓的圓心為，
直線關于直線對稱時，則直線與直線垂直，
所以直線的方程為，
由解得，所以.
.
變式5.（23-24高二上·貴州銅仁·期中）已知圓關于直線（a，b為大于0的數）對稱，則的最小值為 ，此時直線方程為 ．
【答案】
【分析】空1：由題意得直線過圓心，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1結果代入回直線方程即可.
【詳解】圓，整理得，則其圓心為，
由題意得：直線過圓心，
所以，又，，
所以 ．（當且僅當，時，取“”）．
此時直線方程為，即.
故答案為：；.
變式6.（24-25高二上·上海·課后作業）已知圓關于直線對稱，則下列結論正確的是 ．（填序號）
①圓的圓心是；②圓的半徑是2；③；④ab的取值范圍是．
【答案】①②③④
【分析】根據圓的一般方程化為標準方程得出圓心和半徑判斷①②，再根據直線過圓心得出③，再結合換元應用二次函數值域判斷④即可.
【詳解】對于①②，將圓的方程化為標準方程可得，所以圓心為，半徑為2，故①②正確；
對于③，由已知可得，直線經過圓心，所以，整理可得，故③正確；
對于④，由③知，所以，所以的取值范圍是，故④正確．
故答案為：①②③④
變式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直線，圓．
(1)求直線與圓相交所得的弦長；
(2)求圓關于直線對稱所得的圓的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，由點到直線的距離公式結合勾股定理代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由點關于直線對稱，即可得到圓心的坐標，即可得到結果.
【詳解】（1）設直線與圓相交的弦為線段，
因為圓圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
則，
所以直線與圓相交所得的弦長為.
（2）設圓關于直線對稱所得的圓為圓，
由題意可得圓心與圓心關于直線對稱，
設圓心，則，解得，
則，則圓的方程為.
【題型6：點與圓有關的最值問題】
例6．（23-24高二上·遼寧鞍山·期中）若點在圓上，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用表示點與點的距離的平方，求出圓心與點的距離為，可求得最小距離，繼而可求得所求.
【詳解】因為，化為，
圓心為，半徑為，
又表示點與點的距離的平方，
圓心與點的距離為，
所以點與點的距離的最小值為，
故的最小值為，
故答案為：.
變式1.（23-24高三上·河南駐馬店·期末）若點是圓:上一點,則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根據圓外一定點到圓上一點距離的平方的幾何意義進行求解即可.
【詳解】圓:可化為
表示點到點的距離的平方,
因為，
所以的最小值為.
.
變式2.（23-24高二上·山東泰安·期中）已知曲線，則的最大值，最小值分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】首先化簡題給條件，得到其為以為圓心半徑為2的圓的右半部分，再利用數形結合即可求得的最大值，最小值.
【詳解】由，可得，
此方程表示的曲線為以為圓心半徑為2的圓的右半部分，
則表示點與此半圓上點的距離，
其最大值為，最小值為，
又，，，
則最大值為，最小值為.
變式3.（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標系中，已知為圓上動點，則的最小值為（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
【答案】C
【分析】借助點到直線的距離公式與圓上的點到定點距離的最值計算即可得.
【詳解】設，則
，
即等價于點到點的距離的平方的兩倍加八，
又，
即.
.
變式4.（23-24高二上·山東菏澤·階段練習）在中，，，，點P為它的內切圓C上任一點，求點P到頂點的距離的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 88 72
【分析】如圖所示，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系xOy，然后表示出三角形內切圓的方程，設為圓C上任一點，表示出點P到頂點A，B，O的距離的平方和為d，化簡變形后可求得答案.
【詳解】如圖所示，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系xOy，則，，內切C的半徑．

∴圓心坐標為．∴內切圓C的方程為．
設為圓C上任一點，點P到頂點A，B，O的距離的平方和為d，
則
．
∵點在圓上，∴．
∴．
∵點是圓C上的任意點，∴．
∴當時，；當時，．
故答案為：88，72
變式5.（22-23高二上·重慶·期末）已知圓心為C的圓經過點和，且圓心C在直線上．
(1)求圓心為C的圓的一般方程；
(2)已知，Q為圓C上的點，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值為，最小值為
【分析】（1）直接設圓心坐標并建立方程計算即可得圓心及半徑，從而求出一般方程；
（2）利用圓的性質及兩點坐標公式計算即可.
【詳解】（1）∵圓心C在直線上，不妨設，半徑，
則，
∴圓心C坐標為，則圓C的方程為；
其一般方程為.
（2）由（1）知圓C的方程為，
∴，∴P在圓C外，
∴的最大值為，最小值為．
變式6.（2023高二上·全國·專題練習）已知實數x，y滿足方程，求的最大值和最小值．
【答案】最大值為，最小值為
【分析】根據方程表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓以及表示圓上的一點與原點距離的平方即可求解.
【詳解】方程表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓．
表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心所連的直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值（如圖）．
又圓心到原點的距離為，
所以的最大值為，最小值為，
即的最大值為，最小值為．
變式7.（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知圓的半徑為2，且圓心在直線上，點在圓上，點在圓外.
(1)求圓的圓心坐標；
(2)若點在圓上，求的最大值與最小值.
【答案】(1)
(2)最大值為，最小值為.
【分析】（1）設出圓的標準方程：，然后利用題中相關點及幾何條件從而求解；
（2）先求圓外點到圓心的距離，則可知：.
【詳解】（1）設圓的標準方程為：，
由題意得：，得：，
即：圓的圓心坐標：.
（2）由題意得:，
所以：，
所以：最大值為：：，最小值為：.
【方法技巧與總結】
圓上的點到直接距離最值:
1.把圓化成圓的標準方程找出圓心和半徑r
2.利用點到直線到距離公式求圓心到直線的距離
3.判斷位置關系
【題型7：直線與圓有關的最值問題】
例7．（23-24高二下·山西呂梁·階段練習）已知P是圓上一動點，則點P到直線的距離的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，得到過定點，得到點在圓上，且，結合直線與圓的位置關系，即可求解.
【詳解】因為直線，可化為，
由，解得，所以l過定點，
又因為點在圓上，且，
又由圓，可得圓心為，半徑，
當時，點P到的距離最大，最大距離為，此時，
所以直線的斜率為1，此時無解，故直線l不存在，所以距離；
當直線與圓O相交時，點P到l的距離最小，最小距離為0，
故點P到的距離的取值范圍為.
.
變式1．（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標系中， 記 為點 到直線 的距離， 則當 變化時， 的最大值與最小值之差為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】由直線方程得到其過定點，而可看成單位圓上的一點，故可將求點到直線之距轉化為求圓心到直線之距，要使距離最大，需使直線，此時最大距離即圓心到點的距離再加上半徑即得.
【詳解】由直線 整理得，可知直線經過定點，
而由知，點可看成圓上的動點，
于是求點 到直線 的距離最值可通過求圓心到直線的距離得到.

如圖知當直線與圓相交時， 到直線 的距離最小值為，
要使點到直線距離最大，需使圓心到直線距離最大，
又因直線過定點，故當且僅當時距離最大，（若直線與不垂直，則過點作直線的垂線段長必定比短）
此時，故點到直線距離的最大值為，即的最大值與最小值之差為.
.
變式2.（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知圓：，直線上點，過點作圓的兩條切線，（其中，為切點），則四邊形面積的最小值為 .
【答案】
【分析】根據勾股定理可得，即可根據面積公式即可求解.
【詳解】
四邊形的面積,
當與直線垂直時，此時取最小值，故最小值為，
又半徑，所以，則四邊形面積的最小值為.
故答案為：
變式3．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）設圓：與圓：，點，分別是，上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析發現兩圓心和的連線恰好垂直于直線，從而得出當與和共線時最小，從而得解.
【詳解】
因為圓：的標準方程為；
圓：的標準方程為：
所以和的圓心坐標分別為、，半徑，，
所以直線的斜率，而直線的斜率為1
所以直線與直線垂直，如圖，
所以當與和共線時最小，此時，
又此時，，
所以最小值為.
變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知圓，直線與，下列結論正確的是（ ）
A．直線，不可能平行
B．直線與圓相切
C．直線與圓截得弦長為
D．
【答案】ACD
【分析】根據結合，利用點到直線的距離公式求解，利用計算，利用即可判斷．
【詳解】A．由得直線，不可能平行，故A正確；
B．圓的圓心為，半徑為2，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，故B錯誤；
C．直線到圓心的距離為，
所以直線與圓截得弦長為，故C正確；
D．∵，故，故D正確．
CD．
變式5．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）已知實數滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】依題意可得，從而得到點在圓上，再由表示點與點連線的斜率，結合圖象及直線與圓的位置關系求出的最值，即可得解.
【詳解】因為，所以，
所以點在圓上，其中圓心為，半徑為，
又，其中表示點與點連線的斜率，
又，所以點在圓外，
由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，設過點的直線的方程為，
即，則，解得或，
即的最大值為，最小值為，
所以的最大值為.
故答案為：
變式6．（2023·江西上饒·模擬預測）直線被圓截得最大弦長為 ．
【答案】
【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理與勾股定理建立關系即可得到答案.
【詳解】由已知，圓的標準方程為，圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，解得，
所以弦長為，因為，
所以，所以弦長，
當即時，弦長有最大值.
故答案為：.
變式7．（24-25高三上·北京·開學考試）已知直線與圓相交，能說明“直線截圓所得弦長不小于”是假命題的一個的值為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據題意，利用直線與圓的位置關系和圓的弦長公式，列出不等式，求得實數取值范圍，進而得到答案.
【詳解】由圓，可得圓心，半徑為，
因為直線與圓相交，可得，
解得，
又由“直線截圓所得弦長不小于”是假命題，
可得“直線截圓所得弦長小于”是真命題，
則滿足，即，解得，
可得，解得或，
綜上可得，或，
即實數的取值范圍為，
所以一個實數的為可以為.
故答案為：（答案不唯一）.
一、單選題
1．（23-24高二下·湖北武漢·期中）若圓C的圓心為，且被x軸截得弦長為4，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意作出圖形，利用垂徑定理可求得，繼而求出圓的半徑，寫出圓的方程.
【詳解】

如圖，過點作于，依題意，,因,故，
從而，圓的半徑為：,
故所求圓的方程為：，即.
.
2．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知直線與圓相切，則的值（ ）
A．與a有關，與b有關 B．與a有關，與b無關
C．與a無關，與b有關 D．與a無關，與b無關
【答案】A
【分析】先求得圓的圓心坐標為和半徑為，結合題意圓心到直線的距離等于半徑，即，化簡即可得到答案.
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，
因為直線與圓相切，
則圓心到直線的距離等于半徑，即，
化簡得，可知，
.
3．（23-24高二下·河南·階段練習）若直線與圓相切，則圓的半徑為（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】D
【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.
【詳解】依題意，，解得（負值舍），所以圓的半徑為.
故選:C.
4．（2024·遼寧丹東·二模）過坐標原點O作圓的兩條切線OA，OB，切點分別為A，B，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】由圓的標準方程作出圓的圖形，易得切點坐標，利用兩點之間距離公式計算即得.
【詳解】

如圖，由圓可得x軸，y軸，即是過點O的切線，
所以切點為，，故．
.
5．（2024·河南南陽·模擬預測）若圓被直線平分，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由題設，將圓心坐標代入直線方程即可求解.
【詳解】由題意得圓心在直線上，
則，解得.
.
6．（23-24高三上·浙江嘉興·期末）已知直線與圓：相交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得圓心為到直線的距離，求出弦長，計算即可得出結果.
【詳解】因為圓心為到直線的距離為：，
所以=
所以,即 .
7．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線圓相切，則原點到直線距離的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】原點在圓上，到切線的最大距離等于圓的直徑.
【詳解】圓，即，圓心坐標，半徑為1，
直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑1，
原點在圓上，所以原點到直線距離的最大值為.
8．（23-24高二上·上海·期末）已知圓 ，當圓心C到直線 的距離最大時，實數的值是（ ）
A． B． C．－3 D．3
【答案】C
【分析】圓心，半徑，直線恒過定點，當直線與垂直時，圓心到直線的距離最大，由斜率公式求得的斜率，再由垂直關系可得答案．
【詳解】因為圓的方程為：，化為標準方程得：，
所以圓心為，半徑，
直線 恒過定點，
當直線與垂直時，圓心到直線的距離最大，
由斜率公式得直線的斜率為：，
由垂直關系的斜率公式得：，解得，
．
二、多選題
9．（24-25高二上·廣西·開學考試）對于直線與圓，下列說法不正確的是（ ）
A．過定點
B．的半徑為9
C．與可能相切
D．被截得的弦長最小值為
【答案】CC
【分析】根據含參直線方程求定點坐標判斷A；把圓的方程化為標準方程求得圓的半徑判斷B；判斷直線過的定點在圓內判斷C；當與點和圓心的連線垂直時，被截得的弦長最小，計算可求弦長的最小值判斷D.
【詳解】可變形為，
由，得，所以直線過定點，故A正確；
圓的標準方程為，半徑為3，故B不正確；
由，所以點在圓的內部，
所以與相交，不會相切，故C不正確；
當與點和圓心的連線垂直時，被截得的弦長最小.
因為點和圓心連線的斜率為，所以，解得，
此時的方程為，因為圓心到直線的距離，
所以弦長為，故D正確.
C.
10．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知直線與圓：有公共點，則半徑可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】DD
【分析】根據直線與圓相交或相切，則圓心到直線的距離，可解問題.
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，
由于直線與圓有公共點，
則，解得，
由于，所以符合條件的選項為C、D.
D.
11．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）已知直線，圓，則下列結論正確的有（ ）
A．直線過定點
B．直線與圓恒相交
C．直線被圓截得的弦長最短為4
D．若直線被圓截得的弦長為，則
【答案】ABD
【分析】利用直線的點斜式方程可判斷A；利用定點與圓的位置關系可判斷B；根據定點為弦的中點時，直線被圓截得的弦長最短可判斷C；利用弦長公式可判斷D.
【詳解】對于A，直線，即，則直線恒過定點，故A正確；
對于B，因為，所以定點在圓內部，所以直線與圓恒相交，故B正確；
對于C，直線與軸垂直時，直線被圓截得的弦長最短，此時，
直線被圓截得的弦長為，故C錯誤；
對于D，直線，圓心到直線的距離，
得，故D正確.
BD
三、填空題
12．（24-25高二上·全國·單元測試）已知圓與直線及相切，圓心在直線上，則圓的標準方程為 ．
【答案】
【分析】假設圓心的坐標，根據相切，列出方程求解即可得到圓心，進而可以求出半徑.
【詳解】根據題意設圓心坐標為，
∵圓與直線及都相切，
∴圓心到兩直線及的距離相等，
即，解得，
∴圓心坐標為，，
∴圓的標準方程為．
故答案為：.
（23-24高二下·河南南陽·期末）已知點在圓上運動，則的最小值是
【答案】
【分析】確定圓心和圓的半徑，再根據的幾何意義數形結合即可得到的最小值的情況進而求解即可.
【詳解】由得，
故圓的圓心為，半徑為1，當時，，
當時，，
如圖可知，故此時的最小值是直線斜率的最大值的倒數，
令，即，則圓心到該直線的距離滿足，
兩邊平方整理得，解得，故此時的最小值是，
又，故的最小值為.
故答案為：.
14．（23-24高二上·浙江寧波·期末）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是 .（寫出符合條件的一個方程即可）
【答案】（寫出符合條件的一個方程即可）
【分析】設直線方程為：，根據直線與單位圓和曲線均相切，方程聯立，由判別式為零求解.
【詳解】解：易知直線的斜率存在，設直線方程為：，
由消去y得：，
則，化簡得，
由，消去y得：，
則，化簡得，
由，解得，則，
所以直線方程為：，
故答案為：（寫出符合條件的一個方程即可）
四、解答題
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知關于的方程：．
(1)當為何值時，方程表示圓；
(2)若圓C與直線相交于兩點，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用圓的一般式的條件求解即可；
（2）利用弦長公式計算參數即可.
【詳解】（1）由圓的一般方程性質可知：
解得，
所以當時，方程表示圓.
（2）由，得，
所以該圓圓心為，半徑
所以圓心到直線的距離
根據弦長公式可知：
解得.
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點.
(1)求圓的方程；
(2)若圓直線交于，兩點，____，求的值.
從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：
條件①：圓被直線分成兩段圓弧，其弧長比為；
條件②：；
條件③：.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用幾何關系求出圓心的坐標即可；
（2）任選一個條件，利用選擇的條件，求出圓心到直線的距離，然后列方程求解即可.
【詳解】（1）設圓心坐標為，半徑為.
由圓的圓心在直線上，知：.
又圓與軸相切于點，
，，則.
圓圓心坐標為，則圓的方程為
（2）如果選擇條件①：，而，
圓心到直線的距離，
則，
解得或.
如果選擇條件②和③：，而，
圓心到直線的距離，
則，
解得或3.
如果選擇條件③：，而，
圓心到直線的距離，
則，
解得或3.
17．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）已知半徑為 的圓C的圓心在 軸的正半軸上，且直線與圓相切．
(1)求圓的標準方程．
(2)若 是圓C上任意一點，求的取值范圍
(3)已知，為圓上任意一點，試問在 軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由題意圓心坐標為，可設出圓標準方程，根據圓心到直線的距離等于半徑，從而可得出答案.
（2）若 是圓C上任意一點，則表示圓上任意一點到點距離的平方，畫出圖可知最大值為，最小值為，然后求解取值范圍即可.
（3）設，，分別表示出，由為定值得出答案.
【詳解】（1）依題可設圓心坐標為，
則圓的方程為，
因為直線與圓相切，
所以點到直線的距離，
因為，所以，故圓的標準方程為.
（2）
若 是圓C上任意一點，
則表示圓上任意一點到點距離的平方，
所以的最大值為，
的最小值為：
，
所以的取值范圍為：
（3）假設存在定點，設， ，
則，
則，當，即，（舍去）時，為定值，
且定值為，故存在定點，且的坐標為.
18．（24-25高二上·江蘇南通·開學考試）根據下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：
(1)已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的動直線與圓A相交于，當時，求直線的方程；
(2)以為圓心的圓與圓相切，求圓的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）分直線 l 的斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，然后利用弦長公式求解即可；
（2）分外切、內切兩種情況，利用圓心之間的距離和半徑之間的關系求解即可.
【詳解】（1）易知到直線的距離為圓A半徑r，
所以，則圓A方程為，
過A做,由垂徑定理可知，且，
在中由勾股定理易知.
當動直線斜率不存在時，設直線的方程為，
經檢驗圓心到直線的距離為，且根據勾股定理可知，
顯然合題意，
當動直線斜率存在時，過點，設方程為：，
由到距離為知得，
代入解之可得，
所以或為所求方程．
（2）兩圓的圓心之間的距離為.
當兩圓外切時，圓的半徑為；
當兩圓內切時，圓的半徑為.
∴圓的方程為或.
故答案為：或.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓C：，直線l：.
(1)設l與圓C交于不同的兩點A，B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
(2)若定點分弦AB為，求此時直線l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設，根據已知列式化簡，即可得解；
（2）聯立方程組應用韋達定理結合向量關系求出直線方程.
【詳解】（1）∵直線l：過定點，斜率一定存在，
而在圓C：內，
∴直線l與圓C總有兩個不同的交點；
圓C：的圓心為，
所以M與P不重合時，連接CM，CP，則，
∴.
設，則，
化簡得：；
（2）設，，
由，得，
∴，化簡得，①
又由，消去y得.
∴，②
由①②解得，代入（*）解得.
∴直線l的方程為或.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.3.3直線與圓的位置關系
課程標準 學習目標
1.理解直線與圓的三種位置關系: 2.能根據方程判斷直線與圓的位置關系; 3.掌握判斷直線與圓位置關系的兩種方法，體驗數形結合思想在解決問題中的應用。 1.重點:①能根據給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的位置關系、 ②能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。 2.難點:數形結合思想方法的靈活應用直線和圓的三種位置關系的性質與判定的應用。
知識點01 直線與圓的位置關系
直線Ax＋By＋C0與圓(x－a)2＋(y－b)2r2的位置關系的判斷
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2個 1個 0個
判定方法 幾何法：設圓心到直線的距離d d＜r dr d＞r
代數法：由 消元得到一元二次方程根的判別式Δ Δ＞0 Δ0 Δ＜0
圖形
【即學即練1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直線與圓的位置關系為（ ）
A．相切 B．相交但直線過圓心
C．相交但直線不過圓心 D．相離
【即學即練2】(多選)（22-23高二上·甘肅金昌·期末）下列直線中，與圓相切的有（ ）
A． B． C． D．
知識點02圓的切線
1.過圓上一點的圓的切線
①過圓x2＋y2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③過圓x2＋y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0yr2.
2.過圓外一點的圓的切線
過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.
【即學即練3】（23-24高三上·湖北武漢·期末）若點在圓上，則過的圓的切線方程為 .
【即學即練4】（23-24高三上·浙江·階段練習）過圓上點的切線方程為 ．
知識點03 切線長
1.從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為 .
2.兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b.
【即學即練5】（22-23高二上·重慶北碚·階段練習）過點作圓的一條切線，切點為B，則（ ）
A．3 B． C． D．
【即學即練6】（24-25高二上·全國·課前預習）如圖，直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值 ．
知識點04 圓的弦長
直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：
(1)幾何法：因為半弦長、弦心距d、半徑r構成直角三角形，所以由勾股定理得L 2.
(2)代數法：若直線ykx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB||x1－x2||y1－y2|.
【即學即練7】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知圓，直線被圓C截得的弦長為 .
【即學即練8】（22-23高二上·河北保定·期末）直線與圓交于兩點，則的面積為（ ）
A． B．2 C． D．
難點：最值問題
示例1：（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）已知曲線，則的最大值，最小值分別為（　　）
A．＋2，－2 B．＋2，
C．，－2 D．，
【題型1：直線與圓有關的位置關系】
例1．（24-25高三上·四川成都·開學考試）在同一平面直角坐標系中，直線與圓的位置不可能為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圓，直線，則下列結論中正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線與圓相切
C．直線與圓相交 D．直線與圓相離
變式2．（24-25高二上·上海·單元測試）直線繞原點按逆時針方向旋轉30°后所得的直線l與圓的位置關系是（ ）
A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心
C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點
變式3.（23-24高三下·浙江金華·階段練習）設直線，圓，則l與圓C（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能
變式4．（2007高二·全國·競賽）直線繞原點逆時針方向旋轉30°后，所得直線與圓的位置關系為（ ）
A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心
C．直線與圓相切 D．直線與圓沒有公共點
變式5.（10-11高二上·湖南益陽·階段練習）如果直線與圓有兩個不同的交點，則點與圓的位置關系為（ ）
A．P在圓外 B．P在圓上
C．P在圓內 D．P與圓的位置不確定
變式6.(多選)（2024·全國·模擬預測）已知直線與圓，點，則下列命題中是假命題的是（ ）.
A．若點在圓外，則直線與圓相離 B．若點在圓內，則直線與圓相交
C．若點在圓上，則直線與圓相切 D．若點在直線上，則直線與圓相切
變式7．（2024·四川瀘州·三模）動直線l：被圓C：截得弦長的最小值為 ．
【方法技巧與總結】
一.直線與圓相交的性質，
如圖，直線l與圓C相交與A,B，半徑為r，弦AB的中點為D，則
點C到直線l的距離d=|CD，稱為弦心距；
CD⊥l;
|
二.直線與圓相切的性質
如圖，直線l與圓C相切，切點為P，半徑為r.則
（1）CP⊥l；
（2）點C到直線l的距離d=|CP|=r；
（3）切點P在直線l上，也在圓上.
【題型2：由直線與圓的位置關系求參數】
例2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）已知直線l：及圓C：，則“”是“直線l與圓C相切”的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）直線與曲線恰有1個交點，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．或
變式2．（2024·全國·模擬預測）若直線與圓有交點，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（23-24高二上·云南昆明·階段練習）已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐標系中，，，且圓是以為直徑的圓.
(1)求圓的標準方程；
(2)若直線與圓相切，求實數的值.
變式5.（2025·江蘇蘇州·模擬預測）過原點的圓的圓心為，則原點處與圓相切的直線的傾斜角為（ ）
A．3 B． C． D．
變式6.（23-24高二下·云南昆明·階段練習）過點作圓的切線，直線與直線平行，則直線與的距離為（ ）
A．4 B．2 C． D．
變式7.（2024高三·全國·專題練習）設過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3：圓的切線問題】
例3．（2024高三·全國·專題練習）圓在點處的切線方程為 .
變式1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓外一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，則直線的方程為
變式2.（24-25高三上·四川成都·開學考試）已知點在圓上，點，當最小時， .
變式3.（22-23高二上·四川成都·階段練習）已知圓C的方程為：；
(1)過點作圓的切線，求切線的方程.
(2)已知圓C上有2個點到直線：的距離為1，求m的取值范圍.
變式4.（23-24高二上·北京·期中）求滿足下列條件的曲線方程：
(1)求過點且與圓相切的直線方程；
(2)求圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程.
變式5.（23-24高二上·貴州六盤水·期末）已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點在圓上．
(1)求圓的標準方程；
(2)求過點且與圓相切的直線方程．
變式6.（23-24高二上·江蘇常州·階段練習）實數滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式7.(多選)（23-24高二下·廣西桂林·期末）直線l：，圓C：，下列結論正確的是（ ）
A．直線l的傾斜角為
B．圓C的圓心坐標為（1，0）
C．當時，直線l與圓C相切
D．當時，直線l與圓C相交
【方法技巧與總結】
1.過圓上一點的圓的切線
①過圓x2＋y2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0yr2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③過圓x2＋y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0yr2.
2.過圓外一點的圓的切線
過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為xx0.
【題型4：弦長問題】
例4．（24-25高三上·陜西·開學考試）由直線上的一點向圓引切線，則切線段的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）圓的所有經過坐標原點的弦中最短弦長為（　　）
A． B． C． D．
變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）圓與直線相交所得弦長為（　　）
A．1 B． C． D．
變式3．（24-25高二上·陜西西安·開學考試）直線l過點，且與圓C：相交所形成的長度為整數的弦的條數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
變式4．（22-23高二下·北京延慶·期中）已知點，圓，則經過圓內一點且被圓截得弦長最短的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知直線與圓交于A,B兩點，則當弦最短時，直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（21-22高二下·全國·期末）設M是圓C：上的動點，是圓的切線，且，則點N到點距離的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．16
變式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直線與交于、兩點，則“”是“的面積取得最大值”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【方法技巧與總結】
解決有關弦長問題的常用方法及結論
幾何法 如圖所示，設直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關系式：|AB|2
代數法 若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點，則|AB|· ·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當k0時，|AB||xA－xB|；當斜率不存在時，|AB||yA－yB|，當直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距構成直角三角形，在解題時，要注意把它和點到直線的距離公式結合起來使用
【題型5：與圓有關的對稱問題】
例5．（24-25高三上·貴州·開學考試）已知圓關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
變式1．（23-24高二上·福建廈門·期中）若圓與圓關于直線對稱，過點的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高三下·重慶·階段練習）過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關于對稱時，（ ）
A． B． C．4 D．
變式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圓關于直線對稱，則實數（ ）
A． B．1 C． D．3
變式4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）過直線上的點作圓的兩條切線，當直線關于直線對稱時，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式5.（23-24高二上·貴州銅仁·期中）已知圓關于直線（a，b為大于0的數）對稱，則的最小值為 ，此時直線方程為 ．
變式6.（24-25高二上·上海·課后作業）已知圓關于直線對稱，則下列結論正確的是 ．（填序號）
①圓的圓心是；②圓的半徑是2；③；④ab的取值范圍是．
變式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直線，圓．
(1)求直線與圓相交所得的弦長；
(2)求圓關于直線對稱所得的圓的方程．
【題型6：點與圓有關的最值問題】
例6．（23-24高二上·遼寧鞍山·期中）若點在圓上，則的最小值為 .
變式1.（23-24高三上·河南駐馬店·期末）若點是圓:上一點,則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
變式2.（23-24高二上·山東泰安·期中）已知曲線，則的最大值，最小值分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式3.（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標系中，已知為圓上動點，則的最小值為（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
變式4.（23-24高二上·山東菏澤·階段練習）在中，，，，點P為它的內切圓C上任一點，求點P到頂點的距離的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
變式5.（22-23高二上·重慶·期末）已知圓心為C的圓經過點和，且圓心C在直線上．
(1)求圓心為C的圓的一般方程；
(2)已知，Q為圓C上的點，求的最大值和最小值．
變式6.（2023高二上·全國·專題練習）已知實數x，y滿足方程，求的最大值和最小值．
變式7.（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知圓的半徑為2，且圓心在直線上，點在圓上，點在圓外.
(1)求圓的圓心坐標；
(2)若點在圓上，求的最大值與最小值.
【方法技巧與總結】
圓上的點到直接距離最值:
1.把圓化成圓的標準方程找出圓心和半徑r
2.利用點到直線到距離公式求圓心到直線的距離
3.判斷位置關系
【題型7：直線與圓有關的最值問題】
例7．（23-24高二下·山西呂梁·階段練習）已知P是圓上一動點，則點P到直線的距離的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標系中， 記 為點 到直線 的距離， 則當 變化時， 的最大值與最小值之差為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
變式2.（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知圓：，直線上點，過點作圓的兩條切線，（其中，為切點），則四邊形面積的最小值為 .
變式3．（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）設圓：與圓：，點，分別是，上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·開學考試）已知圓，直線與，下列結論正確的是（ ）
A．直線，不可能平行
B．直線與圓相切
C．直線與圓截得弦長為
D．
變式5．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）已知實數滿足，則的最大值為 .
變式6．（2023·江西上饒·模擬預測）直線被圓截得最大弦長為 ．
變式7．（24-25高三上·北京·開學考試）已知直線與圓相交，能說明“直線截圓所得弦長不小于”是假命題的一個的值為 ．
一、單選題
1．（23-24高二下·湖北武漢·期中）若圓C的圓心為，且被x軸截得弦長為4，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知直線與圓相切，則的值（ ）
A．與a有關，與b有關 B．與a有關，與b無關
C．與a無關，與b有關 D．與a無關，與b無關
3．（23-24高二下·河南·階段練習）若直線與圓相切，則圓的半徑為（ ）
A．2 B．4 C． D．8
4．（2024·遼寧丹東·二模）過坐標原點O作圓的兩條切線OA，OB，切點分別為A，B，則（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2024·河南南陽·模擬預測）若圓被直線平分，則（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（23-24高三上·浙江嘉興·期末）已知直線與圓：相交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線圓相切，則原點到直線距離的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
8．（23-24高二上·上海·期末）已知圓 ，當圓心C到直線 的距離最大時，實數的值是（ ）
A． B． C．－3 D．3
二、多選題
9．（24-25高二上·廣西·開學考試）對于直線與圓，下列說法不正確的是（ ）
A．過定點
B．的半徑為9
C．與可能相切
D．被截得的弦長最小值為
10．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知直線與圓：有公共點，則半徑可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）已知直線，圓，則下列結論正確的有（ ）
A．直線過定點
B．直線與圓恒相交
C．直線被圓截得的弦長最短為4
D．若直線被圓截得的弦長為，則
三、填空題
12．（24-25高二上·全國·單元測試）已知圓與直線及相切，圓心在直線上，則圓的標準方程為 ．
（23-24高二下·河南南陽·期末）已知點在圓上運動，則的最小值是
14．（23-24高二上·浙江寧波·期末）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是 .（寫出符合條件的一個方程即可）
四、解答題
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知關于的方程：．
(1)當為何值時，方程表示圓；
(2)若圓C與直線相交于兩點，且，求的值．
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點.
(1)求圓的方程；
(2)若圓直線交于，兩點，____，求的值.
從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：
條件①：圓被直線分成兩段圓弧，其弧長比為；
條件②：；
條件③：.
17．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）已知半徑為 的圓C的圓心在 軸的正半軸上，且直線與圓相切．
(1)求圓的標準方程．
(2)若 是圓C上任意一點，求的取值范圍
(3)已知，為圓上任意一點，試問在 軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
18．（24-25高二上·江蘇南通·開學考試）根據下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：
(1)已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的動直線與圓A相交于，當時，求直線的方程；
(2)以為圓心的圓與圓相切，求圓的方程.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓C：，直線l：.
(1)設l與圓C交于不同的兩點A，B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
(2)若定點分弦AB為，求此時直線l的方程.
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