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第04講 單位圓與三角函數(shù)線
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切．(重點(diǎn)) 2．能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題． 1．通過三角函數(shù)線概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)． 2．借助三角函數(shù)線的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng).
知識點(diǎn)01 正弦線與余弦線
1、單位圓與三角函數(shù)：在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足的點(diǎn)做成的集合，角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，如圖，
則，，，則角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為
2、三角函數(shù)線綜合圖示
（1）過角的終邊與單位圓的交點(diǎn)作軸的垂線，垂足為；
（2）角的終邊（或其反向延長線）與直線交于點(diǎn)。
3、正弦線的定義：為角的正弦線
的方向與軸的正方向相同時(shí)，表示是正數(shù)，且；
的方向與軸的正方向相反時(shí)，表示是負(fù)數(shù)，且。
4、余弦線的定義：為角的余弦線
的方向與軸的正方向相同時(shí)，表示是正數(shù)，且；
的方向與軸的正方向相反時(shí)，表示是負(fù)數(shù)，且。
【即學(xué)即練1】（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是（　　）
A．正弦線為，正切線為
B．正弦線為，正切線為
C．正弦線為，正切線為
D．正弦線為，正切線為
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)線的定義得到答案.
【詳解】角在第三象限，故正弦線為，正切線為.
知識點(diǎn)02 正切線
1、正切線的定義：為角的正切線
當(dāng)角的終邊在第二、三象限或軸的負(fù)半軸上，終邊與直線沒有交點(diǎn)，但終邊的反向延長線與有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切值。
2、三角函數(shù)線的特征
（1）位置：三條三角函數(shù)線中有兩條在以坐標(biāo)為原點(diǎn)的單位圓內(nèi)，一條以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓外；
（2）方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向軸上的垂足；正切線由切點(diǎn)指向切線與的終邊（或其反向延長線）的交點(diǎn)；
（3）正負(fù)：三條三角函數(shù)線的正負(fù)可簡記為“同向?yàn)檎聪驗(yàn)樨?fù)”；
（4）書寫：起點(diǎn)（比如點(diǎn)）在前，終點(diǎn)（比如點(diǎn)）在后，寫為
【即學(xué)即練2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）角和角有相同的（ ）
A．正弦值 B．余弦值 C．正切線 D．不能確定
【答案】D
【分析】根據(jù)角和角的終邊在一條直線上，結(jié)合正切線的作法可得兩個(gè)角有相同的正切線，得到答案.
【詳解】因?yàn)椋芍呛徒堑慕K邊互為反向延長線，
即兩個(gè)角的終邊在同一條直線上，設(shè)為直線，
因此，過點(diǎn)作單位圓的切線，與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
可得，都等于有向線段的長，即兩角有相同的正切線.

題型01 三角函數(shù)線的作法
【典例1】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線與正切線.
(1)；
(2).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】根據(jù)三角函數(shù)線概念，結(jié)合單位圓和三角函數(shù)概念畫圖即可.
【詳解】（1）如圖，有向線段DP，OD，AT分別表示的正弦線、余弦線、正切線.
（2）如圖，有向線段DP，OD，AT分別表示的正弦線、余弦線、正切線.
【變式1】（24-25高一上·上海·課前預(yù)習(xí)）請作出下列各角的正弦線：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】根據(jù)正弦線的作法即可作出（1）（2）的正弦線；
（3）在上，和終邊相同的角是，再作出正弦線即可.
【詳解】（1）如圖所示，正弦線為
（2）如圖所示，正弦線為
（3）因?yàn)椋缘恼揖€和的正弦線一樣，如圖所示，正弦線為
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，在單位圓中角θ的正弦線、余弦線、正切線分別是，則它們的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接根據(jù)角的范圍，畫出的終邊大概所在位置，結(jié)合三角函數(shù)線的定義即可求解.
【詳解】畫出圖象如下圖所示，由圖可知，.
題型02 利用三角函數(shù)線比較大小
【典例2】（（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）把，，，由小到大排列為 ．
【答案】
【分析】由三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)線即可比較大小.
【詳解】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中,以為圓心作單位圓，分別作出已知角，
則，，
，．
而，
∴，
∴．
故答案為：
【變式1】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知，那么下列命題不成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，則
B．若，是第二象限角，則
C．若，是第三象限角，則
D．若，是第四象限角，則
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)線，以及三角函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函數(shù)線，如圖1所示，
則，因?yàn)椋裕訟錯(cuò)誤；

對于B中，若，是第二象限角，且，作出三角函數(shù)線得到有向線段，
如圖2所示，則，所以，所以B錯(cuò)誤；

對于C中，若，是第三象限角，且，作出三角函數(shù)線得到有向線段，
如圖3所示，則，所以，所以C錯(cuò)誤；

對于D中，若，是第四象限角，且，作出三角函數(shù)線得到有向線段，
如圖4所示，則，所以，所以D正確.
.

【變式2】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）利用正弦線比較的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦線的知識求得正確答案.
【詳解】依題意，，
在單位圓中，觀察正弦線可知，
在區(qū)間，的長度隨著增大而增大，
所以

【變式3】（23-24高一下·北京·期中）若，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，在坐標(biāo)系畫出單位圓，并且作出角的正弦線、余弦線和正切線，再由的范圍比較三角函數(shù)線的大小即可.
【詳解】由三角函數(shù)線定義作出如圖：
是角的終邊，圓是單位圓，
則，，，
，
，即.
題型03 利用三角函數(shù)線解不等式
【典例3】（24-25高一下·廣西北海·期中）在上，使不等式不成立的x的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，即可求解．
【詳解】由，則，
又，所以所求集合為．
．
【變式1】（2024高一·全國·專題練習(xí)）使不成立的x的一個(gè)變化區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)線，即可得出相應(yīng)的區(qū)間.
【詳解】當(dāng)x的終邊落在如圖所示的陰影部分時(shí)，滿足．

【變式2】若，且，，利用三角函數(shù)線，得到的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)單位圓及三角函數(shù)線直接求解即可.
【詳解】如圖所示單位圓，由于，，若終邊為（不可取），
所以滿足，且，，
所以的取值范圍是.

故答案為：
【變式3】（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）畫出畫出單位圓中三角函數(shù)線，結(jié)合圖象可得.
（2）畫出畫出單位圓中三角函數(shù)線，結(jié)合圖象可得或.
【詳解】（1）由可知，角x對應(yīng)的正弦線方向朝上，而且長度為，
作示意圖，如圖所示，

可知角的終邊可能是，也可能是，
又因?yàn)椋曰颍?br/>再由圖可知，如果的終邊在中，則一定有，
因此，滿足條件的角的取值范圍.
（2）畫出單位圓中三角函數(shù)線，如圖．
由圖可知角的范圍是：
或.
題型04 利用三角函數(shù)線證明不等式
【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）應(yīng)用單位圓證明：若，則.
【答案】證明見解析
【分析】通過三角函數(shù)線可得：，，，則只需比較，，的大小，轉(zhuǎn)換為面積，即可得到大小關(guān)系，得證.
【詳解】證明：如圖，由三角函數(shù)線得：，，，

∵，
∴，
∴，即.
【變式1】（2024高一·上海·專題練習(xí)）若，證明：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用正切線與余弦線的定義，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊即可得證；
（2）利用三角函數(shù)線的定義，結(jié)合三角形與扇形的面積大小即可得證.
【詳解】（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中作出角，角的正弦線和余弦線.

由，為直角三角形，且，，，
在中，，所以.
（2）如圖，，分別為角的正弦線和正切線，連結(jié)，

由，顯然有，
而，，
，
所以，即.
題型05 新定義問題
【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知，，，然后結(jié)合新定義簡單計(jì)算可判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)題意，易得，
對于A，因?yàn)椋矗蔄錯(cuò)誤；
對于B，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，，故B錯(cuò)誤；
對于C，，故C正確；
對于D，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，故D錯(cuò)誤.
.
【變式1】（23-24高一下·湖北·期末）如圖所示，角（）的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為，分別過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線交角的終邊于，，根據(jù)三角函數(shù)的定義，．現(xiàn)在定義余切函數(shù)，滿足，則下列表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形相似，即可求解.
【詳解】由圖象可知，，
則，即，
所以.
一、單選題
1．已知角的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，則的終邊在（　　）
A．第一象限的角平分線上
B．第四象限的角平分線上
C．第二、第四象限的角平分線上
D．第一、第三象限的角平分線上
【答案】D
【分析】由題意可知角終邊上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榻堑恼揖€和余弦線的方向相反、長度相等，
所以角終邊上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
所以的終邊在第二、第四象限的角平分線上.
.
2．如圖，已知點(diǎn)A是單位圓與x軸的交點(diǎn)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，PM⊥x軸于M，過點(diǎn)A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線 余弦線 正切線分別是（ ）
A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，AT
C．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT
【答案】A
【分析】根據(jù)題圖及三角函數(shù)線的定義判斷角的正弦線 余弦線 正切線.
【詳解】由題圖知：圓O為單位圓，則，
且，
故角的正弦線 余弦線 正切線分別是有向線段MP，OM，AT.
3．（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）若，，則，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】C
【分析】作出的正弦線、余弦線，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋鞒龅恼揖€，余弦線，
所以，，所以，即．
4．如果，則角與的終邊除了可能重合外，還有可能（ ）
A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱
C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對稱
【答案】A
【分析】由單位圓中的余弦線即可求解.
【詳解】如圖：角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
由三角函數(shù)線的定義可知：，
由圖知：設(shè)角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，當(dāng)角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱時(shí)，
過點(diǎn)作軸的垂線，則垂足為點(diǎn)，所以，
所以當(dāng)角與的終邊關(guān)于軸對稱時(shí)，，
.
5．在上，利用單位圓，得到不成立的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正余弦、正切函數(shù)的定義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷即可.
【詳解】如圖所示，
在單位圓中，設(shè)，則，，，
由圖形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒不成立，即在第一象限恒不成立，以為分界線，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即；綜上在第一象限無解；
由圖形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限無解；
由圖形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限無解；
有圖形可得在第四象限大于0，小于0，且恒不成立，即在恒不成立，所以 在第四象限的解為，
綜上在的解集為，
6．,,的大小關(guān)系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在單位圓中作出1弧度角的正弦線、余弦線、正切線，由圖可觀察出它們的大小．
【詳解】如圖所示,作出1弧度角的正弦線 余弦線 正切線分別為,,,由圖知,,,且,所以.
.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)線的應(yīng)用．三角函數(shù)線可能用來求三角函數(shù)值，解三角不等式，比較三角函數(shù)式的大小等．
7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．∪
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，畫出三角函數(shù)線，找出角度范圍，即可表示.
【詳解】角α的取值范圍為圖中陰影部分如下所示吧：

即∪
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)值的范圍，求角度的范圍，涉及三角函數(shù)線的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.
8．已知，，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋士傻茫芍笖?shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】因?yàn)椋士傻茫?br/>根據(jù)指數(shù)函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，
可得，即可得；
根據(jù)冪函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，
可得，即可得
綜上所述：.
.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在區(qū)間上的大小關(guān)系，以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合中檔題.
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．一定時(shí)，單位圓中的正弦線也一定 B．在單位圓中，有相同正弦線的角相等
C．和有相同的余弦線 D．具有相同正切線的兩角的終邊在同一條直線上
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)線的定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對于A，單位圓中，一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定，所以A正確．
對于B，與有相同的正弦線，但，所以B錯(cuò)
對于C，和的余弦線相反，所以C錯(cuò)，
對于D，一三象限角的正切線相同，二四象限角的正切線相同，即具有相同正切線的兩個(gè)角終邊一定在同一條直線上，所以D正確．
D
10．（23-24高一下·浙江杭州·開學(xué)考試）下列不等式中，正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的單調(diào)性判斷A、B，利用三角函數(shù)線證明當(dāng)時(shí)，即可判斷C、D.
【詳解】對于A：，
，所以，故A錯(cuò)誤；
對于B：因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又，
所以，故B正確；
對于C、D：首先證明當(dāng)時(shí)，
構(gòu)造單位圓，如圖所示：
則，設(shè)，則，
過點(diǎn)作直線垂直于軸，交所在直線于點(diǎn)，
由，得，所以，
由圖可知，
即，
即，
所以，，故C正確，D錯(cuò)誤；
C
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．，則 D．若，則
【答案】AD
D．
三、填空題
12．函數(shù)ylg(2sinx－1)＋的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】要使函數(shù)有意義，則有，由三角函數(shù)線可得不等式組的解集，即得原函數(shù)的定義域.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求解，考查利用三角函數(shù)線解不等式，屬于基礎(chǔ)題.
13．已知角，則的大小關(guān)系為 ．
【答案】/
【分析】在單位圓中畫出角并確定正弦線、正切線，即可判斷大小關(guān)系.
【詳解】如下圖示，在單位圓中，軸，軸，且，
所以，，，
△的面積，
扇形的面積，
△的面積，
由圖知：，故.
故答案為：
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第04講 單位圓與三角函數(shù)線
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切．(重點(diǎn)) 2．能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題． 1．通過三角函數(shù)線概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)． 2．借助三角函數(shù)線的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng).
知識點(diǎn)01 正弦線與余弦線
1、單位圓與三角函數(shù)：在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足的點(diǎn)做成的集合，角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，如圖，
則，，，則角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為
2、三角函數(shù)線綜合圖示
（1）過角的終邊與單位圓的交點(diǎn)作軸的垂線，垂足為；
（2）角的終邊（或其反向延長線）與直線交于點(diǎn)。
3、正弦線的定義：為角的正弦線
的方向與軸的正方向相同時(shí)，表示是正數(shù)，且；
的方向與軸的正方向相反時(shí)，表示是負(fù)數(shù)，且。
4、余弦線的定義：為角的余弦線
的方向與軸的正方向相同時(shí)，表示是正數(shù)，且；
的方向與軸的正方向相反時(shí)，表示是負(fù)數(shù)，且。
【即學(xué)即練1】（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是（　　）
A．正弦線為，正切線為
B．正弦線為，正切線為
C．正弦線為，正切線為
D．正弦線為，正切線為
知識點(diǎn)02 正切線
1、正切線的定義：為角的正切線
當(dāng)角的終邊在第二、三象限或軸的負(fù)半軸上，終邊與直線沒有交點(diǎn)，但終邊的反向延長線與有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切值。
2、三角函數(shù)線的特征
（1）位置：三條三角函數(shù)線中有兩條在以坐標(biāo)為原點(diǎn)的單位圓內(nèi)，一條以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓外；
（2）方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向軸上的垂足；正切線由切點(diǎn)指向切線與的終邊（或其反向延長線）的交點(diǎn)；
（3）正負(fù)：三條三角函數(shù)線的正負(fù)可簡記為“同向?yàn)檎聪驗(yàn)樨?fù)”；
（4）書寫：起點(diǎn)（比如點(diǎn)）在前，終點(diǎn)（比如點(diǎn)）在后，寫為
【即學(xué)即練2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）角和角有相同的（ ）
A．正弦值 B．余弦值 C．正切線 D．不能確定
題型01 三角函數(shù)線的作法
【典例1】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線與正切線.
(1)；
(2).
【變式1】（24-25高一上·上海·課前預(yù)習(xí)）請作出下列各角的正弦線：
(1)；
(2)；
(3).
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，在單位圓中角θ的正弦線、余弦線、正切線分別是，則它們的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
題型02 利用三角函數(shù)線比較大小
【典例2】（（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）把，，，由小到大排列為 ．
【變式1】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知，那么下列命題不成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，則
B．若，是第二象限角，則
C．若，是第三象限角，則
D．若，是第四象限角，則
【變式2】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）利用正弦線比較的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高一下·北京·期中）若，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型03 利用三角函數(shù)線解不等式
【典例3】（24-25高一下·廣西北海·期中）在上，使不等式不成立的x的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024高一·全國·專題練習(xí)）使不成立的x的一個(gè)變化區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】若，且，，利用三角函數(shù)線，得到的取值范圍是 .
【變式3】（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
題型04 利用三角函數(shù)線證明不等式
【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）應(yīng)用單位圓證明：若，則.
【變式1】（2024高一·上海·專題練習(xí)）若，證明：
(1)；
(2).
題型05 新定義問題
【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高一下·湖北·期末）如圖所示，角（）的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為，分別過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線交角的終邊于，，根據(jù)三角函數(shù)的定義，．現(xiàn)在定義余切函數(shù)，滿足，則下列表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．已知角的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，則的終邊在（　　）
A．第一象限的角平分線上
B．第四象限的角平分線上
C．第二、第四象限的角平分線上
D．第一、第三象限的角平分線上
2．如圖，已知點(diǎn)A是單位圓與x軸的交點(diǎn)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，PM⊥x軸于M，過點(diǎn)A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線 余弦線 正切線分別是（ ）
A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，AT
C．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT
3．（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）若，，則，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
4．如果，則角與的終邊除了可能重合外，還有可能（ ）
A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱
C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對稱
5．在上，利用單位圓，得到不成立的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．,,的大小關(guān)系是
A． B．
C． D．
7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．∪
8．已知，，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．一定時(shí)，單位圓中的正弦線也一定 B．在單位圓中，有相同正弦線的角相等
C．和有相同的余弦線 D．具有相同正切線的兩角的終邊在同一條直線上
10．（23-24高一下·浙江杭州·開學(xué)考試）下列不等式中，正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．，則 D．若，則
三、填空題
12．函數(shù)ylg(2sinx－1)＋的定義域?yàn)? .
13．已知角，則的大小關(guān)系為 ．
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