資源簡介

第03講 三角函數的定義
課程標準 學習目標
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及其應用； 2.會判斷三角函數在各象限的符號。 1.理解并掌握任意角的三角函數定義，會求給定角的三角函數值，重點培養數學抽象、數學運算核心素養； 2.借助任意角的三角函數定義，掌握三角函數在各象限的符號規律，重點提升邏輯推理等核心素養。
知識點01 任意角的正弦、余弦、正切的定義
1．任意角的三角函數
在平面直角坐標系中，設α的終邊上任意一點P的坐標是(x，y)，它與原點O的距離是r(r ＞0)．稱為角α的正弦，記作sinα；稱為角α的余弦，記作cosα，因此sinα，cosα.
當角α的終邊不在y軸上時，稱為角α的正切，記作tanα，即tanα
角α的正弦、余弦、正切都稱為α的三角函數.
2．三角函數定義域
正弦函數、余弦函數、和正切函數統稱為三角函數，通常記為：
正弦函數：
余弦函數：
正切函數：
【解讀】(1)三角函數的記號是一個整體，離開α的sin，cos，tan等是無意義的，如sin α表示的是一個比值而不是sin與α的積．
(2)因為角的集合與實數集之間可以建立 一一對應的關系，所以三角函數可以看成是自變量為實數的函數．
（3）當P(x，y)為α的終邊與單位圓的交點時，此時.
【即學即練1】（24-25高一上·廣西防城港·期中）設角終邊上的點的坐標為，則（ ）
A． B．
C． D．
知識點02 正弦、余弦與正切在各象限的符號
1.正弦、余弦、正切在各象限的符號
（1）當且僅當的終邊在第一、二象限，或軸正半軸上時，；
當且僅當的終邊在第三、四象限，或軸負半軸上時，；
（2）當且僅當的終邊在第一、四象限，或軸正半軸上時，；
當且僅當的終邊在第二、三象限，或軸負半軸上時，；
（3）當且僅當的終邊在第一、三象限，；
當且僅當的終邊在第二、四象限，。
上述結果可用下圖直觀表示：
【解讀】（1）三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內點的坐標符號導出的，從原點到角的終邊上任意一點的距離的值總是正值，根據三角函數定義值：
正弦值的符號取決于縱坐標的符號；
余弦值的符號取決于橫坐標的符號；
正切值的符號是由、的符號共同決定的，即、同號為正，異號為負。
（2）記憶口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含義是在第一象限各三角函數值全為正，在第二象限只有正弦值為正，在第三象限只有正切值為正，在第四象限只有余弦值為正．
【即學即練2】（24-25高一上·云南玉溪·階段練習）已知，則角的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
題型01 已知終邊上的點求三角函數值
【典例1】（24-25高一上·貴州貴陽·階段練習）已知角的終邊上有一點的坐標是，則的值為（ ）
A．3 B．4 C． D．
【變式1】（24-25高一上·天津津南·期中）若角的終邊過點， 則 的值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25高一上·天津·階段練習）已知角終邊上有一點，則的值為（ ）
A．4 B． C． D．
【變式3】（24-25高一上·四川綿陽·階段練習）在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業）若點是角終邊上的一點，則 ．
題型02 根據三角函數定義求參數
【典例2】（24-25高一上·吉林·期中）在平面直角坐標系中，已知角的終邊經過點，且，則a等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【變式1】（24-25高三上·海南?？凇るA段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則實數的值是（ ）
A．和 B． C． D．
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）（多選）若角的終邊經過點，則可能為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2025高三·全國·專題練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，若是角終邊上的一點，且，則 .
題型03 由單位圓求三角函數值
【典例3】（24-25高一上·湖南長沙·階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第次相遇時，點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（24-25高一上·上?！ふn后作業）角與單位圓的交點坐標為 .
【變式2】（23-24高一上·山東青島·階段練習）已知O為坐標原點，點P的初始位置坐標為，線段繞點O順時針轉動后，點P所在位置的坐標為 .
【變式3】（22-23高三上·安徽合肥·階段練習）在3世紀中期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術可以視為將一個圓內接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運用割圓術的思想，可得到的近似值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4】角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于第四象限點，且點的橫坐標為，則的值為 .
題型04 求特殊角的三角函數值
【典例4】（24-25高一上·上海·課堂例題）求角的正弦、余弦、正切值.
【變式1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求角的正弦、余弦、正切值.
【變式2】（23-24高一下·全國·課后作業）求下列角α的正切函數值：
(1)；
(2)．
【變式3】（23-24高一下·上海·假期作業）求的正弦、余弦和正切值．
題型05 各象限角三角函數值的符號
【典例5】（24-25高一上·云南玉溪·階段練習）已知，則角的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）已知角是第四象限角，則下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25高一上·廣東東莞·期中）點落在（ ）
A．第一象限內 B．第二象限內
C．第三象限內 D．第四象限內
【變式3】（24-25高一上·吉林·期中）點在平面直角坐標系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業）（多選）設是的一個內角，則下列點可能位于第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
一、單選題
1．（24-25高一上·廣東深圳·階段練習）已知角的終邊與單位圓的交點為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·全國·課后作業）下列三角函數值的符號為負的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習）已知角的終邊經過點，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
5．（2024高三·全國·專題練習）已知角的終邊經過點，且，則實數的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
6．（24-25高二上·上?！るA段練習）若，則為（ ）.
A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角
7．（24-25高三上·四川·階段練習）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全國·專題練習）已知角的終邊在直線上，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
二、多選題
9．（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知角的終邊經過點，則下列選項正確的是（ ）
A．為鈍角 B．
C． D．點在第二象限
10．（23-24高一下·廣西·開學考試）已知角的終邊經過點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
11．（24-25高一上·全國·課后作業）(多選)已知函數 （且）的圖象經過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
12．（24-25高一上·吉林四平·階段練習）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，為角終邊上一點，若，則 ．
13．（24-25高二上·上海·期中）若角的終邊經過點，則 .
14．（24-25高一上·全國·課后作業）當為第三象限角時， ．
四、解答題
15．（24-25高一上·天津·階段練習）已知，求，.
16．（24-25高一上·甘肅蘭州·階段練習）若角的終邊過點.
(1)求的值.
(2)試判斷的符號.
17．（24-25高一上·全國·課后作業）已知，且有意義．
(1)試判斷角所在的象限；
(2)若角的終邊上一點，且(O為坐標原點)，求的值及的值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 三角函數的定義
課程標準 學習目標
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及其應用； 2.會判斷三角函數在各象限的符號。 1.理解并掌握任意角的三角函數定義，會求給定角的三角函數值，重點培養數學抽象、數學運算核心素養； 2.借助任意角的三角函數定義，掌握三角函數在各象限的符號規律，重點提升邏輯推理等核心素養。
知識點01 任意角的正弦、余弦、正切的定義
1．任意角的三角函數
在平面直角坐標系中，設α的終邊上任意一點P的坐標是(x，y)，它與原點O的距離是r(r ＞0)．稱為角α的正弦，記作sinα；稱為角α的余弦，記作cosα，因此sinα，cosα.
當角α的終邊不在y軸上時，稱為角α的正切，記作tanα，即tanα
角α的正弦、余弦、正切都稱為α的三角函數.
2．三角函數定義域
正弦函數、余弦函數、和正切函數統稱為三角函數，通常記為：
正弦函數：
余弦函數：
正切函數：
【解讀】(1)三角函數的記號是一個整體，離開α的sin，cos，tan等是無意義的，如sin α表示的是一個比值而不是sin與α的積．
(2)因為角的集合與實數集之間可以建立 一一對應的關系，所以三角函數可以看成是自變量為實數的函數．
（3）當P(x，y)為α的終邊與單位圓的交點時，此時.
【即學即練1】（24-25高一上·廣西防城港·期中）設角終邊上的點的坐標為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由任意三角函數的定義即可求解
【詳解】設角終邊所在圓的半徑為，由題意得，，
所以，，，所以D選項正確，
知識點02 正弦、余弦與正切在各象限的符號
1.正弦、余弦、正切在各象限的符號
（1）當且僅當的終邊在第一、二象限，或軸正半軸上時，；
當且僅當的終邊在第三、四象限，或軸負半軸上時，；
（2）當且僅當的終邊在第一、四象限，或軸正半軸上時，；
當且僅當的終邊在第二、三象限，或軸負半軸上時，；
（3）當且僅當的終邊在第一、三象限，；
當且僅當的終邊在第二、四象限，。
上述結果可用下圖直觀表示：
【解讀】（1）三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內點的坐標符號導出的，從原點到角的終邊上任意一點的距離的值總是正值，根據三角函數定義值：
正弦值的符號取決于縱坐標的符號；
余弦值的符號取決于橫坐標的符號；
正切值的符號是由、的符號共同決定的，即、同號為正，異號為負。
（2）記憶口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含義是在第一象限各三角函數值全為正，在第二象限只有正弦值為正，在第三象限只有正切值為正，在第四象限只有余弦值為正．
【即學即練2】（24-25高一上·云南玉溪·階段練習）已知，則角的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據三角函數的符號與角的象限間的關系即可求得角的終邊所在象限.
【詳解】根據三角函數的符號與角的象限間的關系，
由，可得角的終邊位于第三象限.
題型01 已知終邊上的點求三角函數值
【典例1】（24-25高一上·貴州貴陽·階段練習）已知角的終邊上有一點的坐標是，則的值為（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函數定義代入公式計算可得結果.
【詳解】由角的終邊上有一點P的坐標是，
可得，，，所以.
.
【變式1】（24-25高一上·天津津南·期中）若角的終邊過點， 則 的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由點坐標求出點到原點的距離，利用余弦函數的定義可得結果.
【詳解】∵角的終邊過點，
∴，
∴.
.
【變式2】（24-25高一上·天津·階段練習）已知角終邊上有一點，則的值為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】由任意角三角函數的定義求解即可.
【詳解】因為點是角終邊上一點，
所以.
故選：.
【變式3】（24-25高一上·四川綿陽·階段練習）在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據單位圓及正弦函數的定義得解.
【詳解】由題意，，解得，
所以，
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業）若點是角終邊上的一點，則 ．
【答案】
【分析】利用三角函數的定義求得正確答案.
【詳解】由題得，
故．
故答案為：
題型02 根據三角函數定義求參數
【典例2】（24-25高一上·吉林·期中）在平面直角坐標系中，已知角的終邊經過點，且，則a等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】A
【分析】
利用三角函數的定義，直接列出關系式求出的值．
【詳解】
角的終邊經過點，且，
所以，并且，
解得（舍）或．
．
【變式1】（24-25高三上·海南?？凇るA段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則實數的值是（ ）
A．和 B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，，由三角函數的定義可得出關于的方程，即可解出的值.
【詳解】由三角函數的定義可得，則，
整理可得，因為，解得
.
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）（多選）若角的終邊經過點，則可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由已知結合三角函數的定義即可求解.
【詳解】，則．
故選:
【變式3】（2025高三·全國·專題練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，若是角終邊上的一點，且，則 .
【答案】
【分析】根據三角函數的定義得到方程，解得即可.
【詳解】因為是角終邊上一點，所以，
由三角函數的定義，得，解得.
故答案為：.
題型03 由單位圓求三角函數值
【典例3】（24-25高一上·湖南長沙·階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點按順時針方向每秒鐘轉弧度，則、兩點在第次相遇時，點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】計算相遇時間，再確定轉過的角度，得到坐標.
【詳解】相遇時間為秒，
故轉過的角度為，
故對應坐標為，即.
【變式1】（24-25高一上·上?！ふn后作業）角與單位圓的交點坐標為 .
【答案】
【分析】根據三角函數的定義結合任意角的定義分析求解.
【詳解】因為，可知角與角的終邊相同，
且，，
所以角與單位圓的交點坐標為.
故答案為：.
【變式2】（23-24高一上·山東青島·階段練習）已知O為坐標原點，點P的初始位置坐標為，線段繞點O順時針轉動后，點P所在位置的坐標為 .
【答案】
【分析】求出點P在單位圓上，轉動前和轉動后的角，從而求出點P所在位置的坐標.
【詳解】在第一象限，又，
故點P在單位圓上，
設點P的初始位置所在角為，
則，故，
順時針轉動后，點P在第四象限，
設轉動后的角為，則，
因為，
所以點P所在位置的坐標為.
故答案為：
【變式3】（22-23高三上·安徽合肥·階段練習）在3世紀中期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術可以視為將一個圓內接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運用割圓術的思想，可得到的近似值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意在圓內作內接正三十六邊形后求解，
【詳解】在單位圓中作內接正三十六邊形，則每個等腰三角形的頂角為，底邊約為，
由題意得，
【變式4】角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于第四象限點，且點的橫坐標為，則的值為 .
【答案】/-0.75
【分析】由角的終邊與單位圓交于，故將的坐標求出，利用定義就可以求出的值.
【詳解】由交的終邊與單位圓相交于第四象限點，
且點的橫坐標為
所以點的縱坐標為，
所以，
有定義可得
故答案為：.
題型04 求特殊角的三角函數值
【典例4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求角的正弦、余弦、正切值.
【答案】，，.
【分析】在角的終邊上取點P，使的長為1，利用定義求三角函數的值.
【詳解】解：設角的終邊交以原點為圓心的單位圓于點P，如圖，過P點作x軸的垂線，其垂足為M.

在中，，由此可得
，，所以，，
于是，，.
【變式1】（24-25高一上·上海·課堂例題）求角的正弦、余弦、正切值.
【答案】，，
【分析】根據任意角的三角函數的定義即可求解.
【詳解】設角的終邊交以原點為圓心的單位圓于點P，如圖，過點P作x軸的垂線，其垂足為M.
在中，，由此可得
，，所以，
于是，，.
【變式2】（23-24高一下·全國·課后作業）求下列角α的正切函數值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由正切函數的定義即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，．
由正切函數的定義，得．
（2）因為，所以，．
由正切函數的定義，得．
【變式3】（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I）求的正弦、余弦和正切值．
【答案】，，
【分析】求得終邊與單位圓的交點坐標，根據三角函數的定義可直接求得.
【詳解】如圖，在中，
，
，
，進而
故答案為：，， .
題型05 各象限角三角函數值的符號
【典例5】（24-25高一上·云南玉溪·階段練習）已知，則角的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據三角函數的符號與角的象限間的關系即可求得角的終邊所在象限.
【詳解】根據三角函數的符號與角的象限間的關系，
由，可得角的終邊位于第三象限.
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）已知角是第四象限角，則下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知結合三角函數的定義即可判斷.
【詳解】由題得.
故選B．
【變式2】（24-25高一上·廣東東莞·期中）點落在（ ）
A．第一象限內 B．第二象限內
C．第三象限內 D．第四象限內
【答案】A
【分析】根據三角函數的誘導公式和符號，分別得出橫縱坐標的正負值情況，即可判斷點所在象限.
【詳解】因為
所以點落在第四象限內，
.
【變式3】（24-25高一上·吉林·期中）點在平面直角坐標系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】判斷分別是哪個象限角，結合三角函數的定義即可判斷.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以點在平面直角坐標系中位于第二象限，
.
【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業）（多選）設是的一個內角，則下列點可能位于第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】結合的范圍判斷各選項即可.
【詳解】由題得，，
所以，BC錯誤；
當時，，AD正確．
D.
一、單選題
1．（24-25高一上·廣東深圳·階段練習）已知角的終邊與單位圓的交點為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據任意角的三角函數的定義結合題意直接求解即可
【詳解】因為角的終邊與單位圓的交點為，
所以，
2．（24-25高一上·全國·課后作業）下列三角函數值的符號為負的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函數的關系式的變換和誘導公式的應用以及三角函數在各象限的符號求出結果.
【詳解】因為角是第二象限角，所以，A錯誤；
因為角的終邊，在軸正半軸上，所以，B錯誤；
因為角是第二象限角，所以，C正確；
因為，所以角的終邊在第一象限，所以，D錯誤．
.
3．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】結合余弦函數的性質，以及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】當時，，故充分性不成立，
當時，，，故必要性不不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
.
4．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習）已知角的終邊經過點，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根據任意角三角函數的定義求，代入運算即可.
【詳解】因為角的終邊經過點，則，
可得，
所以.
.
5．（2024高三·全國·專題練習）已知角的終邊經過點，且，則實數的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據角的余弦值與終邊上點的坐標可得角的終邊所在象限，進而可得參數的取值范圍，利用余弦函數的定義建立方程，可得答案.
【詳解】，說明角的終邊在第二或第三象限，終邊上的點，，
說明終邊在第二象限，，，，解得.
.
6．（24-25高二上·上海·階段練習）若，則為（ ）.
A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角
【答案】A
【分析】利用三角函數與象限角的符號關系，就可以作出判斷.
【詳解】由可知，同號，
所以為第一象限的角和第四象限的角，
.
7．（24-25高三上·四川·階段練習）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函數的定義，建立方程，結合象限角的定義，可得答案.
【詳解】依題意，，其中，為坐標原點，
則，所以．
.
8．（2024高三·全國·專題練習）已知角的終邊在直線上，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】由題意可得余弦值不為零，取直線上非原點的任一點，利用正弦函數與余弦函數的定義，可得答案.
【詳解】由題知，
設角的終邊上一點，則.
當時，，，，
所以；
當時，，，，
所以.
.
二、多選題
9．（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知角的終邊經過點，則下列選項正確的是（ ）
A．為鈍角 B．
C． D．點在第二象限
【答案】CD
【分析】根據給定條件，結合三角函數定義，逐項判斷即可.
【詳解】對于A，點位于第二象限，即角是第二象限角，不一定是鈍角，A錯誤；
對于BCD，點到原點的距離，
則，，，C錯誤，BD正確.
D
10．（23-24高一下·廣西·開學考試）已知角的終邊經過點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【分析】
利用三角函數定義逐項求解判斷.
【詳解】由，得，解得（負值舍去），則正確.
由，得，則B，D正確.
由，得，解得，則錯誤.
BD
11．（24-25高一上·全國·課后作業）(多選)已知函數 （且）的圖象經過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】先根據對數函數的圖象求出定點的坐標，再根據三角函數的定義求出和的值即可求解.
【詳解】因為函數的圖象經過定點，
所以或，
當點在角的終邊上時，，，
此時，B正確；
當點在角的終邊上時，，，
此時，D正確；
D
三、填空題
12．（24-25高一上·吉林四平·階段練習）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，為角終邊上一點，若，則 ．
【答案】
【分析】根據三角函數的定義求解即可.
【詳解】由三角函數的定義可知，
，所以，解得，
故答案為：．
13．（24-25高二上·上海·期中）若角的終邊經過點，則 .
【答案】
【分析】根據三角函數的定義，即可求解.
【詳解】由三角函數的定義可知，.
故答案為：
14．（24-25高一上·全國·課后作業）當為第三象限角時， ．
【答案】0
【分析】根據三角函數的概念判斷的符號，從而化簡求值即可.
【詳解】因為為第三象限角，所以，
故．
故答案為：.
四、解答題
15．（24-25高一上·天津·階段練習）已知，求，.
【答案】答案見解析
【分析】由可得為第一象限角或第二象限角，根據同角三角函數的基本關系分別求解即可.
【詳解】因為，所以為第一象限角或第二象限角，
當為第一象限角時，，
；
當為第二象限角時，，
，
綜上，當為第一象限角時，，，
當為第二象限角時，，.
16．（24-25高一上·甘肅蘭州·階段練習）若角的終邊過點.
(1)求的值.
(2)試判斷的符號.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析.
【分析】根據三角函數的定義即可求得結果.
【詳解】（1）由題意得，
則；
當時，，當時，；
（2）當時，，
所以；
當時，，，
所以.
17．（24-25高一上·全國·課后作業）已知，且有意義．
(1)試判斷角所在的象限；
(2)若角的終邊上一點，且(O為坐標原點)，求的值及的值．
【答案】(1)第四象限角
(2)，
【分析】（1）由式子有意義得到，，從而判斷所在的象限即可；
（2）由三角函數的定義求解即可.
【詳解】（1）由，所以，
由有意義，可知，所以是第四象限角．
（2）)因為，所以，
得，又為第四象限角，故，從而，
.
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