資源簡介

2.5.2橢圓的幾何性質
課程標準 學習目標
1.掌握橢圓的幾何性質 2.了解橢圓的離心率對橢圓的扁平程度的影響. 3.掌握直線與橢圓的位置關系及其應用 1.重點:橢圓的幾何性質 2.難點:橢圓的幾何性質的理解和應用.
知識點01 橢圓的幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長 長軸長，短軸長
焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|
對稱性 對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)
離心率 e(0【即學即練1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦點在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意得到方程組，求出，結合焦點位置，得到橢圓方程.
【詳解】由題意得，，又，
解得，
故橢圓方程為.
【即學即練2】（23-24高二上·四川德陽·階段練習）已知焦點在軸上的橢圓的焦距是2，則該橢圓的長軸長為 .
【答案】6
【分析】根據焦點以及焦距即可根據的關系求解.
【詳解】由于為焦點在軸上，所以，
由于焦距是2，所以，所以，
故長軸長為，
故答案為：6
知識點02橢圓的離心率
1.定義：e.
2.離心率的范圍為：(0,1).
3.公式拓展：e=
4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.
【即學即練3】（21-22高二上·陜西銅川·期末）已知橢圓的短軸長為2，焦距為，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題求出b、c、a，即可求出離心率.
【詳解】由題的，
所以，
所以離心率為，
.
【即學即練4】（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習）若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由橢圓離心率的公式計算.
【詳解】橢圓滿足，
則該橢圓的離心率.
.
難點：數形結合的運用
示例1：（24-25高二上·浙江溫州·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于兩點，若且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作，結合條件可得，結合橢圓定義求出，在，中，分別由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案.
【詳解】如圖，，垂足為，
因為，所以，為的中點，
，，
，
，整理得，
所以，即，
，
，
在中，，在中，，
，
化簡整理得，
，解得或，又，
.
.

【題型1：橢圓的幾何性質】
例1．（24-25高二上·山東濱州·階段練習）橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標準方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根據已知列方程結合計算得出再結合橢圓的交點所在軸即可判斷.
【詳解】因為 ,
又因為，
所以,
,
解得,
橢圓焦點在x軸時，橢圓的標準方程為：;
橢圓焦點在y軸時，橢圓的標準方程為：.
.
變式1．（21-22高二上·廣東湛江·期中）已知橢圓的兩個焦點分別為，上的頂點為P，且，則此橢圓長軸為（　　）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【分析】根據焦點坐標得到c，再由得到a，c的關系求解.
【詳解】因為橢圓的兩個焦點分別為，則，
又上頂點為P，且，所以，所以，故長軸長為12.
變式2．（2024·江西·模擬預測）橢圓的長軸長與焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據橢圓的標準方程求出，再求長軸長與焦距之差.
【詳解】由題得，，所以，，
所以長軸長，焦距，
所以長軸長與焦距之差等于 ．
變式3．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先得到，即可求出，再由離心率公式求出，最后再求出長軸長.
【詳解】因為，
依題意可得，
所以，
則離心率，解得，則，
所以橢圓的長軸長為.
變式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由離心率公式首先求得參數的值，進一步可得以及長軸長.
【詳解】因為方程表示橢圓，所以，
從而，解得，
所以，則橢圓的長軸長為.
.
變式5．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】根據離心率的公式，求解，再根據方程求橢圓的長軸長.
【詳解】由條件可知，，，則，
由條件可知，，得，
所以，橢圓的長軸長.
變式6．（多選）（23-24高二下·四川雅安·開學考試）已知橢圓，則（ ）
A．橢圓的長軸長為 B．橢圓的焦距為12
C．橢圓的短半軸長為 D．橢圓的離心率為
【答案】AD
【分析】利用橢圓的標準方程分析其性質即可得解.
【詳解】因為橢圓，所以，
且橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的長軸長為，焦距為，短半軸長為，離心率．
D
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若，則的短軸長為 .
【答案】
【分析】由題意可得為等腰直角三角形，又，計算可求，可求的短軸長.
【詳解】設，易知，
結合，可知為等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以的短軸長為.
故答案為：.
變式8.（24-25高二上·上海·課堂例題）若方程表示長軸長為10的橢圓，則實數m的值為 ．
【答案】0或9
【分析】根據方程的形式，結合長軸概念，分類討論得出結果.
【詳解】當焦點在x軸上時，有解得；
當焦點在y軸上時，有解得．
綜上，實數m的值為0或9．
故答案為：0或9.
【題型2：點與橢圓的位置關系】
例2．（24-25高二上·全國·課堂例題）已知直線與圓沒有公共點，則點與橢圓的位置關系是（ ）
A．在橢圓內 B．在橢圓外
C．在橢圓上 D．不確定
【答案】A
【分析】由直線與圓沒有公共點得，再利用放縮法得，可判斷點與橢圓的位置關系.
【詳解】直線與圓沒有公共點，
圓心到直線的距離，即，
，
又，
點在橢圓內部.
.
變式1．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）點與橢圓的位置關系為（ ）
A．點在橢圓上 B．點在橢圓內
C．點在橢圓外 D．不確定
【答案】C
【分析】將點代入橢圓即可求解.
【詳解】由于，所以在內，
變式2．（19-20高二·全國·課后作業）若點在橢圓的外部，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據題中條件，得到，求解，即可得出結果.
【詳解】因為點在橢圓的外部，
所以，即，解得或.
.
變式3．（19-20高二·全國·課后作業）點在橢圓的內部，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得，解不等式即可得解.
【詳解】因為點在橢圓的內部，所以有，即，
解得，則的取值范圍是．
.
【點睛】本題考查點與橢圓的位置關系，側重考查對基礎知識的理解和掌握，屬于常考題.
變式4．(多選)（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知直線與圓相切，橢圓，則（ ）
A．點在圓O內 B．點在圓O上
C．點在橢圓C內 D．點在橢圓C上
【答案】CC
【分析】首先根據直線與圓相切的公式，得到，即可判斷點與圓，以及點與橢圓的位置關系.
【詳解】由直線與圓相切，可知，圓心到直線的距離，
即，所以點在圓O上，
并且，所以圓在橢圓內，在橢圓內.
C
變式5．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）點在橢圓的內部，則的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CC
【分析】由點與橢圓的位置關系得出的值.
【詳解】由題意知，解得．
C
變式6．（23-24高二上·廣東佛山·期末）設、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓上滿足的點的個數為 ．
【答案】
【分析】分析可知，點在圓上，聯立圓與橢圓的方程，求出公共解的個數即可.
【詳解】在橢圓中，，，則，
若，易知原點為的中點，則，
所以，點在以原點為圓心，半徑為的圓上，即點在圓上，
聯立，可得，即點或，
即滿足條件的點的個數為.
故答案為：.
變式7．（20-21高二·全國·課后作業）若點在橢圓的內部，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由在橢圓的內部有，即可求參數m的范圍.
【詳解】∵點在橢圓的內部，
∴，整理得，解得．
故答案為：
變式8．（20-21高二上·全國·課后作業）已知點(3，2)在橢圓上，則點(-3，3)與橢圓的位置關系是 .
【答案】點在橢圓外
【分析】由已知得=1，繼而有，由此可得答案.
【詳解】解：因為點(3，2)在橢圓上，所以=1，又，所以，故點(-3，3)在橢圓外.
故答案為：點在橢圓外.
【方法技巧與總結】
點P(x0，y0)與橢圓＋1(a>b>0)的位置關系：
點P在橢圓上 ＋1；
點P在橢圓內部 ＋<1；
點P在橢圓外部 ＋>1.
【題型3：離心率取值問題】
例3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知點F，A，B分別是橢圓的左焦點、右頂點和上頂點，AB的中點為M，若，則橢圓的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，作出圖形，取的中點，連接，分別求出和，利用余弦定理即可求得離心率.
【詳解】如圖，取的中點，連接,則易得，，

在中，，則,又，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，，
解得或（舍去），則.
故選:B.
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點為為在第一象限的兩個動點，且，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合橢圓定義在中由余弦定理求得 ，同理在中利用余弦定理可得，再由可得關系，進而得離心率.
【詳解】連接，設，則，
在中，由余弦定理可得
，
即，
解得，即 .
由可知，
在中利用余弦定理可得
，
同理可解得，
又因為，即，
所以．
.
變式2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用橢圓的定義結合勾股定理，易得等式求出離心率.
【詳解】由橢圓定義得：，又因為，
所以解得：，
再由于，，結合勾股定理可得：
，解得，所以橢圓的離心率為，
.
變式3．（24-25高二上·河北邯鄲·階段練習）設橢圓的左右焦點為，，右頂點為，已知點在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知條件求出點坐標，代入中形成齊次方程，解出離心率即可.
【詳解】

如圖：由題意不妨設在第一象限，知 ，
因為，所以 ，
所以，
則，且，即，
又由，所以，又，即，
結合解得，
代入中，整理得，
即，解得（舍）或.
.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）設橢圓的左、右焦點分別為，點在上（位于第一象限），且點關于原點對稱，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據對稱以及垂直可證四邊形是矩形，即可根據橢圓定義，以及勾股定理求解，根據得，即可求解離心率.
【詳解】點關于原點對稱，所以線段互相平分，故四邊形為平行四邊形，
又，故，所以四邊形是矩形，故，其中，
設，則，由，得，整理得，
由于點在第一象限，所以，
由，得，即，
整理得，即，解得．
變式5.（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的右焦點為，上、下頂點分別為，，點在以為直徑的圓上，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得點在以為直徑的圓上，在以為直徑的圓上，進而可得，即可得橢圓離心率.
【詳解】
由易知，點在以為直徑的圓上，
又在以為直徑的圓上，則，且，，
可知，所以，
結合可得，，
解得，
.
變式6．（24-25高二上·湖南·階段練習）已知橢圓的左，右焦點分別為，過原點的直線與相交于，兩點，若且，則橢圓的離心率為 ．
【答案】
【分析】根據橢圓對稱性以及可得，根據勾股定理可得，即可代入求解，結合已知條件得到，即可求解.
【詳解】因為過原點的直線與相交于，兩點，,故四邊形為矩形，故，又，，
所以，則，
又，
即，且，
解得，（由于，故舍去）
結合，故，即
又，
因此，故，解得，
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：由解方程得到，結合橢圓定義得到，聯立可得.
變式7．（24-25高二上·陜西寶雞·階段練習）如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，是橢圓的頂點，是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率是 ．

【答案】
【分析】利用橢圓性質寫出焦點以及頂點坐標，再由軸，即可得，可求得離心率為.
【詳解】根據題意設橢圓的標準方程為，
如圖所示則有，
直線方程為，代入方程可得，所以，
又，所以，
即，整理可得；
所以，即，
即可得橢圓的離心率為.
故答案為：
變式8．（2024高二上·全國·專題練習）已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【分析】利用橢圓的定義，通過假設一條焦半徑長，就可以得到其他焦半徑的表示，再利用勾股定理來消元假設的字母，最后利用一個角和余弦定理來建立一個的齊次式，求解離心率.
【詳解】令橢圓：（）的半焦距為，
設，則，由點在軸上，
，得，
而，，因此，
即，解得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，而，
所以橢圓的離心率為．
故答案為：．
【方法技巧與總結】
1．橢圓的離心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e，求出后求e.
(2)將條件轉化為關于a，b，c的關系式，利用b2a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構造關于(e)的方程求e.
2．求離心率范圍時，常需根據條件或橢圓的范圍建立不等式關系，通過解不等式求解，注意最后要與區間(0,1)取交集．
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，點為直線上一點，若點在線段的垂直平分線上，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得，若點在線段的垂直平分線上，可得，即，運算求解即可.
【詳解】由題意可知：，
因為點為直線上一點，則，
若點在線段的垂直平分線上，可得，
則，整理可得，即，
所以的離心率的取值范圍是.
.
變式1．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知橢圓上一點關于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設橢圓的左焦點為，根據，得到四邊形為為矩形，再由，結合橢圓的定義得到，然后由求解.
【詳解】設橢圓的左焦點為，
因為，所以四邊形為為矩形，所以，
因為，
所以，，則，
由橢圓的定義得，
所以，
因為，所以，
所以，
其中
，
所以，
所以.
變式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓，為橢圓上一動點（不含左右端點），左右端點為，則離心率e的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將條件中的不等式用坐標表示，再結合橢圓方程化簡不等式，即可求解橢圓的離心率的范圍.
【詳解】設，，，，
，
由題意可知，，即，得，
則.
變式3．（23-24高二下·浙江·開學考試）已知點是橢圓的左頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于另一點（點在第一象限）．以原點為圓心，為半徑的圓在點處的切線與軸交于點．若，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可推得要使，只需，由此設直線方程，并聯立橢圓方程，求出點的坐標，進而得到，令，，即可得到的不等關系，求得答案.
【詳解】要使，只要，只要，
因為直線的斜率為，
即只要，
設直線方程為：，
聯立，整理可得：
因為為方程的一個根，
故，
所以點，
可得，
由于，故，
令，可得，
可得，可得離心率，
所以離心率的取值范圍是．
．
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
變式4．（23-24高二下·河北保定·開學考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，由橢圓的定義，分別表示出，再由橢圓的離心率公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意得則，
由，得，
即，得．
故的離心率的取值范圍為．
變式5．（23-24高二上·浙江麗水·期末）設橢圓與橢圓的離心率分別為，若，則（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】A
【分析】由橢圓的離心率，結合橢圓的性質及對勾函數的單調性求解．
【詳解】已知橢圓與橢圓的離心率分別為，，
又，
則，，
則，
設，，
則根據對勾函數知在為減函數，在為增函數，
則,，
則，
即的最大值為，無最小值．
．
變式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知橢圓的長軸長大于，當m變化時直線與C都恒過同一個點，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出直線所過的定點，由題，此定點也在橢圓上，從而得出a，b，c的關系，用離心率表示出a，再由題目中長軸長的范圍列出關于離心率的不等式，求解即可.
【詳解】直線即，該直線過定點，所以點在C上，，即，
設，則，
所以 ，
因為C的長軸長大于，所以，，
所以，解得，所以：.
.
變式7．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線上上存在一點滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由可得，又點在右準線上可得，解關于的一元二次不等式，結合即可求得結果.
【詳解】取的中點Q，連接，如圖所示，
則，所以，
所以，所以為等腰三角形，
即，且，所以，
又因為點在右準線上，
所以，即，
所以，即，解得或，
又，所以，
故答案為：.
變式8．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是上的一點，直線的方程為，且于．若四邊形為平行四邊形，求的離心率的取值范圍．
【答案】
【分析】利用條件設P表示Q，由平行四邊形的性質及橢圓的性質得出不等關系計算即可.
【詳解】注意到直線，設，則，
又四邊形為平行四邊形，所以，
即，所以，解得，
故的離心率的取值范圍為．
【方法技巧與總結】
橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
【題型5：直線與橢圓的位置關系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直線：與橢圓：的一個交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將直線方程與橢圓方程聯立解方程即可得出答案.
【詳解】由可得，解得或
當時，，當時，
所以直線與橢圓的交點坐標為
變式1．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知直線與橢圓有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直線l和橢圓C有公共點，聯立直線方程和橢圓方程消去y便可得到關于x的一元二次方程，方程有解，從而有判別式，即可解出m的取值范圍．
【詳解】直線代入橢圓方程消去y得：；
∵直線與橢圓有公共點，方程有解，
∴；
解得，即m的取值范圍為.
變式2．（23-24高二上·全國·課后作業）直線與橢圓的公共點的個數是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．無數個
【答案】D
【分析】聯立直線與橢圓的方程消去y，再利用判別式判斷作答.
【詳解】由消去y并整理得，顯然，
所以直線與橢圓相交，有2個公共點.
變式3．（21-22高二上·全國·課后作業）直線與橢圓的位置關系是（　　）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】C
【分析】根據橢圓的方程求得短軸的右頂點為，進而得到直線與橢圓的位置關系.
【詳解】由橢圓的方程，可得，即橢圓的短軸的右頂點為，
所以直線與橢圓相切.
.
變式4．（21-22高二上·全國·課前預習）直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】D
【分析】代數法聯立直線與橢圓，轉化為二次方程根的問題來判斷即可.
【詳解】聯立，
則
所以方程有兩個不相等的實數根，
所以直線與橢圓相交
.
變式5．（23-24高二上·上海寶山·期中）若直線與橢圓恒有公共點，則實數m的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據直線方程寫出其所過定點，結合其與橢圓的位置關系，可得答案.
【詳解】由直線，則可知其過定點，
易知當該點在橢圓內或橢圓上時，直線與橢圓恒有公共點，
則，解得且.
故答案為：且.
變式6．（23-24高二上·重慶·階段練習）已知橢圓：的焦距為4，且經過點.
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)若直線與橢圓M相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由焦距、所過點求橢圓參數，即可得方程；
（2）由平行關系設直線方程：，聯立橢圓方程得，利用相切關系有求參數，即可得直線方程.
【詳解】（1）由題意得，得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設與平行的：，
由，得，
由，得，則：.
變式7．（23-24高二上·上海·課后作業）已知直線與橢圓相交于不同兩點，求實數的取值范圍．
【答案】或
【分析】聯立直線與橢圓方程，利用判別式大于，解不等式可得結果.
【詳解】聯立，消去并整理得，
依題意得，即，
解得或.
【方法技巧與總結】
直線ykx＋m與橢圓＋1(a>b>0)的位置關系，判斷方法：
聯立消y得一元二次方程．
當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當Δ0時，方程有一解，直線與橢圓相切；
當Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．
【題型6：弦長問題】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直線被橢圓截得的弦長為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】求出交點得縱坐標即可得解.
【詳解】令，得，解得，
所以直線被橢圓截得的弦長為.
.
變式1．（23-24高二上·全國·單元測試）過橢圓的右焦點且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，則等于（　　）
A．4 B．2
C．1 D．4
【答案】D
【分析】根據橢圓的方程，求得橢圓的右焦點的坐標為，將，代入橢圓的方程，進而求得弦長.
【詳解】因為橢圓，可得，所以，
所以橢圓的右焦點的坐標為，
將，代入橢圓的方程，求得，所以.
.
變式2．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知直線與橢圓C：相交于A、B兩點，O為坐標原點．當的面積取得最大值時， ．
【答案】
【分析】聯立直線與橢圓的方程，得到韋達定理，建立的面積表達式，結合基本不等式求解出時，的面積取得最大值,再求出此時的的值.
【詳解】由，得，需滿足，
設，，則，，
．
又O到直線AB的距離，
則的面積，
當且僅當，即時，的面積取得最大值．
此時，．
故答案為：
變式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直線與橢圓交于兩點，則 .
【答案】/
【分析】聯立直線和橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式求出答案.
【詳解】聯立與，得，
設，
則，
故.
故答案為：
變式4．（22-23高二·全國·課后作業）直線與橢圓相交于A、B兩點，則 ．
【答案】
【分析】本題先聯立直線與橢圓方程，消去，整理可得一元二次方程，解得坐標，進而根據兩點間距離公式即可求解.
【詳解】聯立，消去，整理得，解得，
因此 ，
故.
故答案為：.
變式5．（22-23高二上·北京豐臺·期末）過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得線段的長度為 ．
【答案】3
【分析】根據題意即求通徑大小，先求，令代入橢圓方程求得即可得解.
【詳解】由，故，
不妨令，代入可得，
所以，故弦長為.
故答案為：3
變式6．（21-22高二·全國·課后作業）已知經過橢圓C：的焦點且與長軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，求的面積．
【答案】.
【分析】由題可得橢圓焦點坐標，進而可求，再利用面積公式即求.
【詳解】由題可得，不妨設，
將代入，可得，
解得，
不妨令，則，
∴的面積為.
變式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知橢圓的右焦點為，且經過點
(1)求橢圓C的標準方程：
(2)經過橢圓C的右焦點作傾斜角為的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點，求線段MN的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓右焦點，且過點，從而可求解.
（2）根據題意求出直線方程為，與橢圓方程聯立后，利用根與系數關系從而可求解.
【詳解】（1）由題意得，
解得，
故橢圓的標準方程為．
（2）由題意可得直線的方程為，
與橢圓方程聯立，得，
設，，則，
故
．
變式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知橢圓的一個焦點為，四個頂點構成的四邊形面積等于12.設圓的圓心為為此圓上一點.
(1)求橢圓的離心率；
(2)記線段與橢圓的交點為，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據四邊形面積得到，結合焦點坐標，求出，得到離心率；
（2），設，得到，結合，求出的取值范圍，得到的取值范圍.
【詳解】（1）由題意得，且，即，
解得，
所以橢圓的離心率.
（2）由題意，得.
設，則.
所以，.
因為，
所以當時，；當時，.
所以的取值范圍為.
【方法技巧與總結】
1.定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．
2.求弦長的方法
①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．
②根與系數的關系法：
如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：
|AB| ·
【題型7：中點弦問題】
例7．（24-25高二上·山東濱州·階段練習）已知是直線l被橢圓所截得的線段的中點，則直線l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設出直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理用表示中點坐標，結合已知中點坐標解關于的方程可得解.
【詳解】當直線的斜率不存在時，由對稱性可知被橢圓截得線段的中點在軸上，不合題意；
故可設直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，
，
有，，解得，
所以直線的方程為，即.
.
變式1．（23-24高二上·天津·階段練習）已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設出直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理用表示中點坐標，結合已知中點坐標解關于的方程可得
【詳解】當直線斜率不存在時，
由對稱性可知，此時直線被橢圓所截得的線段AB的中點在軸上，
而已知是線段AB的中點，不在軸上，不滿足題意.
故直線斜率存在，可設斜率為，則直線的方程為，
即，
代入橢圓的方程化簡得，
所以，解得，
故直線方程為，即.
.
變式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率為的直線與橢圓相交于兩點，的中點為，則 ．
【答案】/
【分析】根據題意，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理代入計算，即可求解.
【詳解】設直線的方程為，代入橢圓方程，
可得，
由韋達定理可得，
則，
則，則，
所以.
故答案為：
變式3．（23-24高二下·重慶·階段練習）過橢圓的右焦點的直線交該橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為，則橢圓E的離心率為 ．
【答案】/
【分析】求出直線的方程，與橢圓方程聯立結合弦的中點坐標求解即得.
【詳解】依題意，，所以直線的方程為，
由消去并整理得，
由弦AB的中點為，得，解得，
由可得上述關于的一元二次方程，

所以橢圓E的離心率為.
故答案為：
變式4．（23-24高二上·山東青島·階段練習）已知直線與橢圓和交于A，B兩點，且點平分弦AB，則m的值為 ．
【答案】3
【分析】利用點差法，結合橢圓方程和直線方程，即可求得結果.
【詳解】設坐標為，則，
作差可得，則，
根據題意可得，，則，解得.
當時，聯立，可得，
其，滿足題意；故.
故答案為：.
變式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知橢圓的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點為，則直線的斜率為 ．
【答案】
【分析】根據中點坐標公式、橢圓離心率公式，結合點差法進行求解即可.
【詳解】設，，則的中點坐標為，
由題意可得，，
將，的坐標的代入橢圓的方程：，
作差可得，
所以，
又因為離心率，，所以，
所以，即直線的斜率為，
故答案為：.
變式6．（24-25高二上·上海·課堂例題）在直角坐標系xOy中，橢圓C：的焦距為，長軸長是短軸長的2倍，斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A、B．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若P為線段AB的中點，設OP的斜率為，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意，利用焦距，長軸，短軸間關系可得答案；
（2）設，，，將A，B兩點代入橢圓方程可得及表達式，即可得答案.
【詳解】（1）設半焦距為c，長半軸為a，短半軸為b，依題意可知 ， 解得.
故橢圓的標準方程為；
（2）證明：設，，，則，．
把，代入橢圓方程得：.
兩式相減可得，即．又，
則，故為定值．
變式7．（23-24高二下·北京·開學考試）已知橢圓的離心率，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4.若直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若線段中點的縱坐標，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據已知條件及橢圓的簡單幾何性質即可求解；
（2）根據已知條件設出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯立方程組，利用韋達定理及中點坐標公式，結合線段中點在直線上即可求解.
【詳解】（1）由題意可知,解得，
因為，
所以，
所以，解得.
所以橢圓的方程為.
（2）由題意可知直線斜率存在，如圖所示
設，設，
消得，，
所以，解得.
,
設線段中點的坐標為，
所以
,
又因為線段中點的縱坐標，
所以，解得，
所以直線方程為，即.
【方法技巧與總結】
解決橢圓中點弦問題的兩種方法：
（1）根與系數關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決；
（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和
【題型8：解答題匯總】
例8．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓C：經過點，、是橢圓C的左、右兩個焦點，，P是橢圓C上的一個動點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點P在第一象限，且，求點P的橫坐標的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）依題意得焦點坐標，再利用橢圓的定義求得，進而求得即可；
（2）設，從而可求得，再把代入求解即可.
【詳解】（1）由已知得，，
，，，
同理，
，
，，
橢圓的標準方程為．
（2）設，且，則，，
．
由橢圓方程可得，
整理得，所以，
即點的橫坐標的取值范圍是．
變式1．（23-24高二上·安徽亳州·階段練習）已知，在橢圓C：上，，分別為C的左、右焦點．
(1)求a，b的值及C的離心率；
(2)若動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側，求四邊形的面積的取值范圍．
【答案】(1)，，離心率為
(2)
【分析】（1）待定系數法求出橢圓方程，并求出離心率；
（2）在（1）的基礎上求出，結合P，Q在x軸的兩側，表達出四邊形的面積并求出取值范圍.
【詳解】（1）因為，在橢圓C：上，
所以,解得，，
所以，C的離心率為；
（2）由（1）得，，
故，
因為動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側，
所以四邊形的面積，
當且僅當P，Q分別為上頂點和下頂點時，等號不成立.
變式2．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑是的圓為橢圓的“準圓”．已知橢圓的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．
(1)求橢圓和其“準圓”的方程；
(2)若點，是橢圓的“準圓”與軸的兩交點，是橢圓上的一個動點，求的取值范圍．
【答案】(1)橢圓的方程為，其“準圓”方程為；
(2).
【分析】（1）根據已知求橢圓方程中的參數，即得橢圓方程，再由“準圓”定義寫出對應“準圓”的方程；
（2）設，寫出，坐標，應用向量數量積的坐標表示得，結合是橢圓上及其有界性，即可求范圍.
【詳解】（1）由題意知，且，可得，
故橢圓的方程為，其“準圓”方程為．
（2）由題意，設，則有，
不妨設 ，，所以，，
所以，又，則，
所以的取值范圍是．

變式3．（23-24高二上·浙江嘉興·階段練習）已知橢圓的離心率為，焦距為，斜率為k的直線與橢圓M有兩個不同的交點A，B.
(1)求橢圓M的方程；
(2)若直線過橢圓上頂點，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得，解出，進而求解.
（2）由題意可得直線的方程，將其與橢圓方程聯立后，再結合韋達定理及弦長公式求解即可.
【詳解】（1）由題意得，，
解得，，，
∴橢圓M的方程為.
（2）因為，橢圓上頂點為，
所以直線的方程為，設，.
聯立，得，
又直線與橢圓有兩個不同的交點，
所以，∴，，
∴.

變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，長軸長與短軸長之和為6.
(1)求的方程；
(2)設為上一點，.若存在實數使得，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意結合離心率列式解得，即可得橢圓方程；
（2）根據橢圓定義可得，根據兩點間距離公式結合橢圓方程列式求解即可.
【詳解】（1）因為橢圓的長軸長與短軸長之和為6，則，即①，
又因為，結合可得②，
聯立①②解得，所以的方程為.
（2）設，則，
因為存在實數使得，即，
可得，
又因為，則，可得，
所以的取值范圍為.
變式5．（23-24高二下·江蘇南京·開學考試）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為，且.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，點為直線上一點，以為圓心的圓同時與軸和直線相切，且，求橢圓的標準方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，由求解；
（2）設橢圓方程為，直線l的方程為，聯立，得到，由圓心C在直線上，設，再根據求解.
【詳解】（1）
設橢圓的半焦距為，由已知得，，
又由，消去得，解得，
所以，橢圓的離心率為.
（2）由（1）知，，故橢圓方程為，
由題意，，則直線的方程為，
點的坐標滿足，消去并化簡，得到，
解得，代入到的方程，解得，
因為點在軸的上方，所以，
由圓心在直線上，可設，
由（1）知，則，又，
，即，解得，即.
因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，
由圓與相切，得圓心到直線的距離，解得，
故，所以橢圓的方程為：.
【點睛】思路點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業）若橢圓的左、右焦點分別為，，線段被點分成的兩段，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知條件可列出等量關系式，結合和離心率公式即可求解
【詳解】依題意得，解得，
所以，所以.
.
2．（23-24高二上·云南曲靖·階段練習）橢圓的焦距為（ ）
A． B．4 C．8 D．16
【答案】A
【分析】由橢圓的標準方程及焦距的定義即可得解.
【詳解】由，得，
所以焦距為．
．
3．（2024·廣東·模擬預測）已知橢圓的離心率為，則（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先分別表示出，結合離心率公式列出方程即可求解.
【詳解】，解得.
.
4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知橢圓的方程為，則該橢圓的（ ）
A．長軸長為2 B．短軸長為 C．焦距為1 D．離心率為
【答案】A
【分析】利用橢圓的標準方程求出即可判斷選項的正誤.
【詳解】由橢圓的方程可知：焦點在軸上，即，
則.
所以長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為.
5．（24-25高二上·江西贛州·階段練習）在中，，已知點 ，，設點到直線的最大距離為，點到直線的最大距離為，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正弦定理進行邊角互化，可知點的軌跡及，，即可得解.
【詳解】由已知，，則，
由，再由正弦定理可知，
所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為得橢圓，不含左、右頂點，
所以當且僅當點是橢圓的上、下頂點時，
點到直線的距離最大為，
當時，點到直線的距離最大為，
所以，
.
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，若四邊形的周長為12，則橢圓的短半軸長為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．6
【答案】D
【分析】根據給定條件，可得，再由四邊形周長求出即可得解.
【詳解】依題意，，由橢圓對稱性，得線段互相平分于原點，
則四邊形為平行四邊形，
由橢圓的定義得，解得，
所以橢圓的短半軸長.

7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知是橢圓在第一象限上的點，且以點及焦點為頂點的三角形面積等于1，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先設點的坐標，再應用面積公式計算參數即可.
【詳解】設，由題知，，所以，
又，所以，將其代入1，解得，
所以，
故選:B.
8．（24-25高二上·全國·課后作業）橢圓的焦距是2，則m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．不存在
【答案】D
【分析】分焦點在軸和軸上兩種情況求解即可.
【詳解】∵，∴．
當橢圓的焦點在x軸上時，，，．
∴，．
當圓的焦點在y軸上時，，，
∴，∴．
綜上，m的值是3或5．
二、多選題
9．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）關于方程，下列說法正確的是（ ）
A．若，則該方程表示橢圓，其焦點在y軸上
B．若，則該方程表示圓，其半徑為
C．若，則該方程表示橢圓，其焦點在x軸上
D．若，則該方程表示兩條直線
【答案】ACD
【分析】AC選項，化為標準方程，結合橢圓的特征得到答案；B選項，化為，得到B正確；D選項，化為，故D正確.
【詳解】對于A，若，則可化為，
因為，所以，即該方程表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；
對于B，若，則可化為，此時該方程表示圓心在原點，半徑為的圓，故B錯誤；
對于C，，則可化為，
由于，所以，故該方程表示焦點在x軸上的橢圓，故C正確；
對于D，若，則可化為，即，
此時該方程表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．
CD
10．（24-25高二上·全國·課后作業）阿基米德是古希臘數學家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據此得某橢圓面積為，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則由題意可得，，再結合可求出，從而可求得橢圓方程.
【詳解】設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，
則由題意可知，又，
解得，，，
所以橢圓的標準方程為或．
D
11．（23-24高二下·云南保山·階段練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，若的最小值為4，則（ ）
A．橢圓的短軸長為
B．的最大值為8
C．離心率為
D．橢圓上不存在點，使得
【答案】CD
【分析】根據通徑可得，即可求解A，根據橢圓定義結合焦點三角形的性質即可求解B，根據離心率公式即可求解C，根據余弦定理求解最大角，即可求解D.
【詳解】
易知當軸時，即線段為通徑時，最短，，解得，橢圓方程為，
對于，橢圓的短軸長為，故A錯誤；
對于，因為的周長為，且，故B正確；
對于C， 離心率，故C錯誤；
對于，易知當點位于短軸頂點時，最大，此時，又為三角形內角，橢圓上不存在點，使得，故D正確，
故選:BD.
三、填空題
12．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，若直線與交于兩點，且，則的方程為 ．
【答案】
【分析】利用橢圓性質先確定四邊形是矩形，再由橢圓定義計算即可.
【詳解】

易知是的中點，又，所以四邊形是矩形，故，
結合可得，，由橢圓的定義可知，，
又知，由兩邊平方得，，
即，解得，所以，所以的方程為．
故答案為：
13．（24-25高二上·全國·課后作業）已知點在橢圓上，點在直線上，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】設出于直線平行的直線的方程并與橢圓方程聯立，利用判別式求得直線的方程，再根據兩平行線間的距離公式即可得解.
【詳解】如圖，由直線的方程與橢圓的方程可以知道，直線與橢圓不相交．
設與直線平行的直線與橢圓相切，

由，得，
則，解得，
由圖可知，當時，直線與橢圓的切點到直線的距離最近，
又直線與直線間的距離，
所以.
故答案為：##.
14．（24-25高二·上海·隨堂練習）如圖所示，某探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為左焦點、長軸長為40萬公里、短軸長為4萬公里的橢圓軌道繞月飛行，之后衛星在點P第二次變軌進入仍以F為左焦點、長軸長為20萬公里的橢圓軌道繞月飛行，則橢圓軌道的短軸長為 萬公里．（近似到0.1）
【答案】2.8
【分析】根據題意，可得橢圓的半長軸，半短軸，根據的關系，可求得的值，即可求得，又橢圓的中，，可求得的值，進而可求得的值，即可得答案.
【詳解】設橢圓的長軸長，短軸長，焦距為，，；
設橢圓的長軸長，短軸長，焦距為，，．
因此，，，
所以，
又，所以，
所以，
故橢圓軌道的短軸長為2.8萬公里．
故答案為：2.8
四、解答題
15．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）分別求滿足下列各條件的橢圓的標準方程．
(1)已知橢圓的離心率為，短軸長為；
(2)橢圓與有相同的焦點，且經過點，求橢圓的標準方程.
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由題意得，解出該方程組即可由橢圓焦點在x軸上或在y軸上得解；
（2）先求出橢圓焦點即可得橢圓焦點坐標為，進而可設圓方程為且，解出和即可得解.
【詳解】（1）由題得，
所以橢圓的標準方程為或.
（2）橢圓滿足，故該橢圓焦點坐標為，
因為橢圓與有相同的焦點，且經過點，
所以可設橢圓方程為，且，解得，
故，解得（舍去）或，故.
所以橢圓的標準方程為.
16．（2024高二上·江蘇·專題練習）已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經過點，過點的直線交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓方程；
(2)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點使得恒不成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由焦距是4求出，將代入橢圓方程求出，得到答案；
（2）根據題意有，轉化為，由第二問代入運算得解.
【詳解】（1）由題意，，將點代入橢圓方程得，解得，，
所以橢圓的方程為.
（2）在軸上存在點使得，理由如下：
設,直線，
聯立與橢圓可得，
則，
因為，所以，即，
整理得，即，
即，
則，又，解得，
所以在軸上存在點使得.
17．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）已知圓在橢圓里.過橢圓上頂點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為.
(1)求的取值范圍；
(2)是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在滿足條件的圓，其方程為
【分析】（1）根據，即可根據點點距離公式求解，
（2）根據點斜式得直線，方程，利用相切以及點到直線距離公式得直線的方程為，利用與圓相切，即可列方程求解.
【詳解】（1）設為橢圓上任意一點，則，，
則.
則.故.
（2）由題意可知，設，因為，故切線的斜率都存在.
又直線的方程為，即為，
同理直線的方程為.

則，故.
而，故，又因為.
故，同理：.
故直線的方程為.
若直線與圓相切，則，令.
故，即.
故或或，
因為，所以不滿足，
故存在滿足條件的圓，其方程為
【點睛】關鍵點點睛：根據直線，方程，利用相切以及點到直線距離公式可得滿足，可得直線的方程為，即可利用相切以及距離公式列方程求解.
18．（24-25高三上·山東泰安·開學考試）設橢圓的左右焦點分別為，，點在C上，且軸．
(1)求C的方程．
(2)過左焦點作傾斜角為80°的直線l．直線l與C相交于A，B兩點，求的周長和面積．
【答案】(1)
(2)周長為，面積為
【分析】（1）由且求出，由橢圓的定義求出，即可得到橢圓的方程；
（2）聯立直線與橢圓方程，利用根與系數的關系求出的值，由弦長公式求出，由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，即可求出的面積.
【詳解】（1）由已知軸且，知，，
由橢圓的定義，
所以，，的方程為.
（2）可知直線的斜率，的方程為.
設，聯立方程組， 消去得，
可得，可得，
點到直線的距離，
所以的周長為，.
19．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）如圖，都是橢圓的頂點，從上一點向軸作垂線，垂足為焦點，且．

(1)求的離心率；
(2)若的面積比的面積大，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得，求出，，又，即可得到，，進而求出離心率；
（2）由題意，，結合圖形可得，解得，，得出橢圓方程.
【詳解】（1）由題意可得，
，．
由，，解得，，
故橢圓的離心率為．
（2）由題意，
又因為，，
所以，
化簡得
又因為，
所以，
解得，，
所以橢圓.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是應用轉化思想注意圖形特征得出，再結合已知化簡計算求解得出，即可.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.5.2橢圓的幾何性質
課程標準 學習目標
1.掌握橢圓的幾何性質 2.了解橢圓的離心率對橢圓的扁平程度的影響. 3.掌握直線與橢圓的位置關系及其應用 1.重點:橢圓的幾何性質 2.難點:橢圓的幾何性質的理解和應用.
知識點01 橢圓的幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長 長軸長，短軸長
焦點 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|
對稱性 對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)
離心率 e(0【即學即練1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦點在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練2】（23-24高二上·四川德陽·階段練習）已知焦點在軸上的橢圓的焦距是2，則該橢圓的長軸長為 .
知識點02橢圓的離心率
1.定義：e.
2.離心率的范圍為：(0,1).
3.公式拓展：e=
4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.
【即學即練3】（21-22高二上·陜西銅川·期末）已知橢圓的短軸長為2，焦距為，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練4】（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習）若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（ ）
A． B． C． D．
難點：數形結合的運用
示例1：（24-25高二上·浙江溫州·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于兩點，若且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【題型1：橢圓的幾何性質】
例1．（24-25高二上·山東濱州·階段練習）橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標準方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
變式1．（21-22高二上·廣東湛江·期中）已知橢圓的兩個焦點分別為，上的頂點為P，且，則此橢圓長軸為（　　）
A． B． C．6 D．12
變式2．（2024·江西·模擬預測）橢圓的長軸長與焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．6
變式6．（多選）（23-24高二下·四川雅安·開學考試）已知橢圓，則（ ）
A．橢圓的長軸長為 B．橢圓的焦距為12
C．橢圓的短半軸長為 D．橢圓的離心率為
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若，則的短軸長為 .
變式8.（24-25高二上·上海·課堂例題）若方程表示長軸長為10的橢圓，則實數m的值為 ．
【題型2：點與橢圓的位置關系】
例2．（24-25高二上·全國·課堂例題）已知直線與圓沒有公共點，則點與橢圓的位置關系是（ ）
A．在橢圓內 B．在橢圓外
C．在橢圓上 D．不確定
變式1．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）點與橢圓的位置關系為（ ）
A．點在橢圓上 B．點在橢圓內
C．點在橢圓外 D．不確定
變式2．（19-20高二·全國·課后作業）若點在橢圓的外部，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（19-20高二·全國·課后作業）點在橢圓的內部，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4．(多選)（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知直線與圓相切，橢圓，則（ ）
A．點在圓O內 B．點在圓O上
C．點在橢圓C內 D．點在橢圓C上
變式5．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業）點在橢圓的內部，則的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
變式6．（23-24高二上·廣東佛山·期末）設、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓上滿足的點的個數為 ．
變式7．（20-21高二·全國·課后作業）若點在橢圓的內部，則實數的取值范圍是 ．
變式8．（20-21高二上·全國·課后作業）已知點(3，2)在橢圓上，則點(-3，3)與橢圓的位置關系是 .
【方法技巧與總結】
點P(x0，y0)與橢圓＋1(a>b>0)的位置關系：
點P在橢圓上 ＋1；
點P在橢圓內部 ＋<1；
點P在橢圓外部 ＋>1.
【題型3：離心率取值問題】
例3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知點F，A，B分別是橢圓的左焦點、右頂點和上頂點，AB的中點為M，若，則橢圓的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點為為在第一象限的兩個動點，且，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（24-25高二上·河北邯鄲·階段練習）設橢圓的左右焦點為，，右頂點為，已知點在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）設橢圓的左、右焦點分別為，點在上（位于第一象限），且點關于原點對稱，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式5.（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的右焦點為，上、下頂點分別為，，點在以為直徑的圓上，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（24-25高二上·湖南·階段練習）已知橢圓的左，右焦點分別為，過原點的直線與相交于，兩點，若且，則橢圓的離心率為 ．
變式7．（24-25高二上·陜西寶雞·階段練習）如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，是橢圓的頂點，是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率是 ．

變式8．（2024高二上·全國·專題練習）已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則橢圓的離心率為 ．
【方法技巧與總結】
1．橢圓的離心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e，求出后求e.
(2)將條件轉化為關于a，b，c的關系式，利用b2a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構造關于(e)的方程求e.
2．求離心率范圍時，常需根據條件或橢圓的范圍建立不等式關系，通過解不等式求解，注意最后要與區間(0,1)取交集．
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，點為直線上一點，若點在線段的垂直平分線上，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知橢圓上一點關于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓，為橢圓上一動點（不含左右端點），左右端點為，則離心率e的范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二下·浙江·開學考試）已知點是橢圓的左頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于另一點（點在第一象限）．以原點為圓心，為半徑的圓在點處的切線與軸交于點．若，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二下·河北保定·開學考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二上·浙江麗水·期末）設橢圓與橢圓的離心率分別為，若，則（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
變式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知橢圓的長軸長大于，當m變化時直線與C都恒過同一個點，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式7．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線上上存在一點滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為 ．
變式8．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是上的一點，直線的方程為，且于．若四邊形為平行四邊形，求的離心率的取值范圍．
【方法技巧與總結】
橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
【題型5：直線與橢圓的位置關系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直線：與橢圓：的一個交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知直線與橢圓有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二上·全國·課后作業）直線與橢圓的公共點的個數是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．無數個
變式3．（21-22高二上·全國·課后作業）直線與橢圓的位置關系是（　　）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
變式4．（21-22高二上·全國·課前預習）直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
變式5．（23-24高二上·上海寶山·期中）若直線與橢圓恒有公共點，則實數m的取值范圍是 ．
變式6．（23-24高二上·重慶·階段練習）已知橢圓：的焦距為4，且經過點.
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)若直線與橢圓M相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.
變式7．（23-24高二上·上海·課后作業）已知直線與橢圓相交于不同兩點，求實數的取值范圍．
【方法技巧與總結】
直線ykx＋m與橢圓＋1(a>b>0)的位置關系，判斷方法：
聯立消y得一元二次方程．
當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當Δ0時，方程有一解，直線與橢圓相切；
當Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．
【題型6：弦長問題】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直線被橢圓截得的弦長為（ ）
A． B． C．3 D．
變式1．（23-24高二上·全國·單元測試）過橢圓的右焦點且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，則等于（　　）
A．4 B．2
C．1 D．4
變式2．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知直線與橢圓C：相交于A、B兩點，O為坐標原點．當的面積取得最大值時， ．
變式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直線與橢圓交于兩點，則 .
變式4．（22-23高二·全國·課后作業）直線與橢圓相交于A、B兩點，則 ．
變式5．（22-23高二上·北京豐臺·期末）過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得線段的長度為 ．
變式6．（21-22高二·全國·課后作業）已知經過橢圓C：的焦點且與長軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，求的面積．
變式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知橢圓的右焦點為，且經過點
(1)求橢圓C的標準方程：
(2)經過橢圓C的右焦點作傾斜角為的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點，求線段MN的長．
變式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知橢圓的一個焦點為，四個頂點構成的四邊形面積等于12.設圓的圓心為為此圓上一點.
(1)求橢圓的離心率；
(2)記線段與橢圓的交點為，求的取值范圍.
【方法技巧與總結】
1.定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．
2.求弦長的方法
①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．
②根與系數的關系法：
如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：
|AB| ·
【題型7：中點弦問題】
例7．（24-25高二上·山東濱州·階段練習）已知是直線l被橢圓所截得的線段的中點，則直線l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二上·天津·階段練習）已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率為的直線與橢圓相交于兩點，的中點為，則 ．
變式3．（23-24高二下·重慶·階段練習）過橢圓的右焦點的直線交該橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為，則橢圓E的離心率為 ．
變式4．（23-24高二上·山東青島·階段練習）已知直線與橢圓和交于A，B兩點，且點平分弦AB，則m的值為 ．
變式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知橢圓的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點為，則直線的斜率為 ．
變式6．（24-25高二上·上海·課堂例題）在直角坐標系xOy中，橢圓C：的焦距為，長軸長是短軸長的2倍，斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A、B．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若P為線段AB的中點，設OP的斜率為，求證：為定值．
變式7．（23-24高二下·北京·開學考試）已知橢圓的離心率，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4.若直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若線段中點的縱坐標，求直線的方程.
【方法技巧與總結】
解決橢圓中點弦問題的兩種方法：
（1）根與系數關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決；
（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和
【題型8：解答題匯總】
例8．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓C：經過點，、是橢圓C的左、右兩個焦點，，P是橢圓C上的一個動點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點P在第一象限，且，求點P的橫坐標的取值范圍．
變式1．（23-24高二上·安徽亳州·階段練習）已知，在橢圓C：上，，分別為C的左、右焦點．
(1)求a，b的值及C的離心率；
(2)若動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側，求四邊形的面積的取值范圍．
變式2．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑是的圓為橢圓的“準圓”．已知橢圓的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．
(1)求橢圓和其“準圓”的方程；
(2)若點，是橢圓的“準圓”與軸的兩交點，是橢圓上的一個動點，求的取值范圍．
變式3．（23-24高二上·浙江嘉興·階段練習）已知橢圓的離心率為，焦距為，斜率為k的直線與橢圓M有兩個不同的交點A，B.
(1)求橢圓M的方程；
(2)若直線過橢圓上頂點，且，求的值.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，長軸長與短軸長之和為6.
(1)求的方程；
(2)設為上一點，.若存在實數使得，求的取值范圍.
變式5．（23-24高二下·江蘇南京·開學考試）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為，且.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，點為直線上一點，以為圓心的圓同時與軸和直線相切，且，求橢圓的標準方程.
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業）若橢圓的左、右焦點分別為，，線段被點分成的兩段，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·云南曲靖·階段練習）橢圓的焦距為（ ）
A． B．4 C．8 D．16
3．（2024·廣東·模擬預測）已知橢圓的離心率為，則（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知橢圓的方程為，則該橢圓的（ ）
A．長軸長為2 B．短軸長為 C．焦距為1 D．離心率為
5．（24-25高二上·江西贛州·階段練習）在中，，已知點 ，，設點到直線的最大距離為，點到直線的最大距離為，則 （ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，若四邊形的周長為12，則橢圓的短半軸長為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．6
7．（24-25高二上·全國·課后作業）已知是橢圓在第一象限上的點，且以點及焦點為頂點的三角形面積等于1，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二上·全國·課后作業）橢圓的焦距是2，則m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．不存在
二、多選題
9．（24-25高二上·江蘇徐州·開學考試）關于方程，下列說法正確的是（ ）
A．若，則該方程表示橢圓，其焦點在y軸上
B．若，則該方程表示圓，其半徑為
C．若，則該方程表示橢圓，其焦點在x軸上
D．若，則該方程表示兩條直線
10．（24-25高二上·全國·課后作業）阿基米德是古希臘數學家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據此得某橢圓面積為，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·云南保山·階段練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，若的最小值為4，則（ ）
A．橢圓的短軸長為
B．的最大值為8
C．離心率為
D．橢圓上不存在點，使得
三、填空題
12．（24-25高二上·全國·課后作業）已知橢圓的左、右焦點分別為，若直線與交于兩點，且，則的方程為 ．
13．（24-25高二上·全國·課后作業）已知點在橢圓上，點在直線上，則的最小值為 .
14．（24-25高二·上海·隨堂練習）如圖所示，某探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為左焦點、長軸長為40萬公里、短軸長為4萬公里的橢圓軌道繞月飛行，之后衛星在點P第二次變軌進入仍以F為左焦點、長軸長為20萬公里的橢圓軌道繞月飛行，則橢圓軌道的短軸長為 萬公里．（近似到0.1）
四、解答題
15．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）分別求滿足下列各條件的橢圓的標準方程．
(1)已知橢圓的離心率為，短軸長為；
(2)橢圓與有相同的焦點，且經過點，求橢圓的標準方程.
16．（2024高二上·江蘇·專題練習）已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經過點，過點的直線交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓方程；
(2)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點使得恒不成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由．
17．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）已知圓在橢圓里.過橢圓上頂點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為.
(1)求的取值范圍；
(2)是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由.
18．（24-25高三上·山東泰安·開學考試）設橢圓的左右焦點分別為，，點在C上，且軸．
(1)求C的方程．
(2)過左焦點作傾斜角為80°的直線l．直線l與C相交于A，B兩點，求的周長和面積．
19．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）如圖，都是橢圓的頂點，從上一點向軸作垂線，垂足為焦點，且．

(1)求的離心率；
(2)若的面積比的面積大，求的方程．
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